kajian empiris perbandingan kekuatan ujirepository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789... ·...
TRANSCRIPT
KAJIAN EMPIRIS PERBANDINGAN KEKUATAN UJI
D’AGOSTINO-PEARSON, UJI GEARY, DAN UJI JARQUE
BERA DALAM MENDETEKSI KETIDAKNORMALAN DATA
SKRIPSI
A. Asfar Jaya
1113094000021
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UIN SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA
2019 M/ 1440 H
KAJIAN EMPIRIS PERBANDINGAN KEKUATAN UJI
D’AGOSTINO-PEARSON, UJI GEARY, DAN UJI JARQUE
BERA DALAM MENDETEKSI KETIDAKNORMALAN DATA
SKRIPSI
Diajukan kepada
Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta
Fakultas Sains dan Teknologi
Untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan Dalam
Memperoleh Gelar Sarjana Matematika (S.Mat)
Oleh:
A. Asfar Jaya
1113094000021
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UIN SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA
2019 M/ 1440 H
iv
PERSEMBAHAN
Skripsi ini ku persembahkan untuk orang tua yang telah berjuang sepenuh hati
untuk melihat anaknya dapat menjadi seseorang yang bermanfaat suatu saat nanti,
Bapak H. Andi Sessu dan Ibu Hj. Sitti Sirariah
v
MOTTO
“Allah tidak membebankan seseorang melainkan sesuai dengan kesanggupannya.”
(Q.S. 2:286)
Kuatkan akar, karena semakin tinggi tempatmu berada terpaan angin semakin
kencang.
-A. Asfar Jaya
vi
ABSTRAK
A. Asfar Jaya, Kajian Empiris Perbandingan Kekuatan Uji D’Agostino-Pearson,
Uji Geary, Dan Uji Jarque Bera Dalam Mendeteksi Ketidaknormalan Data, di
bawah bimbingan Dr. Nina Fitriyati, M.Kom, dan Nurmaleni, M.Si.
Pada penelitian ini, akan dibandingkan kekuatan uji kenormalan menggunakan uji
D’Agostino-Pearson, Geary, dan Jarque Bera. Simulasi dilakukan 1000 kali
dengan data yang dibangkitkan dari distribusi simetris non normal (distribusi
Beta, Cauchy, dan T-Student) dan distribusi asimetris (distribusi Beta, Chi-square,
Gamma, dan Weibull). Hasil menunjukkan bahwa untuk sampel data berukuran
besar yang dibangkitkan dari distribusi simetris, uji Geary memiliki kekuatan
paling besar yaitu 96,01%, sedangkan untuk data yang dibangkitkan dari distribusi
asimetris, uji Jarque Bera memiliki kekuatan paling besar yaitu 86,44%. Untuk
sampel data berukuran kecil yang dibangkitkan dari distribusi simetris, uji Geary
memiliki kekuatan paling besar (yaitu 41,99%) dibandingkan dengan dua uji
lainnya.
Kata Kunci: Uji Kenormalan, Distribusi Asimetris, Distribusi Simetris
vii
ABSTRACT
A. Asfar Jaya, An empirical power comparison D’Agostino-Pearson, Geary and
Jarque Bera test in detecting non-normality data, under the guidance of the Dr.
Nina Fitriyati, M.Kom, and Nurmaleni, M.Si.
In this study, we compared the strength of the normal test using the D 'Agostino-
Pearson, Geary, and Jarque Bera test. The number of simulations are 1000 times
with data generated from non-normal symmetrical distributions (Beta, Cauchy,
and T-Student distribution) and asymmetric distribution (Beta distribution, Chi-
square, Gamma, and Weibull distribution). The result shows that, for large
samples, the Geary test has the greatest strength of 96.01% for data generated by
symmetrical distributions and the Jarque Bera test has the greatest strength of
86.44% for data generated by asymmetric distribution. For the small data samples
generated from symmetrical distributions, the Geary test has the greatest strength
(ie 41.99%) compared to the other two tests.
Keywords: Normality Test, Asymmetric Distribution, Symmetric Distribution.
viii
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Alhamdulillah, puji syukur kehadirat Allah SWT atas segala limpahan
rahmat dan hidayah-Nya. Shalawat serta salam senantiasa tercurah kepada Nabi
Muhammad SAW, para sahabat, keluarga, serta muslimin dan muslimat. Semoga
kita mendapat syafaat oleh Nabi Muhammad di akhirat kelak. Aamiin.
Penyusunan skripsi ini dapat terselesaikan atas kerjasama dan bantuan dari
berbagai pihak. Untuk itu penulis ingin menyampaikan terima kasih kepada:
1. Ibu Prof. Dr. Lily Surayya Eka, M.Env Stud., selaku Dekan Fakultas Sains
dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta.
2. Ibu Dr. Nina Fitriyati, M.Kom., selaku Ketua Program Studi Matematika,
dan Bapak Muhaza Liebenlito, M.Si., selaku Sekretaris Program Studi
Matematika.
3. Ibu Dr. Nina Fitriyati, M.Kom., selaku Dosen Pembimbing I dan Ibu
Nurmaleni, M.Si., selaku Dosen Pembimbing II yang senantiasa
memberikan waktu, pengarahan dan saran-saran dalam penyelesaian
skripsi ini.
4. Bapak Mahmudi, M.Si., selaku Dosen Penguji I dan Ibu Madonna Y
Wijaya, M.Sc., selaku Dosen Penguji II yang bersedia meluangkan waktu,
untuk menguji penulis terhadap hasil skripsi.
5. Seluruh Ibu dan Bapak Dosen Program Studi Matematika yang telah
memberikan ilmu-ilmunya dan pengalaman yang bermanfaat.
6. Kedua orang tua penulis, Bapak Andi Sessu dan Ibu Sitti Sirariah, serta
kakak-kakak penulis, Arna Wisuda Ningsih, Asrar Sayidin, Anni Purnama,
ix
Arsadi, dan Anjarwati yang tidak pernah bosan memberikan doa, kasih
sayang, semangat, dan dukungan moril maupun materil sehingga skripsi
ini dapat terselesaikan.
7. Management Celerates, Pak Riza, Pak Risyad, Mas Yoga, Mba Lina, Mba
Hani yang selalu mengizinkan dalam proses penyelesaian skripsi ini.
8. Fadel, Fatma, Fauzan, Ossela, Kiki, Bagus, Naufal, Faruqi, Rahmi, Fifi,
Dhea, Rena, Rara, dan Dhiya yang mengingatkan dan sabar menghadapi
penulis.
9. Teman-teman Celerates yaitu Khoeria, Angga, Nina, Wiji, Lisna, Fauzi,
Erda, Wildan, Theo, Nugroho, Edo, Adam, Irfan, Widya dan Satrio yang
memberikan hiburan dan semangat dalam menyelesaikan skripsi ini.
10. Seluruh teman-teman Cypress Family Matematika angkatan 2013 yaitu
Uta, Nda, Ndi, Asfar, Aul, Angga, Panjul, Ady, Emin, Faiz, Andhika,
Sarah, Khoeria, Ayu, Dayinta, Yuniar, Elly, Irfi, Ainul, Lisna, Icyn, Sofi,
Imas, Mul, Ilva, Oot, Nadya, Putri, Alfi, dan Nunis yang memberikan
dorongan, candaan, dan bantuan yang tidak pernah hentinya selama kuliah.
11. Seluruh angkatan 2011, 2012, 2014, dan 2015 yang telah memberikan
pengalaman berorganisasi kepada penulis.
12. Fathimatuzzahroh yang telah memberikan semangat, dorongan, bantuan
dalam bentuk apapun dalam menyelesaikan skripsi ini.
13. Pihak-pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu tanpa
mengurangi rasa hormat, yang telah memberikan dorongan dan bantuan
sehingga skripsi ini terselesaikan.
Jakarta, Maret 2019
Penulis
x
DAFTAR ISI
PERNYATAAN ..................................................... Error! Bookmark not defined.
