Konsep Dasar Probabilitas1. Eksperimen Probabilitas, Ruang Sampel, PeristiwaEkperimen probabilitas (probability experiment) adalah segala kegiatan di mana suatu hasil/keluaran (outcome), tanggapan (response) ataupun ukuran (measurement)diperoleh. Himpunan yang memuat seluruh kemungkinan hasil, tanggapan, ataupun ukuran dari eksperimen tersebut disebut ruang sampel (sample space) yang biasanya dinotasikan dengan S. Sedangkan sebuah peristiwa/kejadian (event) didefinisikan sebagai segala himpunan bagian dari hasil, tanggapan, ataupun ukuran dalam suatu ruang sample. Pengertian di atas sering diilustrasikan dengan menggunakan bantuan diagram venn.

Contoh: Jika kita memeriksa 3 buah sikring satu persatu

secara berurutan dan mencatat kondisi sikring tersebut dengan memberi notasi B untuk sikring yang baik dan P untuk sikring yang putus, maka ruang sample pada eksperimen probabilitas pemeriksaan tersebut adalah S = { BBB,BBP,BPB,PBB,BPP,PBP,PPB,PPP}. Jika A peristiwa dimana diperoleh satu buah sikring yang rusak, maka A ={BBP,BPB,PBB}.

• Dagram venn probabilitas:

2. Definisi Probabilitas Probabilitas adalah sebuah bilangan yang

terletak di antara 0 dan 1 yang berkaitan dengan suatu peristiwa itu adalah 1 dan jika peristiwa itu mustahil terjadi, maka probabilitasnya adalah 0. Ada tiga definisi berbeda mengenai probabilitas yang sering digunakan, masing – masing cocok diterapkan pada jenis-jenis penerapan tertentu.

2.1. Definisi Klasik Jika sebuah peristiwa A dapat terjadi dengan

cara dari sejumlah total N cara yang Mutually Exclusive dan memiliki kesempatan sama untuk terjadi, maka probabilitas terjadi peristiwa A dinotasikan dengan P(A)dan didefinisikan sebagai: :

Sedangkan probabilitas tidak terjadi suatu peristiwa

A komplemen A (sering disebuat kegagalan A) dinyatakan sebagai:

Contoh, Definisi klasik cocok digunakan misalnya pada

permainan tebakan/undian (games of chance).Misalnya dalam satu set kartu bridge yang terdiri 52 kartu tedapat 4 buah kartu As, maka probabilitas pengambilan satu kartu mendapatkan kartu As adalah ; P(As)=4/52=1/13=0,077

2.2. Definisi Frekuensi Relatif Seandainya pada sebuah experiment yang dilakukan

sebanyak N kali terjadi kejadian A sebanyak fA kali, maka jika eksperimen tersebut dilakukan terhingga kali banyaknya(N mendekati tak hingga),nilai limit dari frekuensi relatif fA /N didefinisikan sebagai probabilitas kejadian A atau P(A).

Definisi ini mungkin adalah definisi yang paling populer. Definisi ini memungkinkan untuk diterapkan pada banyak masalah-masalah praktis di mana definisi klasik tidak bisa dipakai.

Contoh,• Probabilitas mendapatkan sebuah motor baru merek "X”

yang cacat saat seseorang membelinya mungkin sulit diketahui dengan menggunakan definisi klasik probabilitas.

Secara teoritis probabilitas tersebut dapat ditentukan jika dapat diketahui jumlah seluruh (populasi)produk motor baru “X”dan jumlahnya yang cacat.

• Jika memakai definisi frekuensi relative, maka perlu dilakukan pemeriksanan terhadap sample motor “X” sebanyak mungkin (menuju tak hingga namun karena saat sulit mengkaji jumlah yang tak terhingga banyaknya. Maka dapat digunakan jumlah sample yang memadai dan cukup ekonomis untuk menentukan relative tersebut)

2.3. Definisi Subjektif (Intuitif) Dalam kasus ini, probabilitas P(A) dari

terjadinya peristiwa A adalah sebuah ukuran dari “derajat keyakinan”yang dimiliki seseorang terhadap terjadinya peristiwa A. Definisi ini merupakan definisi yang paling luas digunakan dan diperlukan jika sulit diketahui besarnya ruang sampel maupun jumlah peristiwa yang dikaji maupun jika sulit dilakukan pengambilan sampel (sampling) pada populasi

Contoh, Suatu strategi memilih salah satu di antara dua alternative

yang masing-masing memberikan aktibat berbeda, yaitu menjatuhkan bom ke daerah musuh. Karena masing-masing alternative itu tidak bisa diuji coba secara eksperimen untuk mengetahui bagaimana musuh akan memberikan reaksi, maka kita harus percaya pada “penilaian dari ahli (expert judgement)” untuk menentukan probabilitas dari akibat yang akan muncul. Situasi yang sama terjadi pula misalnya dalam meramalkan siapa yang akan menjuarai suatu turnamen sepakbola. Dalam hal ini, interpretasi klasik dan frekuensi dari probabilitas tidak akan banyak gunanya,dan suatu penilaian yang subjektif dari pengamatan sepak bola yang handal lebih diperlukan.

