identifikasi kesalahan siswa dalam menyelesaikan...

IDENTIFIKASI KESALAHAN SISWA DALAM MENYELESAIKAN

SOAL INVERS MATRIKS DI KELAS XI SMA NEGERI 3

PALANGKA RAYA

SKRIPSI

OLEH SUPIATI

ACA 115 066

UNIVERSITAS PALANGKARAYA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

JURUSAN PENDIDIKAN MIPA

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

2020

i

IDENTIFIKASI KESALAHAN SISWA DALAM MENYELESAIKAN SOAL

INVERS MATRIKS DI KELAS XI SMA NEGERI 3

PALANGKA RAYA

SKRIPSI

Diajukan kepada

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Palangka Raya

Untuk memenuhi salah satu persyaratan

Memperoleh gelar

Sarjana Pendidikan

Oleh:

SUPIATI

ACA 115 066

UNIVERSITAS PALANGKARAYA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

JURUSAN PENDIDIKAN MIPA

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

2020

ii

LEMBAR PERSETUJUAN

iii

LEMBAR PENGESAHAN

iv

LEMBAR PERSEMBAHAN

“Allah tidak akan membebani seseorang melainkan sesuai dengan kadar kesanggupannya

(Q.S Al-Baqarah: 286)”.

Yang utama dari segalanya…

Sembah sujud serta syukur kepada Allah SWT. Atas karunia serta kemudahan yang Engkau berikan akhirnya

skripsi yang sederhana ini dapat terselesaikan. Sholawat dan salam selalu terlimpahkan keharibaan

Rasulullah Muhammad SAW.

Skripsi ini saya persembahkan untuk:

Ibunda dan Ayahanda Tercinta Serta Saudara-Saudaraku

Sebagai tanda bukti, hormat, dan rasa terima kasih tiada terhingga saya persembahkan karya kecil

ini kepada kedua orang tua saya Ayah Gujaji dan Ibu Kasmiatun serta saudara saya Dody Adhani dan

Istiarni Qori’ah yang telah memberikan kasih sayang dan dukungan yang tiada mungkin dapat kubalas

hanya dengan selembar kertas yang bertuliskan kata cinta dan persembahan. Terimakasih atas

pengorbanan yang kalian lakukan untuk saya. Thank You So Much…

Dosen Pembimbing, Teruntuk Bapak Drs. H. M. Hamdani M.Pd dan Ibu Dra. Pancarita, M.Pd yang telah

dengan sabar membimbing saya selama proses penulisan skripsi.

My Best Friend’s, Teruntuk “Bebsquadku (Rahma, Mija, Elisa dan Devi)”. MalmingSquad (Novi, Lida,

Isma, Lisa, Umi dan Atul) Terima kasih atas persahabatan dan terimakasih sudah menemani dalam suka

dan duka.

Teman-teman program studi pendidikan matematika angkatan 2015 terimakasih atas inspirasi dan

kenangan saat bersama kalian.

v

PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN

vi

ABSTRAK

Supiati. 2019: Identifikasi Kesalahan Siswa dalam Menyelesaikan Soal Invers

Matriks di Kelas XI SMA Negeri 3 Palangka Raya. Skripsi. Program Studi

Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan MIPA, Fakultas Keguruan dan

Ilmu Pendidikan, Universitas Palangka Raya. Pembimbing:

(I) Drs. H. M. Hamdani, M.Pd, (II) Dra. Pancarita, M.Pd.

Kata Kunci: Identifikasi, Kesalahan, Invers Matriks

Pada saat belajar siswa seringkali mengalami kesalahan dalam menyelesaikan

soal. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui: (1) kesalahan siswa dalam

menyelesaikan soal invers matriks di kelas XI MIPA 3 SMA Negeri 3 Palangka Raya

serta (2) mengetahui faktor penyebab siswa melakukan kesalahan dalam

menyelesaikan soal invers matriks di kelas XI MIPA 3 SMA Negeri 3 Palangka

Raya.

Penelitian ini merupakan penelitian deskriptif dan pendekatan kualitatif.

