1. Lendutan pada balok Yang dimaksud dengan lendutan adalah jarak sumbu netral sebelum melendut ke garis netral terdeformasi. Perubahan kedudukan titik yang besesuaian sepanjang sumbu batang menentukan garis elestis batang tersebut.

PP

xx PP

y

Garis elastis

Hubungan antara lendutan (y) dan jarak (x) membentuk sebuah fungsi yang disebut fungsi garis elastis. Apablia pusat salib sumbu di A sedangkan sumbu vettikal adaalh sumbu y dan horizontal adalah x maka persamaan garis elastis dapat dituliskan sebagai y = f(x). Perhitungan lendutan sangat penting dalam perancangan sutruktur. Misalnya : lendutan maksimum yang diijinkan pada sebuah balok adalah 1/300 dari panjang balok. Hal ini perlu ditetapkan agar tidak terjadi beban psikologis pada pemakai konstruksi. Selain itu perhitungan lendutan juga sangat penting untuk menganalisis struktur statis tak tentu.

1.1. Mengapa lendutan perlu dipelajari? 1. Untuk mencegah retak pada elemen konstruksi yang bersifat getas.

2. Memastikan struktur tidak melendut terlalu besar dan terasa aman bagi pemakainya.

3. Membantu menyelesaiakn struktur statis tak tentu.

1

1.2. Cara-cara menghitung lendutan:

Metodemenghitung lendutan

MetodeIntegrasi Berganda

Metode EnergiMetodeGeometri

MetodeBalok Konyugasi

MetodeLuasan Momen

MetodeKerja virtual

MetodeCastigliano

Ada beberapa metode perhitungan lendutan balok antara lain :

o Integral berganda ( metode integrasi berganda) o Metode luasan momen (Moment-area method) o Metode Konyugasi o Metode energi o Metode fungsi tunggal

Pada bagian ini hanya dibahas dua metode pertama.

1.2.1. Metode integrasi berganda Hubungan antara beban, gaya lintang, momen, perputaran sudut dan lendutan dapat dirumuskan sebagai berikut :

4

4

3

3

2

2

''''

'''

''

'

lendutan

dxyd

dxdDy

EIq

dxyd

dxdMy

EID

dxyd

dxdy

EIM

dxdyy

y

===

===

===

===

2

1.3. Metode integrasi ganda Asumsi-asumsi :

1. lendutan akibat gaya geser diabaikan karena relatif kecil dibandingkan dengan lendutan akibat momen lentur.

2. lendutan yang terjadi sangat kecil dibandingkan dengan dimensi balok

3. semua bagian balok dianggap masih dalam rentang elastis

4. balok dianggap lurus sebelum dibabani. Syarat batas: Pada tumpuan jepit:

Y= 0 ( lendutan = nol) = 0 (sudut garis singgung = 0)

Tumpuan sendi : Y=0 M=0

Ujung bebas : M = 0 V = 0

Tumpuan Rol : M=0 Y=0

Prosedur umum perhitungan :

1. )('''' 44

xqdxydEIyEI ==

2. )(''' 10

3

3

xDCdxqyEIdxydEI

x

=+== 3. )('' 21

002

2

xMCxCdxqdxyEIdxydEI

xx

=++== 4. )(' 32

212

1

000

xCxCxCdxqdxdxyEIdxdyEI

xxx

=+++== 5. 43

222

1312

131

0000

CxCxCxCdxqdxdxdxyEIxxxx

++++=

3

dV wdx

=

d Mdx EI =

2

2

d M wdx

=

2

2

d Mdx EI

=

dV wdx

=

d Mdx EI =

2

2

d M wdx

=

2

2

d Mdx EI

=

V wdx= M dxEI

=

M wdx dx = M dx dxEI

=

V wdx= M dxEI

=

M wdx dx = M dx dxEI

=

Integrasi

Contoh 1:

Lx

x

y

P

PLP

PxPLM +=M

dxydEI =2

2

@ x PxPLdxydEI +=2

2

Integrasi pertama 12

2cxPPLx

dxdyEI ++=

@ x = 0 ( ) ( ) ( ) 020000 11

2

=++== ccPPLEIdxdy

Integrasi kedua 232

62cxPPLxEIy ++=

@ x = 0 ( ) ( ) ( ) 0600

200 22

32 =++== ccPPLEIy

62

32 xPPLxEIy +=@ x = L y = ymax

EIPLyPLLPLPLEIy3662

3

max

332

max ==+=EIPL3

3

max =

Lx

x

y

P

PLP

PxPLM +=M

dxydEI =2

2

@ x PxPLdxydEI +=2

2

Integrasi pertama 12

2cxPPLx

dxdyEI ++=

@ x = 0 ( ) ( ) ( ) 020000 11

2

=++== ccPPLEIdxdy

Integrasi kedua 232

62cxPPLxEIy ++=

@ x = 0 ( ) ( ) ( ) 0600

200 22

32 =++== ccPPLEIy

62

32 xPPLxEIy +=@ x = L y = ymax

EIPLyPLLPLPLEIy3662

3

max

332

max ==+=EIPL3

3

max =

4

Contoh 2:

Lx

x

y

WL

( )22

xLWM =

MdxydEI =2

2

@ x ( )222

2xLW

dxydEI =

Integrasi pertama( )

1

3

32cxLW

dxdyEI +=

@ x = 0 ( ) ( )63

02

003

11

3 WLccLWEIdxdy =+==

W N per satuan panjang

2

2WL

( )66

33 WLxLW

dxdyEI =

Lx

x

y

WL

( )22

xLWM =

MdxydEI =2

2

@ x ( )222

2xLW

dxydEI =

Integrasi pertama( )

1

3

32cxLW

dxdyEI +=

@ x = 0 ( ) ( )63

02

003

11

3 WLccLWEIdxdy =+==

W N per satuan panjang

2

2WL

( )66

33 WLxLW

dxdyEI =

( )24624

434 WLxWLxLWEIy +=

Max. terjadi pada x = L

EIWLyWLWLLWEIy88246

4

max

444

max ==+=

EIWL8

4

max =

Integrasi kedua( )

2

34

646cxWLxLWEIy +=

Pada x = 0 ( ) ( ) ( )24

064

06

004

22

34 WLccWLLWEIy =+==

( )24624

434 WLxWLxLWEIy +=

Max. terjadi pada x = L

EIWLyWLWLLWEIy88246

4

max

444

max ==+=

EIWL8

4

max =

Integrasi kedua( )

2

34

646cxWLxLWEIy +=

Pada x = 0 ( ) ( ) ( )24

064

06

004

22

34 WLccWLLWEIy =+==

5

Lx

y x

2WL

2WL

22xWxxWLM =

22

2

2

2 xWxWLdxydEI =

Integrasi 132

3222cxWxWL

dxdyEI +=

Karena balok simetris 02

@ ==dxdyLx

( ) +

== 1

32

32

222

20

2@ c

LW

LWLEILx

24

3

1WLc =

2464

332 WLxWxWL

dxdyEI =

L

x

y

LL

x

y x

2WL

2WL

2WL

2WL

22xWxxWLM =

22

2

2

2 xWxWLdxydEI =

Integrasi 132

3222cxWxWL

dxdyEI +=

Karena balok simetris 02

@ ==dxdyLx

( ) +

== 1

32

32

222

20

2@ c

LW

LWLEILx

24

3

1WLc =

2464

332 WLxWxWL

dxdyEI =

Integrasi2

343

244634cxWLxWxWLEIy +=

@ x = 0 y = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2343

0244

063

04

0 cWLWWLEI += 02 = c

xWLxWxWLEIy242412

343 =

Max. terjadi @ x = L /2 384

5 4max

WLEIy =

EIWL

3845 4

max =

Integrasi2

343

244634cxWLxWxWLEIy +=

@ x = 0 y = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2343

0244

063

04

0 cWLWWLEI += 02 = c

xWLxWxWLEIy242412

343 =

Max. terjadi @ x = L /2 384

5 4max

WLEIy =

EIWL

3845 4

max =

6

1.4. Metode Luasan Momen (Momen Area Method) Teorema I Sudut diantara tangen arah di A dan di B adalah sama dengan luasan diagram momen lentur diantara kedua titik A dan B, dibagi dengan perkalian E da I.

= BA

dxEIM

A B

Tangen

t at B

d

d

xdx

dsAB

Tangen

t at B

d

d

xdx

ds

Teorema II Jarak vertikal titik B pada kurva lendutan ke garis singgung titik A pada kurva lendutan sama dengan besarnya momen terhadap grs vertikal melalui B dari luasan diagram momen diantara A dan B, dibagi EI.

dxEIMxB

A= ddsddsEIM ===

dx ds kecilsegmen untuk == dsEIMd

dxEIMddx

EIMd

B

A === menjadian integrasik

== BA

dxEIMxdx

EIMxxd

7

Prosedur perhitungan

1. Tentukan reaksi perletakan balok

2. gambarkan perkiraan garis elastis. Kurva ini harus konsisten dengan kondisi yang sudah diketahui pada perletakan, seperti tangen arah nol dan lendutan nol.

3. Gambarkan diagram momen balok sehingga dapat diketahui diagram M/EI nya.

4. pilih titik A dan B, kemudian gambarkan garis singgung kedua titik ini. Dengan asumsi salah satu titik kondisi (lendutan, sudut) diketahui misalnya titik A.

5. Hitung lendutan titik B relatif terhadap titik A dengan teorema II. Contoh 1

P

PL L

P

A

B

= ?Tangent di A

Tangent di B

PLM

( )33

22

3PLLPLLEI =

=EI

PL3

3

=

( )PLLEI =2 EI

PL2

2

=

P

PL L

P

A

B

= ?

L

P

A

B

= ?Tangent di A

Tangent di B

PLM

( )33

22

3PLLPLLEI =

=EI

PL3

3

=

( )PLLEI =2 EI

PL2

2

=

8

Contoh 2.

WL2

2WL

Tangent A

L

A W N per satuan panjang

B = ?

2

2WL

xLWLA

231 2=

Lx43=

843

23

42 WLLLWLEI =

=

EIWL8

4

=

WL2

2WL

Tangent A

L

A W N per satuan panjang

B = ?

2

2WL2

2WL

xxLWLA

231 2=

Lx43=

843

23

42 WLLLWLEI =

=

EIWL8

4

=

Contoh 3

L

aP

aP

P P

aaL 2

Pa

Tangent A

A = ?

aPaaaaLaLPaEI32

2242+

+

= 3

22

32448aPaLaLaLPa +

+=

== 33332 43

2468 La

LaPLPaPaL

= 333 43

24 La

La

EIPL

9

1.5. Metode Balok Konyugasi Teorema I Sudut garis singgung kurva elastis pada suatu titik balok sebenarnya besarnya sama dengan gaya geser pada titik yang besesuai dengan titik tersebut pada balok konyugasi. Teorema II Penurunan (lendutan) suatu titik pada balok sebenarnya besarnya sama dengan momen pada titik yang bersesuaian dengan titik tersebut pada balok konyugasi.

10

Prosedur analisis balok konyugasi

1. Gambarkan balok konyugasi lengkap dengan kondisi batasnya.

2. Buat diagram momen, kemudian bebani balok konyugasi dengan M/EI. Apabila M/EI positif maka beban mengarah ke bawah dan sebaliknya keatas.

11

3. Tentukan reaksi perletakan, gaya lintang dan momen balok konyugasi.

4. Gaya lintang pada balok konyugasi merupakan putaran sudut pada balok sebenarnya, dan momen pada balok konyugasi merupakan lendutan pada balok sebenarnya.

Contoh 1

A

9 m

8 kN

B

x

3 m

2 kN 6 kN

A

9 m

8 kN

B

x

3 m

2 kN 6 kN

Lendutan Maximum terjadi pada titik pada

slope sama dg nol

8 kN

A Bx

18kNm

A Bx

18/EI

Balok Kunyugasi

Balok sebenarnya

45/EI 63/EI

Sesuai dengan gayageser sama dg nol

2 kN

6 kN

9 m 3 m

81/EI 27/EI

Lendutan Maximum terjadi pada titik pada

slope sama dg nol

8 kN

A Bx

18kNm

A Bx

18/EI

Balok Kunyugasi

Balok sebenarnya

45/EI 63/EI

Sesuai dengan gayageser sama dg nol

2 kN

6 kN

9 m 3 m

81/EI 27/EI

8 kN

A Bx

18kNm

A Bx

18/EI

Balok Kunyugasi

Balok sebenarnya

45/EI 63/EI

Sesuai dengan gayageser sama dg nol

2 kN

6 kN

9 m 3 m

81/EI 27/EI

12

A Bx

18/EI

45/EI 63/EI

x

A Bx

18/EI

45/EI 63/EI

x

13

1. Lendutan pada balok 1.1. Mengapa lendutan perlu dipelajari? 1.2. Cara-cara menghitung lendutan: 1.2.1. Metode integrasi berganda

1.3. Metode integrasi ganda 1.4. Metode Luasan Momen (Momen Area Method) 1.5. Metode Balok Konyugasi