islam penlantaran dan penemuan
DESCRIPTION
sejarah matematikaTRANSCRIPT
SEJARAH MATEMATIKA
ISLAM, PENELANTARAN, DAN PENEMUAN
KELOMPOK 5
KASMAWATI 1111140015
AMALIA RAHMAH 1111140016
NURFAJRIANI 1111140048
YETNI PASAURAN 1111140049
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR
2013/2014
ISLAM, PENELANTARAN, DAN PENEMUAN
1. Pendahuluan
Harus jelas pada bab ini bahwa pandangan tradisional terhadap bangsa
Arab hanya sebagai pemelihara pembelajaran Yunani dan pemancar pengetahuan
merupakan salah satu yang parsial dan terdistorsi. (Joseph 1992, hal. 344)
Sejumlah pemikir pada abad pertengahan dan para ilmuwan hidup di
bawah pemerintahan Islam, tetapi tidak berarti bahwa mereka semua adalah kaum
'Muslim' baik nominal maupun substansial, memainkan peran yang sangat penting
dalam transmisi Yunani, Hindu, dan pengetahuan Islam yang lain terhadap bangsa
Barat. Mereka berkontribusi membuat Aristoteles dikenal oleh orang-orang
Kristen Eropa. Namun dalam melakukannya, mereka juga membagi apa yang
telah mereka terima dari sumber- sumber non-Muslim.
Sejarah matematika Islam jelas merupakan area yang diperebutkan, dan
sejarah yang baru diterima mempertajam perpecahan. Pandangan Yusuf
menggambarkan: 13 tahun yang lalu anak manusia hidup di beberapa kalangan
akademisi, seperti kebenaran yang tak dapat disangkal oleh anti kolumnis Islam
sebagai salah satu yang 'parsial dan terdistorsi'. Mungkin alam dalam keadaan saat
ini bahkan pertanyaan tentang aljabar di Baghdad pada abad kesembilan harus
diisi dengan keperluan politik, dan pengaruh-pengaruh dari golongan pinggiran
harus mengabadikan mitos lama. Sejauh ini, aliran utama sejarawan terkait
dengan hal-hal yang dibuat oleh Joseph hampir secara universal diakui, seperti
yang baru-baru ini dijelaskan oleh Katz dalam bukunya, bahwa:
Matematikawan Islam sepenuhnya mengembangkan sistem angka desimal
untuk memasukkan nilai pecahan desimal, menyusun studi aljabar dan mulai
mempertimbangkan hubungan antara aljabar dan geometri, membawa aturan
kombinatorika dari India dan mengolahnya kembali ke sistem abstrak, belajar dan
membuat kemajuan pada risalah geometris utama Yunani pada Euclid,
Archimedes dan Apollonius, dan membuat perbaikan yang signifikan pada
trigonometri bola dan bidang. (Katz 1998, hal. 240)
Satu-satunya dalih yang bisa dilakukan terhadap penilaian yang sangat
banyak ini yaitu bahwa Katz tidak menyebutkan kesulitan yang dialami oleh para
sarjana sebelumnya dalam mendapatkan hak / tuntutan yang layak mereka
terima. Hambatan utamanya adalah dari segi pandangan seperti yang disebutkan
oleh Joseph, yang melihat bangsa Arab sebagai pemancar daripada inovator.
Mengapa begini? Dilihat dari bab terakhir bahwa matematika Cina yang jelas di
luar tradisi Barat akan dijadikan sebagai kumpulan masalah belaka yang terisolasi
tanpa koherensi dan tanpa ide pembuktian. Dengan matematika yang
dikembangkan di dunia Islam dari abad kesembilan ke abad kelima belas masehi,
masalahnya adalah sebaliknya. Pekerjaan ini bisa saja dengan beberapa keadilan
dipandang sebagai bagian dari matematika ' Barat', melihat kembali ke Yunani
dan maju ke Eropa, dan adanya pengaruh-pengaruh yang tidak menjadi masalah.
Namun, karena hal itu merupakan studi di bidang ahli dan teks asli yang sering
tidak dapat diakses, bisa saja 'lupa' cara bagaimana para penulis Islam mengubah
matematika dan mengklaim bahwa mereka tidak melakukan apapun kecuali
menyebarkannya (seperti yang dilakukan Trifkovic.)
Untuk mengadakan diskusi yang tepat tentang sejarah seperti yang telah
dipahami, hal ini berguna untuk menoleh ke bangsa Barat, dunia Islam, dan
perubahan interaksi mereka. (Sejarawan punya masalah tentang pilihan antara
'matematika Arab' dan 'matematika Islam. Benar-benar akurat untuk
mempraktekkan matematika di dunia Islam , katakanlah di antara 800 dan 1500
masehi karena pilihan harus dibuat, kita harus memilih lebih banyak lagi termasuk
yang 'Islami'.) Pemahaman tentang matematika Islam di Eropa Barat telah melalui
berbagai transformasi. Pada awal Abad Pertengahan, dari abad kesebelas sampai
abad ketigabelas, untuk alasan yang baik sangatlah dihormati bahwa tingkat
pencapaian itu tampak lebih canggih. Karya-karya yang ditemukan paling
dipahami atau berguna yang diterjemahkan dari bahasa Arab ke dalam bahasa
Latin seperti terjemahan kontemporer dari klasik Yunani ke dalam bahasa Arab.
Dengan Renaissance untuk alasan yang kompleks (kira -kira tahun 1550) telah
terjadi perubahan pandangan, meskipun bangsa Barat tidak secara keseluruhan
mencapai tingkat prestasi dunia Islami, apalagi mengalahkannya.1 Praktek
terjemahan dari bahasa Arab masih kurang, sedangkan penerbitan teks Yunani asli
dan terjemahan mereka dalam bahasa Latin, memungkinkan suatu tuntutan bahwa
Kaum modern adalah pewaris langsung dari zaman purbakala. Meskipun, sejauh
ini aljabar dan sistem angka telah dikaitkan yang jelas tidak benar, itu adalah
mitos yang berguna dalam mengangkat suatu pandangan tentang dunia
Renaissance yang dibangun di atas sastera kuno sebagai suatu sumber legitimasi.
Kita akan lihat nanti berapa banyak karya-karya Viète, Stevin, Descartes, dan
sepanjang hidup yang mereka berikan kepada prekursor Islam, yang penting untuk
saat ini bahwa tidaklah wajar untuk mengakui utang. Hal ini tidak berlebihan jika
dikatakan bahwa garis besar sejarah Eurocentric dimana Yusuf mengkritik yang
ditetapkan pada abad keenam belas, dan versi dominan sejarah sampai relatif baru.
Namun sejumlah hal-hal penting, karya Islam telah diterbitkan dan dipelajari di
Eropa Barat selama 200 tahun terakhir. Pemahaman mereka, dan penggabungan
mereka ke dalam sejarah umum akan berguna untuk melestarikan para ahli dengan
tidak berdampak pada pandangan aliran utama. Pemahaman lebih lanjut mengenai
tujuan matematika Islam adalah sebagai berikut:
• Suatu permintaan motivasi politik sebagai pengakuan dari dunia Islam dari
tahun 1950-an2;
• Program penelitian terpadu yang sebagian terkait dengan politik, yang
dengan cepat diperdalam dan memperluas karya studi dan terjemahan pada
tahun 1950-an dan 1960-an.
Kita akan lebih banyak membahas tentang materi yang tersedia dan tidak
tersedia dalam Bagian 2. Perubahan penting tidak begitu banyak mengalami
peningkatan sumber aksesibilitas sebagai kesadaran meningkatnya prestasi
matematika Islam. Dua puluh tahun lalu,3 Roshdi Rashed, salah satu peneliti
sejarah terkemuka, mengemukakan beberapa poin yang sama seperti Yusuf:
Representasi yang sama merupakan waktu temu dan lagi: ilmu klasik, baik dalam
modernitas maupun historisitas, muncul di akhir hitungan sebagai karya
kemanusiaan Eropa saja, lebih jauh lagi, pada dasarnya sarana dari cabang
kemanusiaan ini telah didefinisikan. Bahkan, hanya prestasi ilmiah kemanusiaan
Eropa yang merupakan obyek sejarah. (Rashed 1994, hal. 333)
Teks-teks baru, penelitian baru, dan argumen yang meyakinkan dari para
sarjana agung sebagian besar telah mengijinkan matematika Islam untuk
mengambil tempat yang sah dalam sejarah, dan di kalangan para sarjana dengan
kemampuan akademis yang serius tidak akan lagi merasa diabaikan atau dinilai
rendah. Masalah utama dalam membangun suatu gambaran yang tepat merupakan
yang pertama dengan kesenjangan besar dalam pengetahuan kita yang tentu saja
juga ada untuk budaya Yunani dan Cina dan kedua oleh keragaman kegiatan
(aritmatika, aljabar, geometri klasik, astronomi, trigonometri, dan banyak lagi).
Akan mudah bagi siswa untuk memahami matematika Islam, seperti bangsa
Yunani yang membuat evaluasi yang baik. Dengan asumsi ini mungkin,
masyarakat bisa memperbaiki ide-ide, serta mengajukan beberapa pertanyaan:
• Dapatkah seseorang memberikan deskripsi terpadu mengenai 'matematika
Islam‘, mengingat lamanya waktu dan ruang dan berbagai cakupan
bidang, haruskah kita mencoba untuk melakukannya?
• Bagaimana kita akan mengevaluasi 'kontribusi Islam' terhadap
perkembangan pemikiran matematika?
2. Akses ke literatur
Satu hal yang secara alamiah akan direkomendasikan sebagai tindak lanjut
kesepakatan umum tentang pentingnya matematika Islam adalah bahwa siswa
dapat berkonsultasi dan memeriksa teks dan sejarah misalnya pertanyaan yang
diajukan di atas. Sayangnya, ini belum terjadi, dan di sini tuduhan 'pengabaian'
masih dapat dibuat, akses terhadap bahan yang relevan masih sangat sulit . Jika
kita mulai dengan teks kedua, yaitu Berggren (1986) yang lengkap, menarik, dan
bagus. Ya, dalam situasi seperti ini, para pembaca seharusnya memulai. Karya
Rashed (1994) lebih spesialis ditujukan pada eksposisi titik-titik tertentu dalam
aritmatika dan aljabar, tetapi mahal dan jarang terdapat di perpustakaan-
perpustakaan. Sementara tulisan lama milik Youschkevitch (1976) merupakan
yang lebih lengkap dibanding yang lain dan mengandung banyak hal tentang apa
yang mereka hilangkan, yakni (a) dalam bahasa Perancis dan (b) cetakan panjang.
Keadaan dimana siswa memasuki lapangan bisa lebih buruk dan ini tidak bagus.
Berkenaan dengan sumber-sumber primer, apa yang tersedia
mencerminkan terjemahan sejarah panjang dan merata dari penggemar individu.
Bagian yang relevan dalam Fauvel dan Gray relatif singkat, meskipun
mengandung beberapa teks penting, sedangkan karya-karya Euclid, Archimedes,
dan matematikawan besar Yunani lainnya bisa ditemukan di perpustakaan dan
bisa pula dicetak ulang, ini masih jauh dari kebenaran klasik dunia Islam. Satu
masalah awal adalah bahwa tidak ada lagi peraturan dari beberapa penulis besar,
baik kumpulan besar teks dengan kontribusi yang berbeda masih dalam proses
penilaian.4 Terjemahan lain sedang dikembangkan sekarang, tetapi ada
kesenjangan besar. Dengan mengambil beberapa contoh berikut :
• Pada awalnya, pendiri buku tentang aljabar yang mendasari semua
karya selanjutnya adalah (Muhammad ibnu Musa) al-Khwarismi
Hisab al-jabr wa al-muqabala ('Aljabar', kepustakaan 'menghitung
dengan mengembalikan dan membandingkan', sekitar tahun 825).
Ini ada dalam terjemahan F. Rosen, pada tahun 1831 (aljabar dari
Muhammed ben Musa, London, Oriental Translations Fund). Telah
dicetak ulang oleh Olms (1986), dan karena itu dalam situasi yang
lebih baik daripada kebanyakan (kutipan berfaedah dalam Fauvel
dan Gray).
• Masih banyak lagi dan sama pentingnya, yaitu aljabar Omar
Khayyam (Umar al-Khayyami) sekitar tahun 1070. Hal ini telah
diketahui sejak lama, dan pertama kali diterjemahkan pada abad
kesembilan belas oleh Woepcke (ke dalam bahasa Prancis), ada
pula terjemahan Inggris yang lebih 'modern' (Khayyam 1931).
Bagaimanapun, ini merupakan cetakan panjang dan tidak mudah
ditemukan. Sekali lagi, ada kutipan berfaedah Fauvel dan Gray.
• Yang baru-baru ini mengejutkan adalah ditemukannya teks aljabar
inovatif al-Bahirfi-ljabr ('The Shining Treatise on Aljabar') al-
Samaw'al (abad kedua belas). Hal ini telah banyak dibahas, dan
ringkasan yang baik dari apa yang dikatakan dalam beberapa
bagian kunci berkaitan dengan jumlah seri dan dengan polinomial
dapat ditemukan dalam Rashed (1994) dan dalam Berggren (1986).
Namun, ada teks Arab modern sekitar tahun 1976 dengan
pengenalan dan beberapa catatan kaki dalam bahasa Prancis oleh
Rashed, tidak ada terjemahan dan memang tidak ada kutipan
terjemahan. Dan edisi itu sendiri, yang diterbitkan di Damaskus,
tidak mungkin akan disediakan di luar perpustakaan ahli.
• Terakhir, salah satu karya yang paling terkenal yang sering disebut
sebagai perhitungan canggih, khususnya penggunaan pecahan
desimal yakni al-Kashi miftah al-hisab ('The Kalkulator Key'),
ditulis di Samarkand pada abad kelima belas yang telah dikenal
dan dipelajari selama lebih dari satu abad. Selain beberapa edisi
dalam bahasa Persia (karya itu cukup terkenal di Iran), dan
terjemahan ke dalam bahasa Rusia oleh B.A. Rosenfeld pada tahun
1956, ada edisi bahasa Arab modern , diterbitkan di Kairo pada
tahun 1967, dan dengan cetakan panjang. Saya tahu tidak ada
terjemahan bahasa Inggris, atau bahkan rencana untuk masyarakat,
meskipun mereka dapat belajar sesuatu dari fitur yang tidak biasa
atas karya tersebut dari deskripsi di Berggren (dan Youschkevitch).