LEMBAR PENGESAHAN ................................................................................... iii
PERSEMBAHAN .................................................................................................. iv
MOTTO .................................................................................................................. v
ABSTRAK ............................................................................................................. vi
ABSTRACT .......................................................................................................... vii
KATA PENGANTAR ......................................................................................... viii
DAFTAR ISI ........................................................................................................... x
DAFTAR TABEL ................................................................................................. xii
DAFTAR GAMBAR ........................................................................................... xiii
BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1
1.1 Latar Belakang ......................................................................................... 1
1.2 Rumusan Masalah .................................................................................... 4
1.3 Batasan Masalah ....................................................................................... 4
1.4 Tujuan Penelitian ...................................................................................... 5
1.5 Manfaat Penelitian .................................................................................... 5
BAB II LANDASAN TEORI ................................................................................. 6
2.1 Kenormalan Univariat .............................................................................. 6
2.2 Uji Hipotesis ............................................................................................. 6
2.3 Uji Kenormalan Berdasarkan Uji Momen ................................................ 6
2.4 Uji D’Agostino-Pearson ........................................................................... 7
2.5 Uji Geary .................................................................................................. 8
2.6 Uji Jarque Bera ......................................................................................... 9
2.7 Distribusi Probabilitas Kontinu .............................................................. 10
2.7.1 Distribusi Beta ................................................................................. 10
2.7.2 Distribusi Cauchy ............................................................................ 10
2.7.3 Distribusi t-student .......................................................................... 11
2.7.4 Distribusi Chi-Square ...................................................................... 11
xi
2.7.5 Distribusi Gamma ........................................................................... 11
2.7.6 Distribusi Weibull ........................................................................... 12
BAB III METODOLOGI PENELITIAN.............................................................. 13
3.1 Data Bangkitan ....................................................................................... 13
3.2 Metode Analisis ...................................................................................... 13
3.3 Alur Penelitian ........................................................................................ 15
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN .............................................................. 16
4.1 Estimasi Kekuatan Terhadap Distribusi Simetris ................................... 16
4.1.1 Simulasi Terhadap Distribusi Simetris Sampel Kecil ..................... 17
4.1.2 Simulasi Terhadap. Distribusi Simetris Sampel Besar ................... 22
4.2 Estimasi Kekuatan Terhadap Distribusi Asimetris ................................ 25
4.2.1 Simulasi Terhadap Distribusi Asimetris Sampel Kecil ................... 26
4.2.2 Simulasi Terhadap Distribusi Asimetris Sampel Besar .................. 30
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ................................................................ 34
5.1 Kesimpulan ............................................................................................. 34
5.2 Saran ....................................................................................................... 34
REFERENSI ......................................................................................................... 35
xii
DAFTAR TABEL
Tabel 4.1 Kekuatan Uji terhadap Data Berdistribusi Beta Sampel Kecil ............. 16
Tabel 4.2 Kekuatan Uji terhadap Data Berdistribusi Cauchy Sampel Kecil ........ 16
Tabel 4.3 Kekuatan Uji terhadap Data Berdistribusi T-Student Sampel Kecil..... 17
Tabel 4.4 Rata-Rata Kekuatan terhadap Distribusi Pilihan Sampel Kecil ............ 18
Tabel 4.5 Rata-Rata Kekuatan untuk Distribusi Simetris Sampel Kecil .............. 18
Tabel 4.6 Kekuatan Uji terhadap Data Berdistribusi Simetris Sampel Besar ....... 19
Tabel 4.7 Rata-Rata Kekuatan terhadap Distribusi Pilihan Sampel Besar ........... 20
Tabel 4.8 Rata-Rata Kekuatan untuk Distribusi Simetris Sampel Besar .............. 21
Tabel 4.9 Kekuatan Uji terhadap Data Berdistribusi Asimetris Sampel Kecil ..... 23
Tabel 4.10 Rata-Rata Kekuatan terhadap Distribusi Asimetris Sampel Kecil ..... 24
Tabel 4.11 Rata-Rata Kekuatan untuk Distribusi Asimetris Sampel Kecil .......... 25
Tabel 4.12 Kekuatan Uji terhadap Data Berdistribusi Asimetris Sampel Besar .. 25
Tabel 4.13 Rata-Rata Kekuatan terhadap Distribusi Asimetris Sampel Besar ..... 27
Tabel 4.14 Rata-Rata Kekuatan untuk Distribusi Asimetris Sampel Besar .......... 27
xiii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 3.1 Alur Penelitian................................................................................... 13
Gambar 4.1 Plot Fungsi Kepadatan Distribusi Simetris yang Dipilih .................. 15
Gambar 4.2 Grafik Kekuatan untuk Data Distribusi Simetris Sampel Kecil ........ 18
Gambar 4.3 Grafik Kekuatan untuk Data Distribusi Simetris Sampel Besar ....... 21
Gambar 4.4 Plot Fungsi Kepadatan Distribusi Asimetris yang Dipilih ................ 23
Gambar 4.5 Grafik Kekuatan untuk Data Distribusi Asimetris Sampel Kecil ..... 25
Gambar 4.6 Grafik Kekuatan untuk Data Distribusi Asimetris Sampel Besar ..... 28
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Pada kodratnya, kehidupan manusia tidak akan terlepas dari suatu masalah
(kesulitan). Salah satu masalah yang sering dihadapi dalam ilmu pengetahuan
adalah bagaimana menginterpretasi data. Dan berhubungan dengan masalah
tersebut terdapat ayat yang menjelaskan untuk meyakinkan kita manusia agar
dapat menyelesaikan masalah tersebut. Ayat tersebut adalah terdapat pada
“Sesungguhnya bersama kesulitan ada kemudahan” (QS. Al-Insyirah:6)
Bahkan ayat ini diulang hingga dua kali, yang artinya bahwa di balik setiap
permasalahan itu selalu diikuti oleh solusinya. Dan solusi untuk permasalahan
menginterpretasikan data adalah ilmu statistika.
Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana melakukan pembelajaran
dengan mengumpulkan, mengatur, meringkas, menganalisis, dan menggambarkan
kesimpulan dari data. Metode statistika dibedakan menjadi statistika deskriptif
dan statistik inferensi: Pembagian tersebut didasarkan proses yang dilakukan
terhadap data. Statistika deskriptif adalah metode yang menjelaskan bagaimana
teknik-teknik pengumpulan dan peringkasan data sehingga mendapatkan
informasi yang penting dari data tersebut. Statistika inferensi adalah metode yang
mengeneralisasi hasil dari sampel menuju populasi, kekuatan estimasi dan uji
hipotesis, menentukan hubungan antara variabel, dan membuat prediksi [1].
Berdasarkan parameter untuk keperluan inferensi, statistika dibagi menjadi
statsitika parametrik dan statistika nonparametrik [2]. Statistika parametrik
digunakan untuk menganalisis data interval atau rasio, yang diambil dari populasi
yang berdistribusi normal. Sedangkan statistik non-parametris, digunakan untuk
menganalisis data nominal dan ordinal dari populasi yang bebas distribusi [3].
2
Asumsi kenormalan dibutuhkan untuk kebanyakan prosedur statistik [4].
Beberapa statistik parametrik terdapat teori-teori yang dapat digunakan
berdasarkan asumsi-asumsi tertentu [5]. Dalam menganalisis statistik parametrik,
salah satu asumsinya adalah populasi sampel harus diperoleh dari data yang
berdistribusi normal atau mendekati distribusi normal [1]. Jika asumsi kenormalan
dilanggar, interpretasi dan inferensi mungkin tidak dapat diandalkan atau tidak
valid [6].
Untuk memeriksa kenormalan ada beberapa cara metode statistik yang
digunakan. Cara termudah dengan quartile-quartile plot (Q-Q plot) atau histogram
dari data dan memeriksa bentuknya (jika berbentuk lonceng, maka data normal).
Selain menggunakan cara visualisasi/grafik untuk menguji kenormalan juga bisa
menggunakan uji statistik [1].
Uji statistik adalah proses ilustrasi pembuatan keputusan. Uji kenormalan
adalah uji hipotesis yang mengharapkan keputusan populasi sampel berasal dari
distribusi normal. Dalam uji statistik terdapat hipotesis nol (H0) dan hipotesis
alternative (Ha), di mana hipotesis nol adalah hipotesis yang menjadi dasar
perhatian dalam pengujian [7].
Dalam uji hipotesis terdapat dua jenis kekeliruan dalam penarikan kesimpulan.
Kesalahan jenis pertama adalah kesalahan pada saat menolak hipotesis nol ketika
hipotesis nol benar dan kesalahan jenis kedua adalah kesalahan pada saat
menerima hipotesis nol ketika hipotesis nol salah. Probabilitas kesalahan jenis
pertama disimbolkan α, sedangkan probabilitas kesalahan jenis kedua sama
dengan β. Kemudian probabilitas untuk menerima H0 ketika H0 benar adalah 1- α
dan nilai untuk menolak H0 ketika H0 salah adalah 1- β yang disebut juga sebagai
kekuatan uji [8].
Kekuatan uji atau 1- β adalah merupakan nilai atau perhitungan dari analisis
sensifitas dari uji yang dilakukan. Analisis sensitifitas dalam hal ini adalah
menghitung seberapa banyak penolakan hipotesis nol yang terjadi. Analisis
sensifitas yang biasa dilakukan adalah dengan melakukan simulasi.
Uji kenormalan memiliki formulasi yang berbeda-beda berdasarkan
karakteristik distribusi normal yang akan diuji, sehingga uji statistik ini di bagi
3
menjadi beberapa kelompok yaitu uji kenormalan berdasarkan fungsi distribusi
empiris, uji kenormalan berdasarkan uji momen, uji kenormalan berdasarkan uji
regresi dan korelasi, dan uji statistik berdasarkan uji khusus lainnya [9].
Setiap distribusi data memiliki momen ketiga dan keempat atau yang biasa
disebut skewness dan kurtosis. D’Agostino dan Belanger [10] merekomendasikan
uji kenormalan yang dilakukan berdasarkan skewness dan kurtosis adalah yang
terbaik dan terkuat. Skewness dan kurtosis pun dapat digunakan untuk
menjelaskan sebuah distribusi simetris atau tidak. Distribusi dapat dikatakan
simetris juga skewness atau moment ketiganya (√𝑏1) bernilai sama dengan 0. Uji
kenormalan yang dilakukan berdasarkan skewness dan kurtosis disebut juga uji
kenormalan berdasarkan uji momen.
Pada tahun 1990, D’Agostino dan Belanger [10] melakukan penelitian untuk
memperoleh sebuah uji kenormalan yang sangat kuat. Pada penelitian tersebut uji
kenormalan didapatkan dengan menggabungkan uji skewness dan kurtosis, yang
disebut juga uji D’Agostino-Pearson. Uji D’Agostino-Pearson diklaim sebagai uji
yang kuat dan informatif. Kemudian tahun 2002 Cho dan Im [11] melakukan
penelitian untuk uji kenormalan menggunakan skewness dan kurtosis yang pada
tahun 1935, 1936, dan 1947 sudah diperlajari lebih dahulu oleh R.C Geary. Dari
penelitian tersebut didapatkan bahwa dengan berdasarkan skewness dan kurtosis
uji Geary adalah uji yang lebih stabil pada sampel kecil. Kemudian Thewald dan
Buning [12] pada tahun 2007 melakukan perbandingan uji Jarque-Bera terhadap
kompetitornya dan menghasilkan uji Jarque-Bera memiliki perilaku yang sangat
baik terhadap data berdistribusi simetris dengan ekor yang panjang dan
kemiringan yang sedikit.
Berdasarkan hal di atas, peneliti tertarik untuk membandingkan ketiga uji
tersebut yaitu uji D’Agostino-Pearson, uji Geary, dan uji Jarque-Bera. Dimana
perbandingan ini akan dilakukan dengan menggunakan simulasi dan data yang
dibangkitkan berdasarkan metode monte carlo.
.
4
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah dipaparkan, peneliti akan membahas
permasalahan sebagai berikut:
1. Bagaimana hasil kekuatan uji D’Agostino-Pearson, Geary, Jarque Bera
terhadap data yang dibangkitkan?
2. Kekuatan uji mana yang terkuat untuk distribusi simetris dan asimetris
untuk ketiga metode?
3. Kekuatan uji mana yang terkuat untuk distribusi simetris dengan ukuran
kecil untuk ketiga metode?
1.3 Batasan Masalah
Untuk mempermudah dan menyederhanakan dalam pembahasan, peneliti
membatasi masalah sebagai berikut:
1. Sampel yang akan dibangkitkan adalah sampel berdistribusi simetris dan
asimetris dengan jumlah sampel kecil (n=10,15,20,25) dan sampel besar
(n=50,100,500,1000)
2. Distribusi data yang akan dibangkitkan untuk distribusi simetris sampel
kecil adalah data dengan distribusi Beta(0,1;0,1), (0,2;0,2), (0,3;0,3), (0.5;
0.5), (1;1), (1,1;1,1), (1,3;1,3), (1,7;1,7), (1,9;1,9) dan (2;2), distribusi
Cauchy(0;0,7), (0;0,9), (0;1), (0;1,4) dan (0;2), serta distribusi t-student(6),
(9), (12), (13), (17), (19) dan (20)
3. Distribusi data yang akan dibangkitkan untuk distribusi simetris sampel
besar adalah data dengan distribusi Beta(0.5; 0.5) dan (1;1), distribusi
Cauchy(0;0,5) dan (0;1), serta distribusi t-student(1) dan (4)
4. Distribusi data yang akan dibangkitkan untuk distribusi asimetris adalah
data dengan distribusi Beta(2;1) dan (2;5), distribusi Chi-square(2) dan
(10), distribusi Gamma(2;2) dan (5;1), serta distribusi Weibull(0,5;1) dan
(3;4).
