identifikasi model sistem 2007

1. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Era modern kali ini pengembangan dari system kontrol adaptif sangat

dibutuhkan untuk memudahkan pengontrolan suatu system plant. Hal ini sangat

penting untuk industri – industri besar yang biasanya mempunyai suatu input

data alir,karena inputnya akan berubah-ubah jadi untuk mendapatkan output

yang sesuai diperlukan controller yang parameternya bisa mentuning sendiri

parameter kontroller tersebut agar mendapat output yang sesuai dengan yang

diharapkan.

Adapun salah satu metode yang digunakan adalah MRAS (Model

Reference Adaptife System ) ,dimana pada MRAS membutuhkan model

referensi dimana keluaran dari model referensi tersebut akan dibandingkan

dengan keluaran plan.

Untuk mendapatkan suatu fungsi alih plan dalam MRAS digunakan

identifikasi system,yang didapatkan menggunakan MATLAB.

1.2 Batasan Masalah

Untuk memebatasi permasalahan agar tepat sesuai dengan tujuan, maka

batasan masalah dalam tugas ini adalah:

1. Metode yang digunakan adalah MRAS (Model Refrence Adaptif System).

2. Untuk mengidentifikasi system menggunakan RLS (reqursive Least

Square).

3. Software yang digunakan MATLAB.

4. Input Output yang digunakan adalah data yang diperoleh oleh dosen

pengampu mata kuliah Sistem kontrol adaptive.

1.3 Rumusan Masalah

1. Bagaimana memodelkan system menggunakan MRAS

2. Bgaimana mengidentifikasi system menggunakan RLS

3. Bagaimana menggunakan MATLAB untuk menyelesaikan tugas

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan untuk penelitian kali ini adalah untuk menemukan identifikasi

suatu fungsi alih plan dan juga untuk menentukan parameter kontroler dengan

metode MRAS.

IDENTIFIKASI MODEL SISTEM 1

2. DASAR TEORI

2.1 RLS (Reqursive Least Square)

Identifikasi sistem merupakan suatu cara menentukan model dari sistem

dinamis dengan melaksanakan percobaan. Langkah-langkah percobaan untuk

proses identifikasi meliputi:

1. Pengambilan data input-output

2. Menentukan struktur model

3. Estimasi parameter

4. Validasi model

Dua kategori metode identifikasi:

(1) metode berdasarkan pada pemutihan error prediksi;

(2) metode didasarkan pada un-korelasi vektor observasi dan error

prediksi.

Metode identifikasi tersebut dipresentasikan dalam bentuk rekursif

bersama-sama dengan teknik validasi model terkait.

Metode identifikasi berdasarkan pemutihan error prediksi (jenis 1)

Metode identifikasi rekursif berikut dibagi menjadi beberapa kategori:

- Recursive least square (RLS)

- Extended least square (ELS)

- Recursive maximum likelihood (RML)

- Output error with extended prediction model (OEEPM)

- Generalized least square (GLS)

Metode identifikasi didasarkan pada un-korelasi vektor observasi dan

error prediksi (jenis 2)

Metode identifikasi rekursif berikut dibagi menjadi beberapa kategori:

- Instrumental Variable with Auxiliary Model (IVAM)

- Output Error with Fixed Compensator (OEFC)

- Output Error with Filtered Observations (OEFO)

- Output Error with Adaptive Filtered Observations (OEAFO)


Pada identifikasi model sistem pada tulisan ini menggunakan Recursive

least square (RLS). Metode recursive least square dipresentasikan secara

detail dalam analisis dengan adanya gangguan random. Ini harus diingat

bahwa metode recursive least square memberikan estimasi yang tidak bias

hanya untuk model “plant + disturbance” (struktur S1)

Misal untuk model disturbance C(q-1) =1, dalam persamaan model

ARMAX

Recursive least square (RLS)

Alasan perlunya menggunakan estimasi parameter secara real time

dengan metode Recursive Least Squares (RLS), antara lain :