Probabilitas Peristiwa Majemuk

1. Definisi Definisi probabilitas yang dibahas pada bagian

terdahulu merupakan definisi untuk peristiwa sederhana (simple event). Peristiwa majemuk (compound event) adalah peristiwa yang merupakan gabungan/kombinasi dua atau lebih peristiwa sederhana(simple event).

2. Probabilitas Bersyarat Probabilitas bersyarat (conditional probability)

adalah probabilitas dari sebuah peristiwa yang akan terjadi jika sebuah peristiwa lainnya telah terjadi. Dari Gambar dibawah, dapat dimengerti bahwa dengan diketahui terlebih dahulu berlangsungnya peristiwa B, maka terjadi perubahan (pengaruh )pada ruang sampel yang perlu dipertimbangkan untuk menentukkan probabilitas peristiwa A.

Contoh,• Sebuah perusahaan pembuat personal computer melengkapi produk terbaru

dengan program-program siap pakai. Jika dihitung dari jumlah seluruh produk terbaru itu, 60% dilengkapi dengan Word Processor, 40% dilengkapi dengan program spreadsheet, dan 30% dilengkapi dengan kedua program siap pakai tersebut .Misalkan seseorang membeli computer buatan perusahaan tersebut dan didefinisikan A={computer yang dilengkapi dengan program word processor} dan B = {computer yang dilengkapi dengan program spread sheet}.Maka P(A)= 0,6 P(B) = 0,4 dan P(A B) = 0,3. Jika computer yang dibeli oleh orang tersebut telah dilengkapi dengan program spread sheet, maka probabilitas computer itu juga dilengkapi dengan program word processor adalah probabilitas bersyarat P(A/B):

• Dengan kata lain, dari seluruh computer yang dilengkapi dengan program spread sheet, 75%-nya dilengkapi pula dengan program word processor. Hal ini dapat ditunjukkan dengan diadgram venn pada Gambar,

3. Peristiwa Saling Bebas dan Tidak Saling Bebas Dua peristiwa A dan B dikatakan saling bebas

(independent) apabila terjadinya peristiwa A tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya peristiwa B. Sebaliknya, jika terjadinya peristiwa A mempengaruhi probabilitas terjadinya peristiwa B disebut peristiwa tidak saling bebas (dependent). Peristiwa bersyarat merupakan contoh dari peristiwa yang tidak saling bebas. Jika peristiwa A dan B saling bebas, maka berlaku:

P(AB) = P(A) dan juga P(BA) = P(B)

4. Peristiwa Mutually Exclusive (Saling Meniadakan) Peristiwa A dan B adalah mutually exclusive(disjoin events)

jika terjadinya salah satu peristiwa tersebut dalam sebuah eksperimen probabilitas mencegah terjadinya peristiwa yang lainnya selama berlangsungnya eksperimen probabilitas yang sama. Dengan kata lain, peristiwa A dan B tidak mungkin terjadi secara bersamaan.Sebaliknya, jika peristiwa A dan B dapat terjadi secara bersamaan dalam sebuah eksperimen probabilitas, maka A dan B tidak mutually exclusive. Jika peristiwa A dan B adalah mutully exclusuive, maka berlaku :

P(A dan B) = P(AB) = 0 artinya juga P(AB) = 0; P(BA) = 0

• Diagram venn dari peristiwa mutully exclusive dan tidak mutually exclusive ditunjukkan oleh gambar,

5. Hukum-hukum Probabilitas Peristiwa Majemuk

Berikut akan dijelaskan dua hukum probabilitas yang berguna dalam menangani peristiwa majemuk. Hukum –hukum ini berlaku pada banyak situasi praktis bidang perencanaan teknik (engineering design).

