KALKULUSDERET TAKTERHINGGA

Oleh:Kelompok 7

Dewi Astuti NIM.1113011040Gede Eka Yudialita NIM.1113011073Gusti Ngurah Ardi CahyanaNIM. 1313011018Ni Luh OkassandiariNIM. 1313011026

UNIVERSITAS PENDIDIKAN GANESHASINGARAJA2014

DERET TAKTERHINGGA

Pokok Bahasan: 10.1 Barisan Takterhingga10.2 Deret TakterhinggaMateri Prasyarat:limit; turunan; notasi sigmaKata Kunci: barisan, konvergen, divergen, monotonik, deret,

10.1 BARISAN TAKTERHINGGABahan Diskusi1. Kapan sebuah barisan takterhingga disebut konvergen atau divergen?2. Bagaimana langkah-langkah menentukan kekonvergenan suatu barisan dengan menggunakan teorema, definisi, dan sifat-sifat limit?

adalah susunan bilangan real yang teratur, satu untuk setiap bilangan bulat positif. Barisan tak terhingga (infinite sequence) adalah fungsi yang daerah asal (domain)-nya adalah himpunan bilangan bulat positif dan yang daerah hasil (range)-nya adalah himpunan bilangan real. Kita dapat menotasikan sebuah barisan dengan dengan atau secara sederhana dengan .Sebuah barisan dapat ditentukan dengan memberikan suku awal yang cukup untuk membentuk sebuah pola, seperti pada

dengan sebuah rumus eksplisit (explicit formula) untuk suku ke-n, seperti padaatau dengan sebuah rumus rekursi (recursion formula),,

KonvergensiPerhatikan ilustrasi berikut(1) ,:(2) ,:(3) ,:(4) :Masing-masing barisan mempunyai nilai yang berkumpul di dekat 1.

Tetapi, ternyata tidak semua barisan konvergen menuju 1. Yang konvergen menuju 1 adalah adalah barisan-barisan dan , sedangkan dan tidak.Barisan yang konvergen menuju 1, pertama-tama berarti bahwa nilai-nilai pada barisan tersebut harus mendekati 1. Bahkan lebih dari sekedar dekat, nilai-nilai tersebut harus tetap berdekatan untuk seluruh n di luar nilai tertentu. Aturan initidak dipenuhi oleh barisan . Dekat juga berarti dekat secara sebarang, yaitu berbeda di dalam jarak taknol tertentu, yang dalam hal ini tidak dipenuhi oleh . Meskipun barisan tidak konvergen menuju 1, namun adalah benar untuk mengatakan bahwa barisan ini konvergen menuju 0,999. Barisan tidak konvergen sama sekali, kita menyebutnya divergen. DefinisiBarisan dikatakan konvergen menuju L, dan ditulis sebagai

jika untuk tiap bilangan positif terdapat sebuah bilangan positif N yang bersesuaian sedemikian rupa sehingga

Barisan yang tidak konvergen menuju bilangan terhingga L sebarang dikatakan divergen atau menyebar.

Untuk melihat hubungannya dengan limit takhingga, perhatikan grafik dan . Satu-satunya perbedaan adalah bahwa pada kasus barisan, daerah asalnya dibatasi pada bilangan bulat positif. Pada kasus pertama kita menulis ; pada kasus kedua . Perhatikan interpretasi dari dan N pada diagram berikut.

Teorema ASifat-sifat Limit pada BarisanMisalkan dan adalah barisan-barisan konvergen dan k adalah konstanta maka:1. ;2. ;3. ;4. ;5. , asalkan

Contoh 1:Tentukan Solusi:

Kita juga bisa menggunakan program CAS untuk membantu perhitungan limitBerikut ini langkah-langkahnya:1. Buka lembar kerja baru, pada menu Math Operator pilih Calculus, kemudin pilih sub menu Limit

Untuk menggunakan simbol matematika, pilih menu Symbols, kemudian double click pada simbol yang akan digunakan.

Untuk menggunakan template matematika pilih menu Math Template, kemudian double click pada template yang akan digunakan.

2. Untuk menentukan nilai limit barisan di atas, ketikkan limit bentuk barisan pada lembar kerja, kemudian tekan enter

Jadi, dengan menggunakan CAS kita peroleh nilai .