Di dalam kontroler adaptif, pengukuran dilakukan secara periodik

dengan kondisi real time

Dibutuhkan perhitungan secara rekursif untuk mempercepat waktu

komputasi, sehingga parameter yang diestimasi (t) merupakan fungsi dari

hasil estimasi yang sebelumnya (t-1) dan hasil pengukuran yang baru

Estimator rekursif ditujukan untuk tracking parameter yang berubah

terhadap waktu

Recursive Least Squares (RLS) dapat digunakan sebagai algoritma

deteksi gangguan, untuk mendeteksi perubahan yang signifikan di dalam

parameter proses

Estimasi least squares untuk sistem SISO untuk data pengamatan {1….t}

dirumuskan sebagai berikut (Becerra, V.M.) :

(1)

Dengan mendefinisikan P(t) sebagai :

(2)


(3)

Persamaan (1) dapat dituliskan kembali sebagai :

(4)

dan dapat diperluas menjadi :

(5)

Substitusi Persamaan (5) ke dalam Persamaan (4):

(6)

(7)

Persamaan (7) dapat dituliskan sebagai :

(8) dengan

K(t) = P(t)(t)

(t) = y(t) - T(t) (9)

dari Persamaan 2.60 didapatkan :

(10)

Untuk mencari solusi Persamaan (10) diperlukan suatu Lemma tentang

pembalikan matriks :

(A + BCD)-1 = A-1- A-1B(C-1+DA-1B)-1DA-1 (11)

Dengan menggunakan lemma pada Persamaan (11) dan memisalkan

bagian ruas kanan Persamaan (10) sebagai berikut :

A = P(t)-1;

B = (t);

C = I;

D =(t)T;

maka didapatkan :


(12)

Dengan mensubtitusikan Persamaan (11) pada persamaan K(t), maka

didapatkan rumus :

(13)

Faktor Exponential Forgetting – Parameter Time Varying

Dari penurunan rumus estimasi parameter Recursive Least Squares di

atas, maka dapat dipilih beberapa persamaan penting di dalam metode RLS

sebagai berikut :

(t) = y(t) - T(t) (t-1)

(14)

dengan nilai awal (initial values) (0) = 0 dan P(0) = rI, di mana r

merupakan nilai besar.

Persamaan di atas membutuhkan pertimbangan yang sangat intuitif.

Estimasi parameter sekarang (t) didapatkan dengan menambahkan suatu

perbaikan pada estimasi sebelumnya (t-1). Perbaikan yang diberikan

sebanding dengan prediksi error satu langkah ke depan (t), berdasarkan

estimasi parameter sebelumnya.

Dalam hal ini matriks P(t) diinterpretasikan sebagai kovarians dari

vektor parameter. Magnitudnya menunjukkan pengukuran ketidakpastian

nilai-nilai parameter. Dalam kasus sistem dengan parameter berubah terhadap

waktu secara perlahan, lebih diutamakan data pengukuran yang terakhir

daripada data lama.

Suatu pendekatan yang digunakan adalah memodifikasi kriteria least

squares (LS) :

(15)

dengan (0<<1) disebut faktor pengabaian (forgetting factor).

Sehingga estimasi least squares menjadi :


(t) = y(t) - T(t) (t-1)

(16)

(17)

“memori” dari estimator diberikan oleh :

(18)

Dengan h adalah interval sampling. Nilai tipikal untuk faktor pengabaian

adalah

= 0.95 .... 0.98.

2.2 MRAS (Model Reqursive Adaptive System)

Model reference adaptive systems (MRAS) adalah salah satu pendekatan

yang paling baik untuk kontrol adaptif. MRAS pertama kali diperkenalkan

oleh Whitaker pada tahun 1958. MRAS yang diperkenalkan oleh Whitaker

mempunyai dua gagasan baru, yaitu :

1. Unjuk kerja sistem ditentukan melalui model.

2. Nilai parameter kontroler disesuaikan besarnya dengan error yang

terjadi antara model referensi dan sistem yang diatur.

Ide dasar model reference adaptive systems adalah membuat output

sistem yang diatur sedemikian rupa sehingga mempunyai perilaku yang sama

dengan model referensi yang diberikan. Hal ini dilakukan dengan mengubah-

ubah nilai parameter kontrolernya. Prinsip dasar model reference adaptive

systems ditunjukkan di dalam Gambar 2.1.


Gambar 2.1 Diagram Blok Model Reference Adaptive Systems

Sumber : Astrom K.J., 1995

2.2.1 Plant dan Model Referensi

Plant merupakan bagian sistem yang akan dikendalikan. Plant dinyatakan

dalam fungsi alih. Fungsi alih plant Wp(k) dengan output Yp(k) terhadap sinyal

kontrol u(k) dapat dinyatakan dengan persamaan

(2.1)

Dalam hal ini p(z) adalah polinomial berderajat n,p(z) adalah polinomial

berderajat m < n. Diasumsikan bahwa koefisien p(z) dan p(z) tidak

diketahui, hanya n, m dan tanda gain kp yang diketahui.

Persamaan plant dalam persamaan state space dinyatakan sebagai berikut :

(2.2)

dengan

xp(k) adalah vektor state yang terdiri dari n-vektor;

yp(k) adalah vektor output yang terdiri dari m-vektor;

u(k) adalah vektor input yang terdiri dari r-vektor;

Ap adalah matrik state dengan dimensi nxn;

Bp adalah matrik input dengan dimensi nxr;

adalah matrik output dengan dimensi mxn;


Model referensi Wm(z) menyatakan fungsi alih output Ym(z) terhadap

r(z). Fungsi alih Wm(z) dinyatakan sebagai berikut :

(2.3)

dengan

m(z) dan m(z) adalah polinomial stabil, yaitu akar-akarnya terdapat di dalam

lingkaran satuan;

km adalah suatu konstanta;

m(z) adalah polinomial berderajat n;

m(z) adalah polinomial berderajat m < n;

Persamaan model referensi dinyatakan dalam persamaan state space

adalah sebagai berikut

(2.4)

dengan

xm(k) adalah vektor state yang terdiri dari n-vektor;

r(k) adalah vektor input yang terdiri dari r-vektor;

ym(k) adalah vektor output yang terdiri dari m-vektor;

Am adalah matrik state dengan dimensi nxn;

Bm adalah matrik input dengan dimensi nxr;

adalah matrik output dengan dimensi mxn;

Output model referensi akan menyatakan output yang dikehendaki dari

plant yang dikendalikan, jika sistem tersebut ditambah dengan kontroler yang

tepat.

Di dalam menentukan model referensi, derajat relatif model referensi harus

sama dengan plant (Narendra dan Annaswamy, 1989). Derajat relatif adalah

selisih antara orde pole dan zero atau n – m (Butler, 1992).

2.2.2 Kontroler Adaptif

Syarat suatu kontroler adaptif adalah :

1. Kontroler mampu menyesuaikan output plant dengan output model

referensi.


2. Struktur kontroler adaptif terdiri dari pembangkit sinyal bantu yang

menghasilkan vektor sinyal , sehingga sinyal kontrol u yang dihasilkan

oleh kontroler adalah u = T dengan adalah parameter kontroler

(Butler, 1992).

Struktur kontroler adaptif terdiri dari gain k0, F1 dan F2. F1 terdiri dari

pembangkit sinyal bantu dan parameter ci, dengan i = 1, 2, ...., n. F2 terdiri

dari pembangkit sinyal dan parameter dj, dengan j = 1, 2, ...., n. Pembangkit

sinyal yang ada pada F1 dan F2 masing-masing menghasilkan parameter

sinyal (1) dan (2).

Vektor sinyal pada kontroler T terdiri dari sinyal input r dan vektor sinyal

(1) dan (2), sehingga vektor sinyal dapat dituliskan sebagai :

(2.5)

Parameter-parameter yang terdapat di dalam kontroler didefinisikan

sebagai vektor parameter kontroler

(2.6)

Struktur dasar model reference adaptive systems ditunjukkan di dalam

Gambar 4.2 berikut ini.

Gambar 2.2 Struktur Dasar Model Reference Adaptive Systems

Sumber : Butler, 1992

Sinyal kontrol u yang dihasilkan oleh kontroler adalah :


(2.7)

Sinyal kontrol u ini digunakan sebagai input bagi plant.

F1 dan F2 masing-masing terdiri dari pembangkit sinyal bantu dan

parameter kontroler dinyatakan dalam fungsi alih W1 dan W2, yaitu

(2.8)

dengan

C = cnzn-1+....+ c2 z+ c1

N = zn-1+ nn-1 zn-2+ ....+ n1

D = dn zn-1+ ....+ d2 z+ d1

Polinomial N(z) pada pembangkit sinyal bantu adalah zero model referensi

(Sastry dan Bodson, 1993). N(z) adalah polinomial berorde m atau n-1, C(z)

dan D(z) adalah polinomial berorde n-2 (Narendra dan Annaswamy, 1989).

Struktur MRAS dapat digambarkan dalam bentuk sederhana seperti yang

ditunjukkan di dalam Gambar2.3.

Gambar 4.3 Struktur MRAS dalam Bentuk Sederhana

Sumber : Sastry dan Bodson, 1993

Sinyal kontrol u yang dihasilkan oleh kontroler digunakan sebagai input

bagi plant, sehingga output plant sesuai dengan model referensi. Untuk


menghasilkan output yang sama antara plant dan model referensi, maka

fungsi alih kontroler dan plant harus sama dengan fungsi alih model referensi.

Dari Gambar 2.3 dapat dinyatakan bahwa fungsi alih W(z) dengan Yp

sebagai output plant terhadap input r pada kontroler adaptif adalah sebagai

berikut :

(2.9)

Fungsi alih pada Persamaan 2.9 disesuaikan dengan fungsi alih model

referensi, untuk itu dimisalkan :

N(z) – C(z) = p(z)

p(z) – kpD(z) = m(z)

Dengan pemisalan ini, maka fungsi alih plant dan kontrolernya dapat

dituliskan kembali sebagai

(2.10)

Persamaan 4.9 disesuaikan dengan fungsi alih model referensi Wm(z).

Penyesuaian dilakukan dengan menghitung koefisien pada fungsi alih W(z).

Dengan demikian parameter yang tepat pada kontroler dapat diketahui.

F1 dan F2 dapat dinyatakan dalam persamaan state space (ruang

keadaan). Di dalam persamaan state space, F1 dan F2 dituliskan sebagai

berikut :

F1 :

F2 :

(4.11)

dengan

A adalah matrik nxn;

b adalah n vektor;

cT = [c1, c2,...., cn];

dT = [d1, d2,...., dn];


Persamaan state space untuk plant dan kontrolernya dinyatakan dengan :

(2.12)

2.2.3 Persamaan Error

Proses adaptasi akan berakhir jika output model referensi sama dengan

output plant, dengan kata lain fungsi alih model referensi sama dengan fungsi

alih plant.

Wm(z) = W(z) (2.13)

Untuk menyesuaikan kedua fungsi alih tersebut, maka didefinisikan

parameter kontroler sebagai berikut :

)()( kk (2.14)

Dalam hal ini * adalah vektor konstan yang menyatakan parameter kontroler

pada saat fungsi alih plant dan kontrolernya sesuai dengan fungsi alih model

referensi. (k) adalah parameter error (Sastry dan Bodson, 1993). *

dinyatakan dengan :

Proses adaptasi berlangsung dengan mengubah T(k) menjadi *.

Perubahan ini dilakukan agar output plant bergerak menuju nilai output

model referensi yang diinginkan.

Persamaan 2.14 disubstitusikan ke dalam Persamaan 2.12 membentuk

persamaan sinyal kontrol u yang terdiri dari nilai parameter konstan * dan

parameter error ¸ yang dituliskan sebagai berikut :

(2.15)


Persamaan 2.15 disubstitusikan ke dalam Persamaan 2.12, maka

didapatkan persamaan plant dan kontrolernya :

H

asil substitusi persamaan plant dengan kontrolernya dapat disederhanakan

menjadi :

(2.16)

Plant dikatakan sama dengan model referensi jika = 0 atau (k)=*,

sehingga dapat dinyatakan bahwa persamaan tersebut sesuai dengan

persamaan model referensi. Persamaan tersebut dinyatakan dengan :

(2.17)

dalam hal ini

Jika fungsi alih yp terhadap r dinyatakan sebagai Wm(z), maka fungsi

alihnya memenuhi persamaan :

(2.18)

Dari Persamaan 4.16 dan 4.17, maka persamaan error antara plant

bersama kontrolernya dengan model referensi dinyatakan dalam persamaan

state space dapat dituliskan sebagai berikut :

(2.19)

dengan

e(k) = x(k) – xm0(k).

Jika persamaan error dinyatakan dalam fungsi alih, maka persamaan error

antara yp dan ym dinyatakan dengan :

(2.20)


2.2.4 Hukum Adaptasi

Proses adaptasi berlangsung dengan adanya perubahan nilai pada

parameter kontroler. Proses ini berlangsung selama terjadi error antara output

plant yp(k) dan output model referensi ym(k). Proses adaptasi diatur melalui

suatu cara yang disebut dengan hukum adaptasi (Narendra dan Annaswamy,

1989).

Dalam hukum adaptasi, parameter kontroler akan diubah sedemikian rupa

sehingga error antara yp(k) dan ym(k) sama dengan nol. Pengaturan parameter

kontroler akan menghasilkan sinyal kontrol u(k) sebagai masukan bagi plant,

sehingga output yp(k) akan mendekati ym(k) pada saat k menuju tak hingga.

Hal tersebut dapat dituliskan sebagai berikut :

(2.21)

Pada MRAS, error antara yp dan ym digunakan secara langsung untuk

mengubah nilai parameter kontroler. Proses adaptasi pada MRAS ini disebut

dengan adaptasi langsung (Sastry dan Bodson, 1993).

Salah satu hukum adaptasi yang digunakan adalah metode Lyapunov.

Untuk menggunakan teorema Lyapunov dalam merancang MRAS,

diasumsikan semua variabel state dapat diukur. Dari persamaan dinamik

sistem, dipilih fungsi Lyapunov yang sesuai.

Fungsi Lyapunov mewakili dinamika energi yang digunakan dalam proses

sistem yang diatur. Dengan menjamin bahwa energi yang digunakan akan

berkurang terhadap waktu, maka dapat dipastikan bahwa sistem tersebut

stabil. Dari turunan fungsi Lyapunov terhadap waktu, diperoleh suatu

persamaan yang mengandung nilai pengaturan adaptif yang dicari.

Untuk mencapai kestabilan, fungsi Lyapunov V(x) harus merupakan fungsi

dalam bentuk state. Dengan syarat-syarat :

V(x) > 0 untuk x 0 (definit positif)

untuk x 0 (definit negatif)

V(x) untuk x

V(0) = 0 (2.22)


Untuk menerapkan metode Lyapunov, diperlukan beberapa langkah

pengerjaan :

Adanya persamaan error.

Persamaan error tersebut dapat berupa error output yp-ym atau persamaan

state space error xp-xm.

Untuk mendapatkan hukum adaptasi, dipilih fungsi Lyapunov yang

mengandung sinyal error e dan parameter error , yaitu persamaan :

(2.23)

dengan

e adalah vektor sinyal error e = xp – xm;

adalah vektor parameter error = - *;

adalah matrik gain adaptasi yang memenuhi syarat definit positif, matrik

tersebut ditentukan sebagai matrik diagonal sehingga -1 juga memenuhi

syarat definit positif;

Matrik P merupakan matrik simetris definit positif;

Dengan menurunkan fungsi Lyapunov terhadap waktu, maka akan

langsung didapatkan hukum adaptasi. Apabila definit negatif, maka sistem

adaptif memenuhi kestabilan asimtotik. Pada umumnya mempunyai bentuk

. Persamaan yang

mengandung dibuat sama dengan nol, sehingga didapatkan hukum adaptasi.

