FUNGSI GELOMBANG DALAM POSISI DAN RUANG MOMENTUM

A. POSISI-RUANG FUNGSI GELOMBANGPada bagian ini kita akan membahas mengenai fungsi posisi ruang dan momentum gelombang. Pertama kita tinjau kasus satu dimensi posisi dalam ket diberikan dalam persamaan:

Dinormalisasikan dengan cara ortogonal menjadi :

Kita sudah menandai bahwa ket merupakan representasi keadaan fisik dapat disajikan dalam bentuk

dan ekspansi koefisien menjadi :

ini memungkinkan untuk partikel ditemukan dalam ruang interval menuju . Dalam bentuk inner product dimana sering ket dihubungkan sebagai fungsi gelombang untuk keadaan Dalam gelombang mekanik memungkinkan untuk menembangkan koefisien dan untuk fugsi gelombang sering ditampilkan sebagai postulat sebagian. Berdasarkan innerproduct dilengkapi dengan penggunaan kita dapatkan :

Dimana merupakan karakteristik antara dua fungsi gelombang. Dengan catatan kita tidak mendefenisikan sebagai integral yang mengikuti bentuk postulat interprestasi umum representasi keadaan bebas yang menyatakan probabilitas amplitudo untuk yang ditemukan dalam bentuk

Sekarang kita sajikan ekspansi :

menggunakan bahasa fungsi glombang. Kita kalikan kedua ruas dengan persamaan diatas dengan posisi eigen . Diperoleh :

Dalam notasi biasa gelombang mekanik ditulis sebagai :

Dikenal juga dengan fungsi eigen operator A dengan nilai eigen :

Uji bagaimana dapat ditulis dengan menggunakan fungsi gelombang kita dapatkan :

Untuk memungkinkan menaksir kita harus mengetahui matriks elemen , secara umum satu fungsi dua variabel sebuah penyederhanaan dilakuakn jika A adalah fungsi posisi operator x. Terutama, mempertimbangkan kita dapat :

Secara umum :

Catatan : f(x) dibagian sebelah kiri adalah suatu operator, dimana bagian sebelah kanan bukan sebuah operator.

B. MOMENTUM OPERATOR DALAM POSISI DASARSekarang kita menguji bagaimana operator momentum dapat dilihat dalam x-basis, dalam menafsir bagaimana posisi eigenket digunakan sebagai ket dasar. Kita awali dengan defenisi momentum sebagai penggerak translasi infinitesimal :

Bandingkan kedua ruas :

Atau

Dimana kita menggunakan properti ortogonal Untuk matriks elemen p dalam x-representasi, kita peroleh :

Kita peroleh identitas penting :

Persamaan diatas bukan sebuah postulat sebaliknya berasal menggunakan properti dasar momentum. Dengan menggunakan lagi persamaan :

Kita peroleh:

C. FUNGSI GELOMBANG RUANG MOMENTUMUntuk sederhananya kita bekerja dalam satu-ruang. Eigenket dasar menentukan p

Dan

Momentum eigenket menjangkau ruang ket dalam cara yang sama sebagai posisi eigenket . Suatu keadaan ket dapat diperluas sebagai berikut :

Kita dapat memberi kemungkinan penafsiran untuk koefiseian ekspansi kemungkinan pengukuran p dalam interval adalah ini biasa disebut Fungsi Gelombang Ruang Momentum. Notasi yang sering digunakan :

Jika disederhanakan kita peroleh :

Kita mengharapkan informasi yang diinginkan mengandung yang mana suatu fungsi x dan p biasanya disebut fungsi transformasi dari x-presentasi menuju p-presentasi. Untuk memperoleh bentuk ekspelisit dari , pertama-tama kita ingat kembali persamaan;

untuk matrik elemen p dalam x-presentasi, kita peroleh :

Membiarkan momentum eigenket kita peroleh :

Atau

Solusi untuk persamaan diferensial untuk adalah :

Dimana N adalah konstanta normalisasi menjadi determinasi dalam momentum. Walaupun fungsi transformasi adalah fungsi dua variabel x dan p sementara itu sebagai suatu fungsi x dengan p tetap. Untuk memperoleh konstanta normalisasi N, pertama kita pertimbangkan;

Ruas kiri adalah hanya dan ruas sebelah kanan dapat diselesaikan dengan menggunakan bentuk ekspelisit dari :

Pemilihan N menjadi nyata dan positif dengan konvensi, akhirnya kita peroleh :

Sekarang kita dapat menunjukkan bagaimana fungsi posisi-ruang gelombang dikaitkan dengan fungsi gelombang ruang momentum. Semua dapat ditulis menjadi :

Dan

Sebagai

Dan

Pasangan persamaan dapat dibantudari theorema inversi fourier. Dengan matematik kida dapat mengembangkan fourier bekerja padatransformasi integral.

D. PAKET GELOMBANG GAUSSIANKita mempertimbangkan yang dimaksud dengan paket gelombang gaussian, yang fungsi gelombang ruang-x sebagai :

Ini adalah gelombang dengan jumlah gelombang k dimodulasi dengannpusat profil gaussan dari sumber. Kemungkinan observasi partikel lenyap dengan cepat untuk lebih kuantitatif. Kemungkinan kepadatan mempanyai kepadatan dengan lebar d. Sekarang kita menghitung harga ekspansi dari x, x2, p dan p2. Harga ekspansi x adalah 0 dengan simetri :

Untuk x2 , kita peroleh :

Yang mengarah ke:

Untuk dispersi posisi operator. Harga ekspansi dari p dan p2 dapat dihitung sebagai berikut:

Dispersi momentum diberikan sebagai :

Kita dapat meriksa Hubungan Ketidaktentuan Heisenbergh. Kasus ini produk ketidak pastian sebagai berikut :

Sekarang kita menuju ruang momentum, dengan integrasi mudah. Hanya melengkapi eksponen, kita peroleh :

E. GENERALISASI UNTUK TIGA DIMENSIKet dasar diberikan posisi eigenket :

Atau momentum eigenket :

Kita mematuhi aturan kondisi normalisasi :

Dan

Dimana untuk tiga dimensional fungsi :

Lebih lengkap :

Dapat dijabarkan keadaan bebas ket :

Koefisien ekspansi diidentifikasi dengan fungsi gelombang dalam ruang posisi dan momentum. Operator momentum antara menjadi :

Fungsi transformasi dianalogikan menjadi persamaan;

menjadi :

Dengan demikian :

Dan

7