5. Taraf signifikansi (α) = 5% dan jumlah simulasi yang dilakukan sebanyak
1000 kali.
5
1.4 Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan penelitian ini adalah:
1. Untuk mengetahui di antara uji DAP, Geary, JB terhadap data yang
dibangkitkan manakah yang terkuat.
2. Untuk mengetahui kekuatan uji yang terkuat untuk distribusi simetris dan
asimetris.
3. Untuk mengetahui kekuatan uji yang terkuat untuk distribusi simetris
dengan ukuran sampel kecil.
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian ini adalah untuk mendapatkan uji terbaik atau terkuat
berdasarkan uji momennya terhadap suatu distribusi dengan parameter yang
ditentukan. Selain itu, penelitian ini juga bermanfaat untuk menemukan uji
kenormalan berdasarkan uji momen yang mewakili uji untuk distribusi bersampel
kecil.
6
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Kenormalan Univariat
Hampir semua prosedur statistik, dan lebih khusus statistik inferensi
mengasumsikan sampel harus berdistribusi normal [13]. Kebanyakan metode
parametrik mengandalkan asumsi kenormalan. Hasil yang diperoleh dari metode
parametrik lebih kuat dibandingkan lawannya yaitu metode non-parametrik.
Bagaimanapun, agar inferensi menjadi valid maka asumsi kenormalan haruslah
terpenuhi [14].
Uji tentang kenormalan dimulai pada awal 1900 oleh Karl Pearson [15].
Selanjutnya beberapa dekade kemudian banyak peneliti mengembangkan statistik
uji untuk uji kenormalan [13]. Hipotesis uji kenormalan yang digunakan untuk
hipotesis nol (H0) sampel data berasal dari distribusi normal dan untuk hipotesis
alternatif (Ha) sampel data tidak berasal dari distribusi normal.
2.2 Uji Hipotesis
Uji hipotesis merupakan metode statistik yang menggunakan data sampel
untuk mengevaluasi hipotesis mengenai populasi [16]. Hipotesis yang dirumuskan
dengan harapan akan ditolak membawa penggunaan istilah hipotesis nol. Istilah
itu telah digunakan pada sembarang hipotesis yang ingin diuji dan dilambangkan
dengan H0. Penolakan H0 mengakibatkan penerimaan suatu hipotesis alternatif,
yang dilambangkan dengan Ha [17].
Definisi I. Hipotesis nol (H0) menyatakan bahwa dalam populasi secara umum
tidak ada perubahan tidak ada perbedaan atau tidak ada hubungan. Dalam konteks
suatu eksperimen H0 memprediksi variabel bebas (perlakuan) yang tidak
mempunyai efek terhadap variabel terikat dalam populasi [16].
2.3 Uji Kenormalan Berdasarkan Uji Momen
Uji kenormalan berdasarkan uji momen termasuk ke dalam uji kenormalan
univariate dan merupakan turunan dan pencocokan dari momen ketiga dan
7
keempat dari distribusi N(0,1) yang sama dengan 0 dan 3. Karena itu,
penyimpangan dari normalitas dapat dihitung menggunakan sampel momen, yaitu
koefisien skewness dan kurtosis.
√𝑏1 = 𝑛−1 ∑ ((𝑥𝑖−�̅�)
𝑠)3
𝑛𝑖=1 (1)
𝑏2 = 𝑛−1 ∑ ((𝑥𝑖−�̅�
𝑠)4
𝑛𝑖=1 (2)
Uji kenormalan yang berdasarkan momen ketiga dan keempat dapat
memberikan informasi tambahan tentang ketidaknormalan dengan nilai skewness
dan kurtosis [13].
2.4 Uji D’Agostino-Pearson
D’Agostino dan Pearson [18] menggabungkan dua uji statistik momen ketiga
dan keempat yaitu skewness (√𝑏1) dan kurtosis (𝑏2). Yang disajikan pada uji
statistik 𝐾2, berikut adalah uji statistik D’Agostino-Pearson 𝐾2:
𝐾2 = 𝑍2(√𝑏1) + 𝑍2(𝑏2) (3)
Dimana 𝑍2(√𝑏1) pendekatan normal terhadap √𝑏1:
𝑍(√𝑏1) = 𝛿 ln (𝑌
𝛼+ {(
𝑌
𝛼)2
+ 1}2
) (4)
Dengan Y, 𝛿, dan 𝛼 diperoleh dari:
𝑌 = √𝑏1 {(𝑛 + 1)(𝑛 + 3)
6(𝑛 − 2)}1/2
𝛽2(√𝑏1) = 3(𝑛2 + 27𝑛 − 70)(𝑛 + 1)(𝑛 + 3)
(𝑛 − 2)(𝑛 + 5)(𝑛 + 7)(𝑛 + 9)
𝑊2 = −1 + {2(𝛽2(√𝑏1) − 1)}1/2
𝛿 = 1/√ln𝑊
Dan
𝛼 = {2
𝑊2 − 1}1/2
8
Kemudian untuk 𝑍2(𝑏2) adalah pendekatan normal terhadap 𝑏2:
𝑍2(𝑏2) =
(
(1 −2
9𝐴) −
[ 1 −
2𝐴
1 + 𝑥√ 2𝐴 − 4]
13
)
/√2/(9𝐴)
Dengan A dan x diperoleh dari:
𝐸(𝑏2) =3(𝑛−1)
𝑛+1 dan 𝑣𝑎𝑟(𝑏2) =
24𝑛(𝑛−2)(𝑛−3)
(𝑛+1)2(𝑛+3)(𝑛+5)
𝑥 = (𝑏2 − 𝐸(𝑏2))/√𝑣𝑎𝑟(𝑏2)
√𝛽1(𝑏2) =6(𝑛2 − 5𝑛 + 2)
(𝑛 + 7)(𝑛 + 9)√
6(𝑛 + 3)(𝑛 + 5)
𝑛(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)
𝐴 = 6 + 8
√𝛽1(𝑏2)[
2
√𝛽1(𝑏2)+ √(1 +
4
𝛽1(𝑏2))]
Hipotesis nol akan ditolak jika nilai uji statistik K2 lebih besar daripada nilai
Tabel Chi-square dengan hipotesis nol adalah data berasal dari distribusi normal.
Nilai uji statistik K2 mengikuti nilai Tabel Chi-square dengan derajat kebebasan 2
disimbolkan dengan 𝑋𝛼2(2).
2.5 Uji Geary
Bonnet dan Seier [19] pada tahun 2002 mengusulkan dua Uji Omnibus
menggunakan momen Geary, yaitu:
𝐺𝑤2 = [𝑍(√𝑏1)]
2 + (𝑍𝑤)2
dan
𝐺𝑤2∗ = [𝑎(√𝑏1)]
2 + (𝑍𝑤)2
Dengan 𝑍(√𝑏1) telah dibahas pada persamaan (4), 𝑎 = 𝑛/ [(𝑛 − 2)√6
𝑛+1] dan
𝑍𝑤 = (𝑛 + 2)1 2⁄ (�̂� − 3) 3,54⁄
9
Dimana �̂� diperoleh dari:
�̂� = 𝑛−1 ∑ |𝑥𝑖 − �̅�|𝑛
𝑖=1
�̂� = 𝑛−1 ∑ (𝑥𝑖 − �̅�)2𝑛
𝑖=1
�̂� = 13,29(𝑙𝑛�̂� − 𝑙𝑛�̂�)
Hipotesis nol akan ditolak jika statistik uji |𝑍2| > 𝑍𝛼/2.
Cho dan Im [11] (2002) melakukan modifikasi statistik Geary dengan
mengambil momen sampel pertama dan kedua smj, yaitu:
𝑠𝑚𝑗 = (1 𝑛⁄ )∑ |𝑠𝑔𝑛(𝑥 − �̅�)(𝑥 − �̅�)𝑗|,𝑛𝑖=1
untuk 𝑗 = 1, 2, 3, … akan diperoleh statistik uji berikut:
𝐺 = 𝑛[(𝑎1−(2 𝜋⁄ )1 2⁄ )2
(1−(3 𝜋⁄ ))+
𝑎22
(3−(8 𝜋⁄ ))] (5)
dengan 𝑎𝑗 = 𝑠𝑚𝑗 �̂�𝑗⁄ , 𝑗 = 1, 2, … dan 𝑠𝑔𝑛(𝑥 − �̅�) adalah sign dari (𝑥 − �̅�) yang
dapat dinyatakan sebagai
𝑠𝑔𝑛(𝑥 − �̅�) = {
−1, 𝑗𝑖𝑘𝑎 (𝑥 − �̅�) < 0
0, 𝑗𝑖𝑘𝑎 (𝑥 − �̅�) = 0
1, 𝑗𝑖𝑘𝑎 (𝑥 − �̅�) > 0
Hipotesis nol akan ditolak jika nilai uji statistik G lebih besar daripada nilai
Tabel Chi-square dengan hipotesis nol adalah data berasal dari distribusi normal.
Nilai uji statistik G mengikuti nilai Tabel Chi-square dengan derajat kebebasan 2
disimbolkan dengan 𝑋𝛼2(2) [11].
2.6 Uji Jarque Bera
Uji Jarque-Bera adalah uji yang sangat popular untuk uji goodness of fit pada
bidang ekonomi [20]. Diketahui dari penelitian Jarque dan Bera (1987) [21]
statistik uji merupakan pendekatan pengujian menggunakan skewness (√𝑏1) dan
kurtosis (𝑏2). Statistik ujinya disimbolkan dengan JB dan formulasi statisk uji JB:
𝐽𝐵 =𝑛
6((√𝑏1)
2+
(𝑏2−3)2
4) (6)
10
Statistik JB secara asimtotis berdistribusi Chi-square dengan derajat kebebasan
2 atau 𝑋𝛼2(2). Hipotesis nol akan ditolak jika nilai statistik JB lebih besar daripada
nilai Tabel Chi-square dengan derajat kebebasan 2 atau 𝑋𝛼2(2) dengan hipotesis
nol adalah data berasal dari distribusi normal.