Saat ini sudah ada beberapa terjemahan yang berlangsung, dan karena
bidang cakupannya sangat besar, maka pasti harus selektif. Versi A.S. saidan itu
(baru ditemukan) aritmatika al-Uqlidisi, sebuah karya menarik dan berbagai
terjemahan dalam bahasa Prancis oleh Rashed, terutama karya-karya Shara
(1986), dan ibnu al-Haytham (proyek besar yang sedang berlangsung). Para
penerjemah (dan lain-lain) menjadi peneliti aktif, tentu akan memilih penulis yang
paling menarik bagi mereka, sehingga tindakan mengedit dan menerjemahkan
sering menjadi bagian dari pembuatan aturan-aturan pribadi mengenai apa yang
penerjemah anggap sebagai karya-karya besar. Namun, dalam situasi yang sangat
memprihatinkan ini sudah dijelaskan bahwa pekerjaan tersebut sangat berharga.
Dapat dikatakan bahwa keterlibatan penelitian yang serius dengan ilmu
pengetahuan Islam harus mencakup akuisisi kemampuan untuk membaca tulisan
Arab (yang mungkin sudah dimiliki oleh beberapa pembaca). Hal ini tampaknya
salah paham, sejauh karya bersangkutan dianggap sebagai teks sejarah besar.
Waktu adalah masa lalu ketika siswa diharapkan dapat memiliki waktu luang
untuk belajar bahasa sebagai bagian dari pendidikan liberal umum, sementara para
ahli mungkin perlu membaca Euclid dalam bahasa Yunani atau Principia dalam
bahasa Latin, tidak ada yang akan mengharapkan pelajar mengambil kursus
sejarah.
Sebagaimana telah dinyatakan sebelumya bahwa dalam kasus apapun,
edisi Arab modern tidak mudah tersedia, dan mengartikan naskah yang sulit yang
masih merupakan sumber utama kami (Gambar 1) yang merupakan keterampilan
penelitian lanjutan sebanding dengan membaca Sumerian.Jika karya besar
matematikawan Islam layak dipelajari pada kedudukan yang sama dengan zaman
klasik yang lain, maka keduanya harus sama-sama dapat diterima. Mereka yang
meneliti Yunani klasik berada dalam posisi beruntung, dalam keadaan kritis dan
terjemahan telah disediakan oleh para sarjana yang (seabad yang lalu)
menganggapnya sebagai bagian penting dari pekerjaan mereka. Sebuah komitmen
untuk perlakuan yang adil untuk klasik Islam kini mengendarai upaya serupa
sejauh mereka prihatin. Dalam semangat optimisme, kita bisa berharap untuk
suatu bagian penting dari literatur yang luas ini, bersama-sama dengan berbagai
sejarah analitis agar dapat dibaca oleh siswa dalam waktu 20 tahun. (Dan mungkin
suatu bantuan telah dibuat oleh al- Kashi , lihat butir 4.)
Sebuah sumber dan artikel bibliografi terbaru (yang menghilangkan karya-
karya Rusia, tetapi komprehensif) adalah oleh Richard Hogendijk di
www.math.uu.nl/people/hogend/Islamath.html.
Gambar 1, dari al-Kashi
Dan banyak studi out-of-print dan artikel dari seratus tahun terakhir
sedang dicetak sebagai bagian dari banyak seri berjudul Astronomi dan
Matematika Islam, oleh Fuat Sezgin (mahal dan jarang ditemukan bahkan di
perpustakaan terbaik). Mahasiswa yang gigih akan dapat menemukan banyak
bahan, tetapi mungkin melibatkan pustakawan yang ramah, dan beberapa biaya.
3. Dua Naskah
Tidak ada rasa ingin tahu, tidak ada metode aneh terdengar, tidak ada ide
bagus yang mereka disukai. Akan diberikan dan dijelaskan, sehingga buku ini
akan berisi tentang apa yang semua orang pertanyakan. Karena sesungguhnya
aritmatika ini sering diperdebatkan oleh orang-orang yang menanyakan tentang
asal muasal kemunculannya. (Al-Uqlidisi 1978, hal. 36)
Ini merupakan karakteristik geometri yang ketika Anda bertanya kepada
mereka tentang pembagian angka ataupun bentuk perkalian, mereka menjadi
bingung dan butuh waktu yang lama untuk menyelesaikannya. (Abu Wafa 1966,
hal. 115)
Sampai pada pengenalan alam dan keanekaragaman matematika Islam,
mari kita pertimbangkan dua teks dari tahun yang sama (abad kesepuluh masehi).
Keduanya menggambarkan masalah 'matematika praktis', yang dibesarkan oleh
kedua kutipan di atas. Untuk simetri, satu buku di cetak dalam terjemahan bahasa
Inggris oleh penulis yang tidak dikenal, yang lain adalah buku yang tidak
diterjemahkan oleh seorang penulis yang cukup dikenal. Pertama, yang relatif
mudah ditemukan adalah aritmatika, atau Kitab al fusul fi al-hisab al-hindi (bab
tentang Hindu hisab), yang ditulis oleh al Uqlidisi di Damaskus pada 951 M. ( al
Uqlidisi 1978). Buku ini adalah salah satu sumber terbaik pada aritmatika awal
yang menggunakan sistem desimal Hindu, terutama sejak awal (paling awal?)
Yang ditulis oleh al- Khwarizmi belum bertahan dalam bahasa Arab, dan berbagai
terjemahan Latin terkenal tampaknya telah ditambahkan dan dikurangi dengan
cara yang berbeda (lihat al Khwarizmi 1992). Di sisi lain, sementara al-
Khwarizmi adalah seorang sarjana terkenal, tidak ada yang diketahui tentang
kehidupan al- Uqlidisi sama sekali. Namanya yang berarti 'The Euclidean'
mungkin menunjukkan pelajaran, tapi rupanya orang mendapat julukan ini untuk
menulis salinan The Elements untuk dijual. (Abad kesepuluh Damaskus menjadi
tempat unik di mana salinan teks Euclid akan memberimu kehidupan.) Namun,
pembelajaran Yunani tidak ditunjukkan dalam teks al-Uqlidisi itu. Panjang,
terinci, dan hati-hati, dan dunianya merupakan sudut jalan kalkulator di Damaskus
yang diperlukan untuk bekerja dengan cepat dan akurat , dan yang menemukan
bahwa sistem nomor baru adalah ideal untuk tujuan mereka. Itu adalah dunia yang
kompetitif, ini mungkin tampak aneh dan satu di mana para pengikut metode
perhitungan akan menyerang yang lain. Jadi al-Uqlidisi mempertahankan
metodenya, dalam frase yang sering dikutip, sehingga memungkinkan untuk
melakukan perhitungan antara gangguan kehidupan :
Kebanyakan penulis harus menggunakannya karena mudah, cepat dan
membutuhkan sedikit tindakan pencegahan, sedikit waktu untuk mendapatkan
jawaban, dan menjaga jantung sibuk dengan kerja agar ia [penulis] harus melihat
kedua tangannya, untuk sejauh apa jika ia berbicara, ia tidak akan merusak
karyanya, dan jika dia meninggalkan dan menyibukkan diri dengan sesuatu yang
lain, saat dia berbalik kembali ke sana dia akan menemukan yang sama dan
melanjutkannya, menyimpan kesulitan menghafal dan menjaga jantungnya sibuk
dengan itu. (Al Uqlidisi tahun 1978, hal. 35)
Buku ini luar biasa dalam kedekatan, dan dalam arti bahwa al-Uqlidisi
memiliki pendengar dan apa yang mereka butuhkan. Setiap aturan dijelaskan
secara rinci:
Sebagai contoh, kita mencoba untuk menemukan akar dari 576. Kita mulai dari
enam yang menyatakan 'Apakah, tidak, ya', yang berada di bawah lima. Kita
mencari angka untuk menarik di bawah lima sehingga jika kita kalikan dengan
suka, itu menguras sebagian besar dari lima. Kami menemukan 2. Kami sisipkan
di bawah lima tahun, kalikan dengan seperti dan melemparkan bahwa dari lima.
Tetap satu di tempat lima. Kami dua kali lipat dua di tempatnya, menggeser empat
di bawah tujuh, dan mencari nomor untuk menarik di bawah enam sehingga jika
kita kalikan dengan empat dan dengan sendirinya akan menghabiskan apa yang di
atasnya. Kami merasa empat. Kita kalikan empat oleh empat, mendapatkan 16,
melemparkan bahwa keluar dari atas. Kita kalikan 4 dengan sendirinya dan drop
bahwa dari atas, tidak ada yang tersisa. Kami membagi empat yang telah kita dua
kali lipat. Hasilnya adalah 24. (Al-Uqlidisi tahun 1978, hal. 76)
Jelas dari atas bahwa kecerdasan, kemampuan numerik, dan keterampilan
dalam petunjuk berikut diasumsikan, dan tidak ada konsesi untuk gaya sastra
setelah poin awal dalam mempertahankan buku yang telah dibuat. Namun , al-
Uqlidisi tidak menghadapi kesulitan untuk menjelaskan aturan di mana ia merasa
perlu. Mengapa mengulangi ' ya, tidak, ya' untuk mengetahui dimana untuk
memulai dalam ekstraksi akar? Mengapa menggandakan akar yang diekstraksi
sebelum beralih? Pertanyaan-pertanyaan ini dijawab dalam 'Query pada Akar'
buku III pasal. Ini adalah teks serba praktis tentang cara untuk menyelesaikan
aritmatika dengan angka-angka Amerika, dan bayangan al- Uqlidisi memahami
persis apa yang dibutuhkan seperti sebuah buku. Kami bahkan tidak tahu apakah
teksnya yang populer, tidak ada penulis lain menyebutnya, dan tampaknya telah
bertahan secara kebetulan.
Ada perbedaan yang besar dalam teks geometris yang komprehensif yang
menulis tentang waktu yang sama di Mesir oleh abu Wafa al - Buzjani. Berjudul
Kitab fi ma yah taju ilayhi al sani'min a'malal handasah (buku yang memadai
tentang konstruksi geometris diperlukan untuk tukang), sampai saat ini hanya
diterbitkan di Arab dan Rusia (Abu Wafa 1966, 1979). Oleh karena itu, tidak ada
naskah yang tersedia bagi pembaca, tetapi telah dianggap penting oleh
Youschkevitch dan Høyrup (yang menggunakan versi Rusia) dan Berggren (yang
menggunakan ekstrak yang diterjemahkan oleh Woepcke di tahun 1850-an). Kami
telah melakukan yang terbaik dalam teks Rusia.
Abu Wafa berada di ujung lain dari skala dari al - Uqlidisi, sebuah
pengadilan matematika dan astronom yang bekerja di Baghdad yang menulis
(hilang) uraian tentang karya-karya klasik Euclid dan Diophantus dan banyak
karya lainnya pada matematika, astronomi , dan ilmu-ilmu lainnya. Dia pikir itu
akan lebih berguna jika meluangkan waktu untuk menulis buku pelajaran yang
lebih signifikan khusus bagi pengrajin. Seperti yang dikatakan ibnu Khaldu,
dalam bagian yang mendahului kisah Euclidas sebagai ilmu ukur (yang kami
kutip di Bab 3):
Dalam pandangan asal-usulnya, pertukangan membutuhkan banyak
geometri dari semua jenis. Hal ini membutuhkan pengetahuan umum atau
pengetahuan khusus tentang perbandingan dan pengukuran, untuk membawa
bentuk (hal-hal) dari potensialitas ke aktualitas dengan cara yang tepat, dan untuk
pengetahuan tentang perbandingan seseorang harus meminta bantuan kepada ahli
ilmu ukur. (Ibnu Khaldun 1958, II, hal. 365)
Sedangkan dunia kalkulator yang mungkin telah menggunakan buku al-
Uqlidisi cukup mudah untuk membayangkan teksnya, para perajin yang
membutuhkan 'Buku tentang konstruksi geometris' tampak lebih misterius. Jelas
bahwa abu Wafa ada dalam pikiran pendengar yang sebenarnya, tapi ia ingin
menaikkan levelnya:
Metode dan masalah geometri Yunani ... dan kecerdikan matematika yang
dimiliki Abu Wafa sendiri digunakan untuk memperbaiki metode praktisi, tapi ...
para perspektif praktisi juga diingat sebagai koreksi terhadap teori dunia lain.
Bagian menarik termasuk Bab 1 pada instrumen konstruksi, dan 10.I dan 10.xiii ,
yang membahas kegagalan serta kekurangan dari pengrajin geometri ( terlalu
teoritis ). ( Høyrup 1994 , hlm 103 , 312 )
Memang , kutipan yang membuka bagian ini merupakan kritik geometri.
Sebagai contoh metode Abu Wafa, berikut ini adalah konstruksi yang sangat
klasik dari segilima beraturan (Gambar 2 ) .
Jika seseorang bertanya bagaimana membuat segilima beraturan pada garis
AB, maka dari titik B, kita buat garis tegak lurus BC [ke AB] sama dengan garis
AB. Kita membagi dua garis AB di titik D, dengan D sebagai pusat dan jari-jari
DC busur CE, kemudian tarik garis AB ke titik E. Kemudian tarik busur masing-
masing di titik A, B sebagai pusat dan dengan jari-jari sama dengan AE. Mereka
bertemu pada titik G. Kemudian gabungkan garis AG dan BG. Maka jadilah
segitiga ABG, yang merupakan segitiga dari segilima tersebut. (Abu-l-Wafa 1966,
hal. 71-2)
Dari titik ini, cara pembuatannya mudah (lihat Bab 2, Lampiran B); AGB
adalah segitiga sama kaki dengan sudut kakinya adalah 720, dan segitiga sama
kaki BFG dan AHG yang melengkapi segilima memiliki sisi pendeknya sama
dengan AB. Ada, seperti komentar Høyrup, tanpa bukti, dan Yunani 'Kami ...'
dicampur dengan pengrajin '' Jika seseorang meminta Anda, ... lakukan '. Dan kita
bertanya-tanya seberapa sering pengrajin mungkin diperlukan untuk membuat
sebuah segilima beraturan. Ada keinginan jelas untuk mempublikasikan geometri
Yunani dan menyebarkan kepada penontonnya, seperti al-Uqlidisi ingin
melakukan propaganda/dakwah terhadap angka-angka Hindu. Matematika 'Real',
diuraikan secara sistematis dalam buku-buku, yang tiba-tiba memasuki ranah
pempopuleran untuk buatan praktis manusia .
