Metode Numerik InterpolasiDitulis pada16 Desember 2013Pada materi metode numerik ini dibahas tentang konsep interpolasi dan jenis-jenis interpolasi.Konsep InterpolasiInterpolasi merupakan suatu pendekatan numerik yang perlu dilakukan, bila kita memerlukan nilai suatu fungsi y = y (x) yang tidak diketahui perumusannya secara tepat, Pada nilai argumen x tertentu, bila nilainya pada argumen lain di sekitar argumen yang diinginkan diketahui. Sebagai contohnya, misal kita melakukan percobaan atau pengamatan, dan dari upaya tersebut, diperoleh sekumpulan data (x,y), seperti pada tabel berikut hubungan y = f(x) tidak kita ketahui secara jelas (eksplisit).xy

1.01.11.21.31.41.51.01.211.441.691.962.25

Misalkan suatu waktu kita memerlukan nilai y = f(1.45), yang tidak tercantum pada tabel di atas. Dalam keadaan demikian, kita perlu memperkirakan nilai y (1.45) dengan melakukan interpolasi pada data yang tersedia. Untuk itu kita perlu memisalkan bahwa antara dua titik argumen yang berdekatan, y mengikuti suatu fungsi tertentu, misalkan bahwa antara x = 1.4 dan x = 1.5, fungsi berbentuk linear, atau y (1.4) dan y (1.5) dihubungkan oleh suatu garis lurus. Dengan demikian y (1.45) terletak di tengah-tengah antara y (1.4) dan y (1.5), sehingga berdasarkan anggapan tersebut diperoleh:Y (1.45) = (1.96 + 2.25) / 2 = 2.0325Cara demikian disebut interpolasi linear.Ada berbagai cara interpolasi yang dapat disusun, yang tergantung pada anggapan kita tentang fungsi yang menghubungkan y = f(x), yang nilai y-nya diketahui.Jenis-Jenis Interpolasi Interpolasi Linear Interpolasi Kuadratik Interpolasi PolinomialInterpolasi Liniermenentukan titik-titik antara 2 buah titik dengan menggunakan pendekatan fungsi garis lurus

interpolasi linierPersamaan garis lurus yang melalui 2 titik P1(x1,y1) dan P2(x2,y2)

Sehingga diperoleh persamaan dari interpolasi linier :

Interpolasi KuadratikInterpolasi Kuadratik menentukan titik-titik antara 3 buah titik dengan menggunakan pendekatan fungsi kuadrat 3 titik yang diketahui: P1(x1,y1), P2(x2,y2) danP3(x3,y3)

Untuk memperoleh titik Q(x,y) digunakan interpolasi kuadratik:

Interpolasi PolinomialInterpolasi Polinomialmenentukan titik-titik antara N buah titik dengan menggunakan pendekatan fungsi polynomial pangkat N-1Titik-titik yang diketahui: P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3)PN(xN,yN)

Persamaan polynomial pangkat N-1Masukkan nilaidarisetiaptitikkedalampersamaanpolynomial diatas,diperoleh persamaan simultan dengan n persamaan dan n variabel bebas

Dipublikasi diAkademik TI UPY |Taginterpolasi,Metode Numerik |Berikan sebuah balasanMetode Numerik InterpolasiLagrangeDitulis pada16 Desember 2013KONSEP INTERPOLASIAproksimasimerupakan salah satu usaha untuk menyajikan data berbentuk grafis menjadi kalimat matematis.Secara umum aproksimasi harus mendapatkan suatu fungsi yang melewati semua titik yang diketahui. Aproksimasi ini dikenal sebagai interpolasi. Karena harus melewati semua titik yang ada, maka ada banyak fungsi yang memenuhi, kecuali jika fungsi tersebut mempunyai syarat tertentu.x = xi f(xi) = yiSedangkan secara khususaproksimasitidak mensyaratkan melewati semua titik. Walaupun demikian solusi yang didapat haruslah merupakan hasil terbaik yang mendekati semua titik yang diketahui. Aproksimasi secara khusus lebih dikenal dengan istillah regresi.x = xi f(xi) yiAda banyak metode interpolasi yang dapat diterapkan, diantaranya adalah:1. Interpolasi Newton2. Interpolasi Lagrange3. Interpolasi Hermite4. Interpolasi InversKONSEP INTERPOLASI LAGRANGEInterpolasi Lagrangemerupakan teknik yang popular, karena menggunakan fungsi dalam bentuk polinom.Jika fungsi yang dicari adalah f(x) dan cacah data n maka :

