kalkulus untuk statistika fak mipa

Mulyana

KALKULUS UNTUK

STATISTIKA

BUKU AJAR

UNIVERSITAS PADJADJARAN FAKULTAS MIPA

JURUSAN STATISTIKA

BANDUNG 2005

10 5 0 5 10

11.81

5.91

5.91

11.81

f x( )

g x( )

x

10 5 0 5 10

8.05

4.03

4.03

8.05

gx( )

hx( )

x

i

Kata Pengantar

Diktat ini disusun dalam upaya pengadaan bahan ajar Kalkulus I di

Fakultas Teknik Universitas Pasundan, mengingat mata kuliah ini merupakan

mata kuliah dasar keakhlian, sehingga materi kuliah yang diberikan diharapkan

dapat mendukung para mahasiswa Fakultas Teknik Universitas Pasundan dalam

mempelajari materi kuliah ilmu-ilmu teknik yang banyak memerlukan

pemahaman ilmu kalkulus. Selain itu, karena mata kuliah Kalkulus ini merupakan

salah satu mata kuliah yang diberikan pada kelas-kelas paralel, yang diajarkan

oleh beberapa dosen, sehingga keragaman materi dan pencapaian materi

kemungkinannya cukup besar. Oleh karena itu, dengan adanya diktat ini

diharapkan keragaman tersebut dapat diperkecil.

Penulis merasa materi pada diktat ini masih belum sempurna, sehingga

kritik dan saran untuk perbaikan dan penyempurnaannya sangat diharapkan,

karena editing akan selalu dilakukan setiap waktu, agar diktat ini dapat dijadikan

acuan sebagai bahan ajar mata kuliah Kalkulus untuk mahasiswa fakultas teknik.

Kritik, saran, dan bantuan pemikiran dari semua pihak sehingga terwujudnya

diktat ini, dan harapan untuk menjadikan diktat ini sebagai acuan materi

perkuliahan, sekali lagi sangat diharapkan, dan diucapkan banyak terima kasih

atas semua kerja-samanya.

Bandung , Oktober 2004

Penulis

ii

DAFTAR ISI

Halaman

Kata Pengantar i

Daftar Isi ii

BAB I PENDAHULUAN 1

I.1. Struktur Bilangan 1

I.2. Sistem Bilangan Riil 2

I.3. Kalimat Matematis 4

I.4. Persamaan Linier 5

I.5. Persamaan Kuadrat 5

I.6. Bentuk-Bentuk Pertidaksamaan 8

I.6.1. Pertidaksamaan Linier 8

I.6.2. Pertidaksamaan Irasional 9

I.6.3. Pertidaksamaan Pangkat Dua atau Lebih 11

I.6.4. Pertidaksamaan Pecahan 13

I.6.5. Pertidaksamaan Yang Mengandung Nilai Mutlak 15

BAB II FUNGSI DAN GRAFIK 19

II.1. Deskripsi Fungsi 19

II.2. Gambar Fungsi 21

II.3. Fungsi Komposisi 23

II.4. Beberapa Bentuk Fungsi 24

II.4.1. Fungsi Linier 24

II.4.2. Fungsi Kuadrat 29

II.4.3. Fungsi Pangkat 33

II.4.4. Fungsi Logaritma 33

II.4.4. Fungsi Siklometri (fungsi goniometri , fungsi trigonometri) 34

II.5. Fungsi Irisan Kerucut 39

II.5.1. Lingkaran 39

II.5.2. Ellips 42

II.5.3. Hiperbola 43

iii

BAB III LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI 46

III.1. Cara menghitung nilai limit 46

III.2. Dalil-Dalil Limit Fungsi 48

III.3. Limit Kiri , Limit Kanan 50

III.4. Kekontinuan Fungsi 52

BAB IV TURUNAN (DIFERENSIASI) 54

IV.1. Arti Turunan Fungsi 55

IV.2. Dalil Dasar Untuk Turunan 55

IV.3. Turunan Fungsi Implisit 58

IV.4. Turunan dan Kekontinuan Fungsi 59

IV.5. Turunan Orde Tinggi 60

IV.6. Nilai Ekstrim Fungsi 61

IV.7. Beberapa Penggunaan Turunan 63

1

BAB I

SISTEM BILANGAN

Bilangan adalah sebuah aksioma, sehingga tidak perlu didefinisikan. Untuk

menyatakan sebuah bilangan digunakan lambang bilangan, yang berupa himpunan benda

sejenis yang ada di sekitar kita. Misalnya bilangan lima, dapat dilambangkan oleh lima jari

atau lima buah benda sejenis. Untuk keperluan perhitungan, digunakan gambar lambang

bilangan yang dinamakan dengan angka. Angka inilah yang digunakan sebagai “wakil

bilangan”. Misal pernyataan 5 + 2 = 7. Dalam hal ini, 5, 2 dan 7, bukan sebagai angka,

tetapi sebagai wakil dari bilangan “lima”, “dua” dan “tujuh”.

I.1. Struktur Bilangan

Bilangan dapat dikelompokan atas himpunan,

1. Bilangan asli : {1 , 2 , 3 , . . . }

2. Bilangan cacah : {0 , 1 , 2 , 3 , . . . }

Pada himpunan bilangan ini didefinisikan bilangan prima, yaitu bilangan yang hanya

habis dibagi oleh dirinya sendiri. Misal : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . .

3. Bilangan bulat : { . . . , −3 , –2 , −1 , 0 , 1 , 2 , 3 , . . . }

Bilangan yang berada di “sebelah kiri” 0 atau bilangan yang lebih kecil dari 0,

dinamakan bilangan negatif. Yang di “kanannya” atau bilangan yang lebih besar dari

0, dinamakan bilangan positif.

4. Bilangan real yang terdiri atas bilangan rasional dan bilangan irasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat disajikan dalam bentuk ba

, b tidak sama

dengan 0 (ditulis b ≠ 0), dengan a dan b bilangan bulat. Bilangan rasional jika disajikan

dalam bilangan desimal, yaitu bilangan yang disajikan dengan menggunakan tanda koma

(,) jika nilainnya antara 0 dengan 1. Maka pada desimalnya (bilangan disebelah kanan

tanda koma) terjadi pengulangan bilangan atau “terhenti”pada 0. Misalnya,

...142857142857,072 = , ...333,1

34 = , ...2500,0

41 = , 3 = 0,000…

2

Dalam bilangan rasional, pernyataan ba

, b ≠ 0, jika a lebih kecil dari b (ditulis a < b),

dinamakan pecahan murni, sedangkan jika a lebih besar dari b (ditulis a > b),

dinamakan pecahan campuran, sebab bentuknya dapat disajikan atas bilangan bulat

dan pecahan murni, misalnya : 31

134 = . Bilangan yang tidak memiliki ciri seperti

bilangan rasional dinamakan bilangan irasional.

Bilangan irasional merupakan kawan (komplemen) dari bilangan rasional. Bilangan

irasional jika disajikan dalam bilangan desimal, maka pada desimalnya tidak akan terjadi

pengulangan. Yang termasuk bilangan irasional diantaranya,

1. π = 3,141592654…, yang biasa diidentikan dengan 722

,

2. bilangan eksponensial e = 2,7182818…, yang biasa diidentikan dengan 3,

3. bilangan akar yang tidak dapat dirasionalkan, misalnya 2 , 5 , dan sejenisnya

5. Bilangan kompleks, yaitu bilangan yang disajikan oleh :

a + ib

dengan a dan b bilangan real, i = 1− yang dinamakan bilangan imaginer.

Pada sajian ini a dinamakan bagian real dan b bagian imaginer.

Jika dibangun struktur bilangan, maka bentuknya akan seperti pada Gambar I.1.

3

Gambar I.1

Struktur Bilangan

Jika dinotasikan, N = himpunan bilangan asli, C = himpunan bilangan cacah,

Z = himpunan bilangan bulat, Q = himpunan bilangan rasional, I = himpunan bilangan

irasional, R = himpunan bilangan real, dan K = himpunan bilangan kompleks, maka berlaku

hubungan,

1. C = N ∪ {0}

2. Q ∩ I = φ

3. R = Q ∪ I

4. N ⊂ C ⊂ Z ⊂ R ⊂ K

I.2. Sistem Bilangan Real

Dalam matematika, yang disebut dengan sistem, adalah himpunan tidak kosong yang di

dalamnya dilibatkan operasi terhadap anggota himpunannya. Pada himpunan bilangan real,

operasi antar anggotanya adalah, perkalian (notasinya, x atau . ), yang memiliki kawan,

pembagian (notasinya, : atau ÷ ), dan perjumlahan (notasinya, + ) yang memiliki kawan,

pengurangan (notasinya, −−−− ). Pada proses perhitungan, operasi perkalian harus

bilangan kompleks

bilangan imaginer

bilangan real

bilangan irasional

bilangan rasional

bilangan pecahan

bilangan bulat

bilangan bulat negatif

bilangan cacah

bilangan nol (0)

bilangan asli

4

didahulukan dari operasi perjumlahan, kecuali jika operasi perjumlahan itu ada didalam

tanda kurung, sedangkan operasi perkalian dengan pembagian, dan perjumlahan dengan

pengurangan, sifatnya setara, artinya mana yang lebih dulu disajikannya. Jadi yang

dimaksud dengan sistem bilangan real adalah himpunan bilangan real yang di

dalammya dilibatkan operasi-operasi x dan +.

Sistem bilangan real merupakan sitem bilangan yang banyak digunakan dalam

perhitungan sehari-hari dan persoalan terapan. Operasi dalam sistem bilangan real memiliki

sifat :

1. Tertutup.

Jika a dan b bilangan real, maka a x b (ditulis ab) dan a + b juga bilangan real.

2. Komutatif.

Jika a dan b bilangan real, maka ab = ba , dan a + b = b + a .

3. Asosiatif.

Jika a , b , dan c bilangan real, maka a(bc) = (ab)c , dan a + (b + c) = (a + b)

4. Distributif.

Jika a , b , dan c bilngan real, maka a(b + c) = ab + ac

Sifat asosiatif dan distributif menyatakan bahwa operasi dalam tanda kurung harus

selalu didahulukan.

5. Trikhotomi.

Jika a dan b bilangan real, maka hanya satu dari tiga hubungan di bawah ini yang

berlaku.

1) a = b,

2) a > b yang berarti : a – b positif ( a – b > 0),

3) a < b yang berarti : a – b negatif ( a – b < 0),

Sifat trikhotomi ini menyimpulkan, jika a dan b bilangan real, maka kemungkinannya

a = b atau a � b. Dan jika a � b, maka kemungkinannya a < b atau a > b.

Dalam sistem bilalangan real, disajikan pula pernyataan a ≥ b, atau a ≤ b. Perbedaan arti

dari sajian a ≥ b dengan a > b, (a ≤ b dengan a ≤ b) adalah : jika a < b (a > b) artinya a

dengan b murni tidak sama. Tetapi untuk a ≤ b (a ≥ b) tidak murni tidak sama,

artinya ada kemungkinan a = b.

5

Sebagai implikasi dari sifat trikhotomi, maka berlaku hubungan

1) a + b > 0, jika a > 0, b > 0,

a + b < 0, jika a < 0, b < 0,

ab > 0, jika a > 0, b > 0, atau a < 0, b< 0

ab < 0, jika a > 0, b < 0, atau a < 0, b > 0.

2) untuk setiap bilangan real c,

(1) a + c > b + c, jika a > b,

(2) a + c < b + c, jika a < b,

(3) jika a > b, maka ac > bc, jika c > 0. Dan ac < bc, jika c < 0,

sebaliknya,

jika a < b, maka ac < bc, jika c > 0. Dan ac > bc, jika c < 0.

6. Adanya unsur satuan

Definisi

s dinamakan unsur satuan dari x terhadap operasi *, jika s*x = x atau x*s = x.

Dalam sistem bilangan real, unsur satuan terhadap perkalian (x) adalah 1, dan terhadap

perjumlahan (+) adalah 0.

7. Adanya unsur kawan

Definisi

k dinamakan unsur kawan dari x terhadap operasi *, jika k*x = s atau x*k = s, s unsur

satuan.

Dalam sistem bilangan real, unsur kawan dari x terhadap perkalian adalah : x1

(x-1), dan

terhadap perjumlahan : –x.

Berdasarkan unsur kawan ini, berlaku pernyataan

x : y = x ��

��

�

y1

= yx

dan

x – y = x + (−y).

6

I.3. Kalimat Matematis

Kalimat matematis adalah kalimat yang memiliki nilai salah atau benar. Jika nilainya

dapat ditentukan secara langsung tanpa sebuah proses perhitungan, maka kalimat matematis

dinamakan kalimat tertutup. Sedangkan jika tidak langsung (nilainya harus dicari melalui

sebuah proses perhitungan) dinamakan kalimat terbuka.

Contoh

Kalimat tertutup : 2 + 3 = 5

3 x 6 < 20

Kalimat terbuka : x + 3 = 5

3x < 20

Dalam sistem bilangan real, yang termasuk kalimat tertutup adalah kesamaan dan

ketidaksamaan, sedangkan kalimat terbuka persamaan dan pertidaksamaan.

Gambar I.2

Struktur Kalimat Matematis

Sifat trikhotomi merupakan perwujudan (implemantion) dari kalimat tertutup dalam

sistem bilangan real. Sebab jika ada dua bilangan real a dan b, maka kemungkinannya,

a sama dengan b (a = b), atau a tidak sama dengan b a ≠ b (a ≠ b). Dalam hal a ≠ b,

kemungkinannya, a > b atau a < b.

Bentuk ketidaksamaan, a > b (a < b), dinamakan ketidaksamaan murni, sedangkan ba ≥ ,

(a ≤ b) dinamakan ketidaksamaan tidak murni.

Karena nilai dari kalimat tertutup dapat ditentukan secara langsung, sehingga untuk

menentukan jawabnya tidak diperlukan perhitungan atau analisis tertentu, maka tidak ada

KALIMAT MATEMATIS

KALIMAT TERBUKA

KALIMAT TERTUTUP

KESAMAAN KETIDAK-SAMAAN

PERSAMAAN PERTIDAK-SAMAAN

7

pembahasan lanjut tentang kalimat tertutup. Pembahasan lanjut dilakukan hanya untuk

kalimat terbuka, yaitu persamaan dan pertidaksamaan, sebab untuk menentukan jawabnya

diperlukan perhitungan tertentu.

Sudah dikemukakan, dalam sistem bilangan riil, yang termasuk dalam kalimat terbuka

adalah persamaan, yaitu kalimat terbuka yang melibatkan tanda sama dengan (=), dan

pertidaksamaan yaitu kalimat terbuka yang melibatkan tanda tidak sama dengan

(> , ≥ , < , ≤).

Dalam persamaan atau pertidaksamaan,

1. Bagian di sebelah kiri tanda = , > , ≥ , < atau ≤ , dinamakan ruas kiri, dan disebelah

kanannya, ruas kanan,

2. Lambang yang memiliki nilai, dengan nilainya ditentukan atau diperoleh melalui sebuah

proses perhitungan, sehingga persamaan menjadi kesamaan atau pertidaksamaan

menjadi ketidaksamaan, dinamakan variabel,

3. Nilai variabel yang menyebabkan persamaan atau pertidaksamaan bernilai benar,

dinamakan jawab, akar, solusi atau penyelesaian.

Dalam buku ajar ini, akan digunakan kata jawab, sebagai hasil perhitungan dari persamaan

atau pertidaksamaan yang bernilai benar.

I.4. Beberapa Bentuk Persamaan

Sudah dikemukakan, persamaan adalah kalimat matematis terbuka yang melibatkan

tanda =. Untuk mencari jawab sebuah persamaan, lakukan langkah-langkah sebagai berikut,

1. Ruas kanan disama dengankan 0,

2. Jika dimungkinkan, maka faktorkan ruas kiri atas faktor-faktor linear. Jika tidak, maka

lakukan analisis ciri.

3. Berdasarkan hasil faktorisasi atau analisis ciri, tentukan jawab persamaan.

8

I.4.1. Persamaan Linear

Persamaan linear merupakan persamaan yang bentuknya paling sederhana. Bentuk

umum persamaannya adalah

ax + b = 0

dengan a ≠ 0 dan b, bilangan real. x variabel. Jawab dari persamaan ini adalah,

x = −ab

Contoh 1.

Tentukan jawab persamaan 2x – 3x2 + 1 = 5x – 3x2 – 7

Jawab :

Ruas kanan disama dengankan 0 � 2x – 3x2 + 1 − 5x + 3x2 + 7 = 0 � −3x + 8 = 0

Sehingga jawab persamaannya : x = −3

8−

= 38

= 32

2

I.4.2. Persamaan Kuadrat

Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah

0cbxax 2 =++

dengan a ≠ 0 , b dan c bilangan real. x variabel.

Jawab dari persamaan kuadrat dapat diperoleh dengan cara

1. Metode faktorisasi.

Konsepsinya,

(1) faktorkan hasil kali a dengan c, dengan jumlah kedua faktornya sama dengan b.

a x c = d = d1 x d2 , d1 + d2 = b,

(2) ubah persamaan kuadrat menjadi ax2 + d1x + d2x + c = 0

(3) lakukan perhitungan sebagai kerikut.

ax2 + d1x + d2x + c = (ax2 +d1x) + (d2x + c) = ax(x + ad1 ) + d2(x +

2dc

) = 0

Karena a x c = d1 x d2 yang identik dengan ad1 =

2dc

= e , maka

(ax + d2)(x + e) = 0

9

Sehingga jawabnya,

ax + d2 = 0 � x1 = a

d 2−

x + e = 0 � x2 = −e = ad1−

2. Dengan menggunakan rumus.

Konsepsinya, jika x1 dan x2 jawab persamaan kuadrat, maka dipenuhi hubungan :

a2ac4bb

x2

21

−±−=., .

dalam formulasi tersebut, b2 – 4ac = D , dinamakan diskriminan.

Nilai diskriminan dapat digunakan untuk menentukan ciri dari jawab persamaan. Jika

1) D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua jawab bilangan real,

2) D = 0 maka persamaan memiliki satu jawab bilangan real,

3) D < 0 maka persamaan memiliki jawab bilangan kompleks.

Contoh 2.

Tentukan jawab dari persamaan 2x2 – 3x – 2 = 0 !

Jawab :

Dengan cara faktorisasi:

(2) x (−2) = −4 = (−4) x (1) , sebab (−4) + (1) = −3 .

Jika dihubungkan dengan teorinya : a = 2 , d1 = −4 , d2 = 1 , maka jawabnya

x1 = a

d 2− = 21−

x2 = ad1− =

24−− = 2

Dengan menggunakan rumus :

D = (-3)2 – 4(2)(-2) = 25 > 0,

jadi persamaan kuadrat memiliki jawab dua bilangan real, yaitu

10

( )( ) 4

5322

253x 21

±=±−−=.,

24

53x1 =+=

21

453

x 2 −=−=

Jadi jawab persamaan 2x2 – 3x – 2 = 0 adalah, x = 2 dan x = 21− .

Jika disajikan dalam sebuah bentuk himpunan, maka himpunan jawabnya,

H = {21− . 2}.

Dari rumus untuk mencari jawab persamaan kuadrat 0cbxax 2 =++ , yaitu

a2ac4bb

x2

2.1

−±−= , yang berarti a2

ac4bbx

2

1

−+−= dan a2

ac4bbx

2

2

−−−= .

Maka diperoleh hubungan

1) ab

a2b2

a2ac4bb

a2ac4bb

xx22

21 −=−=−−−+−+−=+

2) ( ) ( )

( ) ��

�

�

��

�

� −−−=��

�

�

��

�

� −−−��

�

�

��

�

� −+−= 2

22222

21a2

ac4bba2

ac4bba2

ac4bbx.x

( )

ac

a4ac4

a4ac4bb

22

22

==−−=

Yang menyimpulkan bahwa, jika x1 dan x2 jawab persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka

berlaku hubungan

1) ab

xx 21 −=+

2) ac

x.x 21 = .

11

Contoh 3.

Jika x1 dan x2 jawab persamaan 3x2 + 2x – 1 = 0 , maka dengan tidak menghitung nilai-

nilainya, hitunglah

a) x12 + X2

2 !

b) x12 – x2

2 !

Jawab :

a) ( )9

1032

94

31

232

xx2xxxx2

212

212

22

1 =+=��

��

� −−��

��

�−=−+=+

b) ( )( ) ( ) ��

��

�−��

�� −=+−=−

32

xxxxxxxx 2212121

22

21

2221

21 xxx2x

32 +−−=

( )32

910

32

31

29

1032

xx2xx32

212

22

1 +−=��

��

� −−−=−+−=

98

916

32

−=−=

Contoh 4.

Bangun persamaan kuadrat yang jumlah nilai jawabnya sama dengan 3, dan hasil kalinya

sama dengan –2 !

Jawab :

Jika dimisalkan bentuk persamaannya ax2 + bx + c = 0 dan x1 , x2 , maka

x1 + x2 = −ab

= 3 � b = −3a

x1x2 = ac

= −2 � c = −2a

sehingga persamaan yang dicari

ax2 – 3x –2a = 0.

Karena a ≠ 0 maka kedua ruas dari persamaan dapat dibagi oleh a , sehingga bentuk

persamaan kuadratnya,

x2 – 3x –2 = 0

12

Contoh 5.

Bangun persamaan kuadrat yang jawab-jawabnya lebih besar 2 dari persamaan

−3x2 + 4x –2 = 0

Jawab :

Jika dimisalkan x1 , x2 jawab persamaan

−3x2 + 4x –2 = 0 ,

dan y1 , y2 jawab persamaan kuadrat yang akan dibangun dengan persamaan

ay2 + by + c = 0 ,

maka

y1 + y2 = −ab

= (x1 + 2)(x2 + 2) = (x1 + x2) + 4 = −3

4−

+ 4 = 3

16 � b = −

316

a

y1y2 = ac

= (x1 + 2)(x2 +2) = x1x2 + 2(x1 + x2) + 4 = −32

−−

+ 2 ��

��

�

−−

34

+ 4 = 3

22

� c = 3

22a

Sehingga bentuk persamaan yang dicari adalah

0a3

22ay

316

ay2 =+− .

Karena a � 0, jika persamaan dibagi a dan dikalikan 3 , maka persamaan kuadrat yang dicari,

022y16y3 2 =+− ,

atau

022x16x3 2 =+−

jika variabelnya disajikan oleh x

Definisi

Bentuk kuadrat ax2 + bx + c, dinamakan

1) definit positif, jika ax2 + bx + c > 0, untuk sembarang nilai x.

Hal ini akan terjadi jika D = b2 – 4ac < 0 dan a > 0.

2) definit semi positif, jika ax2 + bx + c � 0, untuk sembarang nilai x.

Hal ini terjadi jika D = b2 – 4ac � 0 dan a > 0.

3) definit negatif, jika ax2 + bx +c < 0, untuk sembarang nilai x.

Hal ini terjadi jika D = b2 – 4ac < 0 dan a< 0

13

4) definit semi positif, jika ax2 + bx +c � 0, untuk sembarang nilai x.

Hal ini terjadi jika D = b2 – 4ac � 0 dan a< 0

I.4.3. Persamaan Polinom

Persamaan anxn + an-1xn-1 + . . . + a1x + a0 = 0, dengan n � 3 dan an � 0, dinamakan

persamaan polinom berderajat n. Menyelesaikan persamaan ini, tidak sesederhana dan

semudah seperti menyelesaikan persamaan kuadrat atau persamaan linear, karena untuk

memfaktorkan ruas kiri tidak ada acuan khusus. Salah satu acuan yang dapat digunakan

(walaupun belum tentu mudah prosesnya), adalah faktor dari konstanta persamaan (a0).

Contoh 6

Tentukan jawab persamaan 6x3 – 13x2 + 4x + 3 = 0

Jawab :

a0 = 3 = 3 x 1 = −3 x − 1

Jika disubtitusikan x = 1 ke ruas kiri � 6(1)3 – 13(1)2 + 4(1) + 3 = 6 – 13 + 4 + 3 = 0 maka

x - 1 salah satu faktor dari 6x3 – 13x2 + 4x + 3.

Untuk mencari faktor yang lainnya,

1) bagi 6x3 – 13x2 + 4x + 3 oleh (x – 1) � (6x3–13x2+4x+3) : (x–1) = 6x2–13x–3

2) faktorkan 6x2 – 13x – 3 � 6x2 – 13x – 3 = (2x – 3)(3x + 1).

Sehingga faktorisasi persamaan : 6x3 – 13x2 + 4x + 3 = (x – 1)(2x – 3)(3x + 1) = 0

dan jawabnya

x – 1 = 0 � x1 = 1

2x – 3 = 0 � x2 = 23

= 121

3x + 1 = 0 � x3 = 31−

Contoh 7

Tentukan jawab persamaan 2x3 − 7x2 + 7x − 5 = 0

Jawab :

a0 = −5 = 5 x −1 = −5 x 1.

Jika disubtitusikan ke ruas kiri :

x = 1 � 2(1)3 − 7(1)2 + 7(1) – 5 = 2 – 7 + 7 – 5 = −3 � 0

14

x = −1 � 2(−1)3 – 7(−1)2 + 7(−1) – 5 = −2 – 7 – 7 – 5 = −21 � 0

x = 5 � 2(5)3 – 7(5)2 + 7(5) – 5 = 250 – 175 + 35 – 5 = 105 � 0

x = −5 � 2(−5)3 – 7(−5)2 + 7(−5) – 5 = −250 – 175 – 35 – 5 = −465 � 0

Jadi tidak ada jawab persamaan yang merupakan bilangan bulat.

Jika menelaah hasil perhitungan, nilai persamaan untuk x = −5 dengan x = 5 berbeda tanda.

Artinya, dalam selang −5 < x < 5, ada nilai x yang menyebabkan persamaan sama dengan 0.

Jika disubtitusikan x = 25

ke ruas kiri, maka diperoleh hasil

2(25

)3 – 7(25

)2 + 7(25

) – 5 = 4

125 −

4175

+ 2

35 − 5 = 0

Yang berarti, (x − 25

) adalah salah satu faktor persamaan.

Sehingga faktorisasinya, 2x3 − 7x2 + 7x − 5 = (x − 25

)(x2 – x + 1).

Jika dihitung, determinan dari bentuk kuadrat x2 – x + 1, D = (−1)2 − 4(1)(1) = −3 < 0,

dan koefisien kuadratnya, a = 1 > 0. Sehingga bentuk kuadrat (x2 – x + 1) definit positif,

atau x2 – x + 1 > 0, untuk setiap nilai x.

Sehingga jawab persamaan 2x3 − 7x2 + 7x − 5 = 0 adalah : x = 25

.

Untuk menyelesaikan persamaan polinom berderajat n, n � 3, jika sulit dilakukan secara

“manual”, dapat digunakan perangkat lunak komputer (software), diantaranya Mathcad.

Mathcad adalah perangkat lunak komputer untuk membantu perhitungan dalam persoalan

Matematika dan terapannya. Program ini sangat berguna bagi para profesional, pendidik,

dan mahasiswa, yang sering menggunakan kalkulus untuk menyelesaikan persoalan terapan.

Karena program ini memiliki kemampuan yang tinggi, dalam proses penyelesaiannya.

Sebagai sebuah spreadsheet, cukup sederhana dalam penggunaannya.

Misalnya untuk mencari jawab persamaan

2x4 - x3 + 3x2 - x -2 = 0.

Jika dilakukan secara “manual”, prosesnya tidak sederhana dan memerlukan waktu yang

cukup lama. Sedangkan jika diselesaikan dengan menggunakan Mathcad 2000, maka

prosesnya cukup sederhana, sebagai berikut.

15

1. “Jalankan” program Mathcad 2000, sehingga diperoleh tampilan seperti di bawah ini.

2) “Tutup” tampilan Resource Centre, sehingga tampilan menjadi seperti di bawah ini.

3) Pada “ruang editor” (bidang putih yang ada “ponter” +) secara berurut tulis

f(x) � 2x4 - x3 + 3x2 - x -2

x � (tulis sembarang nilai)

soln � root(f(x),x), selanjutnya klik � pada fungsi Evaluati…

soln =

Catatan

tanda �, dapat diperoleh dengan mengkliknya pada fungsi Calculator atau

Evaluati…

16

Dari tampilan spreadsheet, diperoleh himpunan jawabnya

H = {0,885 , -0,578 , 0,097 + 1,349i , 0,097 - 1,349i}

I.5. Bentuk-bentuk Pertidaksamaan

Sudah dikemukakan, pertidaksamaan adalah kalimat matematis yang melibatkan tanda

>, �, <, atau �. Menentukan jawab sebuah pertidaksamaan identik dengan penyelesaian

sebuah persamaan, yaitu

1) ruas kanan disama dengankan 0,

2) jika memungkinkan, lakukan faktorisasi ruas kiri. Jika tidak, lakukan telaah ciri,

3) gunakan garis bilangan, yaitu garis yang titik-titiknya merupakan wakil dari bilangan

real,

4) tentukan daerah tanda pada garis bilangan,

5) tentukan daerah tanda yang sesuai dengan pertidaksamaannya.

Di bawah ini disajikan beberapa bentuk pertidaksamaan yang sering muncul dalam

persoalan sehari-hari atau terapan.

I.5.1. Pertidaksamaan Linear

Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan yang variabel-variabel pada setiap

ruasnya berderajat satu, dan pertidaksamaan ini merupakan pertidaksamaan yang paling

sederhana bentuk dan penyelesaiannya.

17

Contoh 8.

Tentukan harga x yang memenuhi pertidaksamaan 5x – 3 < 2x + 9 !

Jawab :

5x – 3 < 2x + 9 � 5x – 2x < 9 + 3 � 3x < 12 � x <4

Jawab pertidaksamaan,

x < 4 .

Jika disajikan pada garis bilangan

) 4

Contoh 9.

Tentukan himpunan jawab dari pertidaksamaan 3x + 2 ≤ 7x + 10 !

Jawab :

3x + 2 ≤ 7x + 10 � 3x – 7x ≤ 10 – 2 � −4x ≤ 8 � x ≥ 2

Jadi himpunan jawabnya,

H = { x | x ≥ 2 } .

Jika disajikan pada garis bilangan

[ 2

Contoh 10.

Tentukan harga x yang memenuhi pertidaksamaan 3x – 2 ≤ 4x + 1 ≤ 6x - 3 !

Jawab :

Karena semua ruas memuat variabel, sebaiknya dilakukan pemecahan jawaban yang

selanjutnya dilakukan penggabungan, sebagai berikut

18

[

3

( 2

Jawab pertidaksamaan adalah irisan kedua garis bilangan, yaitu :

x ≥ 3 .

I.5.2. Pertidaksamaan Irasional

Pertidaksamaan irasional adalah pertidaksamaan yang satu atau beberapa suku

variabelnya berada di bawah tanda akar, sehingga untuk mencari jawabnya harus

diperhatikan syarat dari suku di bawah tanda akarnya, agar diperoleh nilai dalam bilangan

real. Prinsip mencari jawab dari pertidaksamaan ini, adalah dengan mengubah suku

irasional menjadi rasional, yang salah satu diantaranya melalui proses pengkuadratan.

Contoh 11.

Selesaikan pertidaksamaan 52x3 <− !

Jawab :

Agar nilai dari 2x3 − real, maka harus dipenuhi syarat : 3x – 2 ≥ 0 � x ≥ 2 � x ≥ 32

Untuk penyelesaian pertidaksamaannya, kuadratkan kedua ruasnya. Karena suku pada

masing-masing ruas positif, maka tanda pertidaksamaan tidak berubah.

3x – 2 � 4x + 1 < 6x – 3

3x – 2 � 4x + 1 3x – 4x � 1 + 2

−x � 3 x � 3

4x + 1 < 6x – 3 4x – 6x < −3 – 1

−2x < −4 x > 2

19

2x3 − < 5 � ( )22x3 − < 52 � 3x – 2 < 25 � 3x < 25 + 2 � x < 9

Jika kedua jawab digabungkan dengan menggunakan garis bilangan,

[

32

) 9 maka himpunan jawabnya

�

�� <≤= 9x

32

xH

Contoh 12.

Untuk harga-harga x manakah yang memenuhi pertidaksamaan 4x33x2 −<− ?

Jawab :

Syarat untuk suku di bawah tanda akar agar diperoleh bilangan real

2x – 3 ≥ 0 � x ≥ 23

(1)

3x – 4 ≥ 0 � x ≥ 34

(2)

Untuk penyelesaian pertidaksamaannya. Karena ruas kiri dan ruas kanan merupakan

bilangan positif, maka jika keduanya dikuatdratkan, tidak akan mengubah tanda

pertidaksamaan.

( ) ( )224x33-2x 4x33x20 −<�−<−< � 2x – 3 < 3x – 4 � 2x – 3x < -4 + 3

� −x < −1 � x > 1 (3)

20

Jika ketiga jawab, (1), (2), dan (3), digabungkan dengan menggunakan garis bilangan

[

23

[

34

( 1

maka himpunan jawabnya : �

�� ≥=

23

xxH .

Contoh 13.

Tentukan harga x yang memenuhi pertidaksamaan 11x6x <−−+ !

Jawab :

Syarat untuk unsur di bawah tanda akar

x + 6 ≥ 0 � x ≥ -6 (1)

x – 1 ≥ 0 � x ≥ 1 (2)

Penyelesaian pertidaksamaannya

( ) ( )

( ) ( ) (3) 10 x 91 x 31x 31x

61x2 x1x26 x 1x1x216 x

1x16x 1x16x 11x6x

22

22

>�>−�>−�>−�

>−�+−<+�−+−+<+�

−+<+�−+<+�<−−+

[

−6

[ 1

( 10

sehingga himpunan jawabnya : H = { x | x > 10 }

21

I.5.3 Pertidaksamaan Polinom

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan polinom, dapat dilakukan dengan proses sebagai

berikut

1. Jadikanlah ruas kanan sama dengan 0 , dan pangkat variabel yang paling tinggi

koefisiennya positif.

2. Unsur di ruas kiri, jika mungkin uraikan atas faktor-faktor linier, dan hitung nilai-nilai

yang menyebabkan faktor-faktor sama dengan 0 (nilai ini dinamakan nilai nol).

3. Sajikan nilai-nilai nol pada garis bilangan, dan lakukan uji tanda untuk menentukan

daerah himpunan jawab, dengan cara sebagai berikut :

3.1. ambil sebuah nilai yang bukan nilai nol dan subtitusikan ke ruas kiri.

3.2 perhatikan tanda dari nilai yang diperoleh, positif (+) atau negatif (-).

3.3 tandai daerah di mana nilai yang diambil tersebut berada dengan tanda yang

diperoleh, dan tanda berubah jika melewati nilai nol yang berasal dari faktor

berpangkat ganjil, sedangkan jika berasal dari faktor berpangkat genap tanda

tetap.

Contoh 14.

Tentukan himpunan jawab dari pertidaksamaan 5x2 – 4x + 11 < 2x2 + 6x + 8 !

Jawab :

5x2 – 4x + 11 < 2x2 + 6x + 8 � 5x2 – 4x + 11 – 2x2 – 6x – 8 < 0

� 3x2 – 10x + 3 < 0 � (3x – 1)(x – 3) < 0

Nilai-nilai nolnya :

3x – 1 = 0 � x = 31

x – 3 = 0 � x = 3

Ambil sembarang nilai x yang tidak sama dengan 31

dan 3. Misalnya x = 0.

Subtitusikan x = 0 ke ruas kiri :

(3x – 1)(x – 3) = (3.0 – 1)(0) – 3) = 3 > 0

yang berarti daerah di sebelah kiri 31

bertanda + , antara 31

dan 3 bertanda −, dan di sebelah

kanan 3 bertanda + , sehingga gambar daerah tandanya :

22

+ + + − − − + + +

31

3

Karena tanda pertidaksamaannya < 0 , jadi himpunan jawabnya

�

�� <<= 3x

31

xH .

Contoh 15.

Tentukan harga x yang memenuhi pertidaksamaan (x2 – 4x + 3)(x2 – 3x – 10) > 0

Jawab :

(x2 – 4x + 3)(x2 – 3x – 10) > 0 � (x –2 )2(x –5)(x + 2) > 0


x – 2 = 0 � x = 2

x – 5 = 0 � x = 5

x + 2 = 0 � x = -2

Gambar daerah tandanya :

+ + + - - - - - - + + +

−2 2 5

Karena tanda pertidaksamaan > 0 , jadi himpunan jawabnya

H = { x x <−2 } ∪ { x x > 5 }

Contoh 16.

Tentukan batas-batas harga x yang memenuhi pertidaksamaan

3x2 – x + 10 > x2 + 2x - 2

Jawab :

3x2 – x + 10 > x2 + 2x – 2 � 3x2 – x +10 – x – 2x + 2 > 0 � 2x2 – 3x + 12 > 0

Karena bentuk kuadrat 2x2 – 3x + 12, memiliki ciri diskriminannya :

D = (-3)2 – 4(2)(12) = -87 < 0

23

koefisien kuadratnya :

a = 2 > 0,

maka bentuk kuadrat 2x2 – 3x + 12 definit positif, 2x2 – 3x + 12 > 0 untuk setiap nilai x.

Sehingga himpunan jawabnya,

H = { x x bilangan real }.

I.5.4. Pertidaksamaan Pecahan

Pertidaksamaan pecahan adalah pertidaksamaan yang merupakan sebuah pecahan atas

suku-suku. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini prosesnya sebagai berikut,

1. Ruas kanan disama dengankan 0

2. Lakukan perhitungan di ruas kiri sehingga diperoleh sebuah bentuk pecahan atas suku-

suku, yang selanjutnya ubah menjadi bangun perkalian.

3. Faktorkan bangun perkalian tersebut (jika bisa), dan tentukan nilai-nilai nolnya.

4. Sajikan nilai-nilai nol pada garis bilangan dan lakukan penentuan daerah tanda.

Contoh 17.

Tentukan harga x yang memenuhi pertidaksamaan 64x53x2 ≤

+−

!