Contoh 2:Tentukan apakah barisan pada contoh 1 konvergen atau divergen.Solusi :Suku-suku barisan : 2, 2, 2.23, 2.44...Tampak bahwa suku-suku ini berdekatan (ada dan terhingga), maka barisan konvergen menuju 4.

Teorema B. Teorema Apit (Squeeze Theorem)Andaikan dan keduanya konvergen menuju L dan untuk (K bilangan bulat tetap (fixed integer)). Maka juga konvergen menuju L.

Contoh 3:Tunjukkan bahwa Solusi:Untuk ,

Karena dan , maka sesuai teorema apit, .

Dengan CAS, kita memperoleh hasil yang sama:

Teorema C

Jika maka

Contoh 4:Tunjukkan bahwa jika -1< r 0. Berdasarkan Rumus Binomial,

Jadi,

Karena , maka sesuai dengan teorema apit diperoleh atau secara ekuivalen, .Berdasarkan Teorema C, . Jika n > 1 maka rn akan bergerak ke arah . Dalam kasus ini, kita menuliskan

Meskipun demikian, kita mengatakan bahwa barisan divergen. Agar menjadi Konvergen, sebuah barisan harus mendekati sebuah limit terhingga. Barisan Barisan juga divergen ketika .

Barisan MonotonikSuatu barisan tak menurun (non decreasing sequence) yaitu , misalnya memiliki dua kemungkinan. Pertama barisan ini menuju tak hingga dan kedua karena bagian atasnya dibatasi maka kemungkinan pertama tidak mungkin sehingga barisan ini pasti mendekati sebuah batas penutup.

Teorema D. Teorema Barisan MonotonikJika U adalah batas atas untuk barisan tak menurun , maka barisan tertentu tersebut akan konvergen menuju limit A yang kurang dari atau sama dengan U. Demikian pula, jika L adalah batas bawah untuk barisan tak meningkat , maka barisan tersebut akan konvergen menuju limit B yang lebih besar dari atau sama dengan L.

Teorema D menjelaskan sebuah sifat yang sangat mendasar tentang sistem bilangan real, di mana sifat ini ekuivalen dengan sifat kelengkapan (completeness property) bilangan real. Dengan kata lain sifat ini menyatakan bahwa garis bilangan real tidak berlubang, sehingga sifat ini membedakan garis bilangan real dengan garis bilangan rasional yang penuh lubang.Selain itu tidak selamanya bahwa baris dan monotonik dari awal, melainkan menjadi monotonik dari suatu titik tertentu yaitu untuk . Kenyataannya, konvergensi atau divergensi dari sebuah baris tidak bergantung pada ciri dari suku awalnya, melainkan apa yang berlaku untuk n yang besar.

Contoh 5:Tunjukkan bahwa barisan konvergen dengan menggunakan Teorema D.Solusi:Beberapa suku pertama dari barisan ini adalah

Untuk , barisan tersebut akan menurun (.Setiap ketidaksamaan berikut ini ekuivalen satu sama lain.

Ketidaksamaan yang terakhir sudah pasti benar untuk . Karena barisan tersebut menurun (sebuah kondisi yang lebih jelas dibandingkan dengan takmeningkat) dan memiliki batas bawah nol, maka menurut Teorema Barisan Monotonik barisan ini mempunyai limit. Dengan CAS kita peroleh 0 (limitnya ada). Maka barisan ini konvergen menuju 0.

TUGAS 1:1. Tentukan kekonvergenan dari barisan berikuta.

b.

2. Gunakan teorema D untuk menunjukkan bahwa konvergen.Solusi:1. a.Karena merupakan bentuk tak tentu, maka untuk menyelesaikannya digunakan teorema berikut : Misal , bila maka untuk .Jadi dan dengan menggunakan dalil Lhopital maka

Berdasarkan teorema maka . Karena nilai limitnya menuju 0, maka konvergen menuju 0.

b. Bentuk dari suku-suku barisannya merupakan bentuk ganti tanda akibat dari nilai cos , untuk n ganjil tandanya , untuk n genap tandanya +. Nilai tidak ada tetapi minimal bernilai 1 dan maksimal bernilai 1. Sedangkan akibatnya untuk nilai akan mendekati nol. Jadi deret konvergen menuju 0.

2.

an bernilai positif untuk semua n, and an+1 < an untuk semua n 2. Karena an+1 - an=, memiliki batas bawah 0, maka menurut teorema D barisan ini mempunyai limit, dan konvergen.