Subjek dalam penelitian ini adalah 37 siswa kelas XI MIPA 3 dan dipilih 4 siswa

sebagai subjek wawancara. Pelaksanaan penelitian pada penelitian dimulai dari

bulan September 2019 – November 2019. Teknik pengumpulan data yang digunakan

adalah tes dan wawancara. Teknik analisis data yang digunakan pada penelitian ini

adalah reduksi data, penyajian data dan penarikan kesimpulan.

Berdasarkan hasil penelitian kesalahan yang dilakukan oleh siswa dalam

menyelesaikan soal invers matriks pada umumnya terletak pada: (1) Kesalahan fakta,

kesalahanan yang dilakukan siswa yaitu tidak menuliskan apa yang diketahui dan ditanya serta

tidak menuliskan simbol matriks“[ ]”. Faktor penyebabnya siswa tidak ingat menulis simbol-

simbol matematika yang ada pada invers matriks. (2) Kesalahan konsep, siswa kurang mampu

memahami materi prasyarat yaitu operasi matriks dan determinan matriks. Faktor

penyebabnya siswa tidak dapat mengingat materi yang diajarkan sebelumnya. (3) Kesalahan

operasi, kesalahan yang dilakukan siswa dalam menjumlahkan dan mengalikan dengan benar

serta siswa kurang teliti dalam menuliskan hasil akhir. Faktor penyebabnya kurangnya

ketelitian siswa dalam menerapkan operasi yang tepat. (4) Kesalahan prinsip, kesalahan

yang dilakukan siswa dalam menggunakan rumus dan teorema tidak tepat dalam

menjawab soal. Faktor penyebabnya siswa tidak mengetahui rumus dan teorema invers

matriks.

vii

KATA PENGANTAR

Segala puji syukur kehadirat Allah Subahanahu wa Ta’ala atas berkat rahmat

dan karunia- Nya lah, penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan judul

‘’Identifikasi Kesalahan Siswa dalam Menyelesaikan Soal Invers Matriks di Kelas

XI SMA Negeri 3 Palangka Raya”. Tujuan dari penyusuanan skripsi ini guna

memenuhi salah satu syarat untuk mendapatkan gelar sarjana pendidikan pada

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Jurusan P. MIPA, Program Studi

Pendidikan Matematika, Universitas Palangka Raya.

Penulis mengucapkan banyak terimakasih kepada Dosen Pembimbing I

Bapak Drs H. M. Hamdani, M.Pd, dan Ibu Dra. Pancarita, M.Pd, selaku Dosen

Pembimbing II yang telah membimbing, memberikan saran dan masukan dalam

penyusunan skripsi ini hingga selesai.

Pada kesempatan ini penulis juga menyampaikan rasa terimakasih kepada:

1. Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Palangka Raya.

2. Ketua jurusan Pendidikan MIPA, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan,

Universitas Palangka Raya.

3. Ketua Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu

Pendidikan, Jurusan Pendidikan MIPA, Universitas Palangka Raya.

4. Kepala Badan Perencanaan Pembangunan Daerah Penelitian dan Pengembangan

Provinsi Kalimantan Tengah.

5. Kepala Sekolah SMA Negeri 3 Palangka Raya, Guru Mata Pelajaran

Matematika beserta Seluruh siswa kelas XI MIPA 3 SMA Negeri 3 Palangka

Raya yang telah membantu pelaksanaan penelitian.

Palangka Raya, November 2019

Penulis

viii

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL...................................................................................... i

LEMBAR PERSETUJUAN...........................................................................

LEMBAR PENGESAHAN............................................................................

LEMBAR PERSEMBAHAN.........................................................................

PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN......................................................

ii

iii

iv

v

ABSTRAK...................................................................................................... vi

KATA PENGANTAR.................................................................................... vii

DAFTAR ISI................................................................................................... viii

DAFTAR TABEL........................................................................................... x

DAFTAR GAMBAR...................................................................................... xi

DAFTAR LAMPIRAN................................................................................... xii

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang ................................................................................ 1

B. Identifikasi Masalah ......................................................................... 5

C. Rumusan Masalah ............................................................................ 5

D. Tujuan Penelitian ............................................................................. 6

E. Pembatasan Masalah ........................................................................ 6

F. Manfaat Penelitian. .......................................................................... 7

BAB II KAJIAN PUSTAKA

A. Teori dan Pustaka. ............................................................................ 8

1. Matriks ....................................................................................... 8

a. Pengertian Matriks. ............................................................... 8

b. Kesamaan Dua Matriks. ........................................................ 9

c. Jenis-Jenis Matriks . .............................................................. 10

d. Operasi Matriks. .................................................................... 13

e. Determinan. ........................................................................... 16

f. Matriks Kofaktor. .................................................................. 23

g. Matriks Adjoint ..................................................................... 24

h. Invers Matriks ....................................................................... 25

2. Identifikasi Kesalahan Siswa dalam Menyelesaikan

Invers Matriks . ........................................................................... 30

3. Faktor Penyebab Kesalahan Siswa dalam Menyelesaikan Soal

Invers Matriks . ............................................................................ 36

B. Penelitian yang Relevan. .................................................................. 38

BAB III METODE PENELITIAN

A. Tempat dan Waktu Penelitian. ......................................................... 39

B. Metode dan Pendekatan Penelitian. ................................................. 39

C. Subjek Penelitian. ............................................................................ 39

D. Prosedur Penelitian. ......................................................................... 40

E. Definisi Istilah. ................................................................................. 41

ix

F. Teknik Pengumpulan Data dan Instrumen Penelitian. ..................... 41

1. Teknik Pengumpulan Data. ........................................................ 42

2. Instrumen Penelitian................................................................... 43

G. Teknik Analisi Data. ........................................................................ 48

1. Reduksi Data. ............................................................................. 48

2. Penyajian Data. .......................................................................... 49

3. Penarikan Kesimpulan. .............................................................. 49

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

A. Deskripsi Hasil Penelitian ................................................................ 50

1. Deskripsi Data ............................................................................. 50

2. Deskripsi Data Hasil Tes ............................................................ 51

3. Deskripsi Hasil Wawancara ........................................................ 56

B. Pembahasan .................................................................................... 77

1. Kesalahan-Kesalahan Siswa dalam Menyelesaikan Soal Invers

Matriks ........................................................................................ 77

2. Faktor Penyebab Siswa Melakukan Kesalahan dalam

Menyelesaikan Soal Invers Matriks ............................................ 79

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

A. Kesimpulan ...................................................................................... 81

B. Saran ................................................................................................ 82

DAFTAR PUSTAKA. .......................................................................................... 83

LAMPIRAN. ......................................................................................................... 85

x

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 1. Kisi-kisi Instrumen Soal Tes. .................................................................. 44

Tabel 2. Hasil Validitas Butir Tes oleh Ratters..................................................... 46

Tabel 3. Kisi-Kisi Wawancara. ............................................................................. 47

Tabel 4. Kesalahan Siswa dalam Menyelesaikan Soal Invers Matriks ................. 51

Tabel 5. Banyak Kesalahan Siswa dalam Menyelesaikan Soal Invers Matriks .... 53

Tabel 6. Deskripsi Kesalahan Jawaban Siswa pada Soal Nomor 1 ...................... 53

Table 7. Deskripsi Kesalahan Jawaban Siswa pada Soal Nomor 2 ...................... 54

Table 8. Deskripsi Kesalahan Jawaban Siswa pada Soal Nomor 3 ...................... 54

Tabel 9. Kesalahan Subjek dalam Menyelesaikan Soal Invers Matriks ............... 55

Tabel 10. Jadwal Pelaksanaan Wawancara ........................................................... 55

xi

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 1. Jawaban Subjek RYM pada Soal Nomor 1 ......................................... 56

Gambar 2. Jawaban Subjek D pada Soal Nomor 1 ............................................... 59

Gambar 3.Jawaban Subjek D pada Soal Nomor 2 ................................................ 61

Gambar 4. Jawaban Subjek D pada Soal Nomor 3 ............................................... 63

Gambar 5. Jawaban Subjek MJP pada Soal Nomor 1 ........................................... 65



Gambar 8. Jawaban Subjek NH pada Soal Nomor 1 ............................................ 73