4. Zaman keemasan
Sarjana yang paling dihormati Abu Bakr Ibn Muhammad al-yafrashi
bahwa Zabid dikisahkan sebagai berikut : Diriwayatkan bahwa sekelompok orang
dari Fars dengan pengetahuan tentang aljabar tiba selama kekhalifahan Umar ibn
al-Khattab [634-644]. Ali ibn Abi Talib - semoga Allah merahmatinya
menyarankan kepada Umar bahwa pembayaran kas dibuat untuk mereka, dan
bahwa mereka harus mengajar orang-orang, dan Umar menyetujuinya.
Diriwayatkan bahwa Ali-semoga Allah merahmatinya- mereka butuh lima hari
untuk mempelajari aljabar . Setelah itu orang-orang menyebarkan pengetahuan ini
secara lisan tanpa disalin dalam buku apapun sampai khalifah mencapai al-
Makmun dan pengetahuan aljabar cenderung menurun di kalangan masyarakat .
Al-Makmun diberitahu tentang ini dan ia membuat penyelidikan setelah seseorang
yang memiliki pengalaman dalam (aljabar). Satu-satunya orang yang memiliki
pengalaman adalah Syaikh Abu Bakar Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi,
sehingga al- Makmun memintanya untuk menulis sebuah buku tentang aljabar,
untuk mengembalikan apa yang telah hilang dari (mata pelajaran). ( Brentjes
1992, hlm 58-9 )
Cerita di atas diragukan kebenarannya5 terhadap kedatangan aljabar yang
menghubungkan awal mula Islam dengan awal pengetahuan matematika di
kalangan bangsa Arab. Secara signifikan, juga memperkenalkan 'sekelompok
orang dari Fars (Persia) yang bertanggung jawab terhadap pengenalannya, dan itu
menggambarkan ketidaktahuan kita pada abad pertama Islam, khususnya dalam
menarik perhatian pada tradisi lisan dan kurangnya penulisan. Semua bukti lain
yang kita miliki mengisahkan cerita yang berbeda: sementara asal-usul
matematika Yunani dan Cina tidak jelas dan tidak terdokumentasikan, matematika
Islam dimulai 150 tahun kemudian dengan kelimpahan teks tertulis dari abad
kesembilan masehi, banyak yang bertahan.
Seperti sejarah Cina, sejarah Islam dapat disusun oleh rangkaian dinasti;
namun, setelah bertahun-tahun ini menjadi membingungkan dan lebih sederhana
untuk memberikan garis besar. Bahkan, dunia yang cepat ditaklukkan oleh
pasukan Islam itu semakin besar, dan itu hampir tidak pernah berada di bawah
penguasa tunggal tak terbantahkan. Penaklukan oleh mereka yang menerima
agama baru Muhammad dan pesan Islam merupakan salah satu peristiwa paling
spektakuler dalam sejarah, namun ditafsirkan diantara kematian Muhammad tahun
632 M. dan akhir abad ketujuh seluruh Timur Tengah, Mesir, Afrika Utara,
Spanyol, Iran, dan bagian dari India dan Asia Tengah disatukan kedalam negara
bagian yang baru, di bawah kekuasaan Khalif, pertama di Damaskus dan
kemudian di Baghdad. Dalam sejarah Islam ortodoks, periode Umar dan Ali, para
sahabat Muhammad yang disebutkan di atas merupakan zaman keemasan.
Penguasa berikutnya, seperti biasa baik dalam etika pribadi dan dalam catatan hak
asasi manusia mereka dari standar asli, dan para penguasa yang dikenang baik
adalah (seperti di Renaissance Italia) orang-orang yang setidaknya memimpin
selama periode perdamaian dan mempromosikan seni dan ilmu pengetahuan .
Dalam hal ini para penguasa Abbasiyah pada awal abad kesembilan, khususnya
Khalif al- Ma'mun (813-833) , yang terkemuka. Memang, sejarah matematika
Islam, seperti bahasa Cina, tampaknya membagi secara alami dalam dua periode,
satu awal (katakanlah 800-1000) aktivitas cukup terkonsentrasi, dengan sejumlah
besar matematika, sering bekerja sama, dan kemudian sarjana tertentu, sangat
berbakat , yang di zaman itu sering terjadi perang sipil atau serangan eksternal,
bekerja baik dalam isolasi atau di bawah naungan para penguasa. Ada pertanda
bahwa pada awal abad kesebelas al-Biruni dan Khayyam sedang kembali pada
usia sebelumnya dan membandingkan diri mereka sendiri :
Kami telah menderita akan kurangnya para ilmuan, yang jumlahnya hanya
beberapa dan itulah penderitaan yang telah banyak orang alami dimana mereka
memiliki jalan lain yang hanya dapat digunakan dalam waktu singkat untuk
berkonsentrasi pada penelitian dan pembuktian fakta. Sebagian besar pada zaman
kami adalah ilmuwan palsu yang berbaur dengan kepalsuan ... Dalam segala
keadaan kita berlindung kepada Allah, maha penolong. (Khayyam1931,hal.47)
Oleh karena itu, ketika ada kebangkitan kembal, seperti dalam pengadilan
Mongol penakluk Hulaghu Khan ( c.1260 ), atau dari Ulugh Beg, sang cucu
Timur di Samarkand (c.1410), ulama melihat kembali ke masa al- Makmun dan
Tempat Kebijaksanaan'-nya di Baghdad sebagai model.
Apakah ini yang disebut sebagai 'zaman keemasan' , dan dari mana
asalnya? Awal Islam, seperti yang terkenal, toleran khususnya Yahudi dan Kristen
('Ahli Kitab'), dan diperkirakan bahwa banyak penduduk kerajaan ini yang lambat
dalam mempelajari bahasa Arab dan agama Islam, meskipun keduanya memiliki
kelebihan. Demikian pula, dalam 100 tahun pertama para penakluk tampaknya
tidak peduli dengan sisa-sisa pembelajaran Yunani yang dibudidayakan oleh para
sarjana yang sering mengungsi dari penganiayaan Kristen di pusat-pusat kota
seperti Harran di Turkey dan Jundishapur di Iran.
Panggung didirikan untuk mengejutkan serikat budaya-budaya yang
berlangsung di akhir abad kedelapan dan awal abad kesembilan. Ini adalah zaman
di mana agama Islam kemudian mengambil sebagian dari bentuk tradisinya
dengan perintah mereka tentang kehidupan dan perilaku, sistem hukum, dan
banyak lagi. Dinasti Abbasiyah yang baru yang memerintah dari Baghdad tidak
hanya menggemari perdagangan, dan pekerjaan umum (yang seperti biasa,
memerlukan matematika pada tingkat tertentu), namun, khususnya di bawah al-
Makmun, melihat nilai dalam penelitian murni. Dalam konteks, ini berarti
penemuan karya para ahli matematika Yunani dan India, dan terjemahannya ke
dalam bahasa Arab. Para sarjana dari apa yang bisa kita lihat sebagai hasil kerja
Syria, Yunani dan ahli-ahli Arab, Kristen, pagan, dan Muslim dikombinasikan
dalam karya terjemahan, dan kemudian segera mulai membangun apa yang telah
mereka terjemahkan. Bahkan, dengan sumber yang berbeda seperti, gagasan
bahwa karya Islam bisa menjadi pinjaman yang sederhana dan transmisi tidak
berarti, sintesis sangatlah penting. Ini melibatkan penggalangan apa yang
tampaknya menjadi pertanyaan yang belum terjawab, dan menulis buku-buku
baru dalam bentuk yang lebih berguna untuk tujuan praktis (seperti yang
digambarkan pada contoh di atas).
Dalam sebuah artikel yang telah kita dikutip, yang membentuk salah satu
diskusi teoritis paling menarik matematika Islam awal, Høyrup mengklaim bahwa
ini sintesis baru menandai perubahan radikal dalam penggunaan matematika
sebanding dengan karya Yunani dibahas dalam Bab 2.
Perubahan yang menyebabkan pengakuan implikasi praktis dari teori
telah terjadi sebelumnya, pada Abad Pertengahan Islam, yang pertama kali datang
menganggapnya sebagai premis epistemologis mendasar dimana masalah praktek
sosial dan teknologi dapat (dan harus ) melalui penyelidikan ilmiah , dan bahwa
penyelidikan ilmiah dapat (dan harus ) diterapkan dalam praktek . Bersamaan
dengan keajaiban Yunani maka kita harus memperhitungkan sebuah keajaiban
Islam. (Høyrup 1994, hal 92-3)
Anda merujuk pada artikel Høyrup, baik untuk rincian argumennya dalam
membangun sifat dari pendekatan baru maupun usahanya untuk menjelaskan asal-
usulnya. Dia menanggapi dan menolak sejumlah saran, akhirnya dipilihlah
penjelasan sifat Islam yang ia sebut (mungkin sayangnya) 'fundamentalisme
praktis'. Kemudian kita akan kembali pada peranan Islam sebagai suatu agama,
filsafat, dan cara hidup. Sekarang kita akan lihat interaksi antara pengetahuan baik
yang lama maupun yang baru dibuat oleh matematikawan terdahulu.
• Kasus ini diperdebatkan oleh Rashed (1994, Lampiran 2). Titik umum
dapat disangkal, meskipun ada ketidaksetujuan tentang detail.
• Buku berpengaruh Said (1978), meskipun tidak berhubungan dengan ilmu
pengetahuan, memainkan peran kunci dalam membuat akademisi lebih
sadar diri tentang bagaimana mereka memperlakukan hal 'Oriental'.
• Buku Rashed yang berasal dari tahun 1984, meskipun terjemahan bahasa
Inggrisnya 10 tahun kemudian
• Dengan sebuah ironi dalam sejarah sekolah penelitian, sejumlah besar teks
yang sangat menarik yang diterjemahkan ke dalam bahasa Rusia oleh
Youschkevitch dan kelompoknya pada tahun 1950 dan 1960. Bahkan
untuk para pembaca, siapa pun mereka mungkin, untuk siapa Rusia
merupakan pilihan mudah daripada bahasa Arab, mereka tidak dapat
diakses dalam kebanyakan perpustakaan.
• Dari kemudahan yang Ali belajar aljabar, cerita tampaknya Syiah dalam
asal, namun Brentjes tidak memberikan informasi lebih lanjut tentang ini.
5. Asal-usul Aljabar
Pada buku kedua dari Muhammad Ibnu Musa al-Khwarizmi yang terkenal
dengan judul Aljabr Wa Al Muqabalah. Dan mengatakan bahwa manusia kadang
kala Ibn Barza pada atribusi nya untuk ' Abd al-H. di tengah, yang katanya
adalah kakeknya. (Abu Kamil, dikutip Rashed 1994, ms. 19, nota 3). dia selalu
cemas untuk menyelidiki semua jenis teorema dan membedakan bagian yang
dapat diselesaikan dalam masing-masing spesies, untuk memberikan perbedaan
bukti saya dengan pembuktian yang lain, karena saya tahu cara bagaimana
dalam pemecahan masalah yang harus diselesaikan. (Khayyam 1931, ms. 44).
Dalam kata arab al-jabar berarti pertemuan. Seperti semua asal pertanyaan
lainnya, ini dapat diperdebatkan pada berbagai tempat, kita telah melihat bahwa
orang Babel mengenali cara memecahkan masalah yang setara dengan Persamaan
kuadrat (Bab 1). Jadi apa yang begitu penting dan berpengaruh tentang Islam?
Ada atau tidak adanya tempat yang lebih baik untuk memulainya selain buku teks
asli dari al-Khwarizmi. Hal ini sangat berpengaruh di dunia Islam, dan di abad
pertengahan Eropa, Abu Kamil seperti yang dikutip di atas, menggambarkan
dengan ketentuan tentang prioritas al-Khwarizmi dengan metode dan bahasa
bertahan dan beradaptasi sampai abad ke-16 di Eropa, diperlukan dalam sesuatu
yang lebih seperti notasi modern. Bagian teks dari bukunya (1986) dikembangkan
di Lampiran A. Ini menggambarkan inti dari buku, cara Persamaan kuadrat,
meskipun sebagian besar bahkan diserahkan kepada 'aplikasi' situasi praktis
(misalnya warisan), dan untuk geometri. Ia mendefinisikan 'akar', 'kotak', dan
'angka', ketiga obyek tersebut masuk ke dalam aljabar nya, dalam hal apa yang
akan Anda lakukan dengan mereka; Definisi tidak begitu banyak berhubungan
denagn operasional, dan ini mencerminkan bagaimana dia berpikir.
Akar adalah jumlah yang dikalikan dengan itu sendiri, terdiri dari unit, atau
nomor yang naik, atau pecahan menurun. (Fauvel dan abu-abu 6.B.1, ms. 229).
Ini mungkin tampak kurang jelas kepada kita, tetapi ini memungkinkan
Deskripsi pertama Persamaan kuadrat umum yang ada. Perhatikan bahwa 'akar',
atau solusi, diizinkan untuk menjadi sebagian kecil meskipun tidak buruk. Anda
masih akan menemukan bahasa ini, diperluas hingga batasnya, digunakan dalam
Tartaglia's aturan untuk memecahkan kubik di 1540s (Lihat Bab 6). Ada enam
bentuk Persamaan kuadrat ini ditentukan oleh kebutuhan untuk semua angka
yang digunakan untuk menjadi positif. Satu khas yang berbunyi: 'akar dan kotak
sama dengan angka'; beberapa xs(seperti kita katakan) ditambahkan ke beberapa
s yang sama beberapa angka. Al-Khwarizmi tidak ingin, seperti Babel untuk
daftar kasus-kasus tertentu dan mengasumsikan bahwa Anda dapat menyimpulkan
aturan umum; Dia ingin pernyataan uyang bersifat umum, tetapi ia tidak memiliki
versi bahasa simbolik Umum (yang berasal dari abad ke-17) 'akar a + b sama
dengan jumlah c kuadrat '. (Menariknya, meskipun aritmatika Diophantus,
menggunakan notasi abstrak, yang awalnya relatif diartikan ke dalam bahasa Arab
abad kesembilan, kemudian metode al-Khwarizmi perlahan-lahan tidak diadopsi,
lebih daripada mereka yang berada di dunia Yunani.)
