62157575 limit bernilai vektor

5/9/2018 62157575 Limit Bernilai Vektor - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/62157575-limit-bernilai-vektor 1/13

³LIMIT FUNGSI BERNILAI VEKTOR´

DESAIN SEMINAR

SUGENG RAHADI

NIM. 310800249

Program Studi :

Pendidikan Matematika STKIP ± PGRI Pontianak

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA

(STKIP ± PGRI) PONTIANAK

2012



M a k a l a h s e m i n a r m a t e m a t i k a | 1

B B I

PE L

A. L B l

Kalkulus adalah cabang matematika yang dikem bangkan dari aljabar dan

geometri. Kalkulus terutama mempelajari laju perubahan (dalam f ungsi), se perti

per ce patan, kurva, dan kemiringan. Perkem bangan kalkulus terutama didukung

oleh Ar chimedes, Leibniz dan Newton; juga Barrow, Descartes, de Fer mat,

Huygens, danWallis.

Dasar dari kalkulus adalah turunan, integral, dan limit. Salah satu nya yaitu .

Limit f ungsi vektor didef inisikan dengan memanf aatkan konse p limit f ungsi real.

Kita ingat kem bali konse p limit f ungsi real x= f(t) yang terdef inisi pada selang

terbuka D yang memuat a kecuali mungkin di a sendiri, yaitu

��

Perhatikan bahwa situasi yang terjadi sebelum konse p limit f ungsi real

dirancang adalah bahwa nilai f(t) da pat dibuat sebarang dekat ke l dengan cara

mengam bil nilai t yang cuku p dekat ke a. Dengan kata lain, jarak f(t) ke l da pat

dibuat sebarang kecil dengan cara mengam bil jarak t ke a cuku p kecil. Bila ukuran

jarak yang digunakan di sini adalah nilai mutlak, maka di peroleh rancangan konse p limit yang hasilnya ��

Konse p limit f ungsi vektor di R n dirancang seru pa dengan limit f ungsi real.

Di sini kita menggunakan ukuran jarak dua vektor di R n sebagai berikut. Jarak

antara vektor di R n,

X=(x1, x2, ..., xn) dan Y=(y1, y2,«, yn)

Ditulis nilai,

didef inisikan sebagai

� � � � � �




B. Permasalahan

Berdasarkan latar belakang perlunya tinjauan tentang limit f ungsi vektor,

maka perlu kiranya lebih mengenal pengertian limit f ungsi vektor, Teorema dan,

pem buktian terhada p teorema limit f ungsi vektor.

C. T j an dan Manfaat

1. Tujuan

Ada pun tujuan dari penulisan makalah ini adalah :

a. Mengetahui pengertian limit f ungsi vektor

b. Mengetahui Teorema dan pem buktiannya terhada p teorema limit f ungsi

vektor

2. Manf aat

Manf aat dalam penulisan makalah ini terutama bagi mahasiswa program studi

matematika STKIP-PGR I Pontianak, untuk da pat mengem bangkan dan

memanf aatkannya sesuai dengan bidang dan penera pannya.




BAB II

KAJIAN TE I

A. Limit Fungsi Vektor

Konstruksi integral tentu untuk f ungsi vektor diberikan dalam def inisi

berikut.

Def inisi 1.

Misalkan f ungsi vektor terdef inisi pada

selang tertutu p dan suatu partisi untuk selang dengan panjang

partisi . Misalkan pula dan suatu vektor di . untuk setia p partisi dengan dan untuk sebarang pemilihan .

Syarat keterintegralan R iemann pada def inisi di atas seringkali ditulis

ada. Selanjutnya integral dari f ungsi vektor pada atau integtal R iemann dari f ungsi vektor pada ditulis dengan lam bang

bila limit ini ada.

Se perti pada konse p limit f ungsi vektor yang da pat dituliskan sebagai limit

dari komponen vektornya yang berbentuk f ungsi real, kita juga mempunyai hasil

yang seru pa untuk integral f ungsi vektor. Dalam hal ini f ungsi vektor

terintegralkan pada jika dan hanya jika setia p komponennya terintegralkan

pada selang itu. Hasil ini kita nyatakan dalam rumus berikut.



M

¡

l h ¢

£

¤

¥

¦

§

¤

̈

£

¤

̈

¥

¡

| 4

Teorema 1.

Mi al an fungsi vek tor terdef inisi pada

selang ter tutup . Maka fungsi ter integralkan pada fungsi

ter integralkan pada , .

Maka Integral tentu dar i fungsi dalam bentuk komponennya adalah:

.

Sekarang k ita akan berkenalan dengan konsepintegral tak tentu dar i fungsi

vek tor. Ant i turunan dar i fungsi vek tor pada selang terbuka didef inisikan

sebagai fungsi vek tor yang memenuhi .




