LIMIT FUNGSI BERNILAI VEKTOR

DESAIN SEMINAR

SUGENG RAHADI NIM. 310800249Program Studi : Pendidikan Matematika STKIP PGRI Pontianak

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA (STKIP PGRI) PONTIANAK 2012

Makalah

seminar

matematika

|1

B BI PEA. L B l Kalkulus adalah cabang matematika yang dikembangkan dari aljabar dan geometri. Kalkulus terutama mempelajari laju perubahan (dalam fungsi), seperti percepatan, kurva, dan kemiringan. Perkembangan kalkulus terutama didukung oleh Archimedes, Leibniz dan Newton; juga Barrow, Descartes, de Fermat, Huygens, dan Wallis. Dasar dari kalkulus adalah turunan, integral, dan limit. Salah satu nya yaitu . Limit fungsi vektor didefinisikan dengan memanfaatkan konsep limit fungsi real. Kita ingat kembali konsep limit fungsi real x=f(t) yang terdefinisi pada selang

L

terbuka D yang memuat a kecuali mungkin di a sendiri, yaitu

Perhatikan bahwa situasi yang terjadi sebelum konsep limit fungsi real

dirancang adalah bahwa nilai f(t) dapat dibuat sebarang dekat ke l dengan cara mengambil nilai t yang cukup dekat ke a. Dengan kata lain, jarak f(t) ke l dapat dibuat sebarang kecil dengan cara mengambil jarak t ke a cukup kecil. Bila ukuran jarak yang digunakan di sini adalah nilai mutlak, maka diperoleh rancangan konsep limit yang hasilnya

Konsep limit fungsi vektor di Rn dirancang serupa dengan limit fungsi real.

Di sini kita menggunakan ukuran jarak dua vektor di Rn sebagai berikut. Jarak antara vektor di Rn, Ditulis nilai, X=(x1, x2, ..., x n) dan Y=(y1, y2, , yn) didefinisikan sebagai

Makalah

seminar

matematika

|2

B. Permasalahan Berdasarkan latar belakang perlunya tinjauan tentang limit fungsi vektor, maka perlu kiranya lebih mengenal pengertian limit fungsi vektor, Teorema dan, pembuktian terhadap teorema limit fungsi vektor.

C. T j an dan Manfaat 1. Tujuan Adapun tujuan dari penulisan makalah ini adalah : a. Mengetahui pengertian limit fungsi vektor b. Mengetahui Teorema dan pembuktiannya terhadap teorema limit fungsi vektor 2. Manfaat Manfaat dalam penulisan makalah ini terutama bagi mahasiswa program studi matematika STKIP-PGRI Pontianak, untuk dapat mengembangkan dan memanfaatkannya sesuai dengan bidang dan penerapannya.

Makalah

seminar

matematika

|3

BAB II KAJIAN TE I

A. Limit Fungsi Vektor Konstruksi integral tentu untuk fungsi vektor diberikan dalam definisi berikut. Definisi 1. Misalkan fungsi vektor selang tertutup partisi suatu vektor di setiap partisi . . dengan dan untuk sebarang pemilihan dan suatu partisi untuk selang . Misalkan pula terdefinisi pada dengan panjang dan untuk

Syarat keterintegralan Riemann pada definisi di atas seringkali ditulis ada. Selanjutnya integral dari fungsi vektor integtal Riemann dari fungsi vektor

pada

atau

pada

ditulis dengan lambang

bila limit ini ada.

Seperti pada konsep limit fungsi vektor yang dapat dituliskan sebagai limit dari komponen vektornya yang berbentuk fungsi real, kita juga mempunyai hasil yang serupa untuk integral fungsi vektor. Dalam hal ini fungsi vektor pada selang itu. Hasil ini kita nyatakan dalam rumus berikut. terintegralkan pada jika dan hanya jika setiap komponennya terintegralkan

Teorema 1. Mi al an fungsi vektor selang tertutup terintegralkan pada . Maka fungsi , . terintegralkan pada terdefinisi pada fungsi

Maka Integral tentu dari fungsi

dalam bentuk komponennya adalah : .

Sekarang kita akan berkenalan dengan konsep integral tak tentu dari fungsi vektor. Anti turunan dari fungsi vektor sebagai fungsi vektor yang memenuhi pada selang terbuka . didefinisikan

M

l

h

|4

Makalah

seminar

matematika

|5

Seperti halnya dengan fungsi real, kita mempunyai bentuk yang paling umum dari anti turunan ini yaitu ini dinamakan anti diferensial dari fungsi fungsi vektor fungsi

,

vektor konstan di

. Bentuk

pada selang . Integral tak tentu dari

pada selang terbuka

didefinisikan sebagai anti diferensial dari . Dengan demikian lambang pada selang .

pada

dan ditulis dengan lambang berarti bahwa

Seperti pada integral tentu, integral tak tentu dapat dinyatakan dalam bentuk komponen fungsi vektornya yang merupakan fungsi real.

Rumus-rumus Integral Fungsi Vektor Berdasarkan kenyataan bahwa integral fungsi vektor dapat ditulis sebagai integral dari komponennya yang berbentuk integral dari fungsi real, kita mempunyai berbagai sifat penting dari integral fungsi vektor. Hasilnya kita nyatakan dalam rumus berikut.

Teorema 1. 1. Jika fungsi vektor .

kontinu pada

, maka fungsi vektor

terintegralkan pada

2. Jika fungsi vektor fungsi vektor

dan terintegralkan pada

, dan

konstanta real, maka dan

juga terintegralkan pada

Makalah

seminar

matematika

|6

Bukti : Pilih partisi Pn yang membagi Jelas

menjadi n subselang yang sama panjang.

b

b

p F (t ) dt q G (t )a a

b

b

b

Jadi

pF (t ) qG(t ) dt ! p F (t ) dt q G(t )a a a

3. Jika fungsi vektor

terintegralkan pada

dan

, maka

Bukti: Kasus :

Bangun partisi Pn sehingga c suatu ujung sub selang Tulis m: banyak sub selang pada [a,c] p: banyak sub selang pada [c,b] Jelas

Tulis

dan

Makalah

seminar

matematika

|7

Jadi

4. Teorema dasar kalkulus pertama Misalkan fungsi vektor didefinisikan oleh terdiferensialkan pada dengan kontinu pada

. Jika ,

dan fungsi vektor maka fungsi vektor

Bukti Teorema Dasar Kalkulus 1 Dipunyai teorema dasar Kalkulus Satu Jika g kontinu pada [a,b], maka

Mempunyai turunan pada selang [a,b] dengan

Bukti : Ambil sembarang

dan h>0 sehingga x=h