ktsp torsi & rotasi-jwb

Kertas kerja fisika XIB1

1

GERAK ROTASI DAN KESETIMBANGANBENDA TEGAR

Momen gayaJika Anda ingin memutar gasing, maka Anda harus memuntirnya. Dalam Gambar berikut,

sebuah gasing yang diam mendatar pada permukaan horizontal dibuat berputar oleh gaya F1 danF2 yang bekerja pada tepi gasing.Ingat bahwa lokasi titik tangkap gaya sangat penting.

Pada gambar (a), gaya F1 dan F2 bekerja tegak lurus terhadap sumbu putar, sehingga bekerjamomen gaya yang mengakibatkan gasing berputar. Sedangkan pada gambar (b), kedua gaya yangsama itu bekerja sedemikian rupa hingga garis kerjanya melalui pusat gasing sehingga gasing tidakberputar.

Jarak tegak lurus antara garis kerja sebuah gaya dan sumbu rotasi disebut lengan gaya . Kitadefinisikan hasil kali sebuah gaya dengan lengannya sebagai besaran momen gaya (torsi,disimbolkan sebagai ).

Kompetensi Dasar :Memformulasikan hubungan antara konsep torsi dan momentum sudut, berdasarkan hukum II Newton sertapenerapannya dalam masaalah benda tegar.

F1F2

F1

F2

(a) (b)

F1

F2

ACX

Y


2

Perhatikan gambar di atas, sebuah benda dibuat sedemkian rupa sehingga benda dapatberputar pada poros C. Gaya F1 bekerja pada titik A, sedangkan gaya F2 bekerja pada titik X. Gariskerja gaya F1 yaitu melalui garis AB, terlihat dengan jelas bahwa jarak tegak lurus antara garis kerjaAB dengan poros C adalah AC (lengan gaya F1). Dengan demikian, besarnya torsi yang dihasilkanoleh gaya F1 adalah:

1 = F1 AC

Perhatikan gaya F2. Garis kerja gaya F2 yaitu sepanjang garis XY. Jarak tegak lurus antara garis kerjaXY dengan sumbu C adalah YC (ini adalah lengan gaya F2). Berarti, besarnya torsi yang dihasilkan oleh gayaF2 adalah:

2 = F2 YC

Selanjutnya, torsi 1 menghasilkan putaran yang searah dengan jarum jam, kita sebut sebagai torsipositif, sedangkan 2 menghasikan putaran yang berlawanan arah dengan jarum jam, kita sebut sebagai torsinegatif. Total torsi yang dihasilkan adalah

= 1 2

Analisis Contoh SoalPada sebuah papan panjang bekerja gaya F1 dan F2 seperti terlihat pada gambar. Sumbu putar diletakkanpada jarak 20 cm dari titik A. Jarak AB = 10 cm dan BD = 20 cm. gaya F1 = F2 = 10 N. Berapa besarnya momengaya yang bekerja pada benda?

Jawab:Diketahui:

Gaya F1 = 10 NGaya F2 = 10 N

Gaya F1 bekerja tegak lurus dengan sumbu putar C, sehingga lengan gaya F1 adalah garis BC, berarti:

Lengan gaya F1 = 10 cm = 0,1 m

Bagaimana dengan gaya F2? Karena membentuk sudut, maka diperlukan trigonometri sederhanauntuk mencari besarnya lengan gaya F2. Perhatikan gambar berikut.

C D


3

Jika kita perpanjang garis kerja gaya F2 ke arah belakang, kita dapatkan garis kerja gaya F2 yaitu sepanjanggaris EC. Dengan demikian, lengan gaya F2 adalah garis EC. Panjang garis ini dapat ditentukan dengantrigonometri. Segitiga ECD memiliki siku-siku di E, sehingga sisi miring segitiga yaitu CD.

