BAB I

PENDAHULUAN

I.1. Latar Belakang

Struktur aljabar merupakan himpunan yang tidak kosong dengan satu atau lebih operasi

biner dan aksioma-aksioma yang berlaku. Misalkan himpunan tak kosong dengan operasi biner

“ ¿ ” serta memenuhi akisoma tertutup dan asosiatif maka akan membentuk struktur aljabar

yang disebut semigrup. Jika suatu semigrup mempunyai elemen identitas dan setiap elemennya

mempunyai invers maka disebut grup. Mula-mula diperkenalkan himpunan tak kosong dengan

satu operasi biner, selanjutnya diperkenalkan himpunan tak kosong dengan dua operasi biner

yang memenuhi aksioma-aksioma tertentu. Sebuah himpunan disebut ring jika himpunan

merupakan grup komutatif terhadap operasi penjumlahan, operasi pergandaannya bersifat

asosiatif, serta kedua operasi penjumlahan dan pergandaannya bersifat distributif kanan dan

distributif kiri. Dari sifat-sifat ini dapat diperlemah dan menjadi struktur aljabar yaitu semiring

yang merupakan semigrup terhadap kedua operasi binernya selanjutnya memenuhi distributif

kanan dan distributif kiri.

I.2. Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan, permasalahan yang akan dibahas dalam

makalah ini adalah mengenai operasi biner dan grup.

I.3. Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan makalah ini adalah untuk mengetahui defenisi operasi biner dan grup beserta

sifat-sifatnya.

1

BAB II

ISI

II.1 OPERASI BINER

Operasi biner dinotasikan ¿ adalah operasi yang memasangkan / memetakan elemen a

dan b ke suatu elemen c ditulis a∗b=c (Baca a operasi b=c ¿. Operasi penjumlahan, perkalian,

pembagian, perpangkatan pada bilanga real adalah contoh-contoh operasi biner. Diketahui S

himpunan dan a ,b∈S. Operasi biner ¿ pada Smerupakan pengaitan pasangan elemen (a ,b)

pada , yang memenuhi dua kondisi berikut:

1. Setiap pasangan elemen (a ,b) pada Sdikaitkan dengan tepat satu elemen di S (tunggal).

2. Setiap elemen yang dikaitkan dengan pasangan elemen(a ,b) pada S merupakan elemen di S

(tertutup).

Contoh 1 :

Ssuatu himpunan tag kosong, didefinisikan suatu operasi biner pada S sebagai berikut :

x∗y=x ∀ x , y∈S

JIka S terhingga, misalnya S={m ,n ,o , p } maka operasi tersebut dapat disajikan pada tabel

Cayley berikut :

Tabel di atas dinamakan daftar Cayley yang akan sering digunakan untuk selanjutnya.

2

¿ m n o p

m

n

o

p

m m m m

n n n n

o o o o

p p p p

Contoh 2 :

Misalkan B= himpunan bilangan bulat. Operasi +¿ (penjumlahan) pada B merupakan

operasi biner, sebab operasi +¿ merupakan pemetaan dari ( B∗B ) → B , yaitu

∀ (a , b )∈B∗B maka (a+b)∈B. Jumlah dua bilangan bulat adalah suatu bilangan bulat

pula. Operasi ÷ (pembagian) pada B bukan merupakan operasi biner pada B sebab

terdapat (a , b )∈B sedemikian sehingga (a÷ b)∉B, misalnya (3,4)∈B dan (3÷ 4)∉B.

Contoh 3 :

Diketahui G=Z, yaitu himpunan semua bilangan bulat. Didefinisikan operasi ¿ pada Z dengan

syarat untuk setiap , b∈Z , a∗b=a+b . Apakah operasi ¿ merupakan operasi biner pada Z?

→ Pertama, akan ditunjukkan bahwa operasi ¿ merupakan operasi yang tertutup. Dapat

diperhatikan bahwa sesuai dengan sifat bilangan bulat, maka penjumlahan dua bilangan

bulat akan menghasilkan bilangan bulat juga. Sehingga dengan demikian ¿b=a+b∈Z .

Jadi, terbukti operasi ¿merupakan operasi yang tertutup.

→ Kedua, akan ditunjukkan bahwa operasi ¿ merupakan operasi yang terdefinisi dengan

baik. Dapat diperhatikan bahwa sesuai dengan sifat bilangan bulat, maka setiap dua

bilangan bulat dapat dijumlahkan dan menghasilkan bilangan bulat. Jadi, terbukti operasi

¿ merupakan operasi yang terdefinisi dengan baik.

Jadi, operasi ¿ merupakan operasi biner pada Z.

