Kalkulus lanjut Semester : V lima

Materi UTSFungsi Vektor dan Fungsi Dua Peubah atau LebihA. Fungsi Vektor1. Definisi Fungsi VektorFungsi vektor adalah fungsi yang daerah asalnya berupa himpunan bilangan real dan daerah hasilnya berupa himpunan vektor.

Jika f(t), g(t), dan h(t) adalah komponen dari vektor r(t), maka f,g dan h adalah fungsi bernilai bernilai real yang disebut fungsi komponen dari r dan dapat ditulis

r (t) = (f(t), g(t), h(t)) = f(t)i, g(t)j, h(t)k Contoh :

Tentukan Df (daerah asal),

1. r (t) = + (t - 3 )-1jJawab :

Misalkan f1 (t) = dan f2 (t) = Diperoleh Df1 = [2, ) dan Df 2 = R -{ 3}

Sehingga

Df = { t R t Df2 Df 2 }

{t R t [2, ) R -{ 3}}

t [2,) -{ 3}} = [2, 3) U (3, ]2. Grafik Fungsi Bernilai VektorMisalkan

(t) = f1 (t)i + f2 (t)j

Df = [a,b]

Jika t berubah sepanjang [a,b] ujung-ujung f (t),menjelajah lengkungan (kurva) C dengan arah tertentu

f (a) disebut titik pangkal lengkungan C

f (b) disebut titik ujung lengkungan C

Jika f (a) = f (b)_ kurva C disebut kurva tertutup

Grafik fungsi bernilai vektor berupa lengkungan/kurva di R2(3) dengan arah tertentu

Cara menggambar grafik fungsi vektor

1) Tentukan persamaan parameter dari lengkungan C

2) Kemudian eliminasi parameter t dan gambarkan (Gambar kartesius kurva)

3) Tentukan arahnyaContoh :

Gambarkan grafik fungsi dibawah ini:

1. F(t) = (t - 4)i + j ; 0 t 4

Persamaan parameter :

x = t 4 t = x+4

y =

y = x = y2 4 (parabola)arahnya

f (0) = -4i = (-4, 0)

f (4) = 2j = (0, 2)3. Turunan dan Integral dari Fungsi Vektora. Turunan

Turunan r dari suatu fungsi vektor r didefinisikan dengan cara yang sama seperti untuk fungsi bernilai real:

= r(t) = Jika limit ini ada. Jika titik P dan Q mempunyai vektor posisi r(t) dan r(t + h), maka menyatakan vector r (t + h) r(t), yang dengan demikian dapat dipandang sebagai suatu vektor tali busur. Jika h > 0, kelipatan skalar (1/h) (r(t +h) r(t)) mempunyai arah sama seperti r (t + h) r(t). Pada saat h 0, tampak bahwa vektor ini mendekati suatu vektor yang terletak pada garis singgungnya. Oleh karena itu, vektor r(t) disebut vektor singgung terhadap kurva yang didefinisikan oleh r di titik P, asalkan r(t) ada dan r(t) 0. Garis singgung terhadap C di P didefinisikan sebagai garis melalui P yang sejajar terhadap vektor singgung r(t). Vektor singgung satuan adalah

T(t) = Teorema:

Jika r(t) = (f(t), g(t), h(t)) = f(t)i + g(t)j + h(t)k, dengan f, g, dan h adalah fungsi yang terdiferensiasi, maka r(t) = (f(t), g(t), h(t)) = f(t)i + g(t)j + h(t)k

Bukti:r(t) = [r(t + ) r(t)]

= [(f(t + ), g(t + ), h(t + )) (f(t), g(t), h(t))]

= , )

= (, )

= (f(t), g(t), h(t))

Contoh :

a. Carilah turunan dari r(t) = (1 + t3)i + te-tj + sin 2t k

b. Carilah vektor singgung satuan pada titik dimana t = 0Jawab:a. Menurut teorema 2, kita dapat mendiferensialkan masing-masing komponen dari r :

r(t) = 3t2i + (1 - t)e-tj + 2 cos 2t kb. Karena r(0) = i dan r(0) = j + 2k, vektor singgung satuan di titik (1, 0, 0) adalah