Panjang CD = 10 cm

Panjang CE = 10 sin 30= 5 cm

Berarti lengan gaya F2 = 5 cm = 0,05 m

Ditanyakan: Momen gaya totalPenyelesaian:

Gaya F1 mengakibatkan benda berputar searah jarum jam, berarti torsi 1 bernilai positif, yaitu1 = lengan gaya F1 F1

= BC F1= (0,10 m)( 10 m) = 1 N m

Gaya F2 mengakibatkan benda juga berputar searah arah dengan jarum jam, berarti 2 bernilai positif, yaitu2 = lengan gaya F1 F2

= CE F2= (0,05 m)( 10 N) = 0,5 N m

Total momen gaya yang bekerja pada benda adalah = 1 2

= 1 Nm 0,5 Nm = 0,5 Nm

Penerapan Konsep : Analisislah gambar-gambar berikut, tentukan apakah benda-benda berikutakan berputar jika dikenai gaya dan tentukan pula arah putar benda. Diasumsikan semua gayasama besarnya. Titik hitam pada benda merepresentasikan sumbu putarnya.


4

Penerapan Konsep: Jawablah beberapa soal berikut ini!1. Hitunglah total momen gaya yang bekerja pada benda ini. Titik hitam merupakan sumbu putar benda

= 0,512 Nm

2. Tentukan lengan torsi dan torsi tiap gaya, serta torsi totalnya terhadap poros di titik :a. P (pusat persegi) b. Q (sudut persegi)

Setiap gaya besarnya F N dan sisi-sisi persegi yaitu a cm.

a. = 2 2 Nmb. = 2 2 Nm


5

Hubungan Torsi dengan percepatan sudutSekarang kita tunjukkan bahwa percepatan sudut benda tegar sebanding dengan torsi total.Dengan memperhatikan hukum II Newton, yaitu:

F = m a

Hubungan antara percepatan translasi dan percepatan sudut adalah

a = R (*)

Substitusi Persamaan (*) ke dalam persamaan Hukum II Newton, didapatkan

F = m. ( R)

Kalikan kedua ruas dengan R, diperoleh :

R F = m ( R2) (**)

Sisi kiri Persamaan (**) tidak lain adalah momen inersia total, ( = F R). Besaran mR2adalah momen inersia benda yang disimbolkan dengan I, sehingga I = m R2.

Dari ungkapan F.R = dan m R2 = I, berarti Persamaan (**) dapat kita tuliskan menjadi :

= I.

Analisis Contoh SoalPada gambar berikut, sebuah gaya 50 N bekerja secara tangensial pada tepi roda yang berdiameter50 cm dan memiliki momen inersia 40 kg m2. Tentukan:a. percepatan sudut roda,b. kecepatan sudut roda setelah berputar 10 s dari posisi diam,c. berapa kali roda berputar dalm selang waktu 10 s itu.


6

Jawab:Diketahui:

Gaya yang bekerja, F = 50 NLengan gaya, R = 25 cm = 0,25 mMomen inersia, I = 40 kg m2

Penyelesaian:a. Percepatan sudut dapat dicari dengan persamaan = I . Besarnya torsi yang bekerja padaroda akibat gaya F adalah

= R F = (0,25 m) ( 50 N) = 12,5 Nm

Besarnya percepatan sudut yaitu:

22 rad/s3125,0mkg40

Nm5,12

I

b. Besarnya kecepatan sudut dalam gerak melingkar berubah beraturan analog dengan gerak lurusberubah beraturan, yaitu:

t = 0 + t

Karena roda mula-mula diam, maka kecepatan sudut akhir roda dapat dituliskan yaitu:

t= t

Kecepatan rotasi roda setelah menempuh t = 10 s adalah

t = (0,3125 rad/s2)(10 s) = 3,125 rad/s

c. Posisi sudut akhit suatu benda yang berotasi setelah t sekon adalah

= 0 t + t2

dalam selang waktu t = 10 s, besarnya sudt putar roda yang telah itempuh roda adalah