Jawab :

( )0

45x2728x

045x

45x632x 06

45x32x

64x53x2 ≤

+−−

�≤+

+−−�≤−

+−

�≤+−

⇔ (−28x – 27)(5x + 4) ≤ 0

Nilai nolnya :

−28x – 27 = 0 � x = −2827

= −140135

5x + 4 = 0 � x = −54

= −140112

24

Gambar daerah tanda

− − − + + + − − −

2827−

54−

sehingga himpunan jawabnya, �

�� −≥

�

�� −≤=

54

xx2827

xxH �

Contoh 18.

Selesaikan pertidaksamaan 6x5x

3x23x2

−+≤

−+

!

Jawab :

( )( ) ( )( )( )( ) 0

6x3x23x25x6x32x

06x5x

3x23x2

6x5x

3x23x2 ≤

−−−+−−+

�≤−+−

−+

�−+≤

−+

( )( )( ) ( )( )

( )( )( ) 06x3x2316x

06x3x2

3x16 0

6x3x215x7x218x9x2

22

≤−−−−⇔

≤−−

−−�≤

−−−+−−−

�


−16x – 3 = 0 � x = 163−

2x – 3 = 0 � x = 23

x – 6 = 0 � x = 6

Gambar daerah tandanya

+ + + − − − + + + − − −

163−

23

6

sehingga himpunan jawabnya, { }6xx23

x163

xH ≥�

�� ≤≤−= �

25

Contoh 19.

Tentukan himpunan jawab untuk pertidaksamaan 36x5x

11x52 −≤

+−−

!

Jawab :

( )( )( ) 0

2x3x6x5x3115x

036x5x

11x5 3

6x5x11x5 2

22 ≤−−

+−+−�≤+

+−−

�−≤+−

−

( )( )( )( )( )( ) 0

2x3x1x7x3

02x3x7x10x3 2

≤−−−−

�≤−−+−

(3x – 7)(x – 1)(x – 3)(x – 2) ≤ 0

Nilai nolnya :

3x – 7 = 0 � x = 37

x – 1 = 0 � x = 1

x – 3 = 0 � x = 3

x – 2 = 0 � x = 2

Gambar daerah tandanya

+ + + − − − + + + − − − + + +

1 2 37

3

Sehingga himpunan jawabnya, { }�

�� ≤≤≤≤= 3x

37

x2x1xH �

I.5.5. Pertidaksamaan Yang Mengandung Nilai Mutlak

Nilai mutlak dari x , ditulis x , didefinisikan sebagai berikut

��

��

<=>

=0 xjika ,x -0 xjika , 0

0 xjika , x

x

Berdasarkan definisi tersebut berarti nilai mutlak dari suatu bilangan riil adalah bilangan

positif atau 0. Sebagai contoh, 3 = 3 , −3 = −(−3) = 3.

26

Secara ilmu ukur x adalah jarak dari x ke 0 pada garis bilangan real.

x x

-x 0 x

Gambar I.3 Sajian ilmu ukur dari x

Sifat-sifat dari nilai mutlak

1. Untuk setiap bilangan real x , berlaku hubungan :

1) x ≥ 0

2) x = −x

3) x2 = x2 = x2

2. Untuk setiap bilangan real x dan y , berlaku hubungan :

1) x = y ⇔ x = ±y ⇔ x2 = y2

1) x − y = y − x

3) x + y ≤ y + x dan x − y ≤ x + y

4) x −y ≤ x − y dan x − y = x − y

5) xy = xy dan y

x

yx =

3. Untuk setiap bilangan real x dan a ≥ 0 , berlaku hubungan :

1) x ≤ a , a > 0 ⇔ −a ≤ x ≤ a ⇔ x2 ≤ a2

2) x ≥ a , a > 0 ⇔ x ≥ a atau x ≤ -a ⇔ x2 ≥ a2

Berdasarkan telaahan dari nilai mutlak tersebut, proses penyelesaian pertidaksamaan

yang mengandung nilai mutlak, adalah dengan mengubah pertidaksamaan menjadi

pertidaksamaan yang tidak mengandung nilai mutlak. Selanjutnya penyelesaian

pertidaksamaan dilakukan berdasarkan bentuk kasusnya. Menghilangkan nilai mutlak

dalam pertidaksamaan dilakukan dengan memperhatikan sifat-sifat dari nilai mutlak seperti

yang telah dikemukakan.

27

Contoh 20.

Tentukan himpunan jawab pertidaksamaan

a. x2 − x ≤ 2

b. x2 – x −1 ≥ 1

Jawab :

a. x2 − x ≤ 2 ⇔ −2 ≤ x2 – x ≤ 2

−2 ≤ x2 – x ≤ 2

−2 ≤ x2 – x x2 – x ≤ 2 � −2 – x2 + x ≤ 0 � x2 – x + 2 ≥ 0 � x2 – x –2 ≤ 0 � (x – 2)(x + 1) ≤ 0 Karena bentuk kuadrat x2 – x + 2 Nilai nol : x – 2 = 0 � x = 2

diskriminannya : D=(−1)2– 4(1)(2) = −7<0 x + 1 = 1 � x = −1 koefisien kuadratnya : a = 1 > 0 Gambar daerah tandanya yang berarti pertidaksamaan

x2 – x + 2 ≥ 0, selalu benar, + + + − − − + + + atau himpunan jawabnya, −1 2

H1 = { xx bilangan riil }. sehingga himpunan jawabnya, H2 = { x−1 ≤ x ≤ 2 }.

Karena H1 ∩ H2 = H2 , jadi himpunan jawab pertidaksamaan x2 −x ≤ 2 adalah

H2 = { x−1 ≤ x ≤ 2 }

28

b. x2 – x − 1 ≥ 1 ⇔ x2 – x – 1 ≥ 1 atau x2 – x – 1 ≤ −1

x2 – x − 1 ≥ 1

x2 – x – 1 ≥ 1 x2 – x – 1 ≤ −1 � x2 – x – 1 – 1 ≥ 0 �x2 – x – 2 ≥ 0 � x2 – x – 1 + 1≤ 0 � x2 – x ≤ 0

� (x –2)(x + 1) ≥ 0 � x(x – 1) ≤ 0 Nilai nol : x – 2 = 0 � x = 2 Nilai nolnya : x = 0 x + 1 = 0 � x = −1 x – 1 = 0 � x = 1 Gambar daerah tandanya Gambar daerah tandanya

+ + + - - - + + + + + + - - - + + + −1 2 0 1 himpunan jawabnya, himpunan jawabnya, H1 = { xx ≤ −1 } ∪ { xx ≥ 2 } H2 = { x0 ≤ x ≤ 1 }

Jika kedua himpunan jawab diiriskan dengan menggambarkan daerah tandanya

+ + + - - - + + +

−1 2

+ + + - - - + + +

0 1

maka himpunan jawab pertidaksamaan x2 – x − 1 ≥ 1 adalah himpunan kosong, H = φ.

Sehingga tidak ada nilai x memenuhi pertidaksamaan x2 – x − 1 ≥ 1

Contoh 21.

Selesaikanlah pertidaksamaan 1x2x

1xx

+−≤

−

29

Jawab :

( )( )( ) ( )

( )( )

0 1x2x

1xx

1x2x

1xx

1x2x

1xx

1x2x

1xx

1x2x

1xx

2

2

2

2

2

2

2

2

2222

≤+−−

−�

+−≤

−

��

��

�

+−≤�

�

��

�

−��

�

��

�

+−≤��

�

��

�

−�

+−≤

−

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ){ } ( )( ){ }( ) ( )

( ){ } ( )( ){ }[ ] ( ){ } ( )( ){ }[ ]( ) ( )

( ){ } ( ){ }( ) ( )

( )( )( ) ( ) 0

1x1x1x2x21x4

01x1x

1x2xxxx1x2xxxx

01x1x

1x2x1xx1x2x1xx

01x1x

1x2x1xx 0

1x1x1x2x1xx

22

2

22

2222

22

22

22

22

2222

≤+−

+−−�

≤+−

+−−+++−−−+�

≤+−

−−++−−−+�

≤+−

−−−+�≤

+−−−−+

�


1) 4x –1 = 0 � x = 41

(1)

x – 1 = 0 � x = 1 (2)

(x + 1)2 = 0 � x + 1 = 0 � x = −1 (3)

2) 2x2 – 2x + 1 = 0.

Karena bentuk kuadrat 2x2 – 2x + 1 memiliki nilai diskriminan

D=(−2)2 – 4(2)(1) = −4 <0

dan nilai koefisien kuadrat

a > 0,

maka 2x2–2x+1 > 0, untuk setiap nilai x.

Sehingga gambar daerah tandanya

− − − − − − + + + + + +

-1 41

1

dan himpunan jawabnya, �

�� ≤=

41

xxH

30

Jika kita menelaah proses penyelesaian sebuah pertidaksamaan, yang pada dasarnya

adalah, bagaimana menentukan nilai nol dari ruas kiri, setelah ruas kanan disama dengankan

nol ? Maka jika diinginkan menyelesaikan sebuah pertidaksamaan dengan menggunakan

program Mathcad, identik dengan menyelesaikan sebuah persamaan dari bentuk ruas

kirinya, yang dilanjutkan dengan menentukan daerah tandanya.

SOAL-SOAL UNTUK LATIHAN

1. Bentuk pembagian ba

, dengan a � 0, terdefinisikan, jika b � 0.

Bukti : Jika 0a

= b, maka a = 0.b = 0.

Hal ini kontradiktif dengan ketentuan bahwa a � 0

Selanjutnya tunjukan bahwa bentuk pembagian, 00

juga tidak terdefinisikan.

2. Dalil fundamental dalam ilmu hitung (aritmetika) : Setiap bilangan asli merupakan hasil

perkalian dari bilangan prima.

Makna dari dalil tersebut, untuk menunjukan apakah bilangan asli merupakan bilangan

prima, adalah dengan memfaktorkannya atas bilangan-bilangan prima. Jika memiliki

lebih dari satu faktor bilangan prima, maka bilangan asli itu bukan bilangan prima.

Misal : 4 = 2.2 , 24 = 2.2.2.3 , 95 = 5.19 , dan sejenisnya, bukan bilangan prima.

Untuk bilangan-bilangan di bawah ini, mana yang merupakan bilangan prima

a) 240 b) 119 c) 1723 d) 5433 e) 12771 f) 155711 g) 57655

3. Menunjukan bahwa 2 bilangan irasional dengan pembuktian kontradiktif.

Misalkan 2 adalah bilangan rasional, sehingga dapat disajikan 2 = ba

, a dan b

bilangan asli yang tidak sama dengan 1, b � 0. Jika kedua ruas dikuadratkan, maka 2

= 2

2

ba

� 2b2 = a2 � a2 = 2.b.b

Berdasarkan dalil fundamental, kuadrat bilangan asli dapat disajikan dalam perkalian

atas bilangan prima yang bersifat tunggal, dengan banyaknya bilangan prima masing-

masing genap.

31

Dari sajian, a2 = 2.b.b

1) jika b bilangan asli ganjil, maka banyaknya bilangan prima 2 dalam perkalian hanya

satu, ganjil

2) jika b bilangan asli genap, b = 2.b1 � a2 = 2.2.b1.2.b1 = 2.2.2.b1.b1 , maka bilangan

prima 2 dalam perkalian ada tiga, ganjil

Karena a2 kuadrat bilangan asli, jadi kontradiksi dengan dalil fundamental, atau 2

bukan bilangan rasional.

Untuk bilangan-bilangan di bawah ini, tunjukan bahwa merupakan bilangan irasional,

dengan mengunakan kontradiktif dalil fundamental

a) 3 b) 5 c) 12 d) 18 e) 15 f) 10 g) 30

4. Tunjukan bahwa

a) Jika a dan b bilangan rasional, maka c = a.b , bilangan rasional.

Apakah hal ini berlaku untuk bilangan irasional ? Lakukan analisisnya !

b) Jika a bilangan rasional dan b bilangan irasional, maka c = a.b , bilangan irasional.

c) Jika a bilangan rasional, a � 0, dan b bilangan irasional, maka c = a.b , bilangan

irasional.

5. Tunjukan bahwa jika a > 0, b > 0, maka

a) a < b jika dan hanya jika a2 < b2

b) a < b jika dan hanya jika a1

> b1

6. Tunjukan bahwa jika a < b , maka a < 2

ba +< b !

7. Tentukan jawab persamaan-persamaan di bawah ini

a) 2x3 – 3x2 = 5 + 7x – 3x2 + 2x3

b) 4x3 + 2x2 – 3x + 5 = 3x2 + 7x + 4x2 – 3

c) 2x3 – 3x2 – 6x + 1 = −2 + 2x + 2x2 – 4x3

d) 3 – 3x + 2x2 – 2x3 + 2x4 = x3 + 9x2 – 15x + 7

e) 5x2 – x3 + x + 3 = x3 – 2x2 – 3x + 3

32

8. Jika x1 dan x2 jawab persamaan 2x2 + 3x + 4 = 0, maka dengan tidak menghitung nilai-

nilai x1 dan x2 , hitunglah

a) x13 − x2

3

b) x13 + x2

3

c) x14 − x2

4

d) x14 + x2

4

e) x12 – 2x1x2 + x2

2

9. Jika ditetapkan persamaan kuadrat 3x2 – 2x + 3 = 0, maka bangun persamaan kuadrat

yang jawab-jawabnya

a) dua kali lebih besar

b) lebih besar dua

c) dua kali lebih besar dan lebih besar dua

10. Tentukan jawab pertidaksamaan-pertidaksamaan di bawah ini

a) x3 – 2x2 – 3x + 2 � −4 + 2x + 3x – x3

b) 2x5 – 3x4 + 2x3 < 6x4 – 9x3 -2x2 + 12x – 8

c) 2x1x

−−

− 2xx6

+−

≤ −2x

15−

d) 2x + 5 ≤ −2x3

3xx2 2

−−−

e) 1x3

11x5x6 2

+++

> 1x2

3x

+−

f) 2x

2x9x5 2

−−+

+ 2x

1x

+−

� 4x

1x2 −

−

g) 2x1x

−−

+ 1x3x2 2 +− � 2x

15−

h) 2x + 5 − 2xx6

+−

> 3 – 2x

33

11. Tunjukan bahwa

a) x < y jika dan hanya jika x2 < y2

b) Jika a > b > 0 maka a > b

c) a + b + c ≤ a + b + c

d) Jika x ≤ 2 maka 1x

7x2x2

2

+++

≤ 15

e) Jika x � 0 maka x2 + 2x1

� 2

f) Jika a � 0 dan b � 0 maka ab ≤ 2

ba +

g) 2x

13x

12 +

++

≤ 3x

12 +

+ 2x

1+

≤ 31

+ 21

h) 9x2x

2 +−

≤ 9

2x +

i) x < x2 jika x < 0 atau x >1, dan x > x2 jika 0 < x < 1

j) Jika a � 0 bilangan rasional dan b bilangan irasional, maka a + b dan ab adalah

bilangan irasional.

34

BAB II

FUNGSI REAL DAN GRAFIKNYA

Fungsi adalah bentuk khusus dari relasi (perkawanan) antara dua buah himpunan tidak

kosong. Jika kedua himpunan yang direlasikan, dengan relasinya membangun sebuah

fungsi, adalah himpunan bilangan real, maka fungsi dinamakan fungsi real. Pada bab ini

akan disajikan deskripsi dan konsepsi pada fungsi real.

II.1. Deskripsi Fungsi

Fungsi dari himpunan X ke himpunan Y, adalah sebuah relasi (perkawanan) dengan

cara, setiap anggota himpunan X hanya dikawankan (dipasangkan) dengan satu dan hanya

satu kali dengan anggota himpunan Y.

Sebagai ilustrasi perhatikan gambar-gambar di bawah ini,

Gambar II.1 Gambar II.2

Relasi yang merupakan fungsi Relasi yang bukan fungsi [Sebab setiap anggota X hanya [Sebab ada anggota X yang memiliki memiliki satu kawan] kawan lebih dari satu ]

Untuk menyatakan sebuah fungsi dari himpunan X ke himpunan Y, dapat digunakan

salah satu dari bentuk notasi di bawah ini,

Tabel II.1 Bentuk-bentuk Notasi Fungsi

Notasi Panah Persamaan Ekplisit Persamaan Implisit

f : X → Y x → y

Y = f(X) f (X , Y) = 0

x1

x2

x3

x4

x5

X Y

y1

y2

y3

x1

x2

x3

x4

x5

X Y

y1

y2

y3

Z Z

35

Dalam deskripsi fungsi tersebut, X disebut Domain (daerah asal) dan Y Kodomain (daerah

kawan). Sedangkan himpunan Z yang merupakan himpunan bagian dari Y, dengan setiap

anggotanya adalah kawan dari X, disebut Range (daerah harga, daerah peta).

Misalnya fungsi seperti pada Gambar 1, rangenya : Z = {y1 , y2 , y3}.

Berdasarkan kondisi dari range dan cara perkawanannya, fungsi dibedakan atas

1. Fungsi ke dalam (into), yaitu fungsi dengan rangenya merupakan himpunan bagian

murni dari kodomain.

2. Fungsi pada (onto), yaitu fungsi dengan rangenya sama dengan kodomain.

3. Fungsi satu-Satu (one to one), yaitu fungsi dengan setiap anggota X dan Y hanya

memiliki satu dan hanya satu pasangan.

Fungsi satu-satu ini dibedakan atas fungsi satu-satu pada dan fungsi satu-satu ke

dalam.

Untuk ilustrasi perhatikan gambar-gambar di bawah ini


f : X → Y , fungsi kedalam f : X → Y , fungsi pada [sebab ada anggota Y yang tidak memiliki kawan] [sebab setiap anggota Y memiliki kawan]

X Y

Z

X Y

Z

36


f : X → Y , fungsi satu-satu ke dalam f : X → Y , fungsi satu-satu pada

Setiap fungsi yang merupakan fungsi satu-satu pada, akan memiliki fungsi invers.

Definisi

Jika

f : X → Y

xi → yi

fungsi satu-satu pada, maka fungsi

g : Y → X,

yi → xi

dinamakan fungsi invers dari f, ditulis : f −1

Misal, jika

X = { x | x bilangan real , x ≥ 0 } dan Y = { y | y bilangan real , y ≥ 0 },

maka fungsi

f : X → Y x → y = x2

adalah fungsi satu-satu pada, dan fungsi inversnya

f -1 : Y → X y → x = y

x1

x2

.

.

.

xk

y1

y2 . . . yn

Z

X Y

x1

x2

.

.

.

xk

y1

y2 . . . yn

Z

X Y

f

f -1

37

II.2. Sistem Salib Sumbu

Setiap bentuk fungsi dapat digambarkan sajian hubungan elemen domain dengan

kodomainnya. Untuk menggambarkannya diperlukan sebuah media, yang dinamakan

sistem salib sumbu, yaitu dua garis berpotongan tegak lurus, yang masing-masing titiknya

menyajikan bilangan riil. Sumbu datar, dinamakan sumbu absis, dinotasikan dengan X, dan

“berperan” sebagai domain. Sedangkan sumbu tegak, dinamakan sumbu ordinat,

dinotasikan dengan Y, dan “berperan” sebagai kodomain. Titik potong sumbu absis dengan

ordinat dinamakan titik pusat, dan dinotasikan dengan O.

Pasangan nilai berurut (x0 , y0), dengan x0 nilai pada sumbu absis, dan y0 pada sumbu

ordinat, dinamakan koordinat. x0 dinamakan absis, dan y0 ordinat. Koordinat seperti ini

dinamakan koordinat kartesius.

Gambar II.7 Sistem Koordinat Kartesius

O=(0,0) sumbu absis x0

y0 T=(x0,y0)

Y

X

sum

bu o

rdin

at

38

X

Selanjutnya perhatikan gambar di bawah ini.

r : jarak antara titik O = (0 , 0) dengan titik T = (x0 , y0), r = OT.

φ : sudut antara sumbu-X dengan garis OT, yang diukur dari sumbu-X ke garis OT dengan berlawanan arah gerak jarum jam.

Gambar II.9 Sistem Koordinat Polar

Koordinat titik T yang disajikan dalam pasangan r dengan φ,

T = (r , φ),

dinamakan Koordinat Polar.

Dengan menggunakan goneometri, dapat diformulasikan hubungan antara koordinat

polar dengan koordinat kartesius. Jika (r,φ) koordinat polar dari koordinat kartesius (x0,y0),

maka

r = 20

20 yx + dan tg φ =

0

0

xy

.

Koordinat polar dapat digunakan sebagai koordinat alternatif, jika analisis dengan

menggunakan koordinat kartesius sulit diselesaikan.

II.3. Diagram dan Grafik

Gambar dari fungsi dinamakan Grafik, jika bentuknya sebuah garis atau lengkungan.

Sedangkan jika sebuah pencaran titik, disebut Diagram.

Misalnya, fungsi dari himpunan X = {-2 , -1 , 0 , 1 , 2} ke himpunan Y = {0 , 1 , 2 , 3 , 4}

dengan bentuk

f : X → Y x → y = x2

φ

r

y0

Y

x0 O

T=(x0,y0)

39

maka diagramnya

Y • 4 - • 3 - 2 - • 1 - • • X -2 -1 0 1 2

Gambar II.7 Diagram fungsi f : x → y = x2

Sedangkan jika X = {x x bilangan riel}, Y = {y y bilangan riel}, dan bentuk fungsinya

2 xy x

Y X : f

=→

→

maka grafiknya

Y 4 - 3 - 2 - 1 - X -2 -1 0 1 2

Gambar 8 Grafik fungsi f : x → y = x2

Menggambarkan grafik fungsi, jika dilakukan secara “manual”, maka prosesnya

sebagai berikut.

40

1. Menentukan titik-titik yang dilalui oleh grafik.

a. Titik-titik tertentu, misalnya titik potong dengan sumbu koordinat, titik ekstrim,

titik simetris dan sejenisnya.

b. Titik-titik sembarang, yang dapat dilakukan dengan menentukan sembarang nilai x,

dan mensubtitusikannya ke persamaan fungsi. Prosesnya dapat dilakukan melalui

sebuah tabel perhitungan

Misal untuk fungsi y = x2.

x y = x2 Koordinat Titik -2 (-2)2 = 4 (-2 , 4) -1 (-1)2 = 1 (-1 , 1) 1,5 (1,5)2 = 2,25 (1,5 , 2,25) dst

2. Menggambarkan koordinat titik-titik yang dilalui grafik.

3. Menghubungkan titik-titik yang digambarkan pada langkah pertama,

Tingkat “akurasi” dan “estetika” grafik yang digambarkan secara “manual”, sangat

bergantung pada pengalaman dan keahlian menggambar dari si-pembuat-nya. Untuk

mendapatkan gambar grafik fungsi yang bagus, tanpa diperlukan pengalaman dan daya

estetika, dengan proses cukup sederhana adalah dengan menggunakan program komputer

Mathcad. Langkah-langkah menggambarkan grafik fungsi dengan Mathcad 2000 :

1. “Jalankan” program Mathcad 2000, sehingga diperoleh tampilan

41

2) “Tutup” tampilan Resource Centre, sehingga diperoleh tampilan

3) Pada “pointer” + tulis persamaan fungsi yang akan digambarkan dengan formulasi

f(x) � “persamaan fungsi”

Tanda �, dapat diperoleh dengan mengkliknya pada fungsi Calculator atau

Evaluati…

Misal fungsi yang akan digambarkan, Y = 2x2 – 3x + 1. Formulasi penulisan pada

“bidang editor” seperti di bawah ini.

42

4) “Klik” gambar grafik yang ada pada sudut kiri atas “kotak Graph” (lihat tanda panah),

sehingga diperoleh tampilan

5) Pada “kotak hitam kecil” di bawah “kotak putih besar”, tulis : x, dan f(x) yang ada di

sebelah kirinya.

6) “Klik” persamaan fungsi, sehingga diperoleh tampilan

tulis : x tulis : f(x)

klik persamaan fungsi setelah menulis x dan f(x) di kotak hitam kecil

pada kotak putih klik dua kali untuk formating grafik

43

7) “Klik” dua kali pada kotak putih yang ada gambar grafik f(x), untuk formating grafik,

8) Lakukan formating grafik sehingga diperoleh gambar yang bagus, menurut si pembuat.

Misalnya seperti tampilan di bawah ini.

44

II.4. Fungsi Komposisi

Jika f : X → Y , fungsi dari himpunan X ke Y, dan g : Y → Z , fungsi dari himpunan Y

ke Z, yang merelasikan elemen-elemen dari range fungsi f, dengan elemen himpunan Z.

Maka fungsi h : X → Z disebut fungsi komposisi dari f dengan g, ditulis

h = f o g atau h = f(g)

f ff f g

f o g

X Y Z

Gambar II.10 Diagram fungsi komposisi

Sebagai contoh, jika

f : X → Y x → y = x2 dan g : Y → Z y → z = Sin y maka

fog : X → Z x → z = Sin x2

Sajian tersebut jika dalam persamaan eksplisit adalah :

22

XSin Z YSin Z

X Y =�=

=

45

II.4. Operasi Pada Fungsi

Karena nilai dari fungsi real adalah bilangan real, maka himpunan dari fungsi real yang

tidak kosong, yang di dalamnya dilibatkan operator perkalian dan perjumlahan, merupakan

sebuah sistem bilangan real. Sehingga jika dimiliki dua buah fungsi atau lebih, dengan

domain dan kodomain yang sama, maka dapat dilakukan proses perkalian, perjumlahan, atau

kombinasi keduanya, beserta operasi kawannya. Domain dan kodomain fungsi hasil operasi

adalah irisan dari domain dan range fungsi komponennya.

Perhatikan ilustrasi di bawah ini.

Gambar II.11 Konsepsi Operasi Fungsi

Jika f(x), fungsi dari himpunan A ke himpunan B ; dan g(x), fungsi dari himpunan V ke

himpunan W ; maka operasi f(x) dengan g(x) yang disajikan oleh f(x)*g(x), adalah fungsi

dari himpunan M = A∩V ke himpunan N = B∪W.

Sebagai contoh, jika

f(x) = x2 , domain = {−∞ < x < ∞} , kodomain = {x � 0}

g(x) = Sin x , domain = {−π � x � π} , kodomain = {−1 � x � 1}

dan dilakukan operasi fungsi, H(x) = f(x) + g(x) dan I(x) = f(x).g(x), yang jika digambarkan

grafiknya dengan Mathcad, hasilnya seperti di bawah ini

f(x)

g(x)

f(x)*g(x)

X

A

B

V W

M N

Y

46

3.14 0 3.14

4

4

f x( )

g x( )

H x( )

I x( )

x

II.5. Beberapa Bentuk Fungsi

II.5.1. Fungsi Linear

Fungsi linear (atau fungsi pangkat satu) jika disajikan dalam persamaan eksplisit

bentuknya :

Y = aX + b

dan dalam persamaan implisit bentuknya :

aX + bY + c = 0

Domain, kodomain, dan range dari fungsi linear adalah himpunan bilangan real, dan fungsi

ini merupakan fungsi satu-satu pada, dengan fungsi inversnya

ab

Xa1

Y −=

Fungsi linear biasa juga disebut persamaan garis, karena grafiknya merupakan garis

lurus.

f(x) = x2

g(x) = Sin x

H(x) = f(x) + g(x)

I(x) = f(x).g(x)

Pada gambar tersurat, untuk

fungsi H(x) dengan I(x),

domain = {−π � x � π}

kodomain = {−∞ < x < ∞}.

47

Y = aX + b

Gambar II.12

Grafik fungsi linear

Pada persamaan eksplisit, Y = aX + b, jika φ sudut antara sumbu-X dengan grafik fungsi,

maka

a = Tg φ

dinamakan Koefisien Arah atau Gradient. Sedangkan φ disebut Sudut Arah.

Dalam persamaan implisit,

aX + bY + c = 0

koefisien arah grafik fungsi sama dengan ba− , dan koordinat titik potong grafik dengan

sumbu-Y : ��

��

� −bc

,0 .

Cara menggambarkan grafik fungsi linear ada dua cara, yaitu berdasarkan

1) dua titik yang dilalui grafik

2) nilai koefisien arah dan sebuah titik yang dilalui grafik.

Contoh soal 1.

Gambarkan grafik fungsi Y = 2X − 3 !

Jawab :

1. Jika berdasarkan dua titik yang dilalui grafik, maka ambil dua nilai sembarang dari X

dan hitung nilai Y sesuai dengan persamaan fungsinya, misalnya :

X −2 1 Y 2(−2) – 3 = −7 2(1) – 3 = −1

φ X

Y

(0,b)

φ sudut antara grafik fungsi dengan sumbu-X, diukur dari sumbu-X berlawanan arah gerak jarum jam (0,b) titik potong grafik fungsi dengan sumbu-Y

48

garis arah

Y

-2 1

X

-1 (1 , -1)

-7

2. Jika berdasarkan nilai koefisien arah dan sebuah titik yang dilalui grafik, maka

1) gambarkan garis arah dengan sudut arah φ, yang nilai koefisien arahnya 2,

Tg φ = 2.

2) tentukan sebuah titik yang dilalui grafik, dan untuk kemudahan ambil titik

potong grafik dengan sumbu-Y, (0 , -3),

3) gambarkan garis yang sejajar garis arah dan melalui titik potong tersebut

Y

2

φ

1 X

(0 , -3)

(2 , -7)

49

Berdasarkan cara menggambarkan grafiknya, membangun persamaan fungsi linear,

dapat dilakukan berdasarkan

1. dua titik yang dilalui grafik

2. nilai koefisien arah dan sebuah titik yang dilalui grafik.

Persamaan fungsi linear jika melalui titik (x0 , y0) dan (x1 , y1) adalah

01

0

01

0

xxxX

yyyY

−−=

−−

Jika disajikan dalam persamaan eksplisit, bentuknya menjadi

01

1001

01

01

01

0010

01

0001

01

0100

01

01

01

01

xxxyxy

Xxxyy

xxxyxy

xxxyxy

Xxxyy

yxxxyy

Xxxyy

Y

−−

−−−

=

−−+

−−−

−−=+

−−−

−−=

Sedangkan persamaannya jika nilai koefisien arah, a dan melalui titik (x0 , y0) adalah,

Y – y0 = a(X – x0)

Yang jika disajikan dalam persamaan eksplisit, bentuknya

Y = aX – ax0 +y0 = aX – (ax0 – y0)

Contoh soal 2.

Tentukan persamaan fungsi linear, jika grafiknya

a. melalui titik-titik (-1 , 2) dan (2 , -3)

b. memiliki koefisien arah –2 dan melalui titik (2 , 3)

Jawab :

a. 3

1X52Y

)1()2()1(X

)2()3()2(Y +=

−−

�−−−−=

−−−

� (3)(Y – 2) = (−5)(X + 1) �

Y – 6 = −5X – 5 � 5X + 3Y – 6 + 5 = 0 �

5X + 3Y – 1 = 0 (persamaan eksplisit)

31

X35

Y −−= (persamaan implisit)

b. Y – (3) = (2)(X - 2) � Y = 2X – 4 + 3 �

Y = 2X – 1 (persamaam implisit)

2X − Y − 1 = 0 (persamaan eksplisit)

50

ϕ

ϕ1 ϕ2

l : Y= mX + n

II.5.1.1. Sudut antara dua grafik

Salah satu segi yang dapat diturunkan dari koefisien arah grafik fungsi linear, adalah

sudut antara dua grafik seperti di bawah ini.

Y

X

Gambar II.13 ϕ sudut antara g dan l (0≤ ϕ ≤ ½π)

Pada Gambar II.13.

ϕ1 sudut arah l � Tg ϕ1 = m

ϕ2 sudut arah g � Tg ϕ2 = a

ϕ = ϕ2 − ϕ1

Tg ϕ = Tg (ϕ2 − ϕ1) = )(Cos)(Sin

12

12

ϕ−ϕϕ−ϕ

= 1212

1212

SinSinCosCosSinCosCosSin

ϕϕ+ϕϕϕϕ−ϕϕ

=

12

12

12

12

12

12

12

12

CosCosSinSin

CosCosCosCos

CosCosSinCos

CosCosCosSin

ϕϕϕϕ

+ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ−

ϕϕϕϕ

=

12

12

1

1

2

2

CosCosSinSin

1

CosSin

CosSin

ϕϕϕϕ

+

ϕϕ−

ϕϕ

= 12

12

TgTg1TgTg

ϕϕ+ϕ−ϕ

= am1ma

+−

Karena sudut antara dua grafik yang digunakan adalah sudut lancip, 0 ≤ ϕ ≤ ½π, yang

berarti Tg ϕ � 0. Sedangkan dari formulasi kesamaan dimungkinkan Tg ϕ ≤ 0, maka pada

g : Y=aX + b

51

formulasi kesamaan, ruas kanan harus disajikan dalam harga mutlak. Sehingga jika ϕ sudut

antara dua grafik fungsi linear, g : Y=aX + b dengan l : Y= mX + n,

maka

am1 m-a

Tg+

=ϕ

II.5.1.2. Dua grafik fungsi linear

Dari konsepsi sudut antara dua grafik fungsi linear, maka dapat disimpulkan bahwa

antara dua grafik fungsi linear hanya satu dari dua hal di bawah ini yang berlaku, yaitu

1) Sejajar.

Dua grafik fungsi linear akan sejajar jika koefisien arah keduanya sama, a = m.

2) Berpotongan, yang dibedakan atas

a) berpotongan tegak lurus.

Dua grafik fungsi linear akan berpotongan tegak lurus jika hasil kali koefisien

arahnya sama dengan –1, a.m = −1.

b) berpotongan biasa.

Untuk menentukan titik potong dua grafik dapat dilakukan dengan mempersamakan

kedua persamaan fungsinya.

Jika diketahui dua grafik fungsi linear, Y = aX + b dan Y = nX + m , maka koordinat

titik potongnya dapat dihitung dengan cara sebagai berikut :

mnXY

baXY

+=+=

� aX + b = mX + n � aX – mX = n – b � (a – m)X = n – b �

X = mabn

−−

dari persamaan Y = aX + b � Y = ��

��

�

−−

mabn

a + b �

mabman

ma)ma(b

ma)bn(a

Y−−=

−−+

−−=

sehingga koordinat titik potongnya.

��

��

�

−−

−−

mabman

,mabn

52

Y Y Y

X X X

sejajar berpotongan berpotongan tegak lurus

Gambar II.14 Kemungkinan dua grafik fungsi linear

Contoh soal 3.

Tentukan persamaan fungsi linear yang grafiknya berpotongan tegak lurus dengan grafik

fungsi

3X2Y +−=

dan melalui titik potong grafik fungsi

3X2Y += dengan 2X3Y −−= !

Jawab :

Jika a koefisien arah grafik yang tegak lurus grafik Y = −2X + 3 , maka (a)(−2) = −1 �

a = 21

Koordinat titik potong grafik Y = 2X + 3 dengan Y = −3X – 2 :

2X3Y

3X2Y

−−=+=

� 2X + 3 = −3X – 2 � 2X + 3X = −2 – 3 � 5X = −5 � X = −1

3X2Y

1X

+==

� Y = 2(−1) + 3 = 1 � koordinat titik potongnya : (−1 , 1),

Sehingga persamaan fungsi linear yang dicari, adalah fungsi yang grafiknya melalui titik

(−1 , 1) dengan koefisien arah 21

, yaitu :

Y – (1) = 21

(X – (−1) � Y = 21

X + 21

+ 1 � Y = 21

X + 121

.

53

Persamaan fungsi jika disajikan dalam

persamaan implisit, maka diperoeh hasil

Y = 21

X + 121

� 2Y = X + 3 �

X – 2Y + 3 = 0

Jika grafik fungsi-fungsi tersebut digambarkan

dengan menggunakan program Mathcad pada

domain {−10 ≤ x ≤ 10}, maka hasilnya seperti di

samping ini.

Dengan fungsi-fungsi yang ditetapkan :

f(x) : Y = −2X + 3 , g(x) : Y = 2X + 3 ,

h(x) : Y = −3x – 2 ,

dan fungsi yang dicari : i(x) : Y = 21

X + 121

.

II.5.2. Fungsi Kuadrat

Persamaan fungsi kuadrat, atau biasa juga disebut persamaan parabola tegak, adalah :

Y = aX2 + bX + c , 0a ≠ .

Selanjutnya perhatikan proses aljabar di bawah ini :

a2b

bac4aY4a2

1 X

a4b)cY)(a4(

a2b

X

a4

ba

cY2ab

X a

cYa2

ba2

bX

ab

X

a

cYX

ab

X cYbXaX cbXaXY

22

2

2

22222

222

−+−±=�+−

±=+

�+−

=��

��

� +�−

=��

��

�−��

�

�

��

�

��

��

�++

�−

=+�−=+�++=

Karena 2bac4aY4 +− akan bernilai real jika 0bac4aY4 2 ≥+− , atau

0 ajika , a4

ac4bY

2

>−

−≥ , dan 0 ajika , a4

ac4bY

2

<−

−≤ .

Maka range fungsi kuadrat adalah,

Y = {a4

ac4by

2 −−≥ } , jika a < 0 atau Y = {a4

ac4by

2 −−≤ } , jika a > 0.

i(x)

h(x) g(x) f(x)

10 0 10

10.78

10.78

f x( )

g x( )

h x( )

i x( )

x

Gambar posisi grafik fungsi linier yang ditetapkan dengan yang dicari

54

Dari hubungan a4

b)cY)(a4(a2

bX 2

2+−±=+ , karena 0

a4b)cY)(a4(

2

2

≥+−

,

maka

a4

b)cY)(a4(a2

bX 2

2+−=+ , jika 0

a2b

X ≥+ atau a2

bX −≥

a4

b)cY)(a4(a2

bX 2

2+−−=+ , jika 0

a2b

X ≤+ atau a2

bX −≤

Hal ini menyimpulkan bahwa, fungsi kuadrat merupakan fungsi satu-satu pada, jika

domainnya X = {a2

bx −≥ } atau X = {

a2b

x −≤ }.