definit negatif apabila Q definit positif. Matrik A adalah matrik state

pada model referensi, di mana matrik ini akan memenuhi kestabilan asimtotik

apabila Q adalah matrik definit positif. Q dapat dinyatakan sebagai matrik

identitas I. Apabila kedua kondisi ini terpenuhi, maka akan didapatkan matrik

P definit positif :

ATP + PA = -Q (2.24)

Untuk menentukan hukum adaptasi, selain didapatkan dari penurunan

fungsi Lyapunov juga ditentukan dari fungsi alih model referensi Wm sebagai

berikut :

(2.25)


Fungsi Lyapunov yang digunakan yaitu fungsi yang mengandung vektor

sinyal error e dan vektor parameter error , yaitu

(2.26)

Dalam persamaan di atas e didefinisikan sebagai

dengan penurunan V, maka didapatkan

(2.27)

Matrik P dan Q sebagai matrik simetris definit positif, seperti dalam

persamaan :

(2.28)

dalam hal ini = (1,0,....,0),dan matrik P merupakan matrik definit positif,

sehingga

Dengan demikian Persamaan 4.27 dapat dituliskan kembali menjadi

Untuk memastikan bahwa adalah definit negatif, maka dua persamaan

terakhir dibuat sama dengan nol, sehingga :

Didapatkan hukum adaptasi

(2.29)

Dalam bentuk diskrit, hukum adaptasi dinyatakan dengan

(2.30)

3. PEMBAHASAN

3.1 Data Input Output

DATA INPUT DAN OUTPUTNo. T1_Output T1_Input No. T1_Output T1_Input No. T1_Output T1_Input


1 0.1065908 -1 49 -5.786371 1 97 3.76348 -12 -0.4779248 -1 50 -4.11008 -1 98 4.471599 13 -0.7337904 1 51 -2.084482 -1 99 3.809595 -14 -3.308395 -1 52 -0.1180156 1 100 2.875771 15 -3.861913 1 53 -1.296526 -1 101 1.40615 16 -3.301771 -1 54 -0.5699319 1 102 0.1066282 17 -3.395371 -1 55 -0.701871 1 103 0.4079193 -18 -2.752391 1 56 -0.2572584 1 104 3.196318 19 -3.604489 -1 57 1.389731 -1 105 3.024354 -1

10 -1.962636 -1 58 4.300591 -1 106 3.864058 111 -1.253025 -1 59 5.627117 -1 107 2.701137 -112 -3.07878 -1 60 3.24339 -1 108 1.122768 -113 -4.402909 -1 61 -0.2113817 1 109 -0.6150674 114 -5.570817 -1 62 -4.087918 1 110 -2.976168 115 -7.55504 -1 63 -5.77735 -1 111 -3.644421 -116 -8.572233 1 64 -4.092378 1 112 -1.891735 117 -8.943193 -1 65 -2.524378 1 113 -1.391798 118 -6.939669 1 66 -1.525926 -1 114 0.4468824 119 -4.961151 1 67 1.545792 1 115 2.410448 120 -1.87059 1 68 3.768255 1 116 4.239432 -121 1.728934 1 69 4.473706 1 117 7.407203 -122 6.28996 -1 70 6.465232 -1 118 7.064397 123 9.697028 1 71 7.037138 -1 119 4.761059 124 8.840219 1 72 5.693692 1 120 2.022641 125 7.09327 -1 73 3.454793 -1 121 1.100709 126 6.681979 -1 74 0.3394627 -1 122 1.788358 127 4.44474 -1 75 -1.309203 -1 123 3.589741 -128 0.5798803 -1 76 -4.353184 1 124 6.344954 129 -4.734814 -1 77 -7.668214 -1 125 5.685823 -130 -7.205506 -1 78 -7.851258 1 126 4.707539 131 -9.256931 1 79 -7.284769 1 127 1.702385 132 -11.23425 1 80 -3.746844 -1 128 0.397597 -133 -9.357891 1 81 0.03259865 1 129 0.7958083 -134 -4.088432 -1 82 2.256446 1 130 0.7286018 -135 0.2246785 -1 83 4.462216 -1 131 -0.9725783 136 3.669087 -1 84 6.243825 -1 132 -4.369655 -137 3.388042 1 85 5.92524 1 133 -4.863323 138 1.52332 1 86 3.430934 -1 134 -4.613652 -139 0.5040864 -1 87 1.092699 1 135 -2.617785 -140 1.440444 1 88 -1.564718 1 136 -1.733235 -141 1.510389 -1 89 -3.060693 -1 137 -1.783846 -142 1.781555 -1 90 -1.250623 -1 138 -3.809448 143 0.8506894 -1 91 -0.9294519 1 139 -5.050929 144 -2.232889 -1 92 -1.000223 1 140 -4.148407 1


45 -4.35553 -1 93 -0.520823 1 141 -2.30088 146 -6.290286 1 94 1.722376 -1 142 1.172458 -147 -9.30601 -1 95 3.404379 1 143 4.508265 148 -8.391426 -1 96 3.952972 1 144 6.152125 -1

No. T1_Output T1_Input No. T1_Output T1_Input No. T1_Output T1_Input145 6.127045 -1 193 0.9988688 1 241 1.129488 -1146 4.911849 1 194 -1.325642 -1 242 1.158048 -1147 1.683255 1 195 -2.189696 1 243 -0.2690638 1148 -1.15152 1 196 -2.334857 -1 244 -3.233816 1149 -0.2049837 1 197 -2.527558 1 245 -4.681418 -1150 0.8201955 -1 198 -2.307759 1 246 -3.602801 -1151 3.581169 -1 199 -1.899308 1 247 -2.447345 -1152 3.841446 -1 200 0.6622335 1 248 -2.481434 1153 2.798365 1 201 4.009884 1 249 -3.875647 1154 -0.7138865 -1 202 7.139126 1 250 -2.094723 1155 -2.409922 -1 203 10.22506 -1 251 -0.7999781 1156 -3.084687 -1 204 10.23696 1 252 2.222367 1157 -4.493667 1 205 9.165178 1 253 5.403934 1158 -5.761708 1 206 6.03308 1 254 8.413181 1159 -6.007411 1 207 4.991066 -1 255 10.39322 1160 -3.4221 -1 208 3.994052 1 256 11.39311 -1161 1.313679 1 209 2.778873 1162 3.887225 -1 210 1.304582 1163 5.253113 -1 211 1.234183 1164 5.069098 -1 212 2.115432 1165 1.707889 1 213 4.330834 -1166 -1.354176 -1 214 7.263661 -1167 -3.089285 -1 215 6.3812 -1168 -4.79153 1 216 3.254742 -1169 -5.788337 1 217 -1.125361 -1170 -4.96852 -1 218 -6.171551 1171 -2.236128 -1 219 -8.521154 1172 -0.1918832 1 220 -9.108666 -1173 -0.6946863 -1 221 -5.144796 -1174 -1.081547 -1 222 -2.196182 1175 -0.2263049 1 223 -1.186395 1176 -1.757744 1 224 -0.2803479 -1177 -1.462454 1 225 3.292557 -1178 -0.2403528 -1 226 3.665343 -1179 3.142476 -1 227 1.154356 -1180 3.742214 1 228 -2.000044 1181 2.382885 1 229 -4.709171 -1182 1.075624 -1 230 -6.212963 -1


183 2.332954 1 231 -5.761556 -1184 1.07169 -1 232 -5.69269 -1185 0.8938228 1 233 -5.844932 1186 1.077331 -1 234 -6.288966 -1187 1.172067 1 235 -4.660242 1188 -0.053131 1 236 -3.389442 -1189 -1.090863 -1 237 -1.191855 1190 1.833714 1 238 -1.04717 -1191 1.938202 -1 239 1.282013 1192 1.499565 -1 240 0.9879379 -1