T(0) = = = j + kb. Aturan DiferensiasiTeorema:

Andaikan u dan v adalah fungsi vektor yang terdiferensialkan, c adalah suatu skalar, dan f adalah fungsi bernilai real. Maka:

1. [u(t) + v(t)] = u(t) + v(t)

2. [cu(t)] = cu(t)

3. [f(t)u(t)] = f(t)u(t) + f(t)u(t)

4. [u(t) . v(t)] = u(t) . v(t) + u(t) . v(t)

5. [u(t) v(t)] = u(t) v(t) + u(t) v(t)

6. [u(f(t))] = f(t)u(f(t))

Bukti:

u(t) = (f1(t), f2(t), f3(t))

v(t) = (g1(t), g2(t), g3(t))

maka

u(t) . v(t) = f1(t) g1(t) + f2(t) g2(t) + f3(t) g3(t) = (t)

sehingga dengan menggunakan aturan hasil kali yang biasa diperoleh

[u(t) . v(t)] = (t) = [fi(t) gi(t)]

= (t) gi(t) + fi(t) gi(t)]

= (t) gi(t) + (t) gi(t)

= u(t) . v(t) + u(t) . v(t)

c. Integral

Integral tentu dari suatu fungsi vektor kontinu r(t) dapat didefinisikan dengan cara yang sama seperti untuk fungsi bernilai real, kecuali bahwa integralnya berupa vektor. Tetapi kita dapat menyatakan integral dari r dalam bentuk integral fungsi-fungsi komponennya f, g dan h, sehingga:

= ( ) i +( ) j + ( ) kTeorema dasar kalkulus ke fungsi vektor kontinu:

dt = R(t) = R(b) R(a) Untuk R adalah anti turunan dari r, yakni R(t) = r(t)

Contoh

Jika r(t) = 2 cos t i + sin t j + 2t k, maka

( ) i + ( ) j + ( ) k

2 sin t i cos t j + t2k + C

Dengan C adalah konstanta pengintegralan vektor,

B. Fungsi Dua Peubah

Definisi: Fungsi dua peubah adalah aturan yang

mengaitkan setiap pasangan terurut (x,y) dengan tepat

satu z =f(x,y)

Notasi : f : A R ( A C R2)

(x,y) z = f (x,y)contoh

1 f(x,y) = x2 + 4 y22. f(x,y) = 3. f(x,y) = Daerah asal (Df) dan Daerah nilai (Rf)

Df = {(x, y) R2 | f (x, y) R}

Rf = {f (x, y) (x, y) Df}

Tentukan dan gambarkan Df dari :1. f(x,y) = x2 + 4 y22. f(x,y) = 3. f(x,y) = jawaban1. Df ={(x,y) R2 | x2 + 4 y2 R}

= {(x,y) R2}

2. Df = {(x,y) R2 | R}

= {(x,y) R2 | 0 }

= {(x,y) R2 | 36 }

= 3. Df = {(x,y) R2 | 0 }

= {(x,y) R2 | 0 }

= {(x,y) R2 | x 0 dan atau x 0 }Grafik Fungsi Dua Peubah

(Grafiknya berupa permukaan di ruang)

Karena setiap pasangan terurut (x,y) dipasangkan dengan tepat satu z = f (x,y), maka setiap garis yang sejajar sumbuh z akan memotong grafik tepat di satu titik.

Contoh:

Gambarkan grafik,

1. f (x,y) = 2x2 + 3y2z = 2x2 + 3y2z = 2. f (x,y) = 3 x2 y2z 3 = x2 y2

3. f (x,y) =

9z2 = 9x2 + 4y2 + 9z2 = 36

4. f (x,y) = z2 = 0

A. Limit dan Kontinuitas

1. Limit

Definisi

jika untuk setiap bilangan ( 0 terdapat bilangan yang berpadanan ( ( 0 sedemikian sehingga (f(x,y) ( L( ( bilamana (x,y) ( D dan

0 ( ( (

f(x,y) = L untuk menunjukkan bahwa nilai f(x,y) mendekati bilamgan L ketika titik (x,y) mendekati titik (a,b) sepanjang lintasan yang tetap berada di dalam daerah asal f. Dengan perkataan lain, kiya dapat membuat nilai f(x,y) sedekat mungkin ke L sesuka kita dengan mengambil titik (x,y) cukup dekat ke itik (a,b). teapi tidak sama dengan (a,b).