Baca lebih lanjutMetode Numerik InterpolasiLagrangeDitulis pada16 Desember 2013Rate This

KONSEP INTERPOLASIAproksimasimerupakan salah satu usaha untuk menyajikan data berbentuk grafis menjadi kalimat matematis.Secara umum aproksimasi harus mendapatkan suatu fungsi yang melewati semua titik yang diketahui. Aproksimasi ini dikenal sebagai interpolasi. Karena harus melewati semua titik yang ada, maka ada banyak fungsi yang memenuhi, kecuali jika fungsi tersebut mempunyai syarat tertentu.x = xi f(xi) = yiSedangkan secara khususaproksimasitidak mensyaratkan melewati semua titik. Walaupun demikian solusi yang didapat haruslah merupakan hasil terbaik yang mendekati semua titik yang diketahui. Aproksimasi secara khusus lebih dikenal dengan istillah regresi.x = xi f(xi) yiAda banyak metode interpolasi yang dapat diterapkan, diantaranya adalah:1. Interpolasi Newton2. Interpolasi Lagrange3. Interpolasi Hermite4. Interpolasi InversKONSEP INTERPOLASI LAGRANGEInterpolasi Lagrangemerupakan teknik yang popular, karena menggunakan fungsi dalam bentuk polinom.Jika fungsi yang dicari adalah f(x) dan cacah data n maka :

ALGORITMA INTERPOLASI LAGRANGEDari manual diatas dapat dituliskan algoritma kasarnya sebagai berikut :1. Tetapkan jumlah titik yang diketahui.Untuk menginputkan titik yang diketahui dapat meenggunakan dua array x dan y denganjumlah data = jumlah titiknya.Dengan dua array akan lebih mudah mengatur perilaku data didalam program. Bisa jugamenggunakan banyak array sejumlah titik yang diketahui, sehingga masing-masing pasang datadisimpan dalam satu array. Cara ini terlihat lebih sederhana, tetapi lebih sulit dalam mengaturperilaku data.Dalam implementasi ini nantinya akan dipilih cara yang pertama, yakni menggunakan duaarray x dan y.2. Mencari Li(x) dan P(x)Li(x) didapat sejumlah titik yang diketahui, sehingga diperlukan perulangan sebanyak titikyang diketahui. Demikian pula P(x) merupakan jumlahan dari perkalian yi dan Li(x), sehinggamemerlukan perulangan yang jumlahnya sana dengan proses pencarian Li(x). Untuk mencari Li(x)diperlukan Qi(x) dan Qi(xi). Karena Qi(x) merupakan hasil perkalian (x-xi) sejumlah titik yangdiketahui, maka diperlukan perulangan lagi untuk mencarinya. Tetapi yang harus diingat disiniadalah bahwa, untuk (x-xi) tersebut tidak ikut dalam hasil perkalian. Sehingga proses hanya akandilakukan untuk nilai selain (x-xi). Untuk Qi(xi) dapat dicari setelah Qi(x) diketahui dengan caramensubstitusi nilai xi ke dalam Qi(x). Setelah Qi(x) dan Qi(xi) diketahui dapat dicari Li(x). Danuntuk selanjutnya mencari P(x).Misalnya banyaknya titik yang diketahui adalah b, maka algoritma diatas dapat diperhalusmenjadi sebagai berikut: Inputkan b. Dari i = 1 s.d bInputkan titik ke i Dari i = 1 s.d bCari Qi(x)Cari Qi(xi)Cari Li(x)Cari P(x)PEMROGRAMAN DAN PENGETESAN INTERPOLASI LAGRANGEAlgoritma interpolasi lagrange di atas diimplementasikan menjadi sebuah programMatlab. Listing programnya sebagai berikut:clc;clear;%membangun objek simbolik xsyms x;%menginputkan banyaknya titikb=input('Banyak titik = ');%menginputkan masing-masing titikfor i=1:b fprintf('x%d',i) bx(i)=input(' = '); fprintf('y%d',i) by(i)=input(' = ');endclc;%menampilkan titik-titik yang sudah diinputkan ke layardisp('Titik-titik yang diketahui adalah sebagai berikut:');for i=1:b fprintf('(%d,%1.1f)',bx(i),by(i));end%inisialisasi fxfx=0;fprintf('\n\n');disp('Nilai masing-masing L(x)');

