INTEGRALINTEGRALINTEGRALINTEGRALWidita KurniasariWidita Kurniasari

Universitas TrunojoyoUniversitas Trunojoyo

ALJABAR KALKULUSKonsep matematika yg mempelajari

tk perubahan dr suatu fungsi

DIFERENSIAL•Mempelajari tk. perubahan rata-rata/seketika dr suatu fungsi•Mencari turunan dr suatu fungsi

INTEGRAL•Mencari fungsi asal jika diketahui nilai perubahannya•Menentukan luas bidang

APLIKASI•Menghitung nilai optimal•Analisis marginal

APLIKASI•Surplus konsumen dan surplus produsen

PENGERTIAN• Kebalikan dari diferensial/derivatif

Anti diferensial/derivatif

• Kegunaan :– Mencari fungsi asal jika diketahui

fungsi turunannya intergal tak tentu (indefinite integral)

– Menentukan luas bidang dari sebuah kurva yang dibatasi sumbu X integral tertentu (definite integral)

INTEGRAL TAK TENTU• Nilai domain tidak ditentukan• Jika Y = F(x) dan Y’ = F’(x) = f(x),

maka “integral dari f(x) terhadap X” :

• Keterangan : tanda integral– f(x) : integran– F(x) : fungsi primitif– dx : proses integral– c : konstanta

cxFdxxf )()(

INTEGRAL TERTENTU• Nilai domainnya ditentukan :

a ba : batas bawahb : batas atas

b

a

ba aFbFxFxf )()()()(

PENYELESAIAN INTEGRAL

• Rumus Dasar• Cara Substitusi• Cara Integral Parsial

RUMUS DASAR INTEGRAL0 dx = ca dx = ax + cxn dx = 1/(n+1) xn+1 + c (n≠-1)1/x dx = ln x + c1/(ax+b) dx = 1/a ln (ax+b) + cex dx = ex + ceax+b = 1/a eax+b + cax dx = ax/lna + c

CONTOH SOAL

1. (x3 – 5x2 + x + 7/x) dx

2. 100e2x dx3. Diketahui f ’(x) = 3x2 – 6x + 10 dan f(2)

= 20. a. Tentukan f(x) ! b. Hitung f (6)c. Hitung

dxxf3

1

)(

Jawab

1. (x3 – 5x2 + x + 7/x) dx 1 x 5. 1 x 1 x 7 ln x + c

2. 100e2x dx= 100. 1 e + c = 50 e + c

3. a). (3x2 – 6x + 10) dx = x - 3x + 10x + c Jadi f(x) = x - 3x + 10x + c

4

4= -

3 2+

3 2+

2x

2

2x

3 2

3 2

f(x) = x - 3x + 10x + cf(2) = 20(2) - 3(2) + 10(2) + c = 20

c = 4f(6) = (6) - 3(6) + 10(6) + 4 f(6) = 172

3 2

3 2

3 2

dxxf3

1

)( = (x - 3x + 10x + 4) dx 3 2

34 2= ¼x – x + 5x + 4x ]3

1

= (¼(3) –(3) + 5(3) +4(3)) – (¼(1) –(1) +5(1) +4(1)

4 3 2 4 3 2

= 50,25 – 8,25

= 42

b).

c).

CARA SUBSTITUSI

Digunakan jika integran merupakan hasil kali/bagi dari fungsi x yang dapat didiferensialkan serta dapat dinyatakan sebagai kelipatan konstanta dari fungsi lainnya, U du/dx.

cuFUdudxxf )()(

dxdx

duUdxxf )()(

Contoh Soal 5.(3x + 2x + 4) . (6x+2).dx

misalkan u = 3x + 2x + 4du/dx = 6x+2du = (6x+2)dxJadi 5.(3x + 2x + 4) . (6x+2).dx = 5. u .du= 5. 1 u + c = u + c

= (3x + 2x + 4) + c

2 4

2

2 4 4

4+1

5 5

52

CARA INTEGRAL PARSIAL

Digunakan jika integran merupakan hasil kali/bagi dari fungsi x yang dapat didiferensialkan, tetapi tidak dapat dinyatakan sebagai kelipatan konstanta dari fungsi lainnya, U du/dx.

duvvudvu ...