Se perti halnya dengan f ungsi real, kita mempunyai bentuk yang paling

umum dari anti turunan ini yaitu , vektor konstan di . Bentuk ini dinamakan anti dif erensial dari f ungsi

pada selang . Integral tak tentu dari

f ungsi vektor pada selang terbuka didef inisikan sebagai anti dif erensial dari

f ungsi pada dan ditulis dengan lam bang . Dengan demikian lam bang berarti bahwa pada selang . Se perti pada integral tentu, integral tak tentu da pat dinyatakan dalam bentuk

komponen f ungsi vektornya yang meru pakan f ungsi real.

Rumus-rumus Integral Fungsi Vektor

Berdasarkan kenyataan bahwa integral f ungsi vektor da pat ditulis sebagai integral dari

komponennya yang berbentuk integral dari f ungsi real, kita mempunyai berbagai sif at

penting dari integral f ungsi vektor. Hasilnya kita nyatakan dalam rumus berikut.

Teorema 1.

1. Jika f ungsi vektor kontinu pada , maka f ungsi vektor terintegralkan pada .

2. Jika f ungsi vektor

dan

terintegralkan pada

,

dan

konstanta real, maka

f ungsi vektor juga terintegralkan pada dan




Bukti :

Pilih partisi Pn yang mem bagi menjadi n subselang yang sama panjang.

Jelas

� ��

��

� ��

��

´´

b

a

b

at Gqdt t F p )()(

Jadi ´´´ !b

a

b

a

b

a

t Gqdt t F pdt t qGt pF )()()()(

3. Jika f ungsi vektor terintegralkan pada dan , maka

Bukti:

Kasus :

Bangun partisi Pn sehingga c suatu ujung sub selang

Tulis m: banyak sub selang pada [a,c]

p: banyak sub selang pada [c,b]

Jelas

��

��

Tulis dan




Jadi

��

��

4. Teorema dasar kalkulus pertama

Misalkan f ungsi vektor kontinu pada . Jika dan f ungsi vektor

didef inisikan oleh , maka f ungsi vektor

terdif erensialkan pada dengan Bukti Teorema Dasar Kalkulus 1

Di punyai teorema dasar Kalkulus Satu

Jika g kontinu pada [a,b], maka Mempunyai turunan pada selang [a,b] dengan

Bukti :

Am bil sem barang

dan h>0 sehingga x=h<b.

��

��

��

��

�� untuk suatu c dengan

��




��

5. Teorema dasar kalkulus kedua

Jika f ungsi vektor kontinu pada dan terda pat f ungsi vektos yang

memenuhi , maka

Bukti Teorema dasar kalkulus kedua

Bangun partisi Pn untuk � �. Jelas F¶(t) kontinu pada � � Pilih � �� Jelas � ��

��

� �. Jadi � ��

6. Jika f ungsi vektor di terintegralkan pada dan suatu vektor di , maka perkalian scalar juga terintegralkan pada dan memenuhi

7. Jika f ungsi vektor

dan f ungsi real

terintegralkan pada

, maka




Rumus 1

Misalkan dan maka

Terbukti.

Rumus 2

Misalkan Jika maka rumus 1 berlaku trivial. Jika maka

dengan menggunakan sif at perkalian skalar dua vektor, rumus 1 dan ketaksamaan

C auchy-Schwarz di peroleh

Selanjutnya dari di peroleh ; ini mengakibatkan

Terbukti.

Contoh Soal :

Hitunglah setia p limit f ungsi vector berikut.

a)

��

� � �

b) �� Jawab :

a) Kita hitung dahulu limit setia p komponen f ungsi vektornya.




��

��

�

��

��

jadi, �� = i + j.

b) Kita hitung dahulu setia p komponen f ungsi vektornya.

��

��

��

��

Jadi, �� =i




BAB III

PENUTUP

Pada pokok pem bahasan f ungsi limit vektor da pat ditarik kesimpulan:

Def inisi:

1. Limit f ungsi Vektor adalah cabang materi dari mata kuliah Kalkulus lanjut.

2. Def inisi limit f ungsi vektor adalah f ungsi vektor terdef inisi pada selang tertutu p dan suatu partisi untuk selang

dengan panjang partisi

3. Dari Teorema 1.2 dida pat Jika f ungsi vektor dan terintegralkan pada

,

dan

konstanta real, maka f ungsi vektor

juga terintegralkan

pada dan




DAFTAR PUSTAKA

Dale Verberg, Edwin J. Pur cell, Steven E. R igdon. 2004. K al ©

ul us. Jilid 2. Edisi

kedela pan. Jakarta:Penerbit Erlangga

K. Martono. 1992. K al ©

ul i s Lanjut 1. Bandung:Institut Teknologi Bandung

htt p://oemahmatematika.com/materi-kuliah/kalkulus/limit-dan-kekontinuan-f ungsi-

vektor

Dikuti p pada tanggal 10 April 2011

62157575 limit bernilai vektor

Documents