Jika kita mempertimbangkan bagaimana seseorang diajarkan untuk
memecahkan persamaan seperti hari ini, yang paling umum metode untuk
memberikan rumus literal sederhana,apakah itu terbukti atau tidak. Menulis
persamaan ax + = c, kita menyimpulkan:
yang 'selalu menerapkan'. Alasan kami dapat melakukan ini adalah karena kita
bisa menjelaskan bagaimana menangani beberapa masalah yang diangkat oleh
formula. karena kita dapat menjelaskan bagaimana untuk menangani beberapa
masalah yang diangkat dari formula.
Pertama, satu, atau keduanya nilai-nilai yang kita temukan mungkin angka
negatif, yang pertama kali dianggap sebagai kemungkinan solusi di India oleh
Baskhara pada abad kesebelas, dan masih berdebat sekitar 400 tahun kemudian;
seperti yang kita lihat (Bab 4) ini ditemukan mudah oleh Cina, tapi sikap mereka
tampaknya tidak dan telah dikirim ke Barat.
Kedua, kita harus siap untuk mengambil akar kuadrat dari setiap angka
yang kita pilih. Hal ini menimbulkan dua tingkat masalah; masalah 'penamaan'
jika angka positif tetapi tidak persegi (katakanlah 5), yang akan kita lihat
berurusan dengan di bawah ini; dan lebih buruk apa yang kita bicarakan sama
sekali? jika negatif (misalnya -3). Ini telah diatasi pada waktu yang berbeda dalam
cara yang lebih atau kurang memuaskan,sekolah dan kursus matematika juga
sama akan mencoba untuk mengarahkan siswa melalui hal tersebut secara
progresif.
Sampai abad keenambelas atau kemudian, meskipun, tidak ada rumus
dianggap seperti itu, karena bahkan akar negatif harus ditangani secara terpisah
jika hal itu diperbolehkan sama sekali. Oleh karena itu pola al-Khwarizmi yang
ditetapkan untuk menangani persamaan kasus perkasus, sebagai ditetapkan di
atas. Setelah menjelaskan kasus yang berbeda, ia pindah ke 'akar dan kuadrat
sama dengan angka' kasus yang disebutkan di atas, dan berhubungan dengan
masalah abstraksi dengan bergantian pernyataan umum dengan penerapannya
dengan contoh tertentu 'satu persegi dan sepuluh akar sama dengan tiga puluh
sembilan dirham'.Solusi kembali ke Babel ('Anda membagi jumlah akar, yang
menghasilkan lima'), tapi tiba-tiba menjadi umum serta tertentu. Sangat mudah
untuk melihat alasan popularitas panjang teks al-Khwarizmi: ia telah menmahami
gagasan menjelaskan metode melalui contoh, seperti al-Uqlidisi untuk melakukan
dalam aritmatika nya (dan seperti menjadi praktek yang umum dalam teks-teks
Islam, dan Eropa yang berasal dari mereka).
a
b
a
b
Gambar. 3 Al-Khwarizmi untuk Persamaan kuadrat
Hal ini diperlukan, ia melanjutkan, 'bahwa kita harus menunjukkan
geometris kebenaran dari masalah yang sama yang telah kami jelaskan dalam
Bilangan.' Mengapa itu penting? Tampaknya ada tiga persyaratan untuk penulis:
1. untuk menyatakan apa yang harus dilakukan pada umumnya;
2. untuk menggambarkan hal itu secara khusus;
3. untuk membuktikan bahwa ia bekerja.
Itu warisan berat Yunani yang berarti bahwa 'bukti' berarti geometri?
Satu mungkin beranggapan demikian, karena teks-teks Yunani diterjemahkan
ketika al-Khwarizmi menulis. Dalam setiap kasus, geometri tampak tidak seperti
Euclid, atau bahkan pengikutnya lebih mudah berpikiran seperti Heron. Gambar
(gambar. 3) dibandingkan dengan bukti kemudian metode yang sama, benar-benar
c
f
d
e
transparan; ini adalah latihan yang baik untuk menindak lanjuti bukti dan melihat
bagaimana penjelasan secara lisan dan gambar yang terhubung untuk memberikan
dan meyakinkan tentang mengapa solusinya adalah orang yang tepat.
Telah ada banyak diskusi seberapa 'baik' seorang matematikawan adalah
al-Khwarizmi (artikel dalam kamus Biografi Ilmiah meremehkan). Seperti telah
disebutkan, metode yang ia mulai adalah kuno, dimana pun ia berasal dan
penjelasannya, contohnya, dan buktinya (sebagai menunjukkan salinan) pada
matematika tingkat yang cukup rendah. Namun, ini tampaknya ketinggalan titik
penting; argumen tersebut berasumsi bahwa matematikawan layak studi hanya
jauh karena pekerjaan yang mereka lakukan sulit, sementara hal ini sering tidak
sama sekali terjadi. (Sementara Descartes mampu bekerja keras dalam
matematika, dia menyukainya, dan kontribusinya yang luar biasa, representasi
koordinat kurva, sederhana dalam ekstrem). Apa yang al-Khwarizmi lakukan
adalah untuk memperkenalkan cara baru untuk berpikir tentang masalah yang
dibawa bersama solusi dan bukti dalam sintesis utama, melibatkan generalisasi
dan simplifikasi. Bahwa matematika itu tidak sangat sulit adalah alasan penting
untuk kelangsungan hidup metode yang lebih atau kurang tidak berubah selama
600 tahun.
Sekitar 50 tahun kemudian, Thabit bin Qurra yang oleh kesepakatan
umum seorang matematikawan mampu dan menulis teks pada Persamaan kuadrat.
Berbeda dengan risalah al-Khwarizmi,teksnya itu adalah hanya enam halaman. Ini
diterjemahkan ke dalam bahasa Jerman selama Perang Dunia Kedua, dan
kemudian ke dalam bahasa Rusia;
A C B D
K M
L H
E G F
Gambar 4 diagram untuk proposisi Euclid II.6. Garis AB membagi C (AC = CB),
dan BD ditambahkan. Jika sekarang AK = BD, maka ' persegi panjang AD oleh
DB' berarti luas persegi panjang ADMK; dan ini, bersama dengan alun-alun di
CB (yang sama dengan kuadrat LHEG ) dikatakan setara (di daerah) untuk
CEFD persegi pada CD. Buktinya cukup jelas.
kesempatan untuk menemukan terjemahan yang baik di Perpustakaan. Namun, itu
adalah sebuah dokumen yang sangat menarik. Thabit adalah salah satu kelompok
penerjemah-penerjemah Yunani, dan sebagian besar karyanya membawa hasil
diperluas pada teks-teks Yunani, komentar atau berurusan dengan masalah yang
mereka dibesarkan. Di sini ia menggunakan pengetahuan untuk menggambar di
Euclid proposisi II.6 (untuk kasus di atas dijelaskan) dan membuktikan dalam arti
tertentu dengan formula yang tepat. Sayangnya, tidak seperti al-Khwarizmi, ia
tidak memiliki gaya mudah, setidaknya di sini.
Proposisi II.6, dalam bentuk tertentu, mengatakan:
Biarkan garis lurus AB akan membagi di titik C, dan membiarkan garis lurus BD
ditambahkan ke dalam garis lurus (Lihat gambar 4) saya mengatakan bahwa
persegi panjang oleh DB bersama-sama dengan alun-alun di CB sama dengan
alun-alun pada CD.
Mereka yang percaya bahwa hasil buku II harus ditafsirkan sebagai bentuk aljabar
menjelaskan ini dengan berkata: sebutan AB 'a' dan BD 'b'; kemudian BC = a/2,
dan CD = b (a/2); proposisi mengatakan bahwa:
(1)
Sekarang secara keseluruhan diperkirakan sejarah mengklaim bahwa Euclid
berpikir dalam istilah-istilah tersebut (Lihat kata-kata ini dalam Bab 2). Namun,
ada bukti bahwa para penerjemah Islam Euclid pada tahap tertentu datang
menggunakan semacam aljabar terjemahan seluruhya, mereka sekarang memiliki
aljabar untuk memudahkan mereka. Di awal abad kesepuluh filsuf al-Farabi
menulis bahwa bilangan rasional sesuai dengan jumlah yang rasional, dan angka
irasional untuk jumlah irasional (dikutip Youschkevitch 1976, halaman 169).
Perbedaan antara angka dan panjang, yang kadang-kadang tampaknya sangat
penting bagi orang Yunani, sedang terkikis, dan dalam komentar oleh para penulis
Arab Euclids buku V dan X (yang mereka dilakukan) kita dapat menemukan
banyak contoh-contoh serupa. Thabit mengatakan bahwa dia sedang menyelidiki
kasus ' persegi dan akar sama dengan angka'; Tapi itu ciri khas dari pendekatan
hasil akhir dan lebih abstrak bahwa ia tidak memberi ada angka sebagai contoh.
Anda dapat menemukan argumennya di Lampiran B. Hasil akhir (ekstrak) adalah
bahwa akar yang kami cari 'dikenal' dalam istilah geometris klasik, itu dapat
dibangun.
Apa Thabit berikutnya tidak sama menarik; Dia mulai melalui metode
dan menunjukkan, tahap demi tahap, bahwa itu adalah sama dengan metode yang
digunakan 'dalam aljabar'. 'Aljabar' adalah metode yang dijelaskan oleh al-
Khwarizmi tanpa bukti geometris dan tampaknya wajar pada berbagai tempat
(dalam waktu yang singkat, fakta bahwa mereka rekan, al-Khwarizmi diakui
status sebagai 'pendiri') untuk menganggap bahwa bukunya yang dimaksud.
'Dialog' ini membuka bayangan pada berbagai cara berpikir tentang geometri,
angka, dan aljabar di periode awal matematika Islam. Tampaknya bahwa Thabit
berkata: 'Apa yang bisa Anda lakukan dengan aljabar, saya bisa melakukan
dengan buku II' Euclid. Jika demikian, ada beberapa kesalah pahaman aljabar al-
Khwarizmi (tentang cara angka untuk memecahkan masalah-masalah dengan
mudah) dan Euclid (tentang sesuatu yang lebih abstrak dan cukup berbeda). Lebih
positif, kita bisa melihatnya sebagai upaya untuk menyelaraskan praktek aljabar
dunia dengan teori Yunani. Apakah kesalah pahaman atau kesamaan, seperti
ketegangan antara teori dan praktek ini menjadi nilai yang sangat besar dalam
berkembangnya tradisi Islam.
Telah kita masuki domain (daerah) dugaan tentang apa isi teks , dalam
berbagai cara abad kesepuluh matematikawan berpikir tentang angka dan
geometri. Masalahnya adalah apa yang dimaksud dengan 'dikenal' argumen Thabit
yang mengatakan bahwa sisi (atau persegi) dikenal adalah untuk memecahkan
persamaan kuadrat. Ada dua interpretasi ini. Dalam istilah geometris, itu hanya
berarti bahwa garis yang mewakili sisi yang dapat dibangun,mungkin benar. Tapi
apa telah melewati numerik pertanyaan apa yang terjadi ketika jawaban Anda
tidak bilangan, seperti di versi al-Khwarizmi. Jika persamaan adalah 'persegi dan
dua akar sama dengan satu', maka jawabannya, metode apa pun yang Anda
gunakan untuk tiba di dalamnya, adalah (seperti yang kita katakan) − 1.
Karena Thabit menghindari menggunakan contoh-contoh numerik, ia tidak
menjelaskan tentang apakah nomor tersebut diperbolehkan sebagai angka, bukan
sebagai garis dibangun geometris. Mereka tidak memiliki nama.
Ada kata yang digunakan 'yang tidak memiliki arti' dalam bahasa
Arab,yang digunakan adalah 'as.amm', atau 'tuli'. Ini mulai diaplikasikan untuk
bagian tertentu,Anda dapat mengatakan fraksi untuk sepersepuluh dengan
menggunakan satu kata, tapi setelah itu Anda harus menggabungkan dua kata atau
lebih seperti 'salah satu bagian dari tiga belas', dan fraksi tersebut adalah 'as.amm'.
Tapi di Aritmatika al-Uqlidisi, kata yang sama diaplikasikan pada bagian yang
tidak terhitung yang tidak memiliki akar; perluasan (karena jika Anda berpikir
misalnya, dari luas persegi daerah 5, Anda juga akan berpikir sisinya) itu
dilambangkan akar yang tidak mereka ungkapkan.. Perkataan ini diartikan, ketika
aritmatika Arab diterjemahkan ke dalam bahasa Latin, kata Latin untuk 'tuli',
adalah 'surdus', digunakan dalam bentuk 'surda' sekitar 50 tahun yang lalu untuk
merujuk ke akar seperti √ 5. Di beberapa titik konsep linguistik tentang angka
Anda dapat berbicara dan diartikan ke dalam cara berbicara mereka. Bagian yang
masih angka, tetapi angka perlu gabungan dua angka atau lebih dari pada satu
kata untuk mengekspresikannya. Al-Uqlidisi dikhususkan pada beberapa deret
untuk menemukan pendekatan seperti akar persegi, dalam bab-bab yang
mengikuti ekstraksi tepat akar yang dikutip di atas. Formulanya tidak baru, tetapi
penggunaan angka India membuat prosedur lebih transparan. (Banyak sekarang
telah ditulis pada subjek ini. Ringkasan rinci dan cermat adalah Karine Chemla
1994.)
6. Selanjutnya Langkah Aljabar
Kami telah mendengar matematikawan besar Timur telah memperpanjang
operasi aljabar luar menjadi enam jenis dan membawa mereka lebih dari dua
puluh. Mereka semua menemukan solusi berdasarkan bukti-bukti geometris yang
padat. Allah 'memberikan kepada mereka makhluk-makhluk apa pun yang ia
inginkan'. (Ibnu Khald¯un 1958, III, ms. 126)
Tidak lama kemudian dari teks Thabit, abu Mesir Kamil menulis aljabar
yang sering dianggap 'generasi kedua' setelah al-Khwarizmi. karya al-Khwarizmi
secara eksplisit disebutkan, dan banyak contoh yang sama, tetapi banyak yang
telah berubah. Diagram geometris sederhana telah digantikan oleh referensi buku
II Euclid (seperti di teks Thabit ), tetapi disertakan dengan angka.Untuk pertama
kalinya, sejauh kita tahu (dan seperti biasa pengetahuan kita terbatas), angka telah
dikenal ke proposisi Euklidean sebagai masalah rutin, dan proposisi II.6 yang
diterjemahkan lebih dalam arti 'aljabar' yang disebut seperti di atas. Jika ini
dilakukan oleh orang Yunani kuno, atau oleh salah satu penerus mereka, mereka
jauh lebih bijaksana tentang hal itu dari abu Kamil.
