92

Pengertian fungsi:

Sebuah fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap obyek x

dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai unik f(x) dari himpunan

dari himpunan kedua. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah

nilai(jelajah) fungsi tersebut.

Persamaan fungsi

Umumnya fungsi dinyatakan dengan f(x),g(x),s(x),sehingga persamaan fungsi biasanya

dinyatakan sebagai berikut; Contoh , , dan

sebagainya, jadi disini harus diperhatikan bahwa fungsi itu terhadap apa?, misalya terhadap

jarak,waktu dan sebagainya.

Daerah Asal dan daerah hasil

Daerah asal adalah himpunan elemen-elemen dimana fungsi itu mendapat nilai. Daerah hasil

adalah himpunan nilai-nilai yang diperoleh secara demikian.

A

B

C

D

E

F

ff

Daerah asal Daerah hasil

f

Contoh fungsi

A

B

C

D

E

F

Contoh bukan fungsi

A

B

C

A

B

C

Contoh bukan fungsi

X Y X Y

Fungsi

92

Menentukan daerah asal

Contoh:a). f(x)=2x-3 b).f(x)=

Penyelesaian:

a). f(x)=2x-3

untuk x bilangan real sebarang, fungsi f(x), akan bernilai real atau terdefinisi. Jadi, daerah

asalnya adalah

b.

supaya terdefinisi, maka

Langkah – langkah menggambar grafik fungsi pada bidang koordinat

1. Kita tentukan daerah asal , yang kita gunakan dalam fungsi ini adalah semua bilangan

riiil R. Daerah asal merupakan nilai x.

2. Tentukan titik potong dengan sumbu koordinat.

3. Nilai daerah asal kita masukkan ke dalam fungsi maka akan didapat daerah hasil

dengan cara membuat tabel nilai.

4. Dalam diagram cartesian kita buat titik-titik yang berpadanan dan kemudiankan

hubungkan titik –titik ini dengan kurva mulus.

Misalnya jika f adalah fungsi dengan aturan dan misalkan kita mengambil

daerah asalnya {,-3-2,-1, 0, 1, 2, 3}.

Maka daerah hasilnya akan diperoleh {0,1; 0,2; 0,5;1;0,5;0,2;0,1}

x(daerah asal) -3 -2 -1 0 1 2 3

(daerah

hasil)0,1 0,2 0,5 1 0,5 0,2 0,1

92

Aplikasi fungsi pada fisika.

1. Posisi sebagai fungsi waktu

2. Posisi sudut sebagai fungsi waktu

3. Kecepatan sebagai fungsi waktu

4. Kecepatan sudut sebagai fungsi waktu

5. Gaya sebagai fungsi waktu

6. Momentum sebagai fungsi waktu

Posisi sebagai fungsi waktu

1. Sebuah benda bergerak dengan dengan posisi sebagai fungsi waktu, dinyatakan dalam

persamaan , dimana x dalam meter dan t dalam sekon. Tentukan:

a. Kedudukan awal benda

b. Kecepatan rata-rata dari t= 0 sampai t=2 sekon

Penyelesaian:

a. Persamaan posisi benda

Kedudukan awal adalah pada saat t=0 , maka

Jadi, posisi benda awal adalah 2 meter.

b. Persamaan posisi benda

Untuk mencari kecepatan rata-rata dari t=0 sampai t=2 kita harus menghitung posisi

benda.

Pada saat t=0 , maka

Kecepatan rata-rata,

-3 -2 -1 0 1 2 3

1

y

x1

1)(

2

xxF

Grafiknya adalah sebagai berikut:

92

Posisi sudut sebagai fungsi waktu

2. Posisi sebuah titik materi pada sebuah piringan dinyatakan dengan persamaan

, tentukan:

a. Posisi sudut saat t=0 dan t=2 sekon

b. Kcepatan sudut rata-rata dari t=0 sampai t=2 sekon

Penyelesaian:

a. Persamaan posisi sudut

Pada saat t=0 maka

Pada saat t=2 maka

b. Kecepatan sudut rata-rata dari t=0 s sampai t=2 s adalah

Jadi, kecepatan sudut rata-rata dari t=0 sampai t=2 sekon adalah 4rad/s

Keceptan sebagai fungsi waktu

3. Sebuah benda bergerak dengan persamaan kecepatan sebagai fungsi ,

tentukan :

a. Kecepatan awal benda

b. Percepatan rata-rata benda dari t=0 sampai t=5sekon

Penyelesaian:

a. Persamaan kecepatan ,

Kecepatan awal adalah saat t=0, maka

92

b. Persamaan kecepatan ,

Kecepatan awal adalah saat t=0, maka

Pada saat t=5 maka

Percepatan rata-rata dari t=0 sampai t=5 sekon adalah

Jadi, percepatan rata-rata dari t=0 sampai t=5 sekon adalah 5m/s2

Kecepatan sudut sebagai fungsi waktu

4. Posisi sebuah benda yang berputar melingkar memiliki persamaan

, tentukan percepatan sudut rata-rata dari t=10 s sampai t=15 s

Penyelesaian:

Persamaan kecepatan sudut

Pada saat t=10 maka

Perecepatan sudut rata-rata dari t=10 sampai t=15 adalah

92

Grafiknya adalah;

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5

15

F(N)

t(s)

Jadi, percepatan susut rata-rata adalah 98m/s2

Gaya sebagai fungsi waktu

5. Sebuah benda bergerak dengan gaya sebagai fungsi waktu, menurut persamaan

, tentukan :

a. Besar gaya yang dialami benda saat t=0s dan t=5s adalah

Pada saat t=0, maka

Pada saat t=5 maka

Momentum sebagai fungsi waktu

6. Sebuah bola bilyar bergerak menurut persamaan P(t)=10t+2, tentukan perubahan

momentum saat t=1s dengan saat t=2s.

Penyelesaian:

persamaan momentum P(t)=10t+2

pada saat t=0, maka

t=0s t=5s

92

pada saat t=2, maka

perubahan mo

Fungsi Elementer

92

6

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-3 -2 -1 0 1 2 3

y=-2x

1. Fungsi Linear adalah fungsi yang hanya memiliki satu variabel bebas dan berpangkat

satu pada variabel bebas tersebut, sehingga sering disebut fungsi berpangkat satu.

Bentuk umumnya adalah y= a+bx, dimana a adalah konstanta dan b adalah koefisien

Contoh: 2x+y=0 merupakan fungsi linear yang bisa kita ubah menjadi y=-2x.dimana

fangkat dari x adalah satu, sehingga disebut fungsi linier.

Grafik fungsi linear

X -3 -2 -1 0 1 2 3y=-2x 6 4 2 0 -2 -4 -6

92

2. Fungsi kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua. Bentuk umum dari

persamaan kuadrat adalah y= ax2 + bx + c

Dengan a≠0.Huruf-huruf a, b dan c disebut sebagai koefisien: koefisien kuadrat a

adalah koefisien dari x2, koefisien linier b adalah koefisien dari x, dan c adalah

koefisien konstan atau disebut juga suku bebas.Contoh:

Grafik persamaan dari

x -3 -2 -1 0 1 2 318 8 2 0 2 8 18

3. Fungsi Trigonometri adalah fungsi yang ber bentuk sinus dan cosinus (parameter

trigonometri). Contoh sederhana misalnya y = sin ax.,y=cosax,atau y=tanax.