= 3,125 rad/s 10 s + (0,3125 rad/s2)(10 s)2 = 187,5 rad

sudut yang ditempuh semua roda dalam 1 putaran adalah 2 rad. Dengan demikian, banyaknyaputaran roda yaitu:

=

75,93putaran


7

Penerapan Konsep: Kerjakan soal-soal berikut

1. Dua benda P dan Q masing-masing bermassa 5 kg dan 4 kg dihubungkan dengan sebuah katrol2 kg dan berjari-jari 15 cm. Tentukan percepatan benda P ! Anggap g = 10 m/s2.(petunjuk: pada katrol bekerja dua buah gaya tegangan tali karena benda P dan Q)

Katrol ikut berputar dalam peristiwa ini.

a = 1 m/s2

2. Dua benda P dan Q masing bermassa 4 kg dan 6 kg dihubungkan dengan seutas tali melaluikatrol bermassa 2 kg dan berdiameter 15 cm. Benda P terletak di bidang datar kasar dengankoefisien gesek 0,2 sedangkan benda Q tergantung. Tentukan percepatan benda Q !

Untuk sistem aktrol tidak licin, maka a = 3.78 m/s2


8

Momen Inersia Beberapa Benda Teratur

Bentuk benda Momen inersia Bentuk benda Momen inersia

2

21 mRI 2

121 mRI

)(21 2

22

1 RRmI 2

32 mRI

2

31 mLI )(

21 22 bamI

Teorema Sumbu SejajarTeorema sumbu sejajar menghubungkan momen inersia terhadap sumbu yang melalui pusat

massa benda dengan momen inersia terhadap sumbu kedua yang sejajar. Misalkan Icm adalahmomen inersia terhadap sebuah sumbu yang lewat pusat massa benda dan I adalah momen inersiaterhadap sumbu sumbu yang sejajar pada jarak D. Teorema ini menyatakan bahwa:

I = Icm + MD2

dimana

M = massa benda tegar.D = jarak sumbu baru dengan sumbu pusatI = momen inersia sumbu baruIcm= momen inersia sumbu pusat

Analisis Contoh Soal


9

Dua benda bermassa 10 kg dan 8 kg diletakkan pada batang yang ringan (massa diabaikan) danterpisah sejauh 4 m. Hitunglah momen inersia sistem:(a) ketika diputar sekitar sumbu yang berada di tengah-tengah antara kedua benda tersebut,(b) jika sistem berputar sekitar sumbu yang terletak 0,5 m di sebelah kiri massa 10 kg

Jawab:Diketahui:

Massa benda 1, m1 = 10 kgMassa benda 2, m2 = 8 kg

a. momen inersia ketika sumbu putar di tengah-tengah batang.

Berarti, r1 = 2 m dan r2 = 2 m

Besarnya momen inersia benda 1,I1 = m1 R1 = (10 kg)(2 m)2 = 40 kg m2

Besarnya momen inersia benda 2,I2 = m2 R2 = (8 kg)(2 m)2 = 32 kg m2

Besarnya momen inersia total yaitu:I = I1 +I2= 40 kg m2 + 32 kg m2 = 72 kg m2

b. momen inersia ketika sumbu putar berada di 0,5 m benda 10 kg.

Dari gambar, didapatkan r1 = 0,5 m dan r2 = 4,5 mBesarnya momen inersia benda 1,

I1 = m1 R1 = (10 kg)(0,5m)2 = 2,5 kg m2

Besarnya momen inersia benda 2,I2 = m2 R2 = (8 kg)(4,5 m)2 = 162 kg m2

Besarnya momen inersia total yaitu:I = I1+ I2 = 2,5 kg m2 + 162 kg m2 = 164,5 kg m2

m1

m1


10

Energi kinetik rotasiEnergi kinetik rotasi dapat diturunkan dengan mudah dari persamaan energi kinetik translasi.Persamaan energi kinetik translasi yaitu;

Ek =21

m v2 (*)

Hubungan antara kecepatan translasi denga kecepatan sudut adalah

v = R (**)

