Kalkulus I

Lukmanulhakim Almamalik VI- 1

 

6 KONTINUITAS FUNGSI

6.1 KONTINUITAS FUNGSI

• Kadang-kadang nilai )(lim xfcx→

sama dengan )(cf , kadang pula tidak sama.

• Pada kenyataannya, meskipun )c(f tidak terdefinisikan, akan tetapi )(lim xfcx→

mungkin

ada. • Apabila )(lim xf

cx→= )(cf maka dikatakan fungsi f kontinu di c.

• Ada tiga syarat agar fungsi f(x) kontinu di c, yaitu:

1. f(c) ada atau terdefinisikan 2. ( )xf

cx→lim ada

3. ( ) ( )cfxfcx

=→

lim

( )xfy=

Gambar 6.1 Grafik untuk menjelaskan kontinuitas fungsi f(x)

• Pada gambar di atas, f kontinu di x1 dan di setiap titik di dalam ),( ba kecuali di titik-titik x2, x3, dan x4. Fungsi f diskontinu di x2 karena )x(flim

2xx→ tidak ada, diskontinu di x3 karena

nilai )x(flim3xx→

tidak sama dengan nilai fungsi di x3 (meskipun keduanya ada), dan

diskontinu di x4 karena nilai fungsi di titik ini tidak ada.

Contoh 6.1 Fungsi Heavyside H yang didefinisikan sebagai berikut.

( )⎩⎨⎧

≥<

=0xjika10xjika0

xH

Apakah fungsi ini kontinyu di x = 0? Penyelesaian: Syarat agar fungsi H(x) kontinu di x = 0, yaitu:

   a         x1      x2               x3           x4                           b 

°  °  ° 

• •  • 

Kalkulus I

Lukmanulhakim Almamalik VI- 2

 

1. Jika x=0 maka H(0) = 1, nilai fungsi ada atau terdefinisikan 2. ( )xH

x −→0lim = 0, dan ( )xH

x +→0lim = 1,

limit fungsi H(x) tidak ada karena limit kiri ≠ limit kanan.

Ketiga syarat tidak terpenuhi, maka fungsi H(x) diskontinu di x = 0.

Contoh 6.2 Fungsi g didefinisikan dengan

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

≠−−

=

2jika1

2jika242

x

xxx

xg

Apakah fungsi tersebut kontinyu di x = 2?

Penyelesaian: Fungsi kontinyu jika memenuhi 3 syarat berikut. 1. Jika x=2 , maka g (2) = 1 nilai fungsi ada

2. ( ) ( ) 42xlim2x4xlimxglim

2x

2

2x2x=+=

−−

=→→→

nilai limitnya ada yaitu 4

3. Nilai ( )xglim2x→

≠ g(2)

Karena ketiga syarat tidak terpenuhi maka fungsi g(x) tidak kontinyu di x = 2 Contoh 6.3

Selidiki kontinuitas fungsi f (x) = 242

−−

xx

di x = 2

Penyelesaian:

Diselidiki apakah tiga syarat fungsi kontinu dipenuhi f (x) = 242

−−

xx

1. f(2) = 00

suatu harga tak tentu. Jadi f(2) tidak ada

Karena syarat 1 tidak dipenuhi maka f(x) diskontinu di x = 2 Contoh 6.4

Selidiki kontinuitas fungsi f (x) = 11

2

2

+−

xx

di x = 1

Penyelesaian:

1. f (1) = 1 11-1

2

2

+=

111 -1

+ =

20

= 0 , ada

2.1→x

lim f(x) = 1→x

lim 11-

2

2

+xx

= 111 - 1+

= 20

= 0 , ada

Kalkulus I

Lukmanulhakim Almamalik VI- 3

 

3.1→x

lim f(x) = f ( 1 ) = 0

Jadi f(x) kontinu di x = 1 Contoh 6.5

Diberikan ( ) .xxf 21−= Selidikilah kekontinuan fungsi f. Penyelesaian: Jelas f tidak kontinu pada ( )1−∞− , dan pada ( )∞,1 sebab f tidak terdefinisi pada interval tersebut. Untuk nilai-nilai a dengan –1 < a <1 diperoleh:

( ) ( ) ( )afaxxxfaxaxax

=−=−=−=→→→

222 11lim1limlim

Jadi, f kontinu pada (−1, 1). Dengan perhitungan serupa didapatkan: ( ) ( )10lim

1−==

+−→fxf

x dan ( ) ( )10lim

1fxf

x==

−→

sehingga f kontinu dari kanan di x = −1 dan kontinu dari kiri di x = 1. Jadi, f kontinu pada [ ]1,1− . Latihan 6.1 Untuk soal 1 – 8, tentukan titik-titik di mana fungsi berikut diskontinu.

1. x3xh(x) += 2. 3 2 1xf(x) −= 3.

1x2xf(x) 3 −

+=

4. 3s

2sf(s) 2 −= 5.

2t4th(t)

2

−−

=

6. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤+≤<

>−=

1x,23x3x1,5

3 x,13x g(x)

2

7. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>≤≤

<=

31x,3x31x02x,

0xx,f(x)

2

8. Selidiki kontinuitas x1

1f(x)−

= pada 5]1,[−

9.Jika ⎩⎨⎧

≤<−≤≤

=7x3,x153x0,2x

f(x) 2 maka tunjukkan bahwa f kontinu pada [0,7] .