lecture notes: discrete dynamical system and...

Lecture Notes: Discrete Dynamical

System and Chaos

Johan Matheus Tuwankotta

Departemen Matematika, FMIPA, Institut Teknologi Bandung, jl.Ganesha no. 10, Bandung, Indonesia.mailto:[email protected].

Contents

List of Figures 5

Pengantar 9Sekelumit sejarah sistem dinamik 9Apa yang ditawarkan buku ini 9

Chapter 1. Teori Pendahuluan 111. Lapangan bilangan real 112. Kalkulus fungsi 143. Teorema-teorema penting dalam medan vektor 15

Chapter 2. Sistem Dinamik Diskrit: suatu pengantar 211. Pendahuluan 212. Definisi Sistem Dinamik Diskrit 223. Representasi grafis dari suatu sistem dinamik 25

Chapter 3. Solusi Khusus dan Masalah Kestabilan 291. Pendahuluan 292. Titik tetap sistem dinamik 293. Solusi Periodik 304. Titik Iterasi Berhingga 325. Masalah kestabilan titik tetap 33

Chapter 4. Bifurkasi Titik Tetap Berkodimensi Satu 371. Pendahuluan 372. Contoh bifurkasi sederhana 373. Bifurkasi fold 404. Bifurkasi flip 44

Chapter 5. Pemetaan Kuadratik 471. Analisis titik tetap 472. Bifurkasi flip pada pemetaan Kuadratik 523. Rute menuju Chaos 564. Ukuran atraktor chaotik pada pemetaan kuadratik 59

Chapter 6. CHAOS: Akhir dari sebuah kepastian. 631. Ketidakpastian vs. kepastian 632. Sebuah mimpi: ramalan cuaca 653. Chaos: Sains atau fiksi? 664. So much to do, so little time 67

3

4 CONTENTS

Bibliography 69

List of Figures

1.1 Ilustrasi Teorema Fungsi Implisit. 17

2.1 Grafik deret waktu dari sistem dinamik (2.7).Titik-titik yang digambarkan dengan ◦ adalah untukµ = 1, 2 dan populasi awal 10. Titik-titik yangdigambarkan dengan ∗ adalah untuk µ = 0, 8 danpopulasi awal 80. . 26

2.2 Grafik deret waktu dari sistem dinamik (2.8) untukµ = 0, 95, C = 10 dan populasi awal 60. 27

2.3 Representasi dua dimensi dari sistem dinamik. 28

3.1 Kurva yang digambar dengan garis putus-putus padakedua grafik adalah y = x. Kurva yang digambardengan titik-titik adalah y = f(x), dengan garistegas adalah y = f 2(x) dan dengan garis dan titikadalah y = f 4(x). Titik potong dengan kurva y = xmenyatakan titik tetap dari masing-masing fungsi.Ilustrasi ini untuk µ = 3, 5. 31

3.2 Pada Gambar ini digambarkan solusi periodik untukµ = 3, 25 (kiri) dan µ = 3.5 (kanan). Nilai µ tersebutdipilih berbeda untuk kepentingan ilustrasi (sebabpada saat µ = 3, 5 solusi 2-periodik tidak lagi stabil). 32

3.3 Ilustrasi dua buah titik iterasi berhingga. 32

3.4 Representasi grafis dari sistem dinamika xn+1 =f(xn), dengan f(x) = x + x2. 35

3.5 Representasi grafis dari sistem dinamika xn+1 =f(xn), dengan f(x) = x− x3. 35

3.6 Representasi grafis dari sistem dinamika xn+1 =f(xn), dengan f(x) = −x− x3. 36

3.7 Representasi grafis dari sistem dinamika xn+1 =f(xn), dengan f(x) = x + x3. . 36

4.1 38

4.2 39

4.3 40

5

6 LIST OF FIGURES

5.1 Ilustrasi grafik fµ(x) untuk dua nilai µ yang berbeda.Gambar yang kiri adalah untuk 1 < µ2 sedangkanyang kanan adalah untuk 2 < µ < 3. 49

5.2 Pada kasus 2 < µ < 3, dinamika dari sistem x = fµ(x)berbeda dengan kasus 1 < µ < 2. Pada kasus initerdapat rotasi di sekitar titik tetapnya. 49

5.3 Pada gambar ini diperlihatkan himpunan limit yangstabil dari pemetaan kuadratik jika 0 < µ < 3.Dinamika sistem didonimasi oleh sebuah titik tetapyang stabil. 51

5.4 Pada gambar ini diperlihatkan dinamika pemetaankuadratik untuk nilai µ yang lebih kecil dari 3, samadengan 3 dan lebih besar dari 3. Jika µ melewati nilai3, terbentuk suatu solusi periodik dengan periodedua. 52

5.5 Pada gambar ini diperlihatkan grafik dari fungsif 2

µ(x). Untuk tiga nilai µ seperti pada gambar 5.4.Ilustrasi ini memperlihatkan proses terciptanya solusiperiodik berperiode 2. 53

5.6 Gambar ini memperlihatkan terjadinya bifurkasi flipyang kedua pada pemetaan kuadratik. Bifurkasiini menghasilkan solusi periodik berperiode 4 darisolusi periodik berperiode 2. Ini terjadi di sekitarµ = 1 +

√6. 54

5.7 Himpunan limit dari pemetaan kuadratik untuk3 < µ < µ∞. 55

5.8 Himpunan limit yang stabil dari pemetaan kuadratikuntuk 0 < µ < 4. Gambar ini dapat dipandangsebagai gambar dari atraktor yang ada padapemetaan kuadratik untuk nilai µ ∈ [0, 4]. Perhatikantingkat kompleksitas dari atraktor tersebut jika µmembesar menuju 4. 55

5.9 Transisi menuju Chaos pada pemetaan kuadratik.Dari kiri ke kanan, mulai pada baris pertama, nilaiµ = 2, 25, µ = 3, 25, µ = 3, 5, µ = 3, 56, µ = 3, 57,dan µ ≈ µ∞. 57

5.10 Atraktor chaotik pada saat µ ≈ µ∞. Gambar kiriadalah bentuk atraktor setelah 2500 iterasi sedangkangambar kanan setelah 5000 iterasi. 58

5.11 Himpunan limit di sekitar µ = µ∞. Dinamika chaotikpada pemetaan kuadratik tiba-tiba hilang ketika µmelewati nilai µ∞. Hilangnya dinamika chaotik inidisebabkan terciptanya suatu solusi periodik yang

LIST OF FIGURES 7

stabil dengan periode 10. Kehadiran suatu solusiperiodik yang stabil, membuat dinamika sistemkembali menjadi regular. 58

5.12 Atraktor periodik dengan periode 10. Gambar yangkiri adalah himpunan limit dari pemetaan x = f 10

µ (x)sedangkan yang kanan adalah dinamika pemetaankuadratik pada nilai µ = 3, 6055. 59

5.13 Himpunan limit dari pemetaan kuadratik untuk3 < µ < 4. Di antara kabut titik hitam, di beberapatempat terdapat daerah putih. Daerah putih tersebutmenyatakan daerah di mana dinamika chaotiktidak muncul pada pemetaan kuadratik. Hilangnyadinamika chaotik tersebut senantiasa disebabkan olehmunculnya solusi periodik yang stabil. 60

5.14 Atraktor periodik dengan periode 10. Gambar yangkiri adalah himpunan limit dari pemetaan x = f 10

µ (x)sedangkan yang kanan adalah dinamika pemetaankuadratik pada nilai µ = 3, 6055. 61

6.1 Ilustrasi percobaan yang dilakukan oleh E. Lorenz. 65

6.2 Transisi menuju Chaos. 67

CHAPTER 1

Teori Pendahuluan

1. Lapangan bilangan real

1.1. Struktur aljabar dari himpunan bilangan. Manusia telahmengenal bilangan sejak lama. Pada awalnya manusia hanya mengenalbilangan asli (natural numbers). Keperluan ini sangat jelas yaitu untukmenghitung (counting) misalkan banyaknya kuda. Bilangan-bilangantersebut jika dihimpun menjadi suatu himpunan ternyata memiliki su-atu struktur aljabar yang sangat menarik.

Salah satu struktur aljabar yang sangat fundamental adalah grup.Grup adalah suatu himpunan yang memuat satu operasi yang dikenaldengan nama penjumlahan. Grup G adalah struktur yang mengako-modasi persamaan linear monik: x + a = b dengan a, b ∈ G dan xadalah variabel. Pada grup G semua persamaan linear monik sepertiitu memiliki solusi1. Contoh dari suatu grup adalah himpunan bilanganbulat Z.

Jika struktur tersebut kita lengkapi dengan perkalian antar un-surnya, maka kita dapat berbicara tentang persamaan linear yang lebihumum yaitu: a · x + b = c, dengan a, b, c ∈ G. Pertanyaan per-tama adalah untuk mendefinisikan persamaan linear seperti ini adalahketertutupkan. Jika kita memiliki tiga elemen himpunan yang memi-liki struktur tertentu (misalkan a1, a2, dan a3), maka kita inginkana1 · a2 + a3 juga berada di dalam himpunan tersebut. Struktur yangdapat mengakomodasi sifat ini adalah Ring. Bilangan bulat Z jugamemiliki struktur ring. Meskipun persamaan linear umum dapat diako-modasi oleh ring, struktur aljabar ring tidaklah cukup untuk memuatsolusi dari persamaan linear umum.

Struktur aljabar yang mengakomodasi solusi dari suatu persamaanlinear umum seperti ini disebut Lapangan. Untuk persamaan linearumum dengan koefisien bilangan bulat Z, struktur yang tepat adalahlapangan bilangan rasional Q = {a

b|a, b ∈ Z, b 6= 0}. Persamaan lin-

ear umum dengan koefisien bilangan rasional juga diakomodasi denganbaik oleh lapangan bilangan rasional.

1.2. Kelengkapan lapangan bilangan real. Lapangan bilan-gan rasional dapat mengakomodasi persamaan linear umum dengan

1Menurut pendapat saya, pendekatan ini memberi alasan yang lebih naturaltentang lahirnya konsep bilangan negatif.

9

10 1. TEORI PENDAHULUAN

baik, namun lapangan tersebut tidaklah lengkap. Apa yang dimaksuddengan lengkap akan menjadi jelas pada bagian ini.

Himpunan bilangan real (dan juga bilangan rasional) memiliki su-atu sifat yang menarik yaitu himpunan bilangan real adalah himpunanyang terurut secara linear. Artinya setiap dua bilangan real x dan yakan memenuhi salah satu dari

x < y, atau x = y atau x > y.

Sifat ini disebut trikotomi bilangan real.

Misalkan A ⊂ R adalah sebuah himpunan. Batas atas A adalah u ∈ Ryang memenuhi u ≥ x untuk setiap x ∈ A. Batas atas terkecil atausupremum adalah suatu batas atas us yang memenuhi jika u adalahbatas atas maka u ≥ us. Dengan cara yang serupa kita mendefinisikanbatas bawah dan batas bawah terkecil atau infimum.

Definition 1.1. Suatu himpunan dikatakan lengkap jika setiaphimpunan bagian darinya yang tak kosong dan yang bukan keseluruhanhimpunan, senantiasa memiliki infimum dan supremum.

Misalkan {xn} adalah sebuah barisan bilangan.

Definition 1.2. Barisan bilangan {xn} dikatakan barisan Cauchyjika memenuhi untuk setiap ε > 0, terdapat M ∈ N sehingga |xn −xm| < ε jika n,m > M .

Exercise 1.1. Misalkan xn suatu barisan yang memenuhi: ∀p ∈ Ndan ε > 0 berlaku ∃M ∈ N sehingga |xn+p − xn| < ε jika n > M .Buktikan bahwa xn tidaklah harus merupakan barisan Cauchy.

Exercise 1.2. Tunjukkan bahwa setiap barisan Cauchy di lapan-gan yang lengkap konvergen.

Ada barisan bilangan rasional yang merupakan barisan Cauchytetapi tidak konvergen di Q. Ini berarti lapangan bilangan rasionaltidak lengkap. Suatu lapangan yang lengkap dan memuat bilangan ra-sional adalah lapangan bilangan real R. Dalam lapangan yang lengkap,semua barisan bilangan Cauchy konvergen.

1.3. Lapangan bilangan real sebagai ruang metrik. Fungsi”harga mutlak” seperti di atas dapat kita perumum ke ruang yanglebih umum misalkan X.

Definition 1.3. Misalka sebuah himpunan X yang elemen-elemennyaakan kita sebut sebagai titik. Definisikan sebuah fungsi

d : X ×X → R(x, y) 7→ d(x, y),

yang memenuhi

(1) d(x, y) > 0 jika x 6= y dan d(x, x) = 0,

1. LAPANGAN BILANGAN REAL 11

(2) d(x, y) = d(y, x),(3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) untuk sebarang z ∈ X.

Fungsi d di sebut metrik dan ruang X yang dilengkapi dengan X dise-but ruang metrik.

Jadi barisan bilangan Cauchy dalam hal ini menjadi seperti berikut.

Definition 1.4. Barisan bilangan {xn} ⊂ X dikatakan barisanCauchy jika memenuhi untuk setiap ε > 0, terdapat M ∈ N sehinggad(xn, xm) < ε jika n,m > M .

1.4. Topologi bilangan real. Beberapa definisi kita perlukan se-belum berbicara tentang topologi. Alat utama dalam topologi adalahhimpunan buka.

Definition 1.5. Misalkan x◦ adalah suatu bilangan real dan ε > 0.Suatu lingkungan dari x◦ adalah suatu interval buka (x◦− ε, x◦ + ε) ={x ∈ R | x◦ − ε < x < x◦ + ε}.

Definition 1.6. Misalkan I adalah suatu himpunan bagian takkosong dari R (definisi di bawah dapat diperluas dengan mudah jika Iadalah sebarang himpunan tak kosong).

(1) Titik x ∈ I disebut titik dalam dari I jika ada ε > 0 sehingga(x− ε, x + ε) ⊂ I.

(2) Titik x disebut titik batas dari I jika untuk setiap ε > 0,(x − ε, x + ε) ∩ I 6= ∅ dan (x − ε, x + ε) ∩ Ic 6= ∅ di mana Ic

adalah komplemen dari I.(3) Titik x disebut titik limit dari I jika terdapat barisan bilangan

di I yang konvergen ke x.(4) Titik x disebut titik akumulasi dari I jika untuk setiap ε > 0,

terdapat y ∈ (x− ε, x + ε) ∩ I dengan y 6= x.

Exercise 1.3. Tunjukkan bahwa jika x adalah titik limit dari Imaka x ∈ I atau untuk setiap ε > 0 terdapat y ∈ I sehingga |x−y| < ε.

Definition 1.7. Misalkan I adalah suatu himpunan bagian dariR.

(1) I dikatakan himpunan buka jika setiap elemennya adalah titikdalam.

(2) I dikatakan himpunan tutup jika I memuat semua titik limit-nya.

(3) I dikatakan himpunan sempurna jika semua elemen I adalahtitik akumulasi dari I.

Seringkali kita memiliki sebuah himpunan yang tidak tutup I. Kitaingin mencari himpunan tutup terkecil yang memuat I. Himpunan itudisebut pembuat-tutup dari I dan dinotasikan dengan I.

Perhatikan kembali lapangan bilangan rasional Q. Misalkan q1 danq2 adalah bilangan rasional sebarang dengan q1 < q2. Karena q1 dan


q2 adalah bilangan rasional maka terdapat a1, a2, b1 dan b2 bilangan-bilangan bulat sehingga q1 = a1/b1 dan q2 = a2/b2. Maka

q12 =q1 + q2

2=

a1b2 + a2b1

2b1b2

∈ Qdan q1 < q12 < q2. Jadi di antara dua bilangan rasional terdapatsebuah bilangan rasional, seberapa dekatnya kedua bilangan rasionaltidak menjadi masalah. Hal ini memperlihatkan betapa rapatnya bi-langan rasional tersebar.

