Uswatun Hasanah(1005395)APLIKASI DISTRIBUSI BOSE-EINSTEIN PADA KAPASITAS KALOR KRISTAL

1. Penjelasan mengenai fungsi distribusi yang digunakanFfungsi distribusi Bose-Einstein yaitu:

Di mana adalah probabilitas menemukan partikel pada keadaan tertentu pada suhu mutlak T. Penggunaan Fungsi distribusi Bose-Einstein saat partikel-partikel individu yang ditinjau tidak dapat terbedakan dan tidak ada batasan atas jumlah partikel pada energi keadaan tertentu. Partikel-partikel yang menggunakan fungsi distribusi ini disebut dengan boson dan mempunyai spin integral. Contoh dari partikel boson yaitu partikel alfa (S=0), foton (S=1) dan deuteron (S=1).

2. Kaitan fungsi distribusi dengan aplikasiPeter Debye mendapatkan hasil yang sama dengan hasil percobaan di mana untuk suhu rendah dengan memodelkan kristal sebagai objek elastik kontinu yang memiliki energi internal yang didapatkan dari energi gelombang berdiri. Gerakan individu atom-atom begitu kecil dan gabungan antara atom-atomnya begitu kuat sehingga kita tidak bisa menggetarkan satu atom tanpa menggetarkan atom-atom didekatnya bahkan keseluruhan zat padat. Oleh karena itu, dianggap getaran-getaran ini tersebut membentuk gelombang berdiri pada kristal. Frekuensinya bergantung pada ukuran dan bentuk kristal, serta mirip dengan gelombang berdiri pada lubang hitam.Gelombang yang terbentuk merupakan gelombang suara yaitu gabungan antara gelombang longitudinal dan transversal pada kristal dan memiliki rentang frekuensi dari nol sampai nilai maksimum yang ditentukan dari kebergantungan panjang gelombang minimum pada jarak antar atom.Lebih jauh lagi, gelombang-gelombang elastis atau kisi yang bervibrasi ini terkuantisasi, seperti layaknya gelombang elektromagnetik atau foton. Frekuensi getaran elastis yang terkuantisasi ini disebut dengan fonon, yang merambat dengan besar yang sama dengan besar kecepatan suara di zat padat dan membawa energi quantum sebesar .Ada dua macam gelombang elastis pada kristal: longitudinal dan transversal. Gelombang tersebut merambat dengan kecepatan dan . Untuk mendapatkan nomor mode getaran yang berbeda pada rentang frekuensi dan , yang diekspresikan sebagai , kita harus menghitung mode transversal dan longitudinal secara terpisah. Untuk gelombang transversal, dengan menggunakan persamaan di bawah ini

Di mana: dari hubungan Besar nilai energi E pada sama seperti pada permasalahan dalam menemukan mode osilasi gelombang yang terperangkap di suatu kotak berongga bervolume V, yang berdimensi lebih besar daripada panjang gelombangnya dimana

Dengan mengganti c dengan pada pers. (1), didapatkan

Sedangkan untuk gelombang longitudinal, yang mempunyai satu derajat kebebasan, mode getarnya adalah setengah dari banyak getaran yang ada, yaitu:

Sehingga, jumlah keseluruhan mode getar dalam rentang frekuensi , yaitu:

Pada medium yang kontinu, tidak ada batasan pada jumlah nomor mode getar. Tetapi pada padatan, yang mempunyai struktur atom dan terdiri dari N atom, mode getarnya harus dijabarkan dalam 3N koordinat posisi atom. Oleh karena itu, terdapat batasan pada jumlah nomor mode bebas, yang nilainya harus sama dengan 3N. Sehingga dengan menggunakan persamaan di bawah ini,

yang menentukan frekuensi cutoff . Dengan menggunakan persamaan (3), persamaan (2) bisa ditulis sebagai berikut

Jumlah fonon tidaklah tetap karena jumlahnya bisa bertambah atau berkurang bergantung pada apakah energi dari mode getar bertambah atau berkurang. Kemudian, dimasukkan ke dalam persamaan

Jumlah energi vibrasi kristal pada rentang frekuensi yaitu

Sehingga

Kapasitas kalor kristal pada volume konstan yaitu

Lebih nyaman untuk mendefinisikan temperatur Debye sebagai atau

Diketahui bahwa dan bahwa Persamaan 6, bisa kita tulis dalam bentuk yang lebih sederhana, yaitu

3. Penjelasan fisis dari aplikasi dihubungkan dengan fungsi distribusipada suhu rendah, yaitu

sehingga

Pada suhu rendah ini, kapasitas panas kebanyakan zat padat menurun seiring penurunan suhu. Untuk alasan yang sama bahwa derajat bebas molekul menjadi membeku pada suhu rendah. Pada suhu yang lebih rendah, besar kT menjadi lebih kecil daripada energi terkecil untuk atom bisa dapatkan. Oleh karena itu, kebanyakan atom-atom tetap pada keadaan energi terendahnya karena tingkat energi yang lebih tinggi tidak dapat diraih. Energi getar rata-rata per atom adalah kurang dari 3kT dan kapasitas kalor per molekulnya adalah kurang dari 3k.

Untuk temperatur tinggi, yaitu 1,

Didapatkan , sehingga,

Kapasitas kalor untuk semua unsur secara praktiknya menghasilkan nilai , yang mana hasil ini disebut dengan hukum Dulong-Petit. Selain itu, hal ini juga sesuai dengan prinsip ekuipartisi energi, karena untuk , energi getar tiap derajat kebebasan akan menjadi dan untuk 3 derajat bebas tiap atomnya, . Oleh karena itu,

Daftar PustakaMcKelvey, John Philip. 1966. Solid State and Semiconductor.Florida: Krieger PublishingFinn, Alonso. Fundamental University Vol. IISerway, Raymond A. 2005. Modern Physics 3th edition