Namun, apa selanjutnya abu Kamil lebih berani, sebagai sebuah inovasi.
Sekali lagi itu mungkin muncul dari kajian Euclid, dalam hal ini dari buku ke X,
tetapi ini tidak jelas, dan bahasanya benar-benar berbeda. Ia mengembangkan
seperangkat aturan yang tidak lengkap, tapi berguna untuk menghitung dengan
akar, dan banyak menggunakan mereka secara bebas dalam contoh seolah-olah
mereka adalah angka. Hasilnya adalah perluasan besar dari koleksi persamaan
yang Anda dapat selesaikan, dan angka yang Anda dapat bermakna. Anehnya, ini
tampaknya tidak begitu banyak dalam menangani seluruh contoh angka yang
mengarah ke solusi akar kuadrat (seperti sederhana yang diberikan di atas), seperti
contoh di mana akar adalah bagian dari kumpulan masalah. ini adalah tambahan
singkat saja, tapi cukup 'keras' masalah 39:
Jika ada yang mengatakan bahwa sepuluh ditambahkan ke jumlah, dan jumlah
dikalikan dengan akar dari lima, maka salah satu mendapat hasil dari jumlah
dengan sendirinya. Untuk membuat solusi jumlah dengan menambahkan sepuluh
ditambah dengan satu. Kalikan dengan akar lima memberikan akar lima ratus
ditambah akar kuadrat lima sama dengan satu persegi. Pisahkan akar lima dari
persegi untuk memberikan akar satu dan seperempat.Jumlah akar dar akar lima
ratus ditambah satu dan seperempat, ditambah akar satu dan seperempat, sama
dengan jumlah. (Abu Kamil 1966, halaman 148).
Perhatikan bahwa meskipun masalah berkaitan dengan angka seperti
, ini masih dinyatakan dalam kata-kata; ada tidaknya notasi untuk mereka, dan
tidak akan ada waktu yang lama (simbol untuk akar mulai digunakan juga diabad
keenambelas). Bagi kita,masalah abu Kamil membutuhkan jumlah besar
'membongkar'. Dalam istilah modern, pengaturan x untuk jumlah, itu adalah:
=
Abu Kamil ini memecahkan (kira-kira) dengan formula biasa untuk
Persamaan kuadrat lagi. Dengan cara yang sedikit bulat ia berubah sisi kiri ke
+ . Bagian memberikan , dan mendapatkan hasil (benar).
+
Semua angka-angka ini masih dinyatakan dalam kata-kata, seperti yang dilakukan
dalam kutipan di atas. Itu 'Rumus', jika Anda suka, sama persis seperti yang telah
digunakan oleh al-Khwarizmi; tetapi cara yang diterapkan telah jauh diperluas,
tanpa pernah dibuat eksplisit. Penulis sebelumnya tidak pernah mengatakan
bahwa angka tidak bisa akar kuadrat, kemudian tidak pernah mengatakan bahwa
itu bisa, tapi semua ide sama 'Angka' diperbolehkan telah berubah.
Sangat mudah, diskusi dalam suasana terbuka dalam matematika Islam,
untuk menemukan perbedaan pendekatan seperti yang dijelaskan di atas; dan tidak
terbatas untuk aljabar. Ada argumen yang eksplisit, misalnya, tentang manfaat
mereka yang sudah disebut (seperti mereka dengan Pappus) 'orang dahulu' (al-
qudama'):
[Ab ulWafa'] mengatakan betapa dia menghargai buku, yang ia anggap sebagai
nilai yang besar, meskipun ia menyesal bahwa penulis mengikuti cara orang
dahulu dalam menggunakan 'diagram pemotongan' dan rasio majemuk. Dia
mengatakan bahwa ia telah menemukan, untuk menentukan Azimut, metode
elegan yang lebih singkat dan lebih baik. (Al Biruni 1985, halaman 96)
Namun,ini digunakan untuk perbedaan tertentu (siapa orang pertama yang
menemukan rumus trigonometri pada bola), atau apapun yang lain untuk membagi
matematikawan Islam ke 'sekolah' seperti yang terkadang telah dilakukan
tampaknya belum , dan mungkin salah arah. Saidan dalam pengantar al-Uqlidisi
(1978) meminta perhatian terhadap upaya sejarawan untuk membedakan orang
matematikawan yang menggunakan angka India dari orang-orang digunakan
sexagesimals (atau 'para astronom' ‗angka‘ sebagai mereka disebut); dan
menunjukkan bahwa itu adalah umum, terutama dalam mengajar teks, keduanya
digunakan, karena siswa mungkin membutuhkan keduanya. Adapun otoritas
Yunani itu diakui Universal, digunakan dan diperlukan bersama-sama dengan
metode 'modern' yang lain. Kasus Omar Khayyam (abad kesebelas) adalah layak
dipertimbangkan. Dalam aljabar nya, ia menganggap detail kasus persamaan
kubik. Dia adalah 'Matematikawan Timur' yang disebutkan oleh Ibnu Khaldun
yang telah membawa beberapa jenis jumlah lebih dari 20 dengan
memperkenalkan berbagai jenis kubik (kubus dan hal-hal yang sama dengan
angka, dan sebagainya). Selain langkah berikutnya setelah kuadrat dipahami
dengan baik, telah muncul dalam sejumlah masalah khusus yang dia daftar;
masalah Archimedes pada pemotongan lingkup, masalah trigonometri seperti
mencari Sin 10◦ mengingat bahwa salah satu tahu Sin 30◦, dan seterusnya.
Seperti sudah sering dikemukakan, dia mengakui bahwa hal itu akan
dipakai untuk menemukan solusi dalam hal prosedur numerik (yang kita sebut
formula), sebagai telah dilakukan untuk kuadrat dan sebagai Tartaglia dan
Cardano akan dilakukan di abad ke-16.
Ketika objek dari masalah adalah jumlah mutlak, baik kita, maupun dari
mereka yang peduli dengan aljabar, telah mampu membuktikan persamaan
mungkin orang lain yang mengikuti kami akan dapat mengisi kesenjangan kecuali
ketika hanya berisi tiga derajat pertama, yaitu, angka, hal, dan persegi (Khayyam
1931, hal. 49)
mampu mencapai hal ini, ia mengikuti latihan Yunani yang menggambar
berpotongan bagian kerucut, seperti Menaechmus telah dilakukan untuk kasus
sederhana =
Secara keseluruhan,solusi tersebut akan diterima oleh Yunani (seandainya
masalah diajukan di tempat pertama). Omar sangat dekat dalam beberapa hal
dengan geometri Yunani dan menyeganinya; Dia mengkritik ibn al-Nurul dalam
menggunakan gerakan untuk membuktikan dalil paralel, dan aljabar secara umum
untuk menggunakan kekuatan 'tidak geometri' yang tidak diketahui ketiganya.
Namun, hal itu mungkin terjadi kepadanya untuk mengajukan pertanyaan yang
lebih cocok baik ke dalam kerangka aljabar kita telah membahas di atas: yaitu,
jika Anda telah membangun solusi (misalnya = 3) geometris, apa angka
yang Anda temukan, dan apa yang dapat Anda lakukan dengan itu? Ada petunjuk;
Ketika, dalam karya yang berbeda, ia menganggap kesulitan dalam teori rasio
Euklides, Ia datang terkejut dengan kesimpulan pragmatis.Kita harus berpikir,
katanya, dari jumlah.
Bukan sebagai garis, permukaan, volume atau waktu, tetapi sebagai
jumlah yang berpikir abstrak dari segala sesuatu, dan yang miliki angka, tetapi
tidak untuk angka mutlak dan benar, untuk rasio A ke B mungkin tidak secara
numerik terukur, artinya seseorang mungkin tidak dapat menemukan dua
bilangan yang rasio. Ini adalah bagaimana kalkulator dan surveyor melanjutkan
ketika berbicara dari fraksi setengah atau lainnya dari unit seharusnya
terpisahkan, atau dari akar lima atau sepuluh dll (Khayyam tr. Rozenfel'd hlm
105-6, citedYouschkevitch p. 88)
Dengan kata lain, Kalkulator dan surveyor sudah menggunakan angka
pada asumsi ini keduanya tersebut sama dengan 'kuantitas'; Jika Anda dapat
membangun panjang, ada beberapa yang sesuai untuk itu (setidaknya cukup baik).
Apa yang menarik yaitu saran Omar eksplisit bahwa matematikawan bisa belajar
sesuatu dari mereka.
7. Al – Samaw’al dan Al – Kashi
Kalkulator kunci adalah panduan yang sangat baik untuk matematika
dasar, digunakan untuk membantu kebutuhan publik yang besar.Mengingat
kekayaan materi pokok, dan kejelasan dan keanggunan dari presentasi, karya ini
memegang tempat yang unik dalam seluruh literatur dari abad pertengahan.
(Youschkevitch 1976, p. 71)
Hal itu akan memerlukan lebih banyak ruang untuk membahas semua varietas
latihan matematika yang telah dilakukan di dunia Islam, connexions, dan
interrelations; Meskipun kita akan memperhatikan kembali tentang Euclid dalam
Bab 8. Bagaimanapun, untuk menetapkan sebuah tema inovasi, tradisi, dan
kontinuitas, mari kita mempertimbangkan kedua matematikawan yang berbeda
yaitu al-samaw‘al (1125–1180) dan al-Kashi (wafat tahun 1429). Dalam kedua
kasus, ada penghargaan dari pengaruh tertentu, tidak bekerja dalam apa yang kita
sebut tradisi Yunani, dan keduanya menimbulkan masalah yang belum
terpecahkan tentang tujuan dan ruang lingkup karya mereka. Secara khusus, kedua
contoh tersebut tidak benar yaitu tentang perhitungan luar apa yang diperlukan
atau berguna dan di sini akan berbeda dari You schkevitch's tentang pendapat di
atas, dengan referensi 'elementarymathematics' dan 'publik yang besar'. Berbeda
dengan al-Uqlidisi atau abu-al-Wafa, mereka tampaknya terbawa oleh subjek
mereka.Mengapa?
Kasus Al-Samaw'al muncul lebih mudah.Karya utamanya yang bertahan
adalah al-Bahir fi-al-jabr ('the brilian dalam aljabar').Ditulis konon ketika ia
berusia 19 tahun, Ia memperdalam hasil pendahulunya di abad sebelumnya, yaitu
al-Karaji. Bukunya berisi banyak hal antara lain tentang sistem persamaan linear,
tetapi yang paling terkenal adalah tentang polynomial (suku banyak) yang mana:
1. Tujuan utamanya adalah bukan untuk menemukan ‗sesuatu‘ -terutama ini
terlihat dibicarakan sebagai sesuatu yang abstrak untuk dimanipulasi.
2. Pangkat dari sesuatu tidak hanya positif, tetapi juga negatif, yang akan kita
sebut 1
𝑥 ,
1
𝑥2 ,…
Gambar 5. Tabel al-samaw’al
Tujuan al-Samaw‘al adalah bagaimana dengan operasi sesuatu yang tidak
diketahui menggunakan semua alat aritmatika yang digunakan para aritmatikawan
untuk mengoperasikan bilangan yang sudah diketahui. Dengan kata lain, paling
tidak kita bisa menambahkan, mengurangi, mengalikan, dan membagi suatu
bilangan beberapa kali. Ini mengarah pada simbol yang rumit dalam istilah,
apalagi notasi di abad ke-12, dimana ditunjuk oleh 'suatu bagiian' dan
seterusnya.
Al-Samaw‘al membuat tabel perpangkatan sampai pangkat sembilan yang
kita sebut 𝑥9 dan ia sebut ‗pangkat tiga pangkat tiga pangkat tiga‘ untuk positif,
dan untuk 1/𝑥9 (pangkat negatif) dengan ‗per pangkat tiga pangkat tiga pangkat
tiga‘. Baris kedua pada tabel mendeskripsikan pangkat dalam kata-kata,
sedangkan baris pertama menggunakan bilangan, termasuk nol. Pada tabel
tersebut, al-Samaw‘al memberikan beberapa contoh perpangkatan, positif dan
negatif, untuk bilangan 2 dan 3. Dan masalah notational yang lain; sementara
apakah angka India sangat baik untuk menyatakan 2, 4, 8,..., 29 = 512, pecahan
yang sesuai harus ditulis dalam kata-kata yang dimulai dengan 'setengah' dan
berakhir dengan 'kedelapan kedelapan seperdelapan'. (Dalam tanda kurung, satu
catatan denganmengurangi orang Mesir, dan orang-orang Yunani yang mengikuti
mereka dengan menulis satuan pecahan tampaknya telah menghilang; dengan
adanya perubahan dalam notasi yang tidak selalu menjadi lebih baik). kemampuan
nol benar ditugaskan untuk 1.
Satu memiliki arti, Bab polinomial yang berikut bahwa al-Samaw'al yang
bekerja pada batas-batas kemungkinan notational, dan berusaha untuk
memperluas karyanya. Kadang-kadang contoh (seperti
) ditetapkan dan dijelaskan dalam kata-kata;
kadang-kadang formula yang lebih umum (seperti a(b/c) = b(a/c) digambarkan
dengan menggunakan serangkaian huruf Arab, b, c,... untuk menunjukkan hasil
membangi dan mengalikan yang tidak diketahui. Hal ini tidak perlu menggunakan
huruf untuk menunjukkan angka umum atau kuantitas sejajar di Euclidtetapi
dalam kombinasi dengan bahasa algebraic tradisional yang memberikan perasaan
(yang sangat Rashed ungkapkan) bahwa kita memiliki sesuatu yang dekat dengan
aljabar abstrak 'baru'.
Tindakan nyata ketika mencapai kesuksesan, setelah halaman 24, al-
Samaw'al menetapkan untuk membagi dua pernyataan (polinomial) menurut
skema yang ditunjukkan pada gambar 6. Sebelum tabel diatur, masalahnya adalah
ditetapkan dalam kata-kata (dengan beberapa angka yang diselingi).