Meskipun demikian, di antara dua bilangan rasional senantiasa ter-dapat bilangan irasional. Ambil dua buah bilangan rasional sebarang.Tanpa mengurangi keumuman bukti, pilih

0 <a1

b<

a2

b, dan a1 < b.

Jelas a1 < a1 + 1 ≤ a2. Kita tahu bahwa 0 <√

22

< 1. Akibatnya

a1 < a1 +√

22

< a1 + 1. Jadi

a1

b<

2a1 +√

2

2b<

a1 + 1

b≤ a2

b.

Exercise 1.4. Tunjukkan bahwa 2a1+√

22b

adalah bilangan irasional.

Definition 1.8. Suatu himpunan I ⊂ J ⊂ R dikatakan padat diJ jika memenuhi I = J .

Theorem 1.9. Himpunan I ⊂ J dikatakan padat di J jika untuksetiap elemen b ∈ J dan ε > 0 terdapat a ∈ I sehingga |a− b| < ε.

Proof. Ambil b ∈ J sebarang. Karena I = J maka terdapat suatubarisan di I, misalkan {an} sehingga an → b. Ambil ε > 0 sebarang.Maka terdapat N sehingga |an− b| < ε jika n > N . Pilih a = an untuksuatu n > N . ¤

Bilangan rasional Q padat di R. Himpunan padat akan memainkanperanan penting dalam analisis sistem dinamik diskrit dan chaos.

2. Kalkulus fungsi

Pada buku ini kita akan mempelajari fungsi dan iterasi sebuahfungsi. Kita akan memulai dengan memberikan beberapa definisi danmenyeragamkan notasi.

Definition 1.10. Misalkan I dan J adalah dua buah himpunantak kosong. Pandang suatu fungsi f : I → J .

(1) f dikatakan fungsi satu satu jika dipenuhi: f(x) 6= f(y) be-rakibat x 6= y. Fungsi satu satu juga disebut fungsi injektif.

(2) f dikatakan fungsi pada jika dipenuhi untuk setiap y ∈ Jterdapat x ∈ I sehingga f(x) = y. Fungsi satu satu padadisebut fungsi surjektif.

3. TEOREMA-TEOREMA PENTING DALAM MEDAN VEKTOR 13

(3) f dikatakan fungsi satu satu pada, jika f satu satu dan f pada.Fungsi seperti ini dikatakan fungsi bijektif.

Secara umum, kita dapat mendefinisikan turunan dari sebuah fungsisebagai berikut. Pandang F : Rn −→ Rm. Turunan dari fungsi F dititik ξ ∈ Rn adalah suatu transformasi linear DF (ξ) : Rn −→ Rm yangmemenuhi:

lim‖h‖→0

‖ F (ξ + h)− F (ξ)−DF (ξ)h ‖‖ h ‖ = 0,

‖ ‖ adalah norm standard di Rn. Pandang L(Rn,Rm) = {T : Rn −→Rm, T linear}. Maka DF (ξ) ∈ L(Rn,Rm).

Exercise 1.5. Buktikan bahwa L(Rn,Rm) ≡ Rm×n.

Definition 1.11. Pandang f : I → J .

(1) Fungsi f dikatakan sebuah homeomorfisma jika f bijektif dankontinu, akibatnya f−1 juga kontinu.

(2) Fungsi f dikatakan Cr-difeomorfisma jika f homeomorfisma,terdiferensialkan r-kali, serta f−1 juga terdiferensialkan r-kali.

Misalkan dua buah himpunan A dan B. Misalkan pula terdapathomeomorfisma f dari A ke B, maka A dikatakan homeomorfik den-gan B. Dalam hal f adalah Cr-difeomorfisma, maka A dikatakan Cr-difeomorfik dengan B.

3. Teorema-teorema penting dalam medan vektor

3.1. Prinsip kontraksi.

Definition 1.12. Misalkan X adalah suatu ruang metrik denganmetrik d. Suatu fungsi (medan vektor) F : X → X dikatakan suatupemetaan kontraktif jika terdapat 0 ≤ c < 1 sehingga

d(F (x),F (y)) ≤ cd(x, y).

Suatu pemetaan kontraktif di ruang metrik yang lengkap memilikisifat yang bagus.

Theorem 1.13. Jika X adalah ruang metrik lengkap dan F adalahsuatu kontraksi, maka terdapat secara tunggal x ∈ X sehingga F (x) =x.

Proof. Ambil x0 ∈ X sebarang. Definisikan xn+1 = F (xn). Makauntuk suatu 0 ≤ c < 1 berlaku

d(xn+1, xn) = d(F (xn),F (xn−1)) ≤ cd(xn, xn−1).

Dengan menggunakan induksi matematika kita dapatkan

d(xn+1, xn) ≤ cnd(x1, x0).


Dengan menggunakan ketaksamaan segitiga didapat, jika m > n

d(xn, xm) ≤ (cn + cn−1 + . . . + cm−1

)d(x1, x0) ≤ cn

1− cd(x1, x0).

Jadi xn adalah barisan Cauchy. Karena X lengkap maka xn konvergen.Kekontinuan dari F mengakibatkan F (x) = x. ¤

3.2. Teorema Fungsi Invers.

Theorem 1.14. Misalkan F adalah fungsi dari E ⊂ Rn ke Rn

yang terdiferensialkan secara kontinu. Jika DF (a) untuk suatu a ∈ Ememiliki invers dan F (a) = b, maka terdapat G sehingga G(F (x) =x. dan G juga terdiferensialkan secara kontinu.

Proof. Misalkan DF (a) = A dan pilih λ sehingga 2λ ‖ A−1 ‖= 1.Karena DF adalah fungsi yang kontinu di x = a, maka terdapat suatubola buka U ⊂ E yang berpusat di a sehingga

‖ DF (x)− A ‖< λ, untuk x ∈ U.

Ambil y ∈ Rn sebarang. Definisikan sebuah fungsi ϕy(x) = x +A−1 (y − F (x)), untuk x ∈ E. Jika kita dapat membuktikan bahwafungsi ϕy memenuhi prinsip kontraksi, maka dari Teorema 1.13, ϕy

memiliki tepat satu titik tetap xy.

Exercise 1.6. Tunjukkan bahwa ϕy kontraktif.

Pada titik tetap tersebut berlaku ϕy(xy) = xy. Ini berakibat y =F (xy). Jadi, kita dapat mendefinisikan suatu fungsi

G : V −→ Rn

y 7−→ xy

dengan xy adalah titik tetap dari ϕy dan V = F (U). Jelas, G(F (xy)) =G(y) = xy.

Ambil y dan y + k, keduanya di V . Dengan argumentasi seperti diatas, terdapat secara tunggal x dan x + h sehingga F (x) = y danF (x + h) = y + k. Perhatikan bahwa

G(y + k)−G(y) = x + h− x= ϕy+k(x + h)− ϕy(x).= h + A−1 (k − F (x + h) + F (x))= A−1 (k − F (x + h) + F (x) + Ah)

Dengan menggunakan argumentasi kekontinuan dari ϕ, kita simpulkanbahwa jika h → 0 maka k → 0 secara linear. Jadi

lim|k→0

|G(y + k)−G(y)−Bk||k| = 0

untuk suatu B yang adalah turunan dari G. ¤


3.3. Teorema Fungsi Implisit. Pandang suatu fungsi f : R2 →R yang terdiferensialkan secara kontinu secukupnya. Sebagai contoh,pandang f(x, y) = x2 + y2 − 1. Himpunan f−1(0) = {(x, y)|f(x, y) =0} mendefinisikan apa yang disebut lengkungan ketinggian-0 dari f .Misalkan (a, b) ∈ f−1(0) seperti pada gambar Gbr 1.1.

( )a,b

Figure 1.1. Ilustrasi Teorema Fungsi Implisit.

Jika −1 < a < 1, senantiasa ada δ > 0 dan ε > 0 sehingga untuksetiap x ∈ (a−δ, a+δ) terdapat y ∈ (b−ε, b+ε) sehingga y =

√1− x2.

Hal ini mengatakan bahwa pada lingkungan (a, b) yaitu (a− δ, a+ δ)×(b−ε, b+ε), terdapat secara tunggal fungsi y(x) sehingga f(x, y(x)) =0. Hal ini tidak dapat kita lakukan jika a = 1 atau a = −1.

Masalah ini adalah masalah yang akan kita bahas dalam TeoremaFungsi Implisit. Syarat apakah yang harus dipenuhi oleh f(x, y) dititik (a, b) sehingga kita dapat mempunyai fungsi y(x) yang membuatf(x, y(x)) = 0.

Untuk kesederhanaan notasi, misalkan x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, y =(y1, . . . , ym) ∈ Rm, dan (x, y) = (x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) ∈ Rn+m.

Example 1.15 (Versi Linear Teorema Fungsi Implisit). MisalkanA ∈ L(Rn+m,Rn) sebarang. Definisikan matriks-matriks Ax ∈ Rn×n

dan Ay ∈ Rn×m sehingga

Axh = A

(h0

), dengan h ∈ Rn,0 ∈ Rm,

dan

Ayk = A

(0k

), dengan 0 ∈ Rn,k ∈ Rm.

Perhatikan persamaan:

A

(hk

)= Axh + Ayk = 0.


Jika Ax memiliki invers (yaitu jika det(Ax) 6= 0) maka

h = − (Ax)−1 Ayk.

Contoh di atas menjadi suatu pengantar untuk Teorema FungsiImplisit di bawah ini. Pandang E ⊆ Rn+m. Misalkan C1(E,Rn) = {f :E −→ Rn| yang terdiferensialkan secara kontinu }. Kita notasikan:

A = Df(a, b) =

∂f1

∂x1. . . ∂f1

∂xn

f1

∂y1. . . ∂f1

∂ymf2

∂x1. . . ∂f2

∂xn

f2

∂y1. . . ∂f2

∂ym

.... . .

......

. . ....

fn

∂x1. . . ∂fn

∂xn

fn

∂y1. . . ∂fn

∂ym

∣∣∣∣∣∣∣∣∣(a,b)

,

Ax =

∂f1

∂x1. . . ∂f1

∂xnf2

∂x1. . . ∂f2

∂xn...

. . ....

fn

∂x1. . . ∂fn

∂xn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣(a,b)

dan Ay =

∂f1

∂y1. . . ∂f1

∂ymf2

∂y1. . . ∂f2

∂ym

.... . .

...fn

∂y1. . . ∂fn

∂ym

∣∣∣∣∣∣∣∣∣(a,b)

Theorem 1.16 (Teorema Fungsi Implisit). Misalkan f ∈ C1(E,Rn).dan matriks Ax seperti di atas . Asumsikan,

(A1) terdapat (a, b) ∈ E sehingga f(a, b) = 0,(A2) matriks Ax seperti yang didefinisikan di atas memiliki invers.

Maka, terdapat U ⊂ E yang memuat (a, b), V ⊂ Rm yang membuat bdan suatu fungsi g ∈ C1(V,Rn) sehingga: f(g(y),y) = 0 dan (g(y),y)adalah satu-satunya solusi f(x,y) = 0 pada U .

Proof. Definsikan fungsi

F : E −→ Rn+m

(x,y) 7−→ (f(x,y), y)

Jelas F ∈ C1(E,Rn+m). Turunan dari fungsi F di (a, b) adalah:

DF (a, b) =

(A

0 Im

)

di mana A = Df(a, b), 0 adalah matriks nol berukuran m× n dan Im

adalah matriks identitas berukuran m ×m. DF (a, b) mendefinisikansuatu transformasi (operator) linear di Rn+m. Transformasi tersebutialah:

DF (a, b) : Rn+m −→ Rn+m

(h,k) 7−→ (Axh + Ayk,k)

Misalkan (h,k) anggota kernel dari transformasi linear di atas, yaituDF (a, b)(h,k) = 0 ∈ Rn+m. Maka k = 0 ∈ Rm. Jadi semua anggotakernel dari DF (a, b) berbentuk (h,0) dan karena Ax memiliki inversmaka h = 0 ∈ Rn. Kesimpulannya adalah kernel dari DF (a, b) adalah{0 ∈ Rn+m}, dengan perkataan lain DF (a, b) adalah transformasi satusatu.


Karena f(a, b) = 0 maka F (a, b) = (0, b). Dari Teorema FungsiInvers, terdapat himpunan buka di Rn+m yaitu U dan V yang memenuhi:

(1) (a, b) ∈ U dan (0, b) ∈ V .(2) F (U) = V , dan(3) F satu satu di U .

Definisikan W = {y ∈ Rm|(0,y) ∈ V }. Untuk setiap y ∈ Wterdapat (x, y) ∈ U sehingga F (x,y) = (0, y) dan karena F satu satumaka (x,y) yang demikian tunggal. Karena F (x, y) = (0,y) jika danhanya jika f(x,y) = 0 maka kita dapat mendefinisikan suatu fungsix(y) sehingga f(x(y), y) = 0 dan pendefinisian tersebut tunggal. ¤

CHAPTER 2

Sistem Dinamik Diskrit: suatu pengantar

1. Pendahuluan

Pada perkuliahan Kalkulus kita sudah mengenal apa yang disebutdengan barisan bilangan real. Bahkan sejak di sekolah menengah telahdiperkenalkan dengan barisan Aritmatika dan barisan Geometri.

Barisan bilangan real didefinisikan sebagai suatu fungsi atau pemetaandari himpunan bilangan asli (N) ke himpunan bilangan real (R). Mis-alkan barisan Aritmatika didefinisikan sebagai an = a + (n − 1)b, dimana a adalah suku pertama dan b adalah jarak antara dua suku yangberturutan.

Perhatikan bahwa kita dapat menghitung suku ke-n tanpa terlebihdahulu menghitung n− 1 buah suku sebelumnya. Ini dikarenakan kitadapat mendefinisikan barisan bilangan tersebut secara eksplisit sebagaifungsi dari n. Barisan Aritmatika di atas juga dapat kita definsikanmelalui formula: an = an−1 + b. Formula ini dinamakan formula rekur-sif. Pada sebuah formula rekursif, untuk menghitung suku ke-n kitaperlu menghitung suku-suku sebelumnya.

Secara umum, permasalahan dalam aplikasi matematika yang so-lusinya berupa sebuah barisan hanya dapat dinyatakan secara rekursif.Untuk itu kita akan memusatkan perhatian kita pada barisan-barisanyang dinyatakan dengan formula rekursif.

Example 2.1. Misalkan f : R→ R adalah sebuah fungsi nonlinear.Kita ingin menentukan solusi dari persamaan f(x) = 0 secara numerik.Pada setiap titik x = a, kita dapat menghampiri fungsi f denganhampiran linearnya, yaitu: l(x) = f(a)+f ′(a)(x−a). Dengan membuatl(x) = 0 dan menyelesaikannya untuk x, kita mendapatkan formula

x = a− f(a)

f ′(a),

dengan asumsi f ′(a) 6= 0. Formula ini dapat kita gunakan untukmendefinisikan sebuah barisan bilangan real, yaitu:

xn = xn−1 − f(xn−1)

f ′(xn−1),

19

20 2. SISTEM DINAMIK DISKRIT: SUATU PENGANTAR

dengan syarat f ′(xm) 6= 0, m = 1, . . . , n − 1. Misalkan barisan inikonvergen ke x∞. Maka haruslah berlaku

x∞ = x∞ − f(x∞)

f ′(x∞).

Jadi, haruslah dipenuhi: f(x∞) = 0.

Example 2.2. Pandang persamaan diferensial orde satu di R, se-bagai berikut: x = f(x, t). Turunan pertama terhadap waktu x kitahampiri dengan menggunakan

x ≈ x(t + ∆t)− x(t)

∆t,

di mana ∆t ¿ 1 konstan dan t = n∆t, n ∈ Z. Jadi, kita dapatmendefinisikan barisan bilangan real yaitu

xn+1 = xn + f(xn, n∆t)∆t.