% mulai proses pencarian q(x), qx1, lx, dan pxfor i=1:b %inisialisasi qx qx=1;

%perulangan untuk mencari qx for j=1:b if (i~=j) qx=qx*(x-bx(j)); end end%mencari qx1 dengan substitusi x ke gxqx1=subs(qx,x,bx(i));%mencari lxlx=qx/qx1;lx1=collect(lx);

%menampilkan lx fprintf('L%d(x) = ',i); disp(lx1);

%mencari fx fx=fx+by(i)*lx;end%menyederhanakan fx menjadi px dan menampilkan ke layarpx=collect(fx);fprintf('Hasilnya = ');disp(px);Program diatas digunakan untuk menyelesaikan dua permasalahan yang sudah dibahasdiatas.Permasalahan pertama untuk 3 titik diketahui.Inputnya sebagai berikut :Banyak titik = 3x1 = 1y1 = -1x2 = 3y2 = 0.5x3 = 4y3 = 0Input diatas memberikan output sebagai berikut:Titik-titik yang diketahui adalah sebagai berikut:(1,-1.0)(3,0.5)(4,0.0)Nilai masing-masing L(x)L1(x) = 1/6*x^2-7/6*x+2L2(x) = -1/2*x^2+5/2*x-2L3(x) = 1/3*x^2-4/3*x+1Hasilnya = -5/12*x^2+29/12*x-3Permasalahan kedua, untuk empat titik diketahuiInputnya sebagai berikut:Banyak titik = 4x1 = 0y1 = 1x2 = 1y2 = 2x3 = 3y3 = 4x4 = 6y4 = -1Input diatas memberikan output sebagai berikut:Titik-titik yang diketahui adalah sebagai berikut:(0,1.0)(1,2.0)(3,4.0)(6,-1.0)Nilai masing-masing L(x)L1(x) = -1/18*x^3+5/9*x^2-3/2*x+1L2(x) = 1/10*x^3-9/10*x^2+9/5*xL3(x) = -1/18*x^3+7/18*x^2-1/3*xL4(x) = 1/90*x^3-2/45*x^2+1/30*xHasilnya = -4/45*x^3+16/45*x^2+11/15*x+1Output program dibandingkan dengan manual yang ada sebelumnya memberikan hasil yang sama. Selain dengan dua contoh diatas program melalui serangkaian tes dengan menggunakanberbagai macam jenis data.Tetapi perlu menjadi catatan bahwa program hanya digunakan untuk data real, tidakmenangani data kompleksKESIMPULANDiperlukan teknik tersendiri dalam mengimplementasikan interpolasi Lagrange ke dalamprogram. Teknik tersebut sebenarnya tidak jauh berbeda dalam mengimplementasikan algoritmalain pada umumnya yakni : pemilihan tipe data yang tepat, yakni pada saat input data dilakukan.Dengan aplikasi ini akan lebih mudah dalam mencari fungsi dari titik-titik yang diketahui untukmemprediksi nilai lainnya.DAFTAR PUSTAKA Krisnawati,IMPLEMENTASI INTERPOLASI LAGRANGE UNTUK PREDIKSINILAI DATA BERPASANGAN DENGAN MENGGUNAKAN MATLAB,STMIK AMIKOM Yogyakarta,e-mail : krisna@amikom.ac.id Gary J. Lastman & Naresh K. Sinha, 2000, Microcomputer-Based Numerical Methods for Scienceand Enginering. MatLab 6 Help. William J Palm, 2004, Introduction to MatLab 6 for Engineers, The McGraw-Hill Companies, Inc.