2.7 Distribusi Probabilitas Kontinu
Distribusi probabilitas bagi peubah acak kontinu tidak dapat disajikan dalam
bentuk Tabel, akan tetapi distribusinya dapat dinyatakan dalam persamaan yang
merupakan fungsi nilai-nilai peubah acak kontinu dan dapat diGambarkan dalam
bentuk kurva [22]. Pada penelitian ini, distribusi yang digunakan adalah distribusi
Beta, Cauchy, t-student, Chi-square, Gamma, dan Weibull.
2.7.1 Distribusi Beta
Sebuah peubah acak dikatakan berdistribusi Beta, jika fungsi kepadatannya
adalah:
𝑓(𝑥) = {
𝑥𝛼−1(1 − 𝑥)𝛽−1
𝐵(𝛼, 𝛽), 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 0 < 𝑥 < 1
0, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
Dimana 𝐵(𝛼, 𝛽) adalah fungsi Beta:
𝐵(𝛼, 𝛽) = Γ(α + β)
Γ(α)Γ(β)
Jika α, β positif, rata-rata dan variansi adalah:
𝜇 =𝛼
𝛼 + 𝛽, 𝜎2 =
𝛼𝛽
(𝛼 + 𝛽)2(𝛼 + 𝛽 + 1)
Untuk α = β grafik fungsi kepadatan akan membentuk grafik simetris dan khusus
untuk α = β = 1 akan menjadi distribusi U(0,1) [23].
2.7.2 Distribusi Cauchy
Sebuah peubah acak X dikatakan berdistribusi Cauchy, jika fungsi kepadatannya
adalah:
𝑓(𝑥) = 𝑎
𝜋(𝑥2 + 𝑎2), 𝑎 > 0,−∞ < 𝑥 < ∞
11
Fungsi kepadatan ini simetris pada sekitar x = 0 sehingga mediannya adalah 0.
Namun, rata-rata, variansi, dan momennya tidak ada serta demikian pula untuk
fungsi pembangkit momennya [23].
2.7.3 Distribusi t-student
Sebuah peubah acak dikatakan berdistribusi t-student, jika fungsi kepadatan
adalah:
𝑓(𝑡) = Γ (
𝑣 + 12 )
√𝑣𝜋Γ (𝑣2)
(1 +𝑡2
𝑣)
−(𝑣+1)/2
, −∞ < 𝑡 < ∞
Dengan v adalah derajat kebebasan. Jika v besar (𝑣 ≥ 30), grafik f(t) mendekati
kurva distribusi normal standar [23].
2.7.4 Distribusi Chi-square
Fungsi kepadatan distribusi Chi-square, dengan v adalah derajat kebebasannya
didefinisikan sebagai berikut:
𝑓(𝑥) = {
1
2𝑣2Γ(
v2)
𝑥(𝑣2)−1𝑒−𝑥/2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 > 0
0, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 ≤ 0
2.7.5 Distribusi Gamma
Sebuah peubah acak X dikatakan berdistribusi Gamma, jika fungsi kepadatannya
adalah:
𝑓(𝑥) = {𝑥𝛼−1𝑒−𝑥/𝛽
𝛽𝛼Γ(𝛼), 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 > 0
0, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 ≤ 0
Dimana Γ(𝛼) adalah fungsi Gamma. Rata-rata dan variansinya adalah:
𝜇 = 𝛼𝛽, 𝜎2 = 𝛼𝛽2
Fungsi pembangkit momen dan fungsi karakteristiknya adalah:
𝑀(𝑡) = (1 − 𝛽𝑡)−𝛼, Φ(𝜔) = (1 − 𝛽𝑖𝜔)−𝛼
12
2.7.6 Distribusi Weibull
Fungsi kepadatan peluang distribusi Weibull sebagai berikut:
𝑓(𝑥) = {𝑎𝑏𝑥𝑏−1𝑒−𝑎𝑥𝑏, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 > 0
0 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 ≤ 0
Untuk rata-rata dan variansi sebagai berikut:
𝜇 = 𝑎−1𝑏Γ(1 +
1
b) 𝑑𝑎𝑛 𝜎2 = 𝑎−2/𝑏Γ [(1 +
2
b) − Γ2 (1 +
1
𝑏)]
13
BAB III
METODOLOGI PENELITIAN
Penelitian ini berupa studi literatur. Metode yang digunakan adalah dengan
mempelajari karya ilmiah, jurnal, dan buku yang sudah ada yang berhubungan
pada pembahasan penelitian ini.
3.1 Data Bangkitan
Karena penelitian ini berupa studi literatur maka data yang akan digunakan
berupa data bangkitan acak. Data bangkitan acak ini telah tersedia pada beberapa
program matematika (built in). Pada penelitian ini langkah-langkah yang akan
dilakukan adalah sebagai berikut:
1. Menentukan banyak simulasi (pengulangan)
2. Menentukan jumlah sampel untuk setiap distribusinya
3. Menentukan distribusi apa saja yang akan dibangkitkan
4. Menentukan masing-masing parameter untuk setiap distribusi
5. Menghitung skewness data guna mengetahui distribusi yang dibangkitkan
termasuk ke dalam distribusi simetri atau asimetris.
6. Setelah menentukan distribusi dan parameter data yang akan dibangkitkan,
data akan dibangkitkan berulang kali sebanyak simulasi yang akan
dilakukan.
3.2 Metode Analisis
Proses analasis data yang dilakukan sama dengan analasis kesensitifan
terhadap sebuah uji kenormalan guna mendeteksi ketidaknormalan data. Berikut
adalah langkah-langkah proses analisis kekuatan uji kenormalan:
1. Menguji kenormalan pada masing-masing data bangkitan untuk ketiga
metode dengan prosedur pengujian sebagai berikut:
a. Hipotesis
𝐻0 : sampel acak berasal dari populasi berdistribusi normal
14
𝐻𝑎 : sampel acak tidak berasal dari populasi berdistribusi normal
b. Tingkat signifikansi (α)
c. Daerah kritis
𝑋𝛼2(2)
d. Statistik uji
Statistik uji D’Agostino-Pearson menggunakan persamaan (3).
Statistik uji Geary menggunakan persamaan (4).
Statistik uji Jarque Bera menggunakan persamaan (5).
e. Kesimpulan
H0 ditolak jika nilai uji statistik > 𝑋𝛼2(2)
2. Dari hasil pengujian yang telah dilakukan sebanyak penentuan simulasi,
hitung jumlah H0 yang ditolak
3. Membandingkan jumlah H0 dari ketiga uji kenormalan.
15
3.3 Alur Penelitian
Gambar 3.1 Alur Penelitian
Menghitung jumlah 𝐻0
yang ditolak
Untuk data berdistribusi simetris sampel besar dibangkitkan
distribusi Beta(0.5; 0.5) dan (1;1), distribusi Cauchy(0;0,5) dan (0;1),
serta distribusi t-student(1) dan (4) dan data berdistribusi asimetris
dibangkitkan bilangan acak berdistribusi Beta(2;1), Beta(2;5), Chi-
square(2), Chi-square(4), Gamma(2;2), Gamma(5;1), Weibull(2,3),
Weibull(1,0.5), dan Weibull(1,2) sebanyak 1000 kali untuk setiap
ukuran sampel
Menghitung persentase
menolak 𝐻0
Membuat Tabel & grafik antara n dan
persentase menolak 𝐻0 untuk masing-
masing distribusi
Menentukan banyaknya
simulasi (1000)
Menentukan banyak sampel (n) untuk setiap
bilangan acak yang dibangkitkan (10, 15,
20, 25, 50, 100, 500, 1000)
Uji kenormalan pada masing-masing bangkitan
bilangan acak dengan 𝛼 = 5%
Kesimpulan dengan
membandingkan ketiga
metode uji kenormalan
Untuk data berdistribusi simetris sampel kecil
dibangkitkan bilangan acak berdistribusi distribusi
Beta(0,1;0,1), (0,2;0,2), (0,3;0,3), (0.5; 0.5), (1;1),
(1,1;1,1), (1,3;1,3), (1,7;1,7), (1,9;1,9) dan (2;2), distribusi
Cauchy(0;0,7), (0;0,9), (0;1), (0;1,4) dan (0;2), serta
distribusi t-student(6), (9), (12), (13), (17), (19) dan (20)
sebanyak 1000 kali untuk setiap banyak sampel
Mulai
16
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bagian ini akan dipaparkan hasil dari simulasi pengujian kenormalan
untuk distribusi simetris sampel kecil dan besar serta distribusi asimetris sampel
kecil dan besar dengan pengulangan sebanyak 1000 kali.
4.1 Estimasi Kekuatan Terhadap Distribusi Simetris
Distribusi simetris adalah dimana rata-rata, median, dan modus bertepatan
dengan satu sama lain dengan kedua bagian distribusi adalah bayangan cermin
satu sama lain atau dapat dikatakan distribusi yang dimana fungsi kepadatan
distribusi tersebut ketika digambarkan grafiknya akan membentuk suatu kurva
yang simetris, namun tidak selalu berbentuk simetris. Dalam hal ini, akan
dilakukan simulasi guna mengestimasi kekuatan uji D’Agostino-Pearson, uji
Geary, dan uji Jarque-Bera terhadap distribusi simetris. Distribusi simetris yang
dipilih untuk digunakan dalam simulasi ini adalah distribusi Beta, Cauchy, dan t-
student. Dimana parameter distribusi Beta (0,1;0,1), (0,2;0,2), (0,3;0,3), (0.5; 0.5),
(1;1), (1,1;1,1), (1,3;1,3), (1,7;1,7), (1,9;1,9) dan (2;2), distribusi Cauchy (0;0,7),
(0;0,9), (0;1), (0;1,4) dan (0;2), serta distribusi t-student (6), (9), (12), (13), (17),
(19) dan (20). Pemilihan parameter distribusi ini didasari oleh pemenuhan syarat
sehingga menjadi satu distribusi simetris. Berikut contoh plot fungsi kepadatannya
dari beberapa distribusi dan parameter yang simetris.
17
Gambar 4.1 Plot Fungsi Kepadatan Distribusi Simetris yang Dipilih
Berdasarkan Gambar 4.1 dapat dilihat distribusi Beta, Cauchy, dan t-
student dengan parameter yang sudah ditentukan sebagian besar membentuk
kurva yang simetris layaknnya distribusi normal, namun distribusi Beta, Cauchy,
dan t-student adalah distribusi non-normal.