Barisan ini dikenal dengan nama metode Euler untuk integrasi nu-merik.

2. Definisi Sistem Dinamik Diskrit

Sebuah sistem dinamik didefinisikan secara umum pada sebuahmanifold. Namun untuk sederhananya kita misalkan manifold terse-but adalah sebuah ruang linear (ruang vektor). Sebutlah ruang vek-tor tersebut adalah X (contohnya X = Rn). Pandang suatu kelu-arga berparameter satu dari transformasi-transformasi pada X. Secaramatematis, ini dapat dituliskan sebagai:

Φ = {ϕt|∀t ∈ T , ϕt : X → X}.Secara umum, himpunan T hanya perlu membentuk suatu semigrupkomutatif. Ingat, suatu himpunan G dikatakan membentuk grup ter-hadap operasi + jika memenuhi sifat:

(1) ∀t, s ∈ G berlaku t + s = s + t,(2) ∀t, s, r ∈ G berlaku (t + s) + r = t + (s + r),(3) ∃0 ∈ G sehingga ∀t ∈ G berlaku t + 0 = 0 + t = t.(4) ∀t ∈ G senantiasa ∃ − t sehingga t +−t = 0.

Jika G hanya membentuk semigrup, maka sifat ke-4 tidak dipenuhi.

Definition 2.3. Sistem dinamik didefinisikan sebagai keluarga trans-formasi berparameter satu Φ, di mana

(1) T ⊆ Z.(2) ∀t, s ∈ T berlaku ϕs ◦ ϕt = ϕt+s.(3) ϕ0 transformasi identitas di X.

Jika T = R maka sistem dinamik Φ disebut sistem dinamik kontinu(dalam hal ini T adalah grup komutatif). Jika T = Z maka sistemdinamik Φ disebut sistem dinamik diskrit

2. DEFINISI SISTEM DINAMIK DISKRIT 21

Example 2.4 (Persamaan Diferensial Linear orde dua). Pan-dang persamaan diferensial linear order dua sebagai berikut:

(2.1) x + ax + bx = 0.

Dengan mengingat bahwa solusi persamaan diferensial linear orde satu:x = λx adalah x(t) = Keλt, kita juga akan menebak solusi dari per-samaan (2.1) adalah eλt. Substitusikan tebakan kita ini ke dalam per-samaan (2.1), didapat

eλt(λ2 + aλ + b

)= 0.

Jika a2 − 4b > 0 maka ada λ1 6= λ2 sehingga(λ1

2 + aλ1 + b)

= 0, dan(λ2

2 + aλ2 + b)

= 0.

Dengan demikian jika a2 − 4b > 0, maka selesaian dari persamaandiferensial (2.1) adalah,

(2.2) x(t) = Aeλ1t + Beλ2t.

Jika a2 − 4b = 0, dapat ditunjukkan bahwa

(2.3) x(t) = (At + B)e−a/2t,

sedangkan jika a2 − 4b < 0, dapat ditunjukkan bahwa

(2.4) x(t) = e−at/2(A cos

(√4b− a2 t

)+ B sin

(√4b− a2 t

)).

Dengan memisalkan y = x kita dapat memandang persamaan (2.1)sebagai sistem persamaan diferensial orde satu di R2:

(2.5)x = yy = −bx− ay.

Jadi, untuk a2 − 4b > 0, solusi dari sistem (2.5) adalah(x(t)y(t)

)=

(eλ1t eλ2t

λ1eλ1t λ2e

λ2t

)(AB

)

Misalkan untuk t = 0, x(0) = x◦ dan y(0) = y◦. Maka didapat:(x(t)y(t)

)= 1

λ1−λ2

( −λ2eλ1t + λ1e

λ2t eλ1t − eλ2t

−λ1λ2eλ1t + λ1λ2e

λ2t λ1eλ1t − λ2e

λ2t

)(x◦y◦

)

Jika kita mengacu pada Definisi 2.3 maka(2.6)

Φ =

{1

λ1−λ2

( −λ2eλ1t + λ1e

λ2t eλ1t − eλ2t

−λ1λ2eλ1t + λ1λ2e

λ2t λ1eλ1t − λ2e

λ2t

)∣∣∣∣ t ∈ R}

.

Sistem dinamik diskrit dapat didefinisikan melalui iterasi dari suatufungsi. Misalkan suatu sistem dinamik diskrit didefinisikan melaluipersamaan:

xn+1 = f(xn),


di mana f adalah fungsi yang kontinu. Jika diberikan suatu nilai awalx0, kita dapat menghitung x1. Setelah mendapat x1 tentunya kita da-pat menghitung x2 dan seterusnya. Jadi kita memiliki barisan bilanganreal,

x0,x1 = f(x0),x2 = f(x1) = f 2(x0),x3 = f(x2) = f 3(x0),x4 = f(x3) = f 4(x0),x5 = f(x4) = f 5(x0),

...xn = fn(x0).

Penyajian seperti ini dinamakan iterasi dari suatu fungsi.

Theorem 2.5 (Eksistensi solusi dari sistem dinamik diskrit).Misalkan f : R → R. Maka xn+1 = f(xn) mempunyai solusi berupasebuah barisan bilangan real dengan syarat awal x0 ∈ Df (domain darif) jika range dari f , Rf ⊆ Df .

Example 2.6. Pandang suatu sistem dinamik xn+1 = 2xn. Jikakita memulai iterasi ini pada x0 = 1

3, kita akan mendapatkan barisan

berupa

x0 =1

3, x1 =

2

3, x2 =

22

3, x3 =

23

3, . . . , xn =

2n

3, . . . .

Dengan mudah kita akan melihat bahwa jika n → ∞, maka xn → ∞.Seberapapun kecilnya x0, jika n →∞, maka xn →∞.

Example 2.7. Pandang suatu sistem dinamik xn+1 = 12xn + 1.

Sistem dinamik ini dapat dituliskan sebagai:

xn+1 = 12xn + 1

= 12

(12xn−1 + 1

)+ 1 = 1

22 xn−1 +(1 + 1

2

)= 1

22

(12xn−2 + 1

)+

(1 + 1

2

)= 1

23 xn−2 +(1 + 1

2+ 1

22

)...= 1

2n+1 x0 +(1 + 1

2+ 1

22 + . . . + 12n

).

Perhatikan bahwa jika n →∞, maka 12n+1 → 0 dan

(1 + 1

2+ 1

22 + . . . + 12n

) →1

1− 12

= 2. Jadi xn → 2. Secara umum, sistem dinamik berbentuk:

xn+1 = µxn + cm jika µ < 1 akan konvergen ke c1−µ

.

Example 2.8. Pandang sistem dinamik berbentuk:

xn+2 = αxn+1 + (1− α)xn.

Definisikan yn = xn+1, maka sistem di atas dapat ditulis sebagai

xn+1 = yn

yn+1 = (1− α)xn + αyn.

3. REPRESENTASI GRAFIS DARI SUATU SISTEM DINAMIK 23

Dalam bentuk matriks, persamaan di atas dapat ditulis menjadi:(

xn+1

yn+1

)=

(0 1

(1− α) α

)(xn

yn

).

Jika kita menuliskan zn = (xn, yn), sistem dinamik di atas dapat kitatuliskan dalam bentuk: zn+1 = An+1z0, di mana

A =

(0 1

(1− α) α

).

Perhatikan bahwa

A =

(1 11 (α− 1)

)(1 00 (α− 1)

)(1 11 (α− 1)

)−1

.

Dengan demikian, kita dapat menghitung

An =

(1 11 (α− 1)

)(1 00 (α− 1)n

) (1 11 (α− 1)

)−1

.

Jadi, jika −1 < α− 1 < 1, maka(

1 00 (α− 1)n

)→

(1 00 0

)

apabila n →∞.Akibatnya, jika z0 = (x0, y0) maka

zn →(−x0 + x0α− y0

−2 + α,−x0 + x0α− y0

−2 + α

)

Jadi

xn → −x0 + x0α− y0

−2 + α.

Karena yn = xn+1 maka y0 = x1. Akibatnya kita dapatkan:

xn → −x0 + x0α− x1

−2 + α=

x0(−2 + α)− x1 + x0

−2 + α= x0 +

x1 − x0

2− α.

Exercise 2.1. Tentukan apa yang terjadi pada Contoh 2.3 jika αadalah nol atau dua.

3. Representasi grafis dari suatu sistem dinamik

A picture speaks a thousand words

Ekspresi di atas adalah ekspresi yang tepat untuk menggambarkanbagaimana sebuah gambar dapat menjelaskan banyak hal lebih darikata-kata. Pada bagian ini akan diperagakan beberapa cara untukmerepresentasikan sistem dinamis secara grafis. Untuk keperluan inikita akan memilih suatu contoh sistem dinamis diskrit yang sederhana,yaitu yang berdimensi satu.


Example 2.9. Pandang suatu habitat yang dihuni oleh suatu pop-ulasi hewan tertentu. Misalkan banyaknya hewan (atau besar populasitersebut) dinyatakan oleh Nt, di mana t ∈ Z. Rata-rata kelahiran bayiper individu diasumsikan konstan (terhadap t) sebesar a. Rata-ratakematian per individu adalah b. Maka banyaknya individu pada saatt + 1 adalah:

(2.7) Nt+1 = (1 + a− b)Nt.

Untuk kesederhanaan notasi kita tuliskan µ = 1 + a− b. Dapat disim-pulkan dengan mudah bahwa

Nt+1 = µNt = µ2Nt−1 = . . . = µt+1N0,

di mana N0 adalah banyaknya individu pada saat awal. Jika 0 < µ < 1kita dapatkan µt+1 → 0 apabila t → ∞. Ini berarti populasi akanpunah setelah waktu tertentu. Di lain pihak, jika µ > 1 populasi akanmeledak.

3.1. Menggunakan deret waktu. Cara pertama yang sangatmudah untuk dilakukan adalah menggambarkan Nt terhadap t padasistem koordinat kartesius. Grafik ini dinamakan deret waktu dari su-atu solusi dari sistem dinamik diskrit. Lihat ilustrasi pada Gbr 2.1.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

10

20

30

40

50

60

70Nt

t

Figure 2.1. Grafik deret waktu dari sistem dinamik(2.7). Titik-titik yang digambarkan dengan ◦ adalahuntuk µ = 1, 2 dan populasi awal 10. Titik-titik yangdigambarkan dengan ∗ adalah untuk µ = 0, 8 dan popu-lasi awal 80. .

3. REPRESENTASI GRAFIS DARI SUATU SISTEM DINAMIK 25

Kelemahan penyajian dengan menggunakan deret waktu adalah un-tuk menyimpulkan perilaku limit (limiting behavior) dari sistem di-namik di tak hingga, kita perlu menggambarkan keseluruhan sistemdinamik. Bahkan jika solusinya konvergen ke suatu tempat tertentukita perlu grafik yang panjang untuk menggambarkannya. Lihat Gbr2.2.

Example 2.10. Jika 0 < µ < 1, untuk mencegah kepunahan padapopulasi pada Contoh 2.9, pada setiap waktu t kita dapat menam-bahkan sejumlah individu, misalkan sebanyak C individu. Maka modeltersebut menjadi:

(2.8) Nt+1 = µNt + C.

Seperti sebelumnya, kita dapat menuliskan sistem dinamik tersebutdalam bentuk

Nt+1 = µNt + C = µ (µNt−1 + C) + C = . . .= µt+1N0 + C(1 + µ + µ2 + . . . + µt).

Akibatnya,

Nt → C

1− µ, jika t →∞.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200Nt

t

Figure 2.2. Grafik deret waktu dari sistem dinamik(2.8) untuk µ = 0, 95, C = 10 dan populasi awal 60.


3.2. Representasi dua dimensi. Sistem dinamik berdimensi satudapat juga direpresentasikan pada ruang berdimensia dua. Pandangsistem dinamik tersebut untuk suatu tebakan awal tertentu, misalkanN0 pada contoh-contoh di atas, sebagai berikut:

N0, N1, N2, N3, N4, N5, N6, . . . , Nt, . . . .

Iterasi di atas disajikan sebagai barisan di R2 sebagai berikut:

(0, N0), (N0, N1), (N1, N2), (N2, N3), (N3, N4), . . . , (Nt, Nt+1), . . . .

Lihat ilustrasi pada Gbr 2.3. Pada gambar tersebut, garis Nt+1 =Nt ditambahkan untuk memperjelas dinamika dari masing-masing so-lusi.Garis tersebut disajikan pada Gbr 2.3 dengan garis putus-putus.

0 10 20 30 40 50 60 700

10

20

30

40

50

60

70

80

90Nt+1

Nt

0 10 20 30 40 50 60 700

10

20

30

40

50

60

70Nt+1

Nt

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 1100

20

40

60

80

100

120Nt+1

Nt

Figure 2.3. Representasi dua dimensi dari sistem di-namik.

Garis tegas menyatakan kurva Nt+1 = f(Nt). Pada ketiga grafik padaGbr. 2.3, kekonvergenan dari sistem dinamik masing-masing dapatdisimpulkan tanpa perlu menyatakan keseluruhan iterasi.

Remark 2.11. Untuk sistem dinamik yang berdimensi dua, kitaakan membahasnya secara khusus pada bab selanjutnya. Untuk sistemdinamik yang berdimensi lebih tinggi dari dua, sangatlah sulit untukmemberikan representasi grafis dari sistem dinamik tersebut.

CHAPTER 3

Solusi Khusus dan Masalah Kestabilan

1. Pendahuluan

Dalam perkuliahan analisis real kita sudah mengenal barisan bilan-gan real. Pertanyaan yang sering ditanyakan adalah masalah kekonver-genan dari barisan tersebut. Pada prinsipnya, kita ingin mempelajariperilaku limit dari suatu barisan. Dalam sistem dinamik diskrit, kitajuga ingin memplejari perilaku sistem di sekitar solusi-solusi khususdari sistem tersebut. Solusi khusus tersebut dapat berupa titik tetap,solusi periodik dan lain sebagainya.

2. Titik tetap sistem dinamik

Pada Gbr 2.3, secara grafis dapat dilihat bahwa garis Nt+1 = Nt

berpotongan pada dengan garis Nt+1 = f(Nt). Sebutlah titik potongtersebut dicapai pada Nt = N∗. Maka haruslah berlaku: N∗ = f(N∗).Akibatnya, jika Nt = N∗ untuk suatu t, maka Nt+1 = N∗. Jadi, olehsistem dinamik: Nt+1 = f(Nt), titik N∗ dipetakan ke dirinya sendiri.

Definition 3.1. Pandang suatu sistem dinamik yang didefinisikanpada suatu ruang linear X, yaitu xn+1 = f(xn). Titik x = p ∈ X yangmemenuhi f(p) = p disebut titik tetap dari sistem dinamik xn+1 =f(xn).

Example 3.2. Pandang sistem dinamik: xn+1 = f(xn) denganf(x) = 1

2x + 2. Maka titik tetap dari sistem dinamik tersebut adalah

x◦ yang memenuhi: x◦ = 12x◦ + 2. Ini dipenuhi oleh x = 4.

Perhatikan kembali Contoh 2.8, yaitu:

Nt+1 = µNt + C,

di mana 0 < µ < 1. Titik tetap dari sistem dinamik ini adalah solusidari persamaan Nt = µNt+C, yaitu: Nt = C

1−µ. Perhatikan bahwa dari

Contoh 2.8, berapapun N0, barisan yang dibentuk oleh Nt+1 = µNt+Csenantiasa konvergen ke C

1−µ. Pertanyaannya apakah ini berlaku secara

umum? Sebelumnya kita akan membuktikan terlebih dahulu suatulemma yang sudah kita kenal di perkuliahan analisis real.

Lemma 3.3. Misalkan {an} adalah suatu barisan bilangan real yangkonvergen ke a. Misalkan pula f adalah suatu fungsi yang kontinudi suatu interval buka yang memuat a. Maka f(an) adalah barisanbilangan real yang konvergen ke f(a).

27

28 3. SOLUSI KHUSUS DAN MASALAH KESTABILAN

Proof. Ambil ε > 0 sebarang. Karena f kontinu pada selangbuka yang memuat a (sebutlah I), maka terdapat δ > 0 sehingga, jika|x − a| < δ maka |f(x) − f(a)| < ε. Karena an → a, maka terdapatN ∈ N sehingga |an − a| < δ jika n > N . Jadi, jika n > N berlaku|f(an)− f(a)| < ε. ¤

Theorem 3.4. Pandang sistem dinamik: xn+1 = f(xn). Misalkan,untuk suatu x0, barisan yang didefiniskan melalui sistem dinamik diatas konvergen ke p ∈ R, jika n → ∞. Maka p adalah titik tetap bagisistem dinamik tersebut.

Proof. Misalkan barisan bilangan yang didefinisikan oleh sistemdinamik di atas, dengan syarat awal x0, dituliskan sebagai {xn}. Asum-sikan xn → p jika n → ∞. Definisikan suatu barisan baru yaitu {yn}di mana yn = xn+1. Barisan {yn} tidak lain adalah barisan {xn}; ak-ibatnya yn → p jika n → ∞. Dari Lemma 3.3 kita simpulkan bahwaf(xn) → p, jika n →∞. Tetapi, f(xn) = xn+1 = yn. Jadi yn → p jikan → ∞. Dari ketunggalan limit haruslah berlaku: f(p) = p. Jadi padalah titik tetap dari sistem dinamik xn+1 = f(xn). ¤

Exercise 3.1. Apakah konvers dari Teorema 3.4 juga berlaku?

Theorem 3.5. Misalkan f adalah fungsi yang kontinu pada suatuselang tutup. Asumsikan {fn(x)} terbatas dan monoton untuk suatu xpada selang tersebut. Maka sistem dinamik xn+1 = f(xn) mempunyaititik tetap pada interval tersebut.

Proof. Definisikan xn = fn(x) suatu barisan pada interval tutupI. Maka xn+1 = f(xn). Karena {xn} terbatas dan monoton, makaxn → p, jika n → ∞ untuk suatu p pada I. Menurut Teorema 3.4 padalah titik tetap dari xn+1 = f(xn). ¤

Exercise 3.2. Jika f adalah fungsi yang kontinu pada suatu selangbuka, apakah Teorema 3.5 berlaku?

Exercise 3.3. Tunjukkan bahwa, jika f adalah fungsi yang kontinudan terbatas, maka sistem dinamik xn+1 = f(xn) mempunyai titiktetap.

3. Solusi Periodik

Selain titik tetap, solusi lain dari suatu sistem dinamik, yang menarikuntuk dipelajari adalah solusi periodik. Dalam kaitannya dengan barisanbilangan real, titik periodik berkorespondensi dengan suatu barisanyang divergen. Namun ”kedivergenannya” tidak terlampau parah. Kitamasih tetap dapat menemukan pola keteraturan dalam solusi periodik.

Definition 3.6. Pandang suatu sistem dinamik diskrit xn+1 =f(xn). Misalkan terdapat suatu titik x0 sehingga

(1) fm(x0) = x0,

3. SOLUSI PERIODIK 29

(2) fk(x0) 6= x0 jika k = 1, 2, . . . , m− 1.

Titik x0 disebut titik m-periodik.

Dari definisi di atas sangatlah mudah untuk melihat bahwa titikm-periodik berkorespondensi dengan titik tetap dari sistem dinamik:xn+1 = g(xn) di mana g(x) = fm(x). Kondisi (2) pada Definisi3.6, menjamin bahwa m adalah bilangan bulat positif terkecil yangmemenuhi kondisi (1). Inilah yang membuat tidak semua titik tetapdari xn+1 = g(xn) adalah titik m-periodik dari xn+1 = f(xn).

Example 3.7. Pandang sistem dinamik diskrit: xn+1 = f(xn) den-gan f(x) = µx(1− x2). Pandang

G(x, µ) = f 2(x)− x= (−µ3x3 + 2µ3x2 − (µ3 + µ2)x + (µ2 − 1)) x.

Perhatikan bahwa titik yang memenuhi: f(x(µ)) = x(µ) juga akanmemenuhi: G(x, µ) = 0. Itu sebabnya kita tahu bahwa G(x, µ) habisdibagi x dan (1− µ + µx). Maka

G(x, µ) = −x(1− µ + µx)(µ2x2 − µ2x + µ− µx + 1).

Jadi didapat akar-akar dari G(x, µ) = 0 adalah:

0,µ− 1

µ,µ + 1 +

√µ2 − 2µ− 3

2µ, dan

µ + 1 +√

µ2 − 2µ− 3

2µ.

Dua akar yang terakhir hanya ada jika µ > 3 dan merupakan titik2-periodik. Kedua akar yang pertama juga merupakan solusi dari

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1x 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1x

Figure 3.1. Kurva yang digambar dengan garis putus-putus pada kedua grafik adalah y = x. Kurva yangdigambar dengan titik-titik adalah y = f(x), dengangaris tegas adalah y = f 2(x) dan dengan garis dan titikadalah y = f 4(x). Titik potong dengan kurva y = xmenyatakan titik tetap dari masing-masing fungsi. Ilus-trasi ini untuk µ = 3, 5.

f(x) = x. Jadi kedua titik tersebut bukanlah titik 2-periodik. Seba-gai ilustrasi, lihat Gambar Gbr 3.1. Solusi 2-periodik dan 4-periodikdigambarkan pada Gambar Gbr 3.2.


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

xn+1

xn

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

xn+1

xn

Figure 3.2. Pada Gambar ini digambarkan solusi peri-odik untuk µ = 3, 25 (kiri) dan µ = 3.5 (kanan). Nilai µtersebut dipilih berbeda untuk kepentingan ilustrasi (se-bab pada saat µ = 3, 5 solusi 2-periodik tidak lagi stabil).

4. Titik Iterasi Berhingga

Titik tetap pada sistem dinamik diskrit mempunyai padanan den-gan titik kesetimbangan (equilibrium) pada sistem dinamik kontinu.Demikian pula titik n-periodik mempunyai padanan yaitu solusi T -periodik. Titik iterasi berhingga adalah titik yang khusus dalam artiantidak mempunyai padanan dengan solusi persamaan diferensial.

Definition 3.8. Misalkan f adalah suatu fungsi real yang kontinu.x0 disebut titik iterasi berhingga jika ada m ∈ N sehingga fm+1(x0) =fm(x0). Jelas dalam hal ini, p = fm(x0) adalah titik tetap dari sistemdinamik xn+1 = f(xn).

ab

Figure 3.3. Ilustrasi dua buah titik iterasi berhingga.

5. MASALAH KESTABILAN TITIK TETAP 31

Himpunan titik-titik iterasi berhingga membentuk subsistem di-namik diskrit. Misalkan S = {x ∈ R|∃m ∈ N 3 fm+1(x) = fm(x)}.Maka f(S) ⊆ S. Titik iterasi hingga mempunyai arti dinamik sebagaititik-titik yang setelah beberapa iterasi akan sampai ke titik tetap darisistem dinamik tersebut. Dengan memandang titik k-periodik sebagaititik tetap dari sistem xn+1 = g(xn) dengan g(x) = fk(x), kita dapatmenentukan titik iterasi hingga untuk sistem dinamik xn+1 = g(xn).Titik-titik ini akan menjadi titik-titik yang setelah berhingga iterasiakan tiba pada titik k-periodik dari sistem dinamik xn+1 = f(xn). Li-hat ilustrasi pada Gbr 3.3.

5. Masalah kestabilan titik tetap

Misalkan diberikan suatu sistem dinamik tertentu. Pada bagian se-belumnya kita telah melihat bagaimana menentukan titik tetap dari sis-tem dinamik tersebut. Kita sekarang ini mempelajari dinamika dari sis-tem tersebut, tidak hanya pada satu titik (yaitu titik tetapnya) tetapipada suatu lingkungan di sekitar titik tetap tersebut. Pada kasus-kasustertentu, biasanya jika dimensinya rendah, kita dapat menyimpulkandinamika sistem tersebut untuk lingkungan di sekitar titik tetap yangcukup besar, bahkan keseluruhan ruang keadaan. Dalam hal tersebut,analisis tersebut disebut analisis global.

Definition 3.9 (Kestabilan asimtotik). Titik tetap p dari suatusistem dinamik diskrit xn+1 = f(xn), dikatakan titik tetap stabil secaraasimtotik jika terdapat suatu selang buka I yang memuat p sehinggauntuk setiap x0 ∈ I, barisan yang dibentuk melalui sistem dinamiktersebut konvergen ke p.

Definition 3.10 (Kestabilan netral). Titik p dikatakan stabil ne-tral jika terdapat suatu selang buka I yang memuat p sehingga untuksetiap x0 ∈ I, sehingga xn ∈ I, ∀n.

Seperti biasanya, definisi matematis sering tidak praktis untuk ke-pentingan komputasi. Oleh karena itu kita memiliki teorema berikut.

Theorem 3.11. Misalkan f terdiferensialkan pada p dan f(p) = p.

(1) Jika |f ′(p)| < 1 maka p adalah titik tetap stabil asimtotik.(2) Jika |f ′(p)| > 1 maka p adalah titik tetap tak stabil.(3) Jika |f ′(p)| = 1, titik p dapat berupa titik tetap stabil maupun

tak stabil.

Proof. Kita hanya akan membuktikan bagian (a) dari teorema diatas. Jika |f ′(p)| < 1 maka

−1 < limx→p

f(x)− f(p)

x− p< 1.


Akibatnya, terdapat 0 < A < 1 dan interval (p − δ, p + δ) (δ > 0)sehingga

−A ≤ f(x)− f(p)

x− p≤ A,∀x ∈ (p− δ, p + δ).

Jadi,

(3.1) |f(x)− f(p)| ≤ A|x− p|.Karena f(p) = p, maka |f(x)− p| ≤ A|x− p|.

Misalkan |xn − p| ≤ An|x0 − p|. Maka

|xn+1 − p| = |f(xn)− p| ≤ A|xn − p|dengan menggunakan (3.1). Jadi didapat: |xn+1 − p| ≤ An+1|x0 − p|.

Ambil ε > 0 sebarang. Pilih N sehingga

AN+1 <ε

|x0 − p| .

Maka jika n > N , |xn+1 − p| < ε. ¤Yang menarik adalah apa yang terjadi jika |f ′(p)| = 1. Ini akan kita

bahas secara lebih mendetil. Jika titik tetap p memenuhi |f ′(p)| 6= 1maka titik tetap tersebut disebut titik tetap hiperbolik. Berikut adalahcontoh-contoh sistem dinamik yang memiliki titik tetap di 0 yang tidakhiperbolik.

Example 3.12. Pandang sistem dinamik yang didefinisikan oleh:

xn+1 = f(xn),

di mana f(x) = x + x2. Sistem dinamik ini mempunyai titik tetap dix = 0. Dapat dihitung dengan mudah turunan dari f yaitu f ′(x) =1 + 2x. Karena f ′(0) = 1 maka x = 0 adalah titik tetap yang tidakhiperbolik. Dinamika dari sistem tersebut di sekitar 0 dapat dilihatpada Gambar Gbr 3.4.

Dalam contoh ini titik tetap 0 adalah titik tetap tak stabil. Ketak-stabilannya hanya terjadi di satu arah.

Example 3.13. Pandang sistem dinamik yang didefinisikan olehfungsi f(x) = x−x3. Salah satu titik tetap dari sistem dinamik tersebutadalah 0 dengan f ′(0) = 1. Untuk contoh ini titik 0 adalah titik tetapyang stabil. Lihat Gambar Gbr 3.5.

Example 3.14. Pandang sistem dinamik yang didefinisikan olehfungsi f(x) = −x + x3. Salah satu titik tetap dari sistem dinamiktersebut adalah 0 dengan f ′(0) = −1. Untuk contoh ini 0 adalah titiktetap yang stabil. Lihat Gambar Gbr 3.5.

Example 3.15. Pandang sistem dinamik yang didefinisikan olehfungsi f(x) = −x + x3. Salah satu titik tetap dari sistem dinamiktersebut adalah 0 dengan f ′(0) = −1. Untuk contoh ini 0 adalah titiktetap yang tak stabil. Lihat Gambar Gbr 3.5.

5. MASALAH KESTABILAN TITIK TETAP 33

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Figure 3.4. Representasi grafis dari sistem dinamikaxn+1 = f(xn), dengan f(x) = x + x2.

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Figure 3.5. Representasi grafis dari sistem dinamikaxn+1 = f(xn), dengan f(x) = x− x3.

Dari keempat contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa kestabilandari titik tetap yang tak hiperbolik sangat bergantung dari suku-sukuberikutnya. Kondisi ini disebut sensitif terhadap perturbasi. Kita akankembali lagi pada topik ini ketika membahas masalah bifurkasi.

Remark 3.16. Teorema Kestabilan 3.11 juga dapat diterapkan un-tuk menentukan kestabilan dari titik m-periodik dengan memandangtitik tersebut sebagai titik tetap dari fm(x). Perhatikan kembali Gam-bar Gbr 3.1 dan Gbr 3.2. Dari gambar di kiri pada Gbr 3.1, titik2-periodik tetap ada ketika titik 4-periodik ditemukan. Tetapi padaGbr 3.2 solusi 2-periodik tidak muncul. Ini disebabkan karena titik2-periodik menjadi tidak stabil ketika titik 4-periodik tercipta. Secaranumerik, sesuatu yang tidak stabil tidak dapat ditemukan dengan cara


−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Figure 3.6. Representasi grafis dari sistem dinamikaxn+1 = f(xn), dengan f(x) = −x− x3.

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Figure 3.7. Representasi grafis dari sistem dinamikaxn+1 = f(xn), dengan f(x) = x + x3. .

yang sederhana. Untuk mengertik perubahan kestabilan ini kita perluapa yang disebut Teori Bifurkasi.

Exercise 3.4. Tuliskan Teorema Kestabilan untuk titik 2-periodikdan buktikan.

CHAPTER 4

Bifurkasi Titik Tetap Berkodimensi Satu

1. Pendahuluan

Misalkan kita berhadapan dengan persoalan dalam dunia nyata.Langkah pertama untuk mempelajari permasalahan tersebut adalahdengan memodelkan persamaan tersebut ke dalam sebuah model matem-atis. Untuk menentukan parameter-parameter dalam model, seringkaliperlu dilakukan pengukuran. Pengukuran tentunya tidak pernah mem-berikan hasil yang eksak. Kesalahan ini tentunya tidak kita harapkanmempengaruhi hasil analisis dari model kita. Selain kesalahan ini, padaprinsipnya ketika kita memodelkan ada penyederhanaan. Itu sebabnyajuga ada kesalahan yang bersumber pada asumsi yang digunakan padamodel tersebut.

Itu sebabnya, fenomena yang semenarik apapun tidaklah banyakgunanya untuk dipelajari jika hanya terjadi pada suatu kombinasi ni-lai parameter-parameter tertentu. Kita ingin mempelajari fenomenamenarik yang ”cukup umum”. Tentunya frase ”cukup umum” haruskita definisikan secara lebih tepat.

Pada bab sebelumnya, kita sudah melihat bahwa suatu sistem dinamikdiskrit dapat mempunyai titik tetap. Kestabilan titik tetap tersebutdapat kita simpulkan melalui turunan dari fungsi f yang mendefin-isikan sistem tersebut. Jika besar turunan dari f pada titik tetaptersebut kurang dari satu, maka titik tetap itu stabil dan sebaliknyajika lebih besar dari satu, tidak stabil. Apa yang terjadi jika besar tu-runannya satu tidak dapat disimpulkan melalui analisis linear sepertiitu. Dua permasalahan di atas menjadi motivasi mengapa kita perlumempelajari teori bifurkasi. Teori bifurkasi adalah suatu pendekatanmodern untuk mengerti dinamika suatu sistem terutama dalam halsistem memuat suatu kondisi yang degenerate.

2. Contoh bifurkasi sederhana

2.1. Bifurkasi pada akar persamaan kuadrat. Pandang suatupersamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Persamaan ini dapat denganmudah disederhanakan menjadi:

(4.1) x2 +b

ax +

c

a= 0.

35

36 4. BIFURKASI TITIK TETAP BERKODIMENSI SATU

Persamaan kuadrat yang terakhir dapat dipandang sebagai:(

x +b

2a

)2

+c

a−

(b

2a

)2

= 0.

Dengan mendefinisikan transformasi:

ϕ : R −→ Rx 7−→ y = x + b

2a,

persamaan kuadrat yang mula-mula, ”identik” dengan persamaan kuadrat

(4.2) y2 − α = 0,

jika a > 0. Akar-akar persamaan kuadrat semula, dapat direkonstruksidari akar persamaan kuadrat y2 + α = 0.

Secara kualitatif, kedua persamaan kuadrat tidak berbeda. Banyaknyaakar dari persamaan kuadrat (4.1) tergantung dari tanda b2−4ac. Jikab2 − 4ac > 0, persamaan kuadrat (4.1) mempunyai dua akar real. Iniidentik dengan persamaan kuadrat (4.2) memiliki dua akar jika α > 0.

2.2. Bifurkasi pada akar persamaan pangkat tiga. Sekarangpandang persamaan pangkat tiga: ax3 + bx2 + cx + d = 0, a 6= 0.Persamaan tersebut dapat diubah ke bentuk

x3 +b

ax2 +

c

ax +

d

a= 0.

Dengan melakukan translasi, x = y − b3a

didapat:

y3 +

(c

a− b2

3a2

)y +

2b3 + 27a2d− 3abc

27a3.

Jadi semua persamaan pangkat tiga dapat diubah ke bentuk

y3 + py + q = 0.

–8

–6

–4

–2

2

4

6

8

q

–2 –1 1 2 3 4 5

p

Figure 4.1.

2. CONTOH BIFURKASI SEDERHANA 37

Secara umum persamaan pangkat tiga dapat memiliki satu, duaatau tiga akar. Jika persamaan tersebut memiliki dua akar, maka per-samaan pangkat tiga tersebut memiliki satu pasang akar kembar, mis-alkan y◦. Akar kembar ini haruslah dicapai pada titik stasioner darifungsi:

f(y) = y3 − py + q.

Jadi y◦ memenuhi:

3y◦2 − p = 0 dan y◦3 − py◦ + q = 0.

Persamaan pertama mempunyai solusi jika p ≥ 0 dan solusinya adalahy◦ = ±

√p/3. Jika kita substitusikan solusi tersebut ke persamaan

kedua, kita dapatkan persamaan:(p

3

)3

+(q

2

)2

= 0.

Persamaan ini mendefinisikan sebuah kurva di bidang (p, q). LihatGambar Gbf 4.1. Kurva ini menyatakan kombinasi nilai parameter(p, q) yang menyebabkan persamaan pangkat tiga di atas memiliki duaakar.

Example 4.1. Misalkan persamaan pangkat tiga: x3+x2−ax+b =0. Seperti pada gambar Gbr 4.1, kurva pada ruang parameter sehinggapadanya persamaan pangkat tiga x3 + x2 − ax + b = 0 memiliki duaakar digambarkan pada gambar Gbr. 4.2.

–0.5

–0.4

–0.3

–0.2

–0.1

0

0.1

0.2

b

–0.4 –0.2 0.2 0.4a

Figure 4.2.

Perhatikan gambar Gbr 4.2. Misalkan kita bergerak sepanjang garisa = 0, 2. Grafik fungsi pangkat tiga f(x) = x3 + x2 − ax + b, jikaa = 0, 2 dan empat buah nilai b digambarkan pada Gbr (4.3). Dariatas ke bawah, grafik-grafik tersebut adalah untuk b = 1, b = 0, 0 . . .,b = −0.3 . . . dan b = −2. Banyaknya titik potong kurva dengan sumbu


–2

–1

0

1

2

–1.5 –1 –0.5 0.5 1

x

Figure 4.3.

x menyatakan banyaknya akar persamaan pangkat tiga di atas. Pe-rubahan banyaknya akar pada persamaan pangkat tiga tersebut meru-pakan contoh bifurkasi yang sederhana.

3. Bifurkasi fold

Pandang suatu sistem dinamik diskrit berdimensi satu

(4.3) x = f(x, α),

di mana f : R × R → R terdiferensialkan secara kontinu secukupnya.α disebut parameter, suatu konstanta yang besarnya tidak diketahui.Sistem dinamik (4.3) dituliskan dalam bentuk seperti di atas untukmembedakan sistem dinamik umum dengan suatu solusi khusus xn+1 =f(xn, α).

Theorem 4.2. Misalkan diberikan suatu sistem dinamik diskrit

x = f(x, α),

seperti pada (4.3). Kita asumsikan berikut ini berlaku

(A1) f(0, 0) = 0.

(A2)∂f

∂x(0, 0) = 1.

(A3)∂2f

∂x2(0, 0) 6= 0.

(A4)∂f

∂α(0, 0) 6= 0.

3. BIFURKASI FOLD 39

Maka terdapat suatu transformasi

φ : U −→ R× R(x, α) 7−→ (y, β)

U ⊂ R × R yang memuat (0, 0) sehingga φ memiliki invers dan ter-diferensialkan secara kontinu, dan sistem dinamik (4.3) akan ditrans-formasikan menjadi:

y = β + y ± y2 + O(y3).

Remark 4.3. Kita menggunakan notasi asimtotik O(y3) untukmenyatakan suku sisa yaitu: a3y

3 + a4y4 + . . .. Pandang suatu fungsi

m(x) = a3y3 + a4y

4 + . . .. Maka terdapat suatu fungsi r(x) sehinggam(x) = x3r(x).

Proof. Bukti dimulai dengan menuliskan uraian Taylor terhadapx dari f(x, α) di sekitar x = 0, yaitu:

f(x, α) = f0(α) + f1(α)x + f2(α)x2 + O(x3).

Karena (A1) dan (A2) dipenuhi f0(0) = 0 dan f1(0) = 1. Misalkanf1(α) = 1 + g(α). Maka g adalah fungsi kontinu dan g(0) = 0. Jadi,

f(x, α) = f0(α) + (1 + g(α)) x + f2(α)x2 + O(x3).

Definisikan suatu transformasi koordinat ξ = x + δ dengan δ akanditentukan kemudian. Sistem dinamik (4.3) ditransformasikan menjadi

ξ = f(ξ − δ, α) + δ.

Dengan mensubstitusikan uraian Taylor untuk f , kita dapatkan

(4.4) ξ = a0(α, δ) + ξ + a1(α, δ)ξ + a2(α, δ)ξ2 + O(y3),

di mana

a0(α, δ) = f0(α) + g(α)δ + f2(α)δ2 + O(δ3)

a1(α, δ) = g(α)− 2f2(α)δ + O(δ2)

a2(α, δ) = f2(α) + O(δ).

Misalkan a1(α, δ) = g(α)− 2f2(α)δ + δ2ϕ(α, δ) dan

∂a1

∂δ

∣∣∣∣(0,0)

= −2f2(0) 6= 0,

karena∂2f

∂x2(0, 0) = f2(0) 6= 0.


Dari Teorema Fungsi Implisit, terdapat suatu fungsi δ = δ(α) sehinggaδ(0) = 0 dan a1 (α, δ(α)) = 0. Secara eksplisit

δ(α) =g′(0)

2f2(0)α + O(α2).

Dengan memilih δ seperti ini, kita dapatkan a1(α, δ) = 0 sehinggasistem (4.4) menjadi:

ξ = a0(α, δ) + ξ + a2(α, δ)ξ2 + O(ξ3)

Perhatikan bahwa

a0(α, δ) = f0(α) + g(α)δ + f2(α)δ2 + O(δ3)= f0(0) + f0

′(0)α + O(α2)

+ (g′(0)α + O(α2))(

g′(0)2f2(0)

α + O(α2))

+ O(α2)

= f0′(0)α + α2ψ(α).

Tuliskan β(α) = f0′(0)α + α2ψ(α). Jelas β(0) = 0 sedangkan

dβ

dα(0) = f0

′(0) =∂f

∂α(0) 6= 0

karena asumsi (A4). Dengan menggunakan Teorema Fungsi Invers, di

sekitar α = 0 terdapat fungsi α(β) yang merupakan invers (lokal) dari

α(β) dan memenuhi β(0) = 0. Akibatnya, sistem dinamik diskrit

ξ = a0(α, δ) + ξ + a2(α, δ)ξ2 + O(ξ3),

dapat ditulis menjadi

ξ = β + ξ + a2(β)ξ2 + O(ξ3),

di mana a2(β) = f2(α(β)) + O(α(β)). Lebih jauh lagi, berlaku jika

β = 0 maka α = 0 dan akibatnya a2(0) = f2(0) 6= 0.

Akhirnya, tuliskan y = |a2(β)|ξ. Maka

y = |a2(β)|ξ= |a2(β)|

(β + ξ + a2(β)ξ2 + O(ξ3)

)

=(|a2(β)|β + |a2(β)|ξ + a2(β)|a2(β)|ξ2 + O(ξ3)

).

Perhatikan bahwa a2(β)|a2(β)| = sign(a2(β))|a2(β)|2. Jadi

y = β + y ± y2 + O(y3),

dengan β = |a2(β)|β. ¤Remark 4.4. Asumsi (A1) mengatakan bahwa jika α = 0 maka

x = 0 adalah titik tetap. Titik tetap tersebut adalah titik tetap yangnonhiperbolik karena asumsi (A2). Suatu titik tetap p dikatakan hiper-bolik jika nilai mutlak dari turunan fungsi yang mendefinisikan sistem

3. BIFURKASI FOLD 41

dinamik tersebut di p tidak sama dengan satu. Dalam hal x = 0 hiper-bolik maka Teorema 3.11 berlaku.

Remark 4.5. Teorema 3.11 mengatakan, dinamika suatu sistemdinamik diskrit disekitar titik tetap yang hiperbolik identik dengandinamika linearisasi sistem di sekitar titik tetap. Teorema 4.2 bekerjadengan sistem yang bagian linearnya degenerate. Menurut Teorema4.2, sistem tersebut dapat dihampiri oleh oleh suatu sistem kuadratik.Jadi untuk mempelajari dinamika di sekitar titik tetap yang degeneratetersebut, kita perlu menambahkan suku kuadratik. Ini hanya berlakujika suatu kondisi non-degeneracy dipenuhi yaitu: asumsi (A3).

Remark 4.6. Asumsi terakhir adalah ∂f∂α

(0, 0) 6= 0. Ini adalahasumsi geometrik yang dikenal dengan kondisi ketransversalan. Duabuah submanifold U dan V dari manifold E berdimensi n (biasanyadisebut ambient manifold dikatakan saling transversal jika untuk se-tiap x ∈ U ∩ V berlaku TxU + TxV ≡ Rn. Kondisi ketransversalanini diperlukan untuk menjamin bahwa semua fenomena yang mungkinterjadi telah tercakup.

Teorema (4.2) menjamin bahwa setiap sistem dinamik diskrit yangdidefinisikan oleh fungsi f yang memenuhi asumsi pada teorema terse-but, memiliki dinamika yang secara lokal identik dengan sistem

y = β + y ± y2.

Ini membuat hidup kita menjadi lebih mudah. Kita tidak perlu mem-pelajari satu persatu sistem dinamik yang memenuhi asumsi, tetapicukup mempeljari apa yang terjadi pada

y = β + y ± y2.

3.1. Dinamika sistem: y = β + y + y2. Titik tetap dari sistemdinamik di atas di dapat dengan menyelesaikan persamaan y2 +β = 0.Persamaan tersebut hanya memiliki akar real jika β ≤ 0 yaitu y =±√−β.

Pandang g(y) = β + y + y2 maka g′(y) = 1 + 2y. g′(√−β) =

1+2√−β > 1. Jadi, titik tetap y =

√−β adalah titik tetap tak stabil.Untuk y = −√−β, g′(−√−β) = 1 − 2

√−β. Titik tetap tersebutakan stabil jika |1− 2

√−β| < 1 atau

−1 < β < 0.

Titik tetap tersebut memiliki dua titik bifurkasi (nilai di mana terjadiperubahan kestabilan ketika parameter β melewati nilai tersebut) yaituβ = 0 dan β = −1. Ketika β melewati nol (dari arah negatif), yangterjadi adalah titik tetap stabil −√−β dan titik tetap tak stabil

√−βbergerak saling mendekati dan akhirnya bersatu menjadi titik tetapyang tak hiperbolik ketika β = 0. Setelah itu, ketika β menjadi positif,titik tetap tersebut hilang dan sistem tidak lagi memiliki titik tetap.


3.2. Dinamika sistem: y = β+y−y2. Analisis yang sama dapatditerapkan untuk sistem y = β + y − y2. Yang terjadi kini adalah ke-balikan dari apa yang terjadi pada sistem sebelumnya. Sekarang, titikkritis hanya ada jika β ≥ 0. Ketika β melalui 0 (dari arah negatif) se-buah titik tetap yang nonhiperbolik tercipta. Ketika β menjadi positif,titik tetap tersebut pecah menjadi dua buah titik kritis, salah satunyastabil dan yang lainnya tidak stabil.

4. Bifurkasi flip

Perhatikan bahwa titik tetap stabil pada kedua sistem dinamik y =β +y±y2 memiliki sifat yang sama, yaitu titik tetap tersebut memilikidua titik bifurkasi. Bifurkasi pertama ialah Bifurkasi Fold, yaitu ketikatitik tetap stabil bersatu dengan titik tetap tak stabil kemudian hilang(atau ketika satu titik tetap nonhiperbolik pecah menjadi satu titiktetap stabil dan satu titik tetap tak stabil). Bifurkasi ini terjadi ketikag′(p) (dengan p adalah titik tetapnya) melewati nilai 1. Bifurkasi yangkedua terjadi ketika g′(p) melewati −1. Apa yang terjadi dalah hal ini?

Theorem 4.7. Misalkan diberikan suatu sistem dinamik diskrit

x = f(x, α),

seperti pada (4.3). Kita asumsikan berikut ini berlaku

(A1) f(0, 0) = 0.

(A2)∂f

∂x(0, 0) = −1.

(A3)1

2

(∂2f

∂x2(0, 0)

)2

+1

3

∂3f

∂x3(0, 0) 6= 0.

(A4)∂2f

∂x∂α(0, 0) 6= 0.

Maka terdapat suatu transformasi

φ : U −→ R× R(x, α) 7−→ (y, β)

U ⊂ R × R yang memuat (0, 0) sehingga φ memiliki invers dan ter-diferensialkan secara kontinu, dan sistem dinamik (4.3) akan ditrans-formasikan menjadi:

y = −(1 + β)y ± y3 + O(y4).

Proof. Dengan menggunakan Teorema Fungsi Implisit dapat di-tunjukkan bahwa sistem dinamik di atas memiliki titik tetap berbentukx◦(α) di suatu lingkungan di sekitar α = 0. Dengan translasi koordi-nat, titik tetap tersebut dapat diletakan pada titik pusat: x◦(α) = 0.

Exercise 4.1. Buktikan pernyataan di atas.