Diterjemahkan ke dalam notasi jumlah untuk membagi
oleh . Ini adalah sesuatu yang paling sulit seperti
jumlah yang akan ditangani; khususnya:
1. semua tanda-tanda positif;
2. Divisi memiliki hasil yang tepat.
Pada titik ini penilai berpikiran sederhana mungkin cukup bertanya: apa
yang ada di bumi menurut al-Samaw'al ada dalam pikiran? Perhitungan yang
tampaknya bertujuan dalam diri mereka, tampilan keahlian teknis pada tema yang
tidak memiliki aplikasi praktis, dan kepastiandi mana-mana.Contoh yang
ditunjukkan di atas tidak berarti akhir dari cerita; kemudian sebuah divisi oleh
‗kuadrat enam dan duabelas unit memiliki hasil yang tidaktepat.
karena itu mungkin hanya jauh sederhana dengan mencatat akhirnya bahwa setiap
koefisien dapat ditentukan oleh formula. Jelas dalam pemahamannya untuk
memahami bentuk tertentu dari seri terbatas. (Perhitungan dibahas dalam
Berggren 1986, ms. 117–18.) Siapa para penilai dari bukunya dan apa yang
terbuat dari karyanya, tetap menjadi misteri; algebraist berikutnyatidak
menyebutnya. Dan ekspresi itu, seperti keasyikan memberikan kebohongan untuk
karakterisasi setiap mudah Islam matematika sebagai praktis atau membumi.
Petunjuk dapat disediakan oleh sebuah karya yang masih lebih jelas dari
al-Samaw'al tentang aritmatika yang tidak dipublikasikan. Hal ini dibahas oleh
Rashed (1994), dimana ekstrak disediakan (diterjemahkan), dengan janji masa
depan publikasi dari keseluruhan. Dalam teks ini, Menurut Rashed, al-Samaw‘al
memperkenalkan pecahan desimal menggunakan skema, dengan pangkat 10 yang
meningkat dan menurun.mengambil tempat kuasa-kuasa yang tidak diketahui. Hal
Ini tentu memiliki penampilan yang jauh lebih berguna dari sudut pandang kita
sekarang, meskipun Rashed mengakui dengan menulis angka-angka dalam tabel
al-Samaw'al belum tiba di notasi yang sederhana dan efisien.
Ketika istilah ‗pecahan desimal‘ disebutkan, muncul kontroversi tentang
siapa yang pertama kali memperkenalkannya. Istilah itu diklaim ditemukan oleh
Simon Stevin (Belanda, 1574) meskipun fakta bahwa al-Kashi telah
menggunakannya telah diketahui secara luas. Tidak ada pengaruh yang jelas dari
al-Kashi pada Stevin, dan Stevin merupakan penemu pertama dari Eropa.
Di samping Eurosentris yang jelas dari pendapat serupa, dan fakta-fakta
yang memperkuat bahwa al-Kashi mempengaruhi Eropa melalui Konstantinopel
dan Venesia, ini mengilustrasikan seluruh masalah bagaimana hal itu berasal.
Ketertarikan utama dari sebuah buku teks matematika adalah untuk menjelaskan
bagaimana menggunakan suatu teknik, bukan dimana penulis mendapatkannya.
Oleh karena itu, originalitas tidak boleh diklaim. Ini menjadi bahan perdebatan
para sejarawan tentang siapa yang meng-copy dan apakah seorang penulis benar-
benar mengerti metode yang ia jelaskan. Al-Kashi dengan pasti mengetahui apa
itu pecahan desimal. Itu merupakan klaim terhadap penemuannya tersebut. Dalam
bukunya, al-Kashi mengemukakan hasil yang ia peroleh dalam dua bentuk, yaitu
seksagesimal dan desimal. Dia memiliki suatu istilah teknis bagi mereka, dan
menggunakan mereka cukup dengan fasilitas. Dalam arti tertentu, kata
pendahuluan menegaskan untuk penemuan memungkinkan bahwa orang tidak
selalu dapat mendahului.
Kami membagi unit menjadi sepuluh bagian, kami kemudian dibagi
masing-masing kesepuluh menjadi sepuluh bagian, dan kemudian masing-masing
dari mereka ke dalam sepuluh bagian, dan kemudian masing-masing dari mereka
ke dalam sepuluh suku cadang dan sebagainya, Divisi pertama menjadi ke
persepuluh, dan dalam satu cara kedua ke desimal detik dan ketiga ke pertiga
desimal dan sebagainya, sehingga perintah pecahan desimal dan keutuhan
berada dalam hubungan yang sama sebagai prinsip dalam astronomi penomoran
[yaitu sexagesimals]. Kita menyebut ini 'pecahan desimal'. (Al-K¯ash¯i 1967
buku 3, Bab 6)
Dari tahap ini (agak terlambat) dalam bukunya al-Kashi menetapkan
hasilnya baik dalam bentuk seksagesimal dan desimal. Apakah karyanya
'disebarkan' Stevin, notasi yang berbeda dan dalam beberapa hal kurang
penggunaan, ini masih belum jelas meskipun tampaknya semakin memungkinkan.
Namun, sebelum al-Kashi, seperti yang dijelaskan Rashed, menempatkan
al-Samaw‘al yang juga dapat mengklaim sebagai penemunya Rashed berpendapat
klaim atas al-Uqlidisi tidak dapat diterima. Tidak terdapat bukti bahwa ia telah
menggunakannya secara sistematis.Di sisi lain, ia mungkin salah satu dari
sejumlah reckoners yang telah menyadari fakta yang jelas, seperti yang dikatakan
al-Kashi: bahwa dengan angka India sebagai seksagesimal, Anda bisa terus di
sebelah kanan dan di sebelah kiri, dengan nomor (misalnya ' 5') memiliki yang
lebih kecil berarti lebih jauh anda pergi. Tampaknya al-Uqlidisi melakukan di
salah satu bagian penting nya, ia melakukan serangkaian denganmembagi pada
19:
Sebagai contoh, kita ingin membagi 19 lima kali. Kita mengatakan: satu
setengah dari 9 adalah empat setengah; kami menetapkan setengah sebagai 5
sebelum empat; [ingat bahwa, bahasa Arab yang ditulis kanan ke kiri, 'sebelum'
berarti ' kanan '] Selanjutnya, kami membagi sepuluh. Kami menandai tempat
unit.Yang menjadi 95. Sekarang kita membagilima dan sembilan; kita
mendapatkan 475. Kami halve itu dan mendapatkan 2 375, tempat unit menjadi
ribuan untuk apa yang sebelumnya, bagi Anda jika wewant untuk saywhatwe
punya, kita mengatakan bahwa mengurangi separuh telah menyebabkan dua dan
375 dari seribu...
Banyak perjanjian yang dituliskan bahwa satu antara 2 dan 375, itu titik
desimal dan Mengapa tidak ada yang lain; dan menurut al-Uqlidisi yang
memahami kenyataan? Sementara kesimpulan yang mungkin bahwa ia
melakukannya sampai batas tertentu tetapi dia tidak akan bermimpi dari
'kodifikasi' ide seperti al-Kashi lima ratus tahun kemudian; Dia adalah kalkulator,
tidak seorang matematikawan. Memang, ilustrasi menunjukkan bahwa penemuan
sebenarnya pecahan desimal tidak sebanyak sebuah keajaiban seperti satu
mungkin misalnya. Jika dia ingin menunjukkan keterampilan dalam angka india
melalui pengurangan separuh berulang kali, kemudian Anda jatuh ke atas hampir
secara alami.
Al-Kashi secara konsisten memberikan yang terbaik dalam kompetisi ini,
sebagian karena kemampuannya dalam mengombinasikan teori, mengalkulasi
kemampuan, dan pengetahuan tentang konstruksi instrumen. Al-Kashi menulis
The Calculator’s Key, sebuah koleksi tentang aritmatika, aljabar, dan geometri
dengan hasil yang paling bermacam-macam. Tidak seperti buku al-Samaw‘al,
buku ini menjadi buku yang laris. Di dalamnya terdapat tabel-tabel standar
(perkalian, konversi dari desimal ke seksagesimal dan sebaliknya, sinus, dll), tabel
konversi mata uang, tabel luas polygon, dan lainnya.
Meskipun beberapa [metode] ini bisa tidak ditemukan dengan bantuan
enam aljabar [bentuk] (yaitu al-Khawarizmi enam Persamaan kuadrat), namun
dalam karya ini saya menemukan prinsip-prinsip yang banyak dengan bantuan
dasar dari aritmetika yang dikembangkan paling sederhana, dengan jalan yang
termudah, dengan keuntungan yang terbesar dan dengan eksposisi yang jelas.
Saya memutuskan untuk menulis prinsip-prinsip ini dan diinginkan untuk
memperjelas sehingga mereka bisa menjadi instruksi bagi orang lain dan panduan
untuk belajar. Oleh karena itu, saya telah menulis buku ini dan mengumpulkan di
dalamnya semua Kalkulator yang mungkin di perlukan, menghindari kebosanan
dari penemuan panjang dan kelebihan singkatnya.Untuk sebagian besar metode
yang telah disusun dalam tabel, sehingga dapat mempermudah pemeriksaan
geometer. Semua tabel didirikan dalam buku ini telah disusun dan semua
hubungan emosional (manis dan Pahit)ada di dalamnya, kecuali tujuh tabel... (Al-
Kashi tahun 1967, intro).
Memang, tabel adalah kontribusi penting untuk sebuah karya. kita sudah
dapat melihat ketergantungan yang berat di atas meja untuk eksposisi dari
perhitungan yang rumit di al-Samaw'al tetapi di al-Kashi seperti ia mengakui. Ada
tabel standar (perkalian, konversi dari desimal ke sexagesimals dan kembali; sinus
dan seterusnya) Tabel konversi mata uang, sifat dari logam dan zat-zat lainnya;
Tabel daerah poligon, dan lebih berguna (satu mungkin berpikir), berbagai jenis
lengkungan yang digunakan dalam arsitektur (Lihat gambar 1). Hampir selalu
hasil numerik lebih akurat daripada alasan yangmereka punya dan sering mereka
diberikan dalam desimal dan sexagesimals. Seperti dapat dilihat dari kutipan, al-
Kashi merasa bahwa mereka adalah kontribusi penting; beliau menegaskannya
dalam intelektual mereka, serta hubungan emosional (manis dan pahit). Paling
terkenal, melampaui tabel 'statis', kita memiliki 'dinamis' yang menunjukkan
bagaimana Anda melakukan perhitungan.Pembaca ditampilkan bagaimana
membangun mereka, diberitahu secara rinci untuk menggambar garis horisontal
dan vertikal dan membuat entri, sehingga (misalnya) untuk mengekstrak akar dan
sering dikutip contoh di mana ekstrak akar kelima 44, 240, 899, 506, 197 di
desimal dapat berfungsi sebagai model.
Dalam ―Ar-Risalah al-Muhithah‖ ia berhasil menemukan nilai pi ( ) yaitu
perbandingan antara keliling sebarang lingkaran dengan diameternya, hingga 16
tempat desimal. saja yang ingin tahu lebih banyak dapat mengubah buku ini.
Selain itu, kami hadir di sini dengan contoh proses ekstraksi akar pangkat tiga dan
contoh lain dari ekstraksi akar pangkat tiga [6] tetapi, untuk menghindari long-
windedness dalam buku ini, kita di sini tidak akan memberikan penjelasan tentang
proses [seperti pada akar kelima]. Sangat mudah bagi siapa saja yang tahu
bagaimana melakukannya dengan angka India, karena itu dijelaskan dalam buku
1. Pada titik tertentukita lihatndalam tabel yang diberikan adalah pengganti untuk
penjelasan tentang metode.
Untuk melihat al-Kashi dengan gaya eksposisi dalam konteks yang
berbeda, ekstrak dari bagian geometris Kalkulator kunci, pada zat yang biasa
adalah dalam Lampiran C, dengan tabel tak terelakkan yang menetapkan semua
pengukuran yang mungkin Anda perlukan untuk mereka. Jelas dianggap sebagai
matematikawan yang luar biasa oleh lingkaran dan seterusnya, al-Kashi masih
muncul dengan teka-teki. Diberikan informasi lebih lanjut tentang apa yang
mendahului itu dan apa yang diikuti; dan kita bertanya-tanya seberapa jauh
kadang-kadang obsesif akurasi perhitungannya termotivasi oleh tuntutan praktek,
kompetisi, atau kesenangan dalam kegiatan menghitung sendiri.
Latihan 8. (a) melihat tabel untuk Divisi polinomial al-Samaw'al, dan
mencoba untuk menindaklanjuti kemajuan divisi, (b) apakah hasil Divisi
8. penggunaan agama
Islam itu menyajikan rangkaian nilai-nilai pokok. Di antara nilai-nilai
tersebut, seseorang dapat menemukan kebenaran yang unik, ketiadaan kontradiksi
antara wahyu dan akal... Nilai-nilai ini, tanpa keraguan sedikitpun telah
mendukung penelitian dan membantu perkembangan penciptaan komunitas-
komunitas ilmiah terbuka. (Rashed 2003, hal. 153)
Allah adalah pedagang yang ideal. Semua dihitung, segala sesuatu
diperhitungkan... Suatu ‗tubuh agama‘ matematis yang lebih sederhana dibanding
hal ini, sulit untuk dibayangkan. (C.C. Torrey, cited in Rodinson 1074, hal. 81)
Pada masa Abbasiyah, Islam berkembang pesat. Kebanyakan Ilmuan adalah
Muslim dan ilmuan non-Muslim dengan mudah diberhentikan pada saat itu.
Setelah sekitar 1000 Masehi, para matematikawan melakukan lebih dari sekedar
menyesuaikan diri dengan Islam, mereka bekerja dibawah hukum dan fisafat
Islam.
Pada abad ke 9, Islam mengalami fluktuasi. Terjadi adu argumen
mengenai Islam. Dan karakterisasi Rashed tentang Islam sebagai salah satu
argumen yang mendukung Islam. Apakah tidak ada konflik antara Al Qur‘an dan
pendidikan penyembah berhala atau falsafah? Apakah Tuhan memutuskan segala
sesuatu dan mempertimbangkannya dengan baik sejak awal? Para teolog pun
mendiskusikan poin tersebut dan bersaing untuk mendukung khalifanya.
[Misalnya, apa yang dapat diketahui dalam bahasa Arab, bahasa dari
wahyu Islam (Al-Qur’an), yang berbeda dengan ilmu pengetahuan dan filsafat
Yunani sebagian karena kebahasaan asalnya? Atau apakah ada logika pemikiran
universal yang melebihi (dan karena itu lebih unggul) ekspresi yang digunakan
dalam kebudayaan yang ada? Hadits, sebagai satu kategori lagi, juga memuat
banyak peringatan tentang nilai/kedudukan dari ilmu pengetahuan, ganjaran dan
tugas untuk mencarinya, untuk mengumpulkan dan melestarikannya, untuk pergi
ke negeri orang dalam pencariannya. (McAuliffe (2001–), III, hal. 101)
Pertanyaan umum tentang hubungan antara Islam pagan dan/atau praktek
pengetahuan yang besar, dan kami memiliki ruang maupun kemampuan untuk
mengatasinya secara memadai. Namun, dua poinyang harus dilakukan:
1. Islam berbeda dengan Kristen (misalnya) dalam menempatkan nilai dalam
pengetahuan. Dan Al Qur‘an itu sangat berpusat pada seruan/himbauan kepada
akal.