Substitusi Persamaan (**) ke (*), aakan didapatkan

Ek =21

m 2 R2

Karena I = mR2, pesamaan energi kinetik ini dapat kita tuliskan sebagai

EK =21

I 2

Energi Kinetik translasi dan rotasi

Jika benda mengalami rotasi dan translasi bersama-sama, maka energi kinetik benda adalah :

Ek = 2.I.21

+21

m v2

Usaha dalam gerak rotasi

Usaha pada gerak linear adalah hasil kali gaya F yang menyebabkan benda berpindah sejauh s,

yaitu:

W = F s (*)

Hubungan antara perpindahan translasi dan perpindahan sudut yaitus = R (**)

Dengan mensubstitusi Persamaan (**) ke (*), didapatkanW = F R (***)

Hasil kali F dan R adalah momen gaya , sehingga Persamaan (***) dapat dituliskan sebagai

W =


11

Teorema usaha energi pada gerak translasi dapat kita tuliskan sebagai

21

22 2

121 mvmvFsW

Analog dengan persamaan di atas, teorema usaha energi untuk gerak rotasi dapat ditulis sebagai

W = = 2122 .I.2

1.I.21

Sama seperti pada gerak translasi berlaku hukum kekekalan energi, maka pada gerak rotasi berlakujuga hukum kekekalan energi sebagai :

Ek1 + Ep1 + Ek rot-1 = Ek2 + Ep2 + Ek rot-2 atau

m g h1 +21

m v12 + 21.I.21

= m v22 + m g h2 + 22I21

Analisis Contoh SoalSebuah roda pejal homogen mempunyai massa 1 kg dan berdiameter 20 cm. Roda pada awalnya

berputar dengan kecepatan 1.200 rpm. Karena pengaruh gaya gesekan, roda berhenti setelah 15sekon. Hitunglah besarnya usaha untuk menghentikannya., Momen gaya , dan gaya gesekantersebut !Diketahui:

Kecepatan sudut awal, o = 120 rpm = 40 rad s1Kecepatan sudut akhir, t = 0 rpmMomen inersia roda = 0,01 kg m2Waktu, t = 15 s

Ditanya : Usaha, momen gaya, dan gaya gesekan.Penyelesaian:

Untuk mencari besarnya usaha untuk menghentikan roda, dapat digunakan persamaan usaha-energi pada gerak rotasi, yaitu:

W = I 12 I 22 = (0,01 kg m2) (40 rad/s)2 (0,01 kg m2) (0 rad/s)2= 82 J

Untuk menentukan torsi (momen gaya) yang dikerjakan oleh gaya gesekan, dapat kita gunakanpersamaan

W =

Sehingga

W


12

Besarnya perpindahan sudut roda dalam selang waktu 15 s dapat kita temukan dari persamaanGMBB, yaitu

tt 0

Kita dapatkan percepatan sudut benda adalah

20 srad67,21540

t

Perpindahan sudut dapat ditentukan melalui persamaan GMBB berikut:

2202

t

Atau

rad________

_______________

___________

Substitusi besarnya ke dalam

W

, didapatkan

Nm___________

Dalam kasus ini, gaya gesekan menghasilkan adanya torsi pada roda sehingga roda menggelinding.Besarnya gaya gesekan dapat dicari dengan persamaan = r F , atau

N____m_____

Nm___________

F

Tugas Siswa: Sebuah benda tegar dengan momen inersia I = nMR2 bergerak menuruni sebuahbidang miring seperti pada gambar di bawah. Buktikan bahwa kecepatan benda di bagian bawahbidang miring memenuhi

12

n

ghv


13

Untuk benda menggelinding berlaku hukum kekekalan energi mekanik:

EPA + EKA = EPB + EKB

Mgh + 0 = 0 + ( Mv2 + I2)

Karena I = nMR2, maka

Mgh = Mv2 + (nMR2) 2

Mgh = Mv2 + (nMR2) (v/R)2

Kita kali ruas kiri dan ruas kanan dengan 1/M

gh = v2 + nv2 = v2 (n + 1)