4. BIFURKASI FLIP 43

Akibatnya, tanpa mengurangi keumuman bukti, kita dapat menga-sumsikan

(4.5) f(x, α) = f1(α)x + f2(α)x2 + f3(α)x3 + O(x4),

di mana f1(α) = − (1 + g(α)), g(0) = 0. Perhatikan bahwa

g′(0) =∂f 2

∂x∂α(0, 0) 6= 0,

sehingga fungsi g memiliki invers secara lokal. Definisikan parameterβ = g(α). Akibatnya sistem dinamik yang didefinisikan oleh fungsi(4.5) menjadi

(4.6) x = µ(β)x + a(β)x2 + b(β)x3 + O(x4),

di mana µ(β) = −(1 + β), a(β) dan b(β) adalah fungsi yang terdifer-ensialkan secukupnya. Perhatikan bahwa

a(0) = f2(0) =1

2

∂2f

∂x2(0, 0), dan b(0) =

1

6

∂3f

∂x3(0, 0).

Seperti sebelumnya, kita ingin mendefinisikan suatu transformasi koor-dinat agar pada koordinat yang baru, suku kuadratik dari (4.6). Mis-alkan transformasi tersebut adalah: x = ξ + δξ2 (perhatikan perbe-daannya dengan transformasi pada bukti Teorema 4.2).

Tranformasi koordinat di atas memiliki invers secara lokal (dari Teo-rema Fungsi Invers). Misalkan invers tersebut adalah: ξ = x + γ1x

2 +γ2x

3 + O(x4). Maka

x = x + γ1x2 + γ2x

3 + O(x4)+

δ (x + γ1x2 + γ2x

3 + O(x4))2

= x + (γ1 + δ) x2 + (γ2 + 2γ1δ) x3 + O(x4).

Persamaan di atas dapat diselesaikan suku demi suku. Mulai dengansuku x2 disimpulkan γ1 = −δ dan suku x3 memberikan γ2 = 2δ2. Jadiinvers tersebut (jika δ cukup kecil) dapat ditulis sebagai:

ξ = x− δx2 + 2δ2x3 + O(x4).

Jika kita substitusikan persamaan terakhir ke dalam (4.6) didapat

ξ = µξ + (a + δµ− δµ2) ξ2+(b + 2δa− 2δµ (δµ + a) + 2δ2µ3) ξ3 + O(ξ4).

Jadi dengan memilih

δ(β) =a(β)

µ2(beta)− µ(β).

Hal ini tentu saja dapat dilakukan karena µ2(0)− µ(0) = 2 6= 0. Jadi

ξ = µξ +(b + 2a

µ2−µ

)ξ3 + O(ξ4)

= −(1 + β)ξ + c(β)ξ3 + O(ξ4).


di mana

c(0) = a2(0) + b(0) =1

4

(∂2f

∂x2(0, 0)

)2

+1

6

∂3f

∂x3(0, 0) 6= 0.

Dengan mendefinisikan ξ = y/√|c(β)| kita dapatkan bentuk yang kita

inginkan:y = −(1 + β)y ± y3 + O(y4).

¤4.1. Dinamika sistem y = −(1 + β)y + y3 = fβ(y). Perhatikan

bahwa sistem dinamik diskrit tersebut memiliki titik tetap x = 0 untuksetiap β. Linearisasi disekitar titik tetap tersebut memberikan f ′(0) =−1 + β. Apa yang terjadi ketika β bergerak melalui nol dari kiri?

Perhatikan ketika β < 0 titik tetap x = 0 stabil sedangkan padasaat β > 0 titik tetap tersebut tak stabil. Ketika titik tetap x = 0menjadi tak stabil kita mengharapkan adanya solusi lain yang stabil.

Bayangkan sebutir kelereng yang bergerak turun dari puncak se-buah gundukan tanah. Kelereng tersebut akan bergerak terus sampaiia mencapai suatu kesetimbangan yang baru, misalkan dasar sebuahlembah. Hal yang sama terjadi pada sistem dinamik secara umum,ketika suatu kondisi stabil berubah, kita mengharapkan adanya suatukestabilan yang baru.

Sistem dinamik diskrit di atas, tidak memiliki titik tetap lain di sek-itar titik x = 0. Jadi ketika titik nol berubah kestabilannya, kita perlumencari solusi lain yang bukan titik tetap di sekitar x = 0. Untuk itukita mencoba mencari titik tetap dari y = f 2

β(y). Dapat ditunjukkanbahwa

f 2β(y) = (1 + β)2y − (1 + β)(2 + 2β + β2)y3 + O(y5).

Exercise 4.2. Tunjukkan.

Jika β > 0, y = f 2β(y) mempunyai titik tetap yaitu: y = ±√β +

O(β). Titik tetap ini tentunya berarti titik 2-periodik pada sistemdinamik semula.

Exercise 4.3. Pelajari dinamika sistem dinamik: y = −(1+β)y−y3 ketika β melewati nol.

CHAPTER 5

Pemetaan Kuadratik

Pada model populasi hewan yang kita bahas pada contoh-contohpada Bab 2, ada satu hal yang kita asumsikan berlaku yaitu habitat dimana populasi itu tinggal memiliki persediaan makanan yang tidak ter-batas. Asumsi ini tentunya tidak realistis dalam kehidupan sehari-hari.Pada kenyataannya, suatu saat makanan pada habitat itu berkurangsehingga reproduksi tidak dapat berlangsung seperti biasanya. Kitasekarang ingin memperbaiki model tersebut dengan memperhitungkanfaktor logistik (ketersediaan makanan). Faktor ini juga dapat berupaketerbatasan tempat tinggal.

Misalkan kapasistas dari habitat di mana populasi tersebut hidupadalah K. Pertumbuhan populasi tersebut seperti pada bagian se-belumnya dapat dimodelkan dengan menggunakan model pertumbuhaneksponensial: Nt+1 = aNt, dengan a menyatakan tingkat (derajat) per-tumbuhan. Tentu saja pertumbuhan populasi akan berkurang jika Nt

mendekati K. Populasi masih dapat terus bertambah selama Nt lebihkecil dari K. Di lain pihak, populasi akan berkurang jika Nt lebih besardari K. Model yang tepat adalah Nt+1 = aNt(K − Nt)/K. Denganmelakukan penskalaan pada Nt, didapat model yang disebut modellogistik atau pemetaar kuadratik:

(5.1) Nt+1 = µNt(1−Nt).

Sistem dinamik (5.1) akan kita bahas pada bagian ini terutama dalamkaitannya dengan kestabilan titik tetapnya.

1. Analisis titik tetap

Untuk kemudahan notasi, kita definisikan fµ(x) = µx(1−x) denganµ > 0. Salah satu hal yang penting dilakukan oleh seseorang yangmenganalisis suatu sistem dinamik adalah memeriksa apakah semuasolusi sistem tersebut terbatas.

Lemma 5.1. Jika 0 < µ ≤ 4 maka f mendefinisikan suatu pemetaandari [0, 1] ke [0, 1].

Proof. Perhatikan bahwa f mencapai maksimum pada x = 12

yaitu sebesar fmaks = 14µ. Jika 0 < µ ≤ 4 maka berlaku 0 < fmaks ≤ 1.

Akibatnya f([0, 1]) ⊆ [0, 1]. ¤Corollary 5.2. Setiap barisan bilangan real yang didefinisikan

oleh xn+1 = f(xn) terbatas, jika 0 < µ ≤ 4 dan x0 ∈ [0, 1].

45

46 5. PEMETAAN KUADRATIK

Pandang sistem dinamik diskrit:

(5.2) xn+1 = f(xn),

di mana f(x) = µx(1 − x). Titik tetap dari sistem dinamik (5.2)ditentukan oleh persamaan x = f(x) atau

µx2 + (1− µ)x = 0.

Kita dapatkan lemma berikut.

Lemma 5.3. Titik tetap dari sistem dinamik (5.2) adalah x = 0dan jika 1 ≤ µ ≤ 4, x = xµ = 1− 1

µ.

Dapat diperiksa dengan mudah bahwa turunan dari f adalah f ′(x) =µ− 2µx. Karena f ′(0) = µ, maka 0 adalah titik tetap stabil asimtotiksecara lokal jika 0 < µ < 1. Meskipun demikian, kita ingin memeriksaapakah kestabilan dari x = 0 adalah juga kestabilan secara global.

Lemma 5.4. Jika 0 < µ < 1 pemetaan kuadratik mempunyai titiktetap stabil yang tunggal dan untuk setiap x◦ ∈ [0, 1], iterasi dari fµ

atas x◦ akan konvergen ke 0.

Proof. Bagian pertama dari Lemma di atas mudah untuk dilihat.Ambil 0 < x◦ < 1 dan definisikan xn = fn(x◦).

fn+1µ (x◦)− fn(x◦) = µxn(1− xn)− xn = xn(µ(1− xn)− 1) < 0.

Jadi, xn barisan yang monoton turun. Karena semua solusi dari pemetaanquadratic terbatas, maka barisan xn konvergen ke suatu titik x. Karenapada selang 0 < µ < 1 hanya terdapat satu titik tetap, maka xn →0. ¤

Pada saat µ = 1, titik tetap x = 0 menjadi titik tetap yang non-hiperbolik. Meskipun demikian, solusi x = 0 tetap merupakan solusistabil di mana iterasi f1 dengan kondisi awal apapun, tetap konvergenke x = 0.

Lemma 5.5. Jika 1 < µ ≤ 2, pemetaan kuadratik memiliki dua titiktetap yaitu x = 0 yang tak stabil dan x = xµ yang stabil. Setiap iterasidari fµ dengan kondisi awal apapun senantiasa konvergen ke x = xµ.

Proof. Lihat Gbr 5.1 untuk ilustrasi. Perhatikan bahwa fµ

(12

)<

12. Jadi fµ

((12, 1

]) ⊂ [0, 1

2

]. Dengan demikian, kita dapat membatasi

analisis kita hanya pada interval[0, 1

2

].

Jika 0 < x < xµ berlaku: 0 < x < fµ(x) < fµ (xµ) = xµ. Jadi fnµ (x)

adalah barisan yang monoton naik jika 0 < x < xµ. Karena fnµ (x)

terbatas, maka barisan tersebut konvergen. Karena xµ titik tetap yangstabil, maka barisan tersebut konvergen ke xµ. Sebaliknya, jika xµ <x < 1

2, berlaku: fµ(x) < x, yang berakibat barisan yang terbentuk

monoton turun. ¤

1. ANALISIS TITIK TETAP 47

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1x 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1x

Figure 5.1. Ilustrasi grafik fµ(x) untuk dua nilai µyang berbeda. Gambar yang kiri adalah untuk 1 < µ2sedangkan yang kanan adalah untuk 2 < µ < 3.

Untuk 2 < µ < 3 dinamika sistem agak berbeda dengan sebelum-nya. Namun secara kualitatif masih sama: iterasi fn

µ (x) konvergen kex = xµ.

Lemma 5.6. Jika 2 < µ < 3, pemetaan kuadratik memiliki dua titiktetap yaitu x = 0 yang tak stabil dan x = xµ yang stabil. Setiap iterasidari fµ dengan kondisi awal apapun senantiasa konvergen ke x = xµ.

Dalam kasus ini, fµ(x) = xµ mempunyai dua solusi yaitu: x = xµ

dan x = x1µ dengan x1

µ < xµ. Perhatikan bahwa fnµ (x) adalah barisan

monoton naik jika 0 < x < x1µ dan barisan monoton turun jika xµ <

x < 1. Pertama-tama kita akan mencoba mengerti secara numerik apayang terjadi pada kasus 2 < µ < 3. Perhatikan Gbr. 5.2.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figure 5.2. Pada kasus 2 < µ < 3, dinamika dari sis-tem x = fµ(x) berbeda dengan kasus 1 < µ < 2. Padakasus ini terdapat rotasi di sekitar titik tetapnya.


Perbedaan dengan kasus sebelumnya adalah adanya rotasi di sekitartitik tetap dari pemetaan kuadratik xµ. Jadi, jika kita dapat menun-jukkan bahwa f 2

µ adalah barisan monoton dan f 2µ(x) hanya memiliki

dua titik tetap yaitu 0 dan xµ maka bukti selesai.

Proof. Ambil x ∈ (0, x1µ) sebarang. Untuk x ∈ (0, x1

µ) berlaku

x < fµ(x) sehingga fnµ (x) monoton naik. Jika fn

µ (x) ∈ (0, x1µ) untuk

setiap n, maka fnµ (x) konvergen ke suatu titik tetap. Karena di dalam

(0, x1µ) tidak terdapat titik tetap, maka fn

µ (x) > x1µ untuk suatu n. Jika

x1µ < x < xµ berlaku xµ ≤ fµ(x) ≤ µ

4.

Selanjutnya, karena x1µ < fµ(µ

4) dan fµ monoton turun pada

[12, 1

],

kita dapat menyimpulkan bahwa

jika xµ < x ≤ µ

4maka qµ < fµ

(µ

4

)≤ fµ(x) < xµ.

Lebih jauh lagi, karena xµ < µ4

dan fµ monoton turun pada [xµ, 1], kitasimpulkan

jikaµ

4< x < 1 maka 0 < fµ(x) < xµ.

Jadi, kesimpulannya adalah untuk setiap x ∈ [0, 1], senantiasa terdapatn sehingga fn

µ (x) ∈ (x1µ, xµ]. Lebih jauh lagi, fn

µ (x) akan berosilasi

terhadap n dari interval (x1µ, xµ] ke

[xµ,

µ4

]dan sebaliknya. Secara

matematis, ini dapat dibuktikan:

jika x ∈ (x1µ, xµ] maka f 2n

µ (x) ∈ (x1µ, xµ].

jika x ∈ [xµ,

µ4

]maka f 2n

µ (x) ∈ [xµ,

µ4

].

Dengan menghitung f 2µ(x)− x = 0 dapat ditunjukkan bahwa f 2 tidak

mempunyai titik tetap pada interval [0, 1] kecuali 0 dan xµ.

Exercise 5.1. Tunjukkan bahwa f 2 tidak mempunyai titik tetappada interval [0, 1] kecuali 0 dan xµ.

Karena f 2 tidak mempunyai titik tetap pada interval [0, 1] kecuali0 dan xµ, maka f 2 definit dalam tanda (sebab f 2 kontinu). Akibatnya,dapat ditunjukkan bahwa f 2

µ(x) monoton naik jika x ∈ (x1µ, xµ] dan

turun pada x ∈ [xµ,

µ4

].

Exercise 5.2. Tunjukkan bahwa(f 2

µ

)n(x) adalah barisan monoton

naik di (x1µ, xµ] dan turun di

[xµ,

µ4

].

Jadi (f 2µ)n(x) akan konvergen ke xµ untuk setiap x. ¤

Diagram himpunan limit dari pemetaan kuadratik. Pan-dang suatu sistem dinamik berdimensi satu yang didefinisikan oleh

x = fµ(x),

di mana µ adalah suatu parameter. Misalkan kita pilih µ = µ◦ se-barang namun tetap. Kita asumsikan bahwa untuk semua nilai µ◦yang kita pilih, fµ◦ mendefinisikan suatu pemetaan dari himpunan

1. ANALISIS TITIK TETAP 49

kompak X ke dirinya sendiri. Misalkan kita ambil sejumlah (besar)kondisi awal x dan kemudian kita hitung iterasi fn

µ◦(x). Dengan meng-gunakan komputer, kita hitung iterasi tersebut untuk n = 1, 2, . . . , Nuntuk suatu N yang cukup besar. Setelah itu, kita gambarkan se-jumlah iterasi fungsi yang terakhir, misalkan m buah yang terakhir.Iterasi tersebut kita bentuk menjadi titik-titik di bidang (µ◦, x), yaitu:{(µ◦, xN−m), (µ◦, xN−m+1), . . . , (µ◦, xN−1), (µ◦, xN)}. Setelah itu kitaulangi proses untuk nilai µ◦ yang baru. Untuk pemetaan kuadratik,diagram himpunan limit digambarkan pada Gbr 5.3.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

0.5

1

Figure 5.3. Pada gambar ini diperlihatkan himpunanlimit yang stabil dari pemetaan kuadratik jika 0 < µ < 3.Dinamika sistem didonimasi oleh sebuah titik tetap yangstabil.

Perhatikan bahwa x = 0 senantiasa merupakan titik tetap untukpemetaan kuadratik. Solusi tersebut tidaklah muncul pada Gbr 5.3 jikaµ > 1. Hal ini disebabkan karena solusi x = 0 tidak stabil jika µ > 1.Secara umum, solusi tidak stabil tidak dapat ditemukan secara nu-merik kecuali jika fungsi fµ yang mendefinisikan sistem dinamik terse-but memiliki invers. Kebanyakan sistem yang dinamikanya menariktidak memiliki invers.

Pada µ = 1, terjadi suatu solusi yang baru. Ini terjadi ketikax = 0 menjadi titik tetap yang tidak hiperbolik. Perhatikan bahwaf ′µ(x) = µ−2µx dan sama dengan 1 ketika x = 0 dan µ = 1. Mari kitaperiksa kondisi (A3) dan (A4) pada Teorema 4.2, yaitu:

(1)∂2

∂x2fµ(x) = −2µ. Ini tak nol jika µ = 1.

(2)∂

∂αfµ(x) = x(1− x). Ini sama dengan nol jika x = 0.

Jadi, kondisi untuk bifurkasi fold tidak dipenuhi. Bifurkasi yang terjadidi sini adalah bifurkasi yang dikenal dengan nama Pitchfork. Bifurkasiini tidak di bahas dalam buku ini.


2. Bifurkasi flip pada pemetaan Kuadratik

Jika µ = 3, titik tetap xµ = 1 − 1µ

kembali mengalami bifurkasi.

Ingat bahwa f ′µ(x) = µ − 2µx sehingga f ′µ(1 − 1µ) = µ − 2µ(1 − 1

µ) =

2 − µ = −1 jika µ = 3. Dapat diperiksa bahwa kedua kondisi padabifurkasi flip dipenuhi jika µ = 3 pada titik tetap xµ. Jadi di sekitartitik tetap tersebut terdapat titik 2-periodik.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figure 5.4. Pada gambar ini diperlihatkan dinamikapemetaan kuadratik untuk nilai µ yang lebih kecil dari3, sama dengan 3 dan lebih besar dari 3. Jika µ melewatinilai 3, terbentuk suatu solusi periodik dengan periodedua.

Titik 2-periodik yang kita lihat pada Gbr. 5.4 masih dapat kitahitung secara analitik. Ingat bahwa titik 2-periodik adalah titik tetapdari pemetaan

x = f 2µ(x) = µ2x(1− x)(1− µx(1− x)).

Ingat pula bahwa baik x = 0 maupun xµ = 1 − frac1µ, keduanyaakan muncul sebagai salah satu dari titik tetap di atas (lihat Gbr. ??).Dengan menggunakan sifat dalam aljabar linear berikut:

jika p(x) adalah polinom yang memenuhi p(x◦) = 0 makap(x) = (x− x◦)q(x) dengan q(x) suatu polinom lain,

kita dapat menghitung titik 2-periodik tersebut di atas.Dengan perhitungan aljabar di atas di dapat:

f 2µ(x)− x = −x(µx− µ + 1)(µ2x2 − (µ2 + µ)x + µ + 1) = 0.

Didapat:

x1 =µ + 1 +

√µ2 − 2µ− 3)

2µdan x2 =

µ + 1−√

µ2 − 2µ− 3)

2µ.

Kedua titik 2-periodik ini hanya ada jika µ2 − 2µ − 3 ≥ 0 yaitu jikaµ ≥ 3 (sebab µ < 0 tidak termasuk dalam daerah definisi parameterµ).

2. BIFURKASI FLIP PADA PEMETAAN KUADRATIK 51

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1x 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1x 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1x

Figure 5.5. Pada gambar ini diperlihatkan grafik darifungsi f 2

µ(x). Untuk tiga nilai µ seperti pada gambar5.4. Ilustrasi ini memperlihatkan proses terciptanya so-lusi periodik berperiode 2.

Jika kita hitung turunan dari f 2µ terhadap x di salah satu titik di

atas didapat:d

dx

(f 2

µ

)(x)

∣∣x=x1

= 4− µ2 + 2µ.

Nilai turunan tersebut sama dengan −1 jika µ = 1 +√

6.

Exercise 5.3. Jelaskan mengapa kita cukup memeriksa turunanpada salah satu titik tetap saja.

Untuk 3 ≤ µ < 1 +√

6. dapat diperiksa bahwa∣∣∣∣

d

dx

(f 2

µ

)(x)

∣∣x=x1

∣∣∣∣ < 1.

Lebih jauh lagi, dengan cara seperti analisis titik tetap, kita dapatmembuktikan lemma berikut.

Lemma 5.7. Jika 3 < µ < 1 +√

6 maka titik 2-periodik di atasstabil dengan daerah kestabilan seluruh interval (0, 1).

Exercise 5.4. Buktikan Lemma 5.7 di atas.

Dinamika di sekitar µ = 1 +√

6 dapat dilihat pada Gbr. ?? Jadi,disekitar µ = 1 +

√6 Gbr ?? memberikan indikasi bahwa terjadi bi-

furkasi flip yang kedua. Sekarang yang mengalami bifurkasi adalah titi2-periodik dan yang dihasilkan setelah bifurkasi adalah titik 4-periodik.

Perhitungan analitik dari titik 4-periodik cukup rumit untuk untukdilakukan (sekalipun dengan menggunakan Maple). Tetapi dapat kitakatakan ada barisan bilangan µ0 = 3, µ1 = 1 +

√6, µ2, . . ., µn, . . .

sehingga berlaku:

• jika µ0 < µ ≤ µ1 maka pemetaan kuadratik memiliki titik 2-periodik yang stabil dan titik tetap tak trivial yang tak stabil.

• jika µ1 < µ ≤ µ2 maka pemetaan kuadratik memiliki titik 22-periodik yang stabil, titik 2-periodik yang tak stabil dan titiktetap tak trivial yang tak stabil.


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figure 5.6. Gambar ini memperlihatkan terjadinya bi-furkasi flip yang kedua pada pemetaan kuadratik. Bi-furkasi ini menghasilkan solusi periodik berperiode 4dari solusi periodik berperiode 2. Ini terjadi di sekitarµ = 1 +

√6.

• jika µ2 < µ ≤ µ3 maka pemetaan kuadratik memiliki titik23-periodik yang stabil, 22-periodik yang tak stabil, titik 2-periodik yang tak stabil dan titik tetap tak trivial yang takstabil.

• dan seterusnya.

Secara umum: µn−1 < µ ≤ µn memiliki titik 2n-periodik yang sta-bil dan titik 2k−1-periodik yang tak stabil untuk k = 0, 1, . . . , n − 1.Pernyataan berikut benar, tetapi sangat sulit untuk dibuktikan.

Lemma 5.8. Barisan bilangan {µn} konvergen ke µ∞ = 3, 61547 · · · .Bilangan ini disebut bilangan Feigenbaum.

Apa yang dapat kita simpulkan melalui hasil ini? Jika µ = µ∞,sistem dinamik x = fµ(x) memiliki tak berhingga banyaknya solusiperiodik dengan periode: 2, 4, 8, 16, dan seterusnya. Akibatnya, di-namika sistem pada saat µ = µ∞ memiliki kompleksitas yang tinggi.Pada Gbr 5.7 kita gambarkan kembali semua himpunan limit yangstabil dalam diagram (µ, x) untuk 3 < µ < µ∞.

Lemma ini memperlihatkan bahwa eksplorasi yang kita lakukanbelumlah selesai karena masih menyisakan µ yang berada dalam in-terval (µ∞, 4).

Sebelum kita lanjutkan, ada hal yang sangat menarik dalam barisan{µn}. Kita dapat membentuk barisan baru yaitu:

dk =µk − µk−1

µk+1 − µk

, k = 2, 3, 4, . . . .

Barisan ini juga konvergen ke d∞ = 4, 669202 · · · .Conjecture 5.9. Misalkan gµ(x) adalah keluarga fungsi yang mem-

punyai bentuk geometris seperti fµ(x). Sistem dinamik x = gµ(x) guamengalami barisan bifurkasi flip seperti pemetaan kuadratik. Lebih jauhlagi terdapat barisan bilangan {µn} dan {dn} seperti pada pemetaan

2. BIFURKASI FLIP PADA PEMETAAN KUADRATIK 53

3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.60.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figure 5.7. Himpunan limit dari pemetaan kuadratikuntuk 3 < µ < µ∞.

kuadratik dan besarnya d∞ = 4, 669202 · · · (tidak bergantung padafungsi g). Bilangan d∞ = 4, 669202 · · · disebut konstanta Feigenbaum.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−0.1

0

0.5

1

Figure 5.8. Himpunan limit yang stabil dari pemetaankuadratik untuk 0 < µ < 4. Gambar ini dapat di-pandang sebagai gambar dari atraktor yang ada padapemetaan kuadratik untuk nilai µ ∈ [0, 4]. Perhatikantingkat kompleksitas dari atraktor tersebut jika µ mem-besar menuju 4.


Konjektur di atas memberikan indikasi yang luar biasa menarikdalam teori tentang Chaos. Indikasinya adalah fenomena yang dikenaldengan nama Chaos ini mempunyai suatu sifat universal. Apapun kelu-arga fungsi yang membentuknya, konstanta Feigenbaum tetap karak-teristik.

3. Rute menuju Chaos

3.1. Barisan bifurkasi flip. Pada bagian sebelumnya anda su-dah melihat ada nya suatu dinamika yang memiliki kompleksitas yangtinggi pada pemetaan kuadratik. Kompleksitas itu terkait denganadanya barisan bifurkasi flip atau biasa dikenal dengan barisan bi-furkasi penggandaan periode (period-doubling bifurcations). Pada Gbr5.9 kita gambarkan transisi tersebut untuk nilai µ yang berbeda-beda.

Bayangkan sebuah himpunan yang terbatas, dalam kasus ini inter-val [0, 1]. Di dalam ruang yang terbatas seperti itu, pada saat µ = µ∞kita memiliki solusi periodik dengan periode 2n untuk setiap n ∈ N.Semua solusi periodik tersebut tidak stabil. Karena ruang yang kitamiliki terbatas, dan tidak ada solusi yang konvergen ke titik tetapataupun solusi periodik apapun, akibatnya kita harus memiliki sebuahhimpunan limit yang tidak periodik.

Perhatikan bahwa pada saat µ ≈ µ∞, dinamika sistem konvergenke suatu attraktor (himpunan invariant yang stabil secara asimptotik),tetapi atraktor tersebut mempunyai ukuran yang besar. Pada saatµ < µ∞ dinamika sistem konvergen ke suatu solusi periodik. Pada Gbr5.10 kita gambarkan dinamika sistem pada saat µ ≈ µ∞ setelah 2500iterasi dan setelah 5000 iterasi. Titik yang digambar sebanyak 200buah, seperti pada gambar terakhir pada Gbr 5.9. Bentuk atraktortersebut secara kualitatif sulit dibedakan.

Barisan bifurkasi flip adalah salah satu dari skenario untuk menda-patkan chaos dalam suatu sistem dinamik. Bifurkasi seperti ini dapatterjadi pada sistem dinamik kontinu maupun sistem dinamik diskrit.Pada pemetaan kuadratik yang sederhana seperti di bahas pada babini, cukup mengejutkan bahwa dinamika sistem tersebut memiliki kom-pleksitas yang tinggi. Tingkat kompleksitas ini tidak berhenti sampaidi sini saja. Perhatikan bahwa µ∞ masih cukup kecil dibandingkandengan 4. Apa yang terjadi pada nilai µ > µ∞?

3.2. Dinamika nonchaotik jika µ > µ∞. Pada gambar 5.11,kita gambarkan apa yang terjadi jika µ sedikit lebih besar dari µ∞.Himpunan limit yang digambarkan memperlihatkan terhentinya di-namika chaotik pada pemetaan kuadratik. Terhentinya dinamika yangchaotik ini disebabkan oleh terciptanya suatu solusi periodik yang sta-bil. Solusi periodik ini memiliki periode 10. Solusi periodik ini tidak

3. RUTE MENUJU CHAOS 55

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figure 5.9. Transisi menuju Chaos pada pemetaankuadratik. Dari kiri ke kanan, mulai pada baris pertama,nilai µ = 2, 25, µ = 3, 25, µ = 3, 5, µ = 3, 56, µ = 3, 57,dan µ ≈ µ∞.

mungkin diciptakan melalui bifurkasi flip yang terjadi sebelumnya. Un-tuk mengerti lebih dalam tentang penciptaan solusi periodik ini, kitaperlu mempelajari sistem dinamik x = f 10

µ (x).


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figure 5.10. Atraktor chaotik pada saat µ ≈ µ∞.Gambar kiri adalah bentuk atraktor setelah 2500 iterasisedangkan gambar kanan setelah 5000 iterasi.

3.605 3.6055 3.606 3.6065 3.607 3.60750

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figure 5.11. Himpunan limit di sekitar µ = µ∞. Di-namika chaotik pada pemetaan kuadratik tiba-tiba hi-lang ketika µ melewati nilai µ∞. Hilangnya dinamikachaotik ini disebabkan terciptanya suatu solusi periodikyang stabil dengan periode 10. Kehadiran suatu solusiperiodik yang stabil, membuat dinamika sistem kembalimenjadi regular.

Pada gambar 5.12 bagian kiri, digambarkan dinamika dari sistemx = f 10

µ (x) jika µ = 3, 6055. Secara geometris, gambar tersebutmemperlihatkan adanya suatu titik tetap yang stabil secara asimtotik.Hadirnya solusi periodik stabil ini membuat dinamika chaotic yang se-belumnya ada hilang. Ingat bahwa dinamika chaotik tersebut tercipta

4. UKURAN ATRAKTOR CHAOTIK PADA PEMETAAN KUADRATIK 57

melalui suatu barisan bifurkasi flip. Akibatnya, ada sejumlah besarsolusi periodik yang tak stabil sehingga dinamika sistem menjadi kom-pleks.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figure 5.12. Atraktor periodik dengan periode 10.Gambar yang kiri adalah himpunan limit dari pemetaanx = f 10

µ (x) sedangkan yang kanan adalah dinamikapemetaan kuadratik pada nilai µ = 3, 6055.

Kestabilan solusi periodik ini hanya terjadi untuk interval µ yangpendek. Setelah itu, solusi periodik tersebut kembali mengalami bi-furkasi dan menjadi tak stabil. Akhirnya, dinamika chaotik kembalihadir dalam sistem. Lahirnya solusi periodik lain kemudian akan mem-buat sistem kembali tenang. Inilah penjelasan dari adanya bagian-bagian putih dalam gambar 5.7.

4. Ukuran atraktor chaotik pada pemetaan kuadratik

Untuk nilai µ yang berbeda, atraktor chaotik yang muncul jugaberbeda dalam ukuran. Hal ini dapat dilihat pada gambar 5.13. Se-makin besar µ, semakin besar pula ukuran chaotik atraktor yang muncul.Puncaknya adalah ketika µ = 4 dimana chaotik atraktor tersebutbahkan padat di seluruh [0, 1]. Hal ini sangat menarik karena kita perlumengingat bahwa atraktor ini terbentuk dari himpunan titik-titik yangmembentuk suatu barisan bilangan di [0, 1]. Kita juga tahu bahwa se-mua barisan isomorf dengan bilangan asli N. Pertanyaan yang hendakkita kaji adalah apakah ukuran dari suatu atraktor yang chaotik nol?