Ilustrasi lain dari Definisi 1 diberikan dengan permukaan S adalah grafik f. jika diberikan (0, kita dapat mencari ((0 sedemikian sehingga jika (x,y) diharuskan terletak didalam cakram D dan (x,y) ( (a,b), maka bagian S terkaitnya terletak di antara bidang-bidang horisontal z ( L dan z ( L (

Definisi 1 mengatakan bahwa jarak antara f(x,y) dan L dapat sengaja dibuat kecil dengan cara membuat jarak dari (x,y) ke (a,b) cukup kecil (tetapi tidak 0). Definisi ini hanya mengacu ke arah pendekatan. Karena itu, jika limit ada, maka f(x,y) haruslah mendekati limit yang sama tiidak peduli bagaimana (x,y)mendekati (a,b). jadi jika kita dapa menemukan dua lintasan pendekatan yang berlainan di mana di sepanjang lintasan-lintasan itu f(x,y) mempunyai limit berlainan, maka lim(x,y)(a,b) f(x,y) tidak ada.

CONTOH 1:

Perlihatikan bahwa tidak ada

PENYELESAIAN:

Misalkan .

Pertama, kita dekati (0,0) sepanjang sumbu-.

Maka memberikan untuk semua

Sehingga seraya sepanjang sumbu Selanjutnya kita mendekat di sepanjang sumbu- dengan meletakkan Maka untuk semua Sehingga seraya sepanjang sumbu Gambar:

Karena mempunyai dua limit yang berlainan sepanjang dua garis yang berlainan, maka limit yang diberikan tidak ada.

CONTOH 2:

Jika Apakah ada?

PENYELESAIAN:

Jika , maka Karena itu seraya sepanjang sumbu- Jika , maka Karena itu seraya sepanjang sumbu- Meski kita sudah mendapatkan limit-limit yang idenitik di sepanjang sumbu, tidak terlihat bahwa limit yang diberikan adalah 0.

Untuk itu kita mendekati (0,0) sepanjang garis lain, misalnya . Untuk semua

Karena itu

seraya sepanjang Gambar

Karena kita telah memperoleh limit yang berlainan sepanjang lintasan yang berlainan, maka limit yang diberikan tidak ada.

CONTOH 3:

Jika , apakah ada ?

PENYELESAIAN:

Bermodalkan contoh 2,kita menghemat waktu dengan memisalkan di sepanjang sebarang garis tak vertical yang melalui titik asal. Maka , dengan adalah kemiringan, dan

Sehingga seraya sepanjang Jadi, mempunyai nilai pembatas yang sama sepanjang setiap garis tak vertical yang melalui titik asal. Tetapi itu tidak memperlihatkan bahwa limit yang diberikan adalah 0, karena jika sekarang kita memisalkan sepanjang sumbu parabola , kita mempunyai

Sehingga seraya sepanjang Karena lintasan yang berlainan menuju ke nilai pembatas yang berlainan, mka limit yang diberikan tidak ada.2. Kontinuitas

Definisi :

Makna kontinuitas adalah jika titik (x,y) berubah sedikit maka nilai f (x,y) berubah sedikit pula, ini juga berarti bahwa permukaan dari grafik suatu fungsi kontinu tidak memilki lubang atau putus.

Dengan menggunakan sifat limit, dapat dilihat bahwa jumlah, selisih, hasilkali, dan hasilbagi fungsi kontinu adalah kontinu di daerah asalnya. Fungsi polinom dua variabel adalah jumlah suku-suku berbentuk , dengan c sebagai konstanta serta m dan n bilangan bulat taknegatif.