Contoh Soal

x lnx dxmisalkan : u = ln x maka du/dx = 1/x

du = dx/xdv = x dx maka v = dv v = x dx = 1/3 x

u.dv = uv - v.du = lnx.1/3x - 1/3x .dx/x = 1/3x lnx – 1/3 x dx

= 1/3x lnx - 1/3. 1/3 x + c =

2

2

2

3

33

3 2

3 3

31/3x lnx - 1/9 x + c

3

TUGAS

1. (3x + 10)7 dx2. 12x2(x3 + 2)3 dx3. 2x ex dx

APLIKASI INTEGRAL APLIKASI INTEGRAL DALAM ILMU EKONOMIDALAM ILMU EKONOMI

Aplikasi Integral1. Menghitung Fungsi Total jika diketahui

Fungsi MarginalFungsi Biaya (TC) = hubungan fungsional antara jumlah biaya dalam proses produksi dengan sejumlah output dalam jangka waktu tertentuTotal Cost (TC) terdiri atas Fixed Cost (FC) dan Variabel Cost (VC)FC selalu konstan selama jangka waktu tertentuVC adalah biaya variabel yang berubah menurut jumlah barang yang diproduksiTC = f(x) + k , dimana k = FC dan f(x) = VCMC = TC’

TC = MC

Lanjutan…Fungsi Konsumsi C = F(Y)C = jumlah konsumsi dalam satuan Rupiah

untuk setiap tingkat pendapatan Y RupiahTurunan dari C’ = F’(Y) atau C’ = MPCMPC (Marginal Prospensity To Consume)Jika MPC diketahui dan fungsi konsumsi (C) tidak

diketahui maka :C = MPC atau C = F’(Y) dy = F(Y) + c

c = autonomous consumption

2. Surplus Konsumen dan Surplus Produsen

• Surplus Konsumen (SK) : Konsumen yang mampu atau bersedia membeli barang lebih tinggi (mahal) dari harga equilibrium akan memperoleh kelebihan (surplus) untuk setiap unit barang yang dibeli.

• Surplus Produsen (SP) :Penjual yang bersedia menjual barangnya dibawah harga equilibrium akan memperoleh kelebihan harga jual untuk setiap unit barang yang terjual.

Lanjutan…

CONTOH APLIKASI INTEGRAL

1. Diketahui MC = 9Q2 + 30Q + 25. TC sebesar 4880 ketika Q sebesar 10 unit.a. Berapa FC ?b. Tentukan fungsi TC !

2. Diketahui MPC = 0,8 dan autonomous consumption = 1000. Tentukan fungsi konsumsi !

SURPLUS KONSUMEN & SURPLUS PRODUSEN : f (Q)

P

A

B

0 Q0 Q

S = g (Q)

D = f (Q)

P0 M

SK

SPSP

0

0

00

000

)()(Q

xQPdQQfSK

MQOPOAMQSK

0

0

00

000

)()(Q

dQQgxQPSP

OBMQMQOPSP

SURPLUS KONSUMEN & SURPLUS PRODUSEN : f (P)

P

A

B

0 Q0 Q

S = g (P)

D = f (P)

P0 M

SK

SPSP

A

P

dPPfSK

AMPSK

0

)(

0

0

)(

0

P

B

dPPgSP

BMPSP

CONTOH SOAL

1. Fungsi permintaan Q = 90 - 2P. Hitung surplus konsumen ketika Q = 25

2. Fungsi penawaran P = Q2 + 3. Hitung surplus produsen ketika P = 12

3. Fungsi permintaan P = 25 – Q2 dan penawaran P = 2Q + 1. Hitung surplus konsumen dan surplus produsen saat terjadi market equilibrium !

4. Fungsi permintaan Q = 15 – P dan penawaran Q = 0,25P2 - 9. Hitung surplus konsumen dan surplus produsen saat terjadi keseimbangan pasar !

LATIHAN SOAL

Hitung SK dan SP ketika terjadi ME• Fungsi permintaan P = 58 – 0,5Q dan

penawaran P = 0,5Q2 + Q + 4. • Fungsi permintaan Q = 128 – 2P dan

penawaran Q = 0,5P2 – 2,5P - 25. • Fungsi permintaan Q = – 0,5P + 530 dan

penawaran P = 0,5Q2 + 10Q + 250.