5.1. Hukum Perkalian (multiplication Law)a. Peristiwa Saling Bebas (Independent Event) hukum perkalian menyatakan jika A,B,C...adalah peristiwa peristiwa yang saling bebas (independent event), maka probabilitas bahwa seluruh peristiwa itu terjadi ,atau disebut pula probabilitas gabungan (joint probabilitas)P(ABC…), adalah produk (perkalian )dari probabilitas masing-masing peristiwa. P(A dan B dan C dan…) = P(ABC….) =P(A).P(B).P(C)… Notasi matematis umumnya adalah:

• Dalam aplikasi di bidang teknik, hukum perkalian ini memberikan dasar matematis untuk konsep intutif dalam meningkatkan reliabilitas desain melalui penggunaan desain lebih. Desain lebih biasanya dipakai pada satu atau lebih alat (deveces) cadangan yang memungkinkan operasi system terus berjalan ketika terjadi kegagalan pada sebuah alat.

Contoh • Diketahui bahwa 30% mesin cuci buatan pabrik X memerlukan

perbaikan (service) selagi masih dalam masa garansi, sementara hanya 10% mesin pengering buatan pabrik yang sama yang membutuhkan perbaikan. Jika seseorang membeli satu set yang terdiri dari satu mesin cuci dan satu mesin pengering, probabilitas kedua mesin tersebut memerlukan perbaikan selama masih dalam masa garansi dapat ditentukan dengan hukum perkalian. Misalkan C adalah peristiwa mesin cuci memerlukan perbaikan dan K adalah peristiwa mesin pengering memerlukan perbaikan. Maka P(C) = 0,3 dan P(K) = 0,1. Dengan asumsi bahwa mesin cuci dan mesin pengering berfungsi secara terpisah (saling bebas) satu sama lainnya, maka probabilitas keduanya memerlukan perbaikan selama masa garansi adalah:

• Prinsip dasar perancangan lebih (excessive design) bertujuan meningkatkan reliability desain terutama untuk bagian – bagian kritis.Sebagai contoh untuk menghubungkan sumber listrik di bagian depan sebuah pesawat militer peralatan-peralatan yang menggunakan listrik dibagian belakang,digunakan lebih dari satu kabel (misal 3 kabel) secara parallel, yang masing-masing dengan jalur yang berbeda melalui rangka pesawat(fuselage). Jadi jika tembakan musuh memutuskan sebuah kabel, kedua kabelnya tetap bekerja.Seandainya probabilitas sebuah kabel terputus oleh tembakan musuh adalah 0,01 untuk setiap satu jam tempur, maka dengan cara merancang lebih perkabelan menjadi tiga pasang, probabilitas putusnya hubungan tenaga listrik dalam satu jam tempur dipesawat itu sangat jauh berkurang karena probabilitas dari putusnya ketiga kabel akan menjadi :

• Desain lebih tentu saja meningkatan biaya peralatan dan menyebabkan kekurangan dari sisi lain( misalnya bertambahnya berat pesawat). Jadi keuntungan yang di peroleh harus melebihi biaya/kekurangan yang terjadi sehingga cukup beralasan untuk diterapkan.

b. peristiwa tidak saling bebas (deevenst) hukum perkalian untuk dua peristiwa A dan B yang

tidak saling bebas dapat dinyatakan sebagai berikut :

P(A dan B) = P(A B) = P(AB) . P(B) = P(BA) . P(A) Di mana : P(AB)= Probabilitas bersyarat terjadi peristiwa A

setelah B terjadi P(BA) = Probabilitas bersyarat terjadi peristiwa B

setelah A terjadi

Contoh• Dari gejala yang ditunjukan pada computer yang

akan diperbaiki. Seorang ahli perangkat keras computer memastikan bahwa kerusakan yang disebabkan oleh hanya saluran satu dari keempat blok rangkaian pada mainboardnya. Untuk itu dia berencana memeriksa satu persatu keempat blok tersebut. Berapakah probabilitas bahwa sekurang-kurangnya mekanik tersebut harus melakukan pemeriksaan tiga blok rangkaian sampai dia dapat menentukan blok dapat rangkaian yang rusak?

• Logika masalah diatas adalah sang mekanik harus melakukan pemeriksaan berikutnya jika pemeriksaan sebelumnya dia mendapatkan blok rangkaian yang tidak rusak.

• Jika ditetapkan peristiwa X = { pemeriksaan pertama memperoleh blok tidak rusak} dan peristiwa Y ={pemeriksaan kedua memperoleh blok tidak rusak}, maka P(X) = 3/4. Jika pengecekan pertama sang mekanik memperoleh blok tidak rusak maka tiga blok rangkaian yang belum diperiksa masih terdapat dua blok yang tidak rusak, sehingga P(YX) = 2/3. Jadi pemeriksaan ketiga harus dilakukan setelah pemeriksaan pertama dan memperoleh blok yang tidak rusak. Dan hukum perkalian didapatkan:

• Hukum perkalian untuk peristiwa tidak saling bebas yang ditunjukkan oleh persamaan diatas dapat diperluas untuk peristiwa majemuk yang terdiri dari beberapa peristiwa yang terjadi secara berturutan.

