makalah emisi elektron fd

8/16/2019 Makalah Emisi Elektron Fd

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-emisi-elektron-fd 1/14

MAKALAH

PENERAPAN DISTRIBUSI FERMI – DIRAC PADA FENOMENA EMISI

ELEKTRON

Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Fisika Statistik

Disusun oleh :

Nia Nurhayati (1206360

!us"ita Sari (120###1

PROGRAM STUDI FISIKA

DEPARTEMEN PENDIDIKAN FISIKA

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

BANDUNG

2015



A. !engenalan Fungsi Distri$usi Fermi % Dira&

Semua "artikel yang menyusun alam semesta ter$agi menja'i 'ua katagori 'asar:

ermion 'an $oson) *kar 'ari "em$agian ini $erasal 'ari +elan'a, te"atnya 'i -ni.ersity

o /ei'en, 'imana Samuel ou'smit 'an eorge -hlen$e&k menja'i aka'emisi "a'a12) ou'smit yang le$ih $erorientasi "a'a "er&o$aan, mem"erhatikan a'anya

"emisahan tam$ahan 'alam s"ektrum &ahaya yang 'i"an&arkan oleh atom helium)

-hlen$e&k, yang le$ih akra$ 'engan isika klasik, mengira "enye$a$ "emisahan ini

mungkin $erhu$ungan 'engan siat alami elektron) ou'smit 'an -hlen$e&k samasama

men'uga $ah4a elektron memiliki momentum su'ut intrinsik, atau yang $iasa 'ise$ut

s"in)

Saat itu mekanika kuantum masih 'alam taha" "em$entukan, ja'i gagasan inimenghasilkan $ilangan kuantum keem"at5setelah kuantum utama, or$ital, 'an magnetik

5yang 'ise$ut $ilangan kuantum s"in) Meski"un nam"aknya menarik $ah4a elektron

a'alah sesuatu yang ke&il 'an $er"utar &e"at, namun gam$aran ini ti'ak $isa 'itelan

mentahmentah) Momentum su'ut intrinsik elektron, atau s"in, $ernilai 7 (h82)9

'imana h a'alah konstanta !lan&k (6,626 10 3# joulesekon) S"in juga meru"akan &ara

yang mu'ah untuk memahami elektron karena $ilangan kuantum s"in memiliki 'ua nilai

yakni ;7 (h82)9 'an %7 (h82)9, sesuai 'engan "utaran <ke atas= 'an <ke $a4ah=) !a'a

tahun 12>, "erhitungan mekanika kuantum oleh ahli isika ?nggris, !aul *)M) Dira&

mem$erikan 'asar teoretis $agi s"in elektron) Maka, $oleh ja'i usaha ou'smit 'an

-hlen$e&k se$elumnya meru"akan ke$eruntungan semata)

!a'a 12, ahli isika *ustria, @olgang !auli, mem$erikan gagasan keem"at

$ah4a ti'ak a'a 'ua elektron yang $isa menem"ati tingkat kuantum yang sama 'i tem"at

yang sama) !rinsi" yang kemu'ian 'ise$ut <larangan !auli= ini meru"akan 'asar $agi

ta$el "erio'ik unsurunsur kimia)

Ketika "erilaku statistik elektronelektron 'i"elajari, ahli isika ?talia*merika,

Anri&o Fermi, $ersamasama 'engan Dira& men&i"takan teori yang 'ise$ut Statistika

FermiDira&) *nalisis ini $elakangan meli"uti semua "artikel lain yang meru"akan



keli"atan setengah integer ($ilangan $ulat ganjil 'ari h82)9) !artikel ini, yang 'ise$ut

ermion, meli"uti semua le"ton 'an Buark) Ca'i, massa alam semesta ter'iri atas ermion)

!artikel 'engan keli"atan $ilangan $ulat atau nol terha'a" h82)9 'iteliti se&ara

ter"isah oleh ahli isika ?n'ia, Satyen'ranath +ose, "a'a tahun 12#) Saat $ekerja

'i University of Dhacca, 'i +angla'esh, +ose mengirimkan analisisnya ke"a'a Ainstein

untuk meminta komentar) Ainstein menerjemahkan analisisnya ke $ahasa Cerman 'an

merekomen'asikan "ener$itannya) Tahun $erikutnya, Ainstein mem"erluas "ekerjaan

+ose sam"ai "a'a semua "artikel, $ukan hanya ermion) !erilaku statistik 'ari "artikel

sema&am itu 'ise$ut statistika +oseAinstein) Dira& menye$ut "artikel"artikel yang

sesuai 'engan statistika ini se$agai $oson) Semua "em$a4a gaya5oton yang mem$a4a

gaya elektromagnetik, gluon yang mem$a4a gaya kuat, 'an "artikel @ 'an , yangmem$a4a gaya lemah5meru"akan $oson)

