kata pengantar - matematika.uin-malang.ac.idmatematika.uin-malang.ac.id/download/2015/modul ppk i m....

i

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah S.W.T karena atas anugerah dan

karuniaNya penulis dapat menyelesaikan buku petunjuk

praktikum “PROGRAM KOMPUTER I MATLAB”. Buku ini

dibuat untuk membantu mahasiswa mengimplementasikan

algoritma yang ditemui dalam beberapa mata kuliah Pengantar Ilmu

komputer, Analisis Numerik, Persamaan Diferensial Biasa,

Persamaan Diferensial Parsial, Statistika, dan mata kuliah lain

kedalam suatu bahasa program.

Dalam buku ini dijelaskan bagaimana proses

pengimplementasian itu dilakukan dalam Matlab. Dengan beberapa

fungsi-fungsi khusus yang sudah “build in” dalam Matlab Library,

mahasiswa diharapkan dapat dengan mudah membuat program

dalam bahasa nonprosedural yang bersifat singkat dan lugas namun

dapat mengatasi semua masalah-masalah komplek dalam

Matematika.

Selanjutnya dalam kesempatan ini penulis menyampaikan

banyak terima kasih kepada yang terhormat:

1. Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri

Maulana Malik Ibrahim Malang,

2. Ketua Jurusan Matematika yang telah memberikan motivasi

dan rekomendasi penggunaan buku petunjuk praktikum ini

dalam beberapa acara perkuliahan mata kuliah;

3. Semua pihak yang terlibat langsung maupun tak langsung

dalam penyusunan buku ini.

Semoga bantuan rielnya mendapat balasan yang setimpal dari

Allah S.W.T. dan akhirnya penulis berharap agar buku ini

ii

memberikan mamfaat bagi mahasiswa dan pembaca pada

umumnya, oleh karena itu kritik dan saran masih penulis harapkan

untuk penyempurnaan dikemudian hari.

Malang, 22 Februari 2015

Muhammad Jamhuri, M.Si

iii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ................................................................................... i

DAFTAR ISI …………………....................................................................... iii

PART 1 Curve Fitting ToolBox ....................................................................... 1

ii

1 Pengenalan Curve Fitting Tool ................................................................. 2 2

Interpolasi 1D .......................................................................................... 6 6

Polynomial Fitting atau Regressi .............................................................. 9 9

Interpolasi 2D ........................................................................................... 13 13

Construction Spline Curves in 2D and 3D ................................................. 16 16

PART2 Optimization Toolbox .......................................................................... 20 20

Mencari Akar Persamaan ......................................................................... 21 21

Solusi Sistem Persamaan .......................................................................... 23 23

Sistem Persamaan nonlinier..................................................................... 26 26

Optimisasi ............................................................................................... 28 28

PART 3 Ordinary Differenttial Equation ......................................................... 33 33

Vanderpool Equation.............................................................................. 34. 34

Persamaan Mathieu’s .............................................................................. 36 36

Delay Differential Equation..................................................................... 38 38

PART 4 PDE Toolbox .................................................................................... 40 40

Solusi PDP dengan Script Function .......................................................... 41 41

Solusi PDP dengan PDE Toolbox.............................................................. 45 45

Sistem PDP ............................................................................................... 52 52

Panduan Praktikum PemrogramanKomputer I

Mohammad Jamhuri

February 22, 2015

Part I

Curve Fitting ToolBox

1

Chapter 1

Pengenalan Curve-FittingTool

1. Buka Tool curve fitting dengan menggunakan perintahc f t o o l

pada commandwindow, tekan enter maka akan dimunculkan jendela berikut:

2. Untuk memilih data, gunakan data cencus.mat bawaan matlab denganmenggunakan perintah

2

CHAPTER 1. PENGENALAN CURVE-FITTING TOOL 3

load census

setelah ditekan enter, didalam workspace muncul dua variabel, yaitu cdatedan pop. Selanjutnya import data tersebut menggunakan Tool Curve Fit-ting dengan mengklik tombol data. Pilih cdate untuk XData dan popuntuk Y Data. Jika benar, akan muncul gambar berikut:

3. Klik Create Data Set untuk mengimpor data ke dalam Toolbox, jika benarakan diperoleh gambar berikut


4. Selanjutnya akan kita gunakan Tool F itting untuk memfitting data cencusdengan polinomial derajat-2. Pilih dan klik tombol fitting sehingga munculjendela fitting, klik tombol New fit, pilih quadratic polynomial pada ko-tak polynomial, ubah FileName-nya menjadi ′poly2′, kemudian klik tombolApply, jika benar tampilan jendelanya adalah sebagai berikut:

5. Pada jendela CurveF ittin Tool pilih menu V iew → Residuals→ LineP lotsehingga tampilannya menjadi berikut


6. Pada gambar residual, menunjukkan masih ada kemungkinan untuk mem-peroleh fitting yang lebih baik.

7. Lakukan percobaan dengan mengganti derajat polinomial pada kotak pili-han polynomial.

8. Untuk mengekstrapolasi jumlah populasi pada tahun 2000 s.d 2050, klikAnalysis dan isikan rentang tahun yang akan dicari nilai ekstrapolasinya.Centang tanda untuk menampilkan gambar hasil interpolasi serta gambarhasil ekstrapolasi secara bersama-sama.

