kalkulus tugas
TRANSCRIPT
BAB I
9. ∫x+1
x2−4 x+8=
12 ∫
2(x+1)x2−4 x+8
dx=12∫ 2 x+2x2−4 x+8
dx = 12∫ (2x−4 )+6x2−4 x+8
dx
= 12∫ 2 X−4x2−4 X+8
dx + 12 ∫
6x2−4 x+8
dx
= 12 ln (x
2−4 x+8¿+12.6 ∫ dx
x2−4 x+8
= 12ln (x2−4 x+8¿+¿3∫dx
¿¿
= 12 ln (x2−4 x+8¿+3. 1
2arc tan x−2
2+c
13. ∫(5−4 x )dx
√12 x−4 x2−8=
12∫
2 (5−4 x )dx
√12 x−4 x2−8dx =
12∫
10−8x√12 x−4 x2−8
dx
= 12∫
−2x+(12−8 x)
√12x−4 x2−8dx
= 12∫
−2√12 x−4 x2−8
dx+ 12∫
12−8x√12 x−4 x2−8
dx
= 12∫
−2dx
√(1 )2−(2 x−3 )2+√12x−4 x2−8+c
= 12.−1∫ 2dx
√(1 )2−(2 x−3 )2+√12x−4 x2−8+c
= −12arc sin 2x−3
1+√12x−4 x2−8+c
15. ∫ ( x−1 )dx3 x2−4 x+3
=
16∫
6 ( x−1 )dx3 x2−4 x+3
=16∫
6 x−63 x2−4 x+3
dx=16∫
(6 x−4 )−23x2−4 x+3
dx
= 16∫
6 x−43 x2−4 x+3
dx+ 16∫
−23 x2−4 x+3
dx =
16
ln (3 x2−4 x+3 )+ 16.−2∫ dx
3 x2−4 x+3
= 16
ln (3 x2−4 x+3 )−13∫
dx¿¿¿ ¿¿
= 16
ln (3 x2−4 x+3 )−13. 1√5arc tan 3 x−2
√5+c
BAB II
7. ∫ arc tan x dx=xarc tan x−ln √1+x2+c
∫ arc tan x dx = uv−∫ vdu
U= arc tan x dv = dx du = 1
1+ x2 dx v = x
∫ arc tan x dx = arc tan x . x−¿∫ x . 11+x2 dx ¿
= x arc tan x−12∫
2x1+x2 dx
= x arc tan x−12
ln|1+x2|+c
= x arc tan x−ln√1+x2+c
9.∫cosmudu= cosm−1usinum
+m−1m ∫cosm−2udu
∫cosmudu=∫cosm−1+1udu=∫cosm−1u cosudu
y=cosm−1u
dy=m−1cosm−2u−sin u=−(m−1 ) .cosm−2 sin udu
dx= cos u du
x= sin u
→∫ cosmudu=cosm−1u sinu−∫sin u .−m−1.cosm−1
¿cosm−1sinu+m−1∫sin2u .cosm−2du
¿cosm−1sin u+m−1∫(1−cos¿¿2u) . cosm−2udu¿
¿cosm−1sinu+m−1∫cosm−2−cosmudu
¿cosm−1sin u+m−1∫cosm−2−(m−1)∫cosmu du
¿cosm−1sin u+m−1∫cosm−2−m∫ cosmudu+∫cosmudu
∫cosmudu+m∫ cosmudu−∫ cosmudu=cosm−1 sin u+m−1∫ cosm−2du
m∫cosmudu=cosm−1 sinu+m−1∫ cosm−2du
∫cosmudu= cosm−1 sinu
m+m−1m ∫ cosm−2udu
REDUKSI
1. ∫ dx(1−x2)3 =
112{
x(2.3−2)(12−x2)3−1 +
2.3−32.3−2∫
dx(1−x2)3−2
¿ x4 (12−x2 )2
+ 34∫
dx(1−x2 )2
¿ x4 (12−x2 )2
+ 34
{ x(2.2−2 ) (1−x2 )
+ 2.2−32.2−2∫
dx(1−x2)
∫ ydx= yx−∫ xdy
¿ x4 (12−x2 )2
+ 34
{ x2 (1−x2 )
+ 12. 12
ln|1+x1−x|+c
¿ x4 (12−x2 )2
+ 3 x8(1−x2)
+ 316
ln|1+x1−x|+c
¿ 2x8(1−x2)2 +
3 x (1−x2)8 (1−x2)2 + 3
16ln|1+x
1−x|=c¿ 5 x−3 x3
8(1−x2)2 +3
16ln|1+x
1−x|+c¿ x(5−3 x2)
8(1−x2)2 + 316
ln|1+x1−x|+c
3. ∫cos5 x dx = 15
(3cos4 x+4cos2 x+8 ) sinx+c
Rumus reduksi 7 →
cosmx dx= cosm−1xsinxm
+m−1m ∫cosm−2x dx
∫cos5 x dx = cos5−1 xsinx5
+ 5−15 ∫cos5−2x dx
¿ cos5−1 xsinx5
+ 45∫ cos3 xdx
¿ cos4 sinx5
+ 45 {cos2 xsinx
3+ 2
3∫cosx dx}
¿ cos4 xsinx5
+ 4 cos2 xsinx15
815sinx
¿ 115
{3 cos4 xsinx+4 cos2 xsinx+8 sinx }+c
¿ 115
{3 cos4 x+4cos2 x+8 } sinx+c
5. ∫ e2 x(2 sin 4 x−5cos¿4 x)dx= 125e2x ¿¿
e2x ¿
e3x ¿
Maka:
3A+4B=-5 x3 9A+12B=-15-4A+3B=2 x4 -16A=12B=8 _
25A= -23A= -23/25
3B=2+4 A=2−9225
=−4225
↔B=−1425
↔E2X ¿
¿e2x ¿
¿− 125e2x¿
¿ 125e2x ¿
BAB III
10. ∫( sec xtan x )4
dx= 13 tan3 x
− 1tan x
+c
¿∫(1cosxsinxcosx
)4
dx=∫( 1cosx
. cos xsinx )
4
dx=∫( 1sinx )
4
dx
¿∫cosec 4 xdx=∫ cosec2 (1+cot2 x )dx
¿∫cosec2dx+∫ cosec2 xcot2 xdx
¿−cotx+∫cot2 x cosec2 x dx
¿−cotx+∫cot 2 x d (−cotx )
¿−cotx±13
cot3 x+c
¿− 13 tan3 x
− 1tanx
+c
13.
15. ∫ cot3 xdxcosec x
= ∫ cot2 x . cotx dxcosec x
= ∫ (cosec¿¿2x−1) .cot xdxcosec x
¿
= ∫ cosec2 x .cot x
cosec xdx−∫ cot x
cosec xdx
= ∫ cosec x .cot x dx−∫cos dx
= -cosec x – sin x+c = -sin x- cosec x +c
BAB IV
9. ∫ √25−x2
X=5 ln|5−√25−x2
x |+√25−x2+c
a=5 b=1 u= x u= ab
sin z x=5 sinz
dx= 5 cos z
sin z=¿ x5
¿
√25−x2=acos z=5 cos z
∫ √25−x2
Xdx = ∫¿¿¿ = ∫ 25 cos2 z
5sin zdz
= 5∫ cos2 zsin z
dz = 5∫ (1−sin¿¿2 z )sin z
dz ¿
= 5¿
= 5∫ cosec zdz−5∫ sin z dz
= 5|cosec z−cot z|+5cos z+c
= 5|5x−√25−x2
x |+5. √25−x2
x+c
= 5|5−√25−x2
x |+√25−x2+c
13.
BAB V
12. ∫ x2+3 x−4x2−2 x−8
dx=x+ ln|(x+2)(x−4 )4|+c
→ x2−2x−8 1√x2+3 x−4x2−2x−8
5 x+4−¿
¿
→∫1+ 5 x+4x2−2 x−8
dx
→x2−2 x−8=(x+2)( x−4)
5 x+4x2−2x−8
= Ax+2
+ Bx−4 dikali (x+2)(x-4)
5x+4 = A(x-4)+B(x+2) = (A+B)x-4A+2B
A=1,B=4
→∫1+ 5 x+4x2−2x−8
dx ¿∫1dx+∫ A dx( x+2)
+∫ B dx(x−4)
¿ x+∫ dx(x+2)
+4∫ dxx−4
¿ x+ln ( x+2 )+4 ln ( x−4 )+c
¿ x+ln|( x+2)(x−4)4|+c