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09 - Kriging08 - Kriging
MI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILE
La idea básica es estimar el valor de una variable regionalizada (por ejemplo, la ley de cobre total) en una posición u donde no conocemos el valor verdadero, planteando:
donde Z*(u) es el valor estimado para la posición u, {Z(ui), i=1...n} son los valores de los datos en las posiciones {ui, i=1...n}, a es un coeficiente aditivo y {i, i=1...n} son ponderadores.
Estimadores lineales ponderados
¿Qué factores podrían considerarse en la asignación de los ponderadores?
cercanía a la posición que está siendo estimada
redundancia entre los valores de datos
continuidad o variabilidad espacial
Estimador del más cercano vecino: atribuye toda la ponderación al dato más cercano al sitio a estimar (i = 1 para el dato más cercano, i = 0 para los otros datos, a = 0)
También llamado “estimador por polígonos de influencia”, puesto que el sitio a estimar se encuentra en el polígono de influencia del dato que se lleva toda la ponderación
Estimador del inverso de la distancia: atribuye a cada data una ponderación proporcional al inverso de su distancia al sitio a estimar
Existen variantes, donde se eleva la distancia a una cierta potencia:
donde di es la distancia entre el dato nºi y la posición que se está estimando, c es una constante pequeña, y w es un valor usualmente comprendido entre 1 y 3
Inverso de la distancia Inverso del cuadrado de la distancia
Los estimadores anteriores son sencillos de aplicar, pero la asignación de la ponderación sólo depende del criterio de cercanía.
La idea del método de kriging es incorporar los otros criterios (redundancias entre datos, continuidad espacial, anisotropía) mediante el uso del variograma.
De este modo, se logra obtener estimaciones más precisas
→ mejor planificación, mejor selección estéril / mineral, + $$$
Kriging es “una colección de técnicas generalizadas de regresión lineal para minimizar una varianza de estimación definida de un modelo a priori de covarianza” (R. Olea, 1991).
El Kriging es el mejor estimador lineal insesgado (Best Linear Unbiased Estimator, BLUE)
“lineal” porque es una combinación lineal ponderada de los datos
“insesgado” porque el error de estimación tendrá una media igual a 0
“mejor” en el sentido del error de varianza mínima para un modelo dado de covarianza / variograma
Existen varios tipos de kriging:
Kriging simple: media m conocida
Kriging ordinario: media m desconocida
Kriging con deriva: media desconocida que depende de cada posición m(u)
Kriging universal - intrínseco: la deriva es un polinomio de las coordenadas
Kriging trigonométrico: la deriva es una función periódica
Kriging con deriva externa: la deriva es proporcional a una variable secundaria
Kriging no lineal: aplica kriging a una transformada de la variable
Kriging lognormal: cuando el logaritmo de los datos tiene una distribución normal
Kriging de indicadores: aplica kriging a datos binarios (indicadores) que codifican probabilidades de pertenecer a un tipo de roca o de sobrepasar una ley de corte
Kriging disyuntivo: aplica kriging a factores que descomponen la variable a estimar
Kriging multi-Gaussiano: aplica kriging a la transformada Gaussiana de los datos
Kriging multivariable = cokriging
Kriging Simple
Hipótesis
1) Se conoce el valor promedio m de la variable regionalizada
2) También se conoce el variograma g(h), el cual presenta una meseta:
g() = s2
existe una funcion de covarianza, dada por C(h) = s2 – g(h)
Kriging Simple
Queremos construir el “mejor estimador lineal insesgado” para estimar el valor en un sitio u:
Para determinar el coeficiente a y los ponderadores {i, i=1...n}, se examina las condiciones de insesgo y de varianza mínima.
Kriging Simple
Para que este valor esperado sea nulo, se debe plantear
Kriging Simple
Condición de varianza mínima
La varianza del error de estimación se expresa en función de la covarianza
a2-2ab+b2
Kriging Simple
Los ponderadores óptimos (que minimizan la varianza del error) pueden determinarse tomando derivadas parciales con respecto a los ponderadores
e igualándola a cero:
Este sistema de n ecuaciones con n ponderadores desconocidos es el sistema de kriging simple (KS)
Kriging Simple
mide las correlaciones entre datos y valor a estimar
Kriging Simple
El estimador se escribe:
La media aparece con un ponderador que es el complemento de la ponderación acumulada de los datos. Mientras más lejos el sitio u de los datos, menores serán sus ponderadores y mayor será la ponderación de la media. De cierto modo, la media “compensa” la falta de información aportada por los datos
Kriging Simple
Varianza del error
Asimismo, es posible determinar el valor de la varianza del error (que se minimizó). Esta varianza lleva el nombre de “varianza de kriging”, aunque se refiere a la varianza del error de kriging:
Puede calcularse sin conocer los valores de los datos.
Se demuestra que esta varianza siempre es menor o igual a s2.
Kriging Simple: ejemplo
En notación matricial
g 1,2
g 2,3
g 0,3
g 0,2
g 0,1
g 1,3
g 2,3
g 0,3
g 1,3
g 2,3
g 0,3
g 1,2
g 1,3
g 2,3
g 0,3
g 0,1
g 1,2
g 1,3
g 2,3
g 0,3
g 0,2
g 0,1
g 1,2
g 1,3
g 2,3
g 0,3
g 0,1
g 1,2
g 2,3
g 0,1
g 1,2
g 0,2
g 2,3
g 0,1
g 1,2
g 1,3
g 0,2
g 2,3
g 0,1
g 1,2
Kriging simple con un efecto pepita cero y un variograma esférico isótropo con tres alcances diferentes
Cambio del alcance
Kriging simple con un variograma esférico isótropo con alcance 10 y tres diferentes efectos pepita
Distancia
g
100%
75%
Kriging simple con un variograma esférico con un efecto pepita del 25%, un alcance principal de 10 y alcances menores diferentes
Cambio de anisotropía
Kriging Ordinario
Hipótesis
1) No se conoce el valor promedio m de la variable regionalizada. Esto permite generalizar el kriging a situaciones donde esta media no es constante en el espacio: la media puede variar de una región a otra, siempre que sea aproximadamente constante en cada vecindad de kriging.
2) Sólo se conoce el variograma g(h) o la función de covarianza C(h)
Kriging Ordinario
El valor esperado del error de estimación es:
Siendo m desconocida, para que este valor esperado sea nulo se debe plantear
Kriging Ordinario
Condición de varianza mínima
=
=
=
Kriging Ordinario
Los ponderadores óptimos (que minimizan la varianza del error sujeto a que la suma de los ponderadores sea igual a 1) pueden determinarse introduciendo un multiplicador de Lagrange m
y anulando las derivadas parciales con respecto a los ponderadores y con respecto al multiplicador de Lagrange
Kriging Ordinario
Kriging Ordinario
mide las correlaciones entre datos y valor a estimar
Kriging Ordinario
Se puede escribir también en términos de variograma
No es preciso que el variograma tenga una meseta para que exista este sistema. Por ende, se puede utilizar aun cuando el variograma crece infinitamente y no existe ni varianza ni covarianza
Kriging Ordinario
Puede calcularse sin conocer los valores de los datos.
En ocasiones, esta varianza puede ser mayor que s2.
Kriging de bloques
El kriging (simple, ordinario…) puede ser extendido a la estimación directa del valor promedio en un bloque:
El sistema de kriging sólo difiere del sistema de kriging puntual en el miembro de la derecha: hay que reemplazar la covarianza punto-punto C(ui – u) por la covarianza punto-bloque:
donde {xk, k = 1… N} son puntos que discretizan el bloque V.
Observación sobre el sistema de kriging
Los ponderadores y la varianza de kriging toman en cuenta:
aspectos geométricos: distancias entre el sitio a estimar y los datos; distancias (redundancias) entre los datos mismos
aspectos variográficos: continuidad espacial, anisotropía, mediante la covarianza o el variograma
No toman en cuenta
información local: valores de los datos (→ en particular, son indiferentes a la presencia de un efecto proporcional)
A continuación, se presenta un estudio de la sensibilidad de los resultados a cambios en la configuración geométrica de los datos y del modelo variográfico.
