konsep probabilitas -...

Konsep Probabilitas - Srava Chrisdes Antoro 1 1 1

KONSEP PROBABILITAS

Sebelumnya, telah dipelajari statistika deskriptif yang fokus untuk menyimpulkan data yang

telah dikumpulkan pada waktu sebelumnya.

Pada bab ini, akan dibahas tentang aspek lain dari statistika, yaitu menghitung kesempatan

yang akan terjadi di masa mendatang → STATISTIKA INFERENSIAL .

Dalam statistika inferensial, keputusan untuk suatu populasi diambil berdasarkan sampel

yang diambil dari populasi tersebut. Namun, terdapat ketidakpastian dalam pengambilan

kesimpulan, sehingga semua risiko harus dievaluasi → dibahas melalui TEORI

PROBABILITAS.

Melalui teori probabilitas ini, dengan informasi yang terbatas, dapat dianalisis risiko.

___________________________________________________________________________

I. Probabilitas

a) Probabilitas adalah bilangan yang menunjukkan peluang/kesempatan sesuatu kejadian

akan terjadi.

b) Nilai probabilitas berada di antara 0 sampai 1.

c) Nilai probabilitas bisa dideskripsikan dalam bentuk desimal atau bilangan pecahan.

d) Jika probabilitas semakin mendekati 0, maka dapat dikatakan bahwa semakin tidak

mungkin kejadian tersebut terjadi.

e) Jika probabilitas semakin mendekati 1, maka dapat dikatakan bahwa semakin pasti

kejadian tersebut terjadi.

Tiga kata kunci dalam teori probabilitas yaitu:

Contoh:

• Suatu proses yang mengarah pada terjadinya satu danhanya satu dari beberapa pengamatan yang mungkin.

Eksperimen

• Hasil tertentu dari suatu eksperimen.Hasil

• Kumpulan dari satu atau lebih hasil dari suatueksperimen yang diobservasi.

Kejadian

Kejadian

Mengamati mata dadu genap, dll

Hasil

Muncul mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, 6

Eksperimen

Lempar Dadu


___________________________________________________________________________

II. Pendekatan untuk Menetapkan Probabilitas

1) PROBABILITAS KLASIK

Probabilitas Klasik berdasarkan pada asumsi bahwa hasil (outcomes) dari suatu eksperimen

adalah dengan kemungkinan yang sama. Dengan probabilitas klasik, maka:

Contoh probabilitas klasik: Dalam eksperimen lempar dadu, hitunglah probabilitas kejadian munculnya mata dadu

genap?

Jawab:

• Ada 3 hasil/outcomes yang diinginkan, yaitu munculnya mata dadu 2, 4 atau 6.

• Ada 6 kejadian/events yang mungkin terjadi pada eksperimen, yaitu munculnya mata

dadu 1, 2, 3, 4, 5, atau 6.

• Probabilitas kejadian muncul mata dadu genap adalah 3 1

6 2 .

2) PROBABILITAS EMPIRIS

Probabilitas empiris adalah probabilitas dari suatu kejadian yang terjadi merupakan bagian

dari berapa kali suatu kejadian yang sama terjadi pada waktu lampau.

Pendekatan Probabilitas

Objektif

Probabilitas Klasik

Berdasarkan hasil probabilitas yang sama

Probabilitas Empiris

Berdasarkan frekuensi relatif

Subjektif

Berdasarkan informasi yang ada

𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑘𝑒𝑗𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 = 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑖𝑛𝑔𝑖𝑛𝑘𝑎𝑛

𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑢𝑛𝑔𝑘𝑖𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑗𝑎𝑑𝑖

𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑒𝑚𝑝𝑖𝑟𝑖𝑠 = 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑝𝑎 𝑘𝑎𝑙𝑖 𝑠𝑢𝑎𝑡𝑢 𝑘𝑒𝑗𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑗𝑎𝑑𝑖

𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑠𝑖


Hukum “Large Number”:

Semakin banyak percobaan dilakukan, maka probabilitas empiris dari suatu

kejadian akan mendekati probabilitas sesungguhnya.

Contoh:

Pada kejadian pelemparan sebuah koin, maka probabilitas klasik munculnya gambar

adalah 1 2 .

Sedangkan, probabilitas empirisnya ditemukan sebagai berikut.

Banyaknya Percobaan Banyaknya Kejadian

Muncul „GAMBAR‟

Frekuensi Relatif dari

„GAMBAR‟

1 0 0

10 3 0,3

50 26 0,52

100 52 0,52

500 236 0,472

1000 494 0,494

10000 5027 0,5072

Dapat diperhatikan bahwa semakin banyak percobaan dilakukan, maka probabilitas

empiris semakin mendekati probabilitas sebenarnya (probabilitas klasik).

Karena probabilitas empiris akan mendekati probabilitas sesungguhnya/probabilitas klasik,

maka konsep probabilitas empiris/frekuensi relatif dapat digunakan untuk menemukan

probabilitas dari suatu kejadian.

Contoh: Pada semester lalu, sebanyak 80 mahasiswa Fakultas Ekonomi di suatu perguruan tinggi

mengikuti perkuliahan Statistika, dan sebanyak 12 orang diantaranya memperoleh nilai

A, maka probabilitas seorang mahasiswa akan memperoleh nilai A bisa ditaksir melalui

frekuensi relatif/probabilitas empiris, yaitu 12/80 = 0,15.

3) PROBABILITAS SUBJEKTIF

Konsep dari Probabilitas subjektif adalah bahwa probabilitas dari suatu kejadian yang terjadi

diperoleh berdasarkan informasi dan/atau opini apapun yang dimiliki pada saat itu.

Contoh:

Probabilitas seseorang menikah sebelum usia 30 tahun.

Probabilitas Inter Milan bermain dalam Liga Champions pada musim depan.

___________________________________________________________________________

III. Aturan-Aturan untuk Menghitung Probabilitas

1) ATURAN PENJUMLAHAN

a) Aturan khusus dalam penjumlahan:


hanya bisa digunakan jika kejadian pada eksperimen saling lepas (artinya, jika suatu kejadian

terjadi, maka tidak mungkin ada kejadian lain terjadi pada waktu bersamaan).

Syarat suatu kejadian A dan B pada eksperimen saling lepas adalah: A B

Jika kejadian A dan kejadian B saling lepas, maka probabilitas bahwa satu atau lebih kejadian

terjadi adalah jumlah dari probabilitas masing-masing kejadian, atau secara matematika

ditulis:

Contoh: Sebuah dadu dilemparkan, maka berapakah probabilitas munculnya mata dadu genap

yang lebih besar dari 3 atau mata dadu bilangan prima?

Jawab:

A = munculnya mata dadu genap yang lebih besar dari 3 : {4,6} → P(A) = 2/6 = 1/3

B = munculnya mata dadu prima : {2,3,5} → P(B) = 3/6 = 1/2

Penyelesaian 1:

Maka,

𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 =𝟏

𝟑+

𝟏

𝟐=

𝟓

𝟔

Dengan demikian, probabilitas munculnya mata dadu genap yang lebih besar dari 3 atau

mata dadu bilangan prima adalah 5 6 .

Penyelesaian 2:

Maka,

𝐴 ∪ 𝐵 = 4,6 ∪ 2,3,5 = 2,3,4,5,6 → 𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 =𝟓

𝟔

Dengan demikian, probabilitas munculnya mata dadu genap yang lebih besar dari 3 atau

mata dadu bilangan prima adalah 5 6 .

b) Aturan umum dalam penjumlahan:

digunakan jika kejadian pada eksperimen tidak saling lepas (artinya, suatu hasil muncul

paling sedikit pada 2 kejadian yang berbeda dalam waktu bersamaan).

Jika kejadian A dan kejadian B tidak saling lepas, berarti bisa jadi terdapat hasil yang muncul

pada kejadian A dan muncul juga pada kejadian B, maka probabilitas bahwa A atau B terjadi

secara matematika ditulis:

dengan 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 merupakan probabilitas suatu hasil yang bisa muncul pada kejadian A dan

pada kejadian B. 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 disebut juga sebagai joint probability, yaitu jika dua kejadian

terjadi bersamaan.

𝑷 𝑨 𝐚𝐭𝐚𝐮 𝑩 = 𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩

𝑷 𝑨 𝐚𝐭𝐚𝐮 𝑩 = 𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 − 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩


Contoh: Sebuah dadu dilemparkan, maka berapakah probabilitas munculnya mata dadu genap

atau mata dadu bilangan prima?

Jawab:

A = munculnya mata dadu genap : {2,4,6} → P(A) = 3/6 = 1/2

B = munculnya mata dadu prima : {2,3,5} → P(B) = 3/6 = 1/2

Penyelesaian 1:

Perhatikan “2” muncul pada kejadian A dan pada kejadian B, sehingga 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 1/6

Maka,

𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 − 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 =𝟏

𝟐+

𝟏

𝟐−

𝟏

𝟔=

𝟓

𝟔

Dengan demikian, probabilitas munculnya mata dadu genap atau mata dadu bilangan

prima adalah 5 6 .

Penyelesaian 2:

Maka,

𝐴 ∪ 𝐵 = 2,4,6 ∪ 2,3,5 = 2,3,4,5,6 → 𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 =𝟓

𝟔

Dengan demikian, probabilitas munculnya mata dadu genap atau mata dadu bilangan

prima adalah 5 6 .

2) ATURAN PERKALIAN

a) Aturan khusus dalam perkalian:

hanya bisa digunakan jika kejadian yang muncul pada eksperimen saling bebas (artinya,

kemunculan suatu kejadian tidak memengaruhi probabilitas dari kemunculan kejadian

lainnya).

Misalnya: ketika kejadian B terjadi setelah kejadian A terjadi, maka apakah kejadian A

memengaruhi probabilitas kejadian B untuk terjadi? Jika tidak, maka probabilitas dari A dan

B adalah dengan mengalikan probabilitas masing-masing kejadian A dan B, secara matematis

dituliskan:

Contoh:

Dua keping logam dilempar secara bersamaan sebanyak satu kali. Kejadian M adalah

kejadian munculnya sisi gambar pada logam pertama, sedangkan kejadian N adalah

kejadian munculnya sisi yang sama untuk kedua keping logam itu. Periksalah apakah

kejadian M dan N merupakan dua kejadian yang saling bebas.

Jawab:

M = munculnya sisi gambar pada logam pertama : {(G,G), (G,A)}

→ P(M) = 2/4 = 1/2

N = munculnya sisi yang sama untuk kedua keping logam : {(A,A), (G,G)}

→ P(N) = 2/4 = 1/2

{( , )}M N G G → ( ) 1/ 4P M N

Ternyata,

𝑷 𝑨 𝐝𝐚𝐧 𝑩 = 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑷 𝑨 × 𝑷 𝑩 syarat kejadian

A dan B saling

bebas


1 1 1( ) ( ) ( )

4 2 2P M N P M P N

Maka, kejadian M dan N merupakan dua kejadian yang saling bebas.

Contoh: Berdasarkan pengalaman, terungkap bahwa probabilitas dari suatu ban X untuk mampu

digunakan maksimal 60.000 mil adalah 0,95. Berapakah probabilitas dua buah ban X

mampu digunakan maksimal 60.000 mil?

Jawab:

Misalkan:

A = ban X pertama yang mampu digunakan maksimal 60.000 mil → P(A) = 0,95

B = ban X kedua yang mampu digunakan maksimal 60.000 mil → P(B) = 0,95

Maka, probabilitas kedua ban mampu digunakan maksimal 60.000 mil adalah:

𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑷 𝑨 × 𝑷 𝑩 = 𝟎, 𝟗𝟓 × 𝟎, 𝟗𝟓 = 𝟎, 𝟗𝟎𝟐𝟓

b) Aturan umum dalam perkalian:

digunakan jika kejadian pada eksperimen tidak saling bebas (artinya, ketika kejadian B

terjadi setelah kejadian A, dan A berpengaruh pada probabilitas dari kejadian B).

Aturan umum dalam perkalian adalah:

dengan 𝑃 𝐵|𝐴 adalah probabilitas terjadinya kejadian B setelah kejadian A terjadi. 𝑃 𝐵|𝐴

disebut juga sebagai conditional probability, yaitu nilai probabilitas tergantung pada kondisi

apakah kejadian A terjadi sebelum terjadinya kejadian B. Berdasarkan rumus di atas, maka

conditional probability secara matematis dapat ditulis:

Contoh: Terdapat 10 bungkus mie di dalam suatu kotak yang terdiri dari 7 mie rebus dan 3 mie

goreng. Maka, probabilitas terambilnya mie rebus adalah 7/10, dan probabilitas

terambilnya mie goreng adalah 3/10.

Selanjutnya, mie kedua diambil lagi dari dalam kotak tanpa pengembalian mie pertama

yang sudah diambil. Maka, pada pengambilan kedua, probabilitas terambilnya mie

rebus pada pengambilan kedua adalah:

*) 6/9 jika yang terambil pada pengambilan pertama adalah mie rebus. (Karena mie

rebus yang tersisa adalah sebanyak 6 bungkus, sedangkan total mie yang tersisa

dalam kotak adalah 9 bungkus setelah pengambilan pertama.)

*) 7/9 jika yang terambil pada pengambilan kedua adalah mie goreng. (Karena mie

rebus tidak berkurang setelah pengambilan pertama, yaitu masih tetap 7, sedangkan

total mie yang tersisa dalam kotak adalah 9 bungkus setelah pengambilan pertama).

Pada contoh sebelumnya, jika seseorang makan mie 2 hari berturut-turut yang diambil

dari kotak yang sama, maka berapa probabiltas keduanya terambil mie rebus?

Jawab:

Asumsikan A adalah terambil mie rebus pada pengambilan pertama, maka 𝑃 𝐴 = 7/10.

𝑷 𝑨 𝐝𝐚𝐧 𝑩 = 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑷 𝑨 × 𝑷 𝑩|𝑨

𝑷 𝑩|𝑨 =𝑷 𝑨 ∩ 𝑩

𝑷(𝑨)


Asumsikan B adalah terambil mie rebus pada pengambilan kedua, maka 𝑃 𝐵|𝐴 = 6/9.

Maka, probabilitas terambilnya mie rebus pada hari pertama dan hari kedua adalah:

𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑷 𝑨 × 𝑷 𝑩|𝑨 =𝟕

𝟏𝟎×

𝟔

𝟗=

𝟒𝟐

𝟗𝟎

Contoh:

Ani dan Budi merupakan pasangan pengantin baru. Mereka berencana untuk memiliki

dua anak saja. Jika Budi menginginkan kedua anaknya adalah laki-laki, sementara Ani

menginginkan paling sedikit satu anak mereka adalah laki-laki, hitunglah probabilitas

kedua anak mereka laki-laki dengan syarat paling sedikit satu anaknya adalah laki-laki.

Jawab:

Misalkan: b → boy; g → girl

A = paling sedikit satu anaknya adalah laki-laki : {(b,b), (b,g), (g,b)} → P(A) = 3/4

B = kedua anaknya adalah laki-laki : {(b,b)} → P(B) = 1/4

Penyelesaian 1:

Perhatikan bahwa

𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑏, 𝑏 → 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 =1

4

Maka,

𝑷 𝑩|𝑨 =𝑷 𝑨 ∩ 𝑩

𝑷(𝑨)=

𝟏/𝟒

𝟑/𝟒=

𝟏

𝟑

Dengan demikian, probabilitas kedua anak mereka laki-laki dengan syarat paling sedikit

satu anaknya adalah laki-laki adalah 1 3 .

