kunci olmath prov 2011

PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI 2011OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)

http://olimatik.blogspot.come-mail: [email protected] HAL 1

PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMPSELEKSI TINGKAT PROPINSI TAHUN 2011

BIDANG STUDI MATEMATIKAWAKTU : 150 MENIT

A. ISIAN SINGKAT

1. Jika x adalah jumlah 99 bilangan ganjil terkecil yang lebih besar dari 2011 dan y adalah jumlah 99bilangan genap terkecil yang lebih besar dari 6, maka x + y = ...

SOLUSI :Asumsi I : 99 bilangan yang dimaksud boleh sama.Misalkan x adalah jumlah 99 bilangan ganjil terkecil yang lebih besar dari 2011, makax = 99 . 2013= 199287Misalkan y adalah jumlah 99 bilangan genap terkecil yang lebih besar dari 6, makay = 99 . 8= 792Nilai x + y = 199287 + 792 = 200079

Asumsi II : 99 bilangan yang dimaksud berbeda.Misalkan x adalah jumlah 99 bilangan ganjil terkecil yang lebih besar dari 2011, makax = 2013 + 2015 + 2017 + ….. + U99merupakan deret aritmetika dengan a = 2013 dan b = 2Sn = ½ .n(2×a + (n – 1)b)x = S99 = ½ .99(2×2013 + 98×2)x = S99 = ½ . 99 . 4222x = S99 = 208989Misalkan y adalah jumlah 99 bilangan genap terkecil yang lebih besar dari 6, makax = 8 + 10 + 12 + ….. + U99merupakan deret aritmetika dengan a = 8 dan b = 2y = S99 = ½ .99(2×8 + 98×2)y = S99 = ½ . 99 . 212y = S99 = 10494x + y = 208989 + 10494 = 219483

Catatan : Penulis lebih memilih asumsi II

http://olimatik.blogspot.com

mailto:[email protected]



2. Jika f adalah fungsi sehingga f(xy)= f(x–y) dan f(6) =1, maka f(–2) – f(4) =….

SOLUSI :f(xy)= f(x–y)Diketahui f(6) =1f(6) = f(3.2) =f(3–2)= 1, maka f(1) = 1f(2) = f(2.1) =f(2–1)=f(1)=1f(3) = f(3.1) = f(3–1) = f(2) = 1f(4) = f(4.1) = f(4–1) = f(3) = 1Selanjutnyaf(–2) = f(2(–1)) = f(2– (–1)) = f(3) = 1Jadi f(–2) – f(4) = 1 – 1 = 0

3. Jika bilangan bulat x dan y dibagi 4, maka bersisa 3. Jika bilangan x–3y dibagi 4, maka bersisa…..

SOLUSI :x dibagi 4 bersisa 3 maka x = 4m + 3y dibagi 4 bersisa 3 maka y = 4n + 3Sehingga :x – 3y = 4m + 3 – 3(4n + 3)x – 3y = 4m + 3 – 12n – 9x – 3y = 4m – 12n – 6x – 3y = 4(m – 3n) – 6x – 3y = 4(m – 3n + 2 – 2) – 6x – 3y = 4(m – 3n – 2) + 8 – 6x – 3y = 4(m – 3n – 2) + 2

Ini berarti x – 3y dibagi 4 bersisa 2

4. Perhatikan gambar berikut. Suatu lingkaran berjari-jari 2 satuan berpusat di A. Suatu persegimemiliki titik sudut di A dan satu titik sudut yang lain di lingkaran. Di dalam persegi tersebutterdapat lingkaran yang menyinggung keempat sisi persegi. Di dalam lingkaran terdapat persegiyang keempat titik sudutnya berada di lingkaran tersebut. Di dalam persegi ini terdapat lingkaranyang menyinggung keempat sisi persegi. Luas daerah yang diarsir sama dengan....