Fungsi rasioanal adalah rasio polinom, misalnya = , adalah sebuah polinom sedangkan g (x,y) = adalah fungsi rasional. Sebarang polinom dapat dibentuk dari fungsi sederhana f, g, dan h dengan cara perkalian dan penambahan, maka semua polinom adalah kontinu di R2. Dengan cara yang sama, dapat diketahui sebarang fungsi rasional adalah kontinu pada daerah asalnya karena fungsi ini merupakan hasil bagi fungsi kontinu.CONTOH 1:Hitung PENYELESAIAN:

Fungsi tersebut adalah polinom, maka fungsi ini kontinu di semua bagian, sehingga nilai limit dapat dicari melalui subtitusi langsung:

= 12. 23 13.22 + 3.1 +2.2 = 11

CONTOH 2:

Apakah fungsi f (x,y) = kontinu?

PENYELESAIAN:

Fungsi f takkontinu di (0,0) karena fungsi tidak terdefinisi disana. Karena f adalah fungsi rasional, fungsi f kontinu pada daerah asalnya yang berupa himpunan D={}

Fungsi Tiga Variabel atau Lebih

Notasi :

Artinya bahwa nilai f ( x,y,z ) mendekati bilangan L sedangkan titik (x,y,z) mendekati titik ( a,b,c ) di sepeanjang sebarang lintasan dalam daerah asal f

Karena jarak antara dua titik ( x,y,z ) dan ( a,b,c ) di R3 diberikan oleh , maka dapat ditulikan definisi sebagai berikut: Untuk setiap bilangan terdapat sebuah bilangan terkait sedemikian rupa sehingga bilamana dan berada dalam daerah asal .

Fungsi kontinyu di jika

Persamaan 5

Artinya: jika n=1 maka dan , dan persamaan 5 adalah definisi limit untuk fungsi variabel tunggal. Untuk kasus n=2 maka , , dan dan , sehingga persamaan 5 menjadi definisi 1. Jika , maka dan persamaan 5 menjadi definisi limit untuk fungsi tiga variabel. Kasus definisi kontinuitas dapat dituliskan sebagai:

B. Turunan ParsialUmumnya jika f adalah fungsi dua variabel x dan y, andaikan kita misalkan hanya x saja yang berubah-ubah sedangkan y dibuat tetap, katakan y = b, dengan b konstanta. Baru sesudah itulah kita sebenarnya meninjau fungsi variabel tunggal x, yaitu g (x) = f (x,b). jika g mempunyai turunan di a,maka kita menamakannya turunan parsial dari f terhadap x di (a,b) dan menyatakannya dengan fx (a,b). Jadi

Menurut definisi turunan, kita mempunyai

g (a) = sehingga persamaan 1 menjadi

Dengan cara serupa, turunan parsial dari f terhadap y di (a,b), dinyakan dengan fy (a,y), diperoleh dengan membuat x tetap (x=a) dan mencari turunan biasa di b dari fungsi G(y) = f (a,y) :1. Dengan notasi untuk turunan parsial ini, kita dapat menuliskan laju perubahan indeks panas I terhadap suhu sebenarnya T dan kelembapan relatif H ketika T = 96 dan H = 70% sebagai berikut :

fT ( 96,70 ) = 3,75

fH ( 96,70 ) = 0,9

Jika sekarang kita memisalkan titik berubah-ubah dalam Persamaan 2 dan 3, fx dan fy menjadi fungsi dua variabel.

2.

Untuk menghitung turunan parsial, yang harus kita lakukan adalah mengingat dari persamaan 1 bahwa turunan parsial terhadap x tidak lain adalah turunan biasa dari fungsi g dari variabel tunggal yang kita peroleh dengan membuat y tetap. Jadi kita mempunyai aturan berikut:

CONTOH :

Jika , carilah dan PENYELESAIAN:

Dengan membuat y konstan dan dengan mendiferensialakan terhadap x, kita perolah Sehingga Dengan membuat x konstan dan dengan mendiferensialkan terhadap y, kita peroleh

Fungsi Lebih dari Dua Variabel

Misalnya jika f adalah fungsi tiga variabel x,y, dan z makaturunan parsialnya terhadap x didefinisikan sebagai