Al-Qur‘an adalah sebuah kitab suci di mana rasionalitas memainkan
bagian besar.Di dalamnya, Allah terus berdebat dan penalaran. (Rodinson 1974,
ms. 78 (Lihat juga Halaman berikut))
(Alasan yang bersangkutan, meskipuntidak boleh disamakan dengan
pengurangan matematika; itu adalah agak pengurangan kewajiban kami kepada
Allah dari kebaikan karya-karyaNya, dan tugas-tugas etis dari prinsip-prinsip
dasar).
2. Islam menjadi sistem praktis, yang mengatur aktivitas manusia. Dimana
kebutuhannya tidak sekedar pengetahuan itu sendiri, tetapi untuk pengetahuan
yang mengiformasikan praktik yang mengikutinya.
Wawancara Rashed's sangat menyediakan beberapa titik awal. Dengan
mengklaim bahwa nilai-nilai Islam secara khusus menguntungkan untuk ilmu
pengetahuan, ia menimbulkan taruhannya dan membuat beberapa pernyataan
yang bahkan orang-orang yang cukup berkomitmen untuk mempromosikan
pemahaman yang lebih baik tentang ilmu mungkin sulit untuk menerima. Seluruh
wawancara bernilai bagi pembaca, karena sebagai seorang sarjana dia hanya
tidak dapatSkor poin debat dengan baik tapi mempertimbangkan pertanyaan yang
sulit seperti 'menurun' matematika Islam setelah abad kelima belas (bagaimana
bisa itu dipahami dan diperhitungkan?). Dan dia membuat yang lebih terbatas
tetapi dengan titik penting, yang memang baik dihargaimisalnya oleh Kennedy
(1983) waktu itu memiliki nilai tertentu dalam Islam yang disebut (satu akan
berpikir) untuk aplikasi sains.
Ilmu adalah dimensi yang penting dikota Islam. Salah satu elemen adalah
menjaga waktu (miqat) kecuali di masjid.Astronomi perlu untuk melihat bulan
sabit untuk kegiatan keagamaan. Itu tidak boleh dilupakan bahwa masing-masing
masjid besar memiliki astronomer terkait dengan itu... (Rashed 2003).
Bahkan beberapa agama telah memberikan praktis matematikawan begitu
banyak untuk berpikir tentang Islam, dengan bulan lunar yang dimulai pada saat
ketika sabit terlihat yang dengan hati-hati didefinisikan doa lima kali sehari, dan
yang cepat berakhir saat senja. Para astronom bekerja tanpa kenal lelah pada
perbaikan table mereka, mengembangkan astronomi Hindu dan Ptolemaios
menjadi instrumen yang jauh lebih efisien; Tapi sedini waktu dari Qurra Ibnu
Thabit, yang menulis pertanyaan sulit pada visibilitas pertama bulan sabit,
mereka datang untuk menyadari bahwa pemahaman mereka terhadap fenomena
atmosfer yang selalu meninggalkan sedikit keraguan tentang kunci pertanyaan
dari apa yang bisa melihat.
Ilmu waktu tentu saja berguna di luar konteks keagamaan, dan begitu juga
matematika adalah penting untuk berkembang dalam masyarakat seluruh dunia
Islam sejauh itu membantu perdagangan, survei, arsitektur, dan berbagai seni
praktis; dan juga di geografi, pemahaman tentang dunia yang dikenal. Dalam hal
ini agama memasuki universitas al-Bir pada abad kesepuluh dan dapat berdiri
sebagai tokoh utama, yang mengkoordinasikan kota dimungkinkan tentang
pemahaman umum bagaimana berbagai luas tersebar pusat yang terkait di dunia,
menggunakan pemahaman yang berkembang dengan baik geometri pada bola.
Universitas al-bir dengan pengulas moden telah mengklaim lebih; pengetahuan
tersebut sangat penting untuk tujuan-tujuan keagamaan karena merancang tata
letak Masjid (katakan di Sevilla) dengan benar itu penting untuk menentukan
kiblat, arahMekkah di mana orang beriman untuk berdoa. Saat ia mengatakan:
Mari kita menunjukkan kebutuhan besar untuk memastikan arah kiblat
untuk menahan doa yang merupakan tiang Islam dan juga tiang nya. Allah, akan
dia ditinggikan, mengatakan: ' dan dari mana saja kamu keluar, maka
palingkanlah wajahmu ke Masjidil Haram. Dan dimana saja kamu sekalian
berad, maka palingkanlah wajahmu kearahnya agar tidak ada hujan bagi
manusia diantara kamu, kecuali orang-orang yang zalim diantara mereka.maka
janganlah kamu takun kepada mereka tapi takultlah kepadaKu. Dan agar
kusempurnakan nikmatKu atasmu dan supaya kamu mendapat petunjuk.' (Al-
Quran, Sura 2:150). (Al-B¯ir ¯un¯i 1967, ms. 11–12).
mungkin matematikawan berpikir pengetahuan mereka penting; tetapi
matematikawan tidak selalu penting karena mereka berpikir, dan George Sarton
menunjukkan pada tahun 1933 bahwa banyak Masjid abad pertengahan di Afrika
Utara dan Spanyol memiliki 'salah' keberpihakan, meskipun negara berkembang
matematika di negara-negara.
Masalah ini baru-baru telah dibersihkan, tampaknya dalam sebuah studi
rinci dari tulisan-tulisan hukum dan Masjid sendiri oleh Mónica Rius.12
jawabannya menarik untuk cahaya itu melempar status MATEMATIKA: pada
kenyataannya pengacara Islam menunjukkanbahwa metode complex
mathematical itu (a) kadang-kadang tidak pasti terutama dalam hal bujur dan (b)
tidak dapat diakses oleh massa yang setia, sebagaimana mestinya. karena itu
diperbolehkan untuk cara definisi sederhana, yang tentu saja memberikan lebih
'perkiraan' arah untuk berdoa. Ini bukan untuk mengatakan bahwa universitas al-
bir dan orang lain yang relevan; harus ada kasus masjid mana kiblat ditentukan
oleh matematika. Namun, di sini seperti di tempat lain, penggunaannya dapat
ditentang dan gagasan bahwa ia 'dikenakan oleh agama' tentu saja mulai tampak
sederhana.
Contoh ini dapat berfungsi sebagai kisah peringatan pada batas kegunaan
matematika, yang pasti cukup penting di dunia Islam abad pertengahan. Seperti
yang akan kita lihat, Marxis cenderung klaim bahwa matematika adalah didorong
oleh tuntutan masyarakat, dan matematikawan ketika mereka mengklaim bahwa
mereka sedang melakukan pekerjaan penting dan berguna. Namun, jika banyak
organisasi Islam menguntungkan untuk ilmu pengetahuan, pasti ada saat-saat dan
tempat ketika ilmu pengetahuan bisa dihilangkan bahkan diperlakukan dengan
kasar.13 untuk membuat paralel, Descartes, Pascal dan Galileo orang Kristen
yang baik dari para pendahulu mereka. Jika mereka menemukan bahwa agama
mereka dapat dipadukan dengan pandangan ilmiah yang rasional dan praktis,
penyebabnya adalah mungkin untuk dapat ditemukan dalam iklim ideologis, atau
apa yang akan memanggil Marxis hubungan-hubungan produksi. Dengan
demikian, kesulitan tertentu dalam pernyataan dengan mana ini membuka bagian
adalah Rashed itu tampaknya akan memperlakukan Islam, sebagai agama dan
filsafat outlook, sebagai homogen di efek positif pada ilmu (setidaknya selama
periode abad pertengahan). Ini akan menarik untuk melihat bagaimana bereaksi
sejarawan spesialis lainnya.
Lampiran A. Dari Aljabar Al- Khwarizmi
(Dari Fauvel dan Gray 6.B.1)
Akar adalah setiap kuantitas yang dikalikan dengan dirinya sendiri, yang
terdiri dari satuan, atau bilangan yang menaik, atau pecahan yang menurun.
Kuadrat adalah jumlah seluruh akar yang dikalikan dengan dirinya sendiri.
Bilangan sederhana adalah setiap bilangan yang dapat dinyatakan dengan
dirinya sendiri tanpa mengacu pada akar atau kuadrat.
Anggota bilangan dari kelompok bilangan yang satu mungkin sama
dengan bilangan dari kelompok yang lain; kita bisa mengatakan,‘kuadrat sama
dengan akar‘, atau ‗kuadrat sama dengan bilangan‘, atau ‗akar sama dengan
bilangan‘.
[Al- Khwarizmi kemudian menguraikan dengan contoh-contoh kasus ini
sebelum melanjutkan sebagai berikut.]
Saya menemukan bahwa tiga jenis, yaitu: akar, kuadrat dan bilangan,
dapat dikombonasikan bersama-sama, dengan begitu akan menghasilkan
persamaan baru; yaitu,‘kuadrat dan akar sama dengan bilangan‘;‘kuadrat dan
bilangan sama dengan akar‘;‘akar dan bilangan sama dengan kuadrat‘.
Akar dan kuadrat sama dengan bilangan : misalnya, ‗ Suatu kuadrat
ditambah Sepuluh akarnya yang sama menghasilkan Tiga Puluh Sembilan
Dirham‘; maksudnya, berapa kuadratnya, ketika suatu kuadrat ditambahkan
Sepuluh kali akarnya sendiri, lalu dijumlahkan dengan Tiga Puluh Sembilan?
Solusinya seperti ini: kita membagi dua bilangan yang di dalam akar , yang mana
dalam contoh ini menghasilkan Lima. Ini kita kalikan dengan bilangan itu sendiri;
hasilnya adalah Dua Puluh Lima. Tambahkan dengan Tiga Puluh Sembilan;
jumlahnya adalah Enam Puluh Empat. Kemudian akarkan hasilnya, diperoleh
Delapan, dan kurangkan dari setengah bilangan di dalam akar, yaitu Lima;
hasilnya adalah Tiga. Inilah akar kuadrat yang kita cari; yang mana kuadrat
bilangan itu sendiri adalah Sembilan.
[...]
[Demonstrasi Geometris]
Kita telah menjelaskan cukup jauh tentang bilangan yang bersangkutan,
tentang Enam macam persamaan. Namun begitu, perlu bagi kita untuk
mendemonstrasikan secara geometris kebenaran dari proposisi yang telah kita
jelaskan dalam bilangan-bilangan. Oleh karena itu, proposisi pertama kita dalam
hal ini, yaitu suatu kuadrat dan Sepuluh kali akarnya menghasilkan Tiga Puluh
Sembilan unit.
Pembuktiannya yaitu jika kita membangun persegi dengan sisi yang tidak
diketahui, dan misalkan gambar ini merepresentasikan persegi itu, bersama
dengan akar-akarnya, yang ingin kita cari. Misalkan terdapat persegi ab [gamb. 3.]
dimana setiap sisi merupakan salah satu akarnya. Dengan begitu, Sepuluh kali
akarnya digambarkan dengan persegi, kita mengambil keempat bagian dari yang
Sepuluh itu dan menggunakannya untuk setiap sisi pada persegi dengan jarak
yang sama, yang mana panjangnya harus sama dengan persegi yang gambar
pertama dan luasnya Dua Setengah, yang mana itu adalah Empat begian dari
Sepuluh. Oleh karena itu, Empat bidang dengan sisi-sisi yang sama diterapkan
pada persegi ab. Masing-masing panjangnya adalah panjang akar satu pada
persegi ab dan juga luas masing-masing persegi adalah Dua Setengah, seperti
yang telah dikatakan sebelumnya. Sebutlah daerah c, d, e, f. Oleh karena itu,
menurut apa yang telah kita bahwa akan ada empat bidang yang memiliki sisi-sisi
yang tidak sama panjang, yang juga dianggap tidak diketahui. Ukuran bidang pada
masing-masing segiempat, yang diperoleh dengan Dua Setengah dengan
Setengah, melengkapi sisi persegi yang paling besar atau seluruh area. Dimana
kita melengkapi gambar yang paling besar dengan penambahan pada empat
produk, masing-masing ditambahkan Dua Setengah; keseluruhan dari perkalian
ini memberikan Dua Puluh Lima.(gamb. 7.).
Dan sekarang jelas bahwa gambar persegi yang pertama, yang merupakan
persegi yang tidak diketahui dan empat bidang di sampingnya menghasilkan Tiga
Puluh Sembilan. Ketika kita menambahkan Dua Puluh Lima pada ini, yaitu,
Empat persegi yang kecil yang sebenarnya bertempat pada Empat sisi pada
persegi ab, gambar persegi yang besar disebut GH, dilengkapi. Dimana
keseluruhan jumlahnya adalah Enam Puluh Empat, yang mana Delapan adalah
akarnya, dan dari sini terbentuk suatu sisi pada gambar yang lengkap. Oleh karena
itu, ketika kita kurangkan dari Delapan kali Empat bagian dari Sepuluh, yang
ditempatkan di ujung-ujung persegi yang besar GH, akan tetap ada namun
berjumlah Tiga. Lima yang dikurangkan dari Delapan, haruslah bersisa Tiga, yang
mana sama dengan suatu sisi pada persegi ab yang pertama.
Gamb.8 gambar untuk pembuktian Thabit. Bandingkan Gamb. 4 (Euclid II.6).
ABCD (cara penulisannya terlihat aneh, tapi perlu untuk acuan kerja) adalah
‗persegi‘ dalam contoh, dan bujur sangkar DE (atau BEGD) adalah ‗akar‘.
Jumlahnya adalah ‗angka‘, dan diketahui AF = FE.
Lampiran B. Thabit ibnu Qurra
Persamaan yang pertama yaitu: kuadrat dan akar menghasilkan bilangan.