4.1.1 Simulasi Terhadap Distribusi Simetris Sampel Kecil
Simulasi ini akan menggunakan distribusi bersifat simetris dengan masing-
masing distribusi menggunakan dua parameter yang berbeda-beda, yaitu distribusi
Beta dengan parameter (0,1;0,1), (0,2;0,2), (0,3;0,3), (0.5; 0.5), (1;1), (1,1;1,1),
(1,3;1,3), (1,7;1,7), (1,9;1,9) dan (2;2), distribusi Cauchy dengan parameter
(0;0,7), (0;0,9), (0;1), (0;1,4) dan (0;2), serta distribusi t-student dengan derajat
kebebasan 6, 9, 12, 13, 17, 19, dan 20. Pemilihan parameter di atas berdasarkan
nilai skewness pada Tabel 4.1, 4.2, dan 4.3. Dikarenakan simulasi terhadap
sampel kecil atau n < 30, peneliti memilih jumlah sampel yaitu 10, 15, 20, dan 25.
18
Simulasi ini dilakukan dengan melakukan prosedur uji statistik terhadap data
dari beberapa distribusi yang dibangkitkan dan dilakukan sebanyak 1000 kali.
Setelah melakukan pengujian seperti di atas, estimasi kekuatan uji dengan
menghitung seberapa banyak hipotesis nol atau H0 tertolak dimana H0 tersebut
adalah data berasal dari distribusi normal kemudian dibagi dengan sebanyak 1000
kali. Setelah dilakukan simulasi sebanyak 1000 kali untuk mendeteksi
ketidaknormalan distribusi-distribusi yang terpilih digunakan uji statistik
D’Agostino-Pearson, Geary, Jarque Bera dengan taraf signifikansi 0.05 atau 5%
diperoleh hasil seperti Tabel 4.1, 4.2, dan 4.3.
Tabel 4.1: Kekuatan Uji terhadap Data Berdistibusi Beta Simetris Sampel Kecil
Parameter Skewness
(√𝑏1)
n = 10 (%) n = 15 (%) n = 20 (%) n = 25 (%)
DAP G JB DAP G JB DAP G JB DAP G JB
(0,1;0,1) 0,06 52,8 68,8 9,3 83,2 86,9 3,7 92,2 96 3,9 97,7 98,3 15
(0,2;0,2) -0,05 32,8 54,4 5,2 66,1 80,8 3,1 85,9 91,6 2,9 94,7 96,3 4,7
(0,3;0,3) -0,03 20,3 43,9 4,8 49,2 69,7 2,6 76,6 85,8 0,9 90,4 92,6 1,2
(0,5;0,5) 0,01 8,8 33,8 2,3 25,9 51,8 1,2 49,8 66,3 1,1 71,7 78,7 0,6
(1;1) -0,04 2,8 18,9 1,7 6,3 26,1 1,2 14,7 35,7 0,3 23,7 45 0,1
(1,1;1,1) -0,03 2,2 15,6 1,8 6 21,9 0,3 10,4 31 0,5 22,8 35,6 0,2
(1,3;1,3) 0,05 2,5 12,4 1,6 3,8 19,6 0,6 8,5 23,3 0,5 14,9 32,6 0,2
(1,7;1,7) -0,00 2,2 11,1 1,1 2,9 14,5 1,2 5,6 17,6 0,1 9,1 23,6 0,3
(1,9;1,9) 0,01 2,7 10,1 2,1 2,3 13 0,4 4,1 15,1 0,4 7,2 19,8 0,5
(2;2) -0,00 2 10,1 2,1 2,9 12,8 0,9 3,9 13,6 0,4 4,2 20,5 0,3
Tabel 4.1 menampilkan hasil kekuatan pengujian kenormalan ketiga metode
untuk distribusi Beta simetris dengan 10 parameter yang berbeda. Dari Tabel 4.1
diperoleh bahwa uji Geary memiliki kekuatan yang lebih baik dari dua uji lainnya
untuk setiap parameter. Kekuatan uji Geary terus meningkat untuk sampel yang
semakin besar.
Kemudian untuk kekuatan uji ketiga metode terhadap distribusi Cauchy
simetris akan ditampilkan pada Tabel 4.2. Pada Tabel 4.2 distribusi Cauchy
simetris ini terdapat 5 parameter.
19
Tabel 4.2: Kekuatan Uji terhadap Data Berdistibusi Cauchy Simetris Sampel
Kecil
Parameter Skewness
(√𝑏1)
n = 10 (%) n = 15 (%) n = 20 (%) n = 25 (%)
DAP G JB DAP G JB DAP G JB DAP G JB
(0;0,7) 0,2 61,4 47,2 59,3 75,1 76,1 77,6 85,2 88 86,4 88,7 93,9 90,2
(0;0,9) -0,09 60,5 50 62,2 76,2 76,6 74,9 85,6 87,5 84,7 90,6 94 91,8
(0;1) -0,00 59,7 46,6 57,9 78 73,6 76 85,6 88,6 87,3 90,1 94,6 91,7
(0;1,4) 0,23 58,6 47,8 58,4 76 73 76,1 84,5 87,2 86 92,2 94,3 92,2
(0;2) 0,12 62,3 48,8 55,1 75,5 75,6 75,6 87,4 86,9 87,7 91,1 93,9 92
Dari Tabel 4.2 dapat dilihat bahwa distribusi Cauchy untuk n=10 dan 15 uji
yang terkuat berturut-turut adalah uji D’Agostino-Pearson dan uji Jarque Bera
yang mencapai kekuatan melebihi 60%, namun uji Geary juga memiliki kekuatan
yang tidak berselisih jauh dengan dua uji tersebut. Dan untuk n=20 dan 25 uji
Geary menjadi yang terkuat dengan kekuatannya telah melebihi 85% yang
menunjukkan bahwa uji Geary baik dalam mendeteksi ketidaknormalan.
Dan hasil kekuatan dari ketiga metode uji kenormalan untuk distribusi t-
student simetris akan ditampilkan pada Tabel 4.3. Untuk distribusi t-student ini
telah dipilih 7 derajat bebas yang membuat distribusi t-student menjadi simetris.
Tabel 4.3: Kekuatan Uji terhadap Data Berdistibusi t-student Simetris Sampel
Kecil
DB Skewness
(√𝑏1)
n = 10 (%) n = 15 (%) n = 20 (%) n = 25 (%)
DAP G JB DAP G JB DAP G JB DAP G JB
6 -0,04 11,6 5,6 10,6 16,7 11,2 16,3 18,6 13,6 17,9 22,6 18,7 22,8
9 -0,09 11,6 4,1 10 10,3 7 10,8 13,9 7,7 13,1 16,7 12,4 15
12 0,06 7,4 4,2 8,9 11,3 6,5 11,3 11 9,1 9 14,6 7,2 12,4
13 0,13 7,1 2,8 6,9 10,7 6,2 9,8 10 6,3 10,4 12,1 8,3 12,1
17 0,05 8,2 2,3 7,6 8,5 5,6 8 9,6 6,2 8,8 10,9 6,7 9
19 -0,08 7,7 2,4 5,3 8,6 5,4 9,5 7,7 5,7 8,2 10,2 6,5 10,5
20 0,04 7,3 3,1 6,9 7,2 3,6 6,6 10,2 4,6 7 11 6 7,8
Pada Tabel 4.3 ketiga metode uji kenormalan memiliki kekuatan yang sangat
kecil untuk mendeteksi ketidaknormalan. Untuk distribusi t-student dengan
derajat kebebasan yang ditentukan, uji Geary menjadi yang terlemah dari dua uji
lainnya. Dan untuk uji D’Agostino-Pearson dan uji Jarque Bera dapat dikatakan
20
memiliki kekuatan yang hampir sama untuk setiap derajat kebebasan dan jumlah
sampel yang ditentukan. Walaupun adanya uji terbaik dari salah satu uji yang ada
terhadap distribusi t-student, namun ketiga uji tersebut tidak cocok terhadap
distribusi t-student karena kekuatan < 20.
Hasil di atas telah menunjukkan kekuatan dari setiap metode uji kenormalan
untuk setiap distribusi dengan parameter yang berbeda-beda, dan setiap banyak
sampel. Untuk distribusi Beta semua sampel dan parameter uji Geary
mendominasi dua uji lainnya. Kemudian distribusi Cauchy untuk jumlah sampel
10 dan 15 berturut-turut uji D’Agostino-Pearson dan uji Jarque Bera memiliki
kekuatan yang lebih baik dari uji Geary, namun selisih kekuatan uji Geary dengan
dua uji lainnya tidak jauh. Sedangkan untuk jumlah sampel 20 dan 25 uji Geary
lebih kuat dari dua uji lainnya. Dan untuk distribusi t-student kekuatan uji Geary
tidak memiliki kekuatan yang lebih baik dibandingkan dua uji lainnya untuk
setiap derajat kebebasan dan jumlah sampel. Dari penjelasan di atas penulis
tertarik untuk melihat kekuatan uji untuk setiap n (banyak sampel) yang
ditampilkan pada Gambar 4.2.
Gambar 4.2 Grafik Kekuatan untuk Data Distribusi Simetris Sampel Kecil
Gambar 4.2 menunjukkan ketiga uji kenormalan untuk setiap n (banyak
sampel). Kekuatan uji dari grafik di atas diperoleh dengan menghitung rataan
kekuatan uji untuk semua distribusi pada setiap n (banyak sampel). Terlihat jelas
bahwa uji Geary untuk setiap n lebih baik dari dua uji lainnya. Dan ketiga uji
0
20
40
60
80
100
10 15 20 25
Distribusi Simetris Sampel Kecil
DAP G JB
21
kenormalan tersebut menunjukkan peningkatan kekuatan dengan bertambahnya
banyak sampel.
Berdasarkan grafik di atas, peneliti juga bermaksud untuk mengestimasi
kekuatan ketiga uji statistik untuk setiap distribusi dengan mengabaikan parameter
dan sampel yang telah dipilih. Berikutnya akan ditampilkan pada Tabel 4.4
kekuatan tiga uji kenormalan terhadap distribusi Beta, Cauchy, dan t-student
dengan menghitung rata-rata dari Tabel 4.1, 4.2, dan 4.3.
Tabel 4.4 Rata-Rata Kekuatan Uji Kenormalan terhadap Setiap Distribusi Pilihan
Sampel Kecil
Distribusi DAP (%) G (%) JB (%)
Beta 30,5 43,02 2,21
Cauchy 78,2 76,21 78,2
t-student 11,2 6,75 10,4
Melihat apa yang telah ditampilkan Tabel 4.4, untuk distribusi Beta simetris
sampel kecil besar kekuatan terkuat dalam mendeteksi ketidaknormalan sebesar
43,02 yang diraih oleh uji Geary. Kemudian untuk distribusi Cauchy uji
D’Agostino-Pearson dan uji Jarque Bera memiliki kekuatan yang sama yaitu 78,2,
namun uji Geary memiliki kekuatan sebesar 76,21 yang menunjukkan selisih
kekuatan tidak begitu jauh dan t-student sampel kecil kekuatan terkuat terdapat
pada uji D’Agostino-Pearson dengan kekuatan sebesar 11,2.