Kita dapatkan:

v =1

2ngh

=========================================================================

Momentum Sudut

Jika pada gerak translasi dikenal hukum kekekalan momentum, maka pada gerak rotasi berlakujuga hukum kekekalan momentum sudut, yang berbunyi sebagai :

Besar momentum sudut awal sama dengan besar momentum sudut akhir

Kekekalan momentum pada gerak translasi dapat dituliskan sebagai:

m1.v1 + m2.v2 = m1.v1 + m2.v2

Jika kedua ruasnya dikalikan R

m1.v1.R + m2.v2 .R = m1.v1.R + m2.v2.R (*)

karena v = .R, maka Persamaan (*) dapat ditulis sebagai

m1 1 R12 + m2 2 R22 = m1 1 R12 + m2 2 R12

Dengan menggunakan persamaan momen inersia I = mR2, persamaan di atas dapat kita tuliskembali menjadi

1 + 2 = 1 + 2


14

35 N

30 N

20 N Gambar 15.26

Persamaan di atas adalah hukum kekekalan momentum sudut.

Kita misalkan L = m v R dan L = m v R, Persamaan (*) dapat dituliskan sebagai

L1 + L2 = L1 + L2

1 2

I1 I2

(a) (b) ( c )

Pada gambar (a), benda berputar dengan kecepatan sudut 1 dengan momen inersia I1, kemudianbergabung dengan benda (b) yang berputar dengan kecepatan sudut 2 dengan momen inersia I2.Setelah bergabung kedua benda berotasi dengan kecepatan sudut yang sama, yaitu 1= 2 = .Persamaan kekekalan momentum sudut untuk kasus ini dapat dituliskan sebagai

1 + 2 = 2

Tugas Siswa: Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut ini dengan tepat1.

Dua roda masing-masing dengan jari-jari 20 cm dan 10 cm seperti tampak pada gambar di atas.Jika dianggap torsi gesekan antara lantai dengan roda besar adalah 0,40 Nm, hitunglah torsi totalsekitar poros roda kecil!

= 1,5 Nm

135


15

C

Y

2,0 mm1 m2

2,0 m 2,0 m

2,0 mm4 X

m3

Z

2.

Radius gulungan tissue yang ditunjukkan pada gambar di atas adalah 7,6 cm dan momeninersianya adalah 2,9 103 kg m2. Gaya sebesar 3,2 N diberikan pada ujung gulungan selama1,3 s, sehingga tissue mulai terulur dari gulungan. Torsi gesekan konstan sebesar 0,11 Nmdiberikan pada gulungan yang akhirnya menghentikannya. Dengan menganggap ketebalankertas dapat diabaikan, hitunglah panjang kertas yang terulur selama waktu gaya diberikan!

Panjang kertas = 5,4 m

3.

Sebuah batang homogen dengan panjang diputar terhadap poros C seperti tampak padagambar di samping , hitunglah momen inersia batang terhadap poros C ( dengan metodesumbu sejajar) !

I =19219

ML2

4.


16

Empat partikel di sudut-sudut bujur sangkar pada gambar di atas dihubungkan oleh batang takbermassa. Massa partikel m1 = m3 = 3 kg dan massa m2 = m4 = 4 kg.a. Hitung momen inersia sistem terhadap sumbu yang tegak lurus bidang partikel-partikel itu dan

melalui m4

I = 56 kg m2

b. Berapa usaha yang dibutuhkan untuk menghasilkan kecepatan sudut 2 rad/s terhadap sumbuini!

W = 112 Nm

5

Gambar di atas adalah sebuah bola kecil dengan I =52

mr2 yang menggelinding tanpa slip pada

permukaan dalam talang yang besar. Jika bola dilepas di titik A, berapakah kecepatannya:a. pada titik B

v = 5 m/s

b. pada titik C

vc = 1,1 m/s

ktsp torsi & rotasi-jwb

Documents