Chapter 2

Interpolasi 1D

2.1 Tutorial 1: Penggunaan interp1 di CommandWindow.

1. Pada praktikum ini akan ditunjukkan cara penggunaan fungsi interp1 un-tuk menginterpolasi himpunan data dengan metode ′pchip′

2. Buatlah data vektor dengan menuliskan kode Matlab berikut pada Com-mand Window.

x=[1 2 3 4 5 ] ;v=[12 16 31 10 6 ] ;

3. Lakukan interpolasi menggunakan spasi data 0.1, yaitu

xq = ( 1 : 0 . 1 : 5 ) ;vq=in t e rp1 (x , v , xq , ’ pchip ’ ) ;

4. Gambarkan hasil interpolasi beserta datanya. Gunakan kode berikut

p lo t (x , v , ’ o ’ ) ;hold onp l o t ( xq , vq , ’− ’ ) ;l egend ( ’ samples ’ , ’ pchip ’ ) ;

5. Setelah dijalankan, akan muncul gambar berikut

6

CHAPTER 2. INTERPOLASI 1D 7

6. Lingkaran pada gambar diatas adalah plot data, sedangkan kurva yangmenghubungkan lingkaran-lingkaran tersebut adalah hasil interpolasi meng-gunakan metode ’pchip’.

2.2 Tutorial 2: Penggunaan interp1 dengan CurveFitting Toolbox

1. Untuk menginterpolasi data x dan v pada subbab 2.1 diatas, gunakan per-intah

c f t o o l

pada command window.

2. Lakukan pengaturan pada jendela Curve Fitting Toolbox, yaitu tuliskaninterp1 pada Text Fit Name, pilih x pada list X data, dan y pada Ydata. Pilih interpolant pada pilihan metode Curve Fitting, serta pilihShape-Preserving (PCHIP) pada list Method.


3. Simpan hasil interpolasi dengan memilih menu Fit → Save toworkspacekemudian klik Ok.

4. Jika ingin menggunakan data hasil interpolasi untuk menentukan nilai yangada pada rentang data interpolasi, maka dapat digunakan perintah berikutpada command window

f i t t i n gmode l ( xa )

jika kita ingin mencari nilai y (xa) .

Chapter 3

Polynomial-Fitting atauRegressi

3.1 Tutorial

1. Permasalahan: tentukan parameter α dan β pada model eksponensial

y = αxeβx

berdasarkan data pada tabel berikut

x 0.1 0.2 0.4 0.6 0.9 1.3 1.5 1.7 1.8y 0.75 1.25 1.45 1.25 0.85 0.55 0.35 0.28 0.18

2. Tuliskan data yang terdapat pada tabel diatas di Command windows den-gan format penulisan sebagaimana berikut

x=[0.1 0 .2 0 .4 0 .6 0 .9 1 .3 1 .5 1 . 7 1 . 8 ] ;y=[0.75 1 .25 1 .45 1 .25 0 .85 0 .55 0 .35 0 .28 0 . 1 8 ] ;

3. Buka Curve Fitting Toolbox, menggunakan perintah

c f t o o l

4. Lakukan pengaturan, yaitu pilih x pada X Data, pilih y pada Y Data,dan pilih Custom Equation serta tuliskan

a∗x∗exp (b∗x )

9

CHAPTER 3. POLYNOMIAL-FITTING ATAU REGRESSI 10

pada kotak isian sebagaimana pada gambar berikut.

5. Nilai parameter α dan β yang diperoleh dari hasil perhitungan dapat dilihatpada kotak Result yaitu a = 9.897 dan b = −2.532.

6. Lebih lanjut, misalkan kita ingin mengetahui nilai y pada saat x = 1,maka simpan project dengan memilih menu Fit → Save toWorkspace,selanjutnya akan muncul jendela popup berikut

7. Pilih tombol Ok sedemikian hingga pada jendela Workspace akan dita-mpilkan variabel sebagaimana berikut:


8. Ketikkan pada Command window perintah berikut

>>F=f i t t edmode l

F =General model :F(x ) = a∗x∗exp (b∗x )C o e f f i c i e n t s ( with 95% conf idence bounds ) :

a = 9.897 ( 9 . 0 7 9 , 1 0 . 7 2 )b = −2.532 (−2.668 ,−2.395)

>>

9. Untuk menghitung nilai y pada x = 1, gunakan perintah berikut

>>y=F(1)

y =0.7869

10. Dari gambar diatas diketahui bahwa nilai y (1) = 0.7869.

3.2 Latihan

1. Tentukan parameter a dan b pada model Regressi (3.2.1)

y =

(a+√x

b√x

)2

(3.2.1)

berdasarkan data yang diberikan pada tabel berikut, serta tentukan nilai ypada x = 1.6

x 0.5 1 2 3 4y 10.4 5.8 3.3 2.4 2


2. Tentukan nilai parameter a, b, dan c pada model regressi (3.2.2)

y = a+ bx+c

x(3.2.2)

berdasarkan data yang diberikan pada tabel berikut ini.

x 1 2 3 4 5y 2.2 2.8 3.6 4.5 5.5

Chapter 4

Interpolasi 2D

4.1 Tutorial

1. Problem Statement. Misalkan diberikan data suhu pada koordinat persegi-panjang berikut

T (2, 1) = 60 T (9, 1) = 57.5

T (2, 6) = 55 T (9, 6) = 70

gunakan interpolasi untuk menentukan suhu pada koordinat x = 5.25 dany = 4.8.