Selain itu juga peneliti tertarik untuk menampilkan kekuatan ketiga uji
statistik yang dibahas dengan menghitung rata-rata kekuatan setiap uji untuk
semua distribusi pada Tabel 4.5. Berikut adalah Tabel kekuatan uji statistik yang
dibahas untuk distribusi simetris sampel kecil.
Tabel 4.5 Rata-Rata Kekuatan untuk Distribusi Simetris Sampel Kecil
Uji Kenormalan Kekuatan (%)
DAP 39,95
G 41,99
JB 30,27
22
Dari Tabel 4.5 di atas dapat disimpulkan bahwa ketiga uji statistik yang
dibahas belum ada yang memiliki kekuatan di atas 80% dalam mendeteksi
ketidaknormalan terhadap distribusi simetris sampel kecil. Namun, dari tiga uji
statistik yang dibahas uji Geary memiliki kekuatan yang terbaik sebesar 41,99.
4.1.2 Simulasi Terhadap Distribusi Simetris Sampel Besar
Simulasi ini tetap menggunakan distribusi simetris dan parameter yang sama
dengan sebelumnya, tetapi menggunakan sampel yang besar atau n > 30. Jumlah n
yang dipilih peneliti untuk menjadi acuan adalah 50, 100, 500, dan 1000. Sebab
diadakannya pemilihan sampel besar guna mengetahui kekuatan tiga uji statistik
yang dibahas terhadap data yang tergambar sifat data tersebut. Dengan kondisi
data yang bersampel besar seharusnya estimasi kekuatan dari uji statistik yang
dibahas lebih baik dari sampel kecil. Dalam hal ini, peneliti akan menampilkan
kembali hasil simulasi untuk distribusi simetris sampel besar pada Tabel 4.6.
Tabel 4.6: Kekuatan Uji terhadap Data Berdistibusi Simetris Sampel Besar
Distribusi n = 50 (%) n = 100 (%) n = 500 (%) n = 1000 (%)
DAP G JB DAP G JB DAP G JB DAP G JB
Beta (0,5;0,5) 99,2 98,4 39 52,38 100 99 52,38 100 100 52,38 100 100
(1;1) 79,1 75,3 0,7 99,6 96,3 72,9 100 100 100 100 100 100
Cauchy (0;0,5) 99,1 99,8 99,6 100 100 100 100 100 100 100 100 100
(0;1) 98,9 99,9 99,5 100 100 100 100 100 100 100 100 100
t-student 1 99,2 100 99,7 99,9 100 100 100 100 100 100 100 100
4 52,6 55,1 54,2 73,1 79,6 79,1 100 100 100 100 100 100
Pada Tabel 4.6 dapat dilihat bahwa estimasi kekuatan untuk setiap distribusi
dengan parameter yang dipilih untuk setiap n-nya rata-rata kekuatannya di atas
80%, yang menandakan ketiga uji tersebut baik dalam mendeteksi
ketidaknormalan pada data yang dipilih. Namun, peneliti ingin mencari kekuatan
yang terbaik dari ketiga uji tersebut untuk setiap distribusi simetris yang dipilih.
Distribusi Beta dengan parameter (0,5;0,5) kembali diungguli uji Geary untuk
n = 100, 500, 1000, tetapi untuk n = 500 dan 1000 uji Geary ditemani oleh uji
23
Jarque Bera dengan kekuatan 100. Dan untuk n = 50 uji D’Agostino-Pearson
menjadi yang terkuat dengan kekuatan sebesar 99,2. Kemudian untuk parameter
(1;1) dengan n = 500 dan 1000 ketiga uji memiliki kekuatan yang sama dan
terkuat sebesar 100, untuk n= 50 dan 100 uji D’Agostino-Pearson menjadi yang
terkuat dengan kekuatan 79,1 dan 99, 6.
Selanjutnya distribusi Cauchy dengan parameter (0;0,5) dan (0;1) ketiga uji
memiliki kekuatan yang sangat signifikan dalam mendeteksi ketidaknormalan
data yang berdistribusi Cauchy sampel besar. Untuk parameter (0;0,5) dan n = 50
uji Jarque Bera menjadi terkuat dengan kekuatan 99,6, kemudian untuk parameter
(0;1) n = 50 uji Geary menjadi terkuat dengan kekuatan 99,9. Dan untuk n = 100,
500 dan 1000 ketiga uji ini memiliki kekuatan yang sama untuk semua parameter
yang dipilih yaitu sebesar 100.
Terakhir distribusi t-student dengan derajat kebebasan = 1, untuk semua n uji
terbaik mencapai 100. Untuk n = 50 adalah uji Geary, kemudian n = 100 uji Geary
dan Jarque Bera yang terkuat. Dan n = 500 dan 1000 ketiga uji yang dibahas
mencapai kekuatan maksimal. Sedangkan t-student derajat kebebasan = 4, n= 500
dan 1000 ketiga uji yang dibahas mencapai kekuatan maksimal dan untuk n = 50
dan 100 uji Geary menjadi yang terkuat dengan kekuatan masing-masing 55,1 dan
79,6. Selain itu, dibawah ini akan dijelaskan kekuatan uji untuk setiap n (banyak
sampel) dengan mengabaikan distribusi yang ada melalui Gambar 4.3.
Gambar 4.3 Grafik Kekuatan untuk Data Distribusi Simetris Sampel Besar
Pada Gambar 4.3 terlihat bahwa kekuatan tiga uji yang dibahas meningkat
dengan bertambahnya banyak sampel. Dan ketiga uji tersebut untuk sampel besar
0
20
40
60
80
100
50 100 500 1000
Distribusi Simetris Sampel Besar
DAP G JB
24
memiliki kekuatan di atas 50%. Serta terlihat juga bahwa uji Geary untuk n = 50
sampai n = 1000, selalu memiliki kekuatan yang terkuat dari dua uji lainnya.
Berdasarkan pembahasan di atas, secara umum telah dapat dilihat hasil
simulasi dalam mengestimasi kekuatan uji statistik yang dibahas. Kemudian,
peneliti bermaksud akan mengestimasi kekuatan dengan menghitung rata-rata dari
Tabel 4.6 setiap distribusi simetris sampel besar dengan mengabaikan parameter
dan jumlah sampel yang dipilih. Rata-rata kekuatan untuk setiap distribusi
simetris sampel besar yang dipilih akan ditampilkan pada Tabel 4.7.
Tabel 4.7: Rata-Rata Kekuatan Uji Kenormalan terhadap Setiap Distribusi Pilihan
Sampel Besar
Distribusi DAP (%) G (%) JB (%)
Beta 79,38 96,25 76,45
Cauchy 99,75 99,96 99,88
t-student 90,6 91,83 91,62
Pada Tabel 4.7 menunjukkan bahwa uji Geary adalah yang terkuat dari dua
uji lainnya untuk tiga distribusi simetris yang dipilih dalam sampel besar.
Kekuatan uji Geary untuk distribusi di atas berturut-turut adalah 96,25, 99,96, dan
91,83.
Dari Tabel 4.7 peneliti akan menghitung rata-rata guna mengetahui kekuatan
tiga uji statistik yang dibahas terhadap distribusi simetris sampel besar. Rata-rata
tersebut akan ditampilkan pada Tabel 4.8.
Tabel 4.8: Rata-Rata Kekuatan Uji terhadap Distribusi Simetris Sampel Besar
Uji Statistik Kekuatan (%)
DAP 89,91
G 96,01
JB 89,32
Dari Tabel 4.8 di atas dapat disimpulkan bahwa ketiga uji statistik yang
dibahas memiliki kekuatan di atas 80% dalam mendeteksi ketidaknormalan
25
terhadap distribusi simetris sampel besar. Namun, dari tiga uji statistik yang
dibahas uji Geary memiliki kekuatan yang terbaik sebesar 96,01.
4.2 Estimasi Kekuatan Terhadap Distribusi Asimetris
Distribusi asimetris adalah saat dimana rata-rata data tidak bertepatan dengan
puncak distribusi, dan salah satu ‘ekor’ distribusi lebih panjang dari yang lain atau
biasa dikenal dengan distribusi miring positif ataupun distribusi miring negatif.
Dalam hal ini akan dilakukan simulasi yang berdasarkan simulasi monte carlo
dengan data bangkitan secara acak. Data yang dibangkitkan akan
ditransformasikan ke dalam suatu distribusi yang dipilih. Distribusi yang dipilih
adalah distribusi Beta, Chi-square, Gamma, dan Weibull dengan parameter yang
sudah ditentukan juga sehingga dapat menjadi distribusi asimetris. Untuk
parameter distribusi Beta yang dipilih adalah (2;1) dan (2;5), kemudian parameter
distribusi Gamma (2;2) dan (5;1), dan parameter distribusi Weibull adalah (0,5;1)
dan (3;4), serta untuk distribusi Chi-square derajat kebebasan yang dipilih adalah
2 dan 10. Estimasi kekuatan terhadap distribusi asimetris dibagi menjadi dua
bagian yaitu, estimasi kekuatan uji D’Agostino-Pearson, uji Geary, dan uji Jarque
Bera terhadap distribusi asimetris bersampel kecil (n<30) dan estimasi kekuatan
uji D’Agostino-Pearson, uji Geary, dan uji Jarque Bera terhadap distribusi
asimetris bersampel besar (n >= 30). Berikut adalah gambar plot fungsi kepadatan
untuk setiap distribusi asimetris dan parameter yang dipilih.
26
Gambar 4.4 Plot Fungsi Kepadatan Distribusi Asimetris yang Dipilih
Gambar 4.4 telah menampilkan plot fungsi kepadatan dari distribusi Beta
dengan parameter (2;1) dan (2;5) tidak terlihat simetris begitupun distribusi Chi-
square, Gamma, dan Weibull dengan parameter yang dipilih tidak berbentuk
simetris sama sekali.
4.2.1 Simulasi Terhadap Distribusi Asimetris Sampel Kecil
Simulasi ini menggunakan data yang dibangkitkan secara acak kemudian
ditransformasi menjadi suatu distribusi asimetris dengan parameter yang dipilih.
Distribusi yang dipilih untuk kasus ini adalah distribusi Beta dengan parameter
(2;1) dan (2;5), distribusi Chi-square dengan derajat kebebasan 2 dan 10,
distribusi Gamma (2;2) dan (5;1), serta distribusi Weibull berparameter (0,5;1)
dan (3;4). Kali ini fokus peneliti untuk mengestimasi kekuatan uji D’Agostino-
Pearson, uji Geary, dan Uji Jarque Bera terhadap sampel yang kecil (n<30) yaitu
10, 15, 20, dan 25.
27
Simulasi yang dilakukan adalah melakukan pengujian untuk mendeteksi
ketidaknormalan dari data yang dibangkitkan secara acak dengan berdistribusi
asimetris. Simulasi ini guna mengestimasi kekuatan uji D’Agostino-Pearson, uji
Geary, dan Uji Jarque Bera dengan menghitung seberapa banyak terjadinya
hipotesis nol atau H0 tertolak dan akan dibagi seberapa banyak simulasi yang
dilakukan. Simulasi akan dilakukan sebanyak 1000 kali. Penolakan H0 terjadi
ketika nilai p-value kurang dari taraf signifikansi. Taraf signifikansi yang dipilih
untuk simulasi ini adalah sebesar 5% atau 0,05. Setelah melakukan prosedur
pengujian kenormalan dan diulang sebanyak 1000 kali didapatkan hasil kekuatan
tiga uji yang dibahas sebagai berikut.
Tabel 4.9: Kekuatan Uji terhadap Data Berdistibusi Asimetris Sampel Kecil
Distribusi n = 10 (%) n = 15 (%) n = 20 (%) n = 25 (%)
DAP G JB DAP G JB DAP G JB DAP G JB
Beta (2;1) 8,1 10,5 1,1 8,8 14,3 2,1 10,4 20,8 3 15,3 21,7 3,8
(2;5) 7,7 9,1 100 9,4 9 100 10,8 9,3 100 13,2 11,5 100
Chi-
square
2 33,6 9 13,7 47,8 14,3 31,9 59,7 20,6 48,5 69,3 24,8 59,5
10 14,7 3,7 4,3 17 5 10 20,4 6,2 12,7 26,7 9,1 18,7
Gamma (2;2) 21,6 6,1 7,4 30,9 9,2 17,7 39,6 12,5 27,8 45,8 13,2 35,2
(5;1) 12,2 3,4 3,3 18,2 6,3 7,8 21,2 8,1 14,7 27,5 9,1 18,1
Weibull (0,5;1) 70 29,4 41,4 86,7 42,9 78,3 94,3 60,8 91,6 98,1 73,2 96,3
(3;4) 3,5 2,8 2,2 4,2 3,4 4,1 4 3,4 7,2 4,3 4 9,2
Tabel 4.9 telah menampilkan hasil dari simulasi untuk estimasi kekuatan uji
statistik yang dibahas. Terlihat bahwa ketiga uji yang dibahas memiliki kekuatan
yang berbeda-beda untuk setiap distribusi dengan parameter yang dipilih.
Distribusi Beta dengan parameter (2;1), uji Geary menjadi yang terkuat untuk
setiap n yang dipilih dengan kekuatan berturut-turut adalah 10,5, 14,3, 20,8, 21,7.
Dan untuk parameter (2;5) Jarque Bera mencapai kekuatan maksimal untuk setiap
n yang dipilih.
Kemudian distribusi Chi-square dan Gamma hanya ada satu uji kenormalan
yang terkuat dalam mendeteksi ketidaknormalan untuk kedua parameter yang
28
ditentukan. Uji kenormalan tersebut adalah uji D’Agostino-Pearson, walaupun uji
D’Agostino-Pearson menjadi yang terkuat terhadap distribusi Chi-square tidak
ada nilai kekuatannya yang mencapai 80%. Begitupun kekuatan uji D’Agostino-
Pearson terhadap distribusi Gamma nilai kekuatannya tidak ada yang mencapai
50%.
Dan untuk distribusi Weibull dengan parameter (0,5;1), uji D’Agostino-
Pearson menjadi yang terkuat untuk mendeteksi ketidaknormalan dari distribusi
ini. Kali ini uji D’Agostino-Pearson menunjukkan kekuatannya sebagai yang
terkuat dengan kekuatan untuk n berturut-turut adalah 70, 86,7, 94,3 dan 98,1.
Kemudian untuk parameter (3;4) ketiga uji yang dibahas tidak ada yang mencapai
kekuatan sebesar 10. Di sisi lain, terdapat grafik distribusi asimetris sampel kecil
yang membahas kekuatan untuk setiap data berdistribusi asimetris sampel kecil.
Gambar 4.5 Grafik Kekuatan untuk Data Distribusi Asimetris Sampel Kecil
Gambar 4.5 menjelaskan tentang kekuatan ketiga uji terhadap distribusi
asimetris sampel kecil yang diperoleh dengan menghitung rataan kekuatan uji
untuk semua distribusi pada setiap sampelnya. Ketiga uji yang dibahas untuk
distribusi asimetris sampel kecil kekuatannya tidak ada yang mencapai 50%,
namun kekuatannya terus meningkat dengan bertambahnya banyak sampel. Dan
uji Jarque Bera untuk setiap n (banyak sampel) selalu memiliki kekuatan yang
lebih baik dari dua uji lainnya.
0
20
40
60
80
100
10 15 20 25
Distribusi Asimetris Sampel Kecil
DAP G JB
29
Peneliti juga akan menghitung rata-rata kekuatan tiga uji yang dibahas guna
mengetahui kekuatan uji untuk setiap distribusi asimetris yang dipilih dengan
mengabaikan parameter dan jumlah sampel yang ditentukan. Kekuatan untuk
bagian ini akan ditampilkan pada Tabel 4.10.
Tabel 4.10: Rata-Rata Kekuatan Uji Kenormalan terhadap Distribusi
Asimetris Sampel Kecil
Distribusi DAP (%) G (%) JB (%)
Beta 10,46 13,27 51,25
Chi-square 36,15 11,58 24,91
Gamma 27,12 8,48 16,5
Weibull 45,63 27,48 41,28
Tabel 4.10 menunjukkan untuk distribusi Beta yang bersifat asimetris
bersampel kecil uji Jarque Bera dengan kekuatan sebesar 51,52 dan untuk tiga
distribusi lainnya hanya ada satu uji yang terkuat, yaitu uji D’Agostino-Pearson,
namun nilai kekuatannya tidak ada yang melebihi 50%.
Selain itu juga peneliti tertarik untuk mengetahui kekuatan untuk tiga uji
statistik yang dibahas terhadap distribusi asimetris sampel kecil. Untuk
mengetahui kekuatan uji, peneliti akan menghitung rata-rata nilai kekuatan uji
dengan mengabaikan distribusi yang dipilih. Hasil dari perhitungan rata-rata di
atas akan ditampilkan pada Tabel 4.11.
Tabel 4.11: Rata-Rata Kekuatan Uji terhadap Distribusi Asimetris Sampel Kecil
Uji Statistik Kekuatan (%)
DAP 29,84
G 15,20
JB 33,48
Dari Tabel 9 diketahui bahwa tiga uji yang dibahas memiliki kekuatan
kurang dari 50%. Namun, jika ketiga uji statistik yang dibahas ingin dibandingkan
30
uji Jarque Beralah menjadi yang terkuat dari dua uji lainnya dengan kekuatan
sebesar 33,48.
4.2.2 Simulasi Terhadap Distribusi Asimetris Sampel Besar
Prosedur simulasi yang digunakan untuk mengestimasi kekuatan uji
D’Agostino-Pearson, uji Geary, dan Uji Jarque Bera sama seperti subbab
sebelumnya. Data yang dibangkitkan pun berdistribusi sama dengan sebelumnya.
Namun, yang membedakan adalah jumlah sampel atau n-nya. Jumlah sampel yang
digunakan ini adalah sampel besar atau n >= 30 dan peneliti memilih beberapa
jumlah sampel adalah 50, 100, 500, dan 1000. Dan berikut adalah hasil estimasi
kekuatan secara umum untuk distribusi asimetris yang telah dipilih sebelumnya.
Tabel 4.12: Kekuatan Uji terhadap Data Berdistibusi Asimetris Sampel Besar
Distribusi n = 50 (%) n = 100 (%) n = 500 (%) n = 1000 (%)
DAP G JB DAP G JB DAP G JB DAP G JB
Beta (2;1) 35,5 36,2 8,3 93,3 61,7 73,2 100 99,6 100 100 100 100
(2;5) 24,5 13,1 100 61,5 22,6 100 100 54,3 100 100 82,4 100
Chi-
square
2 96,3 43 96 100 59,8 100 100 99,2 100 100 100 100
10 48,5 10,3 43,3 79,6 16,4 79,2 100 37,7 100 100 57,3 100
Gamma (2;2) 82,6 24 75,7 99,2 36,4 99,1 100 82,1 100 100 96,7 100
(5;1) 48,1 13,2 42,1 79,6 16,3 77,4 100 37,8 100 100 55,4 100
Weibull (0,5;1) 100 94 100 100 99,7 100 49,3 100 100 100 100 100
(3;4) 6,9 4,4 20,2 9 4,3 51,8 100 1,5 100 85,9 1,1 100
Tabel 4.12 menunjukkan hasil kekuatan uji D’Agostino-Pearson, uji Geary,
dan uji Jarque Bera dari simulasi yang telah dilakukan. Dapat dilihat secara umum
bahwa uji Geary memiliki kekuatan yang kurang baik atau dengan kata lain uji
D’Agostino-Pearson dan uji Jarque Bera lebih mendominasi dalam mendeteksi
ketidaknormalan terhadap distribusi asimetris sampel besar.
Distribusi Beta dengan parameter (2;1) untuk n = 10 uji Geary menjadi yang
terkuat, tetapi kekuatannya hanya sebesar 36,2, kemudian untuk n = 100, 500, dan
1000 uji D’Agostino-Pearson menjadi yang terbaik, namun khusus n = 500 dan
1000 uji D’Agostino-Pearson ditemani uji Jarque Bera dengan kekuatan yang
mencapai nilai maksimal. Dan untuk parameter (2;5) uji Jarque Bera menjadi
31
yang terkuat untuk setiap n dan untuk n = 500 dan 1000 uji Jarque Bera ditemani
uji D’Agostino-Pearson dengan kekuatan maksimal.
Kemudian distribusi Chi-square dengan derajat kebebasan 2 dan 10 untuk
setiap n uji D’Agostino-Pearson menjadi yang terkuat. Dan untuk n = 100 dengan
derajat kebebasan 2 uji D’ Agostino-Pearson ditemani uji Jarque Bera dengan
kekuatan maksimal dan begitu pun untuk setiap derajat kebebasan untuk n = 500.