Dan ditemukan dengan cara memandang y dan z sebagai konstanta serta dan mendiferensialkan terhadap x. Jika maka dapat ditafsiraka sebagai laju perubahan w terhadap x ketika x dan z dianggap tetap. Umumnya, jika u adalah fungsi n variabel, turunan parsialnya terhadap variabel ke-i adalah CONTOH :

Carilah fx,fy, dan fz jika f ( x,y,z ) = exy ln z

PENYELESAIAN:

Dengan menganggap y dan z konstan dan mendiferensialkn terhadap x, kita mempunyai

fx = yexy ln z

secara serupa

fy = xexy ln z dan fz = Turunan-turunan yang Lebih Tinggi

Jika f adalah fungsi dua variabel, maka turunan parsialnya fx dan fy juga fungsi dua variabel, sehingga kita dapat meninjau turunan parsial mereka ( fx )x, ( fx )y, ( fy )x, dan ( fy )y yang disebut turunan parsial kedua dari f. jika z = f (x,y), kita gunakan notasi berikut :

Teorema Clairaut

Andaikan f terdefinisi pada cakram D yang memuat titik ( a,b ).

Jika fungsi fxy dan fyx keduanya kontinu pada D, maka

fxy ( a,b ) = fyx ( a,b )

Turunan parsial orde 3 atau lebih tinggi dapat juga didefinisikan.

Misal :

CONTOH :

Hitung fxxyz jika f ( x,y,z ) = sin (3x+yz)

PENYELESAIAN:

fx = 3 cos (3x+yz)

fxx = -9 sin (3x+yz)

fxxy = -9z cos (3x+yz)

fxxyz =-9 cos (3x+yz) + 9yz sin (3x+yz)

Persamaan Diferensial Parsial

+ = 0

CONTOH :

Perlihatkan bahwa fungsi u(x,y) = ex dan sin y adalah penyelesaian persamaan Laplace.

PENYELESAIAN:

ux = ex sin y

uy = ey cos y

uxx = ex sin yuyy = -ex sin y

uxx + uyy = ex sin y - ex sin y

Karena itu u, memenuhi persamaan LaplaceC. KETERDIFERENSIALAN

Untuk sebuah fungsi satu peubah, keterdeferensialan (differentiability) dari f di x berarti adanya turunan f(x). pada gilirannya, keterdeferensialan ini akan ekuivalen dengan grafik dari f yang mempunyai garis singgung tak vertikal di x.

Untuk sebuah fungsi dua peubah. Keterdeferensialan dari f di x tidak cukup dengan menggunakan turunan parsial, karena terdapat dua peubah dalam fungsi tersebut. Untuk menyelesaikan keterdeferensialan kita mulai dengan menetralisasi perbedaan.

Antara titik (x,y) dan vektor {x,y}, Jadi kita dapat menuliskan dan . Ingat kembali bahwa

(1)

Analogi dari fungsi di atas akan terlihat seperti berikut

(2)

Tetapi sayangnya, pembagian dengan sebuah vektor tidak masuk akal.

Meskipun demikian, kita tidak boleh menyerah terlalu cepat. Cara lain untuk melihat keterdeferensialan sebuah fungsi dengan peubah tunggal adalah sebagai berikut. Jika f dapat dideferensialkan di a, maka terdapat sebuah garis singgung yang melalui (a,f(a) yang mendekati fungsi tersebut untuk nilai x dekat a. Dengan kata lain, f hampir mendekati linear dekat a. Gambar 2 mengilustrasikan hal ini untuk fungsi satu peubah; ketika kita memperbesar grafik y = f(x), kita dapat melihat bahwa garis singgung dan fungsi tersebut hampir tidak dapat dibedakan.