2. Tuliskan data diatas di Command-Windows menggunakan format seba-gaimana berikut

x=[2 2 9 9 ] ;y=[1 6 1 6 ] ;z=[60 55 57 .5 7 0 ] ;

3. Buka Curve Fitting Tool dengan perintah

c f t o o l

setelah terbuka, pilih menu File→ Clear Session sedemikian hingga projectyang sebelumnya masih ada, akan di hapus dari memori Curve-Fitting Tool-box.

4. Untuk memulai project baru, pilih icon New fit, dan pilih x pada kotakisian X data, pilih y pada kotak isian Y data, serta z pada kotak isian Zdata.

13


5. Untuk membangkitkan kode dari project yang sedang dijalankan, pilihmenu File→ GenerateCode, sehingga pada Matlab Editor akan tampilfunction createF it sebagaimana berikut:

f unc t i on [ f i t r e s u l t , go f ] = c r e a t eF i t (x , y , z )% CREATEFIT(X,Y,Z)% Create a f i t .%% Data f o r ’ u n t i t l e d f i t 1 ’ f i t :% X Input : x% Y Input : y% Z Output : z% Output :% f i t r e s u l t : a f i t o b j e c t r e p r e s en t i n g the f i t .% go f : s t r u c t u r e wi th goodness−o f f i t i n f o .%% See a l s o FIT , CFIT, SFIT .% Auto−genera ted by MATLAB on 22−Feb−2015 14 :06 :15%% Fi t : ’ u n t i t l e d f i t 1 ’ .[ xData , yData , zData ] = prepareSurfaceData ( x , y , z ) ;% Set up f i t t y p e and op t i ons .f t = ’ cub i c i n t e rp ’ ;opts = f i t o p t i o n s ( f t ) ;% Fit model to data .[ f i t r e s u l t , go f ] = f i t ( [ xData , yData ] , zData , f t , opts ) ;% Plot f i t wi th data .f i g u r e ( ’Name ’ , ’ u n t i t l e d ␣ f i t ␣1 ’ ) ;h = p lo t ( f i t r e s u l t , [ xData , yData ] , zData ) ;l egend ( h , ’ u n t i t l e d ␣ f i t ␣1 ’ , ’ z␣vs . ␣x , ␣y ’ , . . .

’ Locat ion ’ , ’ NorthEast ’ ) ;% Labe l axesx l ab e l ( ’ x ’ ) ;y l ab e l ( ’ y ’ ) ;z l a b e l ( ’ z ’ ) ;g r i d on

6. Function tersebut dapat dimodifikasi dan dapat digunakan kembali untukkeperluan lebih lanjut, atau dapat pula dipakai di Matlab yang tidak terse-dia Curve-Fitting Toolbox-nya.

7. Untuk menyimpan project di memori Matlab, pilih menu Fit → Save toWorkspace sedemikian hingga pada jendela Workspace akan tersimpanvariabel-variabel seperti yang ditunjukkan gambar berikut


8. Selanjutnya untuk mengestimasi nilai suhu pada x = 5.25 dan y = 4.8,gunakan perintah berikut pada Command window

f i t t edmode l ( 5 . 2 5 , 4 . 8 )

setelah di enter akan diperoleh hasil sebagaimana berikut:

ans =58.1582

4.2 Latihan

1. Gunakan model Regressi linier berganda untuk menentukan nilai z padax = 2.5 dan y = 2.5 berdasarkan data pada tabel berikut

x 0 1 1 2 2 3 3 4 4y 0 1 2 1 2 1 2 1 2y 15.1 17.9 12.7 25.6 20.5 35.1 29.7 45.4 40.2

2. Gunakan model Regressi polinomial derajat-2 untuk x dan derajat-2 untuky untuk menentukan nilai z pada x = 2.5 dan y = 2.5 berdasarkan datapada tabel di soal nomor 1 diatas.

Chapter 5

Constructing Spline Curves in2D and 3D

Contoh ini menunjukkan bagaiman cara menggunakan perintah csvn dari Tool-box Curve-Fitting, untuk membangun Kurva cubic spline dalam 2D dan 3D

5.1 Memilih Titik-titik

1. Dalam contoh ini akan ditunjukkan cara menggambar kurva melalui daftartitik-titik, pertama pilih beberapa titik acak pada bidang, kemudian simpandalam matriks, satu titik perkolom

npts=10;xy=[randn (1 , npts ) ;randn (1 , npts ) ] ;p l o t ( xy ( 1 , : ) , xy ( 2 , : ) , ’ ro ’ , ’ LineWidth ’ , 2 ) ;t ex t ( xy ( 1 , : ) , xy ( 2 , : ) , [ repmat ( ’ ’ , npts , 1 ) , num2str ( ( 1 : npts ) ’ ) ] )s e t ( gca , ’ XTick ’ , [ ] , ’ YTick ’ , [ ] )