Grafik dari fungsi sinus,kosinus,tan

8

7

6

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3 -2-1 0 1 2 3

y=2x2

92

4. Fungsi polinomial adalah merupakan fungsi yang mengandung banyak suku dalam

variabel bebasnya, memiliki bentuk

a. F(x) = aoxn + a1xn-1 + . . . + an-1x + an. Dimana n merupakan bilangan bulat positif

yang disebut dengan derajat dari polinomial. Contoh:

Grafik

5. Fungsi Rasional adalah fungsi rasional yaitu hasil bagi fungsi-fungsi polinom

- π 2π 5/2 π 4π

1

-1y=sint

y=cost

y

x

Grafik polinomial

1 2 3 4

4

3

2

1

2323

1 23 xxxy

92

Contoh:

x(daerah asal) -3 -2 -1 0 1 2 3

(daerah

hasil)0,1 0,2 0,5 1 0,5 0,2 0,1

6. Fungsi Implisit yaitu suatu fungsi yang variabel bebas serta variabel tak bebasnya

diletakkan pada ruas yang sama.

Contoh :

Grafik

7. Fungsi Explisit yaitu suatu fungsi dimana variabel bebas dan variabel tak bebasnya

berada pada ruas yang berbeda.

Grafiknya , y = 2x-5

-3 -2 -1 0 1 2 3

1

y

x1

1)(

2

xxF

Grafiknya adalah sebagai berikut:

-2 -1 -1 -

2

(2,11

)

33 7 xyy

x

y

92

X -3 -2 -1 0 1 2 3y=2x-5 -11 -9 -7 -5 -3 -1 1

8. Fungsi Parametrik yaitu y = f(x) atau F (x,y) = 0 dapat disajikan dalam benntuk

persamaan x= g (t) dan y= h (t), dimana t adalah parameter. Contoh, x= a sin t dan y=

a cos t, adalah x2+y2=a2 . Fungsi parametrik adalah fungsi yang variabel bebasnya

terikat terhadap variabel lain. Contoh: x=cosθ,y=sinθ, 0 ≤ t ≤ 2θ, sedangkan

Grafiknya:

Persamaan x=cosθ,dany=sinθ, tergambarkan pada gerak melingkar, dimana

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

1

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

- 8

-9

-10

-11

y = 2x-5

t=3/2π

P(cosθ,sinθ)

x

y

t=θt=0

t

0

π/2=2+tsin2

92

Aplikasi Fungsi Elementer

1. Aplikasi fungsi Linear

1. sebuah benda bergerak dengan persamaan vt=vo+atdengan a=2m/s2,vo=4m/s tentukan

kecepatan yang ditempuh selama 2 sekon.

Penyelesaian:

jadi, dalam waktu 2s beda memilki kecepatan 8m/s

2. Aplikasi fungsi Trigonometri

Gerak harmonik

1. Sebuah benda dengan masa m=0,2 kg digantungkan pada sebuah pegas dan bergerak

harmonik dengan frekuensi 10 Hz dan amplitudo 0,1 m.

a. Tuliskan persaman gerak benda apabila pada saat t=0 simpangannya nol.

Penyelesaian:

Bentuk umum persamaan gerak harmonik:

Pada saat t=0 maka

T

0 t/2 t 3/2t

2t

A

-A

y(m)

t(s)

Grafik hubungan antara

simpangan terhadap waktu

92

B

A

3.Aplikasi Fungsi Kuadrat

1. Sebuah benda 4kg. Balok B bermasa 2kg koefisien gesekan kinetik=0,2

,Balok B mula-mula diam dan bergerak sampai menyentuh

lantai sampai selang waktu....

Penyelesaian;

4. Aplikasi Fungsi Polinomial

1. Posisi sebuah partikel memenuhi persamaan , tentukanlah

kedudukan partikel pada saat t=1s.

Penyelesaian:

Pada t=1s

Jadi, posisi partikel pada t=1 s adalah 18m.

5. Aplikasi Fungsi Rasional

1. Sebuah benda bergerak dengan gaya sebagai fungsi waktu, memenui persamaan

Tentukan gaya yang dialami benda saat t=1s

Penyelesaian;

Pada saat t=1s

Jadis,pada saat t=1s gaya yang dialami benda adalah 4 Newton.

Benda B dengan percepatan ke bawah, a=-2m/s2 Mulai dari

keadaan diam(v=0), sampai menyentuh tanah s=36m.

92

6. Aplikasi Fungsi Implisit

1. Sebuah peluru meluncur memenuhi kecepatan dengan persamaan 2ty+y=3. Tentukan

kedudukan peluru saat t=1s

Penyelesaian:

Fungsi 2ty+y=3.adalah implisit

Pada t=1s,maka y(2t+1)=3

Jadi, kedudukan peluru saat t=1s adalah 1,5 m.

7. Aplikasi Fungsi Ekplisit.

1. Sebuah semut begerak dengan kecepatan awal=2m/s, dan dengan percepatan=3m/s2

Tentukan kecepatannya pada t=1s

Penyelesaian:

8. Aplikasi Fungsi Parametrik

1. Sebuah benda bergerakdenagn persamaan x=t dan y=t2 tentukan posisi P(x,y) benda

pada suatu waktu

Penyelesaian:

Permasaah di atas adalh fungsi parametrik, sehingga jika dsubstitusika persamaan di

atas menjadi persaaan gerak parabola yaitu , jadi kedudukan benda adalah

menurut persamaan .

92

A. Operasi aljabar

• Definisi: Misalkan fungsi f(x) dan g(x) mempunyai daerah asal Df dan Dg , maka

B. Fungsi Komposisi

Definisi: jika f dan g adalah fungsi sedemikian sehingga

Operasi

Fungsi

92

Syarat yang harus dipenuhi agar f o g ada (terdefinisi) adalah

Komposisi dua fungsi atau lebih

Jika, f,g dan h adalah fungsi , maka fungsi-fungsi ini dapat tersusun fungsi komposisi

1.

2.

Contoh

Menentukan nilai fungsi baru hasil operasi

Contoh;

fg

x

f g

g(f(x))f(x)

A B C

92

Aplikasai Fungsi Komposisi

1. Sebuah benda bergerak karena pengaruh gaya yang dinyatakan dalanm gaya sebagai

fungsi waktu, F(t)=2t+10. Sedangkan jarak yang ditempuhnya dinyatakan dalam

kedudukan sebagai fungsi waktu, s(t)=5t+5. Tentukan usaha yang dilakukan benda

saat t=2s?

Penyelesaia:

Pada saat t=2s, maka F(t)=2t+10

F92)=2.2+10=14Newton

Pada saat t=2 s, maka s(t)=5t+5

S(2)=5.2+5=15 meter

Usawa(W)=Gaya(F)xperpindahan(s)

=14Newton.15meter

=210 Joule.

2. Sebuah bola memiliki persamaan kecepatan v(t)=2t+2 dan dan memiki persamaan

waktu tempuh t(t)=5. . Tentukan ,kecepatan benda !