Efecto de Distancia
Caso base y efecto del aumento en la distancia sobre los ponderadores ( )
Caso base
Efecto Pantalla y Anisotropía
Efecto pantalla y de la anisotropía (Anis. Geom. 4 x 1) sobre los ponderadores ( )
Efecto de Declusterización y Distancia
Efecto de declusterización y distancia sobre los ponderadores
( )
Cambio en efecto pepita
Efecto sobre los ponderadores de un cambio en el efecto pepita
g
50
50
0,208
0,042
s
2
K
= 0,0827
50
50
s
2
K
= 0,1206
0,1044
0,1456
50
Propiedades del Kriging
interpolación exacta: la estimación en un sitio con dato es igual al valor del dato y la varianza de kriging en este sitio vale 0
aditividad: la estimación de la ley de un bloque es igual al promedio de las estimaciones de leyes puntuales en este bloque
suavizamiento: la dispersión de los valores estimados es menor que la
dispersión de los valores verdaderos, sobre todo en las zonas donde hay pocos datos. En consecuencia, se tiende a subestimar las zonas de altas leyes y sobreestimar las zonas de bajas leyes. El kriging es inapropiado para evaluación de procesos donde los valores extremos son importantes (→ simulaciones)
insesgo y precisión: por construcción
sesgo condicional: el error promedio puede no tener esperanza nula cuando se considera sólo los sitios donde la ley estimada es alta (o baja). En general, el sesgo condicional es pequeño si se usa suficientes datos (>15)
Ilustración del sesgo condicional
Al tener sesgo condicional, se incurre en una mala apreciación del negocio. La ley media del material mandado a planta (material cuya estimación supera una ley de corte) es inferior a la ley media estimada de este material, mientras que la ley media del material mandado a botadero es superior a la ley media estimada de este material.
Ilustración del suavizamiento
Plan de Kriging
Vecindad única: se usa todos los datos
Vecindad móvil: se usa sólo los datos cercanos al sitio (bloque) a estimar
En general, se toma una vecindad en forma de elipse (2D) o elipsoide (3D), orientado según la anisotropía observada en el variograma
Se suele dividir la vecindad en sectores angulares (cuadrantes en 2D ú octantes en 3D) y buscar datos en cada sector
Los radios del elipse (elipsoide) no necesariamente corresponden a los alcances del variograma, sino que se definen de manera de poder encontrar suficientes datos para hacer la estimación
Plan de Kriging
Validación del kriging
Para validar los parámetros del kriging (modelo de variograma, vecindad elegida), se puede usar los siguientes métodos:
Validación cruzada: se estima sucesivamente cada dato considerando solamente los datos restantes
Jack-knife: se divide la muestra inicial en dos partes (por ejemplo, cuando hay dos campañas de sondajes), y se estima una parte a partir de la otra
Luego, se hace un estudio estadístico de los errores cometidos para saber si el kriging fue “satisfactorio” (buena precisión, poco sesgo condicional…)
Criterios de validación:
medias de los errores y de los errores estandarizados: deben ser cercanas a cero estimador sin sesgo
varianza de los errores: debe ser la más baja posible estimador preciso
varianza de los errores estandarizados: debe ser cercana a 1 el variograma cuantifica adecuadamente la incertidumbre
nube de dispersión entre valores reales y estimados: la regresión debe acercarse a la diagonal insesgo condicional
Ejemplo: jack-knife entre dos campañas de sondaje de exploración, usando kriging ordinario. Se busca poner a prueba distintas vecindades de kriging.
Plan 1: estimar con los 2 datos más cercanos
Plan 2: estimar con los 24 datos más cercanos (3 por octante)
Plan 3: estimar con los 48 datos más cercanos (6 por octante)
Las medias de los errores son casi nulas insesgo
La mayor precisión se alcanza en los planes 2 y 3
Nubes de correlación entre leyes reales y estimadas
)
(
)
(
50
50
0,208
0,042
s
2
K
= 0,0827
50
50
s
2
K
= 0,1206
0,1044
0,1456
50

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