Kesimpulan materi Barisan Takterhingga:Kekonvergenan suatu barisan takterhingga dapat diperiksa dengan teorema, definisi, dan sifat-sifat limit.

10.2 DERET TAKTERHINGGABahan Diskusi:1. Kapan sebuah deret takterhingga disebut konvergen atau divergen?1. Bagaimana cara memeriksa kekonvergenan suatu deret dengan teorema dan definisi?1. Bagaimana sifat-sifat deret yang konvergen dan divergen?

Bayangkan sebuah lintasan pertandingan yang mempunyai jarak sepanjang 1 mil. Maka segmen-segmen dari paradoks Zeno mempunyai panjang mil , mil , mil, dan seterusnya. Dalam bahasa matematika, menyelesaiakan perbandingan tersebut akan merupakan jumlah dari perhitungan

yang mungkin terlihat mustahil. Tetapi, tunggu dulu. Hingga saat ini, istilah jumlah (sum) hanya didefinisikan sebagai penambahan suku-suku yang terhingga banyaknya. Istilah jumlah tak terhingga tak mempunyai makna bagi kita.Perhatikan jumlah jumlah parsial berikut ini

Tampak jelas, jumlah-jumlah parsial tersebut semakin mendekat menuju 1. Kenyataannya ,

Jumlah takterhingga kemudian didefinisika sebagai limit dari jumlah parsial . Lebih umum lagi, perhatikan deret takterhingga (infinite series)

Yang juga dilambangkan dengan atau . Maka jumlah parsial ke-n (n-th partial sum), dapat dinyatakan dengan

Kita beri definisi formal berikut ini.DefinisiDeret takterhingga konvergen dan mempunyai jumlah (sum) S jika barisan jumlah-jumlah konvergen menuju S. Jika divergen, maka deret tersebut divergen (diverges). Deret divergen tidak mempunyai jumlah.

Deret Geometrik Deret berebentuk

Dimana disebut deret geometrik (geometric series)Teorema ASebuah deret geometrik konvergen dengan jumlah jika , tetapi divergen jika |r|1.

Bukti:Misal . Jika r =1 , , akan bertambah tanpa batas, sehingga divergen. Jika , kita dapat menuliskan

Jika |r| < 1, maka , sehingga

Jika |r| > 1 , maka barisan divergen , demikian pula dengan

Contoh 1Gunakan Teorema A untuk menetukan kekonvergenan dan jumlah (jika ada) dari deret geometrik berikut.

Penyelesaian:Perhatikan deret geometrik tersebut memiliki rasio .

Sehingga menurut Teorema A, deret geometrik tersebut konvergen dengan jumlah

Perhatikan bentuk deret tersebut adalah , dengan CAS kita peroleh hasil yang sama untuk jumlah S

Uji Umum Untuk DivergensiPerhatikan deret geometrik sekali lagi . Suku ke-n dari dinyatakan dengan . Contoh 1 menunjukkan bahwa deret geometrik akan konvergen jika dan hanya jika Teorema B Uji Suku ke-n Untuk DivergensiJika deret konvergen, maka. Secara ekuivalen, jika atau jika tidak ada, maka deret tersebut divergen.

Bukti :Misalkan adalah jumlah parsial ke-n dan . Perhatikan bahwa . Karena maka

Contoh 2Tunjukkan bahwa divergen.Penyelesaian :

Jadi , dengan Uji Suku Ke-n , deret tersebut divergen.

Dengan CAS \diperoleh bahwa jumlah dari deret tersebut tidak mendekati nilai tertentu.

Contoh 3Tunjukkan bahwa deret geometrik pada Contoh 1 konvergen dengan menggunakan Teorema Uji Suku ke-n.

Solusi:Perhatikan deret geometrik pada Contoh 1

memiliki bentuk . Untuk menunjukkan deret geometrik tersebut konvergen, kita tunjukkan bahwa .

Jadi, deret geometrik tersebut konvergen.

Deret HarmonikBanyak yang ingin membalik Teorema A dan menyatakan mengakibatkan konvergen. Deret harmonik (harmonic series)

Menunjukkan bahwa hal ini tidak benar. Dapat dilihat dengan jelas bahwa Walaupun demikian , deret itu divergen, sebagaimana yang akan diperlihatkan berikut ini.