Penyelesaian:

Fungsi di atas adalah fungsi komposisi

92

v(t(x))=v(5)

=2.5+2

=10+2

=12 m/s

Syarat kesimetrian Grafik suatu persamaan adalah:

1. simetris terhadap sumbu-y jika penggantian x dengan -x memberikan persamaan yang

setara (sebagai contoh y = x2 +2);

2. simetris terhadap sumbu-;x: jika penggantian y dengan -y memberikan persamaan

yang setara (sebagai contoh x = y2 + 2);

3. simetris terhadap titik asal jika penggantian x dengan -x dan y dengan -y memberikan

persamaan yang setara (y = x3-3x) merupakan contoh karena -y = (-x)3-3(-x) setara

dengan y = x3-3x .

Grafik nya seperti di bawah ini

1. Simetri terhadap sumbu-y

Misal:

X -3 -2 -1 0 1 2 3

Kesimetrian

Grafik Fungsi

92

11 6 3 2 3 6 11

2. Simetri terhadap sumbu -x

Misal:

Y -3 -2 -1 0 1 2 3

11 6 3 2 3 6 11

3.Simetri terhada smbu titik asal

-3 -2 -1 0 1 2 3

22 xy

x

y11

6

3

2

1

-18

2 3 6 11

22 yx

x

y

92

Misal:

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y -18 -2 2 0 -1 2 18

Aplikasi Kesimerian Gafik Fungsi

-3 -2 -1 0 1 2 3

18

2

1

-1

-2

-18

xxy 33

x

y

92

Konsep

1. Fungsi f(x) disebut fungsi genap bila f(x) = f(-x) untuk setiap x di domain f(x)

[ grafik f(x)simetris terhadap sumbu y ].

2. Fungsi f(x) disebut fungsi ganjil bila f(x) = - f(-x) untuksetiap x di domain f(x)

[ grafik f(x) simetris terhadap titik pusat atau pusat sumbu ].

3. Bila suatu fungsi bukan merupakan fungsi genap maka belum tentu merupakan fungsi

ganjil.

Contoh:

Tentukan apakah fungsi genap,ganjil atau tak satupn

1.

2.

3.

Penyelesaian:

1.

X -3 -2 -1 0 1 2 3

15 10 5 0 -5 -10 -15

Fungsi

Genap,Fungsi

Ganjil dan Fungsi

Tak Satupun

92

2.

X -3 -2 -1 0 1 2 3

10 5 2 1 2 5 10

3.

maka termasuk fungsi tak satupun

X -3 -2 -1 0 1 2 3

-4 -2 0 2 4 6 8

y

-3 -2 -1 0 1 2 3 x

15

10

5

-5

-10

-15

xy 5

y

-3 -2 -1 0 1 2 3

12 xy

x

10

5

2

1

92

Aplikasi Fungsi Genap , Fungsi Ganjil dan Taksatupun

No. Persamaan Fisika Fungsi Genap.Ganjil

atau tak Satupun

Alasan

, x=v.t

(GLB)

Ganjil x=v.t

jika x(-t)=v(-t)

=--vt

Karena x(-t)=-vt, maka x=vt adalah

fungsi anjil

2.

(GLBB oleh

pengaruh gaya

grafitasi)

tak satupun

3. W=P.t

(Usaha)

Ganjil W(t)=P.t

W(-t)=P(-t)

=-Pt

8

6

4

2

-2

-4

-15

x

y y=2x+2

-3 -2 -1 0 1 2 3

92

Karena W(-t)=-Pt ,

maka W=Pt adalah fungsi ganjil

4. tak satupun

5. Ganjil

6. Ganjil

7. Ganjil

8. tak satupun

92

9. tak satupun

10. tak satupun

Jika

Fungsi

Trigonometri

92

Bentuk dasar dari fungsi trigonometri diberikan berikut

· f(x) = sin x ; f(x) = csc x

· f(x) = cos x ; f(x) = sec x

· f(x) = tan x ; f(x) = cot x

Sedangkan beberapa persamaan atau identitas yang berlaku pada fungsi trigonometri

diberikan :

1. sin (-x ) = - sin x

2. cos ( -x ) = cos x

3. tan ( -x ) = - tan x

4. csc ( -x ) = - csc x

5. sec ( -x ) = sec x

6. cot ( -x ) = cot x

7. sin (π /2 - x ) = cos x

8. cos ( π/2 - x ) = sin x

9. tan (π /2 - x ) = cot x

10. sin ( x + y ) = sin x cos y + sin y cos x

Rumus Jumlah dan selisish

Rumus konversi Perkalian ke penjumlahan

92

Rumus trigonometri sudut ganda

Fungsi Trigonometri Lainya

Beberapa sifat fungsi trigonometri

a. -1≤ sin x ≤ 1 b. -1 ≤ cos x ≤ 1

c. sin x = sin (x + 2π) d. cos x = cos (x + 2 π)

e. tan x = tan (x + π)

Penyelesaian persamaan treigonometri

1. Jika Sinx R =sinα, maka x = α+k.360 R atau x=(180 R - α) + k.360 R

2. Jika cosx R = cos α maka x = ± α k.360 R

3. Jika tan x R = tan α, maka x=α+k.360 dengan k adalah bilangan bulat.

Contoh soal:

1. Tentukan penyelesaian dari persamaan berikut ini

1( ) sec , dalam radian

cos1

( ) cosec , dalam radiansin

1(

a.

b.

c. ) cot , dalam radianta

n

y f x x xx

y f x x xx

y f x x xx

92

Penyelesaian

Fungsi trigonometri

Fungsi sinus

Bentuk umum: y = f(x) = sin x, x dalam radian

Daerah asal dan daerah hasil: Df = π, Wf = [-1,1]

Grafik:

92

Fungsi cosinus

Bentuk umum: y = f(x) = cos x, x dalam radian

Daerah asal dan daerah hasil: Df = π, Wf = [-1,1]

1

-1

y=sinx

y

-2π -π π 2π

x

-

92

Grafik:

Fungsi tangen

Bentuk umum:

Daerah asal : Df = π, - {π/2 + nπ | n є ¢}

Daerah hasil: Wf = ∞

1

-1

y

y=cosx

-2π -π π 2π

92

Aplikasi Fungsi Trigonoetri

1. Sebuah peluru meriam keluar dari lirasnya dengan kelajuan 60m/s . Pada sudut

berapakahmeriam itu harus diarahkan agar peluru mencapai tanah pada jarak

180m?, g=10m/s

2. Tikungan jalan dengan dengan jari-jari 30m harus dibangun miring agar mobil

dapat melaju dengan kecepatan 13m/s tanpa terpelanting keluar, meskipun tidak ada

gesekan antara ban . Berapakah sudut kemiringan permukaan jalan tersebut?

FN

FNsinθFNcosθ

Jari-jari=30m

θ

θ

92

92

3. Gelombang stasioner dihasilkan oleh interferensi antara dua gelombang berjalan

sebagai berikut: , Masing-masing

gelombang memilki amplitudo dan frekuaensi yang sama, tetapi arah perambatannya

berlawanan arah. Tentukan persamaan stasioner yang dihailkan, dan sketsa grafiknya!

