PITA ENERGI

Disusun untuk memenuhi tugas semester 8 dari dosen mata kuliah Pendahuluan

Zat Padat

Disusun Oleh :

Kelompok : 5

Nama : 1. Rina Dwi Aruprihartini Mulyaningsih (3215086789)

2. Fitria Herliana (3215086787)

3. Silvia Rahmawati (3215086786)

4. Agnes Novita Sari (3215086811)

5. Giri Puspita (3215086778)

Program Studi : Pendidikan Fisika Non Reguler’08

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA & ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA

2012

KATA PENGANTAR

Assalaamu’alaikum warahmatullahi wabarakaatuh,

Pertama-tama kami panjatkan puji dan syukur ke hadirat Allah SWT,

karena dengan rahmat, taufik, dan hidayah-Nyalah saya dapat menyelesaikan

makalah Pendahuluan Fisika Zat Padat yang berjudul Pita Energi ini.

Adapun tujuan kami menyusun makalah ini adalah untuk memenuhi tugas

dari dosen mata kuliah Pendahuluan Fisika Zat Padat serta untuk menambah

pengetahuan kami tentang pita energi.

Dalam menulis makalah ini, tidak lupa kami sampaikan ucapan

terimakasih kepada kedua orang tua dan keluarga atas segala do’a serta

motivasinya, Bapak Dr. Erfan Handoko, M.Si selaku dosen mata kuliah

Pendahuluan Fisika Zat Padat yang telah berkenan memberikan tugas ini kepada

kami.

Kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna. Oleh

karena itu, kami mengharapkan kritik dan saran demi perbaikan di masa yang

akan datang.

Wassalaamu’alaikum warahmatullahi wabarakaatuh

Jakarta, 24 Mei 2012

Penyusun

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Model elektron bebas dapat memberikan penjelasan yang baik terhadap

kapasitas panas, hantaran listrik dan kalor, kelemahan magnet dan

elektrodinamika logam Namun model ini tidak bisa memberikan penjelasan

terhadap berbagai masalah seperti:

1. Perbedaan di antara logam-logam, semi-logam, semi-konduktor dan

isolator

2. Terjadinya harga koefisien Hall yang positif

3. Hubungan antara elektron konduksi dalam logam terhadap elektron valensi

atom-atom bebas

4. Banyak sifat-sifat transport terutama mengenai magneto transport

Daya hantar listrik superkonduktor saat 1 K, < 10-10 Ω-cm sedangkan daya

hantar listrik dari isolator yang baik adalah > 1022 Ω-cm. Sifat tahanan listrik ini

dipengaruhi oleh suhu.

Untuk dapat menerangkan sifat daya hantar listrik zat padat diperlukan

sebuah model. Model yang dikembangkan adalah model elektron hampir bebas

dan teori pita energi.

1.2 Tujuan Penulisan

1. Memenuhi tugas mata kuliah pendahuluan fisika zat padat

2. Mempelajari teori pita energi

3. Mempelajari asal mula serta besar dari celah energi

4. Mempelajari fungsi Bloch dan model Kronigg-Penny

5. Mempelajari fungsi gelombang elektron dalam potesial periodik

6. Mempelajari jumlah orbital di dalam sebuah pita

1.3 Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

1.2 Tujuan

1.3 Sistematika Penulisan

BAB II PEMBAHASAN

A. Model Elektron Hampir Bebas

1. Asal Mula Celah Energi

2. Besar dari Celah Energi

B. Fungsi Bloch

C. Model Kronig-Penny

D. Fungsi Gelombang Elektron dalam Potensial Periodik

1. Pernyataan Ulang Teorema Bloch

2. Momentum Kristal Sebuah Elektron

3. Solusi dari Persamaan Pusat

4. Model Kronig-Penny Dalam Ruang Kisi Balik

5. Pendekatan Kisi Kosong

6. Solusi Pendekatan Dekat Zona Batas

E. Jumlah Orbital dalam Sebuah Pita

1. Logam dan Isolator

BAB III PENUTUP

3.1 Kesimpulan

BAB II

KAJIAN TEORI

A. Model elektron Hampir Bebas

Dari bab 6 telah diketahui bahwa persamaan distribusi energi model

elektron bebas adalah:

Dimana kondisi batas pada kubus dengan sisi L adalah:

Fungsi gelombang elektron bebas

Teori elektron bebas memiliki kegagalan dalam menjelaskan perbedaan

antara konduktor, semikonduktor dan isolator. Oleh karena itu, agar kita dapat

memahami perbedaan tersebut, kita menggunakan teori yang mirip dengan teori

elektron bebas tetapi sedikit dimodifikasi, yaitu model elektron hampir bebas.

........ 1

........ 2

........ 3

Gambar 1 kurva a. Energi sebagai fungsi vektor gelombang k menurut model elektron bebas.

syarat terjadinya difraksi Bragg adalah ( k + G )2 = k2.

Dalam satu dimensi, persamaan tersebut menjadi:

dimana G = 2nπ/a adalah vektor kisi resiprok dan n adalah bilangan bulat. Celah

energi pertama terjadi untuk nilai k = + π/a. Ingat bahwa daerah antara - π/a

dengan + π/a disebut daerah Brillouin pertama. Celah energi-celah energi yang

lainnya terjadi untuk nilai-nilai k yang merupakan kelipatan dari + π/a.

Fungsi gelombang di titik k = + π/a merupakan fungsi gelombang hasil

interferensi antara gelombang yang berjalan ke kanan dan ke kiri. Hal ini dapat

terjadi jika syarat difraksi Bragg terpenuhi oleh fungsi gelombang k. Hasilnya,

fungsi gelombang di titik k = + π/a merupakan gelombang berdiri.

Fungsi gelombang berdiri tersebut terdiri atas dua macam, yaitu fungsi

gelombang yang saling menguatkan dan fungsi gelombang yang saling

melemahkan. Secara matematik, kedua fungsi gelombang berdiri tersebut dapat

dibentuk dari fungsi gelombang yang berjalan ke kanan dan ke kiri, yaitu sebagai

berikut:

Gambar 2 kurva b. Kurva energi (E) sebagai fungsi vektor gelombang (k)

dalam sebuah kristal monoatomik satu dimensi dengan konstanta kristal

sebesar a. Celah energi Eg yang ditunjukkan terjadi pada k = ± /a. Celah

energi lainnya ditemukan pada ± n/a, untuk nilai integral dari n.

........ 4

1. Asal Celah Energi

Asal mula adanya celah energi yaitu kedua fungsi gelombang φ (+) dan φ

(-) (seperti persamaan 5) menumpukkan elektron di dua tempat yang berbeda,

dan karena itu, kedua kelompok elektron itu memiliki nilai energi potensial yang

berbeda.

Kerapatan muatan pada kedua gelombang berdiri tersebut adalah:

Persamaan di atas akan menumpukkan elektron di atas ion-ion positif yang

dipusatkan di titik-titik x = 0, + a, + 2a, + 3a, dst. Lihat gambar 3, kelompok

elektron ini berada di daerah yang berenergi potensial rendah.

Persamaan di atas akan menumpukkan elektron-elektron tersebut di tengah-tengah

antara ion-ion positif tersebut, sehingga elektron-elektron ini memiliki energi

potensial yang tinggi.

........ 5

Gambar 3

Fungsi gelombang di titik A tepat di bawah celah energi pada gambar 2 di

atas adalah φ (+) sedangkan di titik B tepat di atas celah energi adalah φ (-).

2. Besar Celah Energi

Fungsi gelombang pada batas zona Brillouin k = π/a adalah

dan yang dinormalisasikan.

Kita misalkan energi potensial sebuah elektron di titik x dalam kristal itu sebagai:

Maka kita dapat menentukan nilai energi celah, Eg (yaitu perbedaan energi antara

kedua gelombang berdiri) sebagai berikut:

........ 6

Jadi, nilai energi celah ini sama dengan komponen dari deret Fourier energi potensial.

B. Fungsi Bloch

Fungsi Bloch membuktikan perlunya teorema bahwa solusi dari

persamaan Schrodinger untuk  potensial periodik harus dalam bentuk khusus.

= periode kisi kristal

Teorema Bloch:

Fungsi eigen dari persamaan gelombang untuk suatu potensial periodik adalah

hasil kali antara suatu gelombang bidang dengan suatu fungsi

dengan periode sifat kisi kristal.

Fungsi Bloch berlaku ketikatidak berdegenerasi, yaitu ketika tidak ada fungsi

gelombang lain dengan energi sama dan vektor gelombang sebagai .

N = kisi kristal pada lingkaran Na

Energi potensial dalam a, dimana U (x) = U (x + sa), dimana s adalah bilangan

bulat. Maka solusi dari fungsi gelombang adalah:

Dimana C adalah konstan, maka kejadian di sekitar lingkaran Na adalah:

karena harus bernilai tunggal.