SOLUSI :

Gambar kita batasi seperlunya dan kita buat titik dan garis bantu yang diperlukan sbb:





AB = r (lingkaran besar berpusat A) = 2AO = OG = 1Pada segitiga AGO berlaku Teorema Pythagoras sehinggaAG = 22 OGAO +

AG = 22 11 +AG = 2SelanjutnyaOC = OD = OP = ½ AG = ½ 2Pada segitiga CDO berlaku Teorema Pythagoras sehinggaCD2 =2OC2

CD2 =2(½ 2 )2

CD2 = 1CD = 1Berikutnya kita perolehOE = OQ = ½CDOE = ½Luas arsiran = L persegi AHBG – L lingkaran (r = OC) + L persegi CDIJ – L lingkaran (r = OE)Luas arsiran = AG2 – π . OC2 + CD2 – π . OE2

Luas arsiran = ( 2 )2 – π . (½ 2 )2 + 12 – π . (½)2

Luas arsiran = 2 – ½π + 1 – ¼π

Luas arsiran = (3 – π43 ) satuan luas

5. Banyak bilangan 3 digit (angka) yang terdiri dari angka-angka 0,2,3,5,7,8 yang lebih dari 243 dankurang dari 780 adalah…..

SOLUSI :

Kita akan menghitung banyaknya bilangan 3 digit (angka) yang terdiri dari angka-angka0,2,3,5,7,8 yang lebih dari 243 dan kurang dari 780 . Asumsikan bilangan yang dimaksud bolehmenggunakan angka berulang.

A

CE

O

FD

BG

H

J

I

PQ





Untuk angka ratusan 2Angka puluhan

{5,7,8}Angka satuan{0,2,3,5,7,8}

Banyak bilangan

3 6 3 x 6 = 18

Untuk angka ratusan 3 atau 5Angka ratusan

{3,5}Angka puluhan{0,2,3,5,7,8}

Angka satuan{0,2,3,5,7,8}

Banyak bilangan

2 6 6 2 x 6 x 6 = 72

Untuk angka ratusan 7Angka puluhan

{0,2,3,5,7}Angka satuan{0,2,3,5,7,8}

Banyak bilangan

5 6 5 x 6 = 30

Jadi banyaknya bilangan seluruhnya 18 + 72 + 30 = 120 bilangan

6. Diketahui Budi adalah siswa laki-laki dan Wati adalah seorang siswa perempuan. Saat ini merekaduduk di kelas IX pada suatu sekolah. Mereka mencatat banyak siswa kelas IX di sekolah mereka.Wati mencatat, 3/20 dari total siswa di kelas IX adalah laki-laki, sedangkan menurut catatan Budi,1/7 dari total siswa dikelas IX selain dirinya adalah laki-laki. Banyak siswa laki-laki kelas IX disekolah mereka adalah…

SOLUSI :Misalkan x adalah banyak seluruh siswa, dan p adalah banyak siswa laki-laki di kelas IX.

203 dari total siswa dikelas IX adalah laki-laki

203 x = p

Menurut Budi71 dari total siswa dikelas IX selain dirinya adalah laki-laki

71 (x – 1) = p – 1

71 (x – 1) + 1= p

203 x =

71 (x – 1) + 1

Kedua ruas dikalikan 140 diperoleh :21x = 20(x – 1) + 14021x = 20x – 20 + 140x = 120

p =203 x =

203 . 120 = 18

Jadi banyaknya siswa laki-laki di kelas tersebut adalah 18





7. Diketahui luas persegi ABCD adalah 25 m2. Jika E, F, dan G masing-masing adalah titik tengahAB, AD, dan CD seperti pada gambar berikut, maka luas trapesium BHFE adalah.... m2 .

SOLUSI :Perhatikan gambar di bawah:Luas persegi ABCD = 25 m2

Maka panjang sisi persegi = 5 mKarena E, F, dan G masing-masing adalah titik tengah AB, AD, dan CD maka gambar dapat kitalengkapi sebagai berikut:

Gambarlah titik I yang merupakan titik tengah BD. Selanjutnya tarik garis GI // AD, dangaris FI // DC. Perhatikan bahwa DGIF berupa persegi sehingga ∠ DHF siku-sikuLuas Trapesium BHFE = L ∆ ABD – L ∆ AEF – L ∆ DHFLuas Trapesium BHFE = ½ ×AB×AD – ½ ×AE×AF – ¼ L.DGIF

