A. Kalkulus Variasi

1. Sebuah kelereng yang meluncur tanpa rotasi akibat pengaruh gaya gravitasi melalui sebuah lintasan di bidang (x,y) sebagaimana diilustrasikan pada Gambar dengan kecepatan awal v=0, x=0 dan y=0. Carilah kurva yang merupakan lintasan yang ditempuh dengan waktu yang paling minimum.

(x1, y1)

(x2, y2)

g

y

x

Penyelesaian

Misalkan kelajuan sesaat kelereng tersebut diberikan oleh v sehingga jarak infinitesimal yangditempuhnya diberikan oleh dx = vdt atau dt = dx/v dimana

Jika kelereng tersebut memiliki kondisi awal v = 0 pada y = 0 , maka berdasarkan prinsip kekekalan energi mekanik diketahui bahwa :

22 dydxdx

0221 mgymvE

sehingga: gyv 2

Lintasan waktu minimun yang dicari maka bentuk fungsionalnya adalah

vdsdtI /

Ambil y sebagai variabel bebas maka fungsi terkaitnya adalah

dyyx

gI

y

y

2

1

2,121

Dengan demikianyxF2,1

Substitusi fungsi F kedalam persamaan Euler

0,

xF

yxF

dimana

2,

2,

,1

0xy

xxFdan

xF

diperoleh

Dengan mengatur kembali persamaan di atas didapat

cos21 2 ycc

xy

x

2,

,

1

22

2

2

1y

cyydy

yccdydx

Integralkan kedua ruas diperoleh (lihattabel integral)

bycarcycyx 222 21cos

Untuk mengetahui bentuk solusi (v) secara parametrik dengan sudut θ sebagai parameternya, dapat dilakukan dengan memperkenalkan hubungan

Mengakibatkan (buktikan)

sin212

22 c

ycy

Berdasarkan bentuk tersebut maka x dan y secara parametrik dapat dinyatakan

cos21,sin

21

22 c

yc

x