Lukmanulhakim Almamalik IV- 1

 

4 FUNGSI DAN GRAFIKNYA

4.1 FUNGSI

• Fungsi dari himpunan X ke himpunan Y adalah sebuah relasi (perkawanan) dengan cara setiap anggota himpunan X hanya dipasangkan dengan satu dan hanya satu kali dengan anggota himpunan Y.

X Y

Gambar 4.1 Fungsi

• Daerah asal (Domain): himpunan elemen-elemen tempat fungsi tersebut mendapat nilai.

• Daerah nilai: himpunan nilai-nilai yang diperoleh dari hasil operasi suatu fungsi. • Cara Menuliskan Fungsi

a. Untuk memberi nama fungsi digunakan huruf tunggal, seperti f, g, atau F. b. f(x) dibaca “f dari x” atau “f pada x” , menunjukkan nilai yang diberikan f

kepada x. c. f : x y ; y = f(x) ; atau f(x,y) = 0

Contoh 4.1 Untuk f(x) = x2 – 2x, carilah nilai dari : a. f(4), b. f(4+h), c. f(4+h)-f(4), dan c. [f(4+h)-f(4)]/h

Penyelesaian: a. f(4) = 42 – 2.4 = 8 b. f(4+h) = (4+h)2 - 2(4+h)= 16 + 8h + h2 - 8 - 2h = 8 + 6h + h2 c. f(4+h) - f(4) = 8 + 6h + h2 - 8 = 6h + h2 d. [f(4+h)-f(4)]/h = (6h + h2)/h = (h(6+h))/h = 6+h

   O       O       O   O 

    O 

    O 

    O  

Daerah asal Daerah nilai

f

f(x) x

Lukmanulhakim Almamalik IV- 2

 

• Daerah asal alamiah: bilamana untuk sebuah fungsi daerah asalnya adalah tidak dirinci, maka selalu dianggap bahwa daerah asalnya adalah himpunan bilangan real yang terbesar, sehingga aturan fungsi ada maknanya dan memberikan nilai bilangan real.

Contoh 4.2 Cari daerah asal alamiah untuk fungsi a. f(x) = 1/(x-3) dan b. g(t) = 2t9 −

Penyelesaian: a. Agar fungsi f mempunyai jawab Real, maka syaratnya adalah x ≠ 3. Dengan

demikian daerah asal alamiah untuk f adalah {x∈R : x ≠ 3 }

b. Agar fungsi g mempunyai jawab Real, maka syaratnya adalah 9 - t2 ≥ 0. Ini dicapai dengan mensyaratkan bahwa |t| ≤ 3. Daerah asal alamiah untuk g adalah {x∈R : |t| ≤ 3 } atau [-3,3]

• Untuk y = f(x), maka x seringkali disebut peubah bebas dan y adalah peubah tak bebas.

A. MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI

• Bila daerah asal dan daerah nilai sebuah fungsi merupakan bilangan real, kita dapat

membayangkan fungsi tersebut dengan menggambarkan grafiknya pada suatu bidang koordinat.

Contoh 4.3 Buatlah sketsa grafik fungsi f a. f(x) = x2 – 2 b. f(x) = x3 – 2x

Penyelesaian: Sketsa grafik fungsi f(x) = x2 – 2 dapat dilihat pada gambar 4.2 dan sketsa grafik fungsi f(x) = x3 – 2x dapat dilihat pada gambar 4.3.

Gambar 4.2 Sketsa grafik fungsi f(x) = x2 – 2

x f(x) -3 7 -2 2 -1 -1 0 -2 1 -1 2 2 3 7

Lukmanulhakim Almamalik IV- 3

 

Grafik fungsi f adalah grafik dari persamaan y= f(x) = x3 – 2x

Gambar 4.3 Sketsa grafik fungsi f(x) = x3 – 2x

• Bagaimana bentuk grafik dari fungsi-fungsi berikut:

a. y = x b. y = |x| c. y = |x| + 2 d. y = | x – 3 | + 2 e. y = x2 f. y = (x+3)2 g. y = x2 + 3

B. FUNGSI GENAP DAN FUNGSI GANJIL

• Suatu fungsi f(x) dikatakan sebagai Fungsi Genap jika f(-x) = f(x), grafik simetri

terhadap sumbu y. • Suatu fungsi f(x) dikatakan sebagai Fungsi Ganjil : jika f(-x) = -f(x), grafik simetri

terhadap titik asal.

Contoh 4.4 Apakah fungsi f(x) = 3x merupakan fungsi genap, ganjil atau bukan keduanya?

Penyelesaian: Karena f(-x) = 3(-x) = -3x = - f(x), maka fungsi tersebut merupakan fungsi ganjil. Atau kita uji dengan suatu bilangan, misalkan x = 1 dan x = -1. Jika x = 1 maka f(1) = 3.1 = 3 Jika x = -1 maka f(-1) = 3 (-1) = -3 Karena f(-1) = - f(1) makan fungsi f(x) = 3x merupakan fungsi ganjil.

x f(x) -3 -21 -2 -4 -1 1 0 0 1 -1 2 4 3 21

Lukmanulhakim Almamalik IV- 4

 

C. FUNGSI KHUSUS

• Fungsi Mutlak | |

Contoh 4.5 Nilai dari || -3, 2 || = || 3, 2 || = 3,2

• Fungsi bilangan bulat terbesar x

Contoh 4.6

a. 3,1 − = - 4 (bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari -3,1 adalah -4) b. 3,1 = 3 (bilangan bulat terbesar dari yang lebih kecil dari 3,1 adalah 3)

D. OPERASI PADA FUNGSI

• Jumlah, Selisih, Hasil kali, Hasil bagi, dan Pangkat Fungsi a. (f+g)(x) = f(x) + g(x) (jumlah fungsi) b. (f -g)(x) = f(x) - g(x) (selisih fungsi) c. (f.g)(x) = f(x) . g(x) (hasil kali fungsi)

d. (f/g)(x) = g(x)f(x) (hasil bagi fungsi)

• Komposisi Fungsi

(f o g)(x) = f(g(x)) (dibaca f “bundaran” g) (g o f)(x) = g(f(x)) (dibaca g “bundaran” f) Contoh 4.7

Jika diketahui f(x) = 2

3-x dan g(x) = x , maka

a. (f+g)(x) = f(x) + g(x) = 2

3-x + x dengan daerah asal [0, ∞)

b. (f -g)(x) = f(x) - g(x) =2

3-x - x dengan daerah asal [0, ∞)

c. (f.g)(x) = f(x) . g(x) =2

3-x . x dengan daerah asal [0, ∞)

d. (f/g)(x) = g(x)f(x) =

x23-x dengan daerah asal [0, ∞)

e. f2(x) = [f(x)]2 = 2

23-x⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ =

496x-x 2 + dengan daerah asal adalah R

f. g3(x) = [g(x)]3 = ( )3x = 23

x dengan daerah asal adalah R

Lukmanulhakim Almamalik IV- 5

 

Contoh 4.8

Jika diketahui f(x) = 2

3-x dan g(x) = x , maka

a. (f o g)(x) = f(g(x)) = f ( )x =2

3-x

b. (g o f)(x) = g(f(x)) = g2

3-x2

3-x=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Contoh 4.9

Jika diketahui f(x) = )9(x

6x2 −

dan g(x) = x3 , maka

a. (f o g)(12) = f(g(12))=f( 36 ) = f(6) = 34

2736

)9(66.62 ==−

b. (f o g)(x) = f ( )x3 =3x

3x293x

3x69-)3x(

3x62 −

=−

=

Latihan 4.1 1. Untuk f(x) = x2 – 1, hitunglah

a. f(1) b. f(1/x) c. f(0) d. f(3x) e. f(-6) f. f(1/2) g. f(2t) h. f(t2) i. f(k) j. f(k-1)

2. Mana dari fungsi-fungsi di bawah ini yang termasuk ke dalam fungsi genap, fungsi

ganjil, atau tak satupun. Kemudian sketsakan grafiknya! a. f(x) = -4 b. f(x) = 3x c. F(x) = 2x + 1 d. g(x) = 3x2 + 2x -1

e. g(x) = 8

u 3

3. Untuk f(x) = )1(x

x−

dan g(x) = x1+ carilah

a. (f+g)(2) b. (g/f) (3) c. (f o g)(x) d. (g o f)(x) e. (g o f)(0) f. (f . g)(x)