Misalnya untuk tiga peristiwa,

Dalam hal ini peristiwa terjadi pertama kali, diikuti peristiwa dan terakhir

5.2. Hukum Penjumlah (addition law) Hukum penjumlahan pada probabilitas peristiwa majemuk dinyatakan

sebagai : P(A atau B) = P( A B ) = P(A) + P(B) - P(A B ) Persamaan di atas menunjukan probabilitas peristiwa A atau peristiwa B atau

kedua-duanya sama- sama terjadi. Perlu diperhatikan bahwa A dan B tidak perlu saling bebas,selama diketahui probabilitas gabungannya P( A B).

Jika peristiwa A dan B adalah mutually exclusive (yang berarti jika salah satu peristiwa terjadi, maka peristiwa lainnya mustahil terjadi), maka P(A B) = 0 sehingga:

P(A atau B) = P(A B) = P(A) + P(B) Persamaan (1) dapat digeneralisasi untuk beberapapun jumlah peristiwa

dengan proses penerapan kembali berlanjut (continued reapplication), yakni:

• Persamaan (1) dapat digeneralisasi untuk beberapapun jumlah peristiwa dengan proses penerapan kembali berlanjut (continued reapplication), yakni:

Contoh,• Perhatikan struktur yang dilas seperti pada

gambar. Kegagalan dari struktur terjadi jika salah satu atau lebih dari ketiga sambungan las tersebut putus. Jika probabilitas dari putusnya masing-masing sambungan las P(L1 ) =P(L2 )=P(L3 )=0,001 dan diasumsikan sambungan saling bebas, maka:

Contoh,• Sebuah sistem sembarang spt yang

ditunjukkan Gambar, tersusun atas tiga tingkat. System ini akan bekerja dengan baik jika ketiga tingkatnya berjalan dengan baik. Misalnya seluruh unit dalam setiap tingkat saling bebas dan masing – masing probabilitas berjalan baiknya adalah:

• Jadi sitem tersebut secara keseluruhan memiliki 61,3% kemungkinan dapat berjalan dengan baik.

2.6. Formulasi Bayes Formulasi Bayes adalah pengembangan dari probabilitas

bersyarat (conditional probability) dan aturan umum hukum perkalian (multiplication). Andaikan terdapat sekelompok peristiwa B1, B2, … , Bn yang mutually exclusive dan exhaustive (menyeluruh), artinya masing-masing peristiwa tidak memiliki keluaran (outcome) yang sama dan secara bersama-sama memuat keseluruhan keluaran di dalam ruang sampel. Secara matematis, peristiwa B1 yang mutually exclusive bersifat exhaustive jika dan hanya jika:

• Sebagai tambahan, terdapat sebuah peristiwa lain A yang didefinisikan pada ruang sampel yang sama. Karena peristiwa-peristiwa B1 bersifat exhaustive maka peristiwa A pasti beririsan dengan satu atau lebih peristiwa B1. Oleh karena itu, satu cara untuk mendapatkan probabilitas peristiwa A adalah dengan menjumlahkan probabilitas P (A∩B1) untuk seluruh harga i maka:

• Sebagai ilustrasi, misalkan n = 4. Hal ini dapat ditunjukkan dengan diagram venn seperti pada Gambar . Perhatikan bahwa A terdiri dari A∩B1, A∩B2 , A∩B3 dan A∩B4 maka:

• Sekarang jika persoalan diubah dan diasumsikan bahwa peristiwa A telah terjadi. Bagaimana menentukan probabilitas masing-masing peristiwa B1, juga terjadi? Jika peristiwa A telah terjadi, maka ruang sampel menjadi berkurang, seperti yang ditunjukkan Gambar 3.8.

Contoh,• Vendor I, II, III dan IV menyediakan seluruh keperluan

bantalan yang dibeli oleh perusahaan Sumber Teknik sebanyak masing-masing 25%, 35%, 10% dan 30%. Dari pengalaman selama ini diketahui bahwa vendor I, II, III, dan IV masing-masing mengirimkan 20%, 5%, 30% dan 10% bantalan yang cacat. Maka probabilitas bahwa sebuah bantalan yang dipilih secara acak merupakan bantalan yang cacat dapat dihitung sebagai berikut: Misalkan A adalah peristiwa pemilihan sebuah bantalan yang cacat, dan B1, B2, B3 dan B4 adalah peristiwa pemilihan bantalan dari vendor I, II, III, dan IV. Maka :

Teknik Enumerasi (Pencacahan)

• Dalam menentukan probabilitas dari peristiwa-peristiwa majemuk yang kompleks, suatu enumerasi (pencacahan) peristiwa-peristiwa yang berkaitan sering kali menjadi sulit. Untuk itu terdapat beberapa teknik yang dapat memudahkan.