Sementara ti'ak a'a 'ua ermion yang $isa terletak "a'a tingkat kuantum yang

sama, ti'ak a'a "em$atasan sema&am ini yang $erlaku "a'a $oson) Kenyataannya,

semakin $anyak $oson yang ter'a"at 'alam tingkat energi tertentu, makin $anyak "ula

$oson yang miri" yang akan memasuki tingkat itu) Kenyataan terse$ut a'alah 'asar $agi

emisi $uatan yang terja'i "a'a sinar laser, 'imana semua oton $er$aris 'alam satu ase

'engan tingkat energi yang sama) Siat mengelom"ok ini juga mem$antu menjelaskan

lui'itas su"er "a'a helium, 'an $ahkan kon'ukti.itas su"er, ketika elektron $er"asangan

'an $erlaku se"erti $oson) !a'a tahun 1, gas atom ru$i'ium 'i'inginkan sam"ai suhu

yang sangat ren'ah sehingga atom gas semuanya $era'a "a'a tingkat kuantum yang

sama) *gregat ini 'ise$ut kon'ensat +oseAinstein)

+) Fungsi Distri$usi Fermi % Dira&

Fungsi 'istri$usi Fermi % 'ira& meru"akan ungsi 'istri$usi untuk sistem kuantum

ermion 'engan $ilangan kuantum s"in meru"akan keli"atan ganjil 'ari E82) Salah satu siat

yang 'imiliki ermion a'alah ter"enuhinya "rinsi" ekslusi !auli) Ti'ak $oleh le$ih 'ari satu

ermion memiliki kea'aan kuantum yang sama) Satu kea'aan hanya $oleh kosong atau

hanya 'item"ati oleh satu ermion) Konsekuensi 'ari "rinsi" eksklusi !auli a'alah jumlah

ermion harus le$ih se'ikit atau sama 'engan jumlah kea'aan) ?ni $er$e'a 'engan sistem



klasik atau $oson 'i mana ti'ak a'a "em$atasan jumlah "artikel yang menem"ati kea'aan

tertentu) +era"a "un jumlah kea'aan yang terse'ia, maka kea'aan terse$ut 'a"at

menam"ung "artikel klasik mau"un $oson yang jumlahnya $era"a "un) Cumlah susunan

yang 'a"at 'i$e'akan 'ari ns "artikel 'iantara gs tingkat energi 'ari sel yang kes 'i"eroleh

se$agai $erikut : $ila "artikel 'a"at 'i$e'akan, "artikel "ertama 'a"at 'item"atkan "a'a

salah satu 'ari gs tingkat energi, 'an untuk tia" "emilihan ini, "artikel yang ke'ua 'a"at

'item"atkan "a'a salah satu 'ari (gs1 tingkat yang tersisa, 'an seterusnya) Cumlah susunan

$ila "artikel 'a"at 'i$e'akan a'alah :

gs ( gs−1 )……… ( gs−ns+1 )= gs!

(g s−ns ) !

+ila "artikel ti'ak 'a"at 'i$e'akan, hasil ini harus 'i$e'akan 'engan Ni, jumlah

"ermutasi 'ari Ni "artikel 'i an tara mereka sen'iri) !ro$a$ilitas termo'inamika untuk sel kei

menja'i :

Ws= gs!

n ! (gs−ns ) !

-ntuk $er$agai sel yang 'iga$ungkan, "ro$a$ilitasnya ialah:

W =W 1W 2…… ..=∏s

W s

*tau:

W =∏s

gs!

ns ! ( gs−ns )!

Distri$usi "artikel ke'alam kea'aankea'aan energi, "eluang termo'inamika "a'a

tingkat energi kei : gi G Ni

Misal tingkat energi 2 'engan gi H 3 'an Ni H 2 $anyak &ara menyusun "artisi 'alam

kea'aankea'aan energi a'alah :



W 2= g2!

n2 ( g2−n2 )!

W s=∏s

gs !

ni ! ( gs−ns )…( peluang termodinamika)

n "artikel ter'istri$usi ke 'alam

n1 "artikel 'i tingkat 1 'engan $anyaknya kea'aan g1



Kea'aan makro 'engan "eluang ter$esar, 'i&ari @ yang maksimum maka ln @

maksimum, maka ' ln @ H 0, allau 'itera"kan untuk sistem yang terisolasi

W s

=

∏s

gs!

gs ! ( gs−ns )!

Dengan mengam$il logaritma alamiah 'ari ke'ua ruas,

lnW =∑s=1

M

[ln gs !−ln ns!−ln (gs−ns )! ]

unakan "en'ekatan Stirling, ln n H n ln n % n

gs−gs−n lnns+ns−(gs−ni ) ln ( gs−ns )+¿ ( gs−n s )gs ln ¿¿¿

lnW =∑i=1

M

¿

lnW =∑i=1

M

[ gs ln gs−ns ln ns−(gs−ns ) ln ( gs−ns ) ]

∂ lnW =∑i=1

M

∂ [gs lngs ]−∂ [ns lnns ]−∂ [−( gs−ns ) ln ( gs−ns ) ]

∂ lnW =∑i=1

M ∂ [ gs lngs ]∂ ns

∂ ns−∂ [ns ln ns ]

∂ ns

∂ N s−∂ [−( gs−ns ) ln ( gs−ns ) ]

∂ns

∂ ns



∂ lnW =∑i=1

M

0− [ ln ns+1 ] ∂ ns− [−ln ( gs−ns )−1 ] ∂ns

∂ lnW =∑i=1

M

[−ln ns+ ln (gs−ns ) ] ∂ ns

∂ lnW =∑i=1

M

ln [ (gs−ns )ns

]∂ ns

-ntuk sistem terisolasi :

ntetap→∂n=0→∑ ∂ ns=0

ntetap→∂U =0→∑ E i ∂ ns=0

∂ lnW +α ∂n+ β∂ U =0

∑ {ln( gs−ns

ns )+α + β Es}d ns=0

Sehingga :

ln

(

gs−ns

ns

)=−( α + β Es )

Fermi Dira& ("artikel i'entik 'an tak 'a"at 'i$e'akan teta"i tia" sel hanya 'a"at $erisi ti'ak

le$ih 'ari satu "artikelgs−ns

ns

=e(−α + β Es)

gs

ns

−1=e−(α + β Es)

gs

ns =e−(α + β Es)

+1

ns= gs

e−( α + βE s )+1



+ila gs II nsII1, maka (J menja'i,

gs

ns

−1≅gs

ns

Sehingga (J menja'i :

gs

ns

=e−(α + β Es)

, "arameter β=

1

kT 'an "arameter α = ef

kT

atau 'a"at 'itulis jugaα =e f . β

, 'engane f 'inamakan energi Fermi) 'an L

meru"akan se$uah konstanta yang 'i$erikan "a'a "ersamaan untuk mem"eroleh 'istri$usi

FermiDira&) 'an L a'alah konstanta /agrange "a'a 'istri$usi FermiDira&)

) a"at Kea'aan Koor'inat S"asial Tiga Dimensi

*ssem$li 'alam kotak tiga 'imensi 'engan ukuran "anjang sisi searah sum$u x

, sum$u y , 'an sum$u masingmasing, ! x ,

y , 'an ) !osisi "artikel

'alam assem$li terse$ut 'inyatakan oleh koor'inat, x , y , 'an ) Dengan

'emikian, momentum "artikel ter'iri 'ari tiga kom"onen, yaitu " x ,

" y , 'an " )

Alemen ke&il ruang asa 'i 'alam assem$li terse$ut a'alah

d # =dxdyddp x dp y dp

.olume ruang asa untuk semua "osisi yang mungkin a'alah

d # p=∭dxdyd dp x dp y dp = x y dp x dp y dp

Dalam ruang tiga 'imensi, ukuran minimum ruang asa yang 'iijinkan oleh

"rinsi" keti'ak"astian Oeisen$erg a'alah

$ # min=$ x$ p x $ y$ p y $ $ p ≅%& %& %=%3

*ki$atnya, jumlah kea'aan yang

ter'a"at 'alam elemen

ruang ase$ # p a'alah



dN = $ # p

$ # min

= x y

%3

d p x d p y d p

!ersamaan 'iatas menyatakan jumlah kea'aan 'alam elemen momentum yang $era'a

antara p x sam"ai

d p x antara p y sam"ai

d p y 'an antara p sam"ai

d p ) Ca'i ruang momentum $er$entuk $alok 'engan ukurand p x ,

d p y , 'an

d p ) ara lain a'alah mem$uat elemen ruang momentum yang 'i$atasi oleh

momentum total antara p+dp 'imana momentum total memenuhi

p2= p x

2+ p y2+ p

2

Alemen ruang momentum terse$ut akan $eru"a se$uah kulit $ola 'engan jarijari p

'an kete$alan p+dp se"erti 'iilustrasikan "a'a gam$ar 'i$a4ah ini :

kulit $ola terse$ut a'alah p=¿ 4 'p

2

(¿ 'an kete$alannya a'alah dp ) Polume kulit

$ola menja'i

d ) p=

( p

dp=4 'p

2dp

Dengan menggantid p x d p y d p 'engan

d ) p 'i"eroleh ungka"an lain untuk

jumlah kea'aan

Elemen ruang momentum berupa

kulit bola dengan jari-jari p dan

ketebalan dp



dN = ! x ! y !

%3

4 'p2

dp

Kera"atan kea'aan "er satuan .olume a'alah

g ( p )dp= dN

x y

g ( p )dp= 1

%3 4 'p

2dp

Kem$ali kita ingin menyatakan kera"atan kea'an 'alam .aria$le energi) Kita gunakan

"ersamaan energi E= p

2

2m sehingga

p=√ 2m√ E

dp=√2m( 12 dE

√ E )=√ m

2 E

−1/2dE

Su$stitusi "ersamaan (6a 'an (6$ ke 'alam "ersamaan (6 'i"eroleh kera"atan kea'aan

se$agai $erikut

g ( E ) dE= 1

%3 4 ' (√ 2m√ E )2(√ m

2 E

−1

2 dE)

g ( E ) dE= 1

%3 4 ' √ 2m

3/ 2 E

1/2dE

D) Kaitan Fungsi Distri$usi Fermi % Dira& Dengan Fenomena Amisi Alektron



Kasus emisi ele&tron yang "aling umum a'alah yang meli$atkan suhu 'an me'an

listrik) +er'asarkan mo'el gas ele&tron $e$as, ke"a'atan ele&tron 'alam logam mengikuti

'istri$usi Fermi 'ira&) Total kera"atan arus emisi ele&tron $erasal 'ari emisi termionik

'an emisi eek la"angan) Alektron mematuhi "enge&ualian "rinsi" !auli, masingmasing

tingkat energi ti'ak 'a"at menam"ung le$ih 'ari 'ua elektron)

Dengan 'emikian &uku" untuk mem"ertim$angkan hanya satu "ita kon'uksi terisi

se$agian 'an mem"erlakukan ini jika sesuai 'engan elektron yang terkan'ung 'alam

sumur "otensial tiga 'imensi "ersegi "anjang) Alektron 'ekat "ita $agian atas $er"erilaku

se"erti elektron $e$as) /ogam * $erisi jumlah elektron $e$as yang terle"as 'ari logam

atom, $ertin'ak se$agai gas sem"urna, 'an 'a"at $ergerak melalui seluruh logam

$ertum$ukan hanya 'engan atom)

Alektron $e$as 'alam logam

mematuhi FermiDira& 'istri$usi, 'an

kera"atan elektron 'alam tiga 'imensi

yang $erhu$ungan 'engan energi 'a"at

'itulis yaitu se$agai $erikut :

'imana AF a'alah energi Fermi, A energi

elektron, m massa elektron, h konstanta

!lank, 'an k + konstanta +oltQmann) !a'a

suhu 0 K, elektron menem"ati tingkat

energi Fermi, 'an kera"atan elektron $ertam$ah 'engan √ E sesuai 'engan

"eningkatan kera"atan 'i 'alam 'aerah 3D) Kera"atan elektron mun&ul 'i $a4ah tingkat



energi Fermi 'an $erkurang se&ara eks"onensial 'ari k +T 'i atas tingkat energi Fermi 'an

sam"ai menyentuh 'i atas .akum "a'a suhu tinggi) Koreksi energi ermi oleh suhu yaitu :

E * (T )= E * (0 )(1−'

2

12

( k + T

E * (0) )

2

)

'an koreksi energi Fermi 'a"at 'ia$aikan 'alam $e$era"a ri$u Kel.in karena energi

"anas jauh le$ih ren'ah 'ari tingkat energi Fermi "a'a suhu nol)

Teori me'an ga$ungan 'an emisi termionik 'i"ertim$angkan "a'a suhu yang

$eru$ahu$ah 'an me'an listrik am$ar 1 menunjukkan 'iagram skematik 'ari elektron

ter"a'u teori emisi) Distri$usi kera"atan elektron mengikuti "ersamaan (1 untuk suhu

tertentu) !a'a $ias nol, ele&tron 'i $a4ah .akum ti'ak $isa menem$us karena "em$atas

kete$alan ter$atas) Kete$alan "enghalang 'iu$ah oleh energi "otensial P (J H AF J

karena 'itera"kan me'an listrik F, se"erti 'itunjukkan "a'a am$ar) 1) Alektron 'engan

energy tingkat yang le$ih ren'ah 'ari tero4ongan .akum ke 'alam .akum melalui

"enghalang ti"is yang 'ise$a$kan oleh me'an listrik, 'an menye$a$kan me'an emisi)

Alektron 'engan tingkat energi le$ih tinggi 'ari .akum memiliki energi "anas yang &uku"

untuk mengatasi ungsi kerja 'an menye$a$kan emisi termionik) total kera"atan arus

'ari emisi elektron ter'iri 'ari kera"atan arus termionik 'an me'an emisi)

Total kera"atan arus :

C H CF ; CT

'imana CF a'alah kera"atan arus 'ari me'an emisi ele&tron yang keluar 'ari "ermukaan

logam melalui me'an listrik, 'an CT kera"atan arus emisi termionik 'i mana elektron

keluar 'ari "ermukaan logam melalui energi "anas) Me'an emisi 'i'einisikan se$agai

emisi elektron 'ari "ermukaan ase terkon'ensasi ke ase lain, $iasanya .akum, 'i $a4ahtin'akan $i'ang tinggi listrik (36 10RP 8 &m

, =, * +, T

'engan



E * +¿∅-en ( E ) x ( E ) / ( E )dE

, * =∫0

¿

¿

/=4 √ E√ E * +∅-− E

E * +∅-

e−4k ( E * +∅-− E)3/2 /3 *

dengan0k =√8 '

2m

%2

, * =4 'mek + T

%3 ∫

0

E * +∅-

∫0

1dy

e( E− E *

k +

T )+ y

+1

/ ( E ) dE

− E− E *

k +T

/ ( E ) ln (1+exp (¿))dE

, * =4 'mek + T

%3 ∫

0

E * +∅

-

¿

, * =16'mek +T

%3( E * +∅-)

∫0

E * +∅-

dE√ E √ E * +∅-− E ln(1+exp(− E− E *

k + T ))e−4k ( E * +∅-− E)3 /2/3 *

Cika "en'ekatan "ertama a'alah $atas tem"erature nol, maka a&tor ln(1+exp(− E− E *

k + T ))

menja'i( E− E *

k + T )

sehingga ra"at arus 'i me'an emisi elektron a'alah se$agai $erikut :

CF H

16 'mek +T

%3( E f +∅- )

∫0

E *

dE √ E√ E * +∅-− E ( E * − E)e−4k ( E * −∅-− E )3 /2/3 *



CF H

16 'mek +T

%3( E f +∅- )

√ E∅- e−4 k (∅-)3 /2/ 3 * ∫

0

1

dxxe−2 xk √ ∅- / *

CF

¿ e

2 '%

√ E *

(∅- E * )√ ∅-

* 2e−4k (∅-)3/2 /3 *

'an untuk ra"at arus emisi termionik a'alah se$agai $erikut :

CT H ∫ E

* +∅

-

1

en ( E ) x ( E ) dE

CT H

4 'mek + T

%3 ∫

E * +∅

-

1

∫0

1d y

e

( E− E

*

k +

T )

+1

dE

(− E− E *

k + T )

1+exp¿dE¿

ln ¿

, T =4 'mek + T

%3 ∫

E * +∅-

1

¿

Cika

(− E− E *

k + T )

1+exp¿ln ¿

menja'iexp(

− E− E *

k + T )

maka,

, T =4 'mek + T

%3 ∫

E * +∅

-

1

exp(− E− E *

k + T )dE

, T =4 'mek +2

%3

T 2 e−∅- /k +T

se%ingga ra"at arus total a'alah se$agai $erikut :

, =, * +, T



, = e

2'%

√ E *

(∅- E * )√ ∅-

* 2e−4k (∅- )3/2 /3 *

+4 'mek +

2

%3

T 2e−∅- /k +T

makalah emisi elektron fd

Documents