Dalam domain tersebut, fungsi inversnya

a2

b X jika ,

a2b

)ac4b(aX4a2

1Y 2 −>−−−=

a2b

X jika , a2

b)ac4b(aX4

a21

Y 2 −<−−−−=

Sehingga jika domainnya ∞<<∞− X maka fungsi kuadrat bukan fungsi satu-satu pada,

tetapi hanya merupakan fungsi ke dalam.

Dari uraian tersebut, garis dengan persamaan a2

bX −= , dinamakan Sumbu Simetris,

dan nilai a4

ac4bY

2 −−= , adalah nilai ekstrim fungsi. Nilai ekstrim ini, merupakan nilai

minimum jika a > 0, dan nilai maksimum jika a < 0.

Untuk menggambarkan fungsi kuadrat secara “manual” diperlukan komponen-

komponen :

1. Sumbu simetris, yaitu garis dengan persamaan a2

bX −= .

2. Titik ekstrim, yaitu titik dengan koordinat ��

��

� −−−

a4ac4b

,a2

b 2

3. Titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat,

1) dengan sumbu-Y : X = 0 � Y = c � koordinat titik potongnya (0 , c)

2) dengan sumbu-X : Y = 0 � aX2 + bX + c = 0

55

Persamaan kuadrat aX2 + bX + c = 0 akan memiliki jawab riil, jika b2 – 4ac ≥ 0,

sehingga grafik fungsi kuadrat akan

a) memotong sumbu-X, jika b2 – 4ac > 0,

b) menyinggung sumbu-X jika b2 – 4ac = 0.

4. Titik-titik yang dilalui grafik,

Untuk ini buat tabel pasangan harga X dengan Y.

Contoh soal 4.

Gambarkan grafik fungsi Y = −2X2 + X +1 !

Jawab :

1) Sumbu simetrinya : 41

)2(21

X =−

−= .

2) Titik ekstrimnya :

Koefisien kuadratnya, a = −2 < 0, jadi titik ekstrim merupakan titik maksimum.

Koordinatnya : ��

��

�=��

��

�

−−−

−89

,41

)2(4)1)(2(4)1(

,41 2

3) Koordinat titik potong dengan :

a) sumbu-Y : (0 , 1)

b) sumbu-X :

Diskriman fungsi D = (1)2 – 4(-2)(1) = 9 > 0, jadi grafik memotong sumbu-X.

Koordinat titik potongnya

1XX2Y

0Y2 ++−=

= � −2X2 + X + 1 = 0 � (2X + 1)(−X + 1) = 0

� 1X 01X

21

X 01X2

=�=+−

−=�=+

Koordinat titik-titik potongnya : (21− , 0) dan (1,0)

56

(1,0)

��

��

�

89

,41

(-1,-2)

(−121

,-5)

4) Koordinat titik-titik lain yang dilalui grafik :

Ambil nilai X sembarang yang belum ada, dan sepihak terhadap sumbu simetri.

Pada contoh ini sumbu simetrinya X = 41

, jadi yang diambil nilai X < 41

atau X > 41

.

Jika diambil X < 41

, maka bangun tabel seperti di bawah ini

X Y Koordinat titik −1 −2(−1)2 + (−1) + 1 = −2 (−1 , −2)

−121

−2(−121

)2 + (−121

) + 1 = −5 (−121

, −5)

dst. Sehingga bentuk grafiknya seperti di bawah ini

X

X = 41

Grafik fungsi kuadrat

f(x) : Y = −2X2 + X +1

jika digambarkan dengan program Mathcad pada

domain X = {−10 � x � 10}, hasilnya seperti di

disamping ini.

(-21

,0)

Y

X

10 5 0 5 10

15

10

5

5

10

15

f x( )

Grafik fungsi kuadrat Y = −−−−2X2 + X +1 jika digambarkan dengan Mathcad

57

Kemungkinan grafik fungsi kuadrat jika ditelaah berdasarkan sumbu-X, disajikan pada

Gambar II.15 di bawah ini.

a > 0 a < 0

D > 0 10 0 10

10

10

f x( )

x

10 0 10

10

10

20

f x( )

x

Grafik memotong sumbu-X dan terbuka ke atas

Grafik memotong sumbu-X dan terbuka ke bawah

D = 0 10 0 10

10

10

f x( )

x

10 0 10

10

10

f x( )

x

Grafik menyinggung sumbu-X dan terbuka ke atas

Grafik menyinggung sumbu-X dan terbuka ke bawah

D < 0 10 0 10

10

10

f x( )

x

10 0 10

10

10

f x( )

x

Grafik tidak memotong sumbu-X dan terbuka ke atas

Grafik tidak memotong sumbu-X dan terbuka ke bawah

Gambar II.15

Kemungkinan posisi grafik fungsi kuadrat terhadap Sumbu-X

58

II.5.2.1. Grafik fungsi kuadrat dengan fungsi linear

Jika dimiliki sebuah grafik fungsi kuadrat dengan sebuah grafik fungsi linear, maka

hanya satu dari tiga kemungkinan di bawah ini yang terjadi, yaitu

a) tidak berpotongan

b) berpotongan

c) bersinggungan

edXcXY baXY

2 ++=+=

� aX + b = cX2 + dX + e � cX2 + (d – a)X + (e – b) = 0

Diskriminan bentuk kuadrat cX2 + (d – a)X + (e – b) : D = (d – a)2 – 4(c)(e – b)

Ada tiga kemungkinan untuk D

a) D < 0 � grafik fungsi linear dengan fungsi kuadrat tidak berpotongan

b) D = 0 � grafik fungsi linear menyinggung grafik fungsi kuadrat

c) D > 0 � grafik fungsi linear memotong grafik fungsi kuadrat

10 5 0 5 10

10.2

5.1

5.1

10.2

f x( )

g x( )

x

10 5 0 5 10

8.05

4.03

4.03

8.05

f x( )

h x( )

x Grafik fungsi linear dengan fungsi kuadrat tidak berpotongan

Grafik fungsi linear menyinggung grafik fungsi kuadrat

10 5 0 5 10

8.05

4.03

4.03

8.05

f x( )

i x( )

x Grafik fungsi linear memotong grafik fungsi kuadrat

Gambar II.16

Kemungkinan grafik fungsi linear dengan fungsi kuadrat

59

Contoh soal 5

Tentukan

a) persamaan garis singgung pada parabola Y = 2X2 – 3X +1 di titik (1 , 0)

b) hubungan a dan b pada persamaan parabola Y = aX2 + bX – 1, agar grafiknya memotong

grafik fungsi linear Y = 2X – 3

Jawab

a) Jika dimisalkan persamaan garis singungnya Y = aX + b, maka

1) melalui titik (1, 0) � 0 = a(1) + b � a = −b � Y = −bX + b

2) menyinggung parabola Y = 2X2 – 3X +1

1X3X2Y

bbXY2 +−=

+−= � −bX + b = 2X2 – 3X +1 � 2X2 + (b– 3)X +(1−b) = 0

diskriminan bentuk kuadrat 2X2 + (b– 3)X +(1-b) :

D = (b– 3)2 – 4(2)(1-b) = b2 – 6b + 9 – 8 + 8b = b2 + 2b + 1 = (b + 1)2

Karena yang ditentukan menyinggung, maka D harus disama-dengankan 0, D = 0,

atau b = −1

Sehingga persamaan garis singgunggnya, Y = −(−1)X + (−1) = X – 1

b) 1bXaXY

3X2Y2 −+=−=

� 2X – 3 = aX2 + bX – 1 � aX2 + (b+2)X + 2 = 0

diskriminan bentuk kuadrat aX2 + (b+2)X + 2 : D = (b+2)2 – 4(a)(2) = b2 + 4b + 4 – 8a

Karena yang ditentukan berpotongan, maka D harus lebih besar dari 0, D > 0, atau

b2 + 4b + 4 – 8a > 0 � (b + 2)2 – 8a > 0 � {(b+2) − a8 }{(b+2) + a8 } > 0

Hal ini berarti, hubungan a dengan b

1) (b+2) − a8 > 0 � b > a8 − 2

(b+2) + a8 > 0 � b > − a8 − 2

atau

2) (b+2) − a8 < 0 � b < a8 − 2

(b+2) + a8 < 0 � b < − a8 − 2

60

(0,1)

II.5.3. Fungsi Pangkat

Bentuk umum dari fungsi pangkat adalah Y = aX , dengan a > 0 bilangan real.

Dalam hal a = e , yaitu bilangan irasional yang nilainya e = 3,141592654…, bentuk Y = eX

dinamakan fungsi eksponensial. Grafik dari fungsi pangkat seperti pada Gambar II.15.

Gambar II.17 Grafik fungsi pangkat

Misal grafik fungsi

f(x) : Y = 4X dan g(x) : Y = X

41��

��

�

jika digambarkan dengan program

Mathcad dalam domain

X = {−10 < x < 10},

maka hasilnya seperti di samping ini :

Domain fungsi pangkat adalah

X = {−∞ < x <∞}

dan rangenya

Y = {y > 0}.

Fungsi ini merupakan fungsi satu-satu pada,

dengan fungsi inversinya : Y = alog Y.

Sifat perpangkatan

1. aa1

XX = , aa

X1

X =−

2. Xa+b = Xa x Xb , Xa-b = Xa X-b = b

a

XX

3. (xa)b = Xab

X

Y Y=aX , a > 1

Y=aX , 0< a < 1

f(x) g(x)

10 0 10

10

10

f x( )

g x( )

x

Grafik fungsi f(x) : Y = 4X dan g(x) : Y = X

41��

��

�

jika digambarkan dengan Mathcad

61

II.4.4. Fungsi Logaritma

Bentuk umum dari fungsi logaritma adalah Y = alog X dengan a > 0, bilangan real.

Dalam hal a = 10, 10log X ditulis log X, dan dinamakan Logaritma Biasa. Jika a = e , yaitu

bilangan irasional, e = 3,141592654… , maka elog X ditulis ln X, dan dinamakan

Logaritma Natural.

Y

X

Gambar II.18 Grafik fungsi logaritma

Misal grafik fungsi

f(x) : Y = 4log X dengan g(x) : Y = xlog41

jika digambarkan dengan program Mathcad

dalam domain X = {0 < x < 10}, hasilnya

seperti di samping ini.

Domain dari fungsi logaritma adalah,

X = {x > 0}, dan rangenya, Y = {−∞ < y < ∞}.

Sifat logaritma :

1. alog XY = alog X + alog Y , Ylog XlogYX

log aaa −=

2. XlogYlog

Ylog a

aX =

3. alog Xb = b alog X

(1,0)

Y=alog X , a > 1

Y=alog X , 0 < a < 1

f(x)

g(x)

0 5 10

5

5

f x( )

g x( )

x

Grafik fungsi f(x) : Y = 4log X dan g(x) : Y = xlog41

62

ϕ

x

r

II.4.5. Fungsi siklometri (fungsi goniometri , fungsi trigonometri)

Perhatikan gambar di bawah ini

dan perbandingan-perbandingan sisi-sisi dari segi-tiga siku-sikunya. Berdasarkan hal-hal

tersebut didefinisikan

ry

= Sinus ϕ = Sin ϕ ⇔ yr

= Cosecan ϕ = Cosec ϕ

rx

= Cosinus ϕ = Cos ϕ ⇔ xr

= Secan ϕ = Sec ϕ

yx

= Tangens ϕ = Tg ϕ ⇔ xy

= Cotangens ϕ = Ctg ϕ

Formulasi perbandingan tersebut dinamakan perbandingan goniometri (trigonometri).

Dari perbandingan goniometri tersebut diperoleh hubungan-hubungan sebagai berikut

1) –1 ≤ Sin ϕ≤ 1 , –1 ≤ Cos ϕ≤ 1

2) Sin (900 − ϕ) = Cos ϕ , Cos (900 − ϕ) = Sin ϕ , Tg (900 − ϕ) = Ctg ϕ

3) Cosec ϕ = ϕSin

1 , Sec ϕ =

ϕ Cos1

, Tg ϕ = ϕϕ Cos

Sin , Cotg ϕ =

ϕ Tg1

4) Sin2ϕ + Cos2ϕ = 1 , Tg2ϕ − Sec2ϕ = 1 , Ctg2ϕ − Cosec2ϕ = 1

Fungsi Y = Sin X dan Y = Cos X, merupakan fungsi dasar dari fungsi goniometri, sebab

fungsi-fungsi goniometri yang lainnya dapat diturunkan dari keduanya. Range dari fungsi

ini adalah Y = {–1 ≤ y ≤ 1}.

y

63

Grafik fungsi

f(x) : Y = Sin X dan g(x) : Y = Cos X

digambarkan dengan Mathcad dalam

domain X = {−10 < x < 10}, hasilnya

seperti di samping ini.

Domain fungsi Y = Sin X adalah

X = {kπ < x < (k + 2)π} ,

k = 0 , 1 , 2 , . . .

atau

X = {−kπ < x < (−k − 2)π} ,

k = 0 , 1 , 2 , . . .

Domain fungsi Y = Sin X adalah

X = {kπ < x < (k + 2)π} , k = 0 , 1 , 2 , . . .

atau X = {−kπ < x < (−k − 2)π} , k = 0 , 1 , 2 , . . .

Dan domain fungsi Y = Cos X adalah X = {(k +21

)π < X < (k + 221

)π} , k = 0 , 1 , 2 , . . .

atau X = (−k + 21

)π < X < (−k − 121

)π , k = 0 , 1 , 2 , . . . Sehingga pada domain tersebut

fungsi memiliki fungsi invers. Fungsi invers untuk Y = Sin X, adalah Y = Arc Sin X.

Sedangkan untuk Y = Cos X, adalah Y = Arc Cos X..

Fungsi goniometri yang lainnya,

1. Y = Tg X = x CosxSin

.

Fungsi ini terdefinisikan jika Cos ≠ 0,

atau jika X ≠ 21 π , ± 1

21 π , ± 2

21 π , . . . .

2. Y = Ctg X = Sin x

xCos xTg

1 =

Fungsi ini terdefinisikan jika Sin X ≠ 0

atau jika X ≠ 0 , ± π , ± 2π , . . .

10 5 0 5 10

10

5

5

10

f x( )

g x( )

x

10 5 0 5 10

10

5

5

10

f x( )

g x( )

x

Gambar II.20 Grafik fungsi siklometri

f(x) : Y = Tg X ; g(x) : Y = Ctg X

Gambar II.19 Grafik fungsi siklometri : f(x) = Sin x , g(x) = Cos x

64

Grafik fungsi f(x) : Y = Tg X dan g(x) : Y = Ctg X, jika digambarkan dengan Mathcad

dalam domain X = {−10 < x < 10}, hasilnya seperti pada Gambar II.20.

Fungsi Y = Tg X memiliki range Y = {−∞ < y < ∞}, dan merupakan fungsi satu-satu

pada, dalam domain

X = {(−k +21

)π < x < (−k + 121

)π} , k = 0 , 1 , 2 , . . . ,

atau

X = {(−k − 21

)π < x < (−k + 21

)π} , k = 0 , 1 , 2 , . . .

dengan fungsi inversnya Y = Arc Tg X.

Sedangkan fungsi Y = Ctg X memiliki range yang sama dengan Y = Tg X, yaitu

Y = {−∞ < y < ∞},

dan merupakan fungsi satu-satu pada, dalam domain

X = {kπ < X < (k + 1)π} , k = 0 , 1 , 2 , . . .

atau

X = {−(k + 1)π < X < −kπ} , k = 0 , 1 , 2 , . . .

dengan fungsi inversnya

Y = Arc Ctg X.

3. Y = Sec X = X Cos

1

Fungsi ini terdefinisikan jika Cos X ≠ 0,

atau jika X ≠ 21 π , ±1

21 π , ±2

21 π , . . .,

4. Y = Cosex X = XSin

1

Fungsi ini terdefinisikan jika Sin X ≠ 0,

atau jika X ≠ 0, ± π , ±2π, . . . .

Grafik fungsi f(x) : Y = Cosec X

dan g(x) : Y = Sec X jika digambarkan

dengan Mathcad dalam domain X = {−10 < x < 10},

hasilnya seperti pada Gambar II.21.

10 5 0 5 10

10

5

5

10

f x( )

g x( )

x

Gambar II.21 Grafik fungsi siklometri

g(x) : Y = Sec X ; f(x) : Y = Cosec X

65

Range fungsi Y = Sec X adalah Y = {1 ≤ y < ∞ } atau Y = { ∞− < y ≤ −1}, dan

merupakan fungsi satu-satu pada, dalam domain,

X = {(k + ½)π < x < (k + 1½)π} , k = 0 , 1 , 2 , . . .

atau

X(-k - ½)π < X < (-k + ½)π , k = 0 , 1 , 2 , . . .


Y = Arc Sec X.

Sedangkan fungsi Y = Cosec X, rangenya juga sama yaitu Y = {1 ≤ y < ∞ } atau

Y = { ∞− < y ≤ −1}, dan merupakan fungsi satu-satu pada, dalam domain

X = {kπ < x < (k + 1)π , k = 0 , 1 , 2 , . . .

atau

X = {−(k + 1)π < x < −kπ} , k = 0 , 1 , 2 , . . .


Y = Arc Cosec X.

Karena grafik dari fungsi goniometri merupakan lengkungan yang memiliki ciri

(karakteristik, characteristic) periodik (membentuk bangun yang berulang), maka fungsi

goniometri biasa juga dinamakan fungsi siklometri.

II.5.6. Fungsi Pecahan

Bentuk fungsi pecahan sangat banyak formulasinya, tetapi yang sering digunakan

adalah bentuk-bentuk

1) dcxbax

Y++= , cx + d � 0 untuk setiap nilai x.

2) edxcx

baxY

2 +++= , cx2 + dx + e � 0 untuk setiap nilai x.

3) fexdxcbxax

Y2

2

++++= , dx2 + ex + f � 0 untuk setiap nilai x.

Pada fungsi pecahan dideskripsikan sumbu (garis) asimtut (asimptot), yaitu garis yang

akan dipotong grafik fungsi di titik tak berhingga, sehingga grafik fungsi dengan sumbu

asimtut hampir berimpit mulai nilai x tertentu. Untuk fungsi-fungsi pecahan seperti yang

disajikan tersebut, sumbu asimtutnya dua jenis, yaitu asimtut datar dan asimtut tegak.

66

1) Untuk fungsi dcxbax

Y++=

Asimtut tegaknya :

Y → ∞ ⇔ cx + d → 0 � x = cd−

Asimtut datarnya :

x → ∞ ⇔ Y = ca

xd

xcx

xb

xax

Limdcxbax

Limxx

=+

+=

++

∞→∞→

2) Untuk fungsi edxcx

baxY

2 +++=

Asimtut tegaknya :

Y → ∞ ⇔ cx2 + dx + e → 0 , D = d2 – 4ce � 0

Sehingga asimtut tegaknya : �

�

�

<=>

0D jika , adatidak 0D jika ,buah satu

0D jika ,buah dua

Nilai persamaan asimtut tegaknya, merupakan jawab dari persamaan cx2 + dx + e = 0 .

Asimtut datarnya :

x → ∞ ⇔ Y = 0

xe

xdx

xcx

xb

xax

Limedxcx

baxLim

222

2

22

x2x=

++

+=

+++

∞→∞→

3) Untuk fungsi fexdxcbxax

Y2

2

++++=

Asimtut tegaknya :

Y → ∞ ⇔ dx2 + ex + f → 0 ⇔ D = e2 – 4df � 0

Sehingga asimtut tegaknya : �

�

�

<=>

0D jika , adatidak 0D jika ,buah satu

0D jika ,buah dua

Nilai persamaan asimtut tegaknya, merupakan jawab dari persamaan dx2 + ex + f = 0 .

67

Asimtut datarnya :

x → ∞ ⇔ Y = da

xf

xex

xdx

xc

xbx

xax

Limfexdxcbxax

Lim

222

2

222

2

x2

2

x=

++

++=

++++

∞→∞→

Perhatikan fungsi-fungsi di bawah ini :

1) f(x) = 7x5

3x2+−

−

asimtut tegaknya : x = 57

57 =

−− , dan

asimtut datarnya : y = 52

52 −=

−.

2) g(x) = 9x7x5

3x22 −+−

−

dan

h(x) = 9x7x5

5x3x22

2

−+−+−

Diskriminan fungsi penyebut :

D = (7)2 – 4(−5)(−7) < 0.

Jadi g(x) dan h(x) tidak memiliki asimtut tegak.

Asimtut datar untuk :

g(x) : y = 0 (sumbu-X)

h(x) : y = 52

52 −=

−

Jika digambarkan dengan program Mathcad pada domain

{−5 ≤ x ≤ 5}, grafik ketiga fungsi tersebut seperti pada

Gambar II.22.

5 2.5 0 2.5 5

1

0.63

0.25

0.13

0.5

f x( )

gx( )

h x( )

Gambar II.22 Gafik fungsi

f(x) : Y = 7x5

3x2+−

−

g(x) : Y = 9x7x5

3x22 −+−

−

h(x) : Y = 9x7x5

5x3x22

2

−+−+−

68

a

b

II.6. Fungsi Irisan Kerucut

Sebuah kerucut jika diiris, maka bidang irisannya akan membangun suatu bangun ilmu

ukur, sesuai dengan cara pengirisannya.

1) Jika diiris sejajar bidang alas maka akan diperoleh bangun lingkaran, dan

2) Jika diiris miring dengan tidak mengiris bagian alas maka akan diperoleh bangun ellips,

sedangkan

3) Jika diiris miring dan mengiris bagian alas, dengan kemiringan kurang dari 430, maka

akan diperoleh bangun hiperbola, sedangkan jika kemiringannya lebih dari 450,

diperoleh parabola.

Bangun-bangun tersebut dapat didefinisikan

secara matematis dan dibangun persamaan

fungsinya. Persamaan fungsi irisan kerucut

selalu disajikan dalam bentuk implisit,

sehingga jika akan digambarkan dengan

menggunakan kemasan program Mathcad,

harus diubah dulu menjadi bentuk eksplisit.

II.6.1. Lingkaran

Definisi matematisnya. Lingkaran adalah

tempat kedudukan titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu, yang dinamakan

pusat lingkaran (dinotasikan oleh P), sedangakn jarak yang sama dinamakan jari-jari

lingkaran (dinotasikan oleh r).

Y

r

�P (a,b)

X

Gambar II.23 Lingkaran dengan pusat P

dan jari-jari r

elips

hiperbola

parabola

lingkaran

Bangun-bangun irisan kerucut

69

Persamaan lingkaran dengan pusat (a , b) dan jari-jari r > 0 , adalah

(X – a)2 + (Y – b)2 = r2.

Jika persamaan dijabarkan sebagai berikut,

X2 − 2aX + a2 + Y2 − 2bY + b2 = r2

X2 + Y2 − 2aX − 2bY + a2 + b2 – r2 = 0

dan ditulis

A = −2a ,

B = −2b ,

C = a2 + b2 – r2

maka persamaan lingkaran dapat disajikan oleh

X2 + Y2 + AX + BY + C = 0

dengan koordinat pusatnya,

P = (21− A ,

21− B)

dan jari-jarinya,

cb41

a41

r 22 −+= .

Contoh soal 6.

Tentukan persamaan lingkaran yang berjari-jari 5 satuan, melalui titik (0 , 0) dan pusatnya

terletak pada garis X + Y = 1 !

Jawab :

Misalkan persamaan lingkarannya :

(X – a)2 + (Y – b)2 = (5)2

Lingkaran melalui titik (0 , 0) :

(0 – a)2 + (0 – b)2 = 25 � a2 + b2 = 25 (1)

Titik pusat (a,b) terletak pada garis X + Y = 1

a + b = 1 � a = 1 – b (2)

10 5 0 5 10

7.69

3.84

3.84

7.69

x

Grafik lingkaran (X + 3)2 + (Y – 4)2 = 25

dan garis X + Y = 1

70

Subtitusikan (2) ke (1) :

(1 – b)2 + b2 = 25 � 1 – 2b + b2 + b2 = 25 � 2b2 –2b +1 – 25 = 0 � 2b2 –2b – 24 = 0

� b2 –b – 12 = 0 � (b – 4)(b + 3) = 0 � b = 4 dan b = −3.

Dan subtitusikan

b = 4 ke (2) � a = 1 – 4 = −3 ,

b = −3 ke (2) � a = 1 – (−3) = 4.

Jadi persamaan lingkaran yang dicari adalah,

(X – (−3))2 + (Y – (4))2 = 25 � (X + 3)2 + (Y – 4)2 = 25

atau

(X – (4))2 + (Y – (-3))2 = 25 � (X − 4)2 + (Y + 3)2 = 25

Contoh soal 7.

Tentukan persamaan lingkaran singgung segitiga, yang sisi-sisinya berupa garis dengan

persamaan : 4X + 3Y = 24 , 3X – 4Y = 18 , 4X – 3Y = -32 !

Jawab :

Untuk menyelesaikan soal ini gunakan deskripsi jarak sebuah titik pada sebuah garis.

Definisi

Jarak titik T = (x0 , y0) ke garis aX + bY + c = 0 sama dengan

22

00

ba

cbyaxd

+

++=

Jika dimisalkan pusat lingkarannya P = (a , b)

dan jari-jarinya r , maka jarak P ke garis

1) 4X + 3Y = 24 � 4X + 3Y – 24 = 0

� 22 34

24b3a4

+

−+ =

524b3a4 −+

= r

2) 3X – 4Y = 18 � 3X – 4Y – 18 = 0

� 22 )4(3

18b4a3

−+

−− =

518b4a3 −−

= r

20 12.5 5 2.5 10

17.15

8.58

8.58

17.15

Grafik lingkaran singgung (X + 1)2 + (Y – 1)2 = 25

71

3) 4X – 3Y = −32 � 4X – 3Y + 32 = 0

� 22 )3(4

32b3a4

−+

+− =

532b3a4 +−

= r

Hal ini berarti

5r = 4a + 3b − 24 = 3a − 4b − 18 = 4a − 3b + 32

untuk

5r = 4a+3b−24 � 25r2 = (4a+3b−24)2 = 16a2 + 9b2 + 576 + 24ab − 192a − 144b (1)

5r = 3a−4b−18 � 25r2 = (3a−4b−18)2 = 9a2 + 16b2 + 324 − 24ab − 108a + 14 (2)

5r = 4a-3b+32 � 25r2 = (4a-3b+32)2 = 16a2 + 9b2 + 1024 − 24ab + 256a − 196b (3)

Jika diselesaikan, sistem persamaan (1), (2), dan (3) memiliki jawab :

a = −1 , b = 1 , r = 5 ,

sehingga persamaan lingkaran singgung yang dicari adalah :

(X – (−1))2 + (Y – (1))2 = (5)2

(X + 1)2 + (Y – 1)2 = 25

II.6.2.. Ellips

Ellips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jarak terhadap dua titik tertentu,

yang dinamakan titik fokus, selalu tetap. Titik tengah garis hubung titik fokus dinamakan

titik pusat.

Y C

A • F1 • P • F2 B

D X

Gambar II.24 Ellips dengan titik fokus F1 dan F2, titik pusat P

Segmen garis AB dinamakan sumbu panjang, sedangkan segmen garis CD dinamakan

sumbu pendek. P titik tengah sumbu panjang dan sumbu pendek, dengan sumbu panjang

dan sumbu pendek berpotongan tegak lurus di P.

72

Ellips dengan sumbu panjang sejajar sumbu X dinamakan ellips datar, sedangkan jika

sejajar sumbu Y dinamakan ellips tegak. Jika sumbu panjang sama dengan 2a, dan sumbu

pendek sama dengan 2b, a > b, dan koordinat P = (x0 , y0), maka koordinat fokus-fokus

ellips datar sama dengan

F1 = (x0−c , y0) dan F2 = (x0+c , y0),

dan ellips tegak sama dengan

F1 = (x0 , y0−c) dan F2 = (x0 , y0+c),

dengan c < a, b2 = a2 – c2.

Persamaan ellips datar dengan pusat P = (x0 , y0), sumbu panjang 2a, dan sumbu pendek

2b, sama dengan

( ) ( )1

b

yY

a

xX2

20

2

20 =

−+

−

sedangkan persamaan ellips tegak sama dengan

( ) ( )1

a

yY

b

xX2

20

2

20 =

−+

−

Seperti halnya lingkaran, persamaan ellips dapat disajikan dalam bentuk kuadratik

AX2 + BY2 – 2CX – 2DY + E = 0

Contoh soal 8.

Tentukan koordinat titik pusat, sumbu panjang, dan

sumbu pendek dari ellips dengan persamaan

16X2 + 9Y2 + 64X – 72Y + 64 = 0 !

Jawab :

16X2 + 9Y2 + 64X – 72Y + 64 = −64 �

16(X2 + 4X) + 9(Y2 – 8Y) = −64 �

16(X2 + 4x + 4 – 4) + 9(Y2 – 8Y + 16 – 16) = −64 �

16{(X + 2)2 – 4} + 9{(Y – 4)2 – 16} = −64 �

16(X + 2)2 – 64 + 9(Y – 4)2 – 144 = −64 �

16(X + 2)2 + 9(Y – 4)2 = -64 + 64 + 144 �

16(X + )2 + 9(Y – 4)2 = 144

10 6.25 2.5 1.25 5

9.95

4.98

4.98

9.95

f x( )

g x( )

Gambar elips ( ) ( )

116

4Y92X 22

=−++

73

Xab

Y =

Xab

Y −=

Jika kedua ruas dibagi 144, maka diperoleh persamaan

( ) ( )1

164Y

92X 22

=−++

yang merupakan persamaan dari ellips dengan pusat P = (−2 , 4), sumbu panjang sama

dengan 2(√16) = 8, dan sumbu pendek sama dengan 2(√9) = 6.

II.6.3. Hiperbola

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jarak terhadap dua titik

tertentu, yang dinamakan titik fokus, selalu tetap. Pada hiperbola didefinisikan garis

asimtut, yaitu garis yang akan memotong grafik di titik tak berhingga. Banyaknya asimtut

dua buah yang saling berpotongan, dan titik potongnya dinamakan pusat hiperbola. Jika

asimtut-asimtut berpotongan tegak lurus, maka hiperbola dinamakan hipebola tegak atau

hiperbola ortogonal. Terhadap asimtutnya grafik hiperbola selalu merupakan dua pasang

yang berkawanan.

Gambar II.25 Hiperbola dengan titik pusat O = (0 , 0),

asimtut Xab

Y = dengan Xab

Y −=

X

Y

74

Persamaan hiperbola dengan pusat (0 , 0) dan asimtut Xab

Y = dengan Xab

Y −=

adalah

1bY

aX

2

2

2

2

=−

dengan koordinat titik fokusnya

F1 = (−c , 0) dan F2 = (c , 0).

Sedangkan hiperbola kawannya, memiliki persamaan

1bY

aX

2

2

2

2

−=−


F3 = (0 , −c) dan F4 = (0 , c).

Jika pusat parabola ditranslasikan dari O = (0 , 0) ke P = (x0 , y0), maka persamaan

asimtutnya menjadi

( )00 xXab

yY −=− dan ( )00 xXab

yY −−=− .

Persamaan parabolanya menjadi

( ) ( )1

b

yY

a

xX2

20

2

20 =

−−

− .

Koordinat titik fokusnya menjadi

F1 = (x0-c , y0) dengan F2 = (x0+c , y0)

dan persamaan parabola kawannya

( ) ( )1

b

yY

a

xX2

20

2

20 −=

−−

−


F1 = (x0 , y0−c) dan F2 = (x0 , y0+c).

Nilai-nilai a, b, dan c, memenuhi hubungan a2 = c2 – b2 dan 0 < b < c.

75

Seperti halnya pada lingkaran dan ellips, hiperbola juga bisa disajikan dalam

persamaan kuadratik

AX2 – BY2 – 2CX + 2DY + E = 0.

Contoh 9

Tentukan koordinat titik pusat, titik-titik fokus, dan

persamaan asimtut-asimtutnya dari hiperbola

9X2 – 4Y2 –36X + 24Y – 36 = 0.

Jawab :

Jika bentuk kuadratik tersebut disajikan dalam

bentuk kuadrat sempurna, maka diperoleh hasil

9X2 – 4Y2 –36X + 24Y – 36 = 0

(9X2 – 36X) – (4Y2 – 24Y) = 36

9(X2 – 4X) – 4(Y2 – 6Y) = 36

9(X2 – 4X + 4 – 4) – 4(Y2 – 6Y + 9 – 9) = 36

9(X – 2)2 – 36 – 4(Y – 3)2 + 36 = 36

9(X – 2)2 – 4(Y – 3)2 = 36.

Jika kedua ruas dibagi dengan 36, maka diperoleh persamaan

( ) ( )1

93Y

42X 22

=−−−

Dari bentuk kuadrat sempurna ini, nilai-nilai : a = 2 , b = 3 , dan c = 94 + = √13, sehingga

koordinat titik pusat hiperbola : (2 , 3),

koordinat titik fokus : F1 = (2+ 13 , 3) dan F2 = (2- 13 , 3),

persamaan asimtutnya : ( )2X23

3Y −=− � Y = 121

X , dan

( )2X23

3Y −−=− � Y = −121

X + 6

II.7. Fungsi Genap, Fungsi Ganjil

Fungsi y = f(x) dinamakan fungsi genap jika dipenuhi hubungan f(−x) = f(x), dan

dinamakan fungsi ganjil, jika hubungan yang dipenuhi, f(−x) = −f(x). Dalam hal lain

dinamakan bukan fungsi genap atau fungsi ganjil.

10 5 0 5 10

11.64

5.82

5.82

11.64

f x( )

gx( )

h x( )

i x( )

xGambar hiperbola ( ) ( )

19

3Y4

2X 22

=−−−

76

Sebagai contoh,

1. y = 4x3x

x3x24

3

+−+

, fungsi ganjil,

sebab

f(x) = 4x3x

x3x24

3

+−+

f(−x) = 4)x(3)x(

)x(3)x(24

3

+−−−−+−

= 4x3x

x3x24

3

+−−−

= 4x3x

x3x24

3

+−+− = − f(x)

2. y = 4

2

x1x+

, fungsi genap,

sebab

f(x) = 4

2

x1x+

f(−x) = 4

2

)x(1)x(

−+−

= 4

2

x1x+

= f(x)

3. y = 1x

2−

, bukan fungsi genap atau fungsi ganjil, sebab

f(x) = 1x

2−

f(−x) = 1)x(

2−−

= 1x

2−−

� f(x) : bukan fungsi genap

= 1x

2+

− � − f(x) : bukan fungsi ganjil

f(x) = Sin x , g(x) = Cos x Dari deskripsi tersebut tersurat, fungsi genap merupakan

fungsi yang grafiknya simetris terhadap sumbu-Y, sedangkan fungsi ganjil grafiknya

simetris terhadap titik pangkal, O = (0 , 0). Sehingga jika grafik fungsi tidak simetris

terhadap titik O maupun sumbu-Y, maka fungsi tersebut bukan fungsi genap maupun fungsi

10 5 0 5 10

8.42

4.21

4.21

8.42

f x( )

g x( )

h x( )

x

Grafik fungsi f(x) : Y = 4x3x

x3x24

3

+−+

;

g(x) : Y = 4

2

x1x+

; h(x) : Y = 1x

2−

77

ganjil. Hal ini dapat ditelaah pada gambar grafik fungsi di atas, yang digambarkan dengan

menggunakan program Mathcad, dalam domain X = {−10 ≤ x ≤ 10}. Pada gambar terlihat,

f(x) simetris terhadap titik O = (0 , 0), dan g(x) simetris terhadap sumbu-Y, sedangkan h(x)

tidak simetris terhadap titik O maupun sumbu-Y.


1. Relasi dari himpunan X ke Y, dengan elemen-elemen dan bentuk relasinya seperti di

bawah ini, manakah yang merupakan fungsi ? Sajikan alasan saudara mengemukakan

hal tersebut !

a) X = {−5 , −4 , −3 , −2 , −1, 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5} ; Y = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 9}

Relasinya : x ∈X → y ∈ Y : y = x2

b) X = {0,1,4,9,16,25,36} ; Y = {−6,−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,6}

Relasinya : x ∈X → y ∈ Y : y = x

c) X = {wanita} ; Y = {laki-laki}

Relasinya : x ∈X → y ∈ Y : pernikahan

d) X = {pengunjung di pusat perbelanjaan} ; Y = {pembeli di pusat perbelanjaan}

Relasinya : x ∈X → y ∈ Y : transaksi pembelian

e) X = {bilangan irasional} ; Y = {bilangan rasional}

Relasinya : x ∈X → y ∈ Y : perpangkatan

2. Fungsi-fungsi di bawah ini, mana yang merupakan fungsi pada, fungsi ke dalam, fungsi

satu-satu pada, fungsi satu-satu ke dalam ? Sajikan alasan saudara mengemukakan hal

itu !

a) Y = X , jika X = {bilangan riel} ; Y = {bilangan riel}

b) Y = X , jika X = { x : bilangan prima , x ≤ 17} ; Y = {bilangan riel}

c) Y = �

<≥

0X , X-0X , X

; X = Y = {bilangan riel}

d) Y = [[ X ]] , bilangan bulat yang lebih kecil sama dengan X ; X = Y = {bilangan

bulat}

e) Y = 1X1X

+−

; X = Y = {bilangan riel}

78

3. Tentukan domain dari fungsi-fungsi di bawah ini

(a) Y = ln (Sin X) (b) Y = e2x – 3 (c) Y = )1x(Sin1x3x2 2

−−−

(d) Y = (x – 1)Sin(2x – 1)

(e) Y = )1x(Sin

1x−

− (f) Y =

1x2x1x3x2

2

2

+−−−

(g) Y = 1x

)1x(Tg−

− (h) Y = log(2x2–3x)

4. Tentukan fog(x), jika

(a) f(x) = Sin(x+1) ; g(x) = 2x2 – x – 3 (b) f(x) = x + 1 ; g(x) = Tg(x2 + 2x – 1)

(c) f(x) = 2x – 3 ; g(x) = log (3x – 1) (d) f(x) = Sin(x + 1) ; g(x) = ln(x – 1)

(e) f(x) = x – 3 ; g(x) = 1x21x3

+−

(f) f(x) = 1x2x3x2 2

+−

; g(x) = log 1x1x

+−

5. Jika f(x) = 3x2 − dan g(x) = 1xx

1x2 ++

−, maka tentukan

(a) (f + g)(x) (b) (f – g)(x) (c) ��

��

�

gf

(x) (d) (f.g)(x) (e) fog(x)

6. Tentukan persamaan dan gambar grafik fungsi linier yang

a) grafiknya sejajar grafik fungsi 2x – 3y +1 = 0, dan melalui titik potong grafik fungsi

y = 2x – 3 dengan x + y – 1 = 0

b) melalui titik (−2 , 3) dan memotong tegak lurus grafik fungsi 3x – 2 – 6 = 0

c) melalui titik potong grafik fungsi 2x – 3x + 6 = 0 dengan x + y + 1 = 0, dan titik

potong grafik fungsi y = 2x – 3 dengan y = 3x + 2

d) membangun sebuah segitiga dengan titik-titik sudutnya (−2 , −3) ; (2 , 3) ; (−3 , 5)

e) melalui titik (2 , 3) dan grafiknya tegak lurus grafik fungsi 6 – 2y – x = 0

7. Tentukan persamaan dan gambarkan grafik fungsi kuadrat, yang

a) sumbu simetrisny x = −2 dan titik maksimumnya (3 , 5)

b) melalui titik-titik (2 , 3) ; (5 , −3) ; dan (−4 , −7)

c) titik minimumnya (−3 , −5) dan memotong sumbu-X di (−6 , 0)

d) menyinggung grafik fungsi 2x – 3y + 6 = 0 dengan titik ekstrimnya (3 , 5)

e) tidak memotong sumbu-X, memiliki sumbu simetris x = 3, menyinggung grafik

fungsi y = 4, dengan salah satu titik pada grafiknya berjarak 3 dari sumbu simetris.

79

8. Untuk fungsi-fungsi di bawah ini, mana yang merupakan fungsi ganjil, fungsi genap,

atau fungsi yang bukan fungsi ganjil maupun fungsi genap ?

(a) y = 1x2x6x3x2

2

2

+−+−

(b) y = 1x3x2

3x22 +−

− (c) y = x3 – 2x2 + x + 3

(d) y = )3x2(Sin

3x2−

− (e) y = (2x2 – 3x +1)log(2x – 1) (f) y = 3x2 – 2xe-2x+1

9. Sebuah pabrik dapat menghasilkan antara 0 sampai 100 unit barang perhari, dengan

overhead cost harian $ 2.200, dan ongkos produksi untuk setiap unit barang $ 152.

Sajikan persamaan fungsi biaya

(a) untuk total produksi x unit barang (b) rata-rata perunit barang

Untuk kedua fungsi tersebut, tentukan domainnya !

10. Sebuah penyewaan mobil menetapkan charge harian $ 24, dan ongkos $ 0.40 per km.

a) Tentukan biaya penyewaan dalam satu hari, jika digunakan sejauh x km.

b) Jika sebuah mobil disewa untuk satu hari dengan biaya $ 120, maka berapa jauh

jarak yang harus ditempuh ?

11. Jika fungsi biaya untuk membuat x buah barang sama dengan 400 + 5 3x2 2 − dolar,

dengan harga jual perunitnya $ 6, maka tentukan fungsi pendapatannya !

12. Apakah

a) jumlah dua fungsi ganjil, merupakan fungsi ganjil ?

b) jumlah dua fungsi genap, merupakan fungsi genap ?

c) perkalian dua fungsi ganjil, merupakan fungsi ganjil ?

d) perkalian dua fungsi genap, merupakan fungsi genap ?

e) perkalian sebuah fungsi ganjil dengan fungsi genap, merupakan fungsi ganjil ?

Sajikan alasan saudara untuk mengemukakan hal tersebut !

13. Jika domain fungsi y = f(x) selain memiliki nilai x, juga nilai −x, maka selidiki apakah

pernyataan-pernyataan di bawah salah atau benar ?

Sajikan alasan saudara mengemukakan hal tersebut !

a) f(x) – f(−x) adalah fungsi ganjil.

b) f(x) + f(−x) adalah fungsi genap.

c) f(x) selalu dapat disajikan sebagai perjumlahan fungsi genap dengan fungsi ganjil.

80

14. Pesawat udara A terbang mengarah ke utara dengan kecepatan 400 km/jam, dan setelah

mengudara satu jam, pesawat udara B terbang mengarah ke timur dengan kecepatan

300 km/jam. Dengan mengabaikan lengkungan bumi dan ketinggian pesawat dari

permukaan laut, maka sajikan fungsi jarak antara kedua pesawat tersebut, jika diukur

sejak pesawat A terbang.

15. Segitiga apakah yang akan diperoleh, jika sisi-sinya merupakan segmen grafik fungsi

linier Y = −2X + 3, Y = 2X – 5, dengan Y = −5X – 3 ?

16. Fungsi genap dan fungsi ganjil termasuk dalam kelompok fungsi mana ? Fungsi pada,

fungsi ke dalam, fungsi satu-satu pada, atau fungsi satu-satu ke dalam ? Sajikan alasan

saudara untuk mengemukakan hal itu !

17. Tentukan fungsi komponen dari fungsi komposisi di bawah ini.

(a) Y = log 3x2 2 − (b) Y = Tg 1x3x2

3x22 +−

− (c) Y = ln

1x)1x(Tg

−−

(d) Y = 1x3x2

2x33x2

ln

2 +−+−

(e) Y = 3x2 – 2xe-2x+1 (f) Y = Sec 1x1x

+−

18. Jika f(x) = 3x2 2 − dan g(x) = x2 – 1, maka tentukan domain untuk fungsi h(x) =

(a) (f + g)(x) (b) )x(gf��

��

� (c) (f.g)(x) (d) fog(x) (e) gof(x) (f) )x(

fg��

��

�

19. Sebuah pelat seng berukuran 24 x 32 meter, akan dibuat kotak persegi (panjang, lebar,

dan tinggi sama) tanpa tutup. Jika V(x) menyatakan fungsi volume kotak, maka

tentukan

(a) persamaan untuk V(x) (b) domain dari V(x)

20. Untuk fungsi-fungsi siklometri, fungsi mana yang merupakan fungsi genap, dan yang

mana yang merupakan fungsi ganjil ?

Sajikan telaahan saudara !

81

BAB III

LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI

Salah satu segi dalam fungsi real adalah nilai pendekatan (limit) dan kekontinuan

fungsi. Kekontiuan fungsi merupakan implementasi langsung dari perhitungan limit.

Perhitungan limit banyak digunakan dalam analisis statistika, matematika dan ilmu-ilmu

terapan.

Definisi

Limit dari fungsi y = f(x) sama dengan b, jika x menuju nilai a, ditulis :

b)x(fLimaX

=→

artinya, untuk setiap bilangan yang cukup kecil, ε > 0 , (ε : dibaca epsilon) selalu ada

bilangan yang cukup kecil lainnya, δ > 0 , (δ : dibaca delta), sedemikian rupa sehingga

f(x) – b < ε , jikax – a < δ.

Dari deskripsi ini, nilai f(x) hanya mendekati b, artinya, nilai f(x) tidak pernah sama

dengan b, jika x mendekati a.

Gambar III.1 Gambaran ilmu ukur )x(fLim

aX→

Y

X a

f(a) �

82

Ilustrasi :

Tunjukan bahwa 1x1x

Lim1X +

−→

= 0

Jawab

Ambil ε > 0, sehingga 01x1x −

+−

= 1x1x

+−

= 1x

1x

+−

< ε. Karena x + 1 > 0, maka

x − 1 < εx + 1. Dalam hal ini, jika ε merupakan bilangan yang cukup kecil, maka

εx + 1 = δ > 0 juga akan merupakan bilangan yang cukup kecil. Sehingga untuk setiap

ε > 0 ada δ = εx + 1 > 0, sedemikian rupa sehingga

01x1x −

+−

= 1x1x

+−

< ε, jika x − 1 < δ.

Hal ini menyatakan bahwa 1x1x

Lim1X +

−→

= 0, benar.

Menghitung nilai limit dengan menggunakan definisi tidaklah mudah. Sehingga

diperlukan sebuah metode praktis untuk menghitungnya. Berikut ini disajikan bagaimana

menghitung limit fungsi dan segi-segi yang dapat ditelaah pada perhitungan limit fungsi.

III.1. Cara menghitung nilai limit

Jika dimiliki persoalan sebagai berikut :

Berapakah )x(fLimaX→

?

maka cara menghitungnya :

1. Subtitusikan x = a ke f(x), sehingga diperoleh nilai f(a).

2. Selidiki apakah nilai f(a) bukan nilai tak-tentu ?

Yang termasuk nilai tak-tentu adalah bentuk-bentuk : ∞∞∞

∞∞∞∞ ,

0,

0,

00

, .0 , . .

3. Jika f(a) bukan nilai tak tentu, maka f(a) adalah nilai limit yang dicari. Sedangkan jika

nilai tak-tentu, maka bentuk f(x) harus diubah melalui sebuah proses aljabar, sehingga

jika disubtitusikan nilai x = a diperoleh nilai yang bukan nilai tak tentu.

83

Contoh 1

Hitunglah )1x1x

(fLim2

1x +−

→ !

Jawab :

Jika disubtitusikan x = 1 ke ( ) )1x1x

(xf2

+−= maka diperoleh nilai 0

10

1)1(1)1(

)1(f2

==+−= ,

yang bukan nilai tak tentu. Sehingga 0)1x1x

(fLim2

1x=

+−

→.

Contoh 2

Hitunglah )1x1x

(fLim2

1x −−

→ !

Jawab :

Jika disubtitusikan x = 1 ke ( ) )1x1x

(xf2

−−= maka diperoleh nilai

00

1)1(1)1(

)1(f2

=−−= , yang

merupakan sebuah nilai tak tentu.

Sehingga bentuk fungsi harus diubah menjadi, ( ) ( )( )1x

1x1x1x

1x1x

xf2

+=−

+−=−−= , yang

jika disubtitusikan x = 1 ke f(x) = x + 1 akan diperoleh nilai f(1) = (1) + 1 = 2. Sehingga

2)1x1x

(fLim2

1x=

−−

→.

Khusus untuk menghitung limit fungsi pecahan )x(g)x(f

Limx ∞→

, g(x) � 0 untuk setiap nilai x,

dengan f(x) dan g(x) merupakan fungsi polinom. Caranya sebagai berikut.

1. bagi kedua fungsi tersebut oleh x yang berpangkat paling tinggi,

2. subtitusikan x = ∞ ke fungsi hasil bagi.

84

Contoh 3

a) Hitunglah 4x2x33x3x2

Lim 2

2

x −+−−

∞→

Jawab :

Bagi pembilang dan penyebut oleh x2,

4x2x33x3x2

Lim 2

2

x −+−−

∞→=

222

2

222

2

x

x4

xx2

xx3

x3

xx3

xx2

Lim−+

−−

∞→=

2

2

x

x4

x2

3

x3

x3

2Lim

−+

−−

∞→=

2

2

423

332

∞−

∞+

∞−

∞−

= 003002

−+−−

= 32

b) Hitunglah 2x2x2x3

1x3x2Lim 23

2

x +−−++−

∞→

Jawab :

Bagi pembilang dan penyebut oleh x3,

2x2x2x31x3x2

Lim 23

2

x +−−++−

∞→=

333

2

3

3

333

2

x

x2

xx

2xx

2xx

3

x1

xx

3xx

2Lim

+−−

++−

∞→=

32

32

x

x2

x1

2x1

23

x1

x1

3x1

2Lim

+−−

++−

∞→

=

32

32

212

123

113

12

∞+

∞−

∞−

∞−

∞+

∞−

= 00.20.23

00.30.2+−−

−+− = 30

= 0

III.2 Dalil Limit

Untuk mempermudah perhitungan limit fungsi, dapat digunakan dalil-dalil tentang limit

di bawah ini.

1. 1x Sin

xLim

xx Sin

Lim0x0x

==→→

Bukti

Jika diambil ε > 0, sedemikian rupa sehingga

1x

x Sin − = x

xx Sin − ≤

x

xx Sin + ≤

x

x1+ < ε

85

maka

1 + x < εx � (1 − ε)x < −1 � x < ε−

−1

1 <

ε−−

11

= δ > 0

Hal ini menyatakan bahwa, untuk setiap ε > 0 selalu ada δ = ε−

−1

1 sedemikian rupa

sehingga 1x

x Sin − < ε, jika x < δ. Dengan perkataan lain 1x Sin

xLim

xx Sin

Lim0x0x

==→→

benar.

Contoh 4

Hitunglah ( ) x Tgx2Lim21

x

π−π→

!

Jawab :

( ) x Tgx2Lim21

x

π−π→

= ( )π−π→

x2Lim21

x

x TgLim21

x π→= ( )π−

π→x2Lim

21

x

x TgLim21

x π→

= ��

�� π−�

��

π21

2 Tg(½π) = 0.∞.

Hasilnya merupakan nilai tak tentu, sehingga bentuk fungsi harus diubah menjadi

(2x − π)Tg x = 2(x − ½π)x Cosx Sin

= 2(x − ½π)�

��

−π

�

��

−π

)x21

Sin

x21

Cos

= 2Cos(½π−x)�

��

π−−

�

��

π−

21

xSin

21

x= −2Cos(½π−x)

�

��

π−

�

��

π−

21

xSin

21

x

86

sehingga

( ) x Tgx2Lim21

x

π−π→

= ( ) x Tgx2Lim0

21

x

π−→�

��

π− = =

021

x

Lim→�

��

π−−2Cos(½π−x)

�

��

π−

�

��

π−

21

xSin

21

x

= �

��

−π−→�

��

π−x

21

Cos2Lim0

21

x�

��

π−

�

��

π−

→�

��

π−

21

xSin

21

xLim

021

x

= = −2Cos(−0).(1) = −2(1)(1) = −2

2. ( ) ex1Lim x1

x=+

∞→ , e bilangan irasional.

Bukti

Karena ( ) ex1Lim x1

x=+

∞→ identik dengan e

y1

1Limy

0y=��

��

+

→, sehingga jika diambil ε > 0,

sedemikian rupa sehingga

ey1

1y

−��

��

+ = e

y1y

y

−��

��

+<

y

y1y��

��

+ + e < ε

maka

0 < y

y1y��

��

+ < ε − e < ε − e = δ �

δ > y

y1y��

��

+ = y

y

y)1y( +

= y

y

0i

i

y

yiy

�=

��

��

= �−

=

1y

0i

iy > y

Hal ini menyatakan bahwa, untuk setiap ε > 0 selalu ada δ = ε − e, sedemikian rupa

sehingga ey1

1y

−��

��

+ < ε, y < δ. Dengan perkataaan lain ( ) ex1Lim x

1

x=+

∞→ benar.

Catatan : ��

��

iy

= !i)!iy(

!y−

, y! = 1.2.3. . . . y , dengan 0! didefinisikan sama dengan 1.

87

Contoh 5

a. ( )2x

2x 2x1x

Lim−

→�

��

−−

= ( )2x

2x 2x1

1Lim−

→�

��

−+

Jika ditulis : y = 2x

1−

� (x – 2) = y1

, maka : x � 2 � y → ∞, sehingga

( )2x

2x 2x1x

Lim−

→�

��

−−

= ( )y1

yy1Lim +

∞→= e

b. )x(Ctg

2x )x(Cos

)x(Sin)x(CosLim ��

��

+π

→=

)x(Ctg

2x )x(Cos

)x(Sin1Lim ��

��

+

π→

= ( ) )x(Tg1

2x

)x(Tg1Lim +π

→

Jika ditulis : Tg(x) = y, maka x → 2π

� y → ∞, sehingga

)x(Ctg

2x )x(Cos

)x(Sin)x(CosLim ��

��

+π

→= ( )y

1

y)y1Lim +

∞→ = e.

3. kkLimax

=→

, k : konstanta.

Bukti

Karena k − k = 0 < ε, maka selalu ada δ > 0, sedemikian rupa sehingga x − a < δ,

dengan perkataan lain kkLimax

=→

benar.

Contoh 6

5Lim1x −→

= 5

4 )x(gLim)x(fLim)x(g)x(fLimaxaxax →→→

= , jika hasilnya bukan nilai tak tentu, sedangkan jika

hasilnya nilai tak tentu maka bentuk f(x)g(x) harus diubah dulu, baru dihitung nilai

limitnya.

Bukti

Jika dimisalkan u)x(fLimax

=→

dan v)x(gLimax

=→

, maka ada ε1, ε2, dan δ, sedemikian

rupa sehingga u)x(f − < ε1, v)x(g − < ε2, x − a < δ.

88

Karena f(x)g(x) – uv = {f(x) – u}{g(x) – v} + vf(x) + ug(x) – 2uv

= {f(x) – u}{g(x) – v} + v{f(x) – 1} + u{f(x) – 1}

� f(x)g(x) – uv = {f(x) – u}{g(x) – v} + v{f(x) – 1} + u{f(x) – 1}

≤ {f(x) – u}{g(x) – v} + v{f(x) – 1} + u{f(x) – 1}

< {f(x) – u}{g(x) – v} = {f(x) – u}{g(x) – v} < ε1ε2 = ε,

jika x − a < δ.

Hal ini menyatakan bahwa )x(gLim)x(fLim)x(g)x(fLimaxaxax →→→

= , benar.

Contoh 7

a. ( ) ( )π−π−π→

x2Sin2xLimx

, jika diselesaikan sesuai dalil

( ) ( )π−π−π→

x2Sin2xLimx

= ( ) ( )π−π−π→π→

x2SinLim2xLimxx

= ( ) ( )π−ππ−π→π→

2SinLimxLimxx

= ( ) ππ−π Sin2 = (-π)(0) = 0 (bentuk tentu)

b. )2x(Sin6xx2

5x3Lim 22x

−−−

+→

, jika diselesaikan sesuai dalil

)2x(Sin6xx2

5x3Lim 22x

−−−

+→

= 6xx2

5x3Lim 22x −−

+→

)2x(SinLim2x

−→

= )22(Sin6)2()2(2

5)2(32 −

−−+

= 0.0

11 = ∞.0 (bentuk tak tentu)

Fungsi harus diubah menjadi

)2x(Sin6xx2

5x32 −

−−+

= )2x(Sin)2x)(3x2(

5x3 −−+

+ =

)2x()2x(Sin

)3x2(5x3

−−

++

sehingga

)2x(Sin6xx2

5x3Lim 22x

−−−

+→

= )2x(

)2x(Sin3x25x3

Lim2x −

−++

→ =

)2x()2x(Sin

Lim3x25x3

Lim2x2x −

−++

→→

= 1.3)2(25)2(3

++

= 7

11

89

5 )x(fLimk)x(kfLimaxax →→

= , k : konstanta

Bukti

Gunakan analogi pembuktian Dalil 4, dengan mengambil g(x) = k.

Contoh 8

( )xx2x35Lim 23

2x−−−

−→ = ( )xx2x35Lim5 23

2x−−−

−→

= -5 ( )xLimx2Limx3Lim2x

2

2x

2

2x −→−→−→−− = -5 ( )xLimxLim2xLim3

2x

2

2x

2

2x −→−→−→−−

= -5{3(-2)3 – 2(-2)2 – (-2)} = -5(-24 – 4 + 2) = 130

6 )x(gLim

)x(fLim

)x(g)x(f

Limax

ax

ax→

→

→= , jika hasilnya bukan nilai tak tentu, sedangkan jika hasilnya nilai

tak tentu maka bentuk )x(g

)fx harus diubah baru dihitung nilai limitnya.

Bukti

Gunakan analogi Dalil 4, dengan menyajikan )x(g

)fx =

)x(g1

f(x)

Contoh 9

a. 1x2x2x3x2

Lim 2

2

1x ++−−

−→ , jika dihitung sesuai dalil

1x2x2x3x2

Lim 2

2

1x ++−−

−→=

( )( )1x2xLim

2x3x2Lim2

1x

2

1x

++

−−

−→

−→ = 1)1(2)1(2)1(3)1(2

2

2

+−+−−−−−

= 03

= ∞ (bentuk tentu)

b. )2x(Tg2x3x

2xLim 22x

−+−

−→

, jika dihitung sesuai dalil

)2x(Tg2x3x

2xLim 22x

−+−

−→

= )22(Tg2)2(3)2(

2)2(2 −

+−−

= 0.00

= 00

(bentuk tak tentu)

Fungsi harus diubah menjadi

)2x(Tg2x3x

2x2 −

+−−

= )2x(Tg)1x)(2x(

2x −−−

−= )2x(Tg

)1x(1 −−

90

sehingga

)2x(Tg2x3x

2xLim 22x

−+−

−→

= )2x(Tg)1x(

1Lim

2x−

−→= )22(Tg

)12(1 −−

= 1.0 = 0.

7. ( ) )x(gLim)x(fLim)x(g)x(fLimaxaxax →→→

+=+

Bukti

Jika dimisalkan u)x(fLimax

=→

dan v)x(gLimax

=→

, maka ada ε1, ε2, dan δ, sedemikian

rupa sehingga u)x(f − < ε1, v)x(g − < ε2, x − a < δ.

Karena {f(x) + g(x)} – uv = {f(x) – u} + {g(x) – v} + u + v – uv

� {f(x) + g(x)} – uv = {f(x) – u} + {g(x) – v} + u + v – uv

≤ {f(x) – u} + {g(x) – v} + u + v – uv

< {f(x) – u} + {g(x) – v} < ε1 + ε2 = ε,

jika x − a < δ.

Hal ini menyatakan bahwa ( ) )x(gLim)x(fLim)x(g)x(fLimaxaxax →→→

+=+ , benar.

Contoh 10

( ))2x(Cos)x2(SinLimx

π−+π−π−→

= ( ))x2(SinLimx

π−π−→

+ ( ))2x(CosLimx

π−π−→

= Sin (2(-π) - π) + Cos ((-π) - 2π) = Sin (-3π) + Cos (-π) = 0 + (-1) = -1

III.3. Limit Kiri , Limit Kanan

Untuk menghitung nilai )x(fLimax→

bisa dilakukan secara sepihak terhadap x = a. Artinya

nilai limit dihitung berdasarkan x < a atau x> a secara berdiri-sendiri. Hal ini dilakukan

terutama jika fungsi f(x) bentuknya terbagi oleh x = a.

Misal fungsi f(x) yang didefinisikan sebagai berikut

( )��

�

��

�

�

−>+

++−=−

−<−−

+

=

1x jika , 1xTg

1x3x21x jika , 2

1x jika , 2xx

1x

)x(f2

2

91

Untuk menghitung nilai )x(fLim1x −→

, prosesnya harus dilakukan berdasarkan x < −1 dan

x > −1, yang berdiri-sendiri.

)x(fLim1x −→

=

��

��

�

+++=

−−+=

−→−→−>

−→−→−<

)1x(Tg1x3x2

Lim)x(fLim

2xx1x

Lim)x(fLim2

1x11x

21x11x

Secara matematis pernyataan )x(fLim11x −→−<

disajikan oleh )x(fLim1x −−→

, yang dinamakan limit

kiri dari f(x). Sedangkan )x(fLim11x −→−>

disajikan oleh )x(fLim1x +−→

, yang dinamakan limit

kanan dari f(x).

Definisi

Limit kiri dari fungsi y = f(x), jika x menuju a, sama dengan b, ditulis

b)x(fLimaX

=−→

artinya, untuk setiap bilangan yang cukup kecil ε > 0 selalu ada bilangan yang cukup kecil

yang lain δ > 0, sedemikian rupa sehingga f(x) – b < ε jikax – a < δ, untuk x ≤ a.

Sebaliknya

Limit kanan dari fungsi y = f(x) jika x menuju a, sama dengan b, ditulis

b)x(fLimaX

=+→

artinya, untuk setiap bilangan yang cukup kecil ε > 0 selalu ada bilangan yang cukup kecil

yang lain δ > 0, sedemikian rupa sehingga f(x) – b < ε jikax – a < δ, untuk x ≥ a.

Dari deskripsi ini, perhitungan untuk limit kiri dan limit kanan sama dengan perhitungan

untuk limit seperti yang telah dikemukakan. Dalam hal nilai limit kiri sama dengan limit

kanan

)x(fLimax −→

= )x(fLimax +→

,

maka dinamakan nilai limit fungsi ada,

)x(fLimax −→

= )x(fLimax +→

= )x(fLimax→

.

92

Contoh 11

Jika diketahui fungsi y = f(x) yang didefinisikan seperti di bawah ini

( )��

�

��

�

�

−>+

++−=−

−<−−

+

=

1x jika , 1xTg

1x3x21x jika , 2

1x jika , 2xx

1x

)x(f2

2

maka hitunglah )x(fLim1x −→

!

Jawab :

Limit kiri :

( )( ) 2111x

1Lim

2x1x1x

Lim2xx

1xLim)x(fLim

1x1x21x1x 1=+=

+=

−++=

+−+=

−→−→−→−→ −

Limit kanan

( )( )( )

( ) ( )

( )( )

( )( )( )

( ) ( )

( ) ( ) 10Cos)1(1xCosLim)1x(Sin

1xLim

)1x(Sin1xCos1x

Lim)1(

1xCos1xSin

1xLim1)1(2

)1x(Tg1x

Lim1x2Lim1xTg

1x1x2Lim

)1xTg1x3x2

Lim)x(fLim

1x1x

1x01x

1x1x1x

2

1x1x

−=−=++

+−=

+++−=

++

++−=

+++=

+++=

+++=

−→−→

−→→+

−→−→−→−→−→ +

karena nilai limit kiri tidak sama dengan limit kanan,

)x(fLim1x −−→

� )x(fLim1x +−→

,

maka )x(fLim1x −→

tidak dapat dihitung (tidak ada nilai limitnya).

III.4 Kekontinuan Fungsi

Sebuah fungsi y = f(x) disebut kontinu di titik x = a, jika dipenuhi tiga kondisi sebagai

berikut :

1. nilai y = f(x) di x = a, f(a) ada (terdefinisikan)

2. nilai limit fungsi di x = a, ada, artinya )x(fLimax −→

= )x(fLimax +→

= )x(fLimax→

3. )x(fLimax→

= f(a)

93

a

• •

f(a)

a

Jika salah satu dari kondisi-kondisi tersebut tidak ada, maka dikatakan fungsi tidak kontinu

(diskontinu).

Secara ilmu ukur gambar fungsi tidak kontinu adalah seperti pada Gambar III.1.

Y Y

X X

(a) (b)

Y

X

(c)

Gambar III.1 Fungsi-fungsi tidak kontinu (diskontinu) di x = a

(a) : )x(fLimax→

tidak ada

(b) : )x(fLimax→

ada tetapi )x(fLimax→

≠ f(a)

(c) : f(a) tidak ada (tidak didefinisikan) Pada Gambar III.1 (a) fungsi dikatakan diskontinu loncat, Gambar III.1 (b) diskontinu

dapat dihapus, yaitu jika f(a) didefinisikan sama dengan )x(fLimax→

, dan Gambar III,1 (c)

diskontinu murni.

y = f(x) y = f(x)

y = f(x)

f(a)

94

Contoh 11.

Selidiki apakah fungsi

( )

( )��

�

��

�

�

−>+

++−=−

−<π+π

−

=

1x jika , 1xSin

1x6x21x jika , 2

1x jika , xCos

1x

)x(f2

2

,

kontinu di x = −1 ?

Jawab :

Limit kiri

)x(fLim1x −−→

= ( )π+π−

−→ xCos1x

Lim2

1x=

( )( )xCos

1x1xLim

1x π−+−

−→= ( ) ( )

�

��

π−π−

+−−→−→

x21

Sin

1xLim1xLim

1x1x

= ( )( )

( )�

��

−π−−

+−−→+

21

xSin

1xLim1)1(

01x=

( )( )

�

��

−+π

+−→+

21

11xSin

1xLim2

01x

= ( )

( )( ) ( ) π+π−π+π

+−→+

21

1Sin1xCos21

1Cos1xSin

1xLim2

01x

= ( )

( )( ) ( ) )0.(1xCos)1.(1xSin

1xLim2

01x +π−−+π+−

→+ =

( )( )

( )1xSin1x

Lim201x +π

+→+

= (2)(1) = 2

Limit kanan

)x(fLim1x +−→

= ( )1xSin1x6x2

Lim2

1x +++

−→ =

( )( )( )1xSin

1x4x2Lim

1x +++

−→= ( ) ( )

( )1xSin1x

Lim4x2Lim1x1x +

++−→−→

= ( )( )

( )( )1xSin

1xLim4)1(2

01x +++−

→+= (2)(1) = 2

Karena )x(fLim1x −−→

= )x(fLim1x +−→

= )x(fLim1x −→

= 2 tetapi tidak sama dengan f(−1) = −2 , maka

fungsi tidak kontinu di x = −1.

95

III.5. Menghitung Limit Dengan Mathcad

Jika secara ”manual” perhitungan limit fungsi sulit dilakukan, maka dapat digunakan

program Mathcad untuk menyelesaikannya. Misal menghitung

( ) ( )�

��

+

+−−→

1xx

Log

1xTg1xLim

2

1x.

Jika disubtitusikan x = −1 ke fungsi yang dicari nilai limitnya, akan diperoleh bentuk tak

tentu 00 . Merubah fungsi tersebut, untuk mendapatkan nilai limit yang bukan bentuk tak

tentu, proses aljabarnya tidak sederhana.

Jika dihitung dengan menggunakan program Mathcad, prosesnya sebagai berikut.

1. “Jalankan” program Mathcad 2000, sehingga diperoleh tampilan

96

2. “Tutup” tampilan Resource Centre, sehingga diperoleh tampilan

3. ”Klik” operator limit pada fungsi Calculator (lihat tanda panah), sehingga diperoleh

tampilan seperti di bawah ini. Selanjutnya tulis formulasi limit yang dicari.

Ketik, −1

Ketik, x

Ketik, ( ) ( )

�

��

+

+−

1xx

log

1xtan . 1x 2

97

4. ”Klik” tanda → pada fungsi Evaluation . . . (lihat tanda panah)

Pada spreadsheet tersurat,

( ) ( )�

��

+

+−−→

1xx

Log

1xTg1xLim

2

1x = 0


1. Dengan menggunakan definisi limit, tunjukan bahwa

(a) 21

1x1x

Lim 21x=

−−

→ (b) 1

x xTg

Lim1x

=→

(c) ( ) 0 xln1xLim1x

=−→

(d) 1)1x(Sin

1xLim

1x=

−−

→

(e) 21xx

1xLim 21x

=−+

+→

(f) 01x

1xLim 2x

=−

−∞→

(g) 1x1

Sin xLimx

=�

��

∞→

(h) axLimax

=→

2. Hitunglah

(a) 4x4x

3x8xxLim 2

23

2x +++−+

−→ (b)

31

21x 1x1x

Lim �

��

−−

→ (c)

1x)1x(Sin

Lim 21x −−

→ (d)

1x1x

Lim 2x −−

∞→

(e) 3 23

2

x 1xxx

1x2xLim

−+−

−+∞→

(f) 1x

)1xln(Lim 21x −

−→

(g) 1x

e xLim 2

1x1

x −

−

∞→ (h)

1x2xx

Lim2

1x +−−

−→

(i) 2xSin xTg

Lim0x→

(j) ( ){ }xCtgxCos1Lim 22

0x−

→ (k) ( )

��

��

−−

π→ 1SecxSec

xSin1Lim 2

2

21

x

98

3. Telaah kekontinuan dari fungsi-fingsi di bawah ini

(a)��

��

�

>+

≤+

−+=

0 xjika , 1x

0 xjika ,1x

3x2x)x(f

24

(b)��

��

�

>−≤≤

<=

1 xjika , x21x 0 jika ,x

1 x jika , x

)x(f 2 (c)3

2

1x

1xx)x(f

+

−+=

(d) ��

= irasional x jika ,x - rasional x jika , x

)x(f (e) f(x) = x2 – 2x + 5 (f) ��

��

+−=1x1x

Sin)x(f2

4. Jika didefiniskan fungsi ��

��

�

≥<<+

≤−=

1 xjika , 11x 0 jika ,bax

0 x jika , 1

)x(f , maka hitunglah nilai a dan b agar

fungsi kontinu di mana-mana !

5. Gambarkan grafik fungsi y = f(x), yang memiliki ciri : domainnya [0 , 6] ; f(0) = f(2) =

f(4) = f(6) = 2 ; kontinu kecuali di x = 2 ; 1)x(fLim2x

=−→

; 3)x(fLim5x

=+→

.

6. Tunjukan bahwa fungsi y = f(x) kontinu di x = c, jika dan hanya jika )c(f)cx(fLim0x

=+→

7. Tunjukan bahwa jika fungsi y = f(x) kontinu di x = c dengan f(c) > 0, maka ada selang

nilai (c−δ , c+δ) sedemikian rupa sehingga f(x) > 0 untuk setiap x dalam selang nilai

tersebut.

8. Tunjukan bahwa nilai limit fungsi bersifat tunggal, artinya jika A)x(fLimax

=→

dan

B)x(fLimax

=→

, maka A = B

9. Tunjukan bahwa jika fungsi y = f(x) kontinu pada domain [0 , 1], dengan 0 ≤ f(x) ≤ 1

untuk setiap 0 ≤ x ≤ 1, maka fungsi memiliki titik tetap, yaitu ada nilai x = c, 0 ≤ c ≤ 1,

sedemikian rupa sehingga f(c) = c.

10. Jika y = f(x) fungsi kontinu pada domain [a , b], dan A nilai dengan ciri f(a) ≤ A ≤ f(b),

maka ada c dalam domain tersebut, sedemikian rupa sehingga f(c) = A.

11. Jika B)x(gLimax

=→

dan y = f(x) fugsi kontinu di x = B, maka )x(fogLimax→

= ( ))x(g(Limfax→

= B. Pernyataan ini identik dengan pernyataan, jika y = g(x) kontinu di x = a dan

y = f(x) kontinu di x = g(a), maka y = fog(x) kontinu di x = a.

Buktikanlah.

99

12. Perhatikan fungsi ��

��

�

≥<<

<=

1 x jika ,x -11 x 1- jika ,x -1 xjika , x

)x(f

3

a) Apakah ada nilai x yang menyebabkan fungsi diskontinu ?

b) Berapakah nilai f(a) agar fungsi kontinu di mana-mana !

13. Perhatikan gambar fungsi y = f(x) di bawah ini

Tentukan nilai limit, nilai fungsi,

atau pernyataan, sehubungan dengan

hal-hal berikut

(a) )x(fLim1x −→

(b) f(2)

c) titik-titik di mana fungsi

diskontinu loncat, dan diskontinu

dapat dihapus

d) sifat fungsi pada domain [−4 , 2]

14. Jika fungsi-fungsi y = f(x), y = g(x), dan y = h(x), memiliki ciri f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk

setiap x < c, x = c, x > c. Jika )x(fLimcx→

= )x(hLimcx→

= A, maka )x(gLimcx→

= A.

Buktikanlah !

1

2

4

-4 -3 -2 -1 1 4 3 2

X

Y

3

100

BAB IV

TURUNAN ( DIFFERENSIASI )

Turunan atau diferensiasi dari sebuah fungsi merupakan hal khusus dari limit fungsi.

Misalkan diketahui fungsi y = f(x). Jika

h)x(f)hx(f

0hLim

−+

→

ada dan nilainya berhingga, maka

h)x(f)hx(f

0hLim

−+

→ = )x(f ′ .

Dalam hal ini )x(f ′ dinamakan turunan (diferensiasi) fungsi y = f(x).

Tanda aksen ( ′′′′ ) pada )x(f ′ dinamakan operator turunan atau diferensiasi. Banyaknya

tanda aksen menyatakan orde atau tingkat dari turunan. Misalnya, )x(f ′ turunan orde

pertama, f ′′(x) turunan orde kedua, dan seterusnya.

Pernyataan )x(f ′ dapat juga disajikan oleh dx

)x(df atau

dxdy

, )x(f ′ = dx

)x(df =

dxdy

.

Dalam hal ini dy dan dx, masing-masing dinamakan diferensial dari y dan x. d dinamakan

operator diferensial. Suatu fungsi yang memiliki turunan dinamakan diferensiabel, dan

jika memiliki turunannya hanya pada beberapa titik pada domainnya, dinamakan

diferensiabel pada beberapa titik. Sedangkan jika pada seluruh domain fungsi dinamakan

diferensiabel di mana-mana.

Contoh 1

Jika f(x) = Sin x maka tentukan )x(f ′ !

Jawab :

f(x) = Sin x

f(x−h) = Sin (x+h)

f(x+h) – f(x) = Sin (x+h) – Sin x = 2Sin ½{(x+h) – x}Cos ½{(x+h) + x}

= 2Sin ½hCos (x +½h)

101

y = f(x)

a

f(a) ϕ

f(a+h) f(a+h)-f(a)

h

)hx(CosLimh

hSinLim

h)hx(hCosSin2

Limh

)x(f)hx(fLim 2

10h

21

21

0h

21

21

0h0h+=+=−+

→→→→

= (1)Cos x = Cos x,

yang merupakan fungsi dengan rangenya, Cos x ≤ 1. Hal ini berarti h

)x(f)hx(fLim

0h

−+→

ada dan nilainya berhingga. Sehingga jika f(x) = Sin x, maka )x(f ′ = Cos x.

IV.1. Arti turunan

Turunan dari sebuah fungsi adalah fungsi lagi. Sedangkan turunan pada sebuah titik,

x = a, )a(f ′ , adalah koefisen arah garis singgung lengkungan y = f(x) di titik x = a.

a+h

Gambar IV.1 Arti ilmu ukur turunan pada sebuah titik

)a(f ′ = Tg ϕϕϕϕ

Perhatikan Gambar IV.1. Berdasarkan goniometri, h

)a(f)ha(f −+ = Tg Ψ. Sehingga

jika h → 0 maka f(a+h) → f(a), dan Ψ → ϕ. Dan berdasarkan konsepsi turunan,

f ′(a) = h

)a(f)ha(f

0hLim

−+

→

jika nilainya ada dan berhingga.

Hal ini menyimpulkan bahwa f ′(a) = h

)a(f)ha(f

0hLim

−+

→ = ψ

→Tg

0hLim = Tg ϕ,

merupakan koefisien arah garis singung lengkungan y = f(x) di titik (a , f(a)).

Ψ

Y

X

102

Contoh 2.

Tentukan persamaan garis singgung pada lengkungan y = Sin x di titik x = ¼π !

Jawab :

Pada Contoh 1, telah ditunjukan bahwa, jika f(x) = Sin x maka )x(f ′ = Cos x.

Untuk x = ¼π, )(f 41 π′ = Cos ¼π = 22

1 , dan Sin ¼π = 221 .

Sehingga persamaan garis singgung yang dicari adalah, persamaan garis yang melalui titik

(¼π , 221 ) dengan koefisien arah 22

1 , yaitu

y − 221 = 22

1 (x − ¼π) � y = 221 x – (¼π - 22

1 )

IV.2. Dalil dasar untuk turunan

Menghitung turunan dengan menggunakan deskripsi turunan seperti yang telah

dikemukan, jelas tidak efisien, walaupun selalu dapat dilakukan. Untuk efisiensi

perhitungan, dapat digunakan dalil-dalil untuk turunan seperti di bawah ini.

Dalil :

1. Jika f(x) = k , k : konstanta , maka )x(f ′ = 0

Bukti

f(x) = k

f(x+h) = k

f(x+h) – f(x) = 0

h)x(f)hx(f

Lim0h

−+→

= h0

Lim0h→

= 0 = )x(f ′

2. Jika f(x) = g(x) h(x) , maka )x(f ′ = )x(g′ h(x) + )x(h′ g(x)

Bukti

f(x) = g(x) h(x)

f(x+w) = g(x+w)h(x+w)

103

f(x+w) – f(x) = g(x+w)h(x+w) – g(x)h(x)

= {g(x+w) – g(x)}h(x) +{h(x+w) – h(x)}g(x) − g(x+w)h(x) − h(x+w)g(x)

+ h(x)g(x) + g(x+w)h(x+w)

= {g(x+w) – g(x)}h(x) +{h(x+w) – h(x)}g(x) + g(x+w){h(x+w) – h(x)}

− g(x){h(x+w) – h(x)}

w)x(f)wx(f

Lim0w

−+→

= w

)x(h)}x(g)wx(g{Lim

0w

−+→

+ w

)x(g)}x(h)wx(h{Lim

0w

−+→

+ w

)}x(h)wx(h){wx(gLim

0w

−++→

− w

)}x(h)wx(h){x(gLim

0w

−+→

w)x(f)wx(f

Lim0w

−+→

= )x(hLimw

)}x(g)wx(g{Lim

0w0w →→

−++ )x(gLim

w)}x(h)wx(h{

Lim0w0w →→

−+

+w

)}x(h)wx(h{Lim)wx(gLim

0w0w

−++→→

−w

)}x(h)wx(h{Lim)x(gLim

0w0w

−+→→

Sehingga jika nilai-nilai limitnya ada dan berhingga, maka

f′(x) = g′(x)h(x) + h′(x)g′(x) + g(x)h′(x) – g(x)h′(x) = g′(x)h(x) + h′(x)g′(x)

3. Jika f(x) = kg(x) , k : konstanta , maka )x(f ′ = k )x(g′

Bukti

Gunakan analogi pembuktian Dalil 2, dengan membuat h(x) = k

4. Jika f(x) = )x(h)x(g

, h(x) ≠ 0 untuk setiap nilai x , maka )x(f ′ = { }2)x(h

)x(g)x(h)x(h)x(g ′−′

Bukti

Gunakan analogi pembuktian Dalil 2, dengan menyajikan f(x) = g(x) ��

��

�

)x(h1

104

5. Jika f(x) = g(x) + h(x) , maka )x(f ′ = )x(g′ + )x(h′

Bukti

f(x) = g(x) + h(x)

f(x+w) = g(x+w) + h(x+w)

f(x+w) – f(x) = {g(x+w) + h(x+w)} – {g(x) + h(x)}

= {g(x+w) – g(x)} + {h(x+w) – h(x)}

w

)x(f)wx(fLim

0w

−+→

= w

)x(g)wx(gLim

0w

−+→

+ w

)x(h)wx(hLim

0w

−+→

Jika nilai-nilai limitnya ada dan berhingga, maka f′(x) = g′(x) + h′(x)

6. Jika f(x) = goh(x) , fungsi komposisi , maka )x(f ′ = )x(h)}x(h{g ′′

Bukti

f(x) = goh(x) = g{h(x)}

f(x+w) = goh(x+w) = g{h(x+w)} =

f(x+w) – f(x) = g{h(x+w)} – g{h(x)} = [g{h(x) + w} – g{h(x)}]w

)x(h)wx(h −+

w

)x(f)wx(fLim

0w

−+→

= w

w)x(h)x(h

)}]x(h{g}w)x(h{g[Lim

0w

−+−+

→

= x

)x(h)wx(hLim

w)}x(h{g}w)x(h{g

Lim0w0w

−+−+→→

Sehingga jika nilai-nilai limitnya ada dan berhingga, maka f′(x) = g′{h(x)}h′(x).

7. Jika f(x) = xn maka )x(f ′ = (n-1) xn-1

Bukti

f(x) = xn

f(x+h) = (x+h)n = iinn

0i

hxin −

=� ��

�

��

�

f(x+h) – f(x) = iinn

0i

hxin −

=� ��

�

��

� -xn = iin

n

1i

hxin −

=� ��

�

��

�

105

h

)x(f)hx(fLim

0h

−+→

= h

hxin

Lim

iinn

1i

0h

−

=

→

� ��

��

�

= ��

��

� +− �=

−−−

→

n

2i

1iin1n

0hhxx)1n(Lim

= (n−1)xn-1 = f′(x)

8. Jika f(x) =Sin x maka )x(f ′ =Cos x, dan jika f(x) = Cos x maka )x(f ′ = −Sin x

Bukti

Untuk f(x) = Sin x, perhatikan pembuktian Contoh 1, sedangkan untuk f(x) = Cos x,

gunakan analoginya.

f(x) = Cos x

f(x+h) = Cos(x+h)

f(x+h) – f(x) = Cos(x+h)–Cos x = −2Sin21

(x+h+x)Sin21

(x+h−x)

= −2Sin(x+21

h)Sin21

h

h

)x(f)hx(fLim

0h

−+→

= h

h21

Sin)h21

x(Sin2Lim

0h

+−

→ = −

h

h21

SinLim)h

21

x(SinLim0h0h →→

+

= −Sin (x + 21

(0))(1) = −Sin x, yang merupakan fungsi dengan

range Sin x ≤ 1.

Hal ini berarti h

)x(f)hx(fLim

0h

−+→

ada dan berhingga, sehingga f′(x) = −Sin x.

9. Jika f(x) = ex , e bilangan irasional maka )x(f ′ = ex , sedangkan jika f(x) = ax , a > 0,

a ≠ e maka )x(f ′ = ax ln(a).

Bukti

f(x) = ex

f(x+h) = ex+h

f(x+h) – f(x) = ex+h – ex = exeh – ex = ex(eh – 1)

106

h

)x(f)hx(fLim

0h

−+→

= h

)1e(eLim

hx

0h

−→

= h

1eLime

h

0h

x −→

= ex.1 = ex = f′(x).

Untuk f(x) = ax

Karena a > 0, maka ax = ex ln(a) = eg(x) , dengan g(x) = x.ln(a).

Dengan menggunakan Dalil 6 dan 7, maka

f′(x) = (eg(x)}′ = eg(x)g′(x) = ax{x1-1ln(x)} = axln(a)

10. Jika f(x) = ln x maka )x(f ′ = x1

= x-1, sedangkan jika f(x) = log x maka )x(f ′ = 10lnx

1.

Bukti

f(x) = ln x ⇔ x = ef(x)

Gunakan Dalil 6 dan 7

(x)′ = (ef(x))′ � x1-1 = ef(x)f′(x) � 1 = x f′(x) � f′(x) = x1

= x-1

f(x) = log x = )10ln()xln(

� f′(x) = )10ln(

1(ln x)′ =

)10ln(1

x1

= 10lnx

1

Beberapa contoh perhitungan turunan fungsi.

Contoh 3.

Jika f(x) = 2x2Sin x + 3x2 –2x – 3xCos x , maka tentukan )x(f ′ !

Jawab :

)x(f ′ = (2x2)′Sin x + 2x2(Sin x)′ + (3x2) – (2x) –{(3x)′Cos x + 3x(Cos x)′}

= 2.2x2-1Sin x + 2x2.Cos x + 3.2x2-1 – 2x1-1 – (3x1-1Cos x + 3x.-Sin x)

= 4xSin x + 2x2Cos x + 6x – 2 –3Cos x + 3xSin x

107

Contoh 4.

Jika f(x) = Tg x maka tentukan )x(f ′ !

Jawab :

)x(f ′ =′��

��

�

xCos xSin

= ( ) ( )

( )2 xCos xSin xCosx Cos xSin ′−′

=( ) ( )

( )2 xCos xSin xCosx Cos xSin ′−′

= xCos

n x(-Sin x)Si - x Cos x.Cos2 =

xCosxSinxCos

2

22 + =

xCos1

2 = Sec2 x

Contoh 5.

Jika f(x) = log(2x2 – 3x + 1) maka tentukan )x(f ′ !

Jawab :

Karena

f(x) = log(2x2 – 3x + 1)

merupakan fungsi komposisi f(x) = g(h(x)) dengan

h(x) = 2x2 – 3x + 1 dan g(x) = log(x)

maka

)x(f ′ = )x(h))x(h(g ′′ = ( ) ( )′+−+−

1x3x210ln1x3x2

1 22

= ( ) ( )0x3x2.210ln1x3x2

1 11122 +−

+−−− = ( ) 10ln1x3x2

3x42 +−

−

Contoh 6.

Jika f(x) = (4x3 – 2x2 + 3x)6Ctg(3x2 – 2x) maka tentukan )x(f ′ !

Jawab :

fungsi ini merupakan perkalian dari dua fungsi komposisi, f(x) = g(h(x)).i(j(x)),

g(h(x)) : h(x) = 4x3 − 2x2 + 3x , g(x) = x6

i(j(x)) : j(x) = 3x2 – 2x , i(x) = Ctg(x)

sehingga

)x(f ′ = ( )( ) ( ) ( ) ( )( )′−+−+−′

+− x2x3Ctgx3x2x4x2x3Ctgx3x2x4 26232623

108

= ( ) ( ) ( )x2x3Ctgx3x2x4x3x2x46 2231623 −′+−+− −

( ) ( )( )

′

��

��

�

−−+−+

x2x3Sinx2x3Cos

3x2x42

223

= ( ) ( ) ( )x2x3Ctgx3x2.2x3.4x3x2x46 2111213523 −+−+− −−−

+ ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )

′

��

�

�

��

�

�

−

−′−−−′−+−22

222223

x2x3Sin

x2x3Cosx2x3Sinx2x3Sinx2x3Cos3x2x4

= ( ) ( ) ( )x2x3Ctg3x4x12x3x2x46 22523 −+−+−

+ ( ) ( ) ( ) ( )( x2x3Sin)x2x3(x2x3Sinx2x3Sin

13x2x4 222

2223 −′−−−

−+−

( )( ) ( )��

�−′−−− x2x3Cosx2x3x2x3Cos 222

= ( ) ( ) ( )x2x3Ctg3x4x12x3x2x46 22523 −+−+−

+ ( ) ( ) ( ) ( )( x2x3Sinx2x2.3x2x3Sin

13x2x4 221112

2223 −−−

−+− −−

( ) ( ))x2x3Cosx2x2.3 221112 −−− −−

= ( ) ( ) ( )x2x3Ctg3x4x12x3x2x46 22523 −+−+−

+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )x2x3Cosx2x3Sin2x6x2x3Sin

13x2x4 2222

2223 −−−−−

−+−

= ( ) ( ) ( )x2x3Ctg3x4x12x3x2x46 22523 −+−+− + ( ) ( )( )x2x3Sin

2x63x2x4

2223

−−−+−

= ( ) ( ) ( )x2x3Ctg3x4x12x3x2x46 22523 −+−+−

( )( ) ( )x2x3secCo2x63x2x4 2223 −−+−−

IV.3. Turunan Fungsi Implisit

Untuk menghitung turunan dari fungsi implisit dapat dilakukan dengan menggunakan

operator diferensial, d, yang prosesnya mengikuti dalil-dalil turunan.

109

Contoh 7.

Tentukan y′ dari 2xy2 – 3x – 4y + x2y = −5

Jawab :

Jika digunakan operator diferensial d pada kedua ruas, maka diperoleh

d(2xy2 – 3x – 4y + x2y) = d(−5)

� d(2xy2) – d(3x) – d(4y) + d(x2y) = 0

� 2{d(x).y2 + x.d(y2)} – 3d(x) – 4d(y) + {d(x2).y + x2.d(y)} = 0

� 2y2dx +2x.2y2-1dy – 3dx – 4dy + 2x2-1dx.y + x2dy = 0

� 2y2dx +4xydy – 3dx – 4dy + 2xydx + x2dy = 0,

selanjutnya kumpulkan suku-suku yang memiliki operator dx dengan dy, secara terpisah,

sehingga diperoleh

(2y2dx – 3dx + 2xydx) + (4xydy – 4dy + x2dy) = 0

� (2y2 – 3 + 2xy)dx + (4xy – 4 + x2)dy = 0

� (4xy – 4 + x2)dy = − (2y2 – 3 + 2xy)dx

� dxdy

= y′= ( )( )2

2

x4xy4xy23y2

+−+−−

=4xxy43xy2y2

2

2

−+−+−

IV.4. Turunan dan Kekontinuan Fungsi

Pada Bab III sudah dikemukakan, fungsi y = f(x) kontinu di titik x = a jika dipenuhi tiga

kondisi yaitu,

1. f(a) terdefinisikan (ada nilainya),

2. )x(fLimax→

ada,

3. )x(fLimax→

= f(a).

Berdasarkan deskripsi turunan fungsi pada sebuah titik, x = a,

)a(f ′ =h

)a(f)ha(f

0hLim

−+

→

jika nilainya ada dan berhingga. Karena f′(a) adalah koefisien arah garis singgung

lengkungan di titik x = a, maka syarat perlu sebuah fungsi diferensiabel di titik x = a adalah,

fungsi harus kontinu di titik tersebut. Tetapi sebaliknya tidak selalu berlaku. Artinya, jika

110

sebuah fungsi kontinu di titik x = a, maka fungsi tersebut belum tentu diferensiabel di titik

itu. Sebagai contoh, fungsi nilai mutlak, y = x. Fungsi ini kontinu di titik x = 0, tetapi

tidak diferensiabel di titik tersebut, sebab :

1. Nilai pada x = 0, 0 = 0

2. Limit kirinya, x0x

Lim−→

= x0x

Lim −→

= 0

3. Limit kanannya x0x

Lim+→

= x0x

Lim→

= 0

Ketiga kondisi tersebut, menyatakan )x(f0x

Lim−→

= )x(f0x

Lim+→

= )x(f0x

Lim→

= 0,

yang berarti fungsi y = x kontinu di x = 0.

4. Nilai turunan di x = 0,

)0(f ′ = h

)0(f)h0(f

0hLim

−+

→ =

h

0h0

0hLim

−+

→ =

h

h

0hLim→

= �

<>

0h jika , 1-0h jika , 1

Hal ini menunjukan bahwa, h

)0(f)h0(f

0hLim

−+

→ + = 1, sedangkan

h)0(f)h0(f

0hLim

−+

→ − = −1. Yang berarti,

h)0(f)h0(f

0hLim

−+

→ +�

h)0(f)h0(f

0hLim

−+

→ −

atau h

)0(f)h0(f

0hLim

−+

→ tidak ada.

Dari keempat kondisi tersebut menyatakan bahwa fungsi y = x tidak diferensiabel di

x = 0.

111

O = (0,0)

y = x

Y

X

Gambar IV.2 Grafik fungsi y = x

Pada Gambar IV.2 terlihat bahwa fungsi y = x kontinu di x = 0, tetapi tidak dapat dibuat

garis singgung di titik tersebut, karena grafik fungsi membangun sebuah sudut.

Kesimpulan dari sajian ini adalah : Untuk menelaah apakah fungsi y = f(x) kontnu di

x = a, maka telaah apakah fungsi diferensiabel di titik tersebut ? Artinya, apakah f′(a)

nilainya terdefinisikan ?

IV.5. Turunan Orde Tinggi

Pada awal dari bab ini telah dikemukan bahwa, jika h

)x(f)hx(f

0hLim

−+

→ ada dan

berhingga, maka h

)x(f)hx(f

0hLim

−+

→ = f ′(x). Dalam hal ini f ′(x) dinamakan turunan

orde pertama.

Orde turunan ini dapat dikembangkan sehingga diperoleh turunan orde tinggi.

Konsepsinya dapat menggunakan analogi dari turunan pertama. Jika

h)x(f)hx(f

0hLim

′−+′

→ ada dan berhingga, maka

h)x(f)hx(f

0hLim

′−+′

→ = f ′′(x) = (f ′(x))′.

Analog, jika h

)x(f)hx(f

0hLim

′′−+′′

→ ada dan berhigga, maka

h)x(f)hx(f

0hLim

′′−+′′

→ = f ′′′(x) = (f ′′(x))′

Dan seterusnya f (n)(x) = (f (n-1)(x))′.

112

Y

a b x1 x2

x3

x4

Contoh 8.

Jika f(x) = 2x2 – 3x + 1 , maka tentukan f ′′(x) dan f ′′′(x) !

Jawab :

f ′(x) = 2.2x2-1 – 3x1-1 + 0 = 4x – 3

f ′′(x) = (f ′(x))′ = 4x1-1 – 0 = 4

f ′′′(x) = (f ′′(x))′ = 0

IV.6. Nilai Ekstrim

Perhatikan fungsi y = f(x) pada domain interval tertutup, [a , b], dengan grafiknya seperti

di bawah ini.

Gambar IV.3 Titik-titik ekstrim fungsi

Gambar IV.3 menyajikan bahwa fungsi y = f(x) dalam selang tutup [a , b], memiliki nilai

minimum lokal di x = x1, maksimum lokal di x = x2, minimum mutlak di x = x3, dan

maksimum mutlak di x = x4. Nilai-nilai maksimum dan minimum, baik lokal maupun

mutlak, dinamakan nilai ekstrim.

X

y = f(x)

113

Definisi

1. Ekstrim mutlak

Fungsi y = f(x) yang didefinisikan dalam selang tutup [a , b] mencapai nilai maksimum

mutlak di x = x0, a ≤ x0 ≤ b, jika untuk setiap a ≤ x ≤ b dan x ≠ x0, maka f(x0) ≥ f(x).

Sedangkan mencapai minimum mutlak jika f(x0) ≤ f(x).

2. Ekstrim lokal

Fungsi y = f(x) yang didefinisikan dalam selang tutup [a , b] mencapai nilai maksimum

lokal di x = x0 , a ≤ x0 ≤ b, jika untuk setiap c ≤ x ≤ d dengan a ≤ c ≤ d ≤ b dan x ≠ x0,

maka f(x0) ≥ f(x). Sedangkan mencapai minimum mutlak jika f(x0) ≤ f(x).

Pada Gambar IV.3 terlihat bahwa, garis-garis singgung pada titik-titik ekstrim selalu

sejajar dengan sumbu-X. Hal ini berarti koefisien arah garis singgung pada titik ekstrim

selalu sama dengan 0. Jika hal ini dikaitkan dengan turunan fungsi pada sebuah titik, maka

fungsi y = f(x) memiliki nilai ekstrim di x = x0, jika f ′(x0) = 0. Untuk menentukan jenis

ekstrimnya, dapat ditelaah dari tanda turunan kedua di titik tersebut, f ′′(x0).

1. Jika f ′′′′′′′′(x0) > 0, maka titik ekstrim adalah titik minimum (lokal atau mutlak), dan jika

f ′′′′′′′′(x0) < 0, adalah titik maksimum (lokal atau mutlak).

2. Jika f ′′′′′′′′(x0) = 0, maka harus dilakukan telaahan tanda dari f ′(x) di sekitar x = x0.

2.1. Jika f ′(x) > 0 untuk x < x0 , dan f ′(x) < 0 untuk x > x0 , maka titik x = x0

merupakan titik maksimum.

2.2. Jika f ′(x) < 0 untuk x < x0 , dan f ′(x) > 0 untuk x > x0 , maka titik x = x0

merupakan titik minimum.

2.3. Jika tanda f ′(x) tidak berubah untuk x < x0 maupun x > x0 , maka titik x = x0

adalah titik belok.

114

Y Y

X X x0 x0

y = f(x)

y = f(x)

Gambar IV.4 Titik x = x0 titik belok fungsi y = f(x)

Titik ekstrim dan titik belok biasa dinamakan titik stasioner.

Contoh 9.

Tentukan titik-titik stasioner dari fungsi y = x4 + 4x3 – 8x2 !

Jawab :

y ′ = 4x4-1 + 4.3x3-1 – 8.2x2-1 = 4x3 + 12x2 – 16x = 0

� 4x(x2 + 3x – 4) = 0

� 4x(x + 4)(x – 1) = 0

� 4x = 0 � x = 0

� x + 4 = 0 � x = − 4

� x – 1 = 0 � x = 1

Ada tiga buak titik stasioner pada x = 0, x = − 4 dan x = 1. Untuk menelaah jenisnya,

tentukan turunan kedua, dan telaahan tanda untuk nilai-nilai x tersebut.

y ′′ = 4.3x3-1 + 12.2x2-1 – 16x1-1 = 12x2 + 21x – 16

Untuk

1) x = 0 � y ′′= 12x2 + 21x – 16 � y ′′(0) = 12(0)2 + 21(0) – 16 = −16 < 0. Fungsi

memiliki nilai maksimum di x = 0.

Nilai maksimumnya, x = 0 � y = x4 + 4x3 – 8x2

� y(0) = (0)4 + 4(0)3 – 8(0)2 = 0.

Koordinat titik maksimumnya, (0 , 0).

115

2) x = − 4 � y ′′= 12x2 + 21x – 16 � y ′′(4) = 12(− 4)2 + 21(−4) – 16 = 98 > 0. Fungsi

memiliki nilai minimum di x = 0.

Nilai minimumnya, x = − 4 � y = x4 + 4x3 – 8x2

� y(− 4) = (− 4)4 + 4(− 4)3 – 8(− 4)2 = −128.

Koordinat titik minimumnya, (-4 , -128).

3) 3x = 1 � y ′′= 12x2 + 21x – 16 � y ′′(1) = 12(1)2 + 21(1) – 16 = 17 > 0. Fungsi

memiliki nilai minimum di x = 1.

Nilai minimumnya, x = 1 � y = x4 + 4x3 – 8x2

� y(1) = (1)4 + 4(1)3 – 8(1)2 = −3.

Koordinat titik minimumnya, (1 , -3).

Contoh 10

Tunjukan bahwa titik O = (0 , 0) merupakan titik belok

fungsi y = x3

Jawab :

y′ = 3x2 = 0 ⇔ x = 0

y′′ = 6x � y′′(0) = 0 :

Kesimpulan tentang jenis titik stasioner harus dilakukan

dengan memperhatikan tanda dari y′ di sekitar x = 0.

Perhatikan y′ = 3x2. Untuk x < 0 dan x > 0, y′ > 0. Hal

ini menunjukan bahwa titik (0 , 0) adalah titik belok.

IV.7. Beberapa Penggunaan Turunan

1. Garis singgung lengkungan

Contoh 11.

Tentukan persamaan garis singgung lengkungan

y = 1x1x

−+

, x ≠ 1 , di titik (2 , 3) !

10 5 0 5 10

11.81

5.91

5.91

11.81

f x( )

g x( )

x

10 5 0 5 10

13.96

6.98

6.98

13.96

f x( )

x

116

Jawab :

y ′ = ( )2)1x(

)1x()1x()1x()1x(

−+′−−−′+

= 2

1111

)1x()1x)(0x()1x)(0x(

−+−−−+ −−

= 2)1x()1x()1x(

−+−−

= 2)1x(1

−−

. Subtitusikan x = 2 ke y ′ = 2)1x(1

−−

� y ′(2) = 2)12(1

−−

= −1.

Jadi persaman garis singgung lengkungan yang dicari adalah, persamaan garis yang melalui

titik (2 , 3) dengan koefisien arah –1.

Persamaannya : y – (3) = (−1){x – (2)} � y = −x +2 +3 � y = −x +5

Contoh 12.

Selidiki apakah garis 2x–3y+6 = 0 menyinggung

hiperbola 9x2–4y2–54x+16y–34 = 0 ?

Jika menyinggung, tentukan titik singgungnya !

Jawab :

2x–3y+6 = 0 ⇔ y = 2x32 −

Koefisien arah garis : a = 32

(1)

Diferensiasi hiperbola

d(9x2–4y2–54x+16y–34) = 0

18xdx–8ydy–54dx+16dy = 0

� (18x–54)dx – (8y–16)dy = 0

� (18x–54)dx = (8y–16)dy � y′ = dxdy

= 16y854x18

−−

(2)

Persamakan a (1) dengan y′ (2)

� 16y854x18

−−

= 32

� 54x – 162 = 16y – 32 � 54x – 16y – 130 = 0 ⇔ 27x – 8y – 65 = 0

Karena 27x – 8y – 65 = 0 tidak sama dengan 2x–3y+6 = 0, maka garis : 2x–3y+6 = 0 tidak

menyinggung hiperbola : 9x2–4y2–54x+16y–34 = 0.

Untuk lebih jelas perhatikan gambar posisi garis terhadap parabola yang telah disajikan di

atas.

10 5 0 5 10

8.05

4.03

4.03

8.05

f x( )

gx( )

hx( )

x

117

Contoh 13.

Tentukan persamaan asimtut hiperbola

9x2–4y2–54x+16y–34 = 0

Jawab :

Misalkan persamaannya y = ax + b

Sudah ditunjukan, diferensiasi hiperbola

9x2–4y2–54x+16y–34 = 0 adalah,

y′ = 16y854x18

−−

.

Karena asimtut identik dengan garis singgung sekawan,

maka a dapat dipersamakan dengan y′, sehingga

16y854x18

−−

= a � 18x – 54 = 8ay – 16a

� y = a8

18x +

a854a16 −

.

Jika dipersamakan dengan y = ax + b, maka diperoleh persamaan a8

18 = a dan

a854a16 −

= b.

Yang jawabanya, a2 = 49 � a = ±

23

dan b = �

�

�

−=

=−

23

a jika , 2

13

23

a jika , 25

. Sehingga persamaan

asimtutnya y = �

�

�

+−

−

213

23

25

x23

2. Nilai stasioner

Contoh 14.

Sebuah kertas dengan luas 2 m2 ingin dibuat poster. Poster tersebut harus terletak 21 cm di

bawah sisi atas, 21 cm di atas sisi bawah, 14 cm dari sisi kri, dan 14 cm dari sisi kanan

kertas. Tentukan ukuran kertas dan poster dengan luas bidangnya yang maksimum ?

10 5 0 5 10

16.11

8.05

8.05

16.11

f x( )

g x( )

h x( )

i x( )

x

118

Jawab :

Jika dimisalkan panjang kertas : x meter dan lebarnya : y meter, dan luas kertas 2 m2, maka

diperoleh hubungan :

xy = 2 atau y = x2

.

Untuk bidang poster, panjang (x–0,28) m,

lebar (y–0,42) m = (x2 −0,42) m,

sehingga luas bidang poster :

L = (x – 0,28)( x2

– 0,42).

Mencari luas yang maksimum :

L = (x – 0,28)( x2

– 0,42)

L′ = (x – 0,28)′( x2

– 0,42) + (x – 0,28)( x2

– 0,42)′

= (x1-1 – 0)( x2

– 0,42) + (x – 0,28)(2.−1x-1-1 – 0)

= ( x2

– 0,42) + (x – 0,28)(− 2x2

) = x2

− 0,42 − x2

+ 2x56,0

= 2x56,0

− 0,42

Syarat agar nilai L maksimum, L′ = 0 dan L′′ < 0, � 2x56,0

− 0,42 = 0 � 0,56 – 0,42x2 = 0

� − 0,42(x2 − 4256

) = 0 ⇔ (x2 − 4256

) = 0 ⇔ x2 = 4256

� x = 4256

= 332

(karena

domain harus merupakan bilangan real positif).

L ′′ = 0,56.−2x-2-1 – 0 = − 2x12,1

> 0, untuk setiap x. Jadi x = 332

memaksimumkan L.

Sehingga ukuran kertas : panjang = 332

m , lebar = 3

32

2m = 3 m, dan ukuran poster :

panjang = ( 332

- 0,28) m dan lebar = ( 3 - 0,42) m.

21 cm

21 cm

21 cm 14 cm

119

Contoh 15.

Sebuah kotak tanpa tutup dibuat dari sebuah karton tebal berukuran 24 x 9 cm2. Tentukan

ukuran kotak agar volumenya paling besar ?

Jawab :

Jika tinggi kotak x cm, maka volumenya

v(x) = (24 – 2x)(9 – 2x)(x) cm3

= 4x3 – 66x2 + 216x

v′(x) = 12x2 – 132x + 216

v′(x) = 0 � 12(x – 9)(x – 2) = 0

� x = �

129

v′′(x) = 24x – 132

Subtitusikan :

x = 9 ke v′′(x) � v′′(9) = (24)(9) – 132 = 84 > 0. � x meminimumkan v(x)

x = 12 ke v′′(x) � v′′(12) = (24)(12) – 132 = 156 > 0 � x meminimumkan v(x)

Berdasarkan hasil perhitungan disimpulkan bahwa, tidak ada kotak yang dapat dibuat

dengan volume maksimum. Tetapi jika menelaah dari denah pembuatan kotak, x harus

memenuhi ciri, 0 < x < (9) : (2) = 4,5. Karena x = 9 > 4,5, maka sebagai nilai kritis untuk

v(x) adalah x = 0, x = 2, dan x = 4,5.

Jika disubtitusikan

x = 0 ke v(x) � v(0) = 4(0)3 – 66(0)2 + 216(0) = 0

x = 2 ke v(x) � v(2) = 4(2)3 – 66(2)2 + 216(2) = 200

x = 4,5 ke v(x) � v(4,5) = 4(4,5)3 – 66(4,5)2 + 216(4,5) = 0

maka volume maksimum kotak adalah 200 cm3, dengan ukuran

(24 – 2.2)(9 – 2.2)(2) = 20 x 5 x 2 cm3

24 – 2x

9 – 2x

x x

x

x

120

Contoh 16

Tentukan ukuran selinder dalam kerucut yang memiliki volume terbesar !

Jawab :

Misalkan tinggi kerucut a dan jari-jari bidang

alasnya b, dengan a dan b konstan.

Jika tinggi selinder t dan jari-jari bidang

alasanya r, maka volumenya v = πr2t

dengan menggunakan kesamaan segitiga

ata −

= br

� a – t = bar

� t = a − bar

⇔ t = b

arab − =

b)rb(a −

, subtitusikan ke

v = πr2t sehingga diperoleh v(r) = πr2

b)rb(a −

v′(r) = πba

(2br – 3r2)

v′(r) = 0 � πba

(2br – 3r2) = 0 ⇔ (2br – 3r2) = 0 � (r)(2b −3r) = 0 � r = �

��

3b2

0

Karena r = 0 tidak mungkin dipilih, maka subtitusikan r = 3b2

ke t = a − bar

� t = 31

a,

sehingga ukuran selinder : tinggi, t = 31

a, jari-jari bidang alas, r = 32

b. Dengan a dan b,

masing-masing tinggi dan jari-jari bidang alas kerucut, yang merupakan konstanta

3. Gerak benda.

Contoh 17.

Sebuah benda bergerak pada garis lurus dengan persamaan gerak s = t3 – 6t2 + 9t + 4 ,

dengan s : panjang jalan yang ditempuh (satuan dalam m), dan t : waktu tempuh (satuan

dalam detik).

Tentukan kecepatan dan percepatan benda setelah bergerak 5 detik !

a

b

t

r

121

Jawab :

Dalam ilmu fisika, kecepatan adalah rasio jarak tempuh dengan waktu tempuh, dan

percepatan rasio kecepatan dengan waktu tempuh.

Secara matematis,

kecepatan : v = dtds

= 3t3-1 – 6.2t2-1 + 9t1-1 + 0 = 3t2 – 12t + 9

percepatan : a = dtdv

= 3.2t2-1 – 12t1-1 + 0 = 6t – 12

Sehingga setelah bergerak 5 detik,

kecepatan gerak benda : t = 5 � v = 3t2 – 12t + 9

� v(5) = 3(5)2 – 12(5) + 9 = 24 m/det

percepatannya : t = 5 � a = 6t – 12 � a(5) = 6(5) – 12 = 18 m/det2

Contoh 18.

Sebuah pesawat, terbang berdasarkan persamaan

gerak lurus beraturan dengan percepatan tetap 100

km/jam2. Pada saat seseorang melihatnya,

ketinggian pesawat 1 km dari orang tersebut dengan

kecepatan 240 km/jam, dan telah terbang selama 30

menit. Jika setelah 6 menit sudut pandang orang

pada pesawat sebesar ϕ, dengan Tg ϕ = 20, maka

tentukan persamaan gerak pesawat ?

Jawab :

Dalam ilmu fisika persamaan gerak benda dengan

percepatan tetap adalah s(t) = at2 + bt + c.

Kecepatan pada saat t, v(t) = s′(t) = 2at + b, dan percepatannya a(t) = v′(t) = s′′(t) = 2a.

Percepatan pesawat tetap 100 km/jam2, jadi 2a = 100 � a = 50

Setelah terbang 30 menit (0,5 jam), kecepatan pesawat sama dengan 240 km/jam,

� v(0,5) = 100(0,5) + b = 240 � b = 190

1 km

ϕϕϕϕ

x km

122

(1,−−−−1)

(-¼,- 1283 )

(½+½√√√√3,0)

(½-½√√√√3,0) (0,0)

Setelah 6 menit (0,1 jam) sudut pandang menjadi ϕ, dengan Tg ϕ = 20 = 1x

� x = 20 , yang merupakan jarak tempuh pesawat setelah terbang 6 menit (0,1 jam)

Subtitusikan x = 20, a = 50, b = 190 dan t = 0,1, ke persamaan gerak s(t) = at2 + bt + c

� 20 = 50(0,1)2 + 190(0,1) + c � c = 0,5

Jadi persamaan gerak pesawat, s(t) = 50t2 + 190t + 0,5

4. Sketsa grafik

Contoh 19.

Gambarkan sketsa grafik fungsi y = 2x4 – 2x3 – x2 !

Jawab :

Titik ekstrim grafik :

y = 2x4 – 2x3 – x2

y ′ = 2.4x4-1 – 2.3x3-1 – 2x2-1 = 8x3 – 6x2 – 2x = 0

� 2x(4x2 – 3x – 1) = 0

� 2x(4x + 1)(x – 1) = 0

� 2x = 0 � x = 0

� 4x + 1 = 0 � x = − ¼

� x – 1 = 0 � x = 1

y ′′= 8.3x3-1 – 6.2x2-1 – 2x1-1 = 24x2 – 12x – 2

x = 0 � y ′′ : y ′′(0) = 24(0)2 – 12(0) – 2 = -2 < 0 ,

di titik x = 0 fungsi mencapai nilai maksimum.

Nnilai maksimumnya

x = 0 � y : y(0) = 2(0)4 – 2(0)3 – (0)2 = 0

x = -¼ � y ′′ : y ′′(0) = 24(-¼)2 – 12(-¼) – 2 = 2½ > 0

di titik x = -¼ fungsi mencapai nilai minimum.

nilai minimumnya

x = -¼ � y : y(-¼) = 2(-¼)4 – 2(-¼)3 – (-¼)2 = 128

3−

0.37 0.42 1.21

1

0.5f x( )

x

Sketsa “manual”

Sketsa Mathcad

Y

X

123

x = 1 � y ′′ : y ′′(1) = 24(1)2 – 12(1) – 2 = 10 > 0 ,

di titik x = 1 fungsi mencapai nilai minimum.

Nilai minimumnya x = 1 � y : y(1) = 2(1)4 – 2(1)3 – (1)2 = −1

Titik potong dengan sumbu koordinat

1. dengan sumbu-Y :

x = 0 � y : y(0) = 0 � koordinat titik potong : (0 , 0)

2. dengan sumbu-X :

y = 0 � 2x4 – 2x3 – x2 = 0 � x2(2x2 – 2x – 1) = 0

� x2 = 0 � x = 0

� 2x2 – 2x – 1 = 0 � D = (-2)2 – 4(2)(-1) = 12 > 0 , ada dua jawab real

� 2

314

322)2(2

12)2(x 2,1

±=±=±−−= � x1 = ½ + ½ 3 dan x2 = ½ - ½ 3

koordinat titik-titik potongnya : (0 , 0) , (½ + ½ 3 , 0) , (½ - ½ 3 , 0)

5. Dalil L’Hospital

Dalil

Jika a bilangan riil, f(x), g(x) ≠ 0 fungsi memiliki turunan pada setiap order di x = a,

maka untuk semua nilai x dalam selang 0 <x - a< δ, δ bilangan yang cukup kecil,

berlaku hubungan

)x(g)x(f

Limax→

= )x(g)x(f

Limax ′

′→

= )x(g)x(f

Limax ′′

′′→

= . . . = )x(g)x(f

Lim )k(

)k(

ax→

Dalil ini digunakan untuk menghitung limit dari rasio dua fungsi yang menghasilkan nilai-

nilai tak tentu, tetapi bentuk fungsinya sulit untuk diubah menjadi bentuk fungsi yang

menghasilkan nilai limit dengan nilai yang bukan nilai tak tentu.

124

Contoh 20.

Hitunglah x Sinxx Sinx

Lim0x −

+→

Jawab :

Jika dihitung langsung, maka x Sinxx Sinx

Lim0x −

+→

= 0Sin00Sin0

−+

= 00

(nilai tak tentu).

Tetapi untuk mengubah bentuk fungsi agar 00

dapat dieliminasi cukup sulit, sehingga harus

digunakan dalil L’Hospital.

x Sinxx Sinx

Lim0x −

+→

= )x Sinx()x Sinx(

Lim0x ′−

′+→

= x Cosxx Cosx

Lim 11

11

0x −+

−

−

→ =

0Cos10Cos1

−+

= 1111

−+

= 02

(bukan nilai tak tentu).

Contoh 21

Hitunglah ( )( ) ( )3xx2

0xxln1eLim

2

−−

→

Jawab :

Jika disubtitusikan x = 0 pada limit fungsi, maka akan diperoleh bentuk tak tentu 0.∞.

f(x) = ( )( )1e xx2 2

−− ln(x3)

f′(x) = ( )( )1e xx2 2

−− ′ ln(x3) + ( )( )1e xx2 2

−− {ln(x3)}′

= { ( )( )xx2 2

e − (4x – 1)} ln(x3) + ( )( )1e xx2 2

−−

( )3x1

(3x2)

= ( )( )xx2 2

e − (4x – 1) ln(x3) + x3 ( )( )1e xx2 2

−− = ( )( )xx2 2

e − {(4x−1)ln(x3) + x3

} − x3

Jika dihitung f′(0) = (1){(−1)(∞) + (∞)} − ∞ = −∞ + ∞ −∞ , bentuk tentu yang tidak

didefinisikan.

125

f′′(x) = ( )( )xx2 2

e − ′{(4x–1)ln(x3)+ ��

��

�

x3

} + ( )( )xx2 2

e − {(4x−1)ln(x3) + ��

��

�

x3

}′ − (x3

)′

= { ( )( )xx2 2

e − (4x–1)}{(4x–1)ln(x3)+x3

}+ ( )( )xx2 2

e − [(4x–1)′ln(x3)+(4x–1){ln(x3)}′+ ��

��

�

x3 ′]

− ��

��

�− 2x3

= ( )( )xx2 2

e − {(4x−1)2ln(x3)+ x3

(4x−1)} + ( )( )xx2 2

e − {(4)ln(x3) + (4x−1) ( )3x1

(3x2)

+ ��

��

�− 2x3

} + ��

��

�2x

3

= ( )( )xx2 2

e − {(4x−1)2ln(x3) + x3

(4x−1) + 4ln(x3) + x3

(4x−1) − ��

��

�2x

3} + �

�

��

�2x

3

Jika dihitung f′′(0) = (1){(−1)2(∞) + (∞)(−1) + 4(∞) + (∞)(−1) – (∞)} + (∞)

= ∞ − ∞ + ∞ − ∞ − ∞ + ∞ , bentuk tentu yang tidak didefinisikan.

Jika proses diferensiasi dilanjutkan dengan mensubtitusikan x = 0, maka akan diperoleh

hasil yang sama.

Hal menunjukan bahwa ( )( ) ( )3xx2

0xxln1eLim

2

−−

→ = ∞.

6. Pengunaan dalam ilmu ekonomi

Contoh 22

Diketahui fungsi biaya total untuk memproduksi sejenis barang adalah,

C(x) = 10.000 + 50x + 100 3 x

Hitunglah biaya rata-rata perunit dan marginal jika diproduksi 1000 unit barang ?

Jawab :

Berdasarkan definisi

Biaya rata-rata perunit, r(x) = x

)x(C =

xx100x50000.10 3++

Biaya marginal, m(x) = )x(Cdxd

= C′(x) = 50 + 32

x3

100 −

126

Subtitusikan x = 1000 ke

r(x) � r(1000) = 1000

1000100)1000(50000.10 3++ = 61 , biaya rata-rata perunit

m(x) � m(1000) = 50 + 32

)1000(3

100 − =

31

50 , biaya marginal

Contoh 23

Manajer penjualan memperkirakan dalam setiap minggu akan terjual 1000 unit barang jika

dijual dengan harga Rp 3.000,- perunit. Tetapi dalam setiap minggu akan terjadi pula

resiko, 100 unit barang harganya akan turun Rp 500,- perunit. Tentukan pendapatan

maksimum dalam setiap minggunya !

Jawab :

Perdefinisi

Fungsi harga = harga jual − penyusutan harga,

H(x) = 3000 − 100

1000x −(0,5) = 3005 – 0,005x

Fungsi pendapatan = total barang terjual x fungsi harga,

P(x) = xH(x) = 3005x – 0,005x2

P′(x) = 3005 – 0,01x = 0 � x = 300500

P′′(x) = −0,01 < 0 , jadi x = 300500 memaksimukan P(x)

Subtitusikan x = 300500 ke P(x)

� P(300500) = 3005(300500) – 0,005(300500)2 = 4515011250

Pendapatan maksimum, Rp 4.515.011.250,-

Contoh 24

Jika diketahui persamaan fungsi biaya dan fungsi harga masing-masing,

C(x) = 3000 + 1100x dan H(x) = 5000 – 2x

maka bagaimana persamaan untuk pendapatan marginal, biaya marginal, dan keuntungan

marginal ? Selanjutnya tentukan total produksi yang memaksimumkan pendapatan total !

127

Jawab :

Fungsi pendapatan, P(x) = xH(x) = x(5000 – 2x) = 5000x – 2x2

Fungsi pendapatan total, p(x) = P(x) – C(x) = 5000x – 2x2 – (300 + 1100x)

= −2x2 + 3900x – 300

Fungsi pendapatan marginal, M(x) = H′(x) = 5000 – 4x

Biaya marginal, m(x) = C′(x) = 1100

Fungsi keuntungan marginal, K(x) = p′(x) = −4x + 3900 = 0 � x = 975

K′(x) = p′′(x) = -4 < 0 , jadi x = 975 memaksimumkan p(x)

Sehingga total produksi yang memaksimumkan pendapatan adalah 975 unit.

IV.8. Dalil nilai tengah

Sebenarrnya, dalil ini yang membidani lahirnya ilmu kalkulus, khususnya perhitungan

diferensial, tetapi perannya tidak banyak muncul, terutama dalam penyelesaian persoalan

kalkulus yang bersifat lanjutan. Perannya lebih banyak muncul sebagai pengantar untuk

memunculkan dalil baru, terutama dalam proses pembuktian. Misalnya dalil-dalil tentang

kemonotonan dan kekonkavan fungsi, yang melahirkan telaahan tentang titik-titik stasioner

fungsi.

Dalil

Jika y = f(x) fungsi kontinu pada

selang tertutup [a,b], dan diferensiabel

pada selang terbuka (a , b), maka ada

paling sedikit satu nilai c, a < c < b,


ab)a(f)b(f

−−

= f′(c)

atau f(b) – f(a) = f′(c)(b – a)

y = f(x)

a b

f(a)

f(b)

y = g(x)

y = h(x)

x X

Y

128

Bukti

Perhatikan gambar di atas.

Grafik fungsi y = g(x) melalui titik {a,f(a)} dengan {b,f(b)}, sehingga akan memiliki

persamaan

)a(f)b(f)a(f)x(g

−−

= abax

−−

g(x) – f(a) = ab

)a(f)b(f−−

(x – a)

� g(x) = f(a) + ab

)a(f)b(f−−

(x – a)

Sedangkan grafik fungsi y = h(x) sejajar sumbu-Y dengan domain {g(x),f(x)}, sehingga

h(x) = f(x) – g(x) = f(x) – {f(a) + ab

)a(f)b(f−−

(x – a)} = f(x) – f(a) – ab

)a(f)b(f−−

(x – a)

Jika dihitung,

1) h(a) = h(b) = 0,

2) h′(x) = f′(x) – 0 – ab

)a(f)b(f−−

(1 – 0) = f′(x) − ab

)a(f)b(f−−

, untuk a < x < b.

maka hal ini menunjukan bahwa ada c, a < c < b, sedemikian rupa sehinga h′(c) = 0, atau

f′(c) − ab

)a(f)b(f−−

= 0, atau ab

)a(f)b(f−−

= f′(c).

Contoh 25

Perhatikan grafik y = x3 pada selang −10 ≤ x ≤ 10

Jika menelaah bentuk lengkungannya, pada selang

tersebut dapat dibuat paling sedikit dua buah garis

singgung. Hal ini berarti ada c1 dan c2,

−10 < c1 < 10 ; −10 < c2 < 10,


)10()10()10(y)10(y

−−−−

= y′(c1) = y′(c2)

Karena y(10) = 1000 dan y(−10) = −1000, maka y′(c1) = y′(c2) = )10()10(

)1000()1000(−−−−

= 100

10 5 0 5 10

1000

500

500

1000

f x( )

x

129

y′(x) = 3x2 � y′(c) = 3c2 = 100 � c = ± 33

10 � c1 = 3

310

, c2 = − 33

10

Contoh 26

Selidiki apakah fungsi y = 32

x diferensiabel pada

domain [−8 , 27] ?

Jawab :

y = 32

x � y(−8) = 4 , y(27) = 9

y′ = 31

x32 −

� )8()27(

)8(y)27(y−−

−− =

3549 −

= 71

= 31

c32 −

c = 3

314��

��

� ≈ 102 � c ∉ [−8 , 27

Maka tidak ada c, −8 < c < 27, sedemikian rupa sehingga )8()27(

)8(y)27(y−−

−− = y′(c). Dengan

perkataan lain y = 32

x tidak diferensiabel pada domain [−8 , 27]. Untuk lebih jelas dapat

ditelaah pada gambar di atas. Pada selang [−8 , 27] tidak dapat digambarkan garis singgung

lengkungan, sebab grafik fungsi membentuk

perpotongan dua garis.

Contoh 26

Tentukan persamaan dan titik singgung lengkungan

y = x3 – x2 – x + 1 pada domain [−1 , 2]

Jawab :

Pada gambar terlihat ada paling sedikit dua titik

singgung pada domain [−1 , 2].

y(−1) = 0 dan y(2) = 3

)1()2()1(y)2(y

−−−−

= 3

03 − = 1

8 0.75 9.5 18.25 27

2.5

5

7.5

10

f x( )

x

1 0 1 2

2

4

f x( )

x

130

y′ = 3x2 − 2x – 1 � y′(c) = 3c2 − 2c – 1 = 1 � 3c2 − 2c – 2 = 0

Jika dihitung akan diperoleh, c1 = 3

71+ ≈ 1,22 dan c2 =

371−

≈ − 0,55, yang keduanya

ada pada domain [−1 , 2].

Jika c1, c2 disubtitusikan ke y, maka akan diperoleh nilai y(c1) ≈ −0,22 dan y(c2) ≈ 1,081.

Jadi titik-titik singgungnya, (1,22 , − 0,22) dengan (− 0,55 , 1,081). Sedangkan persamaan

garis singgungnya,

1) y – (−0,22) = (1){x – (1,22)} � y = x – 1,44

2) y – (1,081) = (1){x – (−0,55)} � y = x + 1,631

IV.8.1 Fungsi naik, fungsi turun, dan fungsi monoton

Perhatikan gambar di

samping ini.

Dalam hal ini, fungsi

y = f(x) dikatakan

1) naik pada domain,

x < a, d < x < e,

f < x < g

2) turun pada domain,

a < x < b, c < x < d

3) monoton naik pada domain, e < x < f, dan x > g

4) monoton turun pada domain, b < x < c.

Deskripsi dari ciri fungsi tersebut dapat ditelaah di bawah ini.

Definisi

Perhatikan fungsi y = f(x) yang didefinisikan pada selang S (bentuknya bisa selang tertutup,

terbuka, atau tertutup-terbuka). Fungsi disebut

1. naik, jika untuk setiap x1 < x2 ; x1, x2 ∈ S, berlaku hubungan f(x1) < f(x2).

2. turun, jika untuk setiap x1 < x2 ; x1, x2 ∈ S, berlaku hubungan f(x1) > f(x2).

3. monoton kuat, jika fungsi naik saja atau turun saja pada S.

g f d

y=f(x)

b c e

X a Y

131

3. tidak naik, jika untuk setiap x1 < x2 ; x1, x2 ∈ S, berlaku hubungan f(x1) ≤ f(x2).

4. tidak turun, jika untuk setiap x1 < x2 ; x1, x2 ∈ S, berlaku hubungan f(x1) ≥ f(x2).

Untuk menelaah apakah sebuah fungsi merupakan fungsi naik, fungsi turun, fungsi

monoton, maka perlu dipahami dalil di bawah ini.

Dalil

Perhatikan fungsi y = f(x) yangi kontinu pada domain S, dan diferensiabel pada setiap titik

dalam (interior point) pada S. Jika

1. f′(x) > 0 untuk setiap x titik dalam pada S, maka fungsi naik pada S.

2. f′(x) < 0 untuk setiap x titik dalam pada S, maka fungsi turun pada S.

Bukti :

Jika x1, x2 titik dalam pada S dan y = f(x) diferensiabel pada setiap titik dalam, maka

berdasakan dalil nilai tengah, ada c, x1 < c < c2, sedemikian rupa sehingga

12

12

xx)x(f)x(f

−−

= f′(c).

Karena x2 – x1 > 0, sehingga jika

1) f′(c) > 0, maka f(x2) – f(x1) > 0 atau f(x2) > f(x1), yang berarti fungsi naik pada S.

2) f′(c) < 0, maka f(x2) – f(x1) < 0, atau f(x2) < f(x1), yang berarti fungsi turun pada S.

Contoh 27

Telaah ciri dari fungsi y = 31

x3 – x2 – 3x + 4

Jawab :

y = 31

x3 – x2 – 3x + 4

y′ = x2 – 2x – 3 = (x – 3)(x + 1)

titik nol : (x – 3)(x + 1) = 0 � x = 3 dan x = −1

daerah tanda

−−−−1 3

10 5 0 5 10

8.05

4.03

4.03

8.05

f x( )

x

+ − +

132

Pada daerah tanda tersurat, bahwa untuk

1) x < −1 dan x > 3, y′ > 0, atau fungsi naik

2) −1 < x < 3, y′ < 0, atau fungsi turun

Contoh 28

Tentukan domain di mana fungsi y = 2x1x

+ naik atau turun !

Jawab :

y = 2x1x

+

y′ = 22

22

)x1(x2)x1(

+−+

= 22

2

)x1(x1

+−

titik nol : 1 – x2 = (1 – x)(1 + X) = 0 � x = 1 dan x = −1

daerah tanda

Jadi fungsi

1) naik pada domain −1 < x < 1

2) turun pada domain x < −1 dengan x > 1

IV.8.2. Kekonkavan fungsi

Salah satu segi yang

dapat dimunculkan dari

fungsi naik dan fungsi turun

adalah kekonkavan fungsi.

Jika y = f(x) fungsi kontinu

pada domain S = (a , b), dan

ada c, a < c < b, sehingga

fungsi turun untuk x < c, dan

+ −−−− −−−−1 −−−−1

Y

X X

Konkav ke atas Konkav ke bawah

Y

10 5 0 5 10

0.5

0.25

0.25

0.5

fx()

x

133

naik untuk x > c, maka dikatakan fungsi konkav ke atas di x = c. Sebaliknya, jika fungsi

naik untuk x < c, dan turun untuk x > c, maka fungsi dikatakan konkav ke bawah di x = c.

Konspsi tersebut dapat dideskripsikan seperti di bawah ini

Definisi

Perhatikan fungsi y = f(x) yang diferensiabel pada domain S = (a , b). Jika y′ naik pada S,

maka fungsi dinamakan konkav ke atas pada S. Sebaliknya jika y′ turun, maka dinamakan

konkav ke bawah pada S.

Untuk menelaah apakah sebuah fungsi konkav ke atas atau ke bawah, pahami dalil di

bawah ini.

Dalil

Perhatikan fungsi y = f(x) yang diferensiabel orde dua pada domain S. Jika

1) f′′(x) > 0 untuk setiap x ∈ S, maka fungsi konkav ke atas pada S.

2) f′′(x) < 0 untuk setiap x ∈ S, maka fungsi konkav ke bawah pada S.

Bukti :

Jika x1, x2, dan x3 titik dalam pada S, dengan ciri x1 < x2 < x3, dan karena y = f(x)

diferensiabel orde dua, maka jika dilakukan diferensiasi terhadap formulasi dalil nilai tengah

13

13

xx)x(f)x(f

−−

= f′(x2) � ′

��

��

�

−−

13

13

xx)x(f)x(f

= (f′(x2))′ � ��

��

�

− 13 xx1

(f′(x3)–f′(x1)) = f′′(x2)

Karena x3 – x1 > 0, sehingga jika

1) f′′(x2) > 0, maka f′(x3) – f′(x1) > 0, atau f′(x3) > f′(x1), yang berarti f′(x) naik, atau f(x)

konkav ke atas pada S.

2) f′′(x2) < 0, maka f′(x3) – f(x1) < 0, atau f′(x3) < f′(x1), yang berarti f′(x) turun., atau f(x(

konkav ke bawah pada S.

Salah satu segi yang dapat dimunculkan dari kekonkavan fungsi adalah didefinisikannya

titik infleksi (inflection point) atau titik belok.

134

Definisi

Jika fungsi y = f(x) kontinu di x = c, maka titik (c , f(c)) dinamakan titik inleksi dari grafik

fungsi, jika kekonkavan fungsi untuk x < c berbeda dengan x > c.

Arti pada dalil ini, jika untuk x < c fungsi konkav ke bawah, maka untuk x > c konkav

keatas, atau sebalinya jika untuk x < c konkav ke bawah, maka untuk x > c konkav ke atas.

Misal, titik infleksi fungsi y = 2x1x

+, yang grafiknya di

samping kanan ini, adalah (0 , 0)

Contoh 29

Telaah kekonvakan fungsi y = 2x1x

+ !

Jawab :

y = 2x1x

+,

y′ = 22

22

)x1(x2)x1(

+−+

= 22

2

)x1(x1

+−

y′′ = 42

2222

)x1()x2)(x1(2)x1()x1(x2

++−−+

= 42

22

)x1()x31)(x1(x2

++−+

titik nol : 42

22

)x1()x31)(x1(x2

++−+

= 0 ⇔ 2x(1 + x2)(−1 + 3x2) = 0 ⇔ x(−1 + 3x2) = 0

� x = 0 , x = 331

, x = − 331

daerah tanda :

0 −−−− 3

31

331

10 5 0 5 10

0.5

0.25

0.25

0.5

fx()

x

+ −−−− + −−−−

135

Berdasarkan daerah tanda, untuk

1) x < − 331

dengan 0 < x < 331

, y′′ < 0, fungsi konkav ke bawah.

2) − 331

< x < 0 dengan x > 331

, y′′ > 0, fungsi konkav ke atas.

Contoh 30

Tentukan titik inleksi dari fungsi y = 31

x + 2 !

Jawab :

y = 31

x + 2

y′ = 32

x31 −

y′′ = 35

x92 −

−

� �

�><′′�<>′′

bawah ke konkav fungsi 0 xjika 0yatas ke konkav fungsi 0 xjika 0y

Jadi x = 0 menyebabkan fungsi memiliki titik

infleksi.

Subtitusikan x = 0 ke y � y(0) = 31

)0( + 2 = 2 � titik infleksinya : (0 , 2)

Kegunaan kekonkavan fungsi adalah untuk menentukan titik ekstrim fungsi. Jika fungsi

konkav ke atas di titik x = c, maka titik tersebut merupakan titik minimum. Sebaliknya jika

konkav ke bawah, maka merupakan titik maksimum

IV.9. Menggunakan Mathcad untuk menghitung turunan

Untuk menghitung turunan fungsi yang bentuknya sangat kompleks, sehingga jika

dihitung secara “manual” memerlukan waktu dan tempat yang cukup banyak, dapat

digunakan paket program Mathcad. Misalnya menentukan turunan dari fungsi

y = 3

)1x2(Sin2

)1x3log(e)2x3x2(

−+− −

.

10 5 0 5 10

2

2

4

6

f x( )

x

136

Jika diselesaikan secara “manual” akan memerlukan waktu dan tempat yang cukup besar,

maka untuk kemudahannya dapat digunakan program Mathcad. Proses penyelesaiannya

adalah

1. Jalankan program Mathcad hingga diperoleh tampilan seperti di bawah ini

2. Tuliskan persamaan fungsi yang akan dicari turunannya, dengan terlebih dulu

meng”klik” pointer penulisan fungsi, dan formulasi penulisannya

f(x) : = 3

)1x2(Sin2

)1x3log(e)2x3x2(

−+− −

3

)1x2(Sin2

)1x3log(e)2x3x2(

−+− −

f(x)

pointer penulisan fungsi

pointer penulisan turunan orde satu

pointer penulisan turunan orde n

137

3. “Klik” pointer turunan (diferensiasi), dan tuliskan formulasi orde turunan yang

diinginkan, selanjutnya “klik” pointer evaluate symbolically.

sehingga hasil yang diperoleh

pointer evaluate symbolically

diferensial orde 1

diferensial orde 2

138

Pada spreadsheet tertulis, turunan orde satu

)x(fdxd

→ (2X−3) 3

)1x2(Sin

)1x3ln(e

−

+

ln(10)3 + 2(x2−3x+2)Cos(2x+1) 3

)1x2(Sin

)1x3ln(e

−

+

ln(10)3 –

9(x2−3x+2) 4

)1x2(Sin

)1x3ln(e

−

+

1x3)10ln( 3

−

turunan orde dua

)x(fdxd

2

2

→ 2 3

)1x2(Sin

)1x3ln(e

−

+

ln(10)3 + 4(2x−3)Cos(2x+1) 3

)1x2(Sin

)1x3ln(e

−

+

ln(10)3

– 18(2x−3) 4

)1x2(Sin

)1x3ln(e

−

+

1x3)10ln( 3

− − 4(x3−3x+2)Sin(2x+1) 3

)1x2(Sin

)1x3ln(e

−

+

ln(10)3

+ 4(x2−3x+2)Cos(2x+1)23

)1x2(Sin

)1x3ln(e

−

+

ln(10)3

− 36(x2−3x+2)Cos(2x+1) 4

)1x2(Sin

)1x3ln(e

−

+

1x3)10ln( 3

−

+ 108(x2−3x+2) 5

)1x2(Sin

)1x3ln(e

−

+

2

3

)1x3()10ln(

− + 27(x2−3x+2) 4

)1x2(Sin

)1x3ln(e

−

+

2

3

)1x3()10ln(

−


1. Gunakan definisi untuk menentukan turunan fungsi-fungsi di bawah ini.

(a) y = (2x2 – x – 3) (b) y = 1x1x 2

++

(c) y = x Sin x (d) y = x Sin

x

(e) y = Tg x (f) y = Sec x (g) y = xCos

xSin1− (h) y = (x – 1)Ctg x

2. Tentukan y′, y′′, dan y′′′ dari fungsi-fungsi di bawah ini

(a) y = Sin 3(x – 1) (b) y = )1x(

)1x(Sin+

− (c) y = (2x3 – 3x2 – x)Ctg(2x + 3)

(d) y = e(3x-2)log(x2 – 2x) (e) y = 23

x3x2

x3x2e

2

+

−

(f) y = x3x

)xxlog()3x2(2

2

+−−

139

3. Tentukan turunan dari fungsi-fungsi implisit di bawah ini

(a) 2xy – 3x2 + 2y2 = 5 (b) x2y +xy2 – x + y – xy = 0 (c) x Sin y + y Cos x = 1

(d) Sin2(x + y) – Cos2(x + y) = 0 (e) (x2 + y)3 – (x – y2)3 = 0 (f) x2Tgy – yCtg x = 0

4. Selidiki apakah fungsi-fungsi di bawah ini memiliki turunan pada domain yang

ditentukan ?

(a) y=(x–1)Sin x2, pada domain [−π4

1,

π41

] (b) y=)

41

x(Cos

x41 2

π−

−π, pada domain (0,

π41

)

(c) x2+y2–2x–6y–15=0, pada domain (−3,1) (d) xy−x2y+xy2−5=0, pada domain (−1,3)

(e) y = 9x4

x2 −

, pada domain [2 , 5] (f) y = 1x2

e )1x2(

−

−

, pada domain (1 , 7)

5. Tentukan persamaan garis singgung pada lengkungan di bawah ini pada titik yang telah

ditentukan !

(a) y = 2x3x

x12 +−

−, di titik (0 ,

21

) (b) y = (x – 1)log x2, di titik (10 , 18)

(c) x2 – 2xy + y2 = 9, di titik (1 , −2) (d) x2 – 3x + y − 4 = 0 di titik (2 , 6)

(e) y = (2x2 – 3x + 1)e(2x – 1), di titik (21

, 0) (f) 2x + xy – y 2 – 2 = 0, di titik (1 , 0)

6. Tentukan domain di mana fungsi naik, turun, atau monoton !

(a) y = (2x + 3)log(x – 3), x � 3 (b) y = x3 − 2x2 + 3x – 5 (c) y = (x3 + x2)e(x – 1)

(d) y = 1x3x2

e2

)1x2(

+−

−

, x � 1, x � 21

(e) y = (x2 + 1)Tg(x – 1) (f) y = 1x2

e )1x2(

−

−

7. Perhatikan fungsi y = f(x). Jika f′(x) ada dan kontinu pada domain S, dengan f′(x) � 0

untuk pada setiap titik dalam S, maka fungsi seluruhnya naik atau turun pada S.

Tunjukanlah !

8. Dengan menggunakan dalil kemonotonan fungsi, jika 0 < x < y maka tunjukan bahwa

(a) x2 < y2 (b) x1

> y1

(c) x < y

9. Tunjukan bahwa fungsi kuadrat tidak memiliki titik infleksi, sedangkan fungsi pangkat

tiga hanya memiliki satu titik infleksi.

10. Tentukan dua bilangan positif yang jumlahnya 10 dan hasil kalinya paling besar !

140

11. Sepotong kawat dengan panjang 16 m, dipotong dua. Satu potong dibuat bangun bujur

sangkar, sedangkan yang satu potong lagi dibuat bangun lingkaran. Berapa ukuran

masing-masing potongan agar jumlah luas kedua bangun minimum ? Bagaimana jika

maksimum ?

12. Buktikan pernyataan berikut ini. Misalkan dimiliki dua buah fungsi y = f(x) dan

y = g(x). Jika f(x) ≤ g(x) untuk setiap nilai x, kecuali untuk x = c pada selang dimana

)x(fLimcx→

dengan )x(gLimcx→

ada dan berhingga, maka )x(fLimcx→

≤ )x(gLimcx→

.

13. Sebuah kerucut dibuat dari bidang berbentuk lingkaran yang memiliki diameter 10 m,

dengan menggunting sektor bidang lingkaran, sebesar ϕ. Berapakah besar ϕ, agar

diperoleh kerucut dengan volume paling besar ?

14. Tunjukan fungsi y = f(x), dengan y′ = 1x

1xx2

2

++−

, merupakan fungsi naik dimana-mana !

15. Pada pukul 7 pagi sebuah kapal laut berada 60 km arah timur sebuah kapal laut yang

lain. Jika kapal yang pertama bergerak dengan kecepatan 20 km/jam, ke arah barat, dan

kapal yang kedua 30 km/jam ke arah utara, maka pada pukul berapa kedua kapal tersebut

akan berjarak paling dekat ? Berapa jarak terdekat tersebut ?

16. Sebuah beban dikaitkan pada sebuah pegas yang bergerak sepanjang sumbu-X, dengan

kedudukan pada saat t memenuhi persamaan x = Sin 2t + 3 Cos 2t. Berapakan jarak

terjauh beban dari titik asalnya.

17. Seorang manajer pemasaran memperkirakan 100 unit barang akan terjual pada setiap

bulannya, jika harga setiap unitnya $ 250,-. Kuantitas penjualan akan meningkat 20 unit

perbulan, jika harga barang diturunkan $ 10,- perunitnya. Tuliskan persamaan fungsi

harga dan fungsi pendapatan daam setiap bulannya. Hitunglah nilai ekstrim untuk kedua

fungsi tersebut !

141

18. Diketahui sebuah pabrik memiliki m orang pegawai, untuk memproduksi x unit barang

dalam setiap minggunya. Jika h = h(x) fungsi harga, dan p = p(x) = x.h(x) fungsi

pendapatan perminggu, yang juga akan merupakan fungsi atas m, maka dmdp

dinamakan

produk pendapatan marginal. Formulasi ini dapat digunakan sebagai acuan untuk

memperkirakan pendapatan jika ada penambahan seorang pegawai. Tunjukan bahwa

dmdp

= dmdx

(h + xdxdh

).

19. Garis dengan persamaan y = ax + b dinamakan asimtut miring untuk lengkungan

y = f(x), jika )}bax()x(f{Limx

+−∞→

= 0 atau )}bax()x(f{Limx

+−−∞→

= 0.

Tentukan asimtut miring untuk f(x) = 1x

4x2x3x23

34

−−−+

.

20. Buat sketsa grafik fungsi

(a) y = xSin (b) y = Sin x (c) y = 1x

x2

2

+ (d) y = xx (e) y = (x – 1)e2x+1

21. Dalil Rolle

Jika y = f(x) fungsi kontinu pada domain S = [a , b] dan diferensiabel pada domain

(a , b), maka untuk f(a) = f(b), ada paling sedikit sebuah nilai c, a < c < b, sedemikian

rupa sehingga f′(c) = 0.

Tunjukan bahwa dalil ini merupakan hal khusus dari dalil nilai tengah ! Tunjukan

dimana hal khususnya tersebut ?

22. Jika fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c didefinisikan pada domain S = [u . v], maka

tunjukan c = 2

uv − memiliki ciri f′(c) =

uv)u(f)v(f

−−

!

142

23. Perhatikan konsepsi tentang diferensial, yang menyatakan jika h

)x(f)hx(fLim

0h

−+→

ada

dan berhingga, maka

h)x(f)hx(f

Lim0h

−+→

= dx

)x(df.

Jika y = f(x), maka f(x+h) – f(x) = ∆y, dan

h = ∆x, ∆ dinamakan operator diferensi.

Hal ini menunjukan bahwa diferensial

adalah limit diferensi, jika nilainya ada dan

berhingga.

Tunjukan bahwa jika M konstantan yang memiliki hubungan 2

2

dxyd

≤ M pada selang

tutup [c , c+∆x], maka ∆y − dy ≤ 21

M(∆x)2.

24. Gunakan soal 23 untuk menghitung batas atas kekeliruan diferensial fungsi-fungsi di

bawah ini, jika x naik dari 2,00 menjadi 2,01 !

(a) y = 3x2 – 2x + 11 (b) y = x

1x −, x � 0 (c) y = xe(x−1) (d) y =

)x(Sinx

, 0 < x < π

25. Diketahui fungsi y = f(x) dan y = g(x), dengan f(2) = 3, f′(2) = 4, f′′(2) = −1, g(2) = 2,

g′(2) = 5, g′′(2) = −2. Hitunglah di x = 2

(a) ( ))x(g)x(fdxd 32 + (b) ( ))x(g)x(f

dxd

2

2

(c) ( ))x(fogdxd

(d) ��

��

�

)x(g)x(f

dxd

22

2

y=f(x) ∆∆∆∆y

∆∆∆∆x

f(x+h)

f(x)

x x+h

143

BAB V

PERHITUNGAN INTEGRAL

(ANTI DIFERENSIAL)

Perhatikan Gambar V.1. Selang [a , b] dipartisi atas n bagian yang sama, dan dibangun

dua macam persegi–persegi panjang. Persegi−persegi panjang yang pertama seluruhnya

berada di bawah grafik y = f(x). Sedangkan yang kedua meliput grafik y = .(x).

Jika disajikan :

mi : luas persegi panjang yang seluruhnya

berada di bawah grafik,

Mi : luas persegi panjang yang memuat

grafik,

maka

mi = f(xi)n

ab −, i = 1, 2, . . . , n−1,

Mi = f(xi+1) n

ab −, i = 1, 2, . . . , n−1,

Dalam hal ini, f(x0)=f(a) dan f(xn) = f(b).

Selanjutnya, tulis m(n) = �−

=

1n

1iim , M(n) = �

−

=

1n

1iiM . Jika nilai )n(mLim

n ∞→ dan nn

MLim∞→

ada dan

berhingga, maka nnmLim

∞→ = nn

MLim∞→

= �b

a

dx)x(f .

Formulasi �b

a

dx)x(f dinamakan integral tentu dari fungsi y = f(x) dengan batas bawah

x = a dan batas atas x = b. Jika nilai-nilai batas integral tidak disajikan, sehingga

formulasinya menjadi � dx)x(f , maka bentuk integral ini dinamakan integral tak tentu dari

fungsi y = f(x). Perbedaan antara integral tentu dengan tak tentu adalah, Integral tentu

X

y = f(x)

. . . x2 x1 xn-1 b=xn X0=a

Y

Gambar V.1. Konsepsi integral

144

hasilnya sebuah bilangan (konstanta), sedangkan integral tak tentu, sebuah fungsi. Fungsi

f(x) pada bentuk integral (baik tentu maupun tak tentu) dinamakan integrand.

V.1. Fungsi Primitif

Menghitung integral sebuah fungsi, baik integral tentu maupun tak tentu, dengan

menggunakan konsepsi limit, tidak semudah pada perhitungan difrensial. Sebab untuk

keperluan perhitungan integral perlu didefinisikan sebuah fungsi yang dinamakan fungsi

primitif atau biasa dinamakan antidiferensial. Hal ini karena pada formulasi integral

terlibat operator diferensial, dx.

Definisi

Fungsi y = F(x) dinamakan fungsi primitif (antidiferensial) dari y = f(x), jika berlaku

hubungan

)x(d)x(dF

= f(x)

untuk setiap x pada domain y = f(x).

Sebagai contoh, fungsi primitif dari y = Cos x adalah y = Sin x, sebab )x(d

)x(dSin = Cos x

Selanjutnya untuk dapat melakukan proses perhitungan integral perlu dipahami dalil

berikut ini.

Dalil

Jika y = f(x) fungsi kontinu pada domain S = [a , b], dan y = F(x) fungsi primitif dari

y = f(x), maka

�b

a

dx)x(f = b

a)x(F = F(b) – F(a)

Bukti

Perhatikan Gambar V.1.

Berdasarkan gambar, maka dapat disajikan barisan nilai

a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn-1 < xn = b,

145

sehingga dengan cara menambahkan suku baru dan mengurangkan kembali, diperoleh

formulasi

F(b) – F(a) = F(xn) – F(xn-1) + F(xn-1) − . . . − F(x1) + F(x1) − F(x0) = �=

−−n

1i1ii )}x(F)x(F{

Karena y = F(x) fungsi primitif dari y = f(x), yang berarti F′(x) = f(x), maka y = F(x)

merupakan fungsi diferensiabel dengan turunannya kontinu di S, sehingga berdasarkan dalil

nilai tengah, ada ix , xi-1 < ix < xi, sedemikian rupa sehingga

F(xi) – F(xi-1) = f( ix )(xi – xi-1), atau F(b) – F(a) = �=

−−n

1i1iii )xx)(x(f ,

sehingga jika kedua ruas dihitung nilai limitnya untuk n → ∞, maka

{ })a(F)b(FLimn

−∞→

= �=

−∞→−

n

1i1iii

n)xx)(x(fLim .

Karena F(b) – F(a) sebuah konstanta, maka { })a(F)b(FLimn

−∞→

= F(b) – F(a), ada dan

merupakan nilai berhingga. Sehingga �=

−∞→−

n

1i1iii

n)xx)(x(fLim juga ada dan berhingga.

Berdasarkan konsepsi integral, maka �=

−∞→−

n

1i1iii

n)xx)(x(fLim = �

b

a

dx)x(f = F(b) – F(a).

Contoh 1

Tunjukan bahwa �2

1

xdx = 121

Jawab :

Fungsi primitif f(x) = x adalah F(x) = 21

x2, sebab ��

��

� 2x21

dxd

= 21

.2.x2-1 = x.

Karena F(x) = 21

x2, maka

�

�

==

==

2)2(21

)2(F

21

)1(21

)1(F

2

2

, sehingga �2

1

xdx = 2 − 21

= 121

.

146

Contoh 2

Hitunglan �π

41

0

dx)x(Cos !

Jawab :

Sudah ditunjukan bahwa fungsi primitif dari f(x) = Cos x, adalah F(x) = Sin x, sehingga

F(41 π) = Sin(

41 π) = 2

21

f(0) = Sin(0) = 0

�π

41

0

dx)x(Cos = Sin(41 π) − Sin(0) = 2

21

− 0 = 221

Dari paparan dalil, dapat disajikan pernyataan sebagai berikut. Jika batas integral a

dengan b pada integral tentu �b

a

dx)x(f dihilangkan, sehingga diperoleh bentuk � dx)x(f ,

maka

� dx)x(f = F(x) +k,

dengan k konstanta, yang nilainya dapat dihitung, jika ada tambahan ketentuan.

Sebelumnya sudah dikemukan, �b

a

dx)x(f adalah sebuah konstanta, sedangkan � dx)x(f

sebuah fungsi. Hal ini tersurat pada sajian bahwa �b

a

dx)x(f = F(b) – F(a), yang merupakan

sebuah konstanta, dan � dx)x(f = F(x) + k, sebuah bentuk fungsi.

147

Contoh 3

Hitunglah ( )� +

dx1x

22

, jika untuk x = 0 nilainya sama dengan 1 !

Jawab :

Fungsi primitif dari f(x) = ( )21x

2+

, x � −1 adalah F(x) = 1x1x

+−

, sehingga

( )� +dx

1x

22

= 1x1x

+−

+ k

Subtitusikan x = 0 pada hasil integrasi 1010

+−

+ k = 1 k = 2

Sehingga ( )� +

dx1x

22

= 1x1x

+−

+ 2 = 1x1x3

++

Fungsi yang memiliki nilai integral pada domain S, dinamakan integrabel, pada domain

S. Jika menelaah paparan yang telah disampaikan, syarat perlu dan cukup agar sebuah

fungsi integrabel pada domain S adalah kontinu di mana-mana pada S. Sedangkan agar

diferensiabel, kekontinuan fungsi hanya merupakan syarat perlu tetapi tidak cukup. Hal ini

menyatakan bahwa, sebuah fungsi integrabel tidak perlu diferensiabel, sedangkan jika

fungsi diferensiabel, maka integrabel. Sebagai contoh fungsi y = x. Fungsi ini

integrabel pada domain bilangan riel, tetapi tidak diferensiabel di titik (0 , 0). Hal ini dapat

ditelaah pada fakta, � dxx =

�

�

<+−

>+

0 x ,K x21

0 x , Kx21

2

2

. Yang berarti integralnya ada, tetapi

h)0(f)h0(f

0hLim

−+

→ − = −1, sedangkan

h)0(f)h0(f

0hLim

−+

→ + = 1. Yang berarti

h)0(f)h0(f

0hLim

−+

→ tidak ada.

148

V.2. Dalil dasar tentang integral

Untuk lebih memudahkan perhitungan integral perlu dipahami dalil dasar tentang

integral.

1. � kdx = kx + c , k, c : konstanta

Bukti

( )ckxdxd + = kx1-1 + 0 = k

2. � dxx n = 1n

1+

xn+1 + k ; n � −1 , k : konstanta

Bukti

��

��

� ++

+ Kx1n

1dxd 1n =

1n1+

(n+1)x(n+1)-1 + 0 = xn

3. � dxx1

= ln x + k ; k : konstanta

Bukti

( )kxlndxd + =

x1

+ 0 = x1

4. � dxe x = ex + k ; k : konstanta

Bukti

( )kedxd x + = ex + 0 = ex

5. � dx)x(Sin = −Cos(x) + k, dan � dx)x(Cos = Sin(x) + k ; k ; konstanta

Bukti

Sudah disampaikan sebagai contoh pada definisi fungsi primitif

149

6. ( )� + dx)x(g)x(f = � dx)x(f + � dx)x(g

Bukti

( )( )i1i

1n

11

ii xx)x(g)x(f −+ +

−

=� = ( )( )i1i

1n

11

i xx)x(f −+

−

=� + ( )( )i1i

1n

11

i xxx(g −+

−

=�

( )( )��

��

� −+ +

−

=∞→ � i1i

1n

11

iin

xx)x(g)x(fLim

= ( )( )��

��

� −+

−

=∞→ � i1i

1n

11

in

xx)x(fLim + ( )( )��

��

� −+

−

=∞→ � i1i

1n

11

in

xx)x(gLim

Berdasarkan konsepsi integral, jika masing-masing limit nilainya ada dan berhingga,

maka ( )� + dx)x(g)x(f = � dx)x(f + � dx)x(g

7. � dx)x(kf = k � dx)x(f

Bukti

Gunakan analogi pembuktian dalil 6, dengan menyatakan kf(x) sebagai perjumlahan atas

k buah fungsi f(x)

V.3. Cara menghitung sebuah integral

Menghitung integral sebuah fungsi dengan menggunakan konsepsi seperti yang telah

dipaparkan cukup sulit, dan proses perhitungannya relatif tidak sesederhana perhitungan

diferensial. Ada beberapa metode untuk menghitung integral sebuah fungsi.

1. Integral sebagai sebuah antidiferensial

Berdasarkan dalil pada fungsi primitif, tersurat bahwa ( )� dx)x(fdxd

= f(x). Dari

pernyataan ini dapat disimpulkan, sebuah integral dapat diselesaikan jika diketahui fungsi

primitifnya, sehingga untuk menyelesaikan sebuah integral dengan cara ini, diperlukan

150

sebuah direktori fungsi primitif yang lengkap. Metode ini dapat digunakan jika bentuk

integrandnya cukup sederhana.

2. Metode subtitusi

Ada beberapa cara subtitusi yang dapat digunakan, diantaranya

a) Subtitusi aljabar

Contoh 4

Hitunglah ( )�

+−− dxe)3x2( 1x3x2

Jawab :

Subtitusikan y = x2 – 3x + 1 dy = (2x – 3)dx dx = 3x2

dy−

( )�

+−− dxe)3x2( 1x3x2

= � −−

3x2dy

e)3x2( y = � dye y = ey + k = e(x² - 3x + 1) + k

Contoh 5

Hitunglah � −++ dx)1x2x(Tg)1x( 2

Jawab :

Subtitusikan y = (x2 + 2x – 1) dy = (2x + 2)dx dx = 2x2

dy+

= ��

��

�

+1xdy

21

Dengan menggunakan dalil 7,

� −++ dx)1x2x(Tg)1x( 2 = � ++

1xdy

21

)y(Tg)1x( = � dy)y(Tg(21

= � dy})y(Cos)y(Sin

21

Subtitusikan z = Cos(y) dz = −Sin(y)dy

� dy})y(Cos)y(Sin

21

= �−

zdz

21

= −ln(z) + k = −ln{Cos(y)} + k = −ln{Cos(x2 + 2x – 1) + k

151

Contoh 6

Hitunglah � dx)x(Sec !

Jawab :

Sec(x) = )x(Cos

1 =

)x(Cos)x(Cos

2 = )x(Sin1

)x(Cos2−

Subtitusikan y = Sin(x) dy = Cos(x)dx

Sehingga � dx)x(Sec = � −dx

)x(Sin1)x(Cos

2 = � − 2y1

dy

Karena 2y11

− =

)y1)(y1(1

+− =

)y1(21

− +

)y1(21

+, dengan menggunakan dalil 6, 7, dan 3,

maka � − 2y1dy

= � − y1dy

21

+ � + y1dy

21

.

Menghitung � − y1dy

Subtitusikan z = 1 – y dz = −dy,

� − y1dy

= �−

zdz

= −ln(z) + K1 = −ln(1−y) + k1 = −ln{1−Sin(x)} + k1

Menghitung � + y1dy

Subtitusikan z = 1 + y dz = dy

� + y1dy

= � zdz

= ln(z) + k2 = ln(1+y) + k2 = ln{1+Sin(x)} + k2

152

Sehingga

� dx)x(Sec = ��

��

�

21

[−ln{1−Sin(x)} + k1] + ��

��

�

21

[ln{1+Sin(x)} + k2]

= − ��

��

�

21

ln{1−Sin(x)} + ��

��

�

21

ln{1+Sin(x)} + k = ��

��

�

−+

)x(Sin1)x(Sin1

ln21

+ k,

dengan k = ��

��

�

21

k1 + ��

��

�

21

k2.

b) Subtitusi goniometri

Metode ini dilakukan jika integrand memiliki bentuk 22 xa − , 22 xa + , 22 ax − ,

a2 – x2, a2 + x2, atau x2 – a2; a � 0.

Bentuk subtitusinya,

1) untuk bentuk 22 xa − atau a2 – x2

x = aSin(y) dx = aCos(y)dy , y = arc Sin ��

��

�

ax

, atau

x = aCos(y) dx = −aSin(y)dy , y = arc Cos ��

��

�

ax

Contoh 7

Hitunglah � −

+dx

x4

1x2

Jawab :

Subtitusikan x = 2Sin(y) dx = 2Cos(y)dy

y = arc Sin ��

��

�

2x

sehingga

153

� −

+dx

x4

1x2

= � −

+dy)y(Cos2

)y(Sin44

1)y(Sin22

= �+

dy)y(Cos2)y(Cos21)y(Sin2

= ( )� + dy1)y(Sin2 = � dy)y(Sin2 + �dy = −2Cos(y) + y + k

= −2Cos ��

��

��

��

�

2x

arcSin + arc Sin ��

��

�

2x

+ k

2) untuk bentuk 22 xa + atau a2 + x2

x = aTg(y) dx = aSec2(y)dy

y = arc Tg ��

��

�

ax

Contoh 8

Hitunglah � +dx

x9x

12

Jawab :

Subtitusikan x = 3Tg(y) dx = 3Sec2(y)dy

y = arc Tg ��

��

�

3x

� +dx

x9x

12

= � +dy)y(Sec3

)y(Tg99)y(Tg3

1 2

2 = � dy)y(Sec3

)y(Sec3)y(Tg31 2

= � dy)y(Tg)y(Sec

31

= � dy)y(Sin

131

= � dy)y(Sin

)y(Sin31

2 = � −

dy)y(Cos1

)y(Sin31

2


Sehingga

154

� −dy

)y(Cos1)y(Sin

2 = � −

dzz1

12

= � −dz

z121

+ � +dz

z121

= − ��

��

�

21

ln(1−z)+ ��

��

�

21

ln(1+z)+k

= ��

��

�

21

ln ��

��

�

−+

z1z1

+ k = ��

��

�

21

ln ��

��

�

−+

)y(Cos1)y(Cos1

+ k

� +dx

x9x

12

= ��

��

�

31 { �

�

��

�

21

ln ��

��

�

−+

)y(Cos1)y(Cos1

+ k} = ��

��

�

61

ln

��

�

�

��

�

�

��

��

��

��

�−

��

��

��

��

�+

3x

arcTgCos1

3x

arcTgCos1 + k

3) untuk bentuk 22 ax − atau x2 – a2

x = aSec(y) dx = aSec(y)Tg(y)dy

y = arc Sec ��

��

�

ax

Contoh 9

Hitunglah �−

dxx

4x3

2

Jawab :

Subtitusikan x = 2Sec(y) dx = 2Sec(y)Tg(y)dy

y = arc Sec ��

��

�

2x

�−

dxx

4x3

2

= �−

dy)y(Tg)y(Sec2)y(Sec8

4)y(Sec43

2

= � dy)y(Tg)y(Sec4)y(Tg2

2

2

= � dy)y(Cos)y(Sin

21 3

= ( )

�−

dy)y(Cos

)y(Cos1)y(Sin21 2


Sehingga

155

( )

�−

dy)y(Cos

)y(Cos1)y(Sin 2

= ( )�

−− dzzz1 2

= �− dzz1

+ � zdz = −ln(z) + ��

��

�

21

z2 + k

= −ln(Cos(y)) + ��

��

�

21

Cos2(y) + k

�−

dxx

4x3

2

= ��

��

�

21

{−ln(Cos(y)) + ��

��

�

21

Cos2(y) + k}

= − ��

��

�

21

ln(Cos(y)) + ��

��

�

41

Cos2(y) + k

= − ��

��

�

21

ln ��

��

��

��

��

��

�

2x

arcSecCos + ��

��

�

41

Cos2��

��

��

��

�

2x

arcSec + k

c) Subtitusi jika integrand memiliki bentuk kuadratik ax2 + bx + c.

Dalam hal seperti ini, proses yang harus dilakukan

1) Merubah bentuk kuadratik ax2+bx+c menjadi perjumlahan dua suku kuadrat

(Ax)2+B2 , sebagai berikut

ax2+bx+c = a(x2+ab

x+ac

) = a{(x+a2

b)2+

ac − 2

2

a4b

} = a{(x+a2

b)2+

22

a2bac4

��

�

�

��

�

� −}

2) Subtitusikan y = x + a2

b dy = dx

x = y − a2

b

Contoh 10

Hitunglah � +−+

dx1xx2

2x2

!

Jawab :

Berdasarkan paparan yang telah dikemukakan,

156

2x2 – x + 1 = 2{(x + )2(2)1(−

)2 +

22

)2(2)1()1)(2(4��

�

�

��

�

� −− = 2{(x −

41

)2 + 2

23��

��

� }

Subtitusikan : y = x − 41

dy = dx

x = y − 41

� +−+

dx1xx2

2x2

= ��

�

�

��

�

��

��

�+

+��

��

� −dy

23

y2

241

y

22

= ��

�

�

��

�

��

��

�+

dy

23

y

y21

22

+ ��

�

�

��

�

��

��

�+

dy

23

y

187

22

Menghitung integral ��

�

�

��

�

��

��

�+

dy

23

y

y2

2

Subtitusikan z = y2 dz = 2ydy

��

�

�

��

�

��

��

�+

dy

23

y

y2

2

= ��

��

� +49

z

dz21

= ��

��

� +dz

49

z

121

= 21

ln ��

��

� +49

z +k1 = 21

ln ��

��

� +49

y 2 +k1

= 21

ln��

�

�

��

�

�+��

�

��

��

��

�−49

41

x2

+ k1 = 21

ln ��

��

� +−1637

x21

x 2 + k1

Menghitung integral ��

�

�

��

�

��

��

�+

dy

23

y

12

2

Subtitusikan y = 23

Tg(z) dy = 23

Sec2(z)dz

z = arc Tg ��

��

�

3y2

Sehingga

157

��

�

�

��

�

��

��

�+

dy

23

y

12

2

= ��

��

� +dz)z(Sec

23

49

)z(Tg49

1 2

2

= � dz)z(Sec23

)z(Sec49

1 2

2 = �dz

32

= 32

z + k2 =32

arc Tg ��

��

�

3y2

+ k2 = 32

arc Tg��

�

�

��

�

��

��

� −

341

x2 + k2 =

32

arc Tg ��

��

� −6

1x4 + k2

� +−+

dx1xx2

2x2

= ��

��

�

21

21

ln ��

��

� +−1637

x21

x 2 + ��

��

�

87

32

arc Tg ��

��

� −6

1x4 + k

= 41

ln ��

��

� +−1637

x21

x 2 + 127

arc Tg ��

��

� −6

1x4 + k

d) Subtitusi rasionalisasi

Metode ini dilakukan jika integrand memiliki bentuk akar, n bax + , n > 2.

Prosesnya, subtitusikan y = n bax + , sehingga

yn = ax + b x = a

byn − dx =

an

y(n−1)dy

Contoh 11

Hitunglah � + dx4xx3 !

Jawab :

Berdasarkan paparan, y = 3 4x + x = y3 − 4 dx = 3y2dy

� + dx4xx3 = ( )� − )dyy3)(y(4y 23 = � dyy3 6 = ( )� − dyy4y3 36 = � dyy3 6 − � dyy12 3

= 73

y7 − 412 y4 + k =

73 ( )( )73 4x+ − 3 ( )( )43 4x + + k

= 73

(x + 4)2 3 4x + − 3(x + 4) 3 4x + + k

158

3. Integral Parsial

Konsepsinya

� )x(dg)x(f = f(x)g(x) − � )x(df)x(g .

Dalam hal ini bentuk integral � )x(df)x(g harus lebih sederhana dari � )x(dg)x(f .

Contoh 12

Hitunglah � dx)xln(x !

Jawab :

f(x) = ln(x) df(x) = x1

dx

dg(x) = x dx g(x) = � dxx = 1

21

1

+

121

x+

= 32 2

3

x

(konstanta k tidak dituliskan sebab dapat dikumulatifkan pada perhitungan terakhir)

� dx)xln(x = {ln(x)}(32 2

3

x ) − � ��

��

�dx

x1

x32 2

3

= 32 2

3

x ln(x) − �−

dxx32 1

23

= 32 2

3

x ln(x) − 32

32 2

3

x + k = 32 2

3

x (ln(x) − 32

) + k

Contoh 13

Hitunglah ( )� dx)xln(Sin !

Jawab :

Subtitusikan : ln(x) = y x = ey , dy = dxx1

dx = xdy = eydy

Sehingga ( )� dx)xln(Sin = � dye)y(Sin y = � dy)y(Sine y

f(y) = Sin(y) df(y) = Cos(y)dy

dg(y) = eydy g(y) = � dye y = ey

159

� dy)y(Sine y = {Sin(y)}{ey} − � dy)y(Cos}e{ y = eySin(y) − � dy)y(Cose y

Menghitung integral � dy)y(Cose y

f(y) = Cos(y) df(x) = −Sin(y)dy

dg(y) = eydy g(y) = � dye y = ey

� dy)y(Cose y = {Cos(y)}{ey} − � − dy}}y(Sin}{e{ y = eyCos(y) + � dy}y(Sine y

Sehingga

� dy)y(Sine y = eySin(y)−{ eyCos(y)+ � dy}y(Sine y } = eySin(y)−eyCos(y)− � dy}y(Sine y

2 � dy)y(Sine y = eySin(y) − eyCos(y)

( )� dx)xln(Sin = � dy)y(Sine y = 21

{ eySin(y) − eyCos(y)} + k

4. Integral partisi

Metode ini digunakan jika integrandnya merupakan fungsi pecahan aljabar (fungsi

rasional). Proses yang harus dilakukan,

1) Jika derajat pembilang lebih besar dari derajat penyebut, maka lakukan proses

pembagian, sehingga diperoleh suku sisa.

2) Pada suku sisa, jika penyebut dapat difaktorkan, maka partisi suku sisa, selanjutnya

lakukan proses kesamaan pada pembilang.

3) Lakukan perhitungan integral berdasarkan hasil partisi.

Contoh 14.

Hitunglah � +−−+−

dx2x3x

1xx2x2

23

!

Jawab :

Karena derajat pembilang lebih besar dari penyebut, maka proses perhitungannya

1) Melakukan pembagian sehingga diperoleh suku sisa

2x3x

1xx2x2

23

+−++−

= (x + 1) + 2x3x

1x22 +−

−

160

2) Mempartisi suku sisa

2x3x

1x22 +−

− =

)2x)(1x(1x2−−

− =

1xA−

+ 2x

B−

= )2x)(1x(

)1x(B)2x(A−−

−+−

= )2x)(1x(

)BA2(x)BA(−−

+−+

Pada kesamaan ini, A + B = 2 dan 2A + B = 1. Jika diselesaikan, akan diperoleh A = −1,

B = 3, sehingga 2x3x

1x22 +−

− =

1x1

−−

+ 2x

3−

3) Proses integral partisi

� +−−+−

dx2x3x

1xx2x2

23

= � + dx)1x( + � −−

dx1x

1 + � −

dx2x

3

= � xdx + �dx + � −−

dx1x

1 + � −

dx2x

3 =

21

x2 + x – ln(x−1) + 3ln(x−2) + k

Contoh 15

Hitunglah � +−−+−

dx2x3x2

1xx2x2

23

!

Jawab :

Karena derajat pembilang lebih besar dari penyebut, dengan penyebutnya tidak dapat

difaktorkan, sebab diskriminannya, D < 0, maka proses perhitungannya

1) Melakukan pembagian untuk mendapatkan suku sisa

2x3x2

1xx2x2

23

+−−+−

= ��

��

� −41

x21

+ 2x3x2

23

x43

2 +−

−− = �

�

��

� −41

x21

− ��

��

�

+−+

��

��

�

2x3x22x

43

2

161

2) Mempartisi bentuk integral

� +−−+−

dx2x3x2

1xx2x2

23

= dx41

x21

� ��

��

� − − dx2x3x2

2x43

2� ��

��

�

+−+

��

��

�

= dxx21� − �dx

41

− dx2x3x2

2x43

2� ��

��

�

+−+

= dxx21� − �dx

41

− dx2x3x2

x43

2� +− − dx

2x3x22

43

2� +−

= 41

x2 − 41

x − dx2x3x2

x43

2� +− −

23

dx2x3x2

12� +−

Menghitung integral dx2x3x2

12� +−

(1) Sajikan bentuk kuadrat (2x2–3x+2) menjadi perjumlahan dua suku kuadrat

2x2–3x+2 = 2(x2−23

x+1) = 2{(x−43

)2−169

+1} = 2{(x−43

)2+167

}

= 2{(x−43

)2+2

47��

��

�}

(2) Subtitusikan, x−43

= y dy = dx

x = y + 43

(3) dx2x3x2

12� +−

= dy

47

y2

12

2

�

��

�

�

��

�

�

��

��

�+

= 21

dy

47

y

12

2

��

��

�+

= 21

arc Tg ��

��

�

7

y4+k1

= 21

arc Tg ��

��

� −7

3x4 + k1

162

Menghitung integral dx2x3x2

x2� +−

(1) Sajikan bentuk kuadrat (2x2–3x+2) menjadi perjumlahan dua suku kuadrat

2x2–3x+2 = 2(x2−23

x+1) = 2{(x−43

)2−169

+1} = 2{(x−43

)2+167

}

= 2{(x−43

)2+2

47��

��

�}

(2) Subtitusikan, x−43

= y dy = dx

x = y + 43

(3) dx2x3x2

x2� +−

= dy

47

y2

43

y

2

2

�

��

�

�

��

�

�

��

��

�+

+

= dy

47

y

y21

2

2

�

��

��

�+

+ dy

47

y

183

2

2

�

��

��

�+

Menghitung integral dy

47

y

y2

2

��

��

�+

Subtitusikan y2 + 2

47��

��

� = y2 +

167

= z dz = 2ydy

dy

47

y

y2

2

��

��

�+

= dzz21

� = ��

��

�

21 ( ){ }zln + k2 =

21

ln ��

��

� +167

y 2 + k2

163

Menghitung integral dy

47

y

12

2

��

��

�+

Subtitusikan y = ��

��

�

47

Tg(z) dy = ��

��

�

47

Sec2(z)z

dy

47

y

12

2

��

��

�+

= dz)z(Sec47

167

)z(Tg167

1 2

2� �

��

��

�

+

= dz)z(Sec47

)z(Sec16

7

1 2

2� �

��

��

�

��

��

� = �dz = z = arc Tg ��

�

��

�

7

y4

Sehingga

dx2x3x2

x2� +−

= 21

ln ��

��

� +167

y 2 + ��

��

�

43

arc Tg ��

��

�

7

y4 + k3

= 21

ln��

�

�

��

�

�+�

�

��

� −167

43

x2

+ ��

��

�

43

arc Tg��

�

�

��

�

��

��

� −

743

x4 + k3

= 21

ln ��

��

� −−162

x169

x 2 + ��

��

�

43

arc Tg ��

��

� −7

3x4 + k3

Sehingga

� +−−+−

dx2x3x2

1xx2x2

23

= 41

x2 − 41

x − ��

��

�

43

{21

ln ��

��

� −−162

x169

x 2 + ��

��

�

43

arc Tg ��

��

� −7

3x4}

− ��

��

�

23

{arc Tg ��

��

� −7

3x4} + k

= 41

x2 − 41

x − 83

ln ��

��

� −−162

x169

x 2 − 4

15arc Tg ��

�

��

� −7

3x4 + k

164

Contoh 16

Hitunglah � −−+

dxx3x2x

3x523 !

Jawab :

Derajat pembilang lebih kecil dari penyebut, dan penyebut dapat difaktorkan atas tiga faktor,

sehingga proses perhitungannya

1) Mempartisi integrand

x3x2x

3x523 −−

+ =

)3x2x(x3x5

2 −−+

= )1x)(3x(x

3x5+−

+ =

xA

+ 3x

B−

+ 1x

C+

= )1x)(3x(x

)3x(Cx)1x(Bx)1x)(3x(A+−

−++++− =

)1x)(3x(xCx3CxBxBxA3Ax2Ax 222

+−−+++−−

= )1x)(3x(x

)A3(x)C3BA2(x)CBA( 2

+−−+−+−+++

Dari kesamaan diperoleh, A + B + C = 0, −2A + B – 3C = 5, −3A = 3. Jika dihitung,

maka : A = −1 , B = −21

, C = 23

2) Integral partisinya

� −−+

dxx3x2x

3x523 = �

−dx

x1

+ � −

−dx

3x21

+ � +dx

1x23

= −ln(x) − 21

ln(x–3) + 23

ln(x+1) + k

165

Contoh 17

Hitunglah � −+−+

dx4x3x1x3x5

23

2

!

Jawab :

Karena derajat pembilang lebih kecil dari penyebut, maka proses perhitunganya

1) Mempartisi bentuk integrand

4x3x1x3x5

23

2

−+−+

= 2

2

)2x)(1x(1x3x5

+−−+

= 1x

A−

+ 2x

B+

+ 2)2x(C+

= 2

2

)2x)(1x()1x(C)2x)(1x(B)2x(A

+−−++−++

= 2

22

)2x)(1x()1x(C)2xx(B)4x4x(A

+−−+−++++

= 2

2

)2x)(1x()CB2A4(x)CBA4(x)BA(

+−−−+++++

Dari kesamaan disimpulkan, A + B = 5 , 4A + B + C = 3 , 4A – 2B – C = −1. Jika

dihitung, diperoleh A = 9329

, B = 9346

, C = 3139

2) Integral partisinya

� −+−+

dx4x3x1x3x5

23

2

= � −dx

1x9329

+ � +dx

2x9346

+ � +dx

)2x(3139

2

= � −dx

1x1

9329

+ � +dx

2x1

9346

+ � +dx

)2x(1

3139

2

= 9329

ln(x – 1) + 9346

ln(x + 2) + 3139

.(−2 + 1)(x + 2)−2+1 + k

= 9329

ln(x – 1) + 9346

ln(x + 2) − 3139

2x1+

+ k

= )2x(93

117)2xln()2x(46)1xln()2x(29+

−+++−+ + k

166

5. Integral fungsi goniometri

Mengintegralkan fungsi-fungsi goniometri pada umumnya tidak sesederhana seperti

pada fungsi-fungsi aljabar, karena adanya pengulangan bentuk fungsi. Sehingga untuk

menghitung beberapa bentuk integral fungsi goniometri, perlu telaahan secara khusus.

Bentuk-bentuk tesebut diantaranya :

1) � dx)x(Sin n atau � dx)x(Cosn

Metode penyelesaiannya dengan memperhatikan apakah n bilangan genap atau ganjil.

a) Jika n bilangan ganjil, maka

(1) Ubah bentuk Sinn(x) menjadi Sinn-1(x)Sin(x), dan Cosn(x) menjadi Cosn-1(x)Cos(x)

(2) Gunakan hubungan Sin2(x) + Cos2(x) = 1

Sehingga diperoleh bangun Sink(x)Cos(x) atau Cosk(x)Sin(x)

Contoh 18

Hitunglah � dx)x(Sin 7

Jawab

� dx)x(Sin 7 = � dx)x(Sin)x(Sin 6 = ( )� dx)x(Sin)x(Sin32 = ( )� − dx)x(Sin)x(Cos1

32

= ( ) ( )( )� −+− dx)x(Sin)x(Cos)x(Cos3)x(Cos3132222

Subtitudikan Cos(x) = y dy = dCos(x) = Sin(x)dx

� dx)x(Sin 7 = ( )� −+− dyyy3y31 642 = y – y3 + 53

y5 – 71

y7 + k

= Cos(x) – Cos3(x) + 53

Cos5(x) – 71

Cos7(x) + k

b) Jika n genap maka

(1) Ubah bentuk Sinn(x) menjadi (Sin2(x))n/2, dan Cosn(x) menjadi (Cos2(x))n/2

(2) Gunakan hubungan Sin2(x) = 21

(1 – Cos(2x)), Cos2(x) = 21

(1 + Cos(2x))


167

Contoh 19

Hitunglah �π

41

0

6 dx)x(Cos !

Jawab

Cos6(x) = (Cos2(x))3 = (21

(1 + Cos(2x)))3 = 81

(1 + 3Cos(2x) + 3Cos2(2x) + Cos3(2x))

= 81

+ 83

Cos(2x) + 83

(21

(1 + Cos(2x))) + 81

Cos2(2x)Cos(2x)

= 81

+ 83

Cos(2x) + 83

(21

(1 + Cos(2x))) + 81

( 1 − Sin2(2x))Cos(2x)

Subtitusikan 2x = y dy = 2dx dx = 21

dy

x = 0 y = 0 , x = 41 π y =

21 π

Sehingga

�π

41

0

6 dx)x(Cos = �π

��

��

�21

0

dy21

81

+ �π

��

��

�21

0

dy21

)y(Cos83

+ �π

��

��

�21

0

dy21

163

+ �π

��

��

�21

0

dy21

)y(Cos163

+ �π

��

��

�21

0

dy21

)y(Cos81

− �π

21

0

2 dy21

)y(Cos)y(Sin

= 161 π

21

0y +

163 π

21

0)y(Sin +

323 π

21

0y +

323 π

21

0)y(Sin +

161 π

21

0)y(Sin −

21 ( )�

π21

0

2 )y(Sind)y(Sin

= 161

(21 π − 0) +

163

(Sin(21 π) – Sin(0)) +

323

(21 π − 0) +

323

(Sin(21 π) – Sin(0))

+ 161

(Sin(21 π) – Sin(0)) −

21

31

(Sin3(21 π) − Sin3(0))

= 321

+ 163

+ 643

+ 323

+ 161

− 61

= 192113

168

2) � dx)x(Cos)x(Sin nm

Menyelesaikan bentuk integral seperti ini, identik dengan bentuk 1), yaitu

a) Sajikan Sinm(x) = Sinm-1(x)Sin(x), jika n ganjil, dan Sinm(x) = (Sin2(x))m/2, jika m genap

analog Cos(x)n = Cos(x)n-1Cos(x), jika n ganjil, dan Cosn(x) = (Cos2(x))n/2, jika n genap

b) Gunakan hubungan Sin2(x) + Cos2(x) = 1, jika m, atau n, atau keduanya ganjil, atau

Sin2(x) = 21

(1 – Cos(2x)), Cos2(x) = 21

(1 + Cos(2x)), jika m dan n genap.


Contoh 20

Hitunglah � dx)x(Cos)x(Sin 43 !

Jawab :

Sin3(x)Cos4(x) = Sin2(x)Sin(x)Cos4(x) = (1 – Cos2(x))Sin(x)Cos4(x)

= (Cos4(x) – Cos6(x))Sin(x)

sehingga

� dx)x(Cos)x(Sin 43 = � − dx)x(Sin))x(Cos)x(Cos( 64

= � dx)x(Sin)x(Cos 4 − � dx)x(Sin)x(Cos6

subtitusikan Cos(x) = y dy = dCos(x) = Sin(x)dx

� dx)x(Cos)x(Sin 43 = � dyy4 − � dyy6 = 51

y5 − 71

y7 + K = 51

Cos5(x) − 71

Cos7(x) + k

Contoh 21

Hitunglah � dx)x(Cos)x(Sin 64 !

Jawab :

Sin4(x)Cos6(x) = {Sin2(x)}2Cos6 = {1−Cos2(x)}2Cos6(x) = {1−2Cos2(x)+Cos4(x)}Cos6(x)

= Cos6(x)−2Cos8(x)+Cos10(x) = {Cos2(x)}3 − 2{Cos2(x)}4 + {Cos2(x)}5

= [21

{1 + Cos(2x)}]3 − 2[21

{1 + Cos(2x)}]4 + [21

{1 + Cos(2x)}]5

169

= 81

{1+3Cos(2x)+3Cos2(2x)+Cos3(2x) − 81

{1+4Cos(2x)+6Cos2(2x)+4Cos3(2x)+Cos4(2x)}

+ 321

{1+5Cos(2x)+10Cos2(2x)+10Cos3(2x)+5Cos4(2x)+Cos5(2x)}

= 321

− 323

Cos(2x) − 161

Cos2(2x) − 161

Cos3(2x) + 321

Cos4(2x) + 321

Cos5(2x)

sehingga

� dx)x(Cos)x(Sin 64 = �dx321

− � dx)x2(Cos321

− � dx)x2(Cos161 3 + � dx)x2(Cos

321 4

+ � dx)x2(Cos321 5

subtitusikan 2x = y dy = 2dx dx = 21

dy

� dx)x(Cos)x(Sin 64 = 321

x − 641

Sin(y) − 321� dy)y(Cos)y(Cos 2 +

641� dy)}y(Cos{ 22

+ 641� dy)y(Cos)}y(Cos{ 22

= 321

x − 641

Sin(2x) − 321� − dy)y(Cos)}y(Sin1{ 2 +

641� + dy)}]y2(Cos1{

21

[ 2

+ 641� − dy)y(Cos)}y(Sin1{ 22

= 321

x − 641

Sin(2x) − 321

{Sin(y)− 31

Sin3(y)} + 2561� ++ dy)y2(Cos)y2(Cos21{ 2

+ 641� +− dy)y(Cos)}y(Sin)y(Sin21{ 42 + k

= 321

x − 641

Sin(2x) − 321

Sin(2x) − 961

Sin3(2x) + 2561

{y+Sin(2y)+ � + dy)}y4(Cos1{21

}

+ 641

{Sin(y)−32

Sin3(y)+ 51

Sin5(y)} + k

170

= 321

x − 641

Sin(2x) − 321

Sin(2x) − 961

Sin3(2x) + 2561

{2x+Sin(4x)+21

y+81

Sin(4y)}

+ 641

Sin(2x) − 961

Sin3(2x) + 320

1Sin5(2x) + k

= 321

x − 641

Sin(2x) − 321

Sin(2x) − 961

Sin3(2x) + 128

1x +

2561

Sin(4x) + 2561

x

+ 2048

1Sin(8x) +

641

Sin(2x) − 961

Sin3(2x) + 320

1Sin5(2x) + k

= 25611

x − 321

Sin(2x) + 2561

Sin(4x) + 2048

1Sin(8x) −

481

Sin3(2x) + 320

1Sin5(2x) + k

3) � dx)x(Tg n atau � dx)x(Ctg n

Cara menyelesaikan integral seperti ini adalah dengan menuliskan

(1) Tgn(x) = Tg2(x)Tgn-2(x) , Ctgn(x) = Ctg2(x)Ctgn-2(x),

(2) Menggunakan hubungan Tg2(x) = Sec2(x) – 1, Ctg2(x) = Cosec2(x) – 1.

Sehingga diperoleh bangun Tgk(x)Sec2(x).

Contoh 22

Hitunglah � dx)x(Tg 6 !

Jawab :

Tg6(x) = Tg2(x)Tg4(x) = {Sec2(x) – 1}Tg4(x) = Sec2(x)Tg4(x) – Tg4(x)

= Sec2(x)Tg4(x) – Tg2(x)Tg2(x) = Sec2(x)Tg4(x) – {Sec2(x) – 1}Tg2(x)

= Sec2(x)Tg4(x) – Sec2(x)Tg2(x) + Tg2(x) = Sec2(x)Tg4(x) – Sec2(x)Tg2(x) + Sec2(x) – 1

subtitusikan y = Tg(x) dy = Sec2(x)dx , sehingga

� dx)x(Tg 6 = � dyy 4 − � dyy 2 + �dy − �dx = 51

Tg5(x) − 31

Tg3(x) + Tg(x) – x + k.

171

Soal 23

Hitunglah � dx)x(Ctg 7

Jawab :

Ctg7(x) = Ctg2(x)Ctg5(x) = {Cosec2(x) – 1}Ctg3(x) = Cosec2(x)Ctg3(x) – Ctg3(x)

= Cosec2(x)Ctg3(x) – Cosec2Ctg(x) + Ctg(x)

subtitusikan y = Ctg(x) dy = −Cosec2(x)dx, sehingga

� dx)x(Ctg 7 = �− dyy3 − �− ydy + � dx)x(Ctg = −41

Ctg4(x) + 21

Ctg2(x) + ln{Sin(x)} + k

Catatan :

� dx)x(Ctg = � dx)x(Sin)x(Cos

= � x)x(dSin)x(Sin

1 = ln{Sin(x)} + k

4) � dx)x(Sec)x(Tg nm atau � dx)x(secCo)x(Ctg nm

Untuk menyelesaikan bentuk integral seperti ini perlu diperhatikan ciri dari m atau.

a) Jika n genap dan m sembarang, maka tulis

Secn(x) = Sec2(x)Secn-2(x) = {1 + Tg2(x)}Secn-2(x),

Cosecn(x) = Cosec2(x)Cosecn-2(x) = {1 + Ctg2(x)}Cosecn-2(x)

sehingga diperoleh bangun Tgk(x)Sec2(x)

Contoh 24

Hitunglah � dx)x(Sec)x(Tg 65 !

Jawab :

Tg5(x)Sec6(x) = Tg5(x){1 + Tg2(x)}Sec4(x) = Tg5(x)Sec4(x) + Tg7(x)Sec4(x)

= Tg5(x){1 + Tg2(x)}Sec2(x) + Tg7(x){1 + Tg2(x)}Sec2(x)

= Tg5(x)Sec2(x) + Tg7(x)Sec2(x) + Tg7(x)Sec2(x) + Tg9(x)Sec2(x)

= Tg5(x)Sec2(x) +2Tg7(x)Sec2(x) + Tg9(x)Sec2(x)

Subtitusikan y = Tg(x) dy = Sec2(x)dx , sehingga

� dx)x(Sec)x(Tg 65 = � dyy5 + 2 � dyy7 + � dyy9 = 61

Tg6(x) + 41

Tg8(x) + 101

Tg10(x) + k

172

b) Jika m ganjil dan n sembarang, maka tulis

Tgm(x) = Tg2(x)Tgm-2(x) = {Sec2(x) – 1}Tgm-2(x)

Ctgm(x) = Ctg2(x)Ctgm-2(x) = {Cosec2(x) – 1}Ctgm-2(x)

sehingga diperoleh bangun Coseck(x){Ctg(x)Cosec(x)}

Contoh 25

Hitunglah � dx)x(secCo)x(Ctg 37 !

Jawab :

Ctg7(x)Cosec3(x) = {Cosec2 – 1}Ctg5(x)Cosec5(x)

= {Cosec2(x) – 1}Ctg4(x)Cosec4(x){Ctg(x)Cosec(x)}

= {Cosec6(x) – Cosec4(x)}{Cosec2(x) – 1}2{Ctg(x)Cosec(x)}

= {Cosec6(x) – Cosec4(x)}{Cosec4(x) – 2Cosec2(x) + 1}{Ctg(x)Cosec(x)}

= {Cosec10(x) – 3Cosec8(x) + 3Cosec6(x) – Cosec4(x)}{Ctg(x)Cosec(x)}

= Cosec10(x){Ctg(x)Cosec(x)} – 3Cosec8(x){Ctg(x)Cosec(x)}

+ 3Cosec6(x){Ctg(x)Cosec(x)} – Cosec4(x){Ctg(x)Cosec(x)}

subtitusikan y = Cosec(x) dy = Ctg(x)Cosec(x)dx

sehingga

� dx)x(secCo)x(Ctg 37 = � dyy10 − 3 � dyy8 + 3 � dyy6 − � dyy4

= 111

Cosec11(x) − 31

Cosec9(x) + 73

Cosec7(x) − 51

Cosec5(x) + k

5) � dx)nx(Sin)mx(Sin atau � dx)nx(Cos)mx(Sin atau � dx)nx(Cos)mx(Cos .

Untuk menyelesaikan integral seperti ini gunakan hubungan

Sin(mx)Cos(nx) = 21

[Sin{(m+n)x} + Sin{(m−n)x}]

Sin(mx)Sin(nx) = −21

[Cos{(m+n)x} – Cos{(m−n)x}]

Cos(mx)Cos(nx) = 21

[Cos{(m+n)x} + Cos{(m−n)x}]

173

Sehingga diperoleh bentuk Sin(kx) atau Cos(kx)

Contoh 26

Hitunglah � dx)x6(Sin)x5(Sin !

Jawab :

Sin(5x)Sin(6x) = −21

Cos(11x) – Cos(−x)} = −21

Cos(11x) + 21

Cos(x)

sehingga

� dx)x6(Sin)x5(Sin = −21� dx)x11(Cos +

21� dx)x(Cos = −

221

Sin(11x) + 21

Sin(x) + k

6. Integral fungsi rasional dengan variabelnya berpangkat rasional

Untuk menyelesaikan integral seperti ini subtitusikan x = yn, dengan n merupakan kelipatan

persekutuan terkecil dari penyebut pangkat.

Contoh 27

Hitunglah dxxx

x143 2� −

− !

Jawab :

43 2 xx

x1

−

− =

41

32

21

xx

x1

−

−

Subtitusikan x = y12 dx = 12y11dy , y = 12 x

Sehingga

dxxx

x143 2� −

− = dyy12

yyy1 11

38

6

� −−

= 12 dyyyyy

38

1711

� −−

= 12 dy1y

yy5

148

� −−

= 12 dy1yyy

yyyy 5

34349

��

��

−++++−−

= −12 dyy9� − 12 dyy 4

� + 12 dyy3� + 12 dyy� + 12 dy

1yy5

4

� − + 12 dy

1yy5

3

� −

174

= −56

y10 − 5

12y5 + 3y4 + 6y2 +

512

ln(y5−1) + 12 dy1y

y5

3

� −

= −56 12 10x −

512 12 5x + 3 12 4x + 6 12 2x +

512

ln( 12 5x -1) + 12 dy1y

y5

3

� −

= −56 6 5x −

512 12 5x + 3 3 x + 6 6 x +

512

ln( 12 5x -1) + 12 dy1y

y5

3

� −

Menghitung integral dy1y

y5

3

� − :

1yy5

3

− =

)1yyyy)(1y(y

234

3

++++− =

1y51

− +

1yyyy51

y52

y53

y51

234

23

++++

+++−

= ��

��

�

−1y1

51

+ ��

��

�

+++++++

1yyyy1y2y3y4

51

234

23

− 1yyyy

y234

3

++++

Sehingga

dy1y

y5

3

� − = dy

1y1

51� ��

�

��

�

− + dy

1yyyy1y2y3y4

51

234

23

� ��

��

�

+++++++

− dy1yyyy

y234

3

� ++++

= 51

ln(y−1) + 51

ln(y4+y3+y2+y+1) − dy1yyyy

y234

3

� ++++

= 51

ln( 12 x −1)+51

ln( 12 4x + 12 3x + 12 2x + 12 x +1) − dy1yyyy

y234

3

� ++++

= 51

ln( 12 x −1)+51

ln( 3 x + 4 x + 6 x + 12 x +1) − dy1yyyy

y234

3

� ++++

Karena integral dy1yyyy

y234

3

� ++++ jika dihitung secara “manual”, tidak sederhana,

maka diselesaikan dengan menggunakan program Mathcad.

175

Hasilnya :

dy1yyyy

y234

3

� ++++ =

41

ln{2y2+(1− 5 )y+2}−20

5ln{2y2+(1− 5 )y+2}−

52105

1

+Arctg

�

��

��

��

�

�

��

�

�

+

−+

5210

51(y45

−5210

1

+Arctg

�

��

��

��

�

�

��

�

�

+

−+

5210

51(y4+

41

ln{2y2+(1+ 5 )y+2}+20

5 ln{2y2+(1+ 5 )y+2}

+52105

1

−Arctg

�

��

��

��

�

�

��

�

�

−

++

5210

51(y45 −

5210

1

−Arctg

�

��

��

��

�

�

��

�

�

−

++

5210

51(y4

= 41

ln{2 12 2x +(1− 5 ) 12 x +2} − 20

5ln{2 12 2x +(1− 5 ) 12 x +2}

− 52105

1

+Arctg

�

��

��

��

�

�

��

�

�

+

−+

5210

51(x45

12

− 5210

1

+Arctg

�

��

��

��

�

�

��

�

�

+

−+

5210

51(x412

+41

ln{2 12 2x +(1+ 5 ) 12 x +2} + 20

5 ln{2 12 2x +(1+ 5 ) 12 x +2}

+52105

1

−Arctg

�

��

��

��

�

�

��

�

�

−

++

5210

51(x45

12

−5210

1

−Arctg

�

��

��

��

�

�

��

�

�

−

++

5210

51(x412

= 41

ln{2 6 x +(1− 5 ) 12 x +2} − 20

5ln{2 6 x +(1− 5 ) 12 x +2}

− 52105

1

+Arctg

�

��

��

��

�

�

��

�

�

+

−+

5210

51(x45

12

− 5210

1

+Arctg

�

��

��

��

�

�

��

�

�

+

−+

5210

51(x412

+41

ln{2 6 x +(1+ 5 ) 12 x +2} + 20

5 ln{2 6 x +(1+ 5 ) 12 x +2}

+52105

1

−Arctg

�

��

��

��

�

�

��

�

�

−

++

5210

51(x45

12

−5210

1

−Arctg

�

��

��

��

�

�

��

�

�

−

++

5210

51(x412

176

Sehingga

dxxx

x143 2� −

−= −

56 6 5x −

512 12 5x + 3 3 x + 6 6 x +

512

ln( 12 5x -1)

+ 12[51

ln( 12 x −1) + 51

ln( 3 x + 4 x + 6 x + 12 x +1)

− {41

ln{2 6 x +(1− 5 ) 12 x +2} − 20

5ln{2 6 x +(1− 5 ) 12 x +2}

− 52105

1

+Arctg

�

��

��

��

�

�

��

�

�

+

−+

5210

51(x45

12

− 5210

1

+Arctg

�

��

��

��

�

�

��

�

�

+

−+

5210

51(x412

+ 41

ln{2 6 x +(1+ 5 ) 12 x +2}

+ 20

5 ln{2 6 x +(1+ 5 ) 12 x +2}

+ 52105

1

−Arctg

�

��

��

��

�

�

��

�

�

−

++

5210

51(x45

12

− 5210

1

−Arctg

�

��

��

��

�

�

��

�

�

−

++

5210

51(x412

}]

Metode mengintegralkan fungsi seperti yang sudah disajikan merupakan metode yang

menghasilkan nilai eksak, dan pada umumnya dapat dilakukan secara “manual” Ada

metode lain yang dapat dilakukan secara “manual”, tetapi hasilnya biasanya nilai

pendekatan, yaitu dengan mengubah fungsi yang diintegralkan dalam bentuk deret.

177

V.4. Beberapa penggunaan integral

1. Luas bidang datar

Jika menelaah konsepsi dari

integral, maka pada integral tentu

dari sebuah fungsi adalah luas

bidang yang dibatasi oleh grafik

fungsi, sumbu-X, dan garis-garis

batas integral.

Sehingga luas bidang yang dibatasi

oleh grfik fungsi y = f(x), sumbu-

X, garis X = a, dengan X = b,

seperti di samping kiri ini, sama

dengan L = �b

a

dx)x(f .

Sedangkan luas bidang yang dibatasi oleh

dua grafik fungsi y = f(x) dengan y = g(x)

seperti pada gambar di samping kanan

ini, sama dengan

L = { }� −1

0

x

x

dx)x(g)x(f .

Karena nilai ini bisa negatif, sedang L>0,

maka formulasi disajikan oleh

L = { }� −1

0

x

x

dx)x(g)x(f .

Y

X=a X=b

X

y = f(x)

Gambar V.1 Bidang di bawah grafik

(x0,y0) y = f(x)

y = g(x)

Y

X

(x1,y1)

Gambar V.2 Bidang diantara dua grafik

178

Contoh 28

Hitunglah luas bidang yang dibatasi oleh grafik fungsi y = x5 – x3 + x – 3, sumbu-X, garis

X = −3 dengan X = 5 !

Jawab :

Grafik fungsi jika digambarkan dengan

Mathcad adalah seperti di samping kiri ini.

Karena bidang terbagi oleh sumbu-X, maka

luas bidang harus dihitung berdasarkan

bidang yang ada di atas sumbu-X dengan di

bawah sumbu-X.

Jika dihitung dengan menggunakan Mathcad,

absis titik potong grafik dengan sumbu-X

yang merupakan bilangan real, adalah

x = 1,317

Luas bidang di bawah sumbu-X,

L1 = ( )�−

−+−317,1

3

35 dx3xxx = (61

x6−41

x4+21

x2−3x)3

317,1−

= {61

(1,317)6−41

(1,317)4+21

(1,317)2−3(1,317)} − {61

(-3)6−41

(-3)4+21

(-3)2−3(-3)}

= −2,966 − (114,75) = −117,716

Karena luas bidang harus merupakan bilangan posistif, jadi yang digunakan : L1 = 117,716

Luas bidang di atas sumbu-X

L2 = ( )� −+−5

317,1

35 dx3xxx = (61

x6−41

x4+21

x2−3x)317,15

= {61

(5)6−41

(5)4+21

(5)2−3(5)} – {61

(1,317)6−41

(1,317)4+21

(1,317)2−3(1,317)

= 2445,417 – (-2,966) = 2448,383

Sehingga luas bidang yang dicari,

L = L1 + L2 = 117,716 + 2448,383 = 2566,099 (satuan luas)

10 5 0 5 10

14.5

9.66

4.83

4.83

f x( )

179

Contoh 29

Hitung luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = 2x2 – 3x + 1, dengan y = ex !

Jawab :

Jika digambarkan dengan mengunakan program

Mathcad, maka sajian grafik kedua fungsi adalah

seperti di samping kanan.

Absis titik potong kedua grafik, dihitung

berdasarkan persamaan

2x2 – 3x + 1 = ex

2x2 – 3x + 1 – ex = 0

Jika dihtung dengan Mathcad, diperoleh nilai

x = 43 −

41 ee81+ dan x =

43

+41 ee81+

Dari gambar, seluruh bidang berada di atas sumbu-X, sehingga luas bidang yang dicari,

L = ( )( )�++

+−

+−−

e

e

e8141

43

e8141

43

2x dx1x3x2e

= (ee − 32

x3 + 23

x2 − x)e

e

e8141

43

e8141

43

+−

++

= �

��

��

��

��

� ++−��

��

� +++��

��

� ++−++ e

2e

3ee81

41

43

e8141

43

e8141

43

23

e8141

43

32

ee

− �

��

��

��

��

� +−−��

��

� +−+��

��

� +−−+− e

2e

3ee81

41

43

e8141

43

e8141

43

23

e8141

43

32

ee

= 256,232 (satuan luas)

10 5 0 5 10

8.05

4.03

4.03

8.05

gx( )

h x( )

x

180

2. Persamaan gerak benda

Dalam ilmu fisika, jika a(t) percepatan benda pada saat t, maka persamaan kecepatan

pada saat t, v(t) = � dt)t(a , dan persamaan lintasan gerak benda, s(t) = � dt)t(v .

Contoh 30.

Sebuah benda bergerak dengan percepatan awal konstan 20 m/detik2. Hitunglah jarak

tempuh setelah 0,5 jam dari titik awal, jika pada saat akan bergerak berjarak 1 km dari titik

awal, dan kecepatan setelah 0,5 jam tersebut sama dengan 120 m/detik ?

Jawab :

Persamaan gerak benda, v(t) = � dt20 = 20t + K,

t = 0,5(jam) = 30(menit) = 1800(detik) v(t) :

v(1800) = 120(m/detik) = 20(1800) + K (m/detik) K=300

1 v(t) = 20t +

3001

Persamaan gerak lintasan, s(t) = � dt)t(v = � ��

��

� + dt300

1t20 = 10t2 +

3001

t + k,

t = 0 (detik) s(t) : s(0) = 1(km) = 1000(m) = 10(0)2 + 300

1(0) + k (m) k = 1000

t = 0,5(jam) = 1800(detik) s(t) :

s(1800) = 10(1800)2 + 300

1(1800) + 1000 (m) = 32.401.006 (m) = 32.401 (km)

Jarak tempuh setelah bergerak 0,5 jam, adalah 32.401 km.

181

3. Benda putar

Perhatikan Gambar V.3. Bangun-1 adalah benda putar yang diperoleh, jika bidang yang

dibatasi oleh grafik y = f(x), garis x = a, x = b, dan sumbu-X, diputar, dengan sumbu putar

sumbu-X. Sedangkan bangun-2, adalah benda putar yang diperoleh, jika bidang yang

dibatasi oleh grafik y = f(x), garis x = a, dan y = d, diputar, dengan sumbu putar sumbu-Y.

Pada benda putar ini ada dua hal yang dapat dipelajari, yaitu luas selimut (L) dan volume

benda (V). Yang dimaksud dengan selimut benda putar, adalah bidang putar yang diperoleh

sebagai hasil pemutaran bagian grafik PQ. Tidak termasuk bidang-bidang lingkaran

penutupnya.

Jika LX dan VX, masing-masing luas selimut dan volume benda putar bangun-1 (benda

putar dengan sumbu putar sumbu-X), maka

LX = ( )� ′+πb

a

2 dx)x(f1)x(f2

dan

VX = �πb

a

dx)x(xf2

Q

P

Gambar V.3 Benda putar y = f(x)

(1) sumbu putar, X; (2) sumbu putar, Y

Y

X

y = f(x)

x = a x = b

2

y = d

1 y = c

182

Untuk menghitung luas selimut dan volume benda putar bangun-2 (benda putar dengan

sumbu putar sumbu-Y), dapat digunakan analoginya, dengan proses sebagai berikut

1. Ubah bentuk fungsi y = f(x) menjadi x = g(y).

2. Jika LY dan VY, masing-masing luas selimut dan volume benda putar bangun-2, maka

LY = ( )� ′+πd

c

2 dy)y(g1)y(g2

dan

VY = �πd

c

dy)y(yg2

Contoh 31

Hitung luas selimut dan volume benda putar, yang dibangun dengan memutar bagian grafik

fungsi y = x3, antara titik (0,0) dengan (2,4) !

Jawab :

Jika diputar dengan sumbu putar sumbu-X.

f(x) = x3 f′(x) = 3.x2

LX = ( )� +π2

0

223 dxx31x2 = � +π2

0

43 dxx91x2

Jika disubtitusikan u = 1 + 9x4 du = 36x3dx

x = 0 u = 1

x = 2 u = 145

sehingga luasnya :

LX = � +π2

0

43 dxx91x2 = �π145

1

duu361

2 =

145

1

121

u1

21

118

��

�

�

��

�

�

+

π + = 2

11

145272π

= 27

145290π (satuan luas)

10 6 2 2 6 10

6.44

3.22

3.22

6.44

9.66

f x( )

x

183

dan volumenya :

VX = �π2

0

3 dx)x(x2 = �π2

0

4dxx2 = 2

0

14x14

12 �

�

��

�

+π + =

52π

25 = 5

64π (satuan volume)

Jika diputar dengan sumbu putar sumbu-Y.

y = x3 x = 31

y = g(y) g′(y) = 32

y31 −

sehingga luas dan volumenya :

LY = � ��

��

�+π

−4

0

2

32

31

dyy31

1y2 = �−

+π4

0

34

31

dyy91

1y2 = �+π

4

0 34

34

31

dy

y9

1y9y2

= � +π4

0

34

31 dy 1y9

y3

12

Jika disubtitusikan u = 32

y du = 31

y32 −

= 31

y3

2dy

y = 0 u = 0

y = 4 u = ��

��

�

32

4 = 3 16

LY = � +π4

0

34

31 dy 1y9

y3

12 = � +π

3 16

0

2 du 1u9

Jika disubtitusikan u = 31

tg(w) du = 31

sec2(w)dw , w = arctg(3u)

u = 0 w = arcTg(0) = 0 (radial)

u = 3 16 w = arcTg(3 3 16 ) = 1,439 (radial)

Sehingga

184

LY = � +π3 16

0

2 du 1u9 = � +π439,1

0

22 dw)w(sec31

1)w(tg = �π 439,1

0

4 dw)w(sec3

= �+π 439,1

04

22

dw)w(cos

)w(cos)w(sin3

= �π 439,1

0

22 dw)w(sec)w(tg3

+ �π 439,1

0

2 dw)w(sec3

= �π 439,1

0

2 )}w(tg{d)w(tg3

+ �π 439,1

0

)}w(tg{d3

= 439,1

0

3 )w(tg31

3 ��

��π

+ { } 439,1

0)w(tg

3π

= { }3 16

0

3u39π

+ { }3 16

0u3

3π

= π48 + 3 16π = 2π(48 + 3 2 ) (satuan luas)

VY = �π4

0

31

dy)y(y2 = �π4

0

34

dyy2 =

4

0

134

y1

34

12

�

�

�

�

�

+π

+ = 3 74

76π

= 3 47

96π (satuan volume)

V.5. Menggunakan Mathcad untuk menghitung integral

Pada umumnya perhitungan integral tidak “lebih mudah” dari perhitungan diferensial.

Dalam perhitungan diferensial, bagaimanapun kompleksnya persamaan fungsi yang akan

didiferensialkan, masih dapat dilakukan secara “manual”. Hanya mungkin, memerlukan

waktu yang cukup lama. Biasanya makin kompleks bentuk fungsi yang akan

didiferensialkan, makin kompleks pula persamaan fungsi turunannya. Perhatikan saja

contoh pada IV.9.

Dalam perhitungan integral, jika semua metode integrasi seperti yang telah dipaparkan,

tidak dapat digunakan, maka cara yang “mudah” adalah dengan menggunakan paket

program Mathcad. Misalnya, menghitung dx)1x3log(

)2x3x2(3

2

� −+−

, yang proses perhitungan jika

menggunakan Mathcad, adalah

185

1. Jalankan program Mathcad

dan tutup RESOURCE CENTRE

186

2. Tulis persamaan fungsi integradnya.

3. Klik “pointer” integral tak tentu.

187

4. Pada “kotak hitam kecil” di depan huruf “d”, tulis “f(x)”, dan di belakangnya huruf “x”

5. Klik “pointer” → pada kotak Evaluate . . .

188

6. Klik di luar “kotak formulasi integrasi”

7. Hasil yang diperoleh

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )1x3ln

10ln21

x1x3ln

10ln1849

1x3ln

10ln31

x1x3ln

10ln23

dx)1x3log(

)2x3x2( 32

3

2

3

2

3

3

2

−+

−−

−+

−−=

−+−

�

( )( )

( )( )

( )( )

( )( ) ( ) ( )( )1x3ln,1Ei10ln

5411

1x3ln10ln

21

x1x3ln

10ln1849

1x3ln

10ln31

x1x3ln

10ln23 3

32

3

2

3

2

3

−−−−

+−

−−

+−

−

( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )3

33

2

332

32

2

3

x1x3ln

10ln3x

1x3ln

10ln1x3ln2,1Ei10ln

2710

x1x3ln

10ln3

14x

1x3ln

10ln6

11−

−−

−−−+−

+−

+

( ) ( )( ) K1x3ln3,1Ei10ln31 3 +−−−

Catatan : ibae)b,a(Ei += , 1i −=

189

V.6. Integral tak wajar

Yang dimaksud dengan integral tak wajar, adalah integral tentu dengan salah satu atau

kedua batas integralnya adalah bilangan tak hingga, ∞. Sehingga bentuk-bentuk integral tak

wajar adalah �∞−

b

dx)x(f , �∞

adx)x(f , �

∞

∞−dx)x(f . Deskripsinya sama dengan nilai limit, jika

salah satu atau kedua batas integral limitnya ∞.

�∞−

b

dx)x(f = �−∞→

b

aadx)x(fLim , �

∞

adx)x(f = �

∞→

b

abdx)x(fLim , �

∞

∞−dx)x(f = �

∞→−∞→

b

abadx)x(fLimLim

Contoh 32

Hitunglah ��

�

�

��

�

�

−π

∞−

21

dxx

x1

Cos

x1

Sin

Jawab :

��

�

�

��

�

�

−π

∞−

21

dxx

x1

Cos

x1

Sin = ��

�

�

��

�

�

−π

−∞→

21

aadx

xx1

Cos

x1

SinLim = �

π

−∞→

21

aadx

x1

SinLim − �

π

−∞→

21

aadx

xx1

CosLim

= ��

�

�

��

�

�

� −−ππ

∞→

21

a

21

aa

dxx

x1

Cos

x1

xSinLim − �

π

−∞→

21

aadx

xx1

CosLim

= ��

�

�

��

�

�

−π

π−∞→ a

1aSin

211

Sin21

Lima

+ �

π

−∞→

21

aadx

xx1

CosLim − �

π

−∞→

21

aadx

xx1

CosLim

= π

π 2Sin

21

− a1

aSinLima −∞→

= π

π 2Sin

21

−

a1

a1

SinLima −∞→

= π

π 2Sin

21

−

a1

a1

SinLim

0a1→

= π

π 2Sin

21

− 1

190

Integral tak wajar sering digunakan dalam teori Statistika, misalnya pada deskripsi

fungsi distribusi peluang.

Definisi

Fungsi y = f(x) disebut fungsi distribusi peluang, jika

1. 0 ≤ f(x) ≤ 1, untuk setiap nilai x, −∞ < x < ∞

2. �∞

∞−dx)x(f = 1

Contoh 32

Telaah apakah fungsi f(x) = ( )

2

2

a2bx

e

2a1 −−

π , dengan a , b konstanta, dan a > 1; merupakan

fungsi distribusi peluang ?

Jawab :

1. ( )

2

2

a2

bx

e2a

1 −−

π =

( )2

2

a2

bx

e

2a1

−

π

Karena π2a

1 < 1 , dan

( )2

2

a2bx

e−

> 1, maka ( )

2

2

a2

bx

e

2a1

−

π < 1.

( )

2

2

a2

bx

xe

2a1

Lim−−

−∞→ π =

( )2

2

a2

bx

xe

2a1

Lim−−

∞→ π =

( )2

2

a2

b

e2a

1 −∞−

π = ∞−

πe

2a1

= 0

Sehingga 0 < ( )

2

2

a2bx

e

2a1 −−

π< 1 , untuk setiap nilai x

2. ( )

�π

∞

∞−

−−dxe

2a1 2

2

a2

bx

= π2a

1 ( )

�∞

∞−

−−dxe 2

2

a2

bx

= π2a

1�∞

∞−

��

��

� −−dxe

2

2a

bx

Jika disubtitusikan, y = 2abx −

dy = 2a

1dx dx = 2a dy.

Sehingga ( )

�π

∞

∞−

−−dxe

2a1 2

2

a2

bx

= π2a

1�∞

∞−

− dy2ae2y =

π1

�∞

∞−

− dye2y

191

Jika dimisalkan, �∞

∞−

− dye2y = c, maka c2 =

2y dye

2

��

��

��∞

∞−

− = � �∞

∞−

∞

∞−

+− dydze )zy( 22

. Sehingga jika

dihitung dalam koordinat polar, dengan mensubtitusikan y = r Cos θ dan z = r Sin θ,

maka

c2 = � �∞

∞−

∞

∞−

+− dydze )zy( 22

= � � θπ ∞

−2

0 0

r rdrde2

= � θ��

��

��

π ∞−

2

0 0

r drdre2

= � θ��

�

�

��

�

�−

π ∞−

2

0 0

r de21 2

= ( )� θ��

�� −−

π−∞−

2

0

0 dee21 22

= � θπ2

0d

21

= ( )πθ 2

021

= π c = �∞

∞−

− dye2y = π

Sehingga, ( )

�π

∞

∞−

−−dxe

2a1 2

2

a2

bx

= π

1�∞

∞−

− dye2y =

π1 π = 1

Jadi f(x) = ( )

2

2

a2bx

e2a1 −−

π merupakan fungsi distribusi peluang.

Contoh 33

Perhatikan fungsi yang didefinisikan seperti di bawah ini

f(x) =

��

<<∞∞<<

−

0 x - jika , 0konstanta : c ; x 0 jika , cxe

x21

Tentukan c agar f(x) merupakan fungsi distribusi peluang !

Jawab

1. 0 ≤ f(x) ≤ 1

karena 0 < xx

21

e−

< 1, maka 0 ≤ c ≤ x

21

xe

1−

2. �∞

∞−dx)x(f = �

∞−

0

dx0 + �∞ −

0

x21

dxcxe = �∞ −

0

x21

dxcxe = 1

�−a

0

x21

dxcxe = �−a

0

x21

dxxec = ��

�

�

��

�

�� −−−

−− a

0

x21a

0

x21

dxe2)e2(xc

192

= ��

��

��+−−

−−− a

0

x21

021

a21

dxe2)e0ae(2c =��

�

�

��

�

�−+−

−−a

0

x21

a21

e2(2ae2c

= ��

��

�−−−

−−−)ee(4ae2c

021

a21

a21

= ��

��

�+−−

−−4e4ae2c

a21

a21

�∞ −

0

x21

dxcxe = ��

��

�+−−

−−

∞→)4e4ae2cLim

a21

a21

a= 4LimceLimc4aeLimc2

a

a21

a

a21

a ∞→

−

∞→

−

∞→+−−

= −2c(0) − 4c(0) + c(4) = 1 c = 41


1. Hitunglah � dx)x(f , jika f(x) =

a. 5x6x2

3x22 +−

− b. ( )

( )1x32 e

1x2x3ln1x3 −

+−−

c. (2x3 − 3x2)Sin(x4)

d. ( )3x2Cos5xxx

1x2x323

2

−−+−

+− e.

25x3

3x22 −−

f. x2xx65x2x3

23

2

−++−

g. 2x

x2x3x 34

−+−

h. (3x2 − 4x +1)Tg(x3 − 2x2 + x − 5) i. 22 ax

ax

−−

j. Cos x Cos3 (x − 3) k. (2x3 − 3x2 − x +5) Cos2 (2x + 3) l. e2xlog3x

2. Hitunglah nilai integral tentu di bawah ini

a. � +−−π

π−

41

21

22 dx)1x3x(Sin)3x2( b. � +−π

π−

61

31

2 dx)1x2x(Cos

c. � +−+−

−

7

52

4

dx1x3x21x3x2

d. �−+−π

π−

21

21

2

dx1x21xx

e. � −−9

2

2 dx)2x3x2log(

193

f. � −π

π−

−61

31

)3x2(Sin dx)3x2(Cose g. � −−−

−

61

2

2

dx1x3

)1x2x3ln( h. � +−

−−

6

32 dx

3x5x23x2

i. �π−

−π−π

π−

61

31

dx)

31

x2(Sin

)x265

(Cos1 j. �

+−−

π

π−

61

31 2

3

dx1x4x3

1x3 k. � +

π

π−

−61

31

)1x2( dx)1xln(e

3. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi y = f(x) dengan y = g(x), jika

a. 1x3x2)x(g

31

1x21

)x(f

2 +−=

+= b.

x926

x31

)x(g

)1xlog()x(f

2 −=

+= c.

1x3x2)x(g

1x2x)x(f2

2

+−=

−+−=

d. 2

3

x2)x(g

2x)x(f

=

+= e.

2xln()x(ge)x(f )1x2(

+== −

f. 1x2)x(gx4)x(f 2

−=−=

4. Kecepatan aliran darah sepanjang pembuluhnya, memiliki persamaan

v = K(R2 − r2)

dengan

K : konstanta, yang menyatakan kecepatan maksimum aliran darah

R : konstanta, yang menyatakan jari-jari pembuluh darah

r, konstanta, yang menyatakan jarak sel darah khusus ke pusat pembuluh darah.

Laju kecepatan (rate) aliran darah, dapat dihitung dengan mengukur volume darah yang

melewati titik ukur, dalam periode waktu tertentu. Volume tersebut dapat

diformulasikan dalam persamaan

� π=R

0dr vr2V

π : bilangan irasional

a. Hitunglah V, jika R = 0,30 cm dan v = (0,30 − 3,33r2) cm/detik !

b. Tentukan formulasi umum dari V !

194

5. Laju produksi dari sebuah produk baru, mengikuti model ��

��

�

++= 2)401(

4001200

dtdx

x : banyak item produk, dalam 100 unit

t : waktu produksi, dalam satuan minggu

a. Hitunglah total produk dalam lima minggu pertama ! Berapakah totalnya dalam

selang waktu 10 minggu ?

b. Jika laju penurunan produksi, diformulasikan oleh persamaan

D’(t) = 3000(20 − t)

0 ≤ t ≤ 20, selang waktu produkasi, dalam satuan tahun

Maka hitunglah total penurunan produksi untuk 10 tahun pertama ! Berapakah

totalnya untuk 10 tahun berikutnya ?

c. Jika laju penjualan produk tersebut, memiliki model dengan persamaan

S’(t) = −3t2 + 300t

0 ≤ t ≤ 30 : selang waktu penjualan setelah promosi selesai dilakukan, dalam satuan

hari

Maka hitunglah total penjualan untuk satu minggu pertama, setelah selesai promosi,

dan satu minggu berikutnya. Jika total penjualan pada saat promosi selesai, adalah

500 unit.

6. Total penjualan harian sebuah produk, memiliki model 100xe100S2x += − , x : hari-hari

penjualan, setelah promosi produk dimulai. Hitunglah rata-rata penjualan harian,

selama 20 hari pertama promosi ! Jika tidak ada promosi baru, maka hitunglah rata-rata

penjualan harian untuk 10 hari berikutnya !

7. Hitunglah integral tak wajar di bawah ini

a. ( )�+

∞

∞−dx

1x

x22

b. �∞

∞−dx

e

x4x

3

c. �−

−

∞−

2

2dx

1x

x

195

d. ( )�+

∞

∞−dx

3x

x24

3

e. �∞−

0

x

2

dxe

x3 f. �

∞

∞−

− dxex5x4

8. Hitunglah c agar

a. � =∞

0t5,0 1dt

ec

b. ( ) 2dx1x

cx10

22

3

=�+

∞ c. 5dx

xx1

1=�

∞

9. Hitunglah luas daerah di bawah lengkungan y = f(x), dan di sebelah kanan sumbu x = 1,

jika

a. 3xe

x)x(f = b. f(x) = log x c. f(x) = ex d.

1x1x

)x(f−+=

10. Misalkan laju kemampuan reaktor nuklir untuk membuat produk beradioaktif,

proporsional dengan lama beroperasinya reaktor tersebut. Jika laju tersebut memiliki

model f(t) = 500 t, t : waktu dalam satuan tahun. Dan laju penurunan kemampuan,

membangun model eksponensial dengan rata-rata 3% pertahun, maka perkiraan

akumulasi produk selama b tahun, akan memiliki model dtte500b

0

)tb(03,0�

−− .

a. Hitunglah formulasi untuk perkiraan akumulasi tersebut !

b. Berapakah akumulasi produk selama reaktor berfungsi ?

11. Untuk fungsi-fungsi di bawah ini, manakah yang merupakan distribusi peluang ?

a. 1x

x)x(f

+= , x ≥ 0 b.

x21

e21

)x(f−

= , −∞ < x < ∞

c.

�

�<<=

lainnya yanguntuk , 0

3 x 3- , 18x

)x(f

2

d.

�� <<+

=lainnya yanguntuk , 0

4 x 2- , 18

2x)x(f

196

12. Hitunglah luas selimut dan volume benda putar, yang diperoleh dari hasil memutar

bidang yang dibatasi oleh

a. X = 2 , Y = X3 , X = 5 , jika diputar dengan sumbu putar, sumbu-X

b. Y = 2X2 − 3X + 1 , Y = −3X2 + 2X + 1 , jika diputar dengan sumbu putar, sumbu-Y

13. Selesaikan formulasi integrasi di bawah ini

a. � dx x2Sec x 2 b. �

π43

0

3 dx x Cosx Sin c. �

π

π

43

31

32 dx xTg x

d. � +dx

xTg3xSec3

e. � dx2x Cotg2x Cosec f. �

π31

0dx x Tg x Sec x

g. �ππ1

0dx x

4 Tg x

4 Sec h. ( )�

π21

0dx 2x)Sin -2x Cos i. � dx (Sin x)ln x Cos

14. Hasil penjualan produk AC secara obralan, dari sebuah toko elektronik, memiliki model

100 t6

Cos 200)t(P +π=

t : bilangan bulan

a. Bangun tabel hasil penjualan untuk 0 ≤ t ≤ 12 !

b. Berdasarkan nilai-nilai dari tabel tersebut, gambarkan grafik hasil penjualan !

c. Tentukan periode waktu yang menyebabkan toko akan kehilangan hasil penjualan !

15. Laju produksi sebuah komoditi menurut waktu produksi, memiliki model

( ) ��

��

�

++= 240t

4001200

dtdx

x : banyak item barang, t : waktu produksi (dalam mingguan)

a. Jika pda saat t = 0 , x = 0, maka sajikan persamaan yang menyatakan total produksi

sepanjang wktu t !

b. Hitunglah total produksi selama lima minggu !

197

16. Bumi hanya memiliki sekitar 10 juta are, lahan yang baik untuk dijadikan daerah

pertanian. Dan populasi penduduk bumi terbatas. Jika populasi penduduk terbatas pada

40 juta jiwa, dan laju pertumbuhannya proporsional dengan “kapan dunia berakhir”,

yang merupakan batas atas waktu kehidupan dan penghidupan. Sehingga laju

pertumbuhan penduduk dapat diformulasikan dengan persamaan

)P40(KdtdP −=

K : konstanta positif.

Formulasi tersebut identik dengan � −= dP

P401

K1

t

a. Sajikan formulasi persamaan t atas P !

b. Gunakan sifat hubungan fungsi logaritma dengan eksponensial, untuk membangun

persamaan P atas t !

17. Sebuah partikel bergerak lurus dengan persamaan percepatannya, 2tte)t(a =

t : waktu, dalam detik

Hitunglah kecepatan dan jarak tempuh, setelah partikel bergerak

a. 0,5 menit b. 50 detik c. 0,5 jam d. 1 menit 25 detik

18. Dalam ilmu statistika, salah satu konsepsi yang sering digunakan adalah ekspektasi

matematis, E[f(x)]. Jika x variabel acak yang memiliki fungsi distribusi peluang p(x),

dan f(x) fungsi atas x. Maka �=∞

∞−dx )x(p )x(f)]x(f[E , jika nilainya ada dan berhingga.

Jika x memiliki fungsi distribusi peluang

�� <<+

=lainnya yanguntuk , 0

4 x 2- , 18

2x)x(p , maka

hitungalah E[f(x)], jika f(x) =

a. x b. (x + 2)3 c. 6x − 2(x + 2)2 d. x − E[x]

BAB VI

DERET

Deret (series) dengan barisan (sequence) merupakan dua kata yang saling berkaitan.

Barisan adalah fungsi dengan domain himpunan bilangan bulat positif (bilangan cacah). Nilai-

nilai a1, a2, . . . , an, . . . , disebut barisan, jika merupakan sebuah urutan. Artinya, a1 nilai

kesatu, a2 nilai kedua, dan seterusnya. Barisan a1, a2, . . an, . . . dengan b1, b2, . . . , bn, . . . ,

disebut sama jika ai = bi untuk setiap i. Dalam hal lain tidak sama. Misal barisan 2, −1, 3, 6, −8,

dengan 2, 3, −1, 6, −8 , tidak sama. Untuk menyatakan sebuah barisan a1, a2, . . . , an, . . . ,

digunakan notasi { }1i

a i =∞

. Dalam hal ini, ai dinamakan suku barisan, sedangkan jumlah suku

barisant, a1 + a2 + . . . + an + . . . = �∞

=1iia , dinamakan deret.

Barisan { }1i

a i =∞

disebut konvergen ke L < ∞ (berhingga), jika L a Lim ii=

∞→. Dalam hal lain

disebut divergen. Misal barisan 1i1i7

i32

2

=∞

��

��

+. Untuk menelaah apakah merupakan barisan

konvergen atau divergen ? Maka hitunglah 1i7

i3Lim 2

2

i +∞→ !

1i7i3

Lim 2

2

i +∞→ =

2

i

i1

7

3Lim

+∞→

=

2

17

3

∞+

= 07

3+

= 73

(berhingga)

Jadi barisan 1i1i7

i32

2

=∞

��

��

+, konvergen.

Contoh lain.

Telaah apakah barisan 0, 23

, 32

, 45

, 54

, 67

, 76

, . . . , konvergen atau divergen ?

Jika suku barisan tersebut disajikan dengan formulasi eksplisit, maka formulasinya

i1

)1(1a ii −+= .

Sehingga iiaLim

∞→ = �

��

−+∞→ i

1)1(1Lim i

i =

i1

)1(Lim1 i

i−+

∞→ = 1. Jadi barisan konvergen.

VI.1. Deret Konvergen

Perhatikan deret �∞

=1iia . Formulasi �=

=

n

1iin as , dinamakan deret parsial. Sebuah deret

disebut konvergen ke L, jika barisan deret parsialnya, konvergen ke L, L s Lim ii=

∞→. Dalam hal

lain disebut divergen.

kalkulus untuk statistika fak mipa

Documents