3.1. Pohon Probabilitas Seringkali di dalam penerapannya suatu eksperimen

yang diulang-ulang menjadi sangat rumit dan terdiri dari beberapa tahap. Dalam mengevaluasi probabilitas yang berkaitan dengan eksperimen serupa itu, pohon probabilitas merupakan alat bantu grafis yang memudahkan.Misalnya, dalam tahap pertama, salah satu dari dua peristiwa A1 atau A2 dapat terjadi. Selanjutnya tahap kedua salah satu dari peristiwa B1 , B2 atau B3 dapat terjadi. Ruang sampel untuk eksperimen dua tahap ini dapat digambarkan dalam pohon probabilitas seperti yang terlihat pada Gambar,

• Perlu diperhatikan bahwa probabilitas pada setiap cabang dapat dikalikan untuk mendapatkan probabilitas pada bagian paling kanan. Sehingga didapatkan misalnya:

Contoh,• Processor pengindra posisi merupakan bagian dari navigasi suatu

pesawat udara. Karena menurut data penerbangan sistem navigasi ini gagal berfungsi sekali dalam setiap dua ratus penerbangan, maka perlu diadakan pengujian. Hasil test menunjukkan bahwa saat sistem navigasi gagal berfungsi, 90% disebabkan kerusakan processor pengindra posisi dan 10% oleh sebab yang lain. Sementara itu saat sistem navigasi berfungsi baik, 99% processor pengindra dalam kondisi baik dan hanya 1% system navigasi tetap berfungsi dengan processor yang rusak. Dengan mendefinisikan A1 = system navigasi gagal berfungsi, A2 = system navigasi berfungsi baik, B1 = processor rusak, B2 = processor baik, pohon probabilitas dari peristiwa-peristiwa tersebut ditunjukkan pada gambar,

• Pohon probabilitas

• Jika suatu ketika, dalam sebuah penerbangan, processor utama dalam rangkaian elektronika pengindra posisi rusak, maka probabilitas system navigasi gagal berfungsi adalah:

3.2. Analisis Kombinatorial Prinsip Dasar• Jika sebuah peristiwa dapat terjadi dengan

salah satu dari n1 cara berlainan dan apabila masing-masing cara bisa terjadi dengan n2 cara yang berlainan pula, maka banyaknya cara yang mungkin bagi peristiwa tersebut untuk bisa terjadi adalah n1n2

2. Permutasi Suatu permutasi dari n objek yang berbeda di mana pada

setiap pemilihan diambil sebanyak r objek adalah suatu cara penyusunan r objek dari n objek tersebut dengan memperhatikan urutan susunannya. Didefinisikan:

3. Kombinasi Suatu kombinasi dari n objek yang berbeda pada

setiap pemilihan diambil sebanyak r objek adalah suatu cara penyusunan dari n objek tersebut tanpa memperhatikan urutan susunannya. Didefinisikan:

Contoh,• Sepuluh buah katup akan digunakan dalam sebuah

system pemipaan. Namun diketahui 3 diantaranya rusak. Kemudian secara acak dipilih 3 katup dari 10 katup tersebut sehingga probabilitas bahwa yang terpilih sekurang-kurangnya adalah katup rusak dapat ditentukan sebagai berikut:

Banyaknya seluruh cara memilih 3 katup dari 10 katup yang ada (urutan tidak diperhatikan) merupakan ukuran ruang sampel:

• Jika: Peristiwa A = {terpilih sekurang-kurangnya 2 katup rusak}

dapat berupa peristiwa B = {terpilih 3 katup rusak dan 0 katup baik} atau C = {terpilih 2 katup rusak dan 1 katup baik}

• Maka: Banyaknya cara memilih 3 katup dan 0 katup baik yang artinya

memilih 3 katup dari 3 katup yang rusak dan 0 katup dari 7 yang baik merupakan banyaknya peristiwa B:

• Banyaknya cara memilih 2 katup rusak dan 1 katup baik yang artinya memilih 2 katup dari 3 katup yang rusak dan 1 katup dari 7 katup baik merupakan banyaknya peristiwa C:

• Sehingga probabilitas yang terpilih sekurang-kurangnya 2 katup rusak adalah: