PENDUGAAN DATA RUNTUT WAKTU

MENGGUNAKAN METODE ARIMA

KEMENTERIAN PEKERJAAN UMUM BADAN PENELITIAN DAN PENGEMBANGAN

PUSAT PENELITIAN DAN PENGEMBANGAN SUMBER DAYA AIR

Prediksi data runtut waktu.

Pelaksanaan dan evaluasi menjadi terarah sesuai dengan

kebutuhan sehingga prioritas dan pemilihan alternatif solusi

sesuai dengan sumber daya yang tersedia.

Salah satu cara untuk menduga data runtut waktu dapat

digunakan metode stokastik yang dinamakan ARIMA

(Autoregressive Integrated Moving Average).

PENDAHULUAN

Autocorrelation Function (ACF)

• Koefisien ini menunjukkan keeratan hubungan antara nilai variabel yang sama

tetapi pada waktu yang berbeda

• Koefisien autokorelasi mengukur tingkat keeratan hubungan antara Xt dengan

Xt-1. Sedangkan pengaruh dari timelag 1, 2, 3. . . . dan seterusnya sampai k-1

dianggap konstan

ACF dan PACF

Partial Autocorrelation Function (PACF)

• Koefisien autokorelasi parsial mengukur derajat hubungan antara nilai-nilai

sekarang dengan nilai-nilai sebelumnya (untuk time lag tertentu), sedangkan

pengaruh nilai variabel time lag yang lain dianggap konstan

• Koefisien autokorelasi parsial mengukur tingkat keeratan hubungan antara Xt

dan Xt-k sedangkan pengaruh dari time lab 1,2,3,…,k-1 dianggap konstan.

Fungsi Model Autoregresif (AR)• Fungsi linear dari observasi deret stasioner sebelumnya (meregresikan

terhadap dirinya sendiri pada periode yang berbeda) dengan kata lain model

ini mengasumsikan bahwa data periode sekarang dipengaruhi oleh data

pada periode sebelumnya.

• Model ini dapat dipilih apabila ACF menunjukkan pola dying down dan

PACF menunjukkan pola yang cut off.

Fungsi Moving Average (MA)• Proses yang menyatakan hubungan ketergantungan antara nilai pengamatan

Yt dengan nilai-nilai kesalahan yang berurutan dari periode t sampai t-q.

• Model ini dapat dipilih apabila ACF menunjukkan pola yang cutoff dan

PACF menunjukkan pola dying down

MODEL AR dan MA

• Autoregressive (AR)

Menunjukkan korelasi antara data Yt dengan lag sebelumnya Yt-1,Yt-2, .., Yt-k.

• Biasanya dinotasikan dengan AR(p). P merupakan order dari lag model AR

• Identifikasi

Cek correlogram residual : PACF (AR)

t

p

itit

yay

1

10

0

0

q

t i t iy a

• Moving Average (MA)

Menunjukkan adanya hubungan error term pada periode t (t) dengan error term periode

sebelumnya (t-i)

• Biasanya dinotasikan dengan MA(q). (q) adalah order dari lag model MA

• Identifikasi

Cek correlogram residual : ACF (MA)

CUT OFF

Cut off adalah lag yang tidak signifikan terhadap garis batas signifikansi

Lag

Au

toco

rre

lati

on

605550454035302520151051

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Autocorrelation Function for Pembedaan musiman dan reguler(with 5% significance limits for the autocorrelations)

DYING DOWN

Dying down adalah lag yang bergerak turun dengan bertambahnya lag (sinusoidal)

Lag

Pa

rtia

l A

uto

co

rre

lati

on

605550454035302520151051

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Partial Autocorrelation Function for Pembedaan musiman dan reguler(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)

Model ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) yang merupakan model

gabungan dari model autoregresif dan moving average yang telah melalui proses differencing

sebanyak d kali agar menjadi stasioner.

Data runtut waktu yang diperoleh akan digunakan untuk

menganalisis runtun waktunya sehingga pola dari data

tersebut akan diperlukan dalam peramalan di masa

mendatang

Model ARIMA Musiman (1)

ARIMA Multiplikative (Musiman) = (p,d,q)(P,D,Q)s:

Macam-macam model ARIMA Multiplikative:

1. SAR (0 0 0)(1 0 0)

2. SMA (0 0 0)(0 0 1)

3. ARSMA (1 0 0)(0 0 1)

4. dll

Keterangan:

p, d, q : Orde AR, Difference, MA non musiman

P, D, Q : Orde AR, Difference, MA musiman

Difference adalah teknik pengurangan (selisih) untuk menghilangkan

nonstationer data dalam mean atau variance.

s : Periode musiman s = 3 => Triwulan

s = 4 => Kwartalan

s = 6 => Semesteran

s = 12 => Tahunan

dst

Model ARIMA Musiman (2)

Estimasi Model dengan melihat perilaku grafik ACF dan PACF.

Misalkan model SAR (0 0 0)(1 0 0),

- Model tersebut menunjukkan nilai d & D adalah nol, yang berarti data asli telah stasioner

sehingga tidak diperlukan Difference baik terhadap data non musiman dan musimannya.

- Nilai p nol dan P bernilai 1, yang berarti perilaku PACF menunjukkan tidak ada yang

signifikan untuk data musiman, sedangkan pada data musimannya ada yang signifikan.

- Nilai q & Q adalah 0, yang berarti perilaku ACF menunjukkan tidak ada yang signifikan

untuk data musiman dan non musiman.

CONTOH ESTIMASI MODEL

1. Tahap Identifikasi1. Tahap Identifikasi

Tahap identifikasi dilakukan tiga hal yaitu identifikasi terhadap pola data, kestasioneran data

dan perilaku ACF dan PACF.

2. Estimasi Model. 2. Estimasi Model.

Pada tahap estimasi, penentuan nilai estimasi awal untuk parameter-parameter dari model

tentatif berdasarkan pola ACF dan PACF.

3. Evaluasi Model. 3. Evaluasi Model.

Melakukan uji diagnostik untuk menguji kedekatan model dengan data. Uji ini dilakukan

dengan menguji nilai residual dan signifikansi.

4. Peramalan. 4. Peramalan.

Peramalan dilakukan menggunakan perangkat lunak MINITAB 14. Nilai hasil peramalan

disediakan dari perangkat tersebut.

Langkah-langkah metode ARIMA :

Model ARIMA Musiman (3)

Diagram Alir ARIMA

Membuat plot runtut waktu

Membuat plot ACF

Data sudah Stasioner?

Melihat Plot ACF dan PACF data yang

sudah stasioner dalam mean dan varians

Data Inflow

Varians: Transformasi

Mean: Differencing

Pendugaan Model & Pengujian Parameter

dari Plot ACF dan PACF

Check model dengan

white noice

Model yang sesuai

lebih dari 1

Pemilihat model terbaik. Terlihat dari P

value dan SS serta MS

Perolehan model ARIMA terbaik

Peramalan dengan model yang dibentuk

Ya

Tidak

Tidak

Identifikasi model dilakukan untuk mengetahui kestasioneran data aktual. Suatu data harus

stasioner terhadap varian dan rataan agar dapat diolah dan menghasilkan prediksi yang baik

menggunakan metode ARIMA. Berikut adalah ciri-ciri data yang tidak stasioner berserta

contohnya:

Gambar 1Gambar 1

Tidak stasioner dalam Tidak stasioner dalam meanmean

Gambar 2Gambar 2

Nilai ACF dari Gambar 1Nilai ACF dari Gambar 1

Gambar 3Gambar 3

Nilai PACF dari Gambar 1Nilai PACF dari Gambar 1

IDENTIFIKASI MODEL (1)

Gambar 4Gambar 4

Tidak stasioner dalam variansTidak stasioner dalam varians

Gambar 5Gambar 5

Nilai ACF dari Gambar 4Nilai ACF dari Gambar 4

Gambar 6Gambar 6

Nilai PACF dari Gambar 4Nilai PACF dari Gambar 4

Gambar 7Gambar 7

Tidak stasioner dalam varians dan Tidak stasioner dalam varians dan meanmean

Gambar 8Gambar 8

Nilai ACF dari Gambar 7Nilai ACF dari Gambar 7

Gambar 9Gambar 9

Nilai PACF dari Gambar 7Nilai PACF dari Gambar 7

Lag

Pa

rtia

l A

uto

co

rre

lati

on

605550454035302520151051

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Partial Autocorrelation Function for Pembedaan musiman dan reguler(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)

Lag

Au

toco

rre

lati

on

605550454035302520151051

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Autocorrelation Function for Pembedaan musiman dan reguler(with 5% significance limits for the autocorrelations)

Index

Pe

mb

ed

aa

n m

usim

an

da

n r

eg

ule

r

3202882562241921601289664321

1.5

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

Accuracy Measures

MAPE 100.148

MAD 0.242

MSD 0.095

Variable

Actual

Fits

Trend Analysis Plot for Pembedaan musiman dan regulerLinear Trend Model

Yt = -0.000490105 + 8.224064E-06*t

Gambar 10Gambar 10

Stasioner dalam varians dan Stasioner dalam varians dan meanmean

Gambar 11Gambar 11

Nilai ACF dari Gambar 10Nilai ACF dari Gambar 10

Gambar 12Gambar 12

Nilai PACF dari Gambar 10Nilai PACF dari Gambar 10

Apabila data yang digunakan belum stasioner maka

jangan melanjutkan tahap estimasi, dikarenakan asumsi

untuk mengerjakan model ARIMA adalah menggunakan

data yang telah stasioner terhadap mean dan varian.

IDENTIFIKASI MODEL (2)

1. Cara untuk menstasionerkan data secara mean dengan cara melakukan

difference.

2. Sedangkan untuk menstasionerkan data secara varian dengan melakukan

Transformasi. Syarat untuk dilakukan Transformasi adalah data tidak bernilai

0, sehingga data yang digunakan adalah data bulanan.

Cara untuk menstasionerkan data aktual

Macam-macam transformasi yang dapat dilakukan adalah

a. Transformasi Log

b. Transformasi Square Root

c. Transformasi Square

d. Transformasi Arcsin

e. Transformasi Cubic

IDENTIFIKASI MODEL (3)

ACF PACF Model

Cut off setelah lag 1 atau 2, koefisien

korelasi tidak signifikan pada lag-lag

musiman

Dying downNon Seasonal – Moving Average

(q=1 atau 2)

Cut off setelah lag musiman L,

koefisien korelasi tidak signifikan

pada lag-lag non musiman

Dying downSeasonal – Moving Average

(Q=1)

Cut off setelah lag musiman L,

terdapat koefisien korelasi yang

signifikan pada lag non musiman ke-

1 atau 2

Dying downNon Seasonal – Seasonal Moving

Average (q=1 atau 2, Q=1)

Dying down

Cut off setelah lag 1 atau 2, koefisien

korelasi tidak signifikan pada lag-lag

musiman

Non Seasonal – Autoregressive

(p=1 atau 2)

Dying down

Cut off setelah lag musiman L, koefisien

korelasi tidak signifikan pada lag-lag non

musiman

Seasonal – Autoregressive (P=1)

Dying down

Cut off setelah lag musiman L, terdapat

koefisien korelasi signifikan pada lag-lag

non musiman ke-1 atau 2

Non Seasonal – Seasonal

Autoregressive (p=1 atau 2, P=1)

Dying down Dying downMixed (Autoregressive – Moving

Average)

Sumber: Gaynor and Kirpartik (1994)

ESTIMASI MODEL

1. Residual peramalan bersifat acak. Untuk memastikan apakah model sudah

memenuhi syarat ini, dapat digunakan indikator Box- Ljung Statistic. Dari

session diketahui bahwa nilai P-value untuk uji statistik ini lebih besar dari

0,05 yang menunjukkan bahwa residual sudah acak.

2. Model parsimonious (model relatif sudah dalam bentuk yang paling

sederhana).

3. Parameter yang diestimasi berbeda nyata dengan nol. Ini dapat dilihat dari

nilai P-value koefisien yang kurang dari 0,05.

4. Kondisi invertibilitas ataupun stasioneritas harus terpenuhi. Hal ini

ditunjukkan oleh jumlah koefisien MA atau AR dimana masing-masingnya

harus kurang dari satu.

5. Model harus memiliki MS & SS yang kecil.

6. Selain itu grafik ACF dan PACF dari residual menunjukkan pola cut off, yang

berarti bahwa residual memang sudah acak.

EVALUASI MODEL

Contoh output MINITAB