92

Penyelesaian;

Masalah ini terkait konsep rumus trigonometri untuk jumlah atau selisih sudut.

Maka, gunakan konsep trigonometri tersebut untuk memecahkan persoalan di atas.

Definisi:

y

x

A

A

y=y1+y2

y1=Acos(ax+ωt)

y2=Acos(ax-ωt)

Fungsi Periodik

92

Fungsi f yang terdefinisi pada himpunan bilangan real R dikatakan fungsi periodik

jika terdapat suatu bilangan positif P sehingga f(x_p) = f(x) untuk setiap x ∈ R. Bilangan

positif P terkecil yang mengakibatkan f(x+P) = f(x) dinamakan perioda fungsi f.

Contoh:

Tentukan periode fungsi berikut ini:

a. Tentukan perioda fungsi f(x) = sin2x dan g(x) = cos2x.

Dari rumus trigonometrik kita mempunyai identitas:

sin2x = ½(1-cos2x) dan cos2x = ½(1+cos2x).

Berdasarkan rumus trigonometri ini,

f(x) = ½ - ½cos2x dan g(x) = ½ + ½cos2x.

Menurut teorema , fungsi f dan g adalah fungsi periodik dengan perioda 2π/2=π.

Contoh:

Tentukan periode fungsi trigonometri berikut:

Penyelesaian:

Aplikasi

1. Bandul sederhana

Bandul sederhana adalah benda ideal yang terdiri dari sebuah titik masa ,yang digantungkan

pada tali ringan yang tidak dapat mulur. Jika bandul ditarik ke samping dari posisi

92

seimbangnya dan dilepaskan, maka bandul akan berayun pada bidang vertikal karena

pengaruh gaya grafitasi. Sehingga gerakanya merupakan gerak periodik.

Komponen radial dari gaya tersebut memberikan sumbangan pada gaya sentripetal yang

dibutuhkan agar benda bergerak pada busur lingkaran. Komponen tangensial bertindak

sebagai pemulih gaya yang bekerja pada m untuk mengembalikannya ke titik seimbang. Jadi

gaya pemulih adalah

Pergeseran sepanjang busur adalah dan untuk sudut yang mendekati gerak dalam garis

lurus . Jadi dengan anggapan , diperoleh

Sementara itu

m

mg

msinθmcosθ

T

x=lθ

92

2. Misalnya sebuah benda bergerak dengan kecepatan sudut tetap pada sebuah

lingkaran yang memiliki jari-jari A sebagaimana tampak pada gambar di bawah.

Analisis:

Dari gambar , secara matematis adalah , dengan simpang terjauhnya A,

disebut amplitudo. Karena benda melakukan Gerak Melingkar Beraturan maka kecepatan

sudutnya bernilai konstan.. Kecepatan sudut adalah hasil bagi sudut pusat(2π) yang ditempuh

benda dengan selang waktu tempuhnya(T), dirumuskan dengan : . Karena

untuk Sehingga menjadi atau

Aplikasinya untuk mencari periode putaran berdasarkan grafik

T 1/4T 1/2T 3/4T T 5/4T 6/4T 7/4T 2T

A 0 -A 0 A 0 -A 0

(t)

0

t

y

T/2

A

-A

900

T T 3/2T 2T

y

92

Dari gambar tampak fungsi tersebut berulang setiap (T) atau satu kali putaran.

Ini dapat dibuktikan , yaitu

Jadi adalah fungsi periodik dengan periode 2π.

Definisi:

Translasi fungsi merupakan suatu pergeseranfungsi misalnya pada kurve, maka maka

translasi merupakan suatu pergeseran kurve.

Translasi Grafik Fungsi

92

Konsep:

Bila grafik fungsi f(x ) digeser ke kanan (searah atau sejajar sumbu x ) sepanjang k

maka hasil pergeseran merupakan grafik dari fungsi f( x - k ).

Bila grafik fungsi f(x ) digeser ke kiri (searah atau sejajar sumbu x ) sepanjang k

makahasil pergeseran merupakan grafik dari fungsi f( x + k ).

Bila grafik fungsi f(x) digeser ke atas ( searah atau sejajar sumbu y ) sepanjang a

maka hasil pergeseran merupakan grafik fungsi f(x) + a.

Bila grafik fungsi f(x) digeser ke bawah ( searah atau sejajar sumbu y ) sepanjang a

maka hasil pergeseran merupakan grafik fungsi f(x) - a.

Contoh:

Gambarlah grafik dari

Penyelesaian

X -3 -2 -1 0 1 2 3

9 4 1 0 1 2 9

10 5 2 1 2 5 10

26 17 10 1 2 5 10

(t)

0

t

y

T/2

A

-A

900

T/4 3/2T T/

92

9

4

1

-3 -2 -1 0 1 2 3

2xy

x

y9

4

1

0

-3 -2 -1 0 1 2 3

2xy

x

y

92

Aplikasi Translasi Grafik

I. Dalam aplikasi di dalam fisika misalnya dari persamaan pada

persamaan pada gerak osilasi, jika disederhanakan menjadi

Grafiknya adalah :

Dari grafik yang terpampang di atas(dalam satu putaran), terlihat bahwa fungsi

hanya dipengaruhu oleh amplitudo(A), dan sudutnya , Untuk melihat

terjadinya pergeseran ke arah sumbu-x atau ke arah sumbu-y, maka kita hanya dapat

-3 -2 -1 0 1 2 3

2xy

x

y

T1/2T

tAy sin

T

-A

A

y

92

mengubah besar sudutnya, dan amplitudonya. Dari fungsi sinus yang memiliki nilai

maksimum (+1), dan nilai minimum(-1), ini juga akan berpengaruh terhadap amplitudonya.

II. Untuk melihat pergeseran pada arah sumbu y(ke atas atau ke bawah) selain dengan

memodifikasi amplitudonya, dapat juga dengan menambahkan konstanta tertentu pada

persamaan tersebut. Misalnya dari persamaan , kita tambah dengan suatu

konstanta yaitu 1atau -1, maka persamaantadimenjadi atau

Jadi, dengan mengubah menjadi, ,yaitu dengan

1sin tAy

-A

T1/2T

tAy sin

T

A

(+1)

T1/2T

tAy sin

T

-A

A

(-1)

1sin tAy

92

menambahkan satu(+1), maka grafiknya bergeser ke atas, begitu juga sebaliknya jika

menambahkan dengan mines satu(-1), grafiknya akan bergeser ke bawah.

IV. Untuk melihat pergeseran ke arah sumbu-x, yang bisa dilakukan adalah mengubah sudutnya.

Jika, persaman kita ubah menjadi , yaitu dengan menambahkan

900 ,sehingga grafiknya akan seperti berikut :

Jadi,Dari fungsi , dijadikan fungsi , maka grafiknya

mengalami pergeseran sebesar 900 ke kiri(arah sumbu x negatif). Dari sini jelas terjadi suatu

pergeseran fungsi yang menyebabkan perubahan sudut, sedangkan periodenya tetap.

V. Lagi sekali untuk melihat pergeseran pada sumbu-x, yaitu pergeseran ke

kanan(arah sumbu x positif).