Sampai sejauh ini, yang dapat kita katakan tentang atraktor chaotikdalam sistem adalah sebagai berikut. Misalkan S = {x0, x1, x2, . . . , xn−1}adalah suatu atraktor periodik. Maka pembuat tutup dari S yaituoverlineS = S. Suatu atraktor chaotik C memiliki sifat C = ∪An den-gan An adalah interval tutup di [0, 1]. Jadi ukuran dari suatu atraktorperiodik adalah 0 sedangkan suatu atraktor chaotik belum tentu nol.Lihat gambar 5.14.


3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figure 5.13. Himpunan limit dari pemetaan kuadratikuntuk 3 < µ < 4. Di antara kabut titik hitam, di beber-apa tempat terdapat daerah putih. Daerah putih terse-but menyatakan daerah di mana dinamika chaotik tidakmuncul pada pemetaan kuadratik. Hilangnya dinamikachaotik tersebut senantiasa disebabkan oleh munculnyasolusi periodik yang stabil.

4. UKURAN ATRAKTOR CHAOTIK PADA PEMETAAN KUADRATIK 59

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figure 5.14. Atraktor periodik dengan periode 10.Gambar yang kiri adalah himpunan limit dari pemetaanx = f 10

µ (x) sedangkan yang kanan adalah dinamikapemetaan kuadratik pada nilai µ = 3, 6055.

CHAPTER 6

CHAOS: Akhir dari sebuah kepastian.

There are more things in heaven and earth, Horatio,than are dreamt of in your philosophy.

(W. Shakespeare, Hamlet, Act. I, Scene 5)

Chaos adalah topik yang sangat menarik dalam dunia matematikamodern terutama yang melibatkan sistem dinamis. Telah cukup banyakhasil yang diketahui tentang topik ini meskipun harus diakui masihjauh dari lengkap. Tulisan ini bermaksud memberikan gambaran singkattentang fenomena menarik yang bernama Chaos ini.

1. Ketidakpastian vs. kepastian

Bayangkan sebuah percobaan dengan dadu (anda dapat lakukandengan bantuan teman anda di rumah). Lemparkan sebuah dadu se-banyak n kali dan catat keluarannya. Setelah itu anda ulang lagi per-cobaan itu yaitu melemparkan dadu sebanyak n kali, f kali. Anda akanmendapatkan f buah daftar yang masing-masing berisi n angka antara1,2,3,4,5, atau 6. Pada setiap daftar tersebut, anda dapat memeriksabahwa masing-masing angka keluar sebanyak px (x ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6})kali dan nilai px adalah kurang lebih n/6 kali. Semakin tinggi nilain, semakin dekatlah nilai px dan n/6. Ini adalah contoh dari per-cobaan di atas. Sayangnya karena kita tidak punya banyak waktu un-tuk melakukan percobaan, saya meminta MATLAB untuk melakukansimulasi percobaan ini. Inilah hasilnya. Dilakukan dua kali pelemparansebanyak 100 kali.

Pelemparan pertama : 4, 3, 6, 5, 3, 1, 5, 3, 4, 5, 6,5, 2, 3, 6, 6, 3, 6, 1, 3, 5, 1,1, 2, 2, 4, 2, 2, 1, 5, . . .

Pelemparan kedua : 4, 3, 3, 2, 4, 5, 4, 4, 2, 3, 5,5, 3, 4, 5, 1, 4, 1, 3, 2, 6, 1,5, 6, 6, 5, 3, 3, 2, 4, . . .

Hasil ini tentunya tidaklah mengejutkan. Ini merupakan contohyang bisa ditemukan di hampir semua buku yang membahas teori pelu-ang. Yang menarik adalah jika anda mencoba mencari pola keteraturan

61

62 6. CHAOS: AKHIR DARI SEBUAH KEPASTIAN.

dari daftar tersebut. Adakah pola keteraturannya?

Percobaan di atas dikenal sebagai contoh dari apa yang dikenal den-gan proses acak. Jika anda melempar dadu, anda tahu nilai yang akankeluar adalah 1,2,3,4,5, atau 6, tetapi pada setiap lemparan anda tidaktahu apa yang akan keluar. Ini adalah contoh sebuah proses acak.Keluaran dari proses acak tentunya juga acak. Karena pelemparandadu adalah proses acak, daftar keluaran di atas juga tidak beraturan.

Bagaimana dengan proses yang tidak acak? Begitu banyak hal difisika, kimia, biologi, ekonomi dan lain sebagainya yang dimodelkanberdasarkan suatu model yang deterministik (tidak acak). Harapankita tentunya hasil keluaran dari proses yang deterministik akan jugadeterministik; tidak acak.

Percobaan yang kedua, tidak akan dapat anda lakukan di rumah ataudimanapun juga. Percobaan ini hanyalah khayalan dari seorang matem-atikawan. Namun cukup menarik untuk kita perhatikan. Bayangkananda punya seutas tali yang elastik, misalkan memiliki panjang l1.Tarik tali itu sehingga sepuluh kali lebih panjang dari semula (10l1).Gulungkan tali itu ke sebuah roda yang kelilingnya 1. Hitung berapalingkaran penuh yang dapat dibuat oleh tali yang 10l1 itu. Itulah yangmenjadi keluaran t1 dari percobaan ini. Sisa tali yang tidak cukupmembuat satu lingkaran dipotong dan disebut l2. Dengan menggu-nakan l2 sebagai awal, ulangi percobaan ini: tarik menjadi 10 kali lebihpanjang dan gulungkan dan seterusnya.

Percobaan ini bukan proses acak, semuanya deterministik. Tidakada ketidakpastiaan yang terlibat. Misalkan kita mulai dengan taliyang panjangnya 0.32323232323232 . . .. Anda menarik tali itu menjadi10 kali lebih panjang: 3.2323232323232 . . .. Gulungkan ke roda, kitamendapatkan 3 lingkaran penuh dan sisanya 0.2323232323232 . . .. Kitaakan mendapatkan barisan keluaran sebagai berikut {3, 2, 3, 2, 3, 2, . . .}.

Misalkan kita mulai dengan tali sepanjang

π/10 = 0.314159265358979 . . . .

Keluaran proses ini adalah barisan

{3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, 8, 9, 7, 9, . . .}.Adakah suatu keteraturan? Mengapa suatu proses yang deterministikmenghasilkan keluaran yang seperti proses acak? Lebih hebat lagi,misalkan sebuah bilangan irasional, yaitu π/10. Bilangan tersebut kitatuliskan dalam 5000 bilangan decimal. Yang dihasilkan melalui prosesdi atas adalah barisan bilangan yang tiap sukunya adalah anggota darihimpunan {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Bukan hanya plot dari suku ke-nterhadap n saja yang bentuknya seperti proses acak melempar dadu,tetapi juga masing-masing angka keluar sebanyak kurang lebih 500-kali. Tentunya anda bisa menduga bahwa bilangan 500 didapat dari

2. SEBUAH MIMPI: RAMALAN CUACA 63

5000× 1/10. Ini juga berlaku untuk jika bilangan irasionalnya adalah:√2, dan

√3.

2. Sebuah mimpi: ramalan cuaca

Pada sekitar tahun 1960-an, seorang peneliti muda bernama E.Lorenz, seorang berdarah muda yang optimistik. Ia terlibat dalamsuatu mega proyek bersama-sama dengan ahli-ahli di Amerika Serikatsepeti John von Neumann dalam penelitian di bidang atmosfer daniklim. Tujuan utama penelitian yang dia lakukan adalah menjawabkeraguan orang, jika kita memiliki model yang baik, komputer yangkuat, mungkinkah kita melakukan prediksi ke depan, apakah hari esokakan hujan atau tidak.

Untuk keperluan ini, Lorenz menyederhanakan model yang saat ituada menjadi model di ruang berdimensi tiga. Mari kita mengulang per-cobaan yang dilakukan oleh Lorenz. Kita menuliskan program untuk

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Waktu

x

Figure 6.1. Ilustrasi percobaan yang dilakukan olehE. Lorenz.

menghitung selesaian dari model Lorenz. Solusi tersebut berbentukempat buah barisan bilangan x(i), y(i), z(i), t(i), i ≥ 0. Perhitungankita lakukan selama 50 detik. Kemudian dengan menggunakan datapada saat t = 39 dari hasil perhitingan lama, kita lakukan lagi perhi-tungan sampai ke t = 50. Lorenz berharap bahwa hasil perhitunganlama untuk waktu 39 sampai 50 akan sama dengan perhitungan baru(paling tidak mirip). Coba perhatikan gambar 6.1. Ia begitu terkejutketika hasil perhitungan yang baru hanya mirip dengan hasil yang lamauntuk waktu yang sangat singkat (hanya 4 detik). Setelah itu keduaperhitungan itu menjadi berbeda sama sekali.

Lorenz kebingungan menghadapi masalah ini. Selama beberapalama ia mencoba mencari kesalahan dalam program yang ia tulis. Sam-pai ia akhirnya mulai percaya bahwa hasil yang dia lihat itu tidaklahsalah melainkan yang sesungguhnya. Fenomena ini yang dinamakankebergantungan terhadap kondisi awal secara sensitif. Ini merupakansalah satu dari indikator adanya Chaos dalam sistem yang ditinjau.


3. Chaos: Sains atau fiksi?

Dunia tidak siap menerima hasil E. Lorenz. Para fisikawan duniabegitu yakin bahwa dunia ini tidak mungkin menyediakan tempat bagiChaos. Lorenz harus menjalani masa-masa sulit di mana tidak adaorang yang mau mempublikasikan pekerjaannya. Namun, pekerjaanE. Lorenz membuka mata banyak ahli-ahli di dunia. S. Smale, M.Henon, D. Ruelle, F. Takens dan lain sebagainya adalah sedikit darinama orang-orang yang menjadi pelopor dalam teori Chaos.

Chaos dalam kehidupan sehari-hari. Sebenarnya Chaos mudahsekali di lihat di mana-mana. Bahkan percobaan sederhana ini da-pat anda lakukan sendiri di rumah. Coba anda buka keran air -yakinkan dahulu bahwa PDAM saat itu memang mengalirkan air -kecil sekali. Anda akan melihat air menetes secara periodik. Satutetes demi satu tetes. Buka sedikit besar, tetesannya menjadi semakinkerap. Perlahan-lahan anda buka terus, keteraturannya mulai hilang.Sebelum menjadi aliran yang tunak (steady flow), aliran air itu akanbertetesan secara tidak beraturan. Anda telah menyaksikan suatu tran-sisi dari keadaan yang teratur: periodik, menjadi tidak terartur: ape-riodik (bahkan chaotic), dan kembali teratur: aliran tunak. Mau tidakmau anda harus mengakui keberadaannya, Chaos ada di mana-mana.

Transisi menuju Chaos. Bayangkan sebuah bola yang elastik sem-purna. Bola itu dijatuhkan dari ketinggian tertentu ke sebuah mejayang digerakan secara periodik dengan amplitudo (simpangan maksi-mum) a. Untuk nilai a yang berbeda-beda, pada gambar 6.2 digam-barkan kecepatan bola memantul vn terhadap ketinggian bola mak-simum setelah memantul ke n kali Sn. Semakin tinggi aplitudonya,gerakan bola semakin tidak beraturan.

Gambar 6.2 memperlihatkan suatu proses menuju Chaos. Padamasing-masing gambar diperlihatkan berbagai trayektori untuk keting-gian awal yang berbeda-beda. Mulai dari gambar pada sudut kiri atasberputar searah jarum jam, besarnya amplitudo dari getaran periodikdari meja membesar. Pada gambar yang pertama, nilai a cukup kecilperilaku sistem regular. Ini diperlihatkan dari struktur pada gambartersebut yang memiliki keteraturan. Ketika a dibuat membesar, kereg-ularan sistem tersebut mulai terambil alih dan muncul ketakberaturanyang cukup dominan. Menarik sekali untuk dilihat bahwa dalam gam-bar kedua, chaos (ketakberaturanan) dan keregularan muncul salingbergantian. Semakin besar a, chaos semakin mendominasi.

Chaos pada kalkulator. Jika anda memiliki scientific calculator,anda dapat melakukan percobaan ini. Masukkan suatu bilangan, sebut-lah x1 kemudian kurangkan dengan 1/2. Hasilnya anda kuadratkan lalu

4. SO MUCH TO DO, SO LITTLE TIME 65

0 1 2 3 4 5 6−1

0

1

2

3

4vn

un sn 0 1 2 3 4 5 6

−2

−1

0

1

2

3

4vn

un sn

0 1 2 3 4 5 6−2

−1

0

1

2

3

4vn

un sn

0 1 2 3 4 5 6−2

−1

0

1

2

3

4vn

un sn

Figure 6.2. Transisi menuju Chaos.

kalikan dengan−4. Hasil terakhir anda tambahkan dengan satu. Bilan-gan yang dihasilkan anda tulis sebagai x2. Kemudian anda ulang prosestadi terhadap bilangan x2 untuk mendapatkan bilangan x3 dan seterus-nya. Jangan lupa, atur ketelitian kalkulator anda sampai ketelitian 4decimal, lalu ulangi percobaan untuk ketelitian 16 decimal. Periksahasil anda untuk 20 iterasi; apakah sama dengan hasil dibawah ini?Pada setiap iterasi anda membuat kesalahan pembulatan. Kesalahanini relatif kecil, tetapi jika sistem yang kita hadapi bersifat chaotic,kesalahan kecil tersebut tidak memerlukan waktu lama untuk tumbuhmenjadi besar dan signifikan.

4. So much to do, so little time

Pengetahuan matematika dewasa ini telah berkembang cukup pe-sat. Ini memberikan orang-orang kesempatan untuk mencoba men-jawab pertanyaan seperti: asal mula Chaos, bagaimana mengenda-likannya (atau mungkinkah dikendalikan), seberapa besar Chaos itudalam suatu sistem, bagaimana mengukurnya, dan lain sebagainya.Pertanyaan-pertanyaan ini masih menjadi pertanyaan besar di kalan-gan matematikawan dan juga para rekayasawan dan ilmuwan umum.Ilmuwan sosial menanti penuh harap bisa mengaplikasikan teori chaos(jika saya boleh menyebutnya sebagai teori) dalam pasar saham, masalahsosial, politik dan lain sebagainya. Para artis pun terpesona dengangeometri dari benda-benda chaotic yang disebut memiliki struktur frak-tal. Jadi, chaos itu fiksi atau sains?


Iterasi 4 decimal. 16 decimal.

1 0.1147 0.11472 0.4061 0.40623 0.9647 0.96484 0.1362 0.13595 0.4705 0.46986 0.9965 0.99637 0.0139 0.01468 0.0548 0.05769 0.2071 0.217210 0.6568 0.680111 0.9016 0.870312 0.3548 0.451513 0.9156 0.990614 0.3091 0.037215 0.8542 0.143416 0.4981 0.491417 0.9999 0.999718 0.0003 0.001219 0.0011 0.004820 0.0043 0.0189

Bibliography

[1] Arnol’d, V.I., Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag,[2] Birkhoff, G.D., Dynamical Systems, reprinted by American Mathematical So-

ciety, 1972.[3] Coddington, E.A., Levinson, N, Theory of Ordinary Differential Equations,

McGraw-Hill, New York, 1955.[4] Nayfeh, A.H., Mook, D.T., Nonlinear Oscillations, Wiley-Interscience, New

York, 1979.[5] Sanders, J.A., Verhulst, F., Averaging Method on Nonlinear Dynamical Sys-

tem, Applied Math. Sciences 59, Springer-Verlag, New York etc., 1985.[6] Smale, S., Differentiable Dynamical Systems, Bull. Amer. Math. Soc., 73, pp.

747-817, 1967.[7] Verhulst, F., Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems, 2nd

ed., Springer Verlag, Berlin,1996.

67

lecture notes: discrete dynamical system and...

Documents