Contoh 4Tunjukan bahwa deret harmonik adalah divergen.PenyelesaianDapat kita tunjukkan bahwa meningkat tanpa batas. Bayangkan n mempunyai nilai yang besar dan tulislah

Jelaslah bahwa dengan membuat nilai n relatif besar, kita dapat memasukan bilangan sebanyak yang kita kehendaki ke dalam persamaan terakhir. Jadi Sn meningkat tanpa batas, sehingga {Sn} divergen. Dengan demikian, deret harmoni divergen.

Deret yang MengecilDeret geometri adalah salah satu dari sedikit deret dimana kita dapat menentukan rumus eksplisit untuk Sn. Deret yang mengecil (collapsing series) adalah salah satu contoh lainnya.Contoh 5Tunjukan bahwa deret berikut konvergen dan tentukan jumlahnya.

PenyelesaianGunakan penguraian (dekomposisi) pecahan parsial untuk menuliskan

Maka,

Dengan demikian, Deret tersebut konvergen dan jumlahnya 1/3.

Sifat-sifat Deret KonvergenDeret konvergen berprilaku menyerupai penjumlahan terhingga.Teorema BKelinearan Deret KonvergenJika keduanya konvergen dan c adalah konstanta, maka dan juga konvergen, dan 1. ;1. .

Bukti Berdasarkan hipotesis, dan keduanya ada. Jadi, gunakan sifat-sifat penjumlahan suku terhingga dan limit barisan.1.

1.

Contoh 6 Hitunglah PenyelesaianDengan menggunakan teorema B dan contoh 1,

Teorema C Jika divergen dan , maka divergen.

Teorema C mengimplikasikan, sebagai contoh, bahwa

divergen, karena kita mengetahui bahwa deret harmonik divergen. Hukum asosiatif pada penjumlahan memungkinkan kita untuk mengelompokan suku-suku dalam sebuah jumlah terhingga (finite sum) dengan cara yang kita kehendaki. Contohnya, Tetapi kadangkala kita kehilangan makna dari definisi deret takterhingga (infinite series) sebagai limit dari barisan jumlah-jumlah parsial, yang akhirnya mengarahkan intuisi perhitungan kita ke arah sebuah paradoks. Contohnya, deret

Mempunyai jumlah-jumlah parsial

Barisan jumlah-jumlah parsial, 1, 0 1, 0, 1, . . ., divergen; sehingga deret divergen. Meskipun demikian, kita dapat melihat deret tersebut sebagai

Dan menyatakan bahwa jumlahnya adalah 0. Alternatif lain, kita dapat melihat deret tersebut sebagai:

Dan mengatakan bahwa jumlahnya adalah 1. Jumlah deret tersebut tidak bisa sama dengan 0 dan 1 sekaligus. Ternyata pengelompokan suku-suku didalam sebuah deret dapat diterima asalkan deret tersebut konvergen; dalam kasus seperti ini, kita dapat mengelompokan suku-suku menurut cara yang kita kehendaki.

Teorema D Pengelompokan Suku-suku di dalam Deret TakterhinggaSuku-suku di dalam deret konvergen dapat dikelompokan dengan sembarang cara (asalkan urutan suku-suku dipertahankan), dan deret yang baru akan konvergen dan jumlahnya sama dengan jumlah deret semula.

BuktiMisalkan adalah deret konvegen awal dan misalkan adalah barisan jumlah-jumlah parsialnya. Jika adalah sebuah deret yang dibentuk denagan pengelompokan suku-suku dari dan jika adalah barisan dari jumlah-jumlah parsialnya, maka setiap adalah salah satu dari . Contohnya, bisa saja

Dalam kasus dimana . Jadi, adalah sebuah subbarisan dari . Dengan berpikir sejenak, akan yakin bahwa jika maka .

TUGAS 2:1. Tentukan apakah deret konvergen atau divergen, jika konvergen tentukan jumlahnya.2. Tunjukkan bahwa divergen.

Solusi:1. Sebuah deret geometri dengan

2.

Jadi, divergen.

Kesimpulan materi Deret Takterhingga:1. Deret takterhingga konvergen jika ada, dan mempunyai jumlah (sum) S jika barisan jumlah-jumlah konvergen menuju S.2. Sebuah deret geometrik konvergen dengan jumlah jika , tetapi divergen jika |r|1.3. Jika deret konvergen, maka.4. Deret harmonik adalah deret divergen.20