makalah
TRANSCRIPT
MAKALAH
IMPLEMENTASI INTEGRAL LIPAT DUA
UNTUK MENENTUKAN LUAS DAN VOLUME PADA KOORDINAT
KARTESIUS
Disusun Untuk Memenuhi Tugas
Mata Kuliah Kalkulus Lanjut II
Dosen Pengampu : Dra. Emi Puji Astuti
Oleh:
ISMIYATI (4101409010)APRI KURNIAWAN (4101409014)
DIAN SEPTIANI (4101409053) TEGUH ANANTA W (4101409115) VANI FEBRI ITSNANI (4101409080)
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2011
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Deskripsi
Makalah ini akan membahas tentang implementasi integral lipat dua dalam menghitung
luas dan volume.
1.2 Prasyarat
Materi Prasyarat yang diperlukan adalah sebagai berikut:
1. Geometri Dasar.
2. Kalkulus 1, Kalkulus 2, Kalkulus Lanjut 1.
1.3 Rumusan Masalah
Rumusan masalah dari makalah ini sebagai berikut:
1. Bagaimana menghitung luas menggunakan integral lipat dua.
2. Bagaimana menghitung volume menggunakan integral lipat dua.
1.4 Kompetensi dan Indikator
Kompetensi Dasar: Memahami dan menghitung luas dan volume menggunakan integral
lipat dua.
Indikator:
1. Mengetahui dan memahami konsep integral Riemann.
2. Mengetahui definisi integral lipat dua.
3. Memahami arti geometri integral lipat dua.
4. Mengetahui cara menghitung luas daerah dengan menggunakan integral lipat dua.
5. Mengetahui cara menghitung volume dengan menggunakan integral lipat dua.
1.5 Tujuan Pembelajaran
Mahasiswa mampu memahami dan dapat menghitung luas daerah dan volume benda
dengan menggunakan integral lipat dua.
yn
yj
yn-1
yj-1
qj
y1
c y0
d
Δyj
x1x0 x2 xi-1 pi xi xm-n
xm
a b
Δxi
ΔAij
YN
XN
ON
BAB II
PEMBAHASAN
A. INTEGRAL LIPAT DUA PADA DAERAH PERSEGI PANJANG
1. KONSTRUKSI INTEGRAL LIPAT DUA
Kita mempunyai fungsi dua peubah real
z = f(x,y)
yang terdefinisi pada daerah persegi panjang tertutup
P = [a,b] x [c,d] ={(x,y)│a ≤ x ≤ b,c ≤ y ≤ d}
1. Buatlah jaring Δ pada persegi panjang P dengan cara membagi [a,b] atas m
dan [c,d] atas n bagian sehingga diperoleh mn persegi panjang seperti
diperlihatkan pada gambar di bawah
Ukuran jaring Δ didefiniskan sebagai panjang diagonal terbesar dari
komponen jaringnya, ditulis dengan lambang ‖Δ‖. Luas komponen jaring ke –
ij adalah
Δ Aij = Δ xiΔ yi
di mana
Δ xi = xi - xi-1 dan Δ yi = yi – yi-1
2. Pilihlah titik [pi,qj] pada komponen jaring ke-ij, i = 1,2,...,m dan j =
1,2,...,n.lihat gambar
3. Definisikan bentuk jumlah
∑i=1
m
∑j=1
n
f ( p i , q j )Δx i Δyi atau
∑i=1
m
∑j=1
n
f ( p i , q j )ΔAij
yang dinamakan jumlah Riemann dari fumgsi f pada persegi panjang P.
4. Pehatikan bentuk limit jumlah Riemann
L= lim
‖Δ‖→0 ∑i=1
m
∑j=1
n
f ( p i , q j )Δx i Δyi
Jika limit ini ada, maka fungsi z = f (x,y) dikatakan terintegralkan secara
Riemann pada daerah persegi panjang P.
5. integral lipat dua dari fungsi z = f (x,y) pada persegi panjang teretutup P
didefinisikan sebagai limit jumlah Riemann ini (bila limitnya ada, dan ditulis
dengan lambang
∫p∫ f ( x , y )dxdy=
lim
‖Δ‖→0 ∑i=1
m
∑j=1
n
f ( p i , q j )Δx i Δyi
atau
∫p∫ f ( x , y )dA=
lim
‖Δ‖→0 ∑i=1
m
∑j=1
n
f ( p i , q j )ΔA ij
2. Arti geometri integral lipat dua
Jika fungsi z = f(x,y) kontinu dan f(x,y) ≥ 0 pada daerah persegi panjang
P, maka integral lipat dua
∫p∫ f ( x , y )dA
Menyatakan isi benda padat di ruang yang terletak di bawah permukaan z
= f(x,y) dan di atas persegi panjang P. Perhatikan benda padatnya pada gambar
di bawah.
pi
dca
bO qj
Z
Y
X
Z = f(x,y)
Dalam kasus f(x,y) =1, maka integral lipat dua pada daerah P menyatakan
luas persegi panjangnya sendiri, yaitu (b-a)(d-c).
B. INTEGRAL LIPAT DUA PADA DAERAH SEBARANG
1. Definisi Integral Lipat Dua pada Daerah Sebarang
Karena fungsi F bernilai nol pada P−0 ,maka integral lipat dua dari fungsi f pada
D DAPAT didefinisikan sebagai integral lipat dua dari fungsi F pada daerah
persegi panjang P , yang artinya telah kita pelajari.
Definisi
Misalkan fungsi z=f (x , y ) terdefinisi pada daerah D dan fungsi z=F (x , y )
terdefinisi pada persegi panjang P yang tepat memuat D dengan persamaan
f ( x , y ) ,bila ( x , y )∈D
F ( x , y )=¿
0 , bila ( x , y )∉D
Jika fungsi F terintegralkan pada P ,maka integral lipat dua dari fungsi f pada D
didefinisikan sama dengan integral lipat dua pada P ,yaitu
∬D
f ( x , y )dA=∬P
F ( x , y ) dA
Catatan :
Benda padat
z=f(x,y)
Y
Z
X
D
O
1. Dengan cara mendefinisikan integral lipat dua dari fungsi z=f (x , y ) pada
daerah D seperti diatas ,semua rumus integral lipat dua yang telah di pelajari
berlaku juga untuk integral lipat dua pada daerah D.
2. Integral lipat dua pada daerah sebarang lainnya dapat dinyatakan sebagai
sejumlah berhingga integral lipat dua dari bentuk yang terakhir .Lihat soal yang
diselesaikan.
2. Arti Geometri Integral Lipat Dua pada Daerah Sebarang
Jika fungsi z=f (x , y ) kontinu dan f ( x , y )≥ 0 pada daerah D ,maka integral lipat dua
∬D
F ( x , y ) d A
Menyatakan isi benda padat diruang yang terletak bawah permukaan z=f (x , y ) dan
di atas daerah D .Perhatikan gambar disebelah kiri bawah.
Gbr.1
X
Y
O a x b
D
Gbr.2
Dalam hal f ( x , y )=1 ,maka integral lipat dua pada daerah D Secara numerik menyatakan
luas daerah D sendiri. Perhatikan Gbr.2. Ini berarti bahwa luas daerah sebarang pada bidang
datar dapat ditampilkan dalam bentuk integral lipat dua.
3. Cara Menghitung Integral Lipat Dua pada Daerah Sebarang dengan Integral Lipat Dua
Pengantar :
Intagral lipat dua pada daerah tertutup sebarang D dapat dihitung dengan cara yang sama seperti
integral lipat dua pada daerah persegi panjang tertutup P. Disini cara perhitungannya dibagi dalam
dua kasus.
Cara Menghitung :
a. Kasus pertama :
Proyeksi D pada sumbu X adalah [ a , b ]
Pada kasus ini daerah D ditulis sebagai
X0
c
y
d
Y
D
D= {( x , y ) } ∣a ≤ x≤ b ,ϕ (x )≤ y ≤ψ (x )
Maka integral lipat duanya dapat ditulis sebagai
∬D
f ( x , y )dA=∫a
b [∫ϕ (x)
ψ (x)
f ( x , y ) dy] dx
Integral di ruas paling paling kanan berbentuk integral berulang yang seringkali ditulis tanpa
menggunakan kurung, yaitu
∬D
f ( x , y )dA=∫a
b
∫ϕ (x)
ψ ( x)
f ( x , y )dy dx
b. Kasus Kedua:
Proyeksi D pada sumbu Y adalah [ c , d ]
Pada kasus ini daerah D ditulis sebagai
D= {( x , y ) } ∣c ≤ y ≤ d ,ϕ( y)≤ x ≤ ψ ( y)
Maka integral lipat duanya dapat ditulis sebagai
∬D
f ( x , y )dA=∫a
b [ ∫ϕ ( y)
ψ ( y)
f ( x , y )dx ]dy
Integral di ruas paling paling kanan berbentuk integral berulang yang seringkali ditulis tanpa
menggunakan kurung, yaitu
∬D
f ( x , y )dA=∫a
b
∫ϕ ( y)
ψ ( y)
f ( x , y ) dx dy
C. Volum Benda Pejal Pada Daerah Persegi Panjang
Andaikan f (x , y )≥ 0 pada P di mana Padalah persegi panjang P= {( x , y ) :a≤ x ≤ b , c≤ y≤ d }
maka kita dapat menghitung volum V dari benda padat di bawah permukaan f (x , y )≥ 0
dengan menggunakan integral lipat dua ∬P
❑
f ( x , y )dAseperti terlihat pada gambar
1. Kasus 1
V=∬P
❑
f ( x , y )dA ………………… (1)
Irislah benda padat tersebut menjadi lempengan – lempengan tipis yang sejajar dengan
bidang xz. Kepingan khusus ditunjukkan pada gambar.
Luas muka lempengan ini bergantung pada seberapa jauh lempengan tersebut dari bidang xz
yaitu tergantung pada y. oleh karena itu, kita menyatakan luas ini dengan A( y) (lihat
gambar)
Y
X
Z
b
a0 c
P
z = f(x,y)
d
Volum ∆ V =A ( y )∆ y atau dapat juga dituliskan:
V=∫c
d
A ( y )dy
disisi lain, untuk y yang tetap, kita dapat menghitung A( y)dengan menggunakan integral
tunggal biasa yang dinyatakan dengan:
A ( y )=∫a
b
灐 f ( x , y )dx
Jadi kita mempunyai benda padat di mana luas penampang melintangnya adalah A( y).
sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa:
V=∫c
d
A ( y )dy=∫c
d [∫a
b
f (x , y )] dy…… ………….(2)
Persamaan di atas itu disebut integral berulang (iterated integral).
Dengan menggabungkan persamaan (1) dan (2) diperoleh:
V = V
∬P
❑
f ( x , y )dA=∫c
d [∫a
b
f (x , y)dx ]dy
2. Kasus 2
Apabila kita memulai proses di atas dengan mengiris benda padat tersebut dengan
menggunakan bidang – bidang yang sejajar dengan bidang yz, maka kita akan memperoleh
X
ab
ZBidang // XOZ
z = f(x,y), y tetap
sebuah integral berulang lainnya, dengan pengintegralan yang terjadi dalam urutan yang
berlawanan, seperti yang terlihat pada gambar.
maka∬P
❑
f (x , y ) dA=∫a
b [∫c
d
f (x , y )dy ]dx
Sehingga muncul teorema
Jika fungsi z=f (x , y ) kontinu pada daerah persegi panjang tertutup P=[a , b] x [c , d ] , maka
∬P
❑
f ( x , y )dA=∫c
d [∫a
b
f ( x , y ) dx ]dy
Y
X
Z
b
a0 c
P
z = f(x,y)
d
Yc d
Z Bidang // YOZ z = f(x,y), x tetap
X
Y
O a x b
D
Y
Z
O x x
L(x)
Bidang // YOZ
∬P
❑
f ( x , y )dA=∫a
b [∫c
d
f (x , y)dy ]dx
D. Volume Benda Padat Pada Daerah Sebarang
Integral lipat dua pada daerah sebarang D untuk fungsi z=f (x , y ) kontinu dan
f ( x , y )≥ 0 pada daerah D ,menyatakan isi benda padat yang terletak di atas daerah D dan
dibawah permukaan f.
Seperti integral lipat dua pada persegi panjang P ,dari arti geometri integral lipat dua pada
daerah sebarang sebagai isi benda padat kita dapat mengontruksi cara menghitung isi
bendanya dengan metode irisan sejajar kemudian memperumum hasilnya untuk
mendapatkan rumus diatas.Tinjauan untuk setiap kasus adalah sebagai berikut.
a. Kasus pertama:
Proyeksi D pada sumbu X adalah [ a , b ] Perhatikan gambar berikut:
Y
X0
c
y
d
D
Y
Z
O x x
L(x)
Bidang // YOZ
Gambar pertama memperlihatkan daerah D yang proyeksinya pada sumbu X adalah selang
tertutup [ a , b ] .Benda padat di ruang isinya dinyatakan sebagai integral lipat dua pada
daerah D diperlihatkan pada gambar kedua .Bidang irisan sejajar antara benda padat
dengan bidang sejajar YOZ dan melalui titik ( x ,0,0 ) , x∈ [ a , b ] Dapat dilihat pada gambar
ketiga.
Jika luas bidang irisan sejajar ini L(x) dan L kontinu pada [ a , b ] ,maka metode irisan sejajar
untuk isi benda padat memberikan
isi benda padat=∬D
f ( x , y ) dA=∫a
b
L ( x ) dx
dimana
L ( x )=∫ϕ (x )
ψ (x)
f ( x , y ) dy
Jadi
∬D
f ( x , y )d Α=∫a
b
L ( x ) dx=∫a
b (∫φ ( x )
ψ ( x )
f (x , y ) dy)dx
b. Kasus Kedua :
Proyeksi D pada sumbu Y adalah (c,d)
Perhatikan gambar dibawah ini :
Gambar pertama memperlihatkan daerah D yang proyeksinya pada sumbu Y adalah selang
tertutup (c,d). benda padat diruang yang isinya dinyatakan sebagai integral lipat dua pada
daerah D diperlihatkan pada gambar kedua. Bidang irisan sejajar antara benda padat dengan
bidang yang sejajar XOZ dan melalui titik (0,y,0), y Є (c,d) dapat dilihat pada gambar ketiga.
Jika luas bidang irisan sejajar ini L(y) dan L kontinu pada (c,d), maka metode irisan sejajar
untuk isi benda padat memberikan
Isi
benda padat =∬
D
f ( x , y )dΑ=∫c
d
L ( y ) dy
Dimana
L(y)=∫ϕ (y )
ψ ( y)
f ( x , y ) dx
Jadi
=∬D
f ( x , y )dΑ=∫c
d
L ( y ) dy=∫a
b [ ∫φ ( y )
ψ ( y )
f ( x , y )dx ]dy
E.Volume Benda yang terletak diantara 2 Permukaan
Misalkan suatu benda V terletak di atas daerah D dan terletak di antara dua
permukaan z = p(x,y) dan z = q (x,y) dengan q(x,y)≥ p(x,y) untuk semua (x,y) ∈ D.
Y
X
Z
0
X0 2
2
- 2
- 2
2x + y = 42
D
Y
Benda di atas daerah D dan terletak di antara permukaan z= p(x,y) dan z= q(x,y)
dengan q(x,y)≥ p(x,y)
Volume benda V yang terjadi jika diproyeksikan ke bidang XOY dapat dihitung
sebagai volume benda di bawah permukaan z = q (x,y) dikurangi volume benda di
bawah permukaan z = p(x,y) yaitu
V=∬D
❑
( z2−z1 ) dA
¿∬D
❑
[ q ( x , y )−p( x , y )]dy dx
Atau
¿∬D
❑
[ q ( x , y )−p( x , y )]dx dy
Secara singkat
V=∬D
❑
[ zatas−zbawah ] dA
contoh soal
1. Hitunglah luas daerah Dyang berupa daerah lingkaran berjari – jari 2 dengan pusat
(0,0) dengan memakai koordinat kartesius. Hitung menggunakan cara geometri dan
integral lipat dua.
Jawab
Perhatikan gambar di bawah yang memperlihatkan lingkaran x2 + y2 = 4.
Y
X0 2
2
-2
-2
D
Cara Geometri : L=π r2
¿ π .22 ¿ 4 π sl . Cara Integral Lipat Dua :Partisi terhadap sumbu XJika daerah D dipartisi terhadap sumbu X, maka daerah D sebagai berikut:
Jelas z=f (x , y )=4− y .
Jelas x2+ y2=4 ⟺ y2=4−x2
⟺ y=±√4−x2 .
Jadi, D = { (x , y )|−2 ≤ x ≤2 ,−√4−x2≤ y≤√4−x2 }.
Jelas L=∬D
❑
dA
¿∫−2
2
∫−√4−x2
√4− x2
dydx
¿∫−2
2
[ [ y ]−√4−x2
√4−x2 ]dx
¿∫−2
2
[ [√4−x2−(−√4−x2)] ]dx
¿∫−2
2
[ [√4−x2+√4−x2 ] ] dx
¿∫−2
2
[2√4−x2 ] dx
¿2∫−2
2
√4−x2 dx.
Mencari nilai ∫√4−x2 dx terlebih dahulu,
Tulis x=2 sintJelas dx=2cost dt
Jelas ∫√4−x2 dx=∫√(4−4 sin2t ). 2 cost dt
¿∫√4 (1−sin2t) . 2cost dt
¿∫2√cos2 t .2cost dt
¿∫4 cost .cost dt
¿4∫ cos2 t dt
Untuk batas-batas integrasiUntuk x=−2 Jelas x=2 sint⟺−2=2 sint⟺−1=sint
⟺ t=−π2
Untuk x=2
Jelas x=2sint
⟺2=2 sint⟺1=sint
⟺ t=π2
Jelas 2∫−2
2
√4−x2 dx=2.4∫−π
2
π2
cos2 t dt
= 8.12∫−π
2
π2
¿¿
=4 [∫−π2
π2
cos 2t dt+∫−π
2
π2
dt ]=4 [∫−π
2
π2
cos 2t d (2 t)+∫−π
2
π2
dt ]=4 [[ 1
2sin 2 t ]
π2
−π2
+ [ t ]
π2
−π2
]=4 ¿
¿4 [ (0−0 )+(π )]
=4π
Partisi terhadap sumbu YJika daerah D dipartisi terhadap sumbu Y, maka daerah D sebagai berikut:
Ingat :
cos2 t=2cos2t−1
⟺ cos2t=12
(cos2 t +1 )
Jelas z=f (x , y )=4− y .
Jelas x2+ y2=4 ⟺ x2=4− y2
⟺ x=±√4− y2 .
Jadi, D = { (x , y )|−2 ≤ y ≤ 2,−√4− y2 ≤ x ≤√4− y2}.
Jelas L=∬D
❑
dA
¿∫−2
2
∫−√4− y2
√4− y2
dxdy
¿∫−2
2
[ [ x ]−√4− y2
√4− y2 ]dy
¿∫−2
2
[ [√4− y2−(−√4− y2)] ]dy
¿∫−2
2
[ [√4− y2+√4− y2 ] ] dy
¿∫−2
2
[2√4− y2 ] dy
¿2∫−2
2
√4− y2 dy.
Mencari nilai ∫√4− y2dx terlebih dahulu,
x=−√4− y2
Tulis y¿2 sintJelas dy=2cost dt
Jelas ∫√4− y2dx=∫ √(4−4 sin2 t) .2cost dt
¿∫√4 (1−sin2t) . 2cost dt
¿∫2√cos2 t .2cost dt
¿∫4 cost .cost dt
¿4∫ cos2 t dt
Untuk batas-batas integrasiUntuk y¿−2 Jelas y=2 sint⟺−2=2 sint⟺−1=sint
⟺ t=−π2
Untuk y=2
Jelas y=2sint
⟺2=2 sint⟺1=sint
⟺ t=π2
Jelas 2∫−2
2
√4− y2 dy=2.4∫−π
2
π2
cos2t dt
= 8.12∫−π
2
π2
¿¿
=4 [∫−π2
π2
cos 2t dt+∫−π
2
π2
dt ]=4 [∫−π
2
π2
cos 2t d (2 t)+∫−π
2
π2
dt ]
Ingat :
cos2 t=2cos2t−1
⟺ cos2t=12
(cos2 t +1 )
=4 [[ 12
sin 2 t ]π2
−π2
+ [ t ]
π2
−π2
]=4 ¿
¿4 [ (0−0 )+(π )]
=4π
Jadi luas lingkaran tersebut adalah 4π satuan luas
2. Diketahui daerah D yang dibatasi oleh parabol. y = x2, hiperbol y = 8/x, garis y = x
– 2 dari sumbu Y.
(a). Gambarkan daerah D.
(b). Nyatakan luas daerah D sebagai Integral berulang dengan mengambil proyeksinya
terhadap sumbu X.
(c). Nyatakan luas daerah D sebagai Integral berulang dengan mengambil proyeksinya
terhadap sumbu Y.
(d). Hitunglah luas daerah D.
JAWAB
Untuk menggambar kurva kita harus mencari titik koordinatnya dahulu
y= x2
X 0 1 2 3
Y 0 1 4 9
y = 8x
y = x-2
X 1 2
Y 8 4
X 0 2
Y -2 0
0
(2,4)
(4,2)
Y
X2 4
Titik potong y=x2 dengan hiperbol y= 8x
x2 =8x
⇔ x3 = 8
⇔ x = 2
Untuk x= 2
y = 8x
= 82
y = 4
Jadi, titik potong y=x2 dengan hiperbol y= 8x
adalah (2,4)
Titik potong hiperbol y = 8/x dengan garis y = x – 2
8x
= x-2
⇔x2−2 x−8 = 0
⇔ (x-4)(x+2) = 0
⇔ x = 4 ˅ x= -2
y = 2 y = -4
(4,2) dan (-2,-4).
Jadi, titik potong hiperbol y = 8/x dengan garis y = x – 2 adalah (4,2).
Kemudian, garis y = x – 2 memotong sumbu x di titik (2,0) dan sumbu y di titik (0,-
2). Daerah D diperlihatkan pada gambar di bawah.
0
(2,4)
(4,2)
Y
X2 4
-2
D1
D2
(b.) Proyeksi daerah D terhadap sumbu X adalah selang (0,4) dan dapat diperlihatkan
seperti gambar di bawah ini
Daerah D dapat ditulis sebagai
D = D 1 U D 2
D1= {(x , y )|0 ≤ x ≤2 , x−2≤ y ≤ x2 }
dan
D2= {(x , y )|2≤ y ≤ 4 , x−2 ≤ y ≤8x}.
Karena itu luas daerah D adalah
L=L D1+L D2
¿∫0
2
∫x−2
x2
dydx+¿∫2
4
∫x−2
8x
dydx¿.
(c). Proyeksi daerah D terhadap sumbu y adalah selang (-2,4).
Kita tentukan dahulu invers dari lengkungan pembatas daerah D
D1
-2
0
(2,4)
(4,2)
X
2
4
D1
D2
D3
Invers dari y = x2 , x ≥ 0 adalah x = √ y , y ≥ 0.
Invers dari y = 8/x adalah x = 8/y.
Invers dari y = x-2 adalah x = y + 2 .
Daerah D dapat digambarkan seperti gambar di bawah ini
Jadi daerah D dapat ditulis sebagai
D = D1 U D2 U D3
di mana
D1= {(x , y )|−2 ≤ y≤ 0 ,0 ≤ x ≤ y+2}
D2= {(x , y )|0 ≤ y ≤ 2 ,√ y ≤ x ≤ y+2 }
D3= {( x , y )|2≤ y ≤ 4 ,√ y≤ x≤8y}
Karena itu luas daerah D adalah
L=L D1+L D2+L D3¿∫−2
0
∫√ y
y +2
dx dy+¿∫0
2
∫√y
y+2
dx dy+¿∫2
4
∫√ y
8y
dx dy ¿¿
(d). - Dengan menggunakan hasil soal (b), luas daerah D adalah
L=L D1+L D2
¿∫0
2
∫x−2
x2
dydx+¿∫2
4
∫x−2
8y
dydx¿
Y
¿∫0
2
(x2−(x−2))dx+∫2
4
( 8x−(x−2))dx
¿∫0
2
( x2−x+2 ) dx+∫2
4
( 8x−x+2)dx
¿( 13
x3−12
x2+2 x)2
0+(8 ln x−12
x2+2 x )42
¿( 83−2+4)+¿
¿( 83+2)+(8 ln 4−8+8−8 ln 2+2−4 )
¿( 83+ 6
3 )+( 8 ln 4−8 ln 2−2 )
¿143
−63+(8 ln 4−8 ln2 )
¿83+8 ( ln 4−ln 2 )
¿223+8( ln
42 )
¿223+8 ln 2
- Dengan menggunakan hasil soal (c), luas daerah D adalah
L=L D1+L D2+L D3¿∫−2
0
∫0
y +2
dx dy+¿∫0
2
∫√y
y+2
dx dy+¿∫2
4
∫√ y
8y
dx dy ¿¿
¿∫−2
0
[ x ] y+20
dy+∫0
2
[ x ] y+2√ y
dy+∫2
4
[ x ]8y
√ ydy
¿∫−2
0
[ y+2 ] dy+∫0
2
[ y+2−√ y ] dy+∫2
4
[ 8y−√ y ]dy
¿ [ 12
y2+2 y ]0
−2+[ 12
y2+2 y−23
y32 ]
2
0+[8 ln y−23
y32]
42
¿ (0−(2−4 ) )+(2+4−23
812−0)+[8 ln 4−16
3−(8 ln 2
−23
812)]
X0 2
2
- 2
- 2
2x + y = 42
D
Y
¿ (2 )+(6−23
812)+¿
¿ (2¿ )+(6 −23
812 )+¿
¿83+8 ln 2
Jadi luas daerah D adalah 83+8 ln 2 satuanluas
3. Hitunglah isi benda padat yang dibatasi oleh silinder x2 + y2 = 4, bidang XOY dan y +
z = 4.
JawabBenda padat yang dibatasi oleh x2+ y2=4, bidang XOY dan y+z=4 apabila diproyeksikan terhadap bidang XOY maka diperoleh daerah integrasi D. Gambarnya diperlihatkan sebagai berikut.
Y
Y
X0 2
2
-2
-2
D
Jika daerah D dibawa ke bidang XOY dan di partisi terhadap sumbu X maka gambar dari daerah D tersebut adalah
Jelas z=f (x , y )=4− y .
Jelas x2+ y2=4 ⟺ y2=4−x2
⟺ y=±√4−x2 .
Jadi, D = { (x , y )|−2 ≤ x ≤2 ,−√4−x2≤ y≤√4−x2 }.
Jelas V=∬D
❑
f ( x , y )dA
¿∫−2
2
∫−√4−x2
√4− x2
z dydx
=∫−2
2
∫−√4−x2
√4−x2
(4− y ) dy dx
= ∫−2
2
[4 y−12
y2]−√4−x2
√4−x2
dx
= ∫−2
2
¿¿
= ∫−2
2
¿¿
= ∫−2
2
¿¿
= ∫−2
2
¿¿
= ∫−2
2
8√4−x2 dx
= 8∫−2
2
√4−x2 dx
Menghitung nilai ∫❑
❑
√4−x2 dx terlebih dahulu
Tulis x=2 sin tJelas dx=2cos t dt
Jelas ∫√4−x2 dx=∫√4−4sin2 t .2 cos t dt
⟺∫√4 (1−sin2 t ) .2 cos t dt
⟺∫2√cos2 t .2 cos t dt
⟺∫2 cos t .2 cos t dt
⟺4∫ cos2 t dt
Untuk batas-batas integrasi
Jika x=-2Jelas x= 2 sin t⟺−2=2sin t⟺−1=sin t
⟺ t=−π2
Jika x=2Jelas x=2 sin t⟺2=2 sin t⟺1=sin t
Ingat :
cos2 t=2cos2t−1
⟺ cos2t=12
(cos2 t +1 )
⟺ t=π2
Jelas 8∫−2
2
√4−x2 dx=8.4∫−π
2
π2
cos2t dt
⇔ 32∫−π2
π2
12¿¿
⟺16 [∫−π2
π2
12
. cos2 t d (2t )+∫−π
2
π2
dt ]⟺16[ [ 1
2(sin 2 t )]
π2
−π2
+ [t ]
π2
−π2
]⟺16 [(0−0 )+( π
2+ π
2 )]⟺16 πJadi volumenya adalah 16π satuan volume
Jika dareah D dibawa kebidang XOY dan dipartisi terhadap sumbu Y maka gambar dari daerah D tersebut adalah
Jelas z=f (x , y )=4− y .
Jelas x2+ y2=4 ⟺ x2=4− y2
x=√4− y2
x=−√4− y2
⟺ x=±√4− y2 .
Jadi, D = { (x , y )|−2 ≤ y ≤ 2,−√4− y2 ≤ x ≤√4− y2}.
Jelas V=∫−2
2
∫−√4− y2
√4− y2
z dA
¿∫−2
2
∫−√4− y2
√4− y2
z dxdy
¿∫−2
2
∫−√4− y2
√4− y2
(4− y ) dx dy
= ∫−2
2
[ 4 x−xy ]−√4− y2
√4− y2
dy
= ∫−2
2
¿¿
= ∫−2
2
[ 4√4− y2− y √4− y2+4 √4− y2− y √4− y2 ] dy
= ∫−2
2
[8√4− y2−2 y √4− y2 ] dy
= 8∫−2
2
√4− y2dy−∫−2
2
2 y√4− y2 dy
Mencari nilai ∫√4− y2dy terlebih dahulu,
Tulis y=2sin tJelas dy=2cos t dt
Jelas ∫√4− y2dy=∫ √4−4 sin2t .2 cos t dt
¿∫√4 (1−sin2 t ) .2 cos t dt
¿∫2√cos2 t .2cos t dt
¿∫2 cos t .2 cos t dt
¿4∫ cos2 t dt
Untuk batas-batas integrasi
Jika y=-2Jelas y= 2 sin t⟺−2=2sin t⟺−1=sin t
⟺ t=−π2
Jika y=2
Jelas y=2sin t⟺2=2 sin t⟺1=sin t
⟺ t=π2
Menghitung ∫❑
❑
2 y √4− y2 dy
Ingat ∫ y12 dy=
y32
32
Ganti x dengan 4− y2
Diperoleh ∫ 4− y2 d ( 4− y2 )=¿(4− y2)
32
32
¿
Jelas d(4− y2¿=−2 ydy
Jadi ∫❑
❑
2 y √4− y2 dy=∫❑
❑ −2 y2 y
√4− y2d (4− y2)
= −(4− y2)
32
32
Jelas 8∫−2
2
√4− y2dy−∫−2
2
2 y√4− y2 dy=8.4∫−π
2
π2
cos2t dt+[ (4− y2)32
32
] 2−2
¿32∫−π
2
π2
12
¿¿
¿16 [∫−π2
π2
12
. cos2 t d (2t )+∫−π
2
π2
dt ]+(0−0)
¿16[ [ 12
(sin 2 t )]π2
−π2
+ [t ]
π2
−π2
]¿16 [(0−0 )+( π
2+ π
2 )]¿16 πJadi volumenya adalah 16π satuan volume
Ingat :
cos2 t=2cos2t−1
⟺ cos2t=12
(cos2 t +1 )
4. Tentukan volume benda pejal dari Caturtira ( Bidang Empat ) yang dibatasi oleh bidang – bidang koordinat dan bidang datar z = 6 – 2x – 3y.
Penyelesaian :
z = 6-2x-3y
X 0 0 3
Y 0 2 0
Z 6 0 0
Benda padat beserta daerah pengintegralan D diperlihatkan pada gambar di bawah ini.
z
6
y
S 2
3
x
a. Dengan cara geometri
V = 13
. Luasalas . tinggi
¿ 13 ( alas. tinggi segitiga
2 ) tinggi
¿ 13 ( 3 x2
2 )6¿6 satuanVolum
b. Dengan cara Integral Lipat Dua (ILD)
Apabila benda pejal yang dibatasi oleh bidang – bidang koordinat dan bidang datar z = 6 – 2x – 3y diproyeksikan kebidang XOY maka akan diperoleh daerah pengintegralan S. Gambarnya sebagi berikut
Z
Jika daerah S dibawa kebidang XOY dan dipartisi terhadap sumbu X maka gambar dari daerah S adalah
y2
2x + 3y = 6
S0 3 x
Persamaan garis melalui (3,0) dan (0,2)
⟺ y−02−0
= x−30−3
⟺ y=2−23
x
Fungsi yang diintegralkan adalah z = f(x,y) = 6-2x-3y
S
2
3
6
X
Y0
dengan D = {( x , y )|0 ≤ x≤ 3 , 0≤ y ≤2−23
x}V=∫∫
D
❑
f (x , y)dA
¿∫0
3
∫0
2−23
x
(6−2x−3 y )dydx
¿∫0
3
[6 y−2 xy−32
y2]0
2−23
xdx
¿∫0
3
(6−4 x+ 23
x2)dx
¿ [6 x−2 x2+ 29
x3]0
3
= 6 satuan volum
Jika daerah S dibawa kebidang XOY dan dipartisi terhadap sumbu X maka gambar dari daerah S adalah
y2
2x + 3y = 6
S0 3 x
Persamaan garis melalui (3,0) dan (0,2)
⟺ y−02−0
= x−30−3
⟺ x=3−32
y
Fungsi yang diintegralkan adalah z = f(x,y) = 6-2x-3y
dengan D = {( x , y )|0 ≤ x≤ 2 ,0 ≤ y ≤3−32
y }V=∫∫
D
❑
f (x , y)dA
¿∫0
2
∫0
3−32
y
(6−2 x−3 y ) dxdy
¿∫0
2
[6 x−x2−3 xy ]03−3
2y
dy
¿∫0
2
(9−9 y+ 94
y2)dy
¿ [9 y−92
y2+ 34
y3]0
2
= 6 satuan volume
Apabila benda pejal yang dibatasi oleh bidang – bidang koordinat dan bidang datar z = 6 – 2x – 3y diproyeksikan kebidang XOZ maka akan diperoleh daerah pengintegralan S. Gambarnya sebagi berikut
Apabila daerah pengintegralan
S dibawa kebidang XOZ dan dipartisi terhadap sumbu X, gambarnya adalah
2
3
6
Y
X
Z
0
S
Persamaan garis melalui (3,0) dan (0,6)
⟺ x−30−3
= z−06−0
⟺ z=6 – 2 x
Fungsi yang diintegralkan adalah y= f(x,z) = 2 - 23
x - 13
z
dengan D = {( x , z )|0≤ x≤ 3 ,0≤ z ≤6 – 2 x }
V=∫∫D
❑
f ( x , y ) dA
¿∫0
3
∫0
6−2x
(2−23
x−13
z )dzdx
¿∫0
3
[2 z−23
xz−16
z2]
0
6−2 x
dx
¿∫0
3
(6−4 x+ 23
x2)dx
¿ [6 x−2 x+ 34
y3]0
2
0 3
6
6 x+3 z=18
X
Z
S
= 6 satuan volum
Jika daerah D dibawa ke bidang XOZ dan dipartisi terhadap sumbu Z, maka
gambarnya adalag sebagai berikut
Z
6
6x + 3z = 18
S
0 3 x
Persamaan garis melalui (3,0) dan (0,6)
⟺ x−30−3
= z−06−0
⟺ x=3 –12
z
Fungsi yang diintegralkan adalah y= f(x,z) = 2 - 23
x - 13
z
dengan D = {( x , z )|0 ≤ x ≤ 6 , 0≤ z≤ 3 –12
z}V=∫∫
D
❑
f ( x , y ) dA
¿∫0
6
∫0
3– 12
z
(2−23
x−13
z )dxdz
¿∫0
6
[2 x−26
x2−13
zx ]0
3 –12
zdz
¿∫0
6
(3−z+ 112
z2)dz
¿ [3 z−12
z2+ 136
z3]0
6
= 6 satuan volum
Jadi volumenya adalah 6 satuan volum.
BAB III
PENUTUP
3.1. Simpulan
1. Teorema cara menghitung integral lipat dua dengan integral berulang. Jika fungsi z =
f (x,y) kontinu pada daerah persegi panjang tertutup p = {a,b} x {c,d} maka:
1.
∬p
❑
f ( x , y ) z=f (x , y )dA=∫c
d
∫a
b
f ( x , y ) dxdy=∫c
d [∫a
b
f ( x , y )dx ]dy
2.
∬p
❑
f ( x , y )dA=f (x , y)dA=∫a
b
∫c
d
f ( x , y )dydx=∫a
b [∫c
d
f ( x , y )dy ]dx
2. Misalkan fungsi z = f (x,y) terdefinisi pada daerah D dan fungsi z = F(x,y) terdefinisi
pada persegi panjang P yang tepat memuat D dengan persamaan
F ( x , y )={f ( x , y ) bila ( x , y )∈D0 ,bila ( x , y )∈D
Jika fungsi F terintegralkan pada P, maka integral lipat dua dari fungsi F pada D
diidefinisikan sama dengan integral lipat dua pada P, yaitu
∬D
❑
f ( x , y )dA=∬P
❑
F(x , y)dA
3. Cara menghitung luas daerah:
a. Menentukan batas-batas daerah integrasi.
b. Menggambar daerah pengintegralannya.
c. Menuliskan integral lipat dua sebagai integral berulang, baik dengan urutan dx dy
ataupun dy dx.
d. Menghitung integral tersebut.
4. Cara menghitung volume benda:
Misalkan f(x,y) fungsi dua peubah yang selalu bernilai tak negatif dan D adalah
daerah di bidang XOY. Volume benda yang terletak di atas daerah D dan terletak di
bawah permukaan z = f(x,y) dapat dihitung sebagai
∬D
❑
f ( x , y )dxdy
DAFTAR PUSTAKA
J. Purcell, Edwin. dkk. 2004. Kalkulus Jilid 2. Jakarta: Erlangga
Martono, Koko. 1990. Kalkulus Integral Lipat Dua. Bandung: Institut Teknologi
Bandung
Setya Budi, Wono. 2001. Kalkulus Peubah Banyak dan Penggunannnya. Bandung:
Institut Teknologi Bandung
Sugiman. 2003. Kalkulus Lanjut. Yogyakarta: Universitas Negeri Yogyakarta