Konsep Dasar Persamaan Diferensial Ira Prasetyaningrum

Outline

Definisi Persamaan Diferensial

Klasifikasi Persamaan Diferensial

Orde, Linieritas dan Homogenitas

Masalah Nilai Awal dan Nilai Batas

Solusi Persamaan Diferensial Biasa

Definisi Persamaan Diferensial

Suatu persamaan yang meliputi turunan fungsi satu atau lebih variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas

Contoh:

02

2

dx

dy

dx

yd

Klasifikasi Persamaan Diferensial (1)

Persamaan Diferensial Biasa (PDB)

Jika turunan fungsi hanya tergantung pada satu variabel bebas

Contoh

02

2

dx

dy

dx

yd

Klasifikasi Persamaan Diferensial (2)

Persamaan Diferensial Parsial (PDP)

Jika turunan fungsi tergantung pada lebih dari satu variabel bebas

Contoh

0

y

u

x

u

Orde

Orde dari PD adalah orde tertinggi dari turunan dalam persamaan tersebut

Contoh

03

3

dx

dy

dx

ydy

02

2

dx

dy

dx

ydOrde 2

Orde 3

Linieritas (1)

PD dikatakan linier jika variabel terikatnya dan turunannya berpangkat 1 dengan koefisien konstanta atau koefisien yang tergantung pada variabel bebasnya

Jika tidak maka PD tersebut dikatakan non-linier

Linieritas (2)

Contoh

022

2

dx

dy

dx

yd

0 ydx

dyLinier

0 xdx

dyy Non-linier

Linier

02 ydx

dyNon-linier

Homogenitas (1)

PD dikatakan homogen jika pada ruas kiri persamaan tersebut hanya mengandung variabel terikat beserta turunannya, sedangkan pada ruas kanan yang tersisa hanya 0

Jika di ruas kanan ada variabel bebas atau konstanta maka PD tersebut dikatakan non-homogen

Homogenitas (2)

Contoh

022

2

dx

dy

dx

yd

0 ydx

dyHomogen

0 xdx

dyy Non-homogen

Homogen

xydx

dy32 Non-homogen

Masalah Nilai Awal

Masalah yang melibatkan waktu direpresentasikan dengan PDB bersama-sama dengan nilai-nilai awal

Contoh

Orde 1

Linier

Non-homogen

Masalah nilai awal

hdt

dy

0)0( yy

Masalah Nilai Batas (1)

Masalah yang melibatkan daerah (dalam satu dimensi) juga direpresentasikan dengan PDB, tetapi yang terjadi pada bagian akhir daerah tersebut ditunjukkan dengan syarat-syarat batas

Masalah Nilai Batas (2)

Contoh

wdx

yd

2

2

0)(

1)0(

and

ly

y

Orde 2

Linier

Non-homogen

Masalah nilai batas

Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) (1)

Solusi umum

Solusi yang mengandung konstanta esensial, misalnya C

Contoh

13 ydx

dy

xCey 3

3

1

Mempunyai solusi umum:

Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) (2)

Solusi khusus

Solusi yang tidak mengandung konstanta esensial karena adanya syarat awal dan/atau syarat batas

Contoh

1)0(,13 yydx

dy

xey 3

3

4

3

1

Mempunyai solusi khusus:

Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) (3)

Solusi singular

Solusi yang tidak diperoleh dari subsitusi nilai dari konstanta pada solusi umum

Contoh

ydx

dyx

dx

dy2)(

2

4

1xy

Mempunyai solusi singular

Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) (4)

Kebenaran solusi bisa diperiksa dengan cara mensubstitusikan fungsi solusi tersebut dan turunannya ke dalam PDB

Contoh

1)0(,13 yydx

dy

xey 3

3

4

3

1

Merupakan solusi dari PDB:

Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) (5)

Karena

1414)3

4

3

1(343 3333 xxxx eeeey

dx

dy

x

x

edx

dy

ey

3

3

4

3

4

3

1

Substitusikan ke PDB diperoleh