Jika persaman kita ubah menjadi , yaitu dengan

menambahkan (-900 ),sehingga grafiknya akan seperti berikut :

T1/2T

90sin tAy

90sin tAy -A

y

T

A

T1/2T

tAy sin

-A

y

T

A

92

Jadi,Dari fungsi , dijadikan fungsi , maka grafiknya

mengalami pergeseran sebesar 900 ke kanan, karena kita menambahkan sudutnya sebesar(-

90). Dari sini jelas terjadi suatu pergeseran fungsi yang menyebabkan perubahan sudut,

sedangkan periodenya tetap.

Definisi limit;

Pengertian limit secara intuisi. Untuk mengatakan bahwa , berarti bahwa

bilamana x dekat tetapi berlainan dari c maka f(x) dekat ke L.

Limit kiri dan Limit Kanan

Jika , berarti bahwa bilamana x dekat tetapi pada sebelah kanan c,

maka f(x) adalah dekat ke L. Demikian pula, untuk mengatakan bahwa

Berarti bahwa bilamana x dekat tetapi pada sebelah kiri c, maka f(x) adalah dekat ke L.

Teorema Limit

Atau

Agar lebih memahami konsep limit, misalkan contohnya pada fungsi , di titik 2.

Misal

, bagaimanakah perilakuku f(x) di sekitar 2. Perilaku disekitar 2 dapat diamati

dengan menentukan nilai f(x) di sekitar x=2.

X 1,9 1,99 1,999 2,001 2,01 2,1

3,61 3,9601 3,99601 4,004001 4,0401 4,41

Nilai dari f(x) untuk x mendekati 2 dari kiri(x<2) dan nilai f(x) mendekati 2 dari kanan (x>2)

adalah mendekati 4. Maka dikatakan limit

Limit

92

Grafiknya:

Teorema Limit

Andaikan n adalah bilangan bulat positif,k konstanta , dan f, g adalah fungsi-fungsi yang

mempunyai limit di c. Maka:

Contoh:

Carilah

2

2xy

x

y

4

92

Penyelesaian

=48

92

Teorema Apit

Andaikan f dan g adalah fungsi-fungsi yang memenuhi f(x)≤g(x)≤h(x) untuk semua x dekat,

kecuali mungkin di c. Jika

Aplikasi Limit

Menentukan kecepatan sesaat dari fungsi posisi

1. Posisi sebuah roket dapat ditaksir dari fungsi waktu t , yaitu , t

dalam sekon dan s dalam kilometer. Berapakah percepatan roket pada saat t=1 jam.

Penyelesaian:

f

h

g

x c

L

y

92

2. Percepatan sesaat

Percepatan sesaat didefinisikan sebagai kecepatan rata-rata untuk selang waktu yang

sangat kecil. Yaitu mendekati nol. Secara matematis persamaanya dapat ditulis

menjadi

92

Dari gambar terlihat sudah proses limit perubahan menuju nol, sehingga percepatan

rata-rata menjadi kecepatan sesaat. Arah kecepatan rata-rata selalu sama dengan arah

perubahan kecepatan , maka percepatan sesaat akan memiliki nilai yang sama dengan

Pada saat , maka titik materi akan mencapai percepatan sesaat

dengan cara mendekati t2 ke t1. Pada saat percepatan rata-rata menjadi percepatan

sesaat, vektor kecepatan tetap menyinggung lintasan di t, sedangkan vektor

percepatan sesaat a menjauhi sisi lngkung lintasan titik materi tersebut.

Contoh soal

Kecepatan sebuah roket dapat ditaksir dari fungsi waktu t , yaitu , t

dalam sekon dan s dalam kilometer. Berapakah percepatan roket pada saat t=1 jam.

Penyelesaian:

at

v

at

v

a

v

v1,t1

v2,t2

v1,t1

v2,t2

v2

v1

v2

v1

92

:

Bentuk dasar limit Trigonometri

Limit Trigonometri

92

Contoh: Penyelesaian limit Trigonometri

Penyelesaian

Aplikasi Limit Tigonometri

1. Perpindahan sebuah partikel pada saat t deti diberikan oleh dengan s

adalah jarak yang dinyatakan dalam meter, Tentukan kecepatan partikel pada saat

Penyelesaian

92

Konsep:

Maka:

2. Kecepatan sebuah partikel pada saat t detik diberikan oleh dengan s

adalah jarak yang dinyatakan dalam meter, Tentukan percepatan partikel pada saat

Penyelesaian

Konsep:

Maka:

92

Limit di Takberhingga

Limit tak Hingga &Limit

ditakhingga

92

1. Misalkan f adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada setiap nilai pada selang (c,∞).

Limit dari f(x) bilamana x membesar tanpa batas adalah L, ditulis

artinya nilai fungsi f(x) dapat dibuat sedekat mungkin ke L asalkan nilai x cukup

besar

2. Misalkan f adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada setiap nilai pada selang (c,-∞).

Limit dari f(x) bilamana x mengecil tanpa batas adalah L, ditulis

artinya nilai fungsi f(x) dapat dibuat sedekat mungkin ke L asalkan nilai x cukup

kecil

Limit

Misalnya fungsi

a. Ketika x kecil dan positif, adalah besar dan positif.

Contoh:

-2 -1 1 2

xy

1

x

y

2

1

-1

2

92

b. Ketika x kecil dan negatif, adalah besar dan negatif.

Contoh:

c. Ketika x besar dan positif, adalah kecil dan positif.

Contoh:

d. Ketika x besar dan negatif, adalah kecil dan negatif.

Contoh:

Sehingga:

a. Jika x mendekati 0 dari kanan, 1/x cenderung ∞

b. Jika x mendekati 0 dari kiri, 1/x cenderung- ∞

c. Jika x cenderung 0 dari kanan, 1/x mendekati ∞

d. Jika x cenderung 0 dari kiri, 1/x mendekati -∞

Contoh

Contoh menentukan nilai limit takhingga

92

Aplikasi Limit di takhingga

2 Siklus Carnot

Sadi Carnot menunjukkan operasi mesin ideal, dalam siklus reversible yang dikenal

dengan siklus Carnot. Siklus ini akan menentukan batas kemampuan kita untuk mengubah

kalor menjadi kerja. Siklus Carnot ini terdiri dari empat langkah, seperti diperlihatkan pada

Gambar 4.2.5. Siklus tersebut diperlihatkan dalam diagram P-V pada Gambar 4.2.6.

Gambar 4.2.6. Siklus Carnot yang

dilukiskan di dalam Gambar 4.2.5

yang dilukiskan pada sebuah

diagram P-V.

Gambar 4.2.5. Sebuah siklus

Carnot. Titik-titik a, b, c, dan d

bersesuaian dengan titik-titik yang

diberi tanda seperti itu di dalam

Gambar 4.2.6.

92

Dengan memperhatikan grafik di atas, tampak bahwa grafik tidak akan pernah meotong

sumbu x(dalam hal ini volume), dan juga tidak akan pernah memotong sumbu y(dalam hal ini

tekanan).Misalnya pada lintasan bc, merupakan lintasan adiabatik., karena tidak pernah

menmotong sumbux maupun sumbu y, maka baik volume maupun tekanan akan semakin

membesar semakin besar sampai tak terhingga.