2. Jalankan kode program tersebut, sehingga muncul gambar berikut

16

CHAPTER 5. CONSTRUCTING SPLINE CURVES IN 2D AND 3D 17

1

2 3

4

5

6

7

8

9

10

5.2 Menghubungkan titik-titik tersebut

1. Untuk menghubungkan titik-titik tersebut menjadi sebuah kurva, gunakanperintah csvn dan plot menggunakan perintah fnplt

hold onf np l t ( cscvn ( xy ) , ’ r ’ , 2 )hold o f f

2. Jalankan kode program tersebut, dan selanjutnya akan muncul gambarberikut

1

2

3 4

5

6

7

8

9

10

5.3 3D Spline Curve

1. Untuk membuat kurva spline dalam 3D, gunakan kode berikut


npts = 13 ;t = l i n s p a c e (0 ,8∗ pi , npts ) ;z = l i n s p a c e (−1 ,1 , npts ) ;omz = sq r t (1−z . ^ 2 ) ;xyz = [ cos ( t ) . ∗ omz ; s i n ( t ) . ∗ omz ; z ] ;p l o t3 ( xyz ( 1 , : ) , xyz ( 2 , : ) , xyz ( 3 , : ) , . . .’ ro ’ , ’ LineWidth ’ , 2 ) ; t ex t ( xyz ( 1 , : ) , xyz ( 2 , : ) , xyz ( 3 , : ) , . . .[ repmat ( ’ ␣␣ ’ , npts , 1 ) , num2str ( ( 1 : npts ) ’ ) ] )s e t ( gca , ’XTick ’ , [ ] , ’YTick ’ , [ ] , ’ ZTick ’ , [ ] )box on

2. Jalankan kode program diatas, dan akan muncul gambar berkut

7

4

10

1

13

12

3

9

6 2

11

5

8

3. Untuk menghubungkan titik-titik tersebut dengan kurva, gunakan kodeprogram berikut

hold onf np l t ( cscvn ( xyz ( : , [ 1 : end 1 ] ) ) , ’ r ’ , 2 )hold o f f

4. Dan setelah dijalankan akan menghasilkan gambar berikut:


7

10

4

6

9

3

12

13

1

2

11

5

8

Part II

Optimization Toolbox

20

Chapter 6

Mencari Akar Persamaan

6.1 Tutorial

1. Pada praktikum ini akan ditunjukkan cara mencari akar dari persamaannonlinier (6.1.1) berikut

e−x − x = 0 (6.1.1)

Nilai awal yang digunakan adalah x0 = 1. Langkah-langkah penyelesaian-nya adalah sebagai berikut.

2. Tuliskan persamaan (6.1.1) sebagai function dalam Matlab berikut,

f unc t i on h=myFun1(x )h = exp(−x)−x ;

3. Buka Optimization Toolbox menggunakan perintah

opt imtoo l

4. Pada jendela Optimization Tool, pilih fzero pada Solver, isikan@myFun1pada Equation, dan pada option Let algorithmfind interval containing x :dan isikan angka 0, kemudian klik tombol Start, dan akan diperoleh hasilsbb:

21

CHAPTER 6. MENCARI AKAR PERSAMAAN 22

5. Akar yang diperoleh dapat dilihat pada Form Final points (kiri bawah),akar yang diperoleh: 0.567.

6.2 Latihan Soal

1. Gunakan fzero-Solver untuk menentukan akar dari

−0.6x2 + 2.4x = −5.5

gunakan interval awal xa = 5 dan xb = 10.

2. Gunakan fzero-Solver untuk menentukan akar dari

4x3 − 6x2 + 7x = 2.3

gunakan x0 = 0.1 sebagai nilai awal.

Chapter 7

Solusi Sistem Persamaan

7.1 Tutorial 1

1. Pada praktikum ini, kita akan mencari solusi dari sistem persamaan nonlin-ier menggunakan Optimization Toolbox. Sistem persamaan yang akankita cari solusinya adalah sebagai berikut

x2 + xy = 10

y + 3xy2 = 57

2. Tuliskan sistem persamaan tersebut kedalam sebuah function-Matlab berikut

f unc t i on O=myFun2(x )O(1 , 1 ) = x(1)^2 + x (1)∗ x (2 ) − 10 ;O(2 , 1 ) = x (2) + 3∗x (1)∗ x (2)^2 − 57 ;

3. Gunakan x1 = 1.5 dan x2 = 3.5 sebagai nilai awal dan pilih fsolve padaSolver, @myFun2 pada Objective function, [1.5, 3.5] pada Start point,kemudian klik tombol Start, sehingga diperoleh hasil seperti pada gambarberikut.

23

CHAPTER 7. SOLUSI SISTEM PERSAMAAN 24

4. Pada Final point dapat dilihat bahwa solusi untuk sistem persamaan diatasadalah x = 2 dan y = 3.

7.2 Tutorial 2

1. Kali ini, kita akan menyelesaikan sistem persamaan dengan tiga variabel,yaitu

3x1 − cos (x2x3)−1

2= 0 (7.2.1)

x21 − 81 (x2 + 0.1)2+ sin (x3) + 1.06 = 0 (7.2.2)

e−x1x2 + 20x3 +10π − 3

3= 0 (7.2.3)

2. Nilai awal yang digunakan adalah x1 = 0.1, x2 = 0.1, dan x3 = −0.1.

3. Tuliskan sistem persamaan (7.2.1), (7.2.2), dan (7.2.3) kedalam sebuahfunction-Matlab berikut:

f unc t i on H=myFun3(x )H(1 ,1)=3∗x(1)− cos ( x (2)∗ x (3) ) − (1/2) ;

CHAPTER 7. SOLUSI SISTEM PERSAMAAN 25

H(2 ,1)=x(1)^2−81∗(x(2)+0.1)^2+ s in (x (3 ) )+1 .06 ;H(3 ,1)= exp(−x (1)∗ x(2))+20∗x(3)+(10∗ pi −3)/3;

4. Lakukan pengaturan pada jendela Optimization Toolbox sebagaimana padagambar berikut:

5. Solusi yang diperoleh adalah x1 = 0.5, x2 = 0, dan x3 = −0.524 yangdapat dilihat pada Final point. Hasil numerik tersebut diperoleh setelahdilakukan iterasi sebanyak empat kali.

Chapter 8

Latihan: sistem persamaannonlinier

1. Tentukan solusi dari sistem-sistem persamaan berikut ini menggunakan Op-timization Toolbox.

(a) Soal latihan 1.

4x21 − 20x1 +1

4x22 + 8 = 0

1

2x1x

22 + 2x1 − 5x2 + 8 = 0

(b) Soal latihan 2.

x1 (1− x1) + 4x2 = 12

(x1 − 2)2+ (2x2 − 3)

2= 25

(c) Soal latihan 3.

3x1 − cos (x2x3)−1

2= 0

4x21 − 625x22 + 2x2 − 1 = 0

exp (−x1x2) + 20x3 +10π − 3

3= 0

(d) Soal latihan 4.

15x1 + x22 − 4x3 = 13

x21 + 10x2 − x3 = 11

x32 − 25x3 = −22

26

CHAPTER 8. LATIHAN: SISTEM PERSAMAAN NONLINIER 27

2. Gunakan x1 = x2 = x3 = 0 sebagai nilai awal. Pilih fsolve pada Solver,pilih Algorithm yang sesuai dari tiga macam pilihan yang dapat dipilihpada dropdown list.

Chapter 9

Optimisasi

9.1 Tutorial 1: Unconstrained Optimization

1. Pandang masalah mencari sebuah himpunan solusi [x1, x2] yang memenuhi

minxf (x1, x2) = ex1

(4x21 + 2x22 + 4x1x2 + 2x2 + 1

)2. Untuk menyelesaikan masalah dua-dimensi diatas, tuliskan persamaan terse-

but kedalam sebuah fungsi seperti berikut

f unc t i on f=obj fun (x )f=exp (x (1 ) )∗ ( 4∗ x(1)^2+2∗x(2)^2+4∗x (1)∗ x(2)+2∗x (2)+1) ;

3. Tuliskan kode program berikut untuk menyelesaikan masalah optimisasiunconstrained

x0=[−1 ,1] ;opt ions=opt imopt ions (@fminunc , ’ Algorithm ’ , ’ quasi−newton ’ ) ;[ x , f va l , e x i t f l a g , output ]= fminunc (@objfun , x0 , opt ions ) ;

4. Setelah dijalankan program diatas akan menghasilkan output sbb:

Local minimum found .Optimizat ion completed because the s i z e o f the g rad i enti s l e s s than the d e f au l t va lue o f the func t i on t o l e r an c e .

5. Untuk menampilkan hasilnya ketikkan kode berikut

x , fva l , e x i t f l a g , output

28

CHAPTER 9. OPTIMISASI 29

setelah dienter akan keluar output sbb:

f v a l = 3.6609 e−15e x i t f l a g = 1output =i t e r a t i o n s : 8funcCount : 66s t e p s i z e : 1f i r s t o r d e r o p t : 1 .2284 e−007a lgor i thm : ’medium−s c a l e : ␣Quasi−Newton␣ l i n e ␣ search ’

9.2 Tutorial 2: Constrained Optimization

1. Pandang masalah meminimumkan fungsi Rosenbrock’s

f (x) = 100(x2 − x21

)2+ (1− x1)2

pada suatu lingkaran dengan jari-jari 1.

2. Tentukan x yang meminimumkan fungsi f (x) pada himpunan x21+x22 ≤ 1.

3. Berikut ini adalah gambar dari fungsi Rosenbrock’s

4. Untuk menyelesaikan masalah tersebut, ketikkan kode berikut di commandwindow

ed i t rosenbrock

5. Setelah Matlab editor terbuka, ketikkan kode berikut dan simpan dengannama rosenbrock


func t i on f=rosenbrock (x )f =100∗(x(2)−x(1)^2)^2+(1−x (1 ) )^2 ;

6. Tuliskan fungsi constrain kedalam sebuah function sebagaimana berikut

func t i on [ c , ceq ]= un i td i s k (x )c=x(1)^2+x(2)^2−1;ceq =[ ]

simpan dengan nama unitdisk.m

7. Selanjutnya jalankan optimization tool dengan mengetikkan perintah

opt imtoo l

dan GUI (graphical user interface) berikut akan terbuka

8. Pilih fmincon− Constrained nonlinear minimization pada Solver.

9. Pilih Interior point pada Algorithm.

10. Tuliskan @rosenbrock pada Objective function.

11. Tuliskan[0 0

]pada Start point.

12. Tuliskan @unitdisk pada Nonlinear constraint function. Lebih detail-nya lihat gambar berikut


13. Pada Options pane (tengah-bawah), pilih iterative pada Level of display.

14. Klik Start pada Run solver and view results.

15. Akan muncul pesan berikut dibawah button Start.

Optimizat ion running . Object ive func t i on value :0.045674824758137236 Local minimum found thats a t i s f i e s the c on s t r a i n t s .Optimizat ion completed because the ob j e c t i v efunc t i on i s non−dec r ea s ing in f e a s i b l e d i r e c t i o n s ,to with in the d e f au l t va lue o f the func t i onto l e rance , and c on s t r a i n t s are s a t i s f i e d towith in the d e f au l t va lue o f the c on s t r a i n t t o l e r an c e .

16. Nilai x yang meminimumkan fungsi objektif muncul pada Final point.

Part III

Ordinary Differential Equation

33

Chapter 10

IVP: Vanderpool Equation

1. Pada praktikum kali ini, akan dijelaskan cara penyelesaian masalah nilaiawal pada persamaan van der Pol.

2. Persamaannya adalah

y′′1 − µ(1− y21

)y′1 + y1 = 0 (10.0.1)

dengan µ > 0 sebuah parameter skalar.

3. Tuliskan ulang persamaan (10.0.1) menjadi sistem persaaman differensialorde-1, yaitu

y′1 = y2

y′2 = µ(1− y21

)y2 − y1

4. Tuliskan sistem ODE diatas kedalam sebuah Matlab function berikut

f unc t i on dydt=vdp1 ( t , y )dydt (1 ,1)=y ( 2 ) ;dydt (2 ,1)=(1−y (1)^2)∗y(2)−y ( 1 ) ;

5. Kali ini gunakan fungsi ode45, yaitu

[ t , y]=ode45 (@vdp1 , [ 0 2 0 ] , [ 2 ; 0 ] ) ;

6. Tampilkan output dengan menulis dan jalankan kode berikut

p lo t ( t , y ( : , 1 ) , ’− ’ , t , y ( : , 2 ) , ’−− ’ )t i t l e ( ’ So lu t i on ␣ o f ␣van␣der ␣Pol␣Equation , ␣\mu␣=␣1 ’ ) ;x l ab e l ( ’ time␣ t ’ ) ; y l ab e l ( ’ s o l u t i o n ␣y_1 ’ ) ;l egend ( ’y_1 ’ , ’y_2 ’ )

34

CHAPTER 10. IVP: VANDERPOOL EQUATION 35

7. Setelah dijalankan akan muncul grafik dari solusi sbb

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−3

−2

−1

0

1

2

3Solution of van der Pol Equation, µ = 1

time t

solu

tion

y

y

1

y2

Chapter 11

BVP: Persamaan Mathieu’s

1. Praktikum ini membahas penyelesaian masalah nilai batas pada persamaanMathieu’s, adapun persamaannya adalah

y′′ + (λ− 2q cos (2x)) y = 0 (11.0.1)

dengan kondisi

y (0) = 1

y′ (0) = 0 (11.0.2)y (π) = 0

2. Untuk menyelesaikan persamaan differensial (11.0.1), terlebih dahulu tuliskansebagai sistem persamaan differensial orde-1, yaitu

y′1 = y2

y′2 = − (λ− 2q cos (2x)) y1

3. Tuliskan sistem persamaan orde-1 diatas dan kondisi batas (11.0.2) kedalamdua buah fungsi Matlab berikut

dydx=mat4ode (x , y , lambda )dydx (1 ,1)=y ( 2 ) ;dydx(2 ,1)=−( lambda−2∗q∗ cos (2∗x ) )∗ y ( 1 ) ;

dan

f unc t i on r e s=mat4bc ( ya , yb , lambda )r e s =[ya ( 2 ) ; yb ( 2 ) ; ya (1) −1 ] ;

36

CHAPTER 11. BVP: PERSAMAAN MATHIEU’S 37

4. Buat tebakan awal dengan menuliskannya kedalam sebuah fungsi Matlabberikut

f unc t i on y i n i t=mat4 in i t ( x )y i n i t =[ cos (4∗x ) ; −4∗ s i n (4∗x ) ] ;

Untuk bvpinit, gunakan kode berikut untuk tebakan nilai lambda

lambda=15;s o l i n i t=bvp in i t ( l i n s p a c e (0 , pi , 1 0 ) , @mat4init , lambda ) ;

5. Untuk menghitung solusinya gunakan BVP solver berikut

s o l=bvp4c (@mat4ode , @mat4bc , s o l i n i t ) ;