........ 7

........ 8

Maka kita dapat melihat bahwa:

Dimana:

C. Model Kronig-Penney

Potensial periodik yang merupakan persamaan gelombang dapat

diselesaikan dalam fungsi dasar seperti pada gambar 4. Persamaan gelombangnya

adalah:

Dimana:

U(x) = energi potensial

= nilai eigen energi

Model ini menjelaskan tingkah laku elektron dalam sebuah energi

potensial yang periodik, dengan menganggap energi potensial periodik itu

merupakan deretan sumur energi potensial persegi seperti ditunjukkan dalam

gambar 4 di bawah ini.

........ 9

........ 10

........ 11

Gambar 4 Energi potensial periodik satu dimensi yang digunakan oleh Kronig dan Penney.

Di dasar sumur, yaitu untuk 0 < x < a, elektron dianggap berada di sekitar

sebuah inti atom (atau diantara dua inti atom), dan energi potensialnya dianggap

nol, sehingga di daerah ini elektron bertingkah sebagai elektron bebas.

Sebaliknya, di luar sumur, yaitu untuk –b < x < 0, energi potensial elektron

dianggap sama dengan U0.

Fungsi-fungsi gelombang elektron diperoleh dari persamaan Schrodinger

untuk kedua daerah (yaitu daerah 0 < x < a, dan daerah –b < x < 0) sebagai

berikut:

Wilayah 0 < x < a saat U = 0, eigenfunction adalah kombinasi linear

Bidang gelombang berjalan ke kanan dan ke kiri, dengan energi:

Dalam daerah –b < x < 0 solusi penghalangnya berbentuk

Dengan

Solusi dari persamaan (7) pada wilayah a < x < a + b harus dikaitkan

dengan solusi persamaan (14) pada wilayah –b < x < 0 dengan teorema Bloch:

Konstanta A, B,C, D dipilih sehingga dan kontinu pada x = 0 dan x = a.

Saat x = 0

A + B = C + D

iK(A – B) = Q(C – D)

........ 12

........ 13

........ 14

........ 15

........ 16

........ 17

........ 18

Saat x = a

Dengan menggunakan persamaan 16, didapat:

Keempat persamaan linier yang homogen ini (Persamaan 17 sampai 20)

akan memiliki solusi jika determinan dari koefisien-koefisien A, B, C, dan D

adalah sama dengan nol. Atau jika

Hasilnya akan menjadi sederhana, ketika batasnya b = 0 dan U = ~

menjadi Q2ba/2 = P. Dalam batas ini Q > K dan Qb < 1. Kemudian 21a mereduksi

menjadi:

(P/Ka) sin Ka + cos Ka = cos ka

Gambar 5

........ 19

........ 20

........ 21 a

........ 21 b

D. Fungsi Gelombang Eletron Dalam Potensial Periodik

Deret Fourier untuk energi potensial:

Fungsi nyata dari UG adalah:

Secara eksplisit, persamaan gelombang adalah:

Fungsi gelombang ψ(x) dapat dinyatakan sebagai deret Fourier

Dimana

k = bilangan real (k = 2πn/L)

n = bilangan bulat

Untuk menyelesaikan persamaan gelombang, kita subtitusikan persamaan 25 ke

dalam 24.

Energi Kinetik

........ 22

........ 23

........ 24

........ 25

Energi Potensial

Persamaan gelombang merupakan jumlah dari energi kinetik dan energi potensial:

Setiap komponen Fourier harus memiliki koefisien yang sama pada kedua sisi

persamaan ini

Dengan notasi

1. Pernyataan Ulang Teorema Bloch

Bila kita menentukan C pada persamaan 27, persamaan gelombang pada

persamaan 25 menjadi:

Menurut aturan

Dengan

Karena uk (x) adalah deret Fourier vektor kisi resiprok dan T adalah

translasi kisi kristal, maka uk (x) = uk (x + T). Maka:

........ 26

........ 27

........ 28

........ 29

Karena exp (-iGT) = 1, maka uk (x + T) = uk (x). Ini merupakan bukti dari

teorema bloch yang berlaku bahkan saat ψk berdegenerasi.

2. Momentum Kristal Sebuah Elektron

Arti penting dari k vektor gelombang digunakan untuk label fungsi Bloch:

Dalam translasi kisi kristal yang membawa r pada r + T, kita mempunyai

Karena uk (r + T) = uk (r) dengan demikian exp (ik.T) adalah faktor fase

dimana fungsi Bloch dikalikan ketika kita membuat translasi kisi kristal.

Jika potensi kisi hilang, persamaan pusat mengurangi ke (λk – ε)C(k) = 0,

sehingga semua C (k - G) adalah nol kecuali C (k), dan dengan demikian

uk (r) adalah konstan. Kami memiliki ψk(r) = ℯikr , seperti untuk elektron

bebas.

k masuk dalam hukum yang mengatur peristiwa tabrakan dalam kristal.

3. Solusi dari Persamaan Pusat

Persamaan 27 disebut persamaan pusat

Persamaan tersebut merupakan satu set persamaan linear yang

menghubungkan koefisien C(k – G) untuk semua vektor resiprok G. Persamaan

ini akan konsisten jika determinan dari koefisien sama dengan 0.

Kita asumsikan bahwa energi potensial U (x) hanya mengandung satu komponen

Fourier Ug = U-g yang dinotasikan oleh U. Koefisien determinannya:

........ 30

........ 31

........ 32

Dengan k yang diberikan, setiap akar E atau Ek terletak di sebuah pita

energi yang berbeda, kecuali dalam kasus kebetulan.

4. Model Kronig-Penny Dalam Ruang Kisi Balik

Persamaan 31 diselesaikan dengan model Kronig Penney pada delta

periodik-fungsi potensial.

Dimana A adalah konstan dan a adalah kisi spasi. Jumlah yang lebih dari semua

bilangan buat s antara 0 dan 1/a. Syarat batas berkala atas cicin satuan panjang,

yang berarti lebih dari 1/a atom. Dengan demikian koefisien fourier potensial

adalah:

Kami tulis persamaannya dengan k sebagai indeks Bloch, ini menjadi:

Di mana dan jumlah yang lebih dari semua bilangan bulat n, kita

ingin memecahkan persamaan diatas untuk kita mendefinisikan

Maka persamaannya menjadi

........ 33

........ 34

........ 35

........ 36

........ 37

Karena jumlah persamaan 36 adalah semua koefisien C, kita memiliki untuk

setiap n yaitu:

Hubungan ini dapat dituliskan

Jumlah kedua belah pihak untuk mendapatkan semua n, menggunakan persamaan

36 dan menghilangkan f(k) dari kedua belah pihak

penjumlahan dapat dihitung dengan bantuan hubungan standar

setelah manipulasi trigonometri di mana kita menggunakan hubungan untuk

selisih dua cotangents dan produk dari dua sinus, jumlah pada persamaan (40)

menjadi

Dimana

Hasil dari persamaan (40) adalah

yang sesuai dengan hasil Kronig-Penney (21b) dengan P ditulis untuk .

5. Pendekatan Kisi Kosong

Struktur pita yang sebenarnya biasanya dipamerkan sebagai bidang energi

berlawanan dengan vektor gelombang di zona Brilouin pertama. Ketika vektor

gelombang diberikan di luar zona pertama, mereka dibawa kembali ke dalam zona

pertama dengan mengurangi vektor kisi cocok timbal balik.

........ 38

........ 39

........ 40

........ 41

........ 42

........ 43

Ketika energi pita yang diperkirakan cukup baik dengan energi elektron

bebas , disarankan untuk memulai perhitungan dengan melakukan

energi elektron bebas kembali ke dalam zona pertama. Prosedur ini cukup

sederhana sekali Anda dapat menguasainya. Cari nilai G sehingga k ’ di zona

pertama dapat ditentukan.

di mana k tidak terbatas dan merupakan vektor gelombang elektron bebas dalam

kisi kosong.

Jika kita menjatuhkan K sebagai bagasi yang tidak perlu, energi elektron bebas

selalu dapat ditulis sebagai

Dengan K di zona pertama dan G diizinkan untuk menjalankan lebih dari titik-

titik kisi timbal balik. Misalkan, kita ingin menunjukkan energi sebagai fungsi

dari K dalam bidang arah [100] . Untuk, pilih unit tersebut bahwa . Kami

menunjukkan beberapa dataran rendah di pita ini pendekatan kisi kosong dengan

energi mereka di k = 0 dan panjang sumbu kx di zona pertama.

Pita-pita elektron bebas diplot pada Gambar 8.

Gambar 8

Perkiraan solusi Dekat Batas Zona

Vektor gelombang pada batas zona 1/2G, yaitu pada /a.

sehingga pada batas zona energi kinetik dari dua komponen gelombang K=

1/2G adalah sama.

Jika C (1/2G) adalah koefisien penting dalam 29 orbital pada batas zona, daripada

C (-1/2G) juga merupakan koefisien penting. Hasil ini juga mengikuti dari

disscussion dari 5. Kami retaint hanya persamaan dalam persamaan pusat yang

mengandung kedua koefisien C (1/2G) dan C (-1/2G), dan mengabaikan semua

koefisien lainnya.

Satu persamaan 31 menjadi, dengan K = 1/2G dan

persamaan dari 31 menjadi

Ini dua persamaan memiliki solusi trivial untuk koefisien benar jika e energi

memenuhi

........ 44

........ 45

........ 46

ketika

Energi ini memiliki dua akar, satu lebih rendah dari energi kinetik elektron

bebas oleh U, dan satu yang lebih tinggi dengan U. Jadi energi potensial 2 U cos

Gx telah menciptakan sebuah energi gap 2U pada batas zona. Rasio C mungkin

dari 44 atau 45:

langkah terakhir menggunakan persamaan 47. Jadi ekspansi Fourier pada

batas zona memiliki solusi dua.

Kami menggunakan pendekatan yang sama untuk komponen, sekarang dengan

fungsi gelombang dari formulir.

 Sebagaimana diarahkan oleh persamaan 31:

dengan λk didefinisikan sebagai . persamaan ini memiliki solusi jika

energi satis sebuah

Ketika

Energi ini memiliki dua akar:

Dan setiap akar menggambarkan sebuah pita energi, diplot pada gambar 9. Hal ini

........ 47

........ 48

........ 49

........ 50

........ 51

mudah memperluas energi, dalam hal K kuantitas (tanda atas K disebut tilde),

yang mengukur perbedaan wavevector antara K dan batas zona.

Di wilayah . Berikut seperti sebelumnya.

Gambar 9

dua akar batas zona 47 sebagai kita dapat menulis persamaan 51 sebagai:

Ini adalah akar untuk energi ketika wavevector sangat dekat dengan batas zona di

1/2G.

E. Jumlah Orbital Dalam Sebuah Pita

........ 52

Mempertimbangkan kristal dibentuk dari bilangan genap N dan kisi

konstan. Nilai-nilai yang diperbolehkan dari gelombang elektron vektor k di zona

Brilouin pertama adalah:

Kami memotong rangkaian di Nπ/L=π/a, ini adalah batas zona.

Titik -Nπ/L=-π/a tidak akan dihitung sebagai titik independen karena terhubung

dengan vektor kisi timbal balik dengan π/a,yaitu jumlah total sel N.

Setiap sel berkontribusi hanya satu nilai independen k untuk setiap kisi

energi. Hasil ini membawa lebih ke dalam tiga dimensi. dengan pertimbangandua

orientasi independen dari spin elektron, ada 2N orbital independen dalam

setiap kisi energi.

Ada atom tunggal valensi satu di setiap sel, kisi ini dapat setengah diisi

dengan elektron. Jika setiap atom memberikan kontribusi dua

elektron valensi untuk kisi, kisi ini bisa diisi penuh. Jika ada dua atom valensi satu

di setiap sel, kisi ini juga dapat diisi penuh.

1. Logam dan Isolator

Jika elektron valensi mengisi satu atau lebih kisi dan yang lain kosong

maka disebut isolator. Medan listrik eksternal tidak akan menimbulkan aliran arus

pada isolator. Kristal dapat menjadi isolator jika jumlah elektron valensi dari

kristal adalah bilangan bulat.

Logam-logam alkali dan logam-logam mulia memiliki 1 elektron valensi

per sel, sehingga mereka disebut logam. Logam alkali tanah memiliki 2 elektron

valensi, mereka bidsa menjadi isolator. Berlian, Silikon dan Germanium masing-

masing memiliki 2 atom valensi 4, sehingga ada 8 elektron valensi per sel.

........ 53

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

1. Solusi dari persamaan gelombang dalam kisi kristal dari Bloch

dimana uk (r) adalah sama dalam translasi kisi kristal.

2. Ada daerah energi yang bukan solusi dari fungsi Bloch. Energi ini

membentuk daerah terlarang dimana fungsi gelombang yang teredam

dalam ruang-ruang dan nilai-nilai k yang kompleks, seperti pada gambar

di bawah ini.

Adanya daerah energi terlarang merupakan syarat terjadinya isolator

3. Pita energi dapat didekati dengan satu atau dua bidang gelombang, contoh

4. Jumlah orbital dalam pita adalah 2N, dimana N adalah jumlah sel dalam specimen

,

dekat dengan daerah batas

B. Saran

Kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna. Oleh

karena itu, kami mengharapkan kritik dan saran demi perbaikan di masa yang

akan datang.

DAFTAR PUSTAKA

1. Charle Kittel, Introduction to Solid State Physics, sixth ed., John Wiley &

Sons, Inc., New York, 1996.