Penyelesaian 2:

Ruang sampel awal adalah: {( , ), ( , ), ( , ), ( , )}b b b g g b g g

Karena yang ditanyakan adalah probabilitas kedua anak mereka laki-laki “dengan syarat

paling sedikit satu anaknya adalah laki-laki”, berarti kejadian „paling sedikit satu anak

adalah laki-laki‟ pasti terjadi. Atau, dengan kata lain, kejadian „paling sedikit satu anak

adalah laki-laki‟ menjadi ruang sampel yang baru.

Ruang sampel baru adalah: {( , ), ( , ), ( , )}b b b g g b

Dengan demikian, probabilitas kedua anak mereka laki-laki dengan syarat paling sedikit

satu anaknya laki-laki adalah 1 3 . [ 1 ← {( , )}b b ; 3 ← {( , ), ( , ), ( , )}b b b g g b ]

3) ATURAN KOMPLEMEN

Digunakan untuk menentukan probabilitas dari suatu kejadian untuk terjadi dengan cara

mengurangkan probabilitas dari suatu kejadian untuk tidak terjadi dari 1.

Suatu kejadian terjadi dan suatu kejadian tidak terjadi jelas merupakan hal yang saling lepas,

sehingga jumlah probabilitas dari terjadinya suatu kejadian dan probabilitas tidak terjadinya

suatu kejadian tersebut adalah 1.

𝑷 𝑨 + 𝑷 ~𝑨 = 𝟏 ↔ 𝑷 𝑨 = 𝟏 − 𝑷(~𝑨)


Contoh: Kemasan dari suatu bahan makanan: ada yang underweight, ada yang overweight dan

ada yang beratnya sesuai label. Probabilitas terambilnya kemasan yang underweight

adalah 0,025 dan probabilitas terambilnya kemasan yang overweight adalah 0,075. Maka

berapa probabilitas terambilnya kemasan yang beratnya sesuai dengan labelnya?

Jawab:

U = terambilnya kemasan yang underweight → P(U) = 0,025

O = terambilnya kemasan yang overweight → P(O) = 0,075

Maka, probabilitas terambilnya kemasan yang underweight atau kemasan yang

overweight adalah:

𝑃 𝑈 ∪ 𝑂 = 0,025 + 0,075 = 0,1

sehingga, probabilitas terambilnya kemasan yang beratnya sesuai label adalah:

𝟏 − 𝑷 𝑼 ∪ 𝑶 = 𝟏 − 𝟎, 𝟏 = 𝟎, 𝟗

___________________________________________________________________________

IV. Tabel Kontingensi

Tabel kontingensi adalah suatu tabel yang digunakan untuk mengelompokkan sampel

pengamatan sesuai dengan dua atau lebih karakteristik yang dapat diidentifikasi.

Contoh: Suatu survei dilakukan terhadap 200 pegawai tentang kesetiaan mereka terhadap

perusahaan mereka. Salah satu pertanyaan adalah “Jika kamu diberikan tawaran oleh

perusahaan lain, yang posisinya sama atau lebih tinggi dibanding perusahaan tempat

kamu bekerja saat ini, apakah kamu akan tetap di perusahaan sekarang atau menerima

tawaran dari perusahaan lain?” Respons dari responden diklasifikasikan berdasarkan

lamanya mereka berada di perusahaan tersebut, yang ditampilkan dalam tabel

kontingensi berikut:

Berdasarkan informasi dari tabel kontingensi tersebut, hitunglah probabilitas terpilihnya

seorang pegawai yang setia pada perusahaan dan telah bekerja di perusahaan selama

lebih dari 10 tahun, secara acak?

Jawab:

𝐴1 = terpilihnya pegawai yang tetap setia pada perusahaan sekarang

→ 𝑃 𝐴1 =120

200

Kesetiaan < 1 tahun (B1)1 - 5 tahun

(B2)

6 - 10 tahun

(B3)

> 10 tahun

(B4)Total

tetep diperusahaan

sekarang (A1)10 30 5 75 120

menerima tawaran

dari perusahaan lain

(A2)

25 15 10 30 80

Total 35 45 15 105 200

Lamanya bekerja di perusahaan sekarang


𝐵4 = terpilihnya pegawai yang telah bekerja di perusahaan selama lebih dari 10 tahun

𝑃 𝐵4|𝐴1 = probabilitas terpilihnya pegawai yang telah bekerja di perusahaan selama

lebih dari 10 tahun, yang tetap memilih setia pada perusahaan sekarang

→ 𝑃 𝐵4|𝐴1 =75

120

Dengan demikian, probabilitas terpilihnya seorang pegawai yang setia pada perusahaan

dan telah bekerja di perusahaan selama lebih dari 10 tahun adalah:

𝑷 𝑨𝟏 ∩ 𝑩𝟒 = 𝑷 𝑨𝟏 × 𝑷 𝑩𝟒|𝑨𝟏 =𝟏𝟐𝟎

𝟐𝟎𝟎×

𝟕𝟓

𝟏𝟐𝟎=

𝟕𝟓

𝟐𝟎𝟎= 𝟎, 𝟑𝟕𝟓

___________________________________________________________________________

V. Diagram Pohon

Diagram pohon merupakan suatu graf yang sangat membantu dalam menampilkan

perhitungan yang melibatkan beberapa tahapan.

Contoh:

Bentuk diagram pohon dari tabel di atas ditampilkan sebagai berikut:

Kesetiaan < 1 tahun (B1)1 - 5 tahun

(B2)

6 - 10 tahun

(B3)

> 10 tahun

(B4)Total

tetep diperusahaan

sekarang (A1)10 30 5 75 120

menerima tawaran

dari perusahaan lain

(A2)

25 15 10 30 80

Total 35 45 15 105 200

Lamanya bekerja di perusahaan sekarang


120

200

80

200

10/120

30/120

5/120

75/120

25/8

0 15/8

0

10/8

0

30/8

0

25/80

15/80

10/80

30/80

___________________________________________________________________________ VI. Prinsip-Prinsip Perhitungan

1) FORMULASI PERKALIAN

Jika ada m cara untuk melakukan sesuatu, dan ada n cara untuk melakukan sesuatu

lainnya, maka ada 𝑚 × 𝑛 cara untuk melakukan keduanya.

Banyak cara pengaturan = 𝑚 × 𝑛

Prinsip ini dapat diperluas jika ada lebih dari 2 kejadian.

Formula perkalian diaplikasikan untuk menemukan banyaknya cara pengaturan yang

mungkin untuk dua atau lebih grup.

Contoh:

Suatu dealer memasang iklan bahwa untuk $30.000 pelanggan bisa membeli mobil

convertible, sedan 2-pintu, atau model 4-pintu, dan kemudian pelanggan bisa memilih

wire wheel covers atau solid wheel covers. Berapa banyak cara memilih pasangan model

dan penutup roda yang ditawarkan oleh dealer tersebut?

Jawab:

Ada 3 pilihan model dan ada 2 pilihan penutup roda. Maka, banyak cara memilih

pasangan model dan penutup roda adalah 3 × 2 = 6.

tetap pada perusahaan

sekarang

< 1 tahun

1 - 5 tahun

6 - 10 tahun

> 10 tahun

menerima tawaran dari

perusahaan lain

< 1 tahun

1 - 5 tahun

6 - 10 tahun

> 10 tahun

120

200×

10

120= 0,05

120

200×

30

120= 0,15

120

200×

5

120= 0,025

120

200×

75

120= 0,375

80

200×

25

80= 0,125

80

200×

15

80= 0,075

80

200×

10

80= 0,05

80

200×

30

80= 0,15

Kesetiaan

n

Conditional

probability

Lama

bekerja

Joint

probability


2) FORMULASI PERMUTASI

Formula permutasi diaplikasikan untuk menemukan banyaknya cara pengaturan yang

mungkin jika hanya ada 1 grup objek, dan jika cara pengaturan memperhatikan urutan

(artinya “ab” dianggap tidak sama dengan “ba”).

Untuk memilih r objek dari satu grup yang mengandung n objek menggunakan formula

permutasi:

Contoh:

Tiga bagian alat elektronik, asumsikan bagian A, bagian B, dan bagian C, akan dipasang

ke TV. Bagian-bagian tersebut akan dipasang dengan cara sebarang ke TV. Berapa

banyak cara untuk memasang bagian-bagian tersebut ke TV?

Jawab:

Ada 3 bagian yang akan dipasang, sehingga 𝑛 = 3. Karena tiap bagian tidak mungkin

dipasang pada tempat yang sama, atau ketiga bagian akan ditempatkan pada lokasi yang

berbeda, maka ada 3 tempat tersedia untuk memasang bagian-bagian tersebut, sehingga

𝑟 = 3.

Maka, banyaknya cara untuk memasang bagian-bagian tersebut ke TV adalah:

𝑷𝟑𝟑 =

𝟑!

𝟑 − 𝟑 !=

𝟑!

𝟎!=

𝟑 ∙ 𝟐 ∙ 𝟏

𝟏=

𝟔

𝟏= 𝟔

Hal tersebut juga bisa dilakukan dengan menggunakan konsep/formula perkalian:

ada 3 part (A, B, C) yang akan ditempatkan pada 3 lokasi yang berbeda:

Convertible model

Model sedan 2-pintu

Model sedan 4-pintu

Wire wheel cover

Solid wheel cover

𝑷𝒓𝒏 =

𝒏!

𝒏 − 𝒓 !


Dengan demikian ada 6 cara berbeda untuk menempatkan 3 bagian ke 3 tempat yang

berbeda.

3) FORMULASI KOMBINASI

Urutan dari objek-objek yang dipilih tidak diperhatikan (sehingga “ab” dianggap sama

saja dengan “ba”).

Formula untuk menghitung banyaknya kombinasi dari r objek dari sehimpunan n objek

adalah

Contoh:

Suatu CD akan diwarnai dengan 2 warna yang berbeda. Jika kombinasi dari 2 warna

sudah digunakan pada suatu CD, maka kombinasi warna tersebut tidak bisa lagi

digunakan untuk mewarnai CD lainnya. Jika tersedia warna merah, kuning, hijau, biru,

maka ada berapa cara warna yang bisa diaplikasikan ke CD? Jika terdapat 10 CD, apakah

dari 4 warna dan diambil 2 warna cukup untuk mewarnai semua CD?

Jawab:

Dengan menggunakan formula kombinasi, maka

𝐶24 =

4!

2! 4 − 2 !=

4!

2! ∙ 2!=

4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1

2 ∙ 1 2 ∙ 1 =

24

2 ∙ 2=

24

4= 6

sehingga jika dari 4 warna akan diambil 2 kombinasi warna untuk setiap CD, maka ada 6

kombinasi warna untuk mewarnai CD, yaitu:

Karena jika setiap kombinasi warna hanya diaplikasikan ke 1 CD saja, maka hanya ada 6

CD yang bisa diberi warna. Atau dengan kata lain, dengan 4 pilihan warna yang tersedia,

tidak cukup untuk mewarnai 10 CD.

Contoh:

Sebuah kotak berisi 10 buah kelereng, 6 diantaranya berwarna merah dan 4 berwarna

putih. Dari kotak itu, diambil 3 buah kelereng secara acak. Berapa peluang terambilnya:

a. semua kelereng putih

b. 2 kelereng merah dan 1 kelereng putih

𝑪𝒓𝒏 =

𝒏!

𝒓! 𝒏 − 𝒓 !


Jawab:

Dari 10 kelereng, diambil 3 kelereng. Berarti, total cara pengambilan ada sebanyak:

10

3

10! 10!120

3!(10 3)! 3! 7!C

cara

a)

3 kelereng putih diambil dari 4 kelereng putih, total cara pengambilan ada sebanyak:

4

3

4! 4!4

3!(4 3)! 3! 1!C

cara

Jadi, peluang terambilnya semua kelereng putih adalah:

4 1(semua kelereng putih)

120 30P

b)

2 kelereng merah dan 1 kelereng putih, total cara pengambilan ada sebanyak:

6 4

2 1

6! 4! 6! 4!15 4 60

2!(6 2)! 1!(4 1)! 2! 4! 3! 1!C C

cara

Jadi, peluang terambilnya 2 kelereng merah dan 1 kelereng putih adalah:

60 1(2 merah dan 1 putih)

120 2P


L A T I H A N S O A L

1. Video Games Inc. baru-baru ini mengembangkan video game baru. Kemampuan untuk

dimainkannya diuji oleh 80 pemain game kawakan.

a. Apa eksperimennya?

b. Sebutkan salah satu kemungkinannya!

c. Misalkan 65 pemain yang mencoba game tersebut berkata bahwa mereka

menyukainya. Apakah 65 ini merupakan probabilitasnya?

d. Probabilitas bahwa game tersebut akan berhasil terhitung sebesar -1. Berilah

komentar Anda mengenai hal ini!

e. Tentukan salah satu kejadian yang mungkin!

2. Satu kartu secara acak dipilih dari tumpukan kartu remi standar. Hitunglah probabilitas

terambilnya:

a. kartu berwarna merah

b. kartu King

c. kartu As dan berwarna hitam

d. kartu bernomor 9 dan berwarna merah

3. Pemeriksaan fisik rutin dilakukan setiap tahun sebagai bagian dari program pelayanan

kesehatan bagi para pekerja Jack Separo Institute. Delapan persen pekerja ditemukan

membutuhkan sepatu pengobatan, lima belas persen membutuhkan perawatan gigi, dan

tiga persen membutuhkan keduanya. Berapakah probabilitas seorang pekerja yang

dipilih secara acak membutuhkan perbaikan sepatu atau perawatan gigi?

4. Dua dadu setimbang dilemparkan secara bersamaan satu kali. Misalkan A adalah

kejadian jumlah dari angka pada kedua dadu sama dengan 6, sementara B adalah

kejadian munculnya angka 4 pada dadu pertama. Apakah A dan B merupakan kejadian

yang saling bebas? Buktikanlah!

5. Dua buah dadu setimbang dilempar secara bersamaan sebanyak satu kali. Hitunglah

probabilitas kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian

munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu!

6. Lihatlah tabel berikut.

Kejadian

Pertama

Kejadian

Kedua 𝐴1 𝐴2 𝐴3 Total

𝐵1 2 1 3 6

𝐵2 1 2 1 4

Total 3 3 4 10

a. Tentukan 𝑃(𝐴1).

b. Tentukan 𝑃(𝐵1|𝐴2).

c. Tentukan 𝑃(𝐵2 dan 𝐴3).


7. Selesaikanlah.

a. 7

4P c. 5

2C

b. 9

3P d. 10

7C

8. Pengumpul suara nasional telah membuat 10 pertanyaan yang dirancang untuk menilai

kinerja presiden Indonesia. Pengumpul suara akan memilih 5 dari pertanyaan tersebut.

Berapa banyak susunan berbeda yang ada untuk menyusun 5 pertanyaan yang terpilih?

9. Dari satu set kartu remi standar, diambil sebuah kartu tanpa pengembalian, kemudian

diambil sebuah kartu lagi. Hitunglah probabilitas kejadian terambilnya:

a. dua-duanya hitam

b. dua-duanya merah

c. kartu hitam pada pengambilan pertama dan kartu merah pada pengambilan kedua

d. kartu merah pada pengambilan pertama dan kartu hitam pada pengambilan kedua

10. Tim baseball Kucing Garong memainkan 70 persen pertandingannya saat malam dan

30 persen saat siang hari.Tim tersebut memenangkan 50 persen pertandingan malamnya

dan 90 persen pertandingan siangnya. Menurut koran hari ini, mereka menang kemarin.

Hitunglah berapa probabilitas pertandingan yang dimainkan saat malam!

konsep probabilitas -...

Documents