ALJABAR LINEAR

A. PENGERTIAN DAN NOTASI MATRIKS

1. PENGERTIAN

Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi panjang yang diatur berdasarkan baris dan kolom yang ditulis diantara tanda kurung ( ) atau [ ] atau || ||Susunan horizontal disebut dengan baris sedangkan susunan vertikal disebut dengan kolom Bentuk Umum Matriks :

a adalah elemen atau unsur matriks yang terletak pada baris ke-m dankolom ke-n

Nama matriks ditulis dengan menggunakan huruf besar A,B, P, Q, dsb . Sedangkan Unsur/elemen-elemen suatu matriks dengan huruf kecil sesuai nama matriks dengan indeks sesuai letak elemennya , seperti a11, a12, ...

Contoh 1: Diketahui matriks A =

Tentukan :a. banyak baris d. elemen-elemen kolom ke-3 b. banyak kolom e. c. elemen-elemen baris ke-1 f.

Jawab : a. banyak baris : 3 buahb. banyak kolom :5 buahc. elemen-elemen baris ke-1 : 1, 4, 6, -3, 8d. elemen-elemen kolom ke-3 : 6, 9, 7e. = elemen baris ke-3 kolom ke-4 = 5f. = elemen baris ke-1 kolom ke-3 = 6

Contoh 2: Diketahui

Tentukan letak elemen -2 dan 8 !

Jawab : elemen -2 = a21

elemen 8 = a32

2. ORDO MATRIKS

Yaitu banyaknya baris dan kolom yang menyatakan suatu matriks. artinya matriks A berordo m x n yaitu banyaknya baris m buah dan banyaknya kolom n buah.

1

Kolo

m 1

Kolo

m 2

Kolo

m n

baris 1

baris 2

baris m

Contoh : Diketahui

Tentukan ordo matriks P dan Q

Jawab : Ordo matriks P = 2 x 4 atau P 2 x3 ; Ordo matriks Q = 3 x 2 atau Q2 x3

3. JENIS-JENIS MATRIKS

1. Matriks NolYaitu matriks yang setiap elemennya nol.

Contoh : ,

2. Matriks BarisYaitu matriks yang hanya mempunyai satu barisContoh : ,

3. Matriks KolomYaitu matriks yang hanya mempunyai satu kolom.

Contoh :

4. Matriks Bujur sangkar/Matriks PersegiYaitu suatu matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama.Ordo matriks n x n sering disingkat dengan n saja.

Contoh : , ,

5. Matriks DiagonalYaitu matriks persegi yang semua elemennya nol, kecuali elemen-elemen diagonal utamanya.

Contoh :

6. Matriks Satuan /MatriksIdentitas (I)Yaitu matriks persegi yang semua elemen diagonal utamanya satu, dan elemen lainnya nol.

Contoh :

7. Matriks SkalarYaitu matriks persegi yang semua elemen pada diagonal utamanya sama, tetapi bukan nol dan semua elemen lainnya nol.

Contoh :

8. Matriks Segitiga AtasYaitu matriks yang semua elemen di bawah diagonal utamanya nol.

2

Contoh :

9. Matriks Segitiga BawahYaitu matriks yang semua elemen di atas diagonal utamanya nol.

Contoh :

10. Matriks KoefisienYaitu matriks yang semua elemennya merupakan koefisien-keofisien dari suatu sistem persamaan linear.

Contoh1: Matriks koefisien dari sistem persamaan liniear 2x + 3y =7 adalah :

-4x + 5y =-3

Contoh 2: Matriks koefisien dari sistem persamaan liniear 3x +2y-z = 7 4x +2z = 8 adalah x -5y+4z =-6

11. Dan lain-lain

LATIHAN SOAL

1. Diketahui

Tentukan :a. elemen-elemen baris ke-2b. elemen-elemen kolom ke-2c. elemen-elemen kolom ke-4d. elemen baris ke-1 kolom ke-3e. elemen baris ke-3 kolom ke-5f. ordo P

2. Diketahui

Tentrukan :a. ordo Xb. elemen-elemen baris ke-2c.d.e.

3. Diketahui

Tentukan letak elemen :a. –2 b. 5 c. 6 d. 3 e. 0

4. Berikut ini termasuk jenis matriks apa ?

3

a. b.

c. d.

5. Berikan contoh lain dari matriks :a. skalar b. segitiga bawahc. segitiga atas d. diagonal

4. KESAMAAN DUA MATRIKS

Dua matriks dikatakan sama jika ordo dan elemen-elemen yang seletak sama.

Contoh 1:

Jika A= B maka: a=p, b=q, c=r dan d=s

Contoh 2: Tentukan x dan y dari

Jawab : x = 1 2y = 8 y =4

5. TRANSPOSE MATRIKS

Transpose (putaran) matriks A yaitu matriks yang diperoleh dari matriks A dengan menukarkan elemen-elemen pada baris menjadi kolom dan sebaliknya elemen-elemen pada kolom menjadi baris.Transpose matriks A dinyatakan dengan atau A’.

Contoh 3: Jika maka tentukan

Jawab : =

LATIHAN SOAL

1. Tentukan x dan y dari :

a. b.

c. d.

2. Tentukan a, b, c dan d dari :

a. b.

c. d.

3. Tentukan transposenya dari :

4

a. b.

4. Tentukan c jika , dan

B. OPERASI MATRIKS

1. PENJUMLAHAN MATRIKS

Dua matriks dapat dijumlahkan jika ordonya sama. Yang dijumlahkan yaitu elemen-elemen yang seletak.

=

Contoh 1:

A = , B =

Maka A + B = + = =

Contoh 2: Jika , dan , tentukan :

a). A + B b). B + A c). B + C d). A + (B + C) e) A+B f). (A + B) + C

Jawab : a. A + B = =

b. B + A = =

c. B + C = =

d. A + (B + C) = + =

e. (A + B) = =

f. (A + B)+C = =

Contoh 3: Diketahui + dan .

Tunjukkan : a. A + (-A) = (-A) + A = O b. A + O = O + A = A

Jawab : a. A + (-A) = + =

5

(-A) + A = + =

b. A + O = =

O + A = =

Sifat-sifat penjumlahan matriks :1. A + B = B + A (bersifat komutatif)2. A + (B + C) = (A + B) + C (bersifat asosiatif)3. A + O = O + A = A (O matriks identitas dari penjumlahan)4. A + (-A) = (-A) + A = O (-A matriks invers penjumlahan)

6

2. PENGURANGAN MATRIKS

Dua matriks dapat dikurangkan jika ordonya sama. Yang dikurangkan elemen-elemen yang seletak.

=

Contoh : Jika dan , maka tentukan :

a. A – B b. B – A c. (A-B)-C d. A-(B-C)

Jawab :

a. A – B = …

b. B – A = =

Sifat-sifat Pengurangan matriks :

1. A – B B – A (tidak komutatif)2. A – (B – C) = (A – B) – C (asosiatif)

LATIHAN SOAL

1. Sederhanakanlah !

a. b. c.

d. e.

f. g.

h. i.

2. Tentukan x jika

3. Tentukan x jika

4. Tentukan a, b, c dan d dari :

a.

b.

3. PERKALIAN MATRIKS

3.1 PERKALIAN MATRIKS DENGAN BILANGAN REAL (SKALAR)

7

Hasil perkalian skalar k dengan sebuah matriks A yang berordo m x n adalah sebuah matriks yang berordo m x n dengan elemen-elemennya adalah hasil kali skalar k dengan setiap elemen matriks A.

Contoh 1: Jika maka tentukan :

a. 2A b.

Jawab : a. 2A =

b. = …

Contoh 2: Jika dan maka tentukan :

a. 2(A + B) b. 2A + 2B c. 2(3A) d. 6A

Jawab : a. 2(A + B) = …

b. 2A + 2B = …

c. 2(3A) = …

d. 6A = …

Sifat-sifat perkalian skalar k dengan suatu matriks :1. k(A + B) = …2. (k + l)A = …3. k(lA) = …

LATIHAN SOAL

1. Jika dan , maka tentukan :

a. 2A + 2B b. 3A – 2B c. d. –4(A – B)

2. Tentukan matriks X jika:

a. b.

c. d.

3. Tentukan a, b, c dan d dari :

a.

b.

8

4. Diketahui dan . Jika , maka tentukan nilai c !

3.2 PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS

Dua matriks A dan B dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks A (matriks kiri) sama dengan jumlah baris matriks B (matriks kanan).Ordo hasil perkalian matriks dengan , misalnya matriks C yang akan berordo mxp (seperti permainan domino).

Cara mengalikan matriks A dan B yaitu dengan menjumlahkan setiap perkalian elemen pada baris matriks A dengan elemen kolom matriks B dan hasilnya diletakkan sesuai dengan baris dan kolom pada matriks C (matriks hasil perkalian).

Misal : dan maka :

AB = =

Contoh 1: Diketahui dan .

Terntukan : a. AB b. AC c. AD

Jawab : a. AB =

b. AC tidak dapat dikalikan, karena banyaknya kolom matriks A ≠ banyaknya baris matriks

c. AD = …

Contoh 2: Diketahui dan .

Tentukan : a. AB b. BA c. BC d. AC e. (AB)C f. A(BC) g. B + C h. A(B + C) i. AB + AC j. AI k. IA

Jawab : a. AB =

b. BA =

c. BC =

d. AC =

e. (AB)C =

f. A(BC) =

9

Am x n . B n x p = C m x p

g. B + C =

f. A(B + C) =

g. AB + AC =

g. AI = …

h. IA = …

Sifat-sifat perkalian matriks :1. Umumnya tidak komutatif (AB BA)2. Asosiatif : (AB)C = A(BC)3. Distributif kiri : A(B + C) = AB + AC

Distributif kanan : (B + C)A = BA + CA4. Identitas : IA = AI = A5. k(AB) = (kA)B

LATIHAN SOAL

1. Sederhanakan !

a. b. c.

d. e. f.

g. h.

2. Diketahui . Jika dan maka tentukan :

a. b.

3. Jika dan maka tentukan :

a. b.

4. Tentukan a jika

C. INVERS MATRIKS

1. INVERS MATRIKS ORDO 2 x 2

Jika AB = BA = I , dimana I matriks satuan yaitu maka A dan B dikatakan saling invers.

Invers matriks A dinotasikan .10

Misal dan maka :

AB = I

ap + br = 1

dan

cp + dr = 0

aq + bs = 0

dan

cq + ds = 1

Karena = maka

ad – bc disebut Determinan (D) atau atau det(A).Jadi .Jika D = 0, maka matriks A tidak mempunyai invers dan matriks A disebut matriks Singular. Jika ad – bc maka matriks A disebut matriks Non Singular.

Contoh 1: Tentukan determinan

Jawab :

Contoh 2: Tentukan invers dari

Jawab :

Contoh 3: Tentukan x jika merupakan matriks singular !

Jawab : ad – bc = 0 …

Contoh 4: Tentukan matriks X jika

Jawab : XA = B X = = …

Jika ada persamaan matriks berbentuk :

AX = B maka X XA = B maka X =

LATIHAN SOAL

1. Tentukan determinannya !

a. b. B = c. d.

2. Tentukan inversnya ! (jika ada)

11

a. b. c. d.

3. Tentukan x jika singular

4. Tentukan matriks X jika :

a. b.

c. d.

2. INVERS MATRIKS ORDO 3 x 3

2.1 DETERMINAN MATRIKS ORDO 3 X 3

Cara menentukan determinan matriks ordo 3 x 3 dengan menggunakan diagram SARRUS, yaitu :1. Salin kolom ke-1 dan ke-2 pada kolom ke-4 dan ke-52. Kurangkan jumlah perkalian elemen-elemen pada diagonal ke bawah dengan jumlah perkalian

elemen-elemen pada diagonal ke atas.

det (A) =

= ( ….. ) + ( …. ) + ( …. ) – ( … ) - ( … ) – ( … )

Contoh 1: Jika maka tentukan

Jawab : = …

= …

MINOR, KOOFAKTOR DAN ADJOINT

Minor yaitu sebuah determinan yang diperoleh dengan cara menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j, dan ditulis dengan . Sedangkan koofaktor diperoleh dari perkalian dengan dan ditulis dengan . Sedangkan adjoint yaitu koofaktor yang ditransposekan dan ditulis dengan Adj(A).

Contoh 2: Diketahui . Tentukan :

a. b. c. d. e. Adj(M)

12

Jawab : a. =

b. =

c. =

d. =

f. Adj(M) =

=

=

2.3 INVERS MATRIKS ORDO 3 X 3

Untuk menentukan invers matriks A ordo 3 x 3 dengan menggunakan rumus :

Contoh 3: Tentukan invers dari

Jawab :

=….

LATIHAN SOAL

1. Tentukan determinan dari :

13

a. b. c.

2. Tentukan x jika

3. Diketahui . Tentukan :

a. b. c. d. e. Adj(X)

4. Tentukan inversnya dari :

a. b.

14

15