Kemudian untuk n = 100 dengan derajat kebebasan 2 ketiga uji sama kuat dengan
kekuatan maksimal.
Untuk distribusi Gamma uji terkuat adalah uji D’Agostino-Pearson untuk
setiap parameter dan n yang ditentukan. Dan khusus untuk n = 500 dan 100 uji
D’Agostino-Pearson kembali lagi ditemani oleh uji Jarque Bera dengan kekuatan
yang maksimal.
Terakhir untuk distribusi Weibull uji statistik yang terkuat untuk setiap n
dengan parameter (0,5;1) mencapai kekuatan maksimal yaitu sebesar 100%.
Kemudian untuk n = 50 dan 100, uji D’Agostino-Pearson dan uji Jarque Bera
menjadi yang terkuat. Untuk n = 500 uji Geary dan Jarque Bera menjadi yang
terkuat. Dan n = 1000 ketiga uji memiliki kekuatan yang sama. Kemudian untuk
parameter (3;4) untuk setiap n uji Jarque Bera yang terkuat dengan kekuatan
berturut-turut adalah 20,2, 51,8, 100, dan 100. Tetapikhusus n = 500 uji Jarque
Bera memiliki kekuatan yang sama dengan uji D’Agostino-pearson. Selain itu,
peneliti akan membahas distribusi asimetris sampel besar yang menggambarkan
kekuatan uji untuk setiap n sampel besar seperti Gambar 4.6.
0
20
40
60
80
100
50 100 500 1000
Distribusi Asimetris Sampel Besar
DAP G JB
32
Gambar 4.6 Grafik Kekuatan untuk Data Distribusi Asimetris Sampel Besar
Gambar 4.6 merupakan kekuatan uji yang diperoleh dengan menghitung
rataan Tabel 4.12 untuk setiap n dengan mengabaikan distribusi yang ada. Dari
grafik di atas terlihat bahwa uji Jarque Bera untuk setiap n menjadi yang terkuat.
Untuk melihat estimasi kekuatan yang lebih khusus lagi, peneliti akan
menghitung rata-rata kekuatan dari Tabel 4.12 dengan mengabaikan parameter
dan n yang sudah ditentukan sebelumnya. Berikut adalah hasil dari rata-rata
kekuatan uji statistik yang dibahas yang ditampilkan pada Tabel 4.13.
Tabel 4.13: Rata-Rata Kekuatan Uji Kenormalan terhadap Distribusi Asimetris
Sampel Besar
Distribusi DAP (%) G (%) JB (%)
Beta 76,85 58,73 85,18
Chi-
square 90,55 52,96 89,81
Gamma 88,68 45,23 86,78
Weibull 68,88 50,62 84
Tabel 4.13 di atas telah menunjukkan bahwa kekuatan uji statistik yang
terkuat memiliki kekuatan lebih dari 80%. Uji D’Agostino-Pearson adalah yang
terkuat untuk mendeteksi ketidaknormalan distribusi Chi-square dan Gamma
dengan kekuatan berturut-turut adalah 90,55 dan 88,68. Dan uji Jarque Bera
adalah yang terkuat untuk mendeteksi ketidaknormalan dari distribusi Beta dan
Weibull dengan kekuatan berturut-turut adalah 85,18 dan 84. Sementara untuk uji
Geary tampaknya tidak cukup kuat dibandingkan dua uji lainnya dalam
mendeteksi ketidaknormalan untuk distribusi asimetris sampel besar.
Kemudian guna mengetahui uji terbaik dalam mendeteksi ketidaknormalan
terhadap distribusi asimetris sampel besar. Peneliti akan menghitung kembali rata-
rata pada Tabel 4.13 dengan mengabaikan distribusi yang sudah ditentukan. Hasil
rata-rata kekuatan uji statistik ini akan diperlihatkan pada Tabel 4.14.
33
Tabel 4.14: Rata-Rata Kekuatan Uji terhadap Distribusi Asimetris Sampel Besar
Uji Statistik Kekuatan (%)
DAP 81,24
G 51,89
JB 86,44
Dari Tabel 4.14 dapat kita lihat dari tiga uji kenormalan statistik yang
dibahas, uji Geary hanya memiliki sekitar 50% kekuatan dalam mendeteksi
ketidaknormalan distribusi asimetris sampel besar. Dan untuk uji D’Agostino-
Pearson dan uji Jarque Bera memiliki kekuatan yang hampir sama, namun uji
D’Agostino-Pearson lebih baik daripada uji Jarque Bera dengan kekuatan sebesar
86,44 dalam mendeteksi kenormalan setelah melakukan simulasi sebanyak 1000
kali.
34
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil penelitian, dapat disimpulkan bahwa:
1. Uji D’Agostino-Pearson cukup kuat dalam mendeteksi ketidaknormalan
data untuk ukuran sampel yang besar yang dibangkitkan dari distribusi
Chi-square (kekuatan 90,55%) dan Gamma (kekuatan 88,68%). Uji Geary
kuat dalam mendeteksi ketidaknormalan data untuk ukuran sampel besar
yang dibangkitkan dari distribusi simetris (kekuatan rata-rata 96,01%). Uji
Jarque Bera kuat dalam mendeteksi data untuk ukuran sampel besar yang
dibangkitkan dari distribusi Beta asimetris (kekuatan 85,18%) dan Weibull
(kekuatan 84%). Ketiga metode ini tidak cocok Untuk mendeteksi
ketidaknormalan pada data yang dibangkitkan dari distribusi lainnya.
2. Untuk data yang dibangkitkan dari distribusi simetris dengan ukuran
sampel kecil uji Geary memiliki kekuatan 41,99% sedangkan untuk ukuran
sampel yang besar memiliki kekuatan 96,01%. Untuk data yang
dibangkitkan dari distribusi asimetris dengan ukuran sampel kecil uji
Jarque Bera memiliki kekuatan 33,48% sedangkan untuk ukuran sampel
yang besar memiliki kekuatan 86,44%.
3. Khususkan untuk sampel ukuran kecil yang dibangkitkan dari distribusi
simetris, uji Geary memiliki kekuatan paling besar (yaitu 41,99%)
dibandingkan dengan dua uji lainnya.
5.2 Saran
Untuk melanjutkan penelitian ini, peneliti menyarankan untuk
membandingkan uji kenormalan untuk setiap kategori dengan jumlah distribusi
yang lebih banyak dan parameter yang lebih beragam.
35
REFERENSI
[1] A.-G. Bulman, in Elememtary Statistics Edisi ke-6, New York, McGraw-Hill,
2007.
[2] S. Santoso, Statistik Parametrik, Jakarta: PT Elex Media Komputindo, 2010.
[3] P. D. Sugiyono, Statistik untuk Penelitian, Bandung: CV ALFABETA, 2006.
[4] N. Razali dan Y. Wah, "Power Comparisons of Some Selected Normality
Tests," Proceedings of the Regional Conference on Statistical Science 2010
(RCSS'10), pp. 126-138, 2010.
[5] P. D. H. A. Irianto, Statistik Konsep Dasar, Aplikasi, dan Pengembangannya.
Edisi ke-4, Jakarta, Prenadamedia Group, 2004, p. 156.
[6] P. Hun Myoung Park, "Univariate Analysis and Normality Test Using SAS,
STATA, and SPSS," tersedia di
https://scholarworks.iu.edu/dspace/handle/2022/19742, vol. 1, 2008.
[7] R. Johnson, "Elementary Statistic Edisi ke-4," USA, PWS Publishers, 1984,
p. 262.
[8] R. L. Lieber, "Statistical Significance and Stastical Power in Hypothesis
Testing," Journal of Orthopaedic Reseach, vol. 8, no. 2, pp. 304-209, 1990.
[9] X. Romão, R. Delgado dan A. Costa, "An Empirical Power Comparison of
Univariate Goodness-of-Ft Tests for Normality," Journal of Statistical
Computation and Simulation, vol. 80, no. 5, pp. 525-591, 2010.
[10] D. Ralph B, A. Belanger dan J. Ralph B. D’Agostino, "A Suggestion for
Using Powerful and Informative Tests of Normality," The American
Statistician, vol. 44, no. 4, pp. 316-321, 1990.
[11] D. W. Cho and K. S. Im, "A Test of Normality Using Geary’s Skewness and
Kurtosis Statistics," tersedia di
https://www.trc.bus.ucf.edu/cdn/economics/workingpapers/2002-32.pdf, 2002
diakses pada 17 Februari 2018.
36
[12] T. Thadewald dan H. Buning, "Jarque–Bera Test and Its Competitors for
Testing Normality – A Power Comparison," Journal of Applied Statistics,
vol. 34, no. 1, pp. 87-105, 2007.
[13] I. W. Sumarjaya, "Uji Kenormalan Univariat: Suatu Kajian Pustaka," Jurnal
Matematika, vol. 1, no. 1, pp. 21-30, 2010.
[14] F. B. Oppong dan S. Y. Agbedra, "Assessing Univariate and Multivariate
Normality, A Guide for Non-Statisticians," Mathematical Theory and
Modeling, vol. 6, no. 2, pp. 26-33, 2016.
[15] B. Yazici dan S. Asma, "A Comparison of Various Tests of Normality,"
Journal of Statistical Computation and Simulation, vol. 77, no. 2, pp. 175-
183, 2007.
[16] F. J. Gravetter dan L. B. Wallnau, Pengantar Statistika Sosial, Jakarta:
Salemba Humanika, 2014.
[17] R. E. Walpole, Pengantar Statistika Edisi ke-3, Jakarta: Gramedia, 1998.
[18] R. D'Agostino dan E. S. Pearson, "Tests for Departure from Normality.
Empirical Results for The Distributions of b2 and √(b1)," Biometrika, vol.
60, no. 3, p. 613, 1973.
[19] D. G. Bonetta dan E. Seier, "A Test of Normality with High Uniform Power,"
Computational Statistics and Data Analysis, vol. 40, no. 3, pp. 435-445,
2002.
[20] F. A. Sherwani dan R. A. Khan, "Power Comparison of Various Normality
Tests," Pakistan Journal of Statistics and Operation Research, vol. 11, no. 3,
pp. 331-345, 2015.
[21] C. M. Jarque dan A. K. Bera, "A Test for Normality of Observations and
Regression Residuals," International Statistical Review/ Revue Internationale
de Statistique, vol. 55, no. 2, pp. 163-172, 1987.
[22] Y. Wibisono, Metode Statistika, Yogyakarta: Gajah Mada University, 2005.
[23] M. R. Spiegel, Probability and Statistics, Singapore: McGraw-Hill Book
Company, 1975.
37