Dengan menggunakan software MATLAB dan listing program di bawah ini

load T1subplot(2,1,1)time=linspace(1,256,256);time=[time' time'+1]';time=time(:);y=[y y]';y=y(:);plot(time,y,'k','linewidth',2);hold onplot([1 256],[0 0],'k','linewidth',2);title('Plant Output','FontSize',12,'FontWeight','Bold')axis([1 256 -12 12]) %set(gca,'FontSize',10,'FontWeight','Bold')subplot(2,1,2)sbpa=[u u]';sbpa=sbpa(:);plot(time,sbpa,'k','linewidth',1);hold onplot([1 256],[0 0],'k','linewidth',2);title('Plant Input','FontSize',12,'FontWeight','Bold')axis([1 256 -1.1 1.1]) %set(gca,'FontSize',10,'FontWeight','Bold')xlabel('Samples','FontSize',12,'FontWeight','Bold')

Akan didapat grafik data input output adalah sebagai berikut


3.2 Identifikasi SistemUntuk mnemukan identifikasi sistem sebelumnya kita harus menemukan berpa orde yang pas buat sistem tersebut.

Dari fungsi ident pada MATLAB telah ditemukan orde yang paling bagus adalah orde 5, setelah kita menemukan ordenya maka dengan model ARX kita menemukan parameter estimasi a dan b.

%Basic recursive least squares methode%N - number of identificatioan steps%c - covariance matrix%d - regression vector%theta - vector of the parameter estimates%ep(k) - prediction error%eps - auxiliary parameter%y(k) - prosess output%u(k) - controller outputclear, close all, clc;load T1;%input variablesu=u';u=u(:);%output variablesy=y';y=y(:);N=50;theta= [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]'; %initial vector of parameter estimatesc = 1000*eye(10); %initial covariance matrixfor k=10:1:N d = [ -y(k-1) -y(k-2) -y(k-3) -y(k-4) -y(k-5) u(k-1) u(k-2) u(k-3) u(k-4) u(k-5)]'; %new data vector ep(k)=y(k)-theta'*d; eps=d'*c*d;


theta = theta + (c*d*ep(k)) / (1+eps); %theta update c = c-(c*d*d'*c)/(1+eps); %new covariance matrix a1(k)=theta(1); a2(k)=theta(2); a3(k)=theta(3); a4(k)=theta(4); a5(k)=theta(5); b1(k)=theta(6); b2(k)=theta(7); b3(k)=theta(8); b4(k)=theta(9); b5(k)=theta(10);endfigure,plot(a1,'-ok');hold onplot(a2,'-ob');hold onplot(a3,'-og');hold onplot(a4,'-or');hold onplot(a5,'-oc');hold onplot(b1,'-*m');hold onplot(b2,'-*y');hold onplot(b3,'-*k');hold onplot(b4,'-*r');hold onplot(b5,'-*b');hold onxlabel('time steps')ylabel('theta, e')title('Parameter Estimasi')grid onlegend('a1 estimate','a2 estimate','a3 estimate','a4 estimate','a5 estimate','b1 estimate','b2 estimate','b3 estimate','b4 estimate','b5 estimate',4);


Setelah itu diperoleh parameter estimasi a,b sebagai berikut

a1 -0.5322 b1 0.0259

a2 0.2259 b2 0.9798

a3 -0.3468 b3 1.5113

a4 -0.0383 b4 1.4074

a5 0.3531 b5 0.8226

Fungsi alih sistem bisa diliat dari ident yaitu sebagai berikut :

Dengan rumus

b=[0 0.03243 0.957 1.364 0.877 0.364];a=[1 0.6579 -0.1001 0.008052 0.1197 0.1124];Gz=tf(b,a,1);Gs=d2c(Gz,'zoh');

Fungsi alih dalam bentuk fungsi s :


3.3 Perancangan Sistem dengan MRAS

4. KESIMPULANDan

SARAN

Kesimpulan


identifikasi model sistem 2007

Documents