INTEGRAL DOMAINDEFINISI : Pembagi NolSebuah elemen taknol a pada ring komutatif R dinamakan pembagi nol jika ada elemen tak nol b di R sedemikian hingga a.b = 0Contoh :Pada ring Z6 2 merupakan pembagi nol karena 2.3 = 0

DEFINISI :Integral DomainRing Komutatif dengan unkes dikatakan integral domain jika tidak mempunyai pembagi nol.Contoh :

1. Ring bilangan bulat adalah integral domain2. Ring Z(x) yang beranggotakan polynomial

dengan koefisien bilangan bulat adalah integral domain

3. Ring Zp dimana p bilangan prima adalah integral domain

4. Ring Zn dimana n bukan bilangan prima adalah bukan integral domain

Teorema 3.1Misal a,b dan c termuat dalam integral domain. Jika a 0 dan ab = ac, maka b = c

Bukti :Dari ab = ac kita dapatkan a (b-c) = 0. karena a 0, haruslah b – c = 0 sehingga b = c

DEFINISI : field

Ring komutatif dengan unkes dinamakan field jika setiap elemen taknolnya adalah unit/mempunyai invers perkalian.Contoh : Bilangan kompleks, bilangan real dan bilangan rasional.

Teorema 3.2Integral Domain finit adalah field

Bukti :Misal D adalah integral domain dengan unkes 1. misal a adalah sebarang elemen taknol di D. Kita harus tunjukkan a adalah unit. Jika a = 1, a mempuyai invers dirinya sendiri. Untuk a 1. Perhatikan barisan elemen-elemen D berikut : a, a2, a3,…….karena D finit, maka ada dua bilangan bulat positif i dan j sedemikian hingga i > j dan ai = aj. Dengan sifat kanselasi ai-j =1 . karena a 1, kita tahu i-j>1 sehingga ai-j-1 adalah invers dari a.

Latihan :1. Buktikan bahwa setiap Field F adalah Integral Domain2. Tunjukkan bahwa polinomial R(x) dan Z(x) adalah

Integral Domain3. Buktikan bahwa himpunan bilangan kompleks

adalah field

Tugas Kuliah IVIDEAL

Ideal adalah jenis khusus dari subringDefinisi :

r

Sebuah subring A dari Ring R dinamakan Ideal (kiri-kanan) dari R jika untuk setiap r R dan setiap aA berlaku ra dan ar di A.

Jadi, subring A dari ring R adlah ideal dari R jika A “menyerap” elemen dari R;

Ideal R dikatakan ideal sejati jika A adalah himpunan bagian sejati dari R.

Teorema 4.1Himpunan bagian tak-kosong A dari ring R dikatakan ideal jika :1. a – b A dimana a,b A2. ra dan ar adalah di A dimana a A dan rR

Contoh 1Untuk sebarang ring R , {0} dan R adalah ideal dari R. Ideal {0} dinamakan ideal trivial.Contoh 2Untuk sebarang bilangan bulat positif n, himpunan nZ = {0, ±n, ±2n …………} adalah ideal dari Z

Contoh 3Misal R(x) adalah himpunan semua polinomial dengan koefisien bilangan real dan A adalah

ra aar

himpunan bagian semua polinimial dengan konstanta nol. Maka A adalah ideal bagi R(x)

Ideal Prima dan Ideal MaksimalIdeal sejati A dari ring komutatif R dikatakan ideal prima dari R jika a,b R dan abA berakibat aA atau bA. Ideal sejati A dari R dinamakan ideal Maksimal dari R, dimana B adalah ideal dari R dan ABR maka B=A atau B=R.

Contoh 4Misal n adalah bilangan bulat positif. Maka, dalam ring bilangan bulat ideal nZ adalah prima jika n adalah prima.Latihan :1. tunjukkan bahwa himpunan bilangan rasional

adalah subring dari bilangan real tetapi bukan merupakan ideal.

2. Misal a termuat dalam ring komutatif R. Tunjukkan bahwa aR = {arrR} adalah ideal dari R. Jika R adalah ring bilangan bulat genap. Daftarlah elemen dari 4R

3. Tunjukkan bahwa irisan dari sebarang himpunan ideal-ideal dari ring adalah ideal