Kekontinuan

92

Definisi

(kekontinuan di satu titik). Kita katakan bahwa f kontinu di c jika beberapa selang terbuka di

sekitar c terkandung dalam daerah asal f dan

Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a jika

(i) f(a) ada

(ii)

(iii)

Kontinou kiri dan kontinou kanan

1. Fungsi f(x) disebut kontinu kiri di x=a jika

2. Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x=a jika

92

Fungsi f(x) kontinu di x=a jika kontinu kiri dan kontinu kanan di x=a

Contoh:

Apakah fungsi berikut kontinou di x=2

Penyelesaian:

Jadi, fungsi di atas tak kontinou di x=2

Kekontinuan pada Interval

Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval ter buka ( a,b ) bila f(x) kontinu pada setiap

titik di dalam interval tersebut.

Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval tutup [ a,b ] bila :

1. f(x) kontinu pada ( a,b )

2. f(x) kontinu kanan di x = a

3. f(x) kontinu kiri di x = b

Bila f(x) kontinu untuk setiap nilai x Î R maka dikatakan f(x) kontinu ( dimana-mana ).

Teorema

Fungsi Polinom kontinu disetiap bilangan real c.

Fungsi Rasional kontinu pada Domainnya, yaitu kecuali dimana penyebutnya

Misalkan , maka

f(x) kontinu di setiap titik di R jika n ganjil

f(x) kontinu di setiap R positif jika n genap.

Contoh : tentukan selang kekontinuan

92

Dari teorema diatas diperoleh f(x) kontinu untuk x-15³0 atau x³15.

f(x) kontinu kanan di x=15

Sehingga f(x) kontinu pada [15,∞ )

Kekontinuan pada Limit Fungsi Komposisi:

Jika dan f(x) kontinu di L, maka

• Teorema kekontinuan fungsi komposisi:

Jika g(x) kontinu di a, f(x) kontinu di g(a), maka fungsi kontinu di a.

Bukti

= f(g(a)) karena f kontinu g a

= (fog)(a) karena g kontinu di a

Contoh

Tentukan dimana fungsi kontinou?

Fungsi f(x) dapat dituliskan sebagai komposisi dua fungsi atau

Dengan dan g(x) = cos x

Karena h(x) kontinu di R-{-4,1} dan g(x) kontinu dimana-mana maka

fungsi f(x) kontinu di R-{-4,1}

Aplikasi Kekontinuan

92

Grafiknya;

2. Proses Isotermal

Proses Isotermal adalah suatu proses yang terjadi pada temperature konstan .Kurva P-V untuk

kasus isothermal untuk gas ideal berbentuk hiperbola. Energi dalam gas ideal hanya

merupakan fungsi temperatur. Jadi, untuk kasus isothermal yang melibatkan gas ideal, energi

dalam sistem, ΔU = 0. Dengan demikian, menurut hukum I termodinamika, maka diperoleh:

ΔU = Q - W = 0 maka :Q=W

92

Selanjutnya marilah kita tinjau ekspansi isothermal gas ideal. Misalkan, gas ideal

mengalami ekspansi secara kuasi statik pada temperatur konstan seperti yang ditunjukkan

dengan diagram PV di bawah ini:

Diagram PV untuk ekspansi isothermal gas ideal

dari keadaan awal dan keadaan akhir. Kurva berbentuk parabola

Jika dilihat grafik di atas, tampak kontinou tetapi tidak sampai memotong di koordinat

x(Volume), dan tidak memotong di koordinat y(tekanan). Misalkan kita ambil titik di antara

Vf dan Vi,maka tidak terlihat suatu lompatan, sehingga garisnya mulus melengkung tanpa

lompatan. Hal ini menunjukkan bahwa grafiknya kontinou di antara titik Vf dan Vi.Secara

matematis:

Kontinou kiri dan kontinou kanan ,misalnya grafik di atas memenuhi suatu fungsi tertentu

yang saya anggap f(v).Fungsi ini adalah fungsi f terhada volume(V).

1. Fungsi f(x) disebut kontinu kiri di x=v jika

2. Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x=v jika

3. Karena f(v)=

Maka Fungsi f(v) kontinu di x=v

Definisi;

Turunan

Turunan

Turunan

92

Berdasarkan grafik di atas dengan memperhatikan gradien kemiringan , sehingga turunan

didefinisikan dengan Asalkan limitnya ada.

Contoh;

Tentukan turunan dari nilai fungsi

1.

Maka,

Penyelesaian:

92

Teorema-Teorema Turunan

1. Diferensiasi konstanta

Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka dy/dx = 0

contoh : y = 19 à dy/dx = 0

2. Diferensial Indentitas

Jika

3. Diferensiasi fungsi pangkat

Jika y = xn, dimana n adalah konstanta, maka dy/dx = nxn-1

contoh : y=x3àdy/dx=3x3-1=3x2

4. Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsi

Jika y = kv, dimana v = h(x),

à dy/dx = k dv/dx

contoh : y = 35x3 à dy/dx = 35(3x2) = 105x2

5. Diferensiasi pembagian konstanta dengan fungsi

jika y = k/v, dimana v=h(x), maka :

6. Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi

jika y = u + v, dimana u = g(x) dan v = h(x)

maka dy/dx = du/dx + dv/dx

contoh : y = 40x2 + 3x3 à u = 4x2 du/dx = 80x

à v = 3x3 dv/dx = 9x2

dy/dx =du/dx + dv/dx = 80x + 3x2

92

7. Diferensiasi perkalian fungsi

Jika y = uv, dimana u = g(x) dan v = h(x)

8. Diferensiasi pembagian fungsi

Jika y = u/v. dimana u = g(x) dan v = h(x)

Aplikasi Turunan

1. Untuk menurunkan persamaan bernauli, menerapkan konsep usaha energi yang dibantu

juga dengan konsep turunan. Jika dalam selang waktu yang sempit (dt), fluida yang

92

awalnya berada pada a bergerak ke b, sejauh , demikian pula dengan

fluida yang berada di c bergerak ke d sejauh Untuk persamaan Volume

fluida(dV),yang melalui setiap penampang melintang sepanjang waktu (dt),maka

Sedangkan usaha yang dilakukan pada element fuida selama dt, yaitu

Kerja dW adalah gaya-gaya selain gaya

konservatif, sehingga besarnya gaya sama dengan perubahan

energi mekanik(Energi kinetik dan Energi Potensial).Untuk energi kinetik,

, sedangkan untuk energi potensial grafitasi ,

sehingga jika kedua persamaan digabungkan, maka:

2. Pada pengukuran pasti mengandung ketidakpastian. Misalnya kita mengukur volume

bola dengan micrometer sekrup yaitu dengan mencari panjang diameternya sebanyak

misalnya sebanyak sepuluh kali, kemudian kita hitung masing-masing volumenya,

kemudian untuk mencari ketidakpastiannya kita gunakan aturan turunan.Dengan

y2

y1

1A

2A

dV

dV

c d

a b

92

menurunkan Volume terhadap diameter, dan ketidakpastian diameter saya anggap

sudah diketahui maka menurut aturan untuk mencari ketidakpastian adalah

Untuk mencari ;maka

3. .Kawat sepanjang 9 cm mempunyai masa antara antara ujung kiri dengan sebuah titik

sejauh x cm ke kanan seberat x4 gram. Berapa kepadatan sebenarnya di titik 2 cm dari

ujung kiri?

Penyelesaian

Ini adalah masalah yang terkait konep turunan. Kepadatan merupakan masa pern

panjang , maka , sehingga

Aplikasi Turunan Fungsi Elementer

x2x1

92

Fungsi Linear adalah fungsi yang paling sederhana, karena hanya memiliki satu

variabel bebas dan berpangkat satu pada variabel bebas tersebut, sehingga sering

disebut fungsi berpangkat satu. Bentuk umumnya adalah y= a+bx, dimana a adalah

konstanta dan b adalah koefisien.

aplikasi turunan pada fungsi linear

1. Sebuah sepeda bergelar lurus beraturan dengan kecepatan konstan. Dimana

kedudukan nya dapat dituliskan dalam persamaan posisi sebagai fungsi waktu

,dimana s dalam meter dan t dalam sekon. Tentukan kecepatan sesaat

sepeda tersebut?

Penyelesaian

Kecepatan adalah turunan posisi terhadap wktu, seingga

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berpangkat dua. Bentuk umum

dari persamaan kuadrat adalah y= ax2 + bx + c

Dengan a≠0.Huruf-huruf a, b dan c disebut sebagai koefisien: koefisien kuadrat a

adalah koefisien dari x2, koefisien linier b adalah koefisien dari x, dan c adalah koefisien

konstan atau disebut juga suku bebas.

Aplikasi Turunan Pada Fungsi Kuadrat

1. Sebuah partikel berputar terhadap poros sumbu z menurut persamaan

tentukan percepatan sudut terhadap fungsi waktu, jika

t=2s!

Penyelesaian

Setelah fungsi kuadrat, fungsi yang memiliki psngkst lebih dsri dus disebut fungsi

polinomial. Fungsi polinomial adalah merupakan fungsi yang mengandung banyak

suku dalam variabel bebasnya, memiliki bentuk . F(x) = aoxn + a1xn-1 + . . . + an-1x +

92

an. Dimana n merupakan bilangan bulat positif yang disebut dengan derajat dari

polinomial.

Aplikasi Turunan Pada Fungsi Polinomial

1. Sebuah bola mengelinding sepanjang bidang miring sehingga jarak s dari titik

awal setelah t detik adalah kapankah kecepatan sesaatnya

5m/s?

Penyelesaian;

Jadi saat t=7s kecepatannya 5m/s.

Diferensiasi Fungsi komposit

Jika y=f(u) sedangkan u=g(x),dengan bentuk lain y=f{g(x)}, maka :

Diferensial Fungsi Rasional

Definisi fungsi rasional yaitu hasil bagi fungsi-fungsi polinom

Aplikasi fungsi rasional

92

1. Seekor semut melaju dengan kecepatan , tentukan percepatan semut

pada t=1 s!

Penyelesaian:

Diferensiasi Implisit

Turunan Fungsi:

Elementer,implisit,eksplisit dan

transedent

92

Jika f (x, y)=0 merupakan fungsi implisit sejati (tidak mungkin dieksplisitkan), dy/dx

dapat diperoleh dengan mendiferensiasikan suku demi suku, dengan menganggap y sebagai

fungsi dari x

Contoh:Tentukan dy/dx dari

Penyelesaian:

Aplikasi Turunan Fungsi Implisit

1. Sebuah partikel bergerak sepanjang garis singgung yang menyinggung kurva

, jika kecepatan partikel tersebut sama dengan kemiringan garis

singgung kurva berapa kecepatan partikel tersebut di titik(4,2)?

Penyelesaian:

92

Turunan dari sin adalah cos, bukti:

Dari definisi turunan, turunan dari sisn adalah hasil dari limit

Jika maka:

Turunan

FungsiTrigonometri

92

Demikian juga untuk mencari turunan kossinus dan tan dengan menggunakan konsep

limit.

Rumus-rumus turunan Trigonometri

Contoh:

Cari dy/dx

Penyelesaian

92

Aplikisi Turunan Trigonometri

1. Seorang yang duduk di teras melempar batu dengan posisi batu dinyatakan dalam

koordinat(y,θ) , dengan persamaan lntasannya adalah , tentukan

kecepatan batu pada saat .

Penyelesaian:

Kecepatan adalah turunan dari posisi .

2. Sebuah gerak harmonik

memenuhi persamaan Tentukanlah persamaan kecepatan gerak

harmonik tersebut!

Penyelesaian:

92

Teorema:

Aturan Rantai

92

Andaikan y=f(u) dan u=g(x), menentukan fungsi komposit y=f(g(x))=fog(x). Jika g

terdiferensialkan di x dan f terdiferensialkan di u=(x), maka fog terdiferensialakan di x dan

Contoh

Aplikasi Aturan Rantai

1.Sebuah partikel bergerak melintasi suatu garis singgung yang menyinggung kurva

,jika kecepatan partikel sama dengan kemiringan garis

singgung kurva, berapa kecepatan partikel di titik(0,4)?

Penyelesaian;

Untuk mencari kecepatan, maka dy/dx=...?

2.Sebuah pesawat tempur meleju dengan kecepatan , tentukan

percepatan yang dialami pesawat tempur setelah 2 s!

Penyelesaian:

92

Turunan Tingkat Tinggi

92

Cara penulisan notasi untuk turunan y=f(x)

Turunan Notasi Leibniz Notasi f’

Pertama f’(x)

Kedua f’’(x)

Ketiga f’’’(x)

... ... ...

... ... ...

Ke-n

Bukti Teorema (Aturan pangkat), yaitu f(x)=xn , maka

Bukti;

Didalam kurung siku, kecuali suku pertama mempunyai h sebagai faktor, sehingga masing-

masing limit memiliki nol jika limit mendekati nol.Oleh karena itu:

Contoh;

Carilah turunan dari

Penyelesaian;

92

Karena turunan dari fungsi nol adalah nol, maka semua turunan tingkat yang lebih

tinggi akan nol.

Aplikasi Turunan Tingkat Tinggi

1. Sebuah bola dilempar vertikal ke atas menurut persamaan posisi sebagai fungsi waktu

, , Tentukan:

a. Kapan bola mencapai ketinggian maxsimum?

b. Berapa percepatannya?

Penyelesaian:

a. Bola mencapai ketinggian maxsimum jika pada kecepatannya di titik tertinggi sama

dengan nol.

Maka jarak pada titik tertinggi adalah

b. Untuk mencari percepatan dgunakan turunan kedua

92

Jadi, percepatannya adalah konstan sbesar 20m/s

2. Sebuah mobil bergerak dengan persamaan posisi sebagai funsi waktu, ,

tentukanlah percepatan mobil saat t=2 s!

Penyelesaian

Jadi, percepatan yang dialami mobil adalah 72m/s2

Aplikasi Turunan:

Maxsimum,Minimum,

kecepatan,percepatan,penggambaran

grafik canggih.

92

Maksimum dan Minimum

Definisi

Andaikan S, daerah asal, memuat titik c. Kita katakkan bahwa:

a. f(c)adalah nilai maksimum f pada S jika f(c)≥f(x) untuk semua x di S

b. f(c) adalah minimum f pada S jika f(c)≤f(x) untuk semua nilai x di S

c. f(c) adalah nilai ektrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum ataupun minimum.