6. Selanjutnya untuk menampilkan hasil perhitungan gunakan kode berikut

f p r i n t f ( ’ Fourth␣ e i g enva lue ␣ i s ␣ approximately ␣%7.3 f . \ n ’ , s o l .parameters )

x in t = l i n s p a c e (0 , p i ) ;Sx int = deval ( so l , x in t ) ;p l o t ( xint , Sx int ( 1 , : ) )ax i s ( [ 0 p i −1 1 . 1 ] )t i t l e ( ’ E igen funct ion ␣ o f ␣Mathieu ’ ’ s ␣ equat ion . ’ )x l ab e l ( ’ x ’ )y l ab e l ( ’ s o l u t i o n ␣y ’ )

7. Setelah dijalankan, akan tampil solusi dalam bentuk grafik berikut

Chapter 12

Delay Differential Equation

1. Pada praktikum ini dibahas tentang solusi dari persamaan differensial tunda(DDE) dengan konstan delay. Persamaan differensialnya adalah sebagaiberikut

y′1 (t) = y1 (t− 1)

y′2 (t) = y1 (t− 1) + y2 (t− 0.2)

y′3 (t) = y2 (t)

dimana

y1 (t) = 1

y2 (t) = 1

y3 (t) = 1

untuk t ≤ 0.

2. Tuliskan sistem persamaan differensial diatas ke dalam sebuah fungsi Mat-lab

f unc t i on dydt = ddex1de ( t , y , Z)y lag1 = Z ( : , 1 ) ;y lag2 = Z ( : , 2 ) ;dydt = [ y lag1 ( 1 ) ; y lag1 (1)+ ylag2 ( 2 ) ; y ( 2 ) ] ;end

3. Tuliskan histori solusi sebagai fungsi Matlab berikut

f unc t i on S = ddex1his t ( t )S = ones ( 3 , 1 ) ;end

38

CHAPTER 12. DELAY DIFFERENTIAL EQUATION 39

4. Definisikan waktu delay-nya sebagai

l a g s = [ 1 , 0 . 2 ]

5. Selesaikan DDE dengan memanggil dde23, dan gunakan interval[0 5

],

sebagai input

s o l=dde23 (@ddex1de , lags , @ddex1hist , [ 0 , 5 ] ) ;

Fungsi dde23 menghasilkan solusi yang kontinu pada interval penginte-gralan

[t0 tf

].

6. Gambar solusi yang diperoleh dari fungsi dde23,menggunakan kode berikut

p lo t ( s o l . x , s o l . y ) ;t i t l e ( ’An␣example␣ o f ␣Wil le ␣and␣Baker ’ ) ;x l ab e l ( ’ time␣ t ’ ) ;y l ab e l ( ’ s o l u t i o n ␣y ’ ) ;l egend ( ’y_1 ’ , ’y_2 ’ , ’y_3 ’ , ’ Locat ion ’ , ’ NorthWest ’ ) ;

7. Hitung solusi pada 10 buah titik yang sama sepanjang interval integrasi,dan gambar hasilnya dari sol.y, gunakan kode berikut

t i n t = l i n s p a c e ( 0 , 5 , 1 0 ) ;S int = deval ( so l , t i n t )hold onp l o t ( t in t , Sint , ’ o ’ ) ;

8. Jalankan program untuk memperoleh gambar dari solusi berikut.

Part IV

PDE Toolbox

40

Chapter 13

Solusi PDP denganScript-Function

13.1 Tutorial

1. Pada praktikum ini akan dipraktekkan cara mencari solusi dari persamaandifusi

π2 ∂u

∂t=∂2u

∂x2pada {0 ≤ x ≤ 1, t ≥ 0} (13.1.1)

dengan kondisi awal dan kondisi batas

u (x, 0) = sin (πx) (13.1.2)u (0, t) = 0 (13.1.3)

∂

∂xu (1, t) = −π exp (−t) (13.1.4)

2. Tulis ulang persamaan differensial (13.1.1) dalam bentuk

c

(x, t, u,

∂u

∂x

)∂u

∂t= x−m

∂

∂x

(xmf

(x, t, u,

∂u

∂x

))+ s

(x, t, u,

∂u

∂x

)sehingga diperoleh

π2 ∂u

∂t= x0

∂

∂x

(x0∂u

∂x

)+ 0 (13.1.5)

41

CHAPTER 13. SOLUSI PDP DENGAN SCRIPT-FUNCTION 42

dengan

m = 0

c

(x, t, u,

∂u

∂x

)= π2

f

(x, t, u,

∂u

∂x

)=

∂u

∂x

s

(x, t, u,

∂u

∂x

)= 0

3. Tuliskan juga kondisi batas (13.1.4) dalam bentuk

p (x, t, u) + q (x, t) f

(x, t, u,

∂u

∂x

)= 0

sehingga diperoleh

πe−t +∂

∂xu (1, t) = 0

4. Tuliskan suku c, f, dan s sebagai fungsi Matlab berikut

f unc t i on [ c , f , s ]=pdex1pde (x , t , u ,DuDx)c=pi ^2;f=DuDx;s=0;

5. Tuliskan kondisi awal (13.1.2) dalam fungsi Matlab berikut

f unc t i on u0=pdex1ic ( x )u0=s i n ( p i ∗x ) ;

dan kondisi batas (13.1.3) dan (13.1.4) sebagai

f unc t i on [ pl , ql , pr , qr ]=pdex1bc ( xl , ul , xr , ur , t )p l=ul ;q l =0;pr=pi ∗exp(−t ) ;qr=1;

6. Pilih bentuk titik-titik diskrit yang akan digunakan, yaitu

x=l i n s p a c e ( 0 , 1 , 2 0 ) ;t=l i n s p a c e ( 0 , 2 , 5 ) ;

7. Untuk mencari solusinya gunakan fungsi pdxpe dengan setting sebagai berikut


m=0;s o l=pdepe (m, @pdex1pde , @pdex1ic , @pdex1bc , x , t ) ;

8. Tampilkan output program dengan menggunakan kode berikut

u=s o l ( : , : , 1 ) ;s u r f (x , t , u ) ;t i t l e ( ’ Numerical ␣ s o l u t i o n ␣computed␣with␣20␣mesh␣ po in t s ’ )x l ab e l ( ’ Distance ␣x ’ )y l ab e l ( ’Time␣ t ’ )

9. Setelah dijalankan akan muncul grafik berikut

10. Tampilkan sebuah profil solusi pada tf = 2, dan gunakan kode berikut

f i g u r ep l o t (x , u ( end , : ) )t i t l e ( ’ So lu t i on ␣ at ␣ t ␣=␣2 ’ )x l ab e l ( ’ Distance ␣x ’ )y l ab e l ( ’u (x , 2 ) ’ )

11. Jalankan kembali program dan akan muncul gambar berikut


13.2 Latihan

1. Selesaikan persamaan differensial berikut menggunakan cara seperti padatutorial diatas

utt = 2uxx {0 < x < 10, t > 0}

dengan kondisi awal dan kondisi batas

u (x, 0) = x, ut (x, 0) = 0 (13.2.1)

u (0, t) = u (l, t) = 0 (13.2.2)

2. Gambarkan solusi yang diperoleh ke dalam sebuah grafik dengan menggu-nakan fungsi surf .

Chapter 14

Solusi PDP denganPDE-Toolbox

1. Sebagai contoh, kita akan menentukan solusi persamaan Laplace 2D padadomain persegi panjang berikut

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0, {0 < x < 1, 0 < y < 1} (14.0.1)

dengan kondisi batas Dirichlet,

u (x, 0) = u (x, 1) = 0 (14.0.2)u (0, y) = 0 (14.0.3)u (1, y) = 1 (14.0.4)

2. Buka PDE-Toolbox menggunakan perintah

pdetoo l

sehingga muncul gambar berikut

45

CHAPTER 14. SOLUSI PDP DENGAN PDE-TOOLBOX 46

3. Atur domain atau daerah asal dari pdp (14.0.1) menggunakan menuDraw →Rectangle/Square, kemudian klik sebarang dalam kotak kemudian seretsehingga diperoleh hasil seperti gambar berikut

4. Selanjutnya double-klik pada kotak R1 dan lakukan pengaturan pada jen-dela popup yang muncul sebagaimana berikut


5. Atur Axis menggunakan menu Option→ Axis limit dan centang checklistAuto seperti gambar berikut

6. Jika pengaturannya benar, maka hasilnya adalah seperti gambar berikut


7. Tentukan model pde dengan menggunakan menu PDE → Specify pde

8. Berikutnya atur kondisi pada batas dengan klik menuBoundary → boundarymode.Selanjutnya aturBoundary → Specify boundary conditions supaya memenuhipersamaan (14.0.2), (14.0.3), dan (14.0.4).

9. Selanjutnya gunakan menu Mesh → Initializemesh sehingga diperolehgambar berikut

10. Berikutnya gunakan menu Solve→ Solve PDE sehingga diperoleh gambarberikut


11. Selanjutnya klik menu Plot→ Selection

12. Lakukan pengaturan sebagaimana pada gambar berikut


13. Sehingga muncul gambar berikut

14. Untuk melihat solusi dalam bentuk angka, pilih menu Solve→ Export solutionsehingga tampil gambar berikut

Chapter 15

Sistem PDP

1. Pada praktikum ini, akan ditunjukkan cara mencari solusi sistem pdp meng-gunakan toolbox Matlab pdxpe.

2. Contoh sistem pdp yang akan diselesaikan adalah

∂u1∂t

= 0.024∂2u1∂x2

− F (u1 − u2)

∂u2∂t

= 0.170∂2u1∂x2

+ F (u1 − u2)

dengan F (y) = exp (5.73y)−exp (−11.46y) . Daerah asal untuk sistem pdptersebut 0 ≤ x ≤ 1 dan untuk t ≥ 0.

3. Kondisi awal dan kondisi batas yang harus dipenuhi oleh sistem tersebutadalah

u1 (x, 0) = 1

u2 (x, 0) = 0

dan

∂

∂xu1 (0, t) = 0

u2 (0, t) = 0

u1 (1, t) = 1

∂

∂xu2 (1, t) = 0

52

CHAPTER 15. SISTEM PDP 53

4. Tuliskan sistem pde diatas dalam bentuk berikut[11

]. ∗ ∂

∂t

[u1u2

]=

∂

∂x

[0.024 (∂xu1)0.170 (∂xu2)

]+

[−F (u1 − u2)F (u1 − u2)

]

kata pengantar - matematika.uin-malang.ac.idmatematika.uin-malang.ac.id/download/2015/modul ppk i m....

Documents