1

SOAL-SOAL DAN PEMBAHASAN KONTINUITAS

A. KONTINUITAS

No. Soal Jawab

1. Tentukan apakah fungsi berikut kontinu pada x = 1

Jadi fungsi f(x) tidak kontinu (diskontinu) di x = 1

2

2. Tentukan apakah fungsi berikut

adalah kontinu pada x = -2

Jadi fungsi f(x) tidak kontinu (diskontinu) di x = -2

3. Tentukan apakah fungsi berikut adalah kontinu pada x = 0

Jadi fungsi f(x) kontinu pada x = 0

3

4. Apakah fungsi h(x)

kontinu di x = -1

Fungsi h tidak didefinisikan pada x = -1 karena menyebabkan pembagian sama dengan nol

.

Dengan demikian, h(-1) tidak ada.

Kondisi h(-1) dilanggar, dan fungsi h(x) diskontinu di x = -1.

5. Periksa apakah fungsi berikut kontinuitas pada x = 3 dan x = -3.

Pakai aturan :

4

Jadi fungsi f(x) kontinu di x = 3.

Bagaimana dengan f(x) di x = 3 ? Cari sendiri ya !

6. Untuk nilai x yang manakah

fungsi

kontinu.

akan kontinu untuk semua nilai x jika penyebut karena jika , maka

Jadi akan kontinu jika

No.

kesimpulan

1. 6

kontinu

2. 5

kontinu

5

3. 4

diskontinu

4. 3

kontinu

5. 2

kontinu

6. 1

kontinu

7. 0

kontinu

8. 1

diskontinu

9. 2

kontinu

10. 3

kontinu

11. 4

kontinu

7. Untuk nilai x yang mana, fungsi

kontinu.

8. Tentukan nilai x dari fungsi

kontinu.

Pertama, bayangkan g(x) sebagai fungsi dengan menggunakan komposisi fungsional

Misal f(x) = x1/3

,

6

dan k(x) = x20

+ 5.

Fungsi k(x) kontinu untuk setiap nilai x karena k polinomial, dan fungsi-fungsi f dan h juga kontinu untuk

setiap nilai x.

Sehingga komposisi fungsi

dan

kontinu untuk setiap nilai x.

Karena

Maka, fungsi g kontinu untuk setiap nilai x.

9. Untuk nilai x yang mana fungsi

kontinu.

Misal g(x) = x2 - 2x yang kontinu untuk setiap nilai x , karena polinomial, dan

yang kontinu untuk

7

Karena

g(x) = x2 - 2x = x(x-2) maka mudahlah bahwa

untuk

dan

Jadi,

kontinu untuk x 0 dan x 2. Sehingga, fungsi f

kontinu untuk x 0 dan x 2.

8

10. Untuk nilai x yang mana fungsi

kontinu.

Ambil,

dan

Karena g adalah hasil bagi dari polinomial y = x-1 dan y = x +2, maka fungsi g kontinu untuk semua nilai x KECUALI x +2 = 0, yaitu, KECUALI untuk x = -2.

Fungsi h disebut kontinu untuk x> 0. Karena

maka g(x) > 0 untuk x < -2 dan x > 1. Dengan demikian, komposisi fungsi

kontinu untuk x < -2 dan x > 1.

Sehingga fungsi f

9

kontinu untuk x < -2 dan x > 1.

11. Untuk nilai x yang mana fungsi

kontinu.

Pertama, nyatakan fungsi f dengan menggunakan komposisi fungsi. Misalkan dan

, yang keduanya dikenalkan untuk kontinu untuk semua nilai x. Dengan demikian, pembilang

kontinu (komposisi fungsional dari fungsi-fungsi yang kontinu) untuk semua nilai x.

Sekarang perhatikan penyebut . Ambil dan . Fungsi-

fungsi g dan h kontinu untuk semua nilai x karena keduanya adalah polinomial, dan itu baik-diketahui

bahwa fungsi k kontinu untuk . Karena untuk x = 3 atau x = -3,

maka mudah bahwa untuk dan , sehingga kontinu

(komposisi fungsional dari fungsi kontinyu) untuk dan . Dengan demikian, penyebut

kontinu (perbedaan dari fungsi kontinyu) untuk dan . Ada satu

pertimbangan penting lainnya. Kita harus memastikan bahwa PENYEBUT PERNAH NOL.

Jika

Maka

10

Kuadratkan kedua ruas, didapatkan

16 = x2 - 9

x2 = 25

dimana x = 5 atau x = -5 .

Dengan demikian, penyebutnya adalah nol jika x = 5 atau x = -5.

Kesimpulan, hasil bagi dari fungsi-fungsi kontinu,

,

adalah kontinu untuk dan , tapi TIDAK KONTINU untuk x = 5 dan x = -5.

12. Untuk nilai x yang mana fungsi

kontinu.

Perhatikan secara terpisah ketiga komponen fungsi-fungsi yang ditunjukkan f. Fungsi

kontinu untuk x > 1 karena merupakan hasil bagi dari fungsi-fungsi kontinu dan penyebut tidak pernah nol.

11

Fungsi y = 5 - 3x kontinu untuk karena polinomial. Fungsi

kontinu untuk x < -2 karena merupakan hasil bagi dari fungsi kontinu dan penyebut tidak pernah nol.

Sekarang periksa kontinuitas f dimana ketiga komponen digabungkan bersamaan, yaitu, dengan memeriksa

kontinuitas pada x = 1 dan x = - 2. Untuk x = 1 fungsi f didefinisikan ketika f(1) = 5 - 3(1) = 2.

Limit kanan

=

(Hindari bentuk tak tentu salah satu cara dari dua cara faktor pembilang diubah sebagai faktor kuadrat.,

Atau kalikan dengan konjugat dari penyebut terhadap dirinya sendiri.)

12

= 2 .

Limit kiri

=

= 5 - 3(1)

= 2 .

Sehingga,

.

Karena

13

ketiga kondisi terpenuhi, dan fungsi f kontinu pada x = 1. Sekarang memeriksa kontinuitas pada x = -2.

Fungsi f didefinisikan pada x = -2 ketika

f(-2) = 5 - 3(-2) = 11.

Limit kanan

=

= 5 - 3( -2)

= 11.

Limit kiri

=

= -1 .

Karena limit kiri Limit kanan, maka

14

TIDAK ada, kondisi tersebut menyebabkan fungsi f TIDAK kontinu pada x = - 2. Disimpulkan fungsi f

kontinu untuk setiap nilai x KECUALI x = -2.

13.