Teorema eksistensi Max-Min.

Jika f kontinou pada selang tertutup[a,b], faka f mencapai nilai maksimum dan

minimum.

Teorema titik kritis.

Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika f(c0 adalah titip

ektrim, maka c haruslah suatu titik kritis;yakni c berupa salah satu;

a. titik ujung dari I;

b. titik stasioner dari f(f’(c)=0;

c. titik singular dari f(f’(c) tidak ada).

Fungsi naik dan fungsi turun

a. Agar fungsi f(x) naik , maka f’(x)>0

b. Agar fungsi f(x) turun, mka f’(x)<0

Contoh:

Sebuah fungsi ditentukan dengan rumus tentukan

interval agar f(x):

a. Naik

b. Turun

92

c. Stasioner

Penyelesaian:

a.

Maka,

Agar fungsi f(x) naik, maka f’(x0>0

2x-5>0

Agar f(x) niak maka

b.

Maka,

Agar fungsi f(x) turu, maka f’(x)<0

2x-5<0

Agar f(x) turun maka f’(x)<

c.

Maka,

Agar fungsi f(x) stasioner, maka f’(x)=0

2x – 5=0

Agar f(x) stasioner, x=

a.

Maka,

Agar fungsi f(x) turu, maka f’(x)<0

2x-5<0

92

Agar f(x) stasioner, f’(x)=

Jenis-jenis nilai stasioner

Nilai balik maksimum,

Misalnyaf(x) kontinou pada interval b < x < c, yang memuat x=a, fungsi f(x)

dikatakan mempunyai nilai maksimum f(a),jika

a. Nilai balik maksiimum f(a), jika:

f’(x)>0 atau f(x)nnaik pada interval b<x<c

f’(x)<0 atau atau fungsi turun pada interval a<x<c

f’(x) =o, stasioner di x=a

b. Nilai balik minimum f(a), jika:

f’(x)<0 atau f(x) turun pada interval b<x<a

f’(x)>0 atau fungsi naik pada interval a<x<c

f’(x) = o, stasioner di x=a

Turunan kedua dan pemakaiannya

Dengan menggunakan turunan kedua , jika ada kita dapat menentukan arah

kecekungan suatu kurve.

Misalka, y=f(x) dapat diturunkan dua kali, ada interval I.

a. Jika f’’(x)<0 maka kurva cekung(terbuka kebawah) pada interval I, maka f(a)

merupakan nilai minimum fungsi f

b. Jika f’’(x)>0 maka kurva cekung(terbuka atas) pada interval I, maka f(a)

merupakan nilai maksimum f.

Uji turunan pertama untuk ektrim lokal

Andaikan f kontinou pada selang terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c

a. Jika f’(x)>0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x)<0untuk semua x dalam (c,b) maka

f(c) adalah nilai maksimum lokal.

b. Jika f’(x)<0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x)>untuk semua x dalam (c,b) maka

f(c) adalah nilai minimum lokal.

c. Jika f’(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f’(c) bukan nilai ektrim lokal f.

Menggambar grafik

92

Langkah I.:

1. Periksa daerah asal dan daerah hasilfungsi untuk melihat apakah ada daerah di

bidang yang dikecualikan.

2. Uji kesimetrian terhadap sumbu y dan titik asal, (apakah mrupakan fungsi genap

atau ganjil).

3. Cari perpotongan dengan sumbu-sumbu koordinat.

4. Gunakan turunan pertama untuk mencari titik-titik krtis dan untuk mengetahui

tempat-tempat grafik naik dan turun.

5. Uji titik-titik kritis untuk maksimum dan minimum lokal

6. Gunakan turunan kedua untuk mengetahui tempat-tempat grafik cekung ke atas

atau cekung ke bawah dan untuk melokasikan titik-titik balik.

7. Cari asimsot-asimsot.

Langkah II:

1. Gambar beberapa titik termasuk titik kritis dan titik balik.

Langkah III;

1. Sketsa grafik.

Contoh:

X 0 1 2 3 4

3 4,33 3,67 3 4,33

92

92

Aplasi Turunan; Maksimum,minimum,

kecepatan,percepatan,penggambaran grafik canggih.

1. Dua buah kandang yang berdampingan masing-masing berukuran x meter an y meter,

serta Luasnya 144m2Seperti pada gambar di bawah ini . Tentukan panjang x dan y

agar panjang pagar yang diperlukan seminimal mungkin!

Penyelesaian:

L=x.y

144=x.y

Kll=panjang selruh kandang dinyatakan dalam fungsi t, sehngga panjang yang

diminta f(x)=4x+3y

Panjang pagar mminimum terhadap panjang pagar f(x), jika f’(x)=0

Jadi, panjang kawat yang dibutuhkan, 48

yy

x x

x x

92

2. Jika s=f(t) adalah fungsi posisi sebuah partikel yang bergerak dalam garis lurus,

dimana adalah kecepatan rata-rata sepanjang waktu , dan , adalah

kecepatan sesaat, sehingga dengan menggunakan dapat memecahkan masalah

kecepatan lebih gampang. Contoh: Posisi sebuah partikel diberikan oleh

persamaan . Dimana t diukur dalam sekon dan s dalam

meter. Tentukan:

a. Kecepatan pada suatu waktu

b. Berapa kecepatannya setelah 2 sekon?setelah 4 sekon?

c. Kapan partikel dalam keadaan diam

Solusi:

a. Kecepatan adalah turunan dari fungsi posisi

b. Kecepatan setelah 2 sekon , adalah kecepatan sesaat setelah 2 sekon

Kecepatan setelah 4 sekon adalah

c. Partikeldalam keadaan diam ketikav(t)=0, ini berarti

3. Menentukan kecepatan dan percepatan gerak harmoik

92

Kecepatan pada gerak harmonik,merupakan turunan posisi terhadap sudut atau waktu,

demikian juga dengan percepatanya merupakan turunan dari kecepatannya, atau turunan

kedua dari fungsi posisinya.

4. Pada hukum newton bahwa F=ma, adalah merupakan penerapan dari konsep turunan,

dim ana dimulai dari turunan fungsi posisi terhadap waktu yang mendapatkan

kecepatan, kemudian dilanjutkan dengan pendiferinsil kecepatan terhadap waktu yang

mnghasilkan percepata. Secara matematis ditulis:

5. Sebuah meriam disisipkan untuk menembakkan peluru ke atas lereng bukit,yang

bersudut mring α. Laju awal peluruvo. Dengan sudut berapakah terhadap horizontal

meriam harus ditembakkan /diarahkan agar jangkauan R ke atas bukit makimum.

Penyelesaian:

meriam

peluruR

α

92

Dengan sumbu x,y yang disusun seperti pada gambar, kedudukan peluru diberikan oleh

Kedudikan sasaran adalah

Dari sini, jika t adalah waktu yang diperlukan untuk mencapai sasaran;

Untuk mencari jangkauan, maksimum(R), dengan perubahan sudut kemiringan β, maka

dibantu dengan konsep turunan, sehingga

R

α β x

y

P

92

92