Gambar 9. Jawaban Subjek NH pada Soal Nomor 2 ............................................ 75

xii

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

Lampiran 1. Kisi-Kisi Instrumen Tes. .................................................................. 85

Lampiran 2. Instrumen Tes ................................................................................... 87

Lampiran 3. Pedoman Jawaban Instrumen Tes..................................................... 90

Lampiran 4. Data Hasil Tes Siswa. ....................................................................... 96

Lampiran 5. Banyak Kesalahan Siswa dalam Menyeleaikan Soal Invers

Matriks ............................................................................................. 99

Lampiran 6. Kesalahan Subjek dalam Menyelesaikan Soal Invers Matriks ......... 101

Lampiran 7. Pelaksanaan Wawancara................................................................... 103

Lampiran 8. Jawaban Subjek ................................................................................ 105

Lampiran 9. Dokumentasi ..................................................................................... 110

Lampiran 10. Kartu Bimbingan Skripsi ................................................................ 114

Lampiran 10. Hasil Telaah Butir Soal................................................................... 117

Lampiran 11. Administrasi ................................................................................... 125

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Matematika dipandang sebagai salah satu pelajaran yang tidak mudah untuk

dipahami, sehingga sebagian besar siswa masih banyak yang melakukan

kesalahan saat menyelesaikan soal-soal matematika. Kemampuan siswa dalam

menguasai materi mata pelajaran matematika masih kurang, oleh sebab itu ada

sebagian siswa yang tidak terlalu menyukai pelajaran matematika. Siswa yang

memang menguasai materi matematika akan merasa senang saat belajar

matematika, lain halnya dengan siswa yang benar-benar tidak menguasai materi

matematika. Jika siswa tidak menguasai materi matematika dari awal maka

berdampak pada pemahaman selanjutnya.

Matematika merupakan ilmu dasar yang terus menguasai perkembangan

baik dalam segi teori maupun segi penerapan. Sebagai ilmu dasar, matematika

digunakan secara luas dalam segala bidang kehidupan manusia, sehingga

diperlukan suatu upaya dalam pelajaran matematika agar dapat terlaksana secara

maksimal sehingga setiap siswa dapat menguasai matematika dengan baik.

Tujuan pelajaran matematika pada pendidikan menengah berdasarkan

Kemendikbud (2017: 1) adalah sebagai berikut:

“1) memahami konsep dan menerapkan prosedur matematika dalam

kehidupan sehari-hari, 2) melakukan operasi matematika untuk

penyederhanaan dan analisis komponen yang ada, 3) melakukan penalaran

matematis meliputi membuat generalisasi berdasarkan pola, fakta,

fenomena, atau data yang ada, membuat dugaan dan memverifikasinya, 4)

memecahkan masalah dan mengkomunikasikan gagasan melalui simbol,

tabel, diagram, atau media lain untuk memperjelas keadaan atau masalah,

5) menumbuhkan sikap positif seperti logis, kritis, cermat, teliti dan tidak

mudah menyerah dalam memecahkan masalah”.

2

Tercapainya tujuan pembelajaran matematika dapat dilihat dari hasil belajar

matematika siswa. Hasil belajar siswa tercapai dengan baik, jika siswa mampu

menyelesaikan soal matematika. Disamping itu, soal matematika mempuyai

konstribusi dalam kehidupan sehari-hari yaitu siswa akan mampu menyelesaikan

persoalan yang ada dalam kehidupan sehari-hari.

Banyaknya kesalahan yang dilakukan siswa dalam menyelesaikan soal bisa

menjadi petunjuk sejauh mana penguasaan siswa terhadap materi yang diajarkan

guru. Dari kesalahan yang dilakukan siswa dapat diteliti dan dikaji lebih lanjut

mengenai sumber kesalahan siswa. Kesalahan yang dilakukan siswa harus segera

mendapatkan pemecahan masalah yang tepat. Kesalahan-kesalahan itu perlu

diidentifikasi dengan tujuan untuk mendapat informasi tentang jenis kesalahan

tersebut. Dari informasi tersebut guru dapat mengetahui tingkat penugasan siswa

dalam menyelesaikