limit fungsi, fungsi kontinue dan fungsi · pdf filelimit fungsi, fungsi kontinue dan fungsi...
TRANSCRIPT
LIMIT FUNGSI, FUNGSI KONTINUE
DAN FUNGSI MONOTON
NAMA : NURUL CHAIRUNNISA UTAMI PUTRI
NIM : 1620070008
FAK / JUR : SAINS & TEKNOLOGI / MATEMATIKA
http://roelcup.wordpress.com
UNIVERSITAS ISLAM AS-SYAFI’IYAH
JAKARTA TIMUR
2010
VI. LIMIT FUNGSI, FUNGSI KONTINUE DAN FUNGSI MONOTON
Definisi Limit Fungsi
Definisi 6.1.1
F
Y f
휀
q
휀.
Р X
훿 훿 훿
휀
Keterangan:
Jika disajikan dalam bentuk notasi…
퐥퐢퐦풙→풑 풇(풙) = 풒 ⟺ [(∀휺 > 0)(∃훿 > 0)(∀푥 ∈ 퐸 푑푎푛 0 < 푑 (풑,풙) < 훿 ⟹ 푑 (풇(풙),풒) < 휀)] .
Dengan ruang metrik (푋,푑1) dan (푌,푑2),퐸 푋, dan 푝 titik limit 퐸.
daerah hasil fungsi f ∀푥 ∈ 퐸, 0 < 푑1(p,x) < 훿
퐹(푥) ∈ 푌 푑푒푛푔푎푛 푑 (푓(푥),푞) < 휀
Contoh 6.1.1
a) lim → 푓(푥)푥 = 4, jika f(x) = x untuk 0 < 푥 < 5.
Y
f
X
0
휀
|푥 − 2| < 1
Contoh 6.1.2
Y
f
1
S
0 X
-1
=1
Teorema 6.1.1(Hubungan Limit fungsi dan Limit barisan)
Y
f
q
X
P
E
Banyaknya barisan < 푓(푃 ) > tergantung barisan < 푃 >
Adanya barisan < 푓(푃 ) > karena adanya < 푃 >
푇푒푟푑푎푝푎푡 푠푢푎푡푢 푏푎푟푖푠푎푛 < 푃 > 푑푒푛푔푎푛 푃푛 푃.
푇푒푟푑푎푝푎푡 푏푒푟푗푢푡푎 − 푗푢푡푎 푏푎푟푖푠푎푛 푦푎푛푔 푘표푛푣푒푟푔푒푛 푘푒 푃.
푡푒푟푑푎푝푎푡 푠푢푎푡푢 푏푎푟푖푠푎푛 < 푓(푃 ) >
VI.2 Fungsi Kontinue
Definisi 6.2.1 푓:퐸 → 푌
Y f
휀.
f(p)
휀.
Р X
훿 훿
퐸
∀푥 ∈ 퐸, d1 (x,p)< 훿
= ∀푥 ∈ 퐸 ∩ 푁 (푝)
푓(푥) ∈ 푌 dengan d2 (푓(푥),푓(푝)) < 휀
퐷푎푒푟푎ℎ 푗푎푛푔푘푎푢푎푛 푓푢푛푔푠푖 푓
Teorema 6.2.1
푝(푥)
휀 푓(푥)
푃
훿
퐽푎푟푎푘 푓(푥) 푑푒푛푔푎푛 푝(푥) < 휀
VI.2.1 Kekontinuan Fungsi Komposisi
Teorema 6.2.2
휇
f(x)
푓(푝)
휇
훿 훿
E
Lanjutan teorema 6.2.2
P
푍
푔
ε 푔(푓(푝))
푃 푌
휇 휇
푓(퐸)
Teorema 6.2.3
푓
푓 (푣)
Himpunan terbuka V dibawa oleh 푓 menjadi himpunan terbuka juga → 푓 (푣)
푓 (푣)
푉
퐻푖푚푝푢푛푎푛 푡푒푟푏푢푘푎
Ilustrasi lain dari : Teorema 6.2.3
푌
푉
푋
푓 (푣)
푀푒푛푗푎푑푖 푡푒푟푏푢푘푎 푗푢푔푎
푡푒푟푏푢푘푎
Teorema 6.2.4
푓
푓 (푣)
푓 (푣)
푉 Himpunan tertutup V dibawa oleh 푓 menjadi himpunan
tertutup juga → 푓 (푣)
퐻푖푚푝푢푛푎푛 푡푒푟푡푢푡푢푝
Ilustrasi lain dari : Teorema 6.2.4
Y
V
X
푓 (푣)
푀푒푛푗푎푑푖 푡푒푟푡푢푡푢푝 푗푢푔푎
푡푒푟푡푢푡푢푝
VI.2.2 Fungsi continue pada himpunan kompak
Teorema 6.2.6
f
푋 푌
Keterangan :
X Kompak f(x) Kompak dengan syarat f Continue
X Kompak , f tidak Continue f(x) belum tentu Kompak
X tidak Kompak , f Continue f(x) belum tentu Kompak
Lanjutan teorema 6.2.6
푓(푥)
푑표푚푎푖푛
푘표푛푡푖푛푢푒
{푓 (푣)} ⟶ {푣}
{푓 (푣)} ⟶ 푓 푓 (푣) ⊂ {푣}
푓
푓 (푣)
{푣} 퐻푖푚푝푢푛푎푛 푡푒푟푏푢푘푎
{푓 푓 (푣) }
Limit kiri & Limit kanan
Y
f
q
a b X
0 P
Limit kiri Limit kanan
Ket :
Limit kiri fungsi f di p ditulis 푓(푝−)
퐹(푝−) = 푞 ⇔ 푙푖푚→푓(푥 ) = 푞 푢푛푡푢푘 푠푒푡푖푎푝 푏푎푟푖푠푎푛 < 푥 > 푑푖 푑푎푙푎푚 (푎, 푝) ∈ 푥 → 푝.
Limit kanan fungsi f di p ditulis 푓(푝+)
퐹(푝 +) = 푞 푙푖푚→푓(푥 ) = 푞 푢푛푡푢푘 푠푒푡푖푎푝 푏푎푟푖푠푎푛 < 푥 > 푑푖 푑푎푙푎푚 (푝, 푏) ∈ 푥 → 푝.
< 푥 > , 푥 → 푃
< 푓(푥 )
푓(푥 ) → 푞
lim→~
푓(푥 )= 푞
Atau
< 푥 > 푚푒푛푔ℎ푎푠푖푙푘푎푛 < 푓(푥 ) >
푥 → 푃 푥 → 푃
VI.4 Titik diskontinue
Limit kiri
Y
휀 q
a b X
0 p-훿 P
푝 − 훿 < 푥 < 푝
lim→~
푓(푥 ) = 푞
푓(푥)
푑푒푛푔푎푛
| 푓(푥
)−푞
| <푞
Monoton naik
푓(푥)
a x b
Teorema 6.5.1
Monoton naik
sup 푓(푥 −) ≤ 푓(푥) ≤ 푓(푥 +) = inf 푓(푡)
Teorema 6.5.2
Monoton turun
inf 푓(푥 −) ≥ 푓(푥) ≥ 푓(푥 +) = sup 푓(푡)
Definisi 6.5.2
Y
푓
P X
푓(푝)
푓(푝+)
푓(푝−)
