Interpolasi

Tujuan Topik

Modul ini ditujukan untuk menjelaskan Langkah-langkah yang sistematis dan logis

untuk menentukan fungsi atau hubungan dua atau lebih variabel dari pasangan

numerik.Dalam hal ini metode yang dijelaskan adalah metode interpolasi linier untuk

pasangan data yang dianggap linier, dan metode interpolasi non-linier untuk pasangan yang

dianggap tidak linier. Metode untuk pasangan data numerik linier disebut interpolasi atau

ekstrapolasi linier, sementara untuk pasangan data tidak linier disebut metode interpolasi

Lagrange dan interpolasi Newton. Dengan demikian Mahasiswa diharapkan bisa membentuk

fungsi dari data numerik dengan demikian Mahasiswa dapat menaksir harga harga diantara

titik-titik yang linier maupun tidak linier.

Interpolasi linier dan Ekstrapolasi linier.

Interpolasi adalah taksiran harga-harga diantara titik-titik diskrit didalam bentangan data

benar-benar tepat dan pendekatannya adalah mencari kurva tunggal atau sederetan kurva

yang tepat melalui titik-titik tersebut. Ekstrapolasi adalah taksiran harga-harga diluar batas

data yang diamati. Persamaan yang digunakan untuk menentukan fungsi dari data numerik

linier menggunakan interpolasi sama dengan menggunakan ekstrapolasi yaitu:

((y-y1)/(y2–y1)) =((x-x1)/(x2-x1))

Dimana y = f(x), sementara x merupakan variabel bebas,

y2,y1, x1 dan x2 merupakan data numerik.

Kesalahan pemotongan pada interpolasi linier adalah: eT = (f’’(ξ)/2)((x-x1)(x-x2)); x1≤ ξ

≤x2, sementara kesalahan ekstrapolasi pada umumnya lebih besar dari kesalahan interpolasi.

Contoh:

Interpolasi linier:

Jika diketahui x1= 2,15; x2=2,16; y1=1,4663; y2= 1,4697;

Maka untuk x= 2,155; berapakah y=?

Jawab: dari rumus interpolasi linier:

(y-1,4663)/(1,4697) = (x-2,15)/(2,16-2,15),

Diperoleh bahwa y = 1,4697 (x-2,15)/(0,01)

= 146,97 (x-2,15)

Maka untuk x= 2,155, diperoleh y= 1,4680

Ekstrapolasi linier:

Jika diketahui x1= 1; x2=2; y1=-3; y2= -1;

Maka untuk x = 4, berapakah y =?,

Jawab,

Dengan cara yang sama seperti contoh interpolasi linier, maka diperoleh y= 3

Interpolasi Non Linier.

Interpolasi non linier digunakan untuk menentukan fungsi atau hubungan dua atau lebih

variabel yang memiliki data numerik tidak linier.

1. Interpolasi Lagrange

Untuk menentukan fungsi dari pasangan non linier berorde n (atau pangkat tertinggi)

ditulis dalam bentuk:

fn(x) = Li(x).f(xi) , dimana i=0 s/d n

sementara Li(x) = (x-xj)/(xi-xj), dimana j=0 s/d n, j≠i

Dari persamaan ini, syarat untuk mendapatkan fungsi orde 2, perlu 3 buah titik data,

orde 3 perlu 4 buah titik data dan untuk orde n perlu (n-1) titik data.

contoh:

Diketahui pasangan numerik berupa data berbetuk non-linier seperti pada tabel berikut:

x f(x)

0 1

2 5

4 17

Tentukan: a. cari polinom orde2

b. hitung nilai f(1)

Jawab:

a.

n=3,

f2(x) = Li(x).f(x); i=0 s/d 2

f2(x) = L0(x).f(x0) + L1(x).f(x1) + L2(x).f(x2)

= L0(x).1+ L1(x).5 + L2(x).17

L0(x)= (x-xj)/(xi-xj), ; j=0 s/d 2, j≠i

=[(x-x1)/(x0-xj)][(x-x2)/(x0-x2)]=[(x-2)/(0-2)][(x-4)/(0-4)]

=(x2-6x+8)/(8)

L1(x)= (x2-4x)/(-4)

L2(x)= (x2-2x)/(8)

Maka : f2(x)= L0(x).1+ L1(x).5 + L2(x).17

= [(x2-6x+8)/(8)].1 + [(x

2-4x)/(-4)].5 + [(x

2-2x)/(8)].17

= x2+1

b. f2(1)= 12+1=2

Sifat-sifat interpolasi Lagrange:

* Kesalahan pemotongan:

eT = (fn() )( (x-xj))/(n), j=0 s/d n

* Kesalahan pembulatan sebanding dengan n2

* Jika n bertambah, kesalahan pemotongan

berkurang lebih cepat daripada pertambahan

pemotongan kesalahan pembulatan.

.

2. Interpolasi Newton.

Untuk menentukan fungsi dari pasangan non linier berorde n (atau pangkat tertinggi)

ditulis dalam bentuk:

fn(x) = f(xo) + (x-xo) f[x1,xo] + (x-xo)(x-x1)f[x2,x1,xo] + …

dimana:

f[xi,xj] = (f(xi) - f(xj))/( xi – xj )

f[xi,xj,xk] = (f[xi,xj] - f[xj,xk] )/( xi – xk )

...

Dari persamaan ini, syarat untuk mendapatkan fungsi orde 2, perlu 3 buah titik data,

orde 3 perlu 4 buah titik data dan untuk orde n perlu (n-1) titik data.

Ada dua macam interpolasi Newton yaitu 1. Forward (pengambilan data dari atas ke bawah)

yaitu pengambilan data dimulai dai f(xo), dan 2. Backward (pengambilan data dari bawah

keatas, yaitu diakhiri dengan data f(xo).

Contoh:

Carilah polinom orde 2 dengan Newton forward dan backward dari data berikut,

kemudian cari f(1).

x f(x)

0 1

2 5

4 17

Silahkan dicoba dengan mencari dahulu f[xi,xj], f[xi,xj,xk] , lalu memasukkannya ke

persamaan fn(x).

Kesimpulan

1. Metode Interpolasi linier maupun ekstrapolasi linier bisa digunakan untuk

menentukan fungsi linier, sementara metode Lagrange dan Newton digunakan untuk

menentukan fungsi non linier.

2. Dengan demikian bisa diprediksi pasangan numerik baik bentuk linier maupun non

linier.

Daftar Pustaka

1. Steven C. Chapra and Raymond P. Canale, “ Numerical Methods For

Engineers With Personal Computer Applications”, Mc Graw-Hill,

International Edition, Computer Science Series, Singapore, 1985.

2. John H. Mathews, “Numerical Methods For Mathematics, Science, And

Engineering” ( second edition), Prentice Hall International Editions. 3. William S. Dom and Daniel D. McCraken, “Numerical Methods With Fortran IV Case

Studies”.