Cara membuktikannya dengan menggunakan Enam bentuk standar pada buku
kedua elemen Euclid adalah sebagai berikut. Kita buat persegi ABCD pada
persegi yang telah ada, dimana BE menjadi keseragaman unit yang mengukur
sebuah garis, sama dengan memberikan angka pada akar. [jadi pada contoh di
atas, BE adalah 10 unit.] Kita menggambar segiempat DE [lihat gamb.8]. Maka
jelaslah bahwa akarnya adalah AB, dan perseginya adalah ABCD. Pada daerah
asal aritmatika dan bilangan, itu sama dengan hasil AB dengan unit yang
mengukur sebuah garis. Dalam hal ini, hasil AB dengan unit yang mengukur
sebuah garis sama dengan akar dalam daerah asal aritmatika dan bilangan. Namun
BE seperti sebuah bilangan yang menghasilkan bilangan dalam akar. Dan juga
hasil AB dengan BE sama dengan akar pada kasus dalam daerah asal aritmatika
dan bilangan. Namun, hasil AB dengan BE adalah segiempat DE, seperti AB
sama dengan BD. Jadi segiempat DE adalah dirinya sendiri sama dengan akar
pada kasus. Dengan demikian keseluruhan segiempat CE sama dengan persegi
dan akar.
[inti dari repetisi ini memperlihatkan bahwa Thabit berhati-hati dalam
mengingatkan pembaca bahwa kita bekerja dalam rangka dimana bilangan dapat
digambarkan dengan garis-garis, seperti yang ada dalam buku-buku aritmatika
Euclid; atau dengan bidang, jika kita membuat persegi panjang dari garis tersebut,
seperti yang terjadi dalam buku X. Dia telah menggambarkan sebuah gambar
sama dengan (kuadrat dan akar) yang mana tidak sama dengan gambar al-
Khawarizmi yang merupakan persegi panjang tunggal.]
Namun, kuadrat dan akar sama dengan bilangan yang telah diketahui. Jadi
persegi panjang CE diketahui dan itu sama dengan hasil AE dengan AB, seperti
AB sama dengan AC. Maka hasil EA dengan AB diketahui dan garis BE
diketahui, seperti bilangan unitnya telah diketahui.
Dalam hal ini, pertanyaannya berpusat pada sebuah masalah geometris
yang diketahui, disebut: garis BE diketahui, itu menghasilkan AB, dan hasil EA
dengan AB diketahui. Namun dalam proposisi ke enam pada buku kedua Elemen
itu memperlihatkan bahwa jika garis BE dibagi dua sama besar pada poin F, lalu
hasil EA dengan AB bersama dengan persegi pada BF sama dengan persegi pada
AF. Namun, hasil pada EA dan AB diketahui. Karena itu persegi pada AF
diketahui, dan juga AF diketahui, dan jika dari itu diperkurangkan BF, yang juga
diketahui, ada yang dilupakan dari AB, yaitu akar. Jika kita mengalikannya
dengan yang lain sama dengan dirinya sendiri, kita mendapatkan persegi ABCD
telah diketahui. Inilah apa yang perlu diperlihatkan.
Lampiran C. Dari Al-Kashi, Kunci Kalkulator
Pada ukuran tubuh dengan dengan wajah yang teratur
...
Terdapat tujuh bentuk. [al-Kashi mempertimbagkan bahwa bukan hanya lima
yang biasa itu, tapi juga dua benda padatan semiregular (lihat gamb. 9) yang
menampakkan semua keteraturannya, dan diatur secara teratur, namun tidak
semua sama.]
Yang pertama berisi empat rupa, yaitu segitiga samasisi berbentuk bola,
yaitu bentuk yang bulat dengan empat segitiga samasisi. Penampakannya seperti
piramida dengan sebuah dasar segitiga, dan terbuat dari empat piramida, yang
dasar adalah wajahnya, dan yang puncak adalah pusatnya. Pengukuran ini adalah
sebagai berikut: buat persegi dalam diameter bola yang dibatasi, dan temukan akar
dari dua pertiga dari situ, dan juga akar seperdua persegi dalam diameter, dan
yang pertama akan menjadi sisi dari dasar, dan yang kedua puncak dari sisi
segitiga. Jika kita kalikan salah satunya dengan seperdua yang lain, kita temukan
bidang di satu sisi. Jika kita kalikan ini dengan dua per sembilan dari diameter
bola, kita peroleh volumenya.
Di sisi lain. Kita kalikan diameter satu kali dengan 0 48 59 23 15 41 per
lima, dan kita dapatkan sisinya, dan lain kali kita kalikan dengan 0 42 25 35 3 53
per lima, dan kita dapatkan puncak dari segitiga. Dan sisanya lakukan seperti
sebelumnya.
[Hubungan yang utama s = . d, pada sisi tetrahedron pada diameter
bola, telah ditemukan dalam Euclid XIII.13 dan juga ‗pengetahuan biasa‘ diantara
para sarjana Samarkand; yang mana adalah mungkin penyebab mengapa al-Kashi
merasa tidak perlu dibuktikan. Dan telah dikatakan, bukunya menonjolkan
metode, bukan pembuktian, walaupun dari pekerjaan lainnya kita tahu bahwa dia
dapat menghasilkan pembuktian yang serius saat dibutuhkan. Adapun bangun-
bangun yang sebenarnya, dalam sexagesimal pada ‗ seperlima‘ (1/ , atau
sekitar 1.2 x ), mereka mengambil dari metode standar, yang telah tetapkan
sebelumnya, untuk mengekstraksi akar kuadrat; angka pertama adalah dan
yang kedua . Sangat menarik untuk membandingkan yang kedua dengan
versi Babilonia pada Tabel Yale (Bab 1, gamb. 6),
yang memiliki nilai 42 25 35. Apa metode sama yang digunakan?] Di atas (gamb.
10) adalah tabel yang al-Kashi berikan pada padatan yang teratur.
Latihan 10. Gambarlah sebuah tetrahedron dengan puncak
(1, 1, -1), (1, -1, 1), (-1, 1, 1), (-1, -1, -1)
(setengah puncaknya adalah kubus)
(1) Mengapa ini adalah tetrahedron biasa?
(2) Berapa panjang sisinya?
(3) Apakah diameter bola dibatasi? Jelaskan hubungan yang al-Kashi
berikan.
(4) Apa arti pernyataan yang lain? Dapatkah Anda memeriksanya?
Dapatkah Anda melakukan semua ini tanpa menggunakan koordinat?
Solusi untuk latihan di atas
1. Jelaslah ‗is‘ menunjukkan tempat yang ganjil (dihitung dari akhir); dan
intinya bahwa kamu memulai titik melihat bilangan sampai pada tempat
ganjil yang terakhir (misalnya 5 untuk 576, atau 13 untuk 1369). Seluruh
bagian dari akar bilangan ini—yang mana sebuah bentuk tunggal—
memberikan kita bentuk pertama pada jawabanmu.
Sekarang kita punya 2 sebagai akar dari 4, persegi terbesar kurang
dari 5.
Anda kurangkan persegi (4) dari 5, dan menurunkan sisa yang diberikan
176. Sekarang dua kalilipat dari dua (4 lagi) dan taruh itu di bawah 7,
sehingga efektif 40. Ekspresi Al-Uqlidisi berarti bahwa kita mencari x
seperti 40x + = 176 yang tersisa. Dengan kata lain, (40 + x)x = 176.
Nyatanya, ini memenuhi x=4.
Metode ini hanya menggunakan rumus biasa untuk ,
dengan a=20 dan b= x yang tidak diketahui. Jika hal ini sedikit
membingungkan, cobalah tiga atau empat bentuk persegi. Maka lihatlah
penyamarataan untuk yang lebih besar.
2. Seperti di Bab 2, gunakan aljabar untuk menyederhanakannya. Sebutlah
panjang AB ‗a‘. Lalu BC = a, BD = a/2, dan juga CD = (a/2) . Oleh
karena itu dengan konstruksi, DE = CD = (a/2) . Maka AE = a((1 +
)/2). Ini adalah panjang yang benar untuk konstruksi ‗seksi emas‘ pada
Bab 2; segitiga ABG yang perbandingan sisinya 1 : 1 + )/2 : 1 + )/2
yang memiliki sudut , dan konstruksi berlangsung seperti
yang diperlukan.
3. Al-Khawarizmi telah memberikan enam model persamaan dan itu semua
selalu diikuti oleh penerusnya pada periode pertengahan dan awal modern.
Ada tiga yang ‗trivial‘: akar sama dengan bilangan, akar sama dengan
kuadrat, dan kuadrat sama dengan bilangan; dan tiga ‗serius‘ yang lain:
akar dan kuadrat menghasilkan bilangan, akar dan bilangan menghasilkan
kuadrat, dan kuadrat dan bilangan menghasilkan akar. (intinya bahwa
semua koefisien harus positif) dan lagi, karena harus ada solusi positif,
bentuknya (kita harus memikiran keanggotaan yang bernilai) ‗kuadrat dan
akar dan bilangan menghasilkan nol‘ (misalnya + 3x + 2 = 0)
ditiadakan.
4. AD sama dengan AB + BD, atau a + b. ‗Persegi panjang AD oleh DB‘
dalam bahasa Euclid bahwa bidang pada persegi panjang yang sisinya
sama dengan AD dan DB, maka itulah hasil (a + b)b. Karena C adalah titik
tengah AB, CB = a/2; sementara CD = CB + BD = (a/2) + b. Dari
pernyataan ini, diperoleh sebagai berikut.
5. (a) metode Al-Khawarizmi berawal dari membagi dua akar—hasil 1.
Kuadratkan ini, hasil 1; tambahkan pada 1 (‗bilangan‘), hasil 2. Masalah
kita sekarang adalah mengambil akar pangkat. Jika kita dapat (sebut hasil
seperti biasa) kurangkan setengah dari akar, yaitu,1 , dan dapatkan
jawabannya – 1. (b) garis BE sepanjang 2; dan kita harus membangun
AB sehingga persegi pada AB dan persegi panjang AB. BE sama dengan
1, kita bagi BE setengah F, jadi BF = 1. Euclid II.6 mengatakan bahwa EA
. AB bersama dengan persegi pada BF (misal 1 + 1 = 2) menghasilkan
persegi pada AF. Maka kita bangun persegi pada bidang 2
(membandingkan Meno!); sisinya adalah AF. Kurangkan BF (misalnya 1),
dan kita punya hasil AB. Ini tergantung pada fakta bahwa kita dapat
membangun AF, yang panjangnya adalah , secara geometri tanpa
mengatakan berapa panjangnya.
6. Sebutlah ‗jumlahnya‘ x. Jika 10 ditambahkan pada penjumlahan (10 + x),
dan penjumlahan (misalnya jumlahnya) dikalikan dengan , kita peroleh
(10 + x) . Ini dikatakan sama dengan hasil penjumlahan (kata ini
mungkin digunakan berlebihan) dengan dirinya sendiri; yaitu, untuk .
Maka, (10 + x) = seperti yang dinyatakan.
Dengan aturan kuadratik biasa: tuliskan - x - 10 = 0.
Solusinya adalah
x = ( )
Jelasnya untuk solusi positif kita menginginkan akar positif, dan
penyusunan kembali dari menempatkan ekspresi dalam bentuk yang
diberikan abu Kamil.
7. Karena sin = , pengaturan sin = y kita memperoleh persamaan
4 + = 3y.
8. Daripada mencoba untuk mengulangi pembagian (yang merupakan
pembagian panjang langsung dari polinomial- polinomial), berdasarkan
dua tabel yang diperlihatkan pada gambar. Yang pertama memperlihatkan
pembagi sederhana P diatur dalam kolom sesuai dengan kekuasaan,
dengan koefisien (20, 2, 58, 75,....); dan di bawahnya adalah pembagi Q =
2 | 5x | 5 | (10/x), bergeser tiga tempat ke atas (maka dikali ), siap
dikalikan dengan 10 dan diperkurangkan. Tabel kedua memiliki 10 tempat
kubus pada baris atas (hasil); pada baris kedua adalah koefisien P - 10
Q; dan di Q ketiga lagi, kali ini bergeser dua kali ke atas dan siap untuk
diperkurangkan kembali. Proses ini memuat ketika al-Samaw‘al
menemukan bahwa sisa terakhirnya (4 + 10 + 10 + 10 ) tepat
dikalikan 2/ kali Q, dan kita dapat berhenti.
9. Ini adalah latihan yang sedikit keras dalam geometri bola. Kita harus tahu:
(a) lintang kami, sebut . (b) lintang Mekkah, sebut . Dan akhirnya
perbedaan antara lintang kami dan bahwa mekkah, katakanlah .
(pikirkan ini sebagai sudut segitiga.) kita lalu punya segitiga bola ABC
(gamb. 11). Sudut pada kutub adalah C, dan dua sudut berdampingan
adalah a dan d (derajat lintang). Kiblatnya adalah ditetapkan oleh sudut
yang segaris dari kita ke Mekkah dibuat dengan Utara; sudut B pada
gambar. ‗Rumus Sin‘ untuk geometri bola:
=
Akan memberikan kita B jika kita mengetahui c, karena kita tahu b dan C.
Namun kita bisa dapatkan c dari ‗rumus formula‘:
cos c = cos a cos b + sin a sin b C
(lihat Gray 1978, p46)
10. Mudah untuk memeriksa bahwa puncaknya memberikan jarak sejauh 2
satu sama lain; yang ditetapkan (1) karena bentuknya harus segitiga
samasisi, dan juga jawaban (2). Anda dapat menemukan pusat bola baik
dengan melihat bagian lain dari kubus (puncaknya adalah puncak
alternatif pada kubus), atau dengan menemukan pusat gravitasi, jelaslah
(0, 0, 0). Radisunya adalah panjang garis yang menghubungkan ini ke
puncak, yaitu, , diameternya 2 . Jadi s : d = 2 : 2 = : 1.
‗Ketinggian sisi segitiga‘ adalah tinggi dari segitiga samasisi pada
sisi 2 pada mmodel kita, yaitu, (menggunakan sin = /2).
Perbandingan dari ini ke d menjadi : 2 = : 1. Pernyataan tentang
bidang (=setengah kali alas kali tinggi) adalah ‗klasik‘. Volumenya adalah
bidang alas (baru ditemukan) kali sepertiga dari tingginya, dari rumus
volumenya limas. Untuk menemukan tinggi dari limas, catat bahwa tiga
titik yang bukan (-1, -1, -1) memiliki pusat grafitasi ( . Tingginya
adalah panjang garis yang menghubungkan ini ke (-1, -1, -1), dan mudah
untuk melihat bahwa ini adalah .d. Itulah ‗dua per tiga al-Kashi‘.
Untuk membuktikan itu tanpa menggunakan koordinat-koordinat,
lihat pada Euclid XIII.13.