Untuk lebih tepatnya, kita dapat mengatakan bahwa sebuah fungsi f disebut linear setempat (locally linear) di a jika terdapat sebuah konstanta m sedemikian rupa sehingga

Di mana adalah sebuah fungsi yang memenuhi . Dengan menyelesaikan akan menghasilkan

Fungsi adalah perbedaan antara kemiringan garis potong (secant line) yang melalui titik (a, f(a)) dan titik dengan kemiringan garis singgung (tangent line) yang melalui (a, f(a)). Jika f bersifat linear setempat di a, maka

yang berarti bahwa

Kita dapat menyimpulkan bahwa f pasti dapat dideferensialkan di a dan bahwa m pasti sama dengan f(a). sebaliknya, jika f dapat dideferensialkan di a, maka ; sehingga f linear setempat. Dengan demikian, pada kasus satu peubah, f akan linear setempat di a jika dan hanya jika f dapat dideferensialkan di a.

DefinisiKita mengatakan bahwa f adalah linear setempat di (a,b) jika

Di mana ketika 0 dengan 0 ketika 0.

Sama seperti h adalah kenaikan kecil dalam x untuk kasus satu peubah, kita dapat memandang h1 sebagai kenaikan kecil dalam x dan h2 sebagai kenaikan kecil dalam y untuk kasus dua peubah.

Jika kita memperbesar grafik tersebut lebih jauh, maka permukaan berdimensi tiga akan menyerupai sebuah bidang, dan plot konturnya akan membentuk garis-garis sejajar. Kita dapat menyederhanakan definisi di atas dengan mendefinisikan , dan . (Fungsi adalah sebuah fungsi berenilai vektor dari sebuah peubah vektor) jadi,

peubah(atau lebih). Contoh

Tunjukkan bahwa f(x,y) = xey + x2y dapat didiferensialkan dimanapun dan hitung gradiennya. Kemudian tentukan persamaan z = T(x,y) pada bidang singgung (2,0).

Penyelesaian

Persamaan garis singgung

Z = T(x,y)

Z = f(2,0) + . (x-2, y-0)

Z = 2 + (1,6). (x 2, y 0)

Z = 2 + x-2 + 6y

Z = x + 6y

D. Fungsi Skalar RmFungsi skalar didefinisikan sebagai aturan pengkaitan unsur dari himpunan DRm ke R yang memenuhi syarat tertentu.

Definisi

Fungsi skalar adalah suatu aturan yang memasangkan setiap unsur x D Rm dengan tepat satu unsur u R.

Bila fungsi skalar ini disebut f, maka lambang untuk fungsi adalah

Atau dalam bentuk aturan

Pada kasus ini daerah definisi dan daerah nilai fungsinya adalah dan

Lambang u = f (x) menyatakan aturan fungsi, yang seringkali diberikan terlebih dahulu. Setelah daerah definisi fungsi skalar ditentukan, barulah pemetaan yang sesuai dengan definisi di atas dibentuk. Pada situasi ini daerah definisi fungsi f adalah

Dalam kasus m = 2 fungsi sekalar dikenal sebagai fungsi dua peubah, dan untuk kasus m = 3 fungsi tiga peubah dan seterusnya. Secara umum fungsi sekalar dikenal sebagai fungsi peubah banyak.

Contoh soal

1. Tentukan Daerah definisi fungsi skalar

Penyelesaian :

Agar syaratnya adalah besaran di bawah tanda akar pada pembilang harus tak negatif, besaran yang diambil logaritma naturalnya positif dan penyebutnya tidak nol, maka : 16 x2 y2 0, x + y > 0 dan x + y 1

Jadi daerah definisi fungsi f adalah

, dan y 1-x}C. Operasi pada Fungsi Skalar

Jika diketahui dua fungsi sekalar, maka pada irisan kedua daerah definisi tersebut dapat dilakukan operasi aljabar terhadap kedua fungsi itu.

Definisi

Misalkan dan adalah fungsi sekalar, maka operasi aljabar dari f ke g pada himpunan D = D1 D2 di definisikan sebagai berikut,

1. Penjumlahan

2. Pengurangan

3. Perkalian

4. Perkalian dengan sekalar

5. Pembagian

.