Luas Trapesium BHFE =21 ×5×5 –

21 ×

25 ×

25 –

41 ×

25 ×

25

Luas Trapesium BHFE =225 –

825 –

1625

Luas Trapesium BHFE = 7.812516125

162550200

==−−

Jadi Luas Trapesium BHFE adalah 7,8125 m2

A E B

CGD

H

F

A E B

CGD

H

F I 5

5,2

5,2

5,2

5,2 5,2





8. Tiga bilangan a, b, dan c dipilih sehingga ketika setiap bilangan ditambahkan ke rata-rata duabilangan lainnya maka berturut-turut hasilnya adalah 80,90, dan 100. Rata-rata dari a, b, dan cadalah ...

SOLUSI :80)(2

1 =++ cba ⇔ 1602 =++ cba ……………(1)90)(2

1 =++ cab ⇔ 1802 =++ cab ……………(2)100)(2

1 =++ bac ⇔ 2002 =++ bac ……………(3)Kedua ruas persamaan (1) + (2) + (3) menghasilkan :4a + 4b + 4c = 5404(a + b + c) = 540a + b + c = 135Rata-rata cba ,, adalah 45135.135.)( 3

131

31 ===++ cba

9. Sebuah bilangan bulat x diambil secara acak dari { 105 ≤≤− xx , x bilangan bulat }. Peluang

bahwa x adalah penyelesaian pertidaksamaan 232 ≤− xx adalah….

SOLUSI :Sebuah bilangan bulat x diambil secara acak dari { 105 ≤≤− xx , x bilangan bulat }Banyaknya seluruh kemungkinan x adalah 16

Selanjutnya kita cari banyaknya penyelesaian bulat dari 232 ≤− xx sbb:232 ≤− xx

x2–3x ≤ 4x2 – 3x – 4≤ 0(x– 4)(x + 1) ≤ 0

41 ≤≤− x ………………….. (1)Disamping itu syarat lain x2 – 3x > 0 juga harus dipenuhi sehinggax(x – 3) > 0x< 0 atau x > 3……………..(2)Irisan antara (1) dan (2) adalah – 1< x < 0 atau 3< x < 4Untuk x bilangan bulat maka yang memenuhi adalah – 1, 0, 3, 4 . Artinya ada 4 penyelesaian bulatJadi nilai peluang yang dimaksud adalah 4/16 = ¼

10. Misalkan n adalah suatu bilangan asli dan x adalah bilangan riil positif.

Jika 02322

=−+−

nn

xx , maka nilai

41

2

+nx sama dengan ....

SOLUSI :





02322

=−+−

nn

xx

0232 2 =−+n

n xx

02)(3)(2 21

=−+ nn xxMisalkan : axn = , maka

0232 21

=−+ aa

aa 223 21

−=Kedua ruas dikuadratkan diperoleh9a = 4 – 8a + 4a2

4a2 – 17a + 4 = 0(4a – 1)(a – 4) = 04a = 1 atau a = 4a = ¼ atau a = 4

441 == nn xataux

Selanjutnya kita lakukan pengujian ke persamaaan:

023)(202)(3)(2 21

=−+⇔=−+ nnnn xxxx

untuk 41=nx , maka 02

413)

41(2 =−+ (Memenuhi)

untuk 4=nx , maka 0243)4(2 ≠−+ (Tidak memenuhi)

Jadi nilai 4

212

41

41

2

41

2==

+=

+nx

B. SOAL URAIAN

1. Saat ini umur Agus dan umur Fauzan kurang dari 100 tahun. Jika umur Agus dan umur Fauzanditulis secara berurutan, maka diperoleh suatu bilangan empat digit (angka) yang merupakankuadrat sempurna. Dua puluh tiga tahun kemudian, jika umur mereka ditulis dengan cara yangsama, maka diperoleh bilangan empat digit lain yang juga merupakan kuadrat sempurna. Jika umurmereka diasumsikan merupakan bilangan bulat positif, berapakah umur mereka saat ini?

SOLUSI :Kejadian saat ini :Misalkan: umur Agus = [pq] < 100 , dan umur Fauzan = [rs] < 100 ,dengan[pq] = 10p + q, dan [rs] = 10r + sJika umur keduanya ditulis secara berurutan diperoleh bilangan 4 digit yang merupakan kuadratsempurna. Atau dapat ditulis sbb:





[pqrs] = x2 , sehingga1000p + 100q + 10r + s = x2 ……………….(1)

Yang terjadi 23 tahun kemudian :umur Agus = 10(p+2)+ (q+3) < 100 , dan umur Fauzan = 10(r+2)+ (s+3) < 100Jika umur keduanya ditulis secara berurutan maka diperoleh bilangan 4 digit lain yang jugamerupakan kuadrat sempurna, sehingga:1000(p+2) + 100(q + 3) + 10(r + 2) + (s + 3) = y2

1000p + 2000 + 100q + 300 + 10r + 20 + s + 3 = y2

1000p + 100q + 10r + s + 2323= y2 …………………(2)

Jika kedua ruas persamaan (2) dikurangi persamaan (1) diperoleh :y2 – x2 = 2323(y + x)(y – x) = 101×23Karena 101 dan 23 relatif prima maka nilai x dapat dicari sbb:y + x = 101y – x = 23 –2x = 78x = 39[pqrs] = [x2] = [392] = [1521]umur Agus = [pq] = [15] dan umur Fauzan = [rs] = [21]Jadi umur mereka saat ini adalah 15 tahun dan 21 tahun.

2. Pada sebuah segiempat ABCD, sudut ABC dan sudut DAC adalah sudut siku-siku. Jika keliling segiempat ABCD adalah 64 cm, keliling ABC adalah 24 cm, dan keliling ACD adalah 60 cm,berapakah luas segiempat ABCD?

SOLUSI :

Keliling ABCD = 64p + q + r + s = 64…………….(1)Keliling ABC = 24p + q + t = 24 ………………..(2)Keliling ACD = 60r + s + t = 60 ………………...(3)Kedua ruas persamaan (2) + (3) – (1) menghasilkan:2t = 24 + 60 – 64

p

t

q

rs

A

B

C

D





t = 10p + q + t = 24p + q + 10 = 24p + q = 14 ……………(4)Pada segitiga ABC berlaku teorema Pythagoras:p2 + q2 = t2p2 + q2 = 102 ……………..(5)Dari persamaan (4) dan (5) , maka diperoleh nilai p = 6 dan q = 8r + s + t = 60r + s + 10 = 60r + s = 50 …………………(6)Pada segitiga ACD berlaku teorema Pythagoras:s2 + t2 = r2

s2 + 102 = r2 ……………..(7)Dari persamaan (6) dan (7) , maka diperoleh nilai s = 24 dan r = 26Luas segiempat ABCD = L. ABC + L. ACDLuas segiempat ABCD = ½ .p.q + ½ .s.tLuas segiempat ABCD = ½ .6.8 + ½ .24.10Luas segiempat ABCD = 24 + 120 = 144Jadi luas segiempat ABCD adalah 144 cm2

3. Diketahui bil.bulat positif n memiliki sifat-sifat berikut.2 membagi n, 3 membagi n+1, 4 membagi n+2, 5 membagi n+3, 6 membagi n+4, 7 membagi n+5,8 membagi n+6. Bilangan bulat positif pertama yang memiliki sifat-sifat ini adalah 2. Tentukanbilangan bulat positif ke-5 yang memenuhi sifat-sifat diatas.

SOLUSI :Berdasar informasi pada soal maka n dapat dituliskan sbb:n = 2an + 1 = 3b ⇔ n = 3b – 1 ⇔ n = 3(b–1) + 3 –1 ⇔ n = 3(b–1) + 2⇒ n = 3p + 2n + 2 = 4c ⇔ n = 4c – 2 ⇔ n = 4(c–1) + 4 –2 ⇔ n = 4(c–1) + 2⇒ n = 4q + 2n + 3 = 5d ⇔ n = 5d – 3 ⇔ n = 5(d–1) + 5 –3 ⇔ n = 5(d–1) + 2⇒ n = 5r + 2n + 4 = 6e ⇔ n = 6e – 4 ⇔ n = 6(e–1) + 6 –4 ⇔ n = 6(e–1) + 2⇒ n = 6s + 2n + 5 = 7f ⇔ n = 7f – 5 ⇔ n = 7(f–1) + 7 –5 ⇔ n = 7(f–1) + 2⇒ n = 7t + 2n + 6 = 8g ⇔ n = 8g – 6 ⇔ n = 8(g–1) + 8 –6 ⇔ n = 8(g–1) + 2⇒ n = 8u + 2Bilangan bulat positif pertama n yang memiliki sifat-sifat ini adalah 2 . Selanjutnya n dapatdinyatakan sbb:n = k × KPK (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) + 2n = 840k + 2 , dengan k = 0,1,2,3,….Bilangan bulat positif pertama adalah n = 2 diperoleh untuk k = 0.Bilangan bulat positif kedua adalah n = 840×1 + 2 = 840+ 2 = 842, diperoleh untuk k = 1……………………………………………………………………………………..Bilangan bulat positif kelima adalah n = 840×4 + 2 = 3360+ 2 = 3362, diperoleh untuk k = 4 JadiBilangan bulat positif kelima yang bersifat seperti tersebut adalah 3362.





4. Tiga garis lurus l1, l2, dan l3 mempunyai gradien berturut-turut 3, 4, dan 5. Ketiga garis tersebutmemotong sumbu -Y dititik yang sama. Jika jumlah absis titik potong masing-masing garis dengan

sumbu -X adalah6047 , tentukan persamaan garis l1

SOLUSI :

l1 bergradien 3 melalui (r,0) dan (0,k), sehingga3

3 krr

k−=⇔=

−

l2 bergradien 4 melalui (q,0) dan (0,k), sehingga4

4 kqq

k−=⇔=

−

l3 bergradien 5 melalui (p,0) dan (0,k), sehingga5

5 krp

k−=⇔=

−

Karena jumlah absis titik potong masing-masing garis dengan sumbu -X adalah6047 ,maka

6047

=++ rqp

6047

543=

−+

−+−

kkk

6047

6012

6015

6020

=

−+

−+−

kkk

6047

6047

=−k

1−=kSehingga persamaan garis l1 bergradien 3 melalui (0,k) = (0, –1) adalah :y – y1 = m (x – x1)y – (–1) = 3(x – 0)y + 1 = 3xy = 3x – 1

5. Data akhir suatu kompetisi yang diikuti oleh tiga tim sepakbola, masing-masing tim salingberhadapan, dituliskan pada berikut.

Tim Menang Kalah Seri Gol (Memasukkan-Kemasukan)Elang 1 0 1 5 2

Garuda 1 0 1 4 3Merpati 0 2 0 3 7

Berapakah skor pertandingan antara Tim Garuda melawan Tim Merpati?

k

p q r x

y3l

2l1l





SOLUSI :

Perhatikan diagram skor dan tabel di bawah

Tim Menang Kalah Seri Gol(Memasukkan-Kemasukan)

Elang 1 0 1 5-2Garuda 1 0 1 4-3Merpati 0 2 0 3-7

Elang dan Garuda bertanding seri dan keduanya menang atas Merpati.Total Elang dan Garuda memasukkan gol 5 + 4 = 9. Sedangkan total Merpati kemasukan gol dariElang dan Garuda adalah 7. Artinya selisih 2 gol terjadi saat Elang dan Garuda bertanding seri ataudengan skor 1 - 1 . Pada tabel diketahui jumlah Gol (Memasukkan-Kemasukan) Garuda 4 – 3.Karena 1 gol memasukkan ke Elang maka sisanya (4 – 1 = 3 gol) pasti memasukkan ke Merpati.Disamping itu Garuda juga kemasukan 1 gol dari Elang, maka sisanya kemasukan (3 – 1=2 gol)dari Merpati.Jadi skor akhir Garuda melawan Merpati adalah 3 – 2.

Elang

Garuda

Merpatiba −

dc −

xx −seri

menang

menang



kunci olmath prov 2011

Documents