Contoh 4 :

Didefinisikan operasi ¿ pada Z dengan syarat untuk setiap , b∈Z , a∗b=a÷ b .

Apakah operasi ¿ merupakan operasi biner pada Z ?

Diperhatikan bahwa jika a=1 dan b=2 akan berakibat a∗b=1∗2=1÷ 2∉Z. Jadi,operasi

¿ tidak memenuhi kondisi tertutup. Diperhatikan juga bahwa jika a=1 dan b=0 akan

berakibat a∗b=1∗0=1 ÷ 0 yang tidak bisa didefinisikan. Jadi,operasi ¿tidak memenuhi

kondisi terdefinisi dengan baik.

Jadi, operasi ∗ bukan merupakan operasi biner pada Z .

II.1.1 SIFAT-SIFAT OPERASI BINER

Operasi ¿ pada himpunan S dikatakan :

3

1. Komutatif,

jika a∗b=b∗a, ∀a ,b ∈S.

2. Asosiatif,

jika (a∗b)∗c=a∗(b∗c) , ∀a ,b , c∈S .

3. Mempunyai identitas,

jika terdapat e sedemikian hingga a∗e=e∗a=a, ∀a∈S.

≫Identitas Kiri,

jika terdapat e1 sedemikian hingga e1∗a=a, ∀a∈S.

≫Identitas Kanan,

jika terdapat e2 sedemikian hingga a∗e2=a, ∀a∈S.

4. Mempunyai sifat invers,

jika untuk setiap a terdapat a−1sedemikian hingga a∗a−1=a−1∗a=e, dimana e adalah

elemen identitas untuk operasi ¿ dan a−1 disebut invers dari elemen a.

5. Distributif terhadap operasi +¿ dan ¿,

jika untuk setiap a ,b , c berlaku

a∗(b+c )=(a∗b )+(a∗c )

dan

(b+c )∗a=(b∗a )+(c∗a).

Contoh 1

Operasi biner penjumlahan biasa adalah sebuah operasi yang bersifat komutatif, karena

untuk sembarang bilangan x dan y berlaku x+ y= y+x .

Operasi penjumlahan bersifat asosiatif, karena untuk sembarang x , y , zberlaku

( x+ y )+z=x+( y+z ) . Identitas untuk operasi penjumlahan adalah 0. Invers penjumlahan untuk

sembarang bilangan padalah −p ,karena p+(−p)=0.

Contoh 2 :

Operasi perkalian bersifat distributif terhadap operasi penjumlahan, karena untuk setiap

bilangan a ,b dan c berlaku

4

a × (b+c )= (a×b )+ (a×c ) . dan

(b+c )× a= (b×a )+ (c× a )

Operasi penjumlahan tidak bersifat distributif terhadap operasi perkalian, karena terdapat p ,q

dan r dimana

p+(q × r ) ≠ ( p+q ) × ( p+r ) .

Seperti

2+(3× 4 ) ≠ (2+3 ) × (2+4 ) .

Contoh 3 :

Z+¿:¿ Himpunan bilangan bulat positif, bahwa operasi ¿ didefinisikan sebagai berikut :

a∗b=a , ∀a ,b∈Z+¿¿ . Operasi tersebut merupakan operasi biner tetapi tidak berlaku sifat

komutatif, misalnya : pilih a=5 dan b=7, maka 5∗7=5 sedangkan 7∗5=7. Jadi a∗b≠ b∗a.

II.1.2 Definisi Sifat Tertutup

Himpunan S dikatakan tertutup terhadap terhadap operasi biner ¿, jika untuk setiap

a ,b∈S , berlaku a∗b∈S .

Contoh

1. Himpunan bilangan bulat Z tertutup terhadap operasi penjumlahan biasa, karena untuk

setiap x , y∈Z .Berlaku x+ y∈Z

2. Himpunan bilangan bulat Z tidak tertutup terhadap operasi pembagian biasa, karena

terdapat 2 ,3∈Zdimana 2 :3∉Z .

3. Misalkan A={0,1 } .

A tertutup terhadap operasi perkalian bisa karena :

0 × 0=0∈ A

5

0 ×1=0∈ A

1 ×0=0∈ A

1 ×1=1∈ A

A tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan biasa karena 1+1=2∉ A .

II.2 GRUP

G suatu himpunan tak hampa, ¿ merupakan suatu operasi maka ¿ dikatakan grup jika dan

hanya jika memenuhi sifat berikut:

1. a∗b ϵ G ,∀a ,b ϵ G

2. a∗(b∗c )= (a∗b )∗c , ∀a ,b , c ϵ G

3. ∃ e∈G ∍ a∗e=e∗a ,∀ a∈G

4. ∀a∈G ,∃a−1∈G ∍ a∗a−1=a−1∗a=e

Keempat sifat tersebut dinamakan aksioma-aksioma grup. Sifat pertama disebut sifat

tertutup operasi ¿ pada elemen G, sifat kedua disebut sifat assosiatif operasi ¿ pada elemen G,

sifat ketiga disebut adanya elemen netral/identitas di G, dan sifat keempat disebut adanya elemen

invers di G.

Contoh 1:

Misalkan G=Z × Z={(a , b)∨a ,b∈Z }. Didefinisikan operasi biner ¿ pada G, yaitu

∀(a , b),(c ,d )∈G berlaku (a ,b)∗(c , d )=(a+c , b+d ) . Apakah G merupakan grup terhadap

operasi ¿?

Jelas bahwa G bukan merupakan himpunan kosong, karena (1,1)∈G . Akan ditunjukkan bahwa

Gmemenuhi sifat asosiatif. Untuk sebarang (a ,b) ,(c , d ),(e , f )∈G, dan dengan menggunakan

sifat bilangan bulat diperhatikan bahwa:

( ( a ,b )∗( c , d ) )∗(e , f )=(a+c , b+d )∗(e , f )¿ (a+c+e , b+d+ f )¿ (a ,b )∗(c+e , d+ f )

¿ (a ,b )∗( (c , d )∗( e , f ) ) .

6

Jadi terbukti bahwa sifat asosiatif berlaku.

JIka dipilih elemen (0,0)∈G, maka untuk setiap (a ,b)∈G akan berlaku :

(0,0 )∗(a , b )=(0+a ,0+b )¿ (a ,b )¿ (a+0 , b+0 )¿ (a ,b )∗(0,0)

Jadi (0,0 )∈G merupakan elemen identitas pada G.

Untuk sembarang (a ,b)∈G dipilih elemen (−a ,−b)∈G, sehingga akan berlaku :

(a , b )∗(−a ,−b )=(a+ (−a ) , b+(−b ) )

¿ (a−a ,b−b )¿ (0,0 )¿ ( (−a )+a , (−b )+b )¿(−a ,−b)∗(a ,b).

Jadi setiap elemen (a ,b)∈G memiliki elemen invers terhadap operasi ¿ yaitu (−a ,−b)∈G.

Karena keempat aksioma berlaku maka G merupakan grup terhadap operasi ¿.

II.2.1 Defenisi Komutatif

Suatu grup ¿ disebut komutatif jika dan hanya jika berlaku a∗b=b∗a , ∀a , b ϵ G.

Contoh :

Grup ¿ pada Contoh 1 pada grup merupakan grup komutatif karena untuk setiap

(a ,b) ,(c , d )∈G berlaku (a ,b)∗(c , d )=(a+c , b+d )=(c+a , d+b)=(c , d)∗(a , b) , sesuai dengan

sifat komutatif pada penjumlahan bilangan bulat.

7

BAB III

PENUTUP

III.1 Kesimpulan

1. Operasi ¿ merupakan operasi biner pada S, jika setiap pasangan elemen (a ,b) pada S

dikaitkan dengan tepat satu elemen di S (tunggal) dan setiap elemen yang dikaitkan

dengan pasangan elemen(a ,b) pada S merupakan elemen di S.

2. Sifat-sifat operasi biner adalah komutatif, asosiatif, identitas, invers dan distributif.

3. Himpunan S dikatakan tertutup terhadap terhadap operasi biner ¿, jika untuk setiap

a ,b∈S . berlaku a∗b∈S .

4. Sifat-sifat pada grup adalah : tertutup, asosiatif, identitas dan invers.

5. Suatu grup ¿ disebut komutatif jika dan hanya jika berlaku a∗b=b∗a , ∀a , b ϵ G.

6. Suatu operasi biner ¿ dikatakan grup jika dan hanya jika memenuhi ke-4 sifat pada grup.

8

DAFTAR PUSTAKA

Saragih, Sahat.2012.Struktur Aljabar 1.Medan : Penerbit LARISPA

Wijna.2008. Struktur Aljabar.Yogyakarta : Universitas Gajah Mada

http://www.google.co.id/url?

sa=t&rct=j&q=operasi+biner&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CB4QFjAA&url=http%3A%2F

%2Fdina_indarti.staff.gunadarma.ac.id%2FDownloads%2Ffiles%2F29173%2FOPERASI

%2BBINER.pdf&ei=VqZRUMHvDMqxrAfP7ICwCg&usg=AFQjCNEo1oXa7aVT65s7BmbxJ9GLKlf0Vw

http://wijna.web.ugm.ac.id/1-Grup.pdf

9