C

F(a)

F(t)

F(b)

[ ]

a t b

C

2

4

y

x

x

y

3

2

Z=f(x,y)

Df

z

y

x

z

y

x

z

y

x

3

3

2

2

z

y

x

z

y

x

2

2

2

Misalkan f adalah fungsi dua variabel yang daerah asalnya D mencakup titik-tiik yang sengaja dipilih dekat dengan (a,b). maka kita katakan bahwa limit dari f (x,y) seraya (x,y) mendekati (a,b) adalah L dan kita tulis

EMBED Equation.3 f(x,y) = L

L

L + QUOTE

L - QUOTE

( a,b )

x

y

z

D(

Jika f(x,y) (L1seraya (x,y) ( (a,b) di sepanjang lintasan C1

dan f(x,y) (L2seraya (x,y) ( (a,b) di sepanjang lintasan C2

dengan L1(L2 maka lim(x,y)(a,b) f(x,y) tidak ada

Fungsi dua variabel f disebut kontinu di (a,b) jika :

Demikian pula f dikatakan kontinu pada D jika f kontinu di setiap titik (a,b) dalam D.

Jika f didefinisikan pada himpunan bagian D dari QUOTE maka QUOTE bermakna bahwa untuk setiap bilangan QUOTE terdapat sebuah bilangan terkait QUOTE sedemikian rua sehingga QUOTE bilamana QUOTE dan QUOTE

fx (a,b) = g (a) dengan g (x) = f (x,b)

fx (a,b) = QUOTE

Fy (a,b) = QUOTE

Jika f adalah fungsi dua variabel, turunan parsialnya adalah fungsi fx dan fy yang didefinisikan oleh fx (x,y) = QUOTE

fy (x,y) = QUOTE

Aturan untuk pencarian turunan Parsial dari z = f (x,y)Untuk mencari fx , pandang y sebagai konstanta dan deferensialkan f (x,y) terhadap x

Untuk mencari fy, pandang x sebagai konstanta dan deferensialkan f (x,y) terhadap y

( fx )x = fxx = f11 = QUOTE QUOTE = QUOTE = QUOTE

( fx )y = fxy = f12 = QUOTE QUOTE = QUOTE = QUOTE

( fy )x = fyx = f21 = QUOTE QUOTE = QUOTE = QUOTE

( fy )y = fyy = f22 = QUOTE QUOTE = QUOTE = QUOTE

fxyy = ( fxy )y = QUOTE QUOTE = QUOTE

2

2,8

2,2

2,6

3,2

2,6

2,4

3

3,4

y

x

2,24

2,98

2,26

2,96

3,02

2,3

2,28

3

3,04

2,2

y

x

-2

-2

2

2

4

6

5

y

x

_1348481576.unknown

_1348550823.unknown

_1348550827.unknown

_1348550831.unknown

_1350373267.unknown

_1350373268.unknown

_1349116957.unknown

_1350367871.unknown

_1350373230.unknown

_1349117569.unknown

_1349116747.unknown

_1348550829.unknown

_1348550830.unknown

_1348550828.unknown

_1348550825.unknown

_1348550826.unknown

_1348550824.unknown

_1348481594.unknown

_1348481600.unknown

_1348481605.unknown

_1348550821.unknown

_1348550822.unknown

_1348481607.unknown

_1348481609.unknown

_1348550820.unknown

_1348481608.unknown

_1348481606.unknown

_1348481603.unknown

_1348481604.unknown

_1348481602.unknown

_1348481596.unknown

_1348481597.unknown

_1348481595.unknown

_1348481590.unknown

_1348481592.unknown

_1348481593.unknown

_1348481591.unknown

_1348481588.unknown

_1348481589.unknown

_1348481586.unknown

_1348481587.unknown

_1348481577.unknown

_1348481555.unknown

_1348481560.unknown

_1348481562.unknown

_1348481575.unknown

_1348481561.unknown

_1348481557.unknown

_1348481559.unknown

_1348481556.unknown

_1348481546.unknown

_1348481553.unknown

_1348481554.unknown

_1348481550.unknown

_1348481552.unknown

_1348481551.unknown

_1348481549.unknown

_1348481544.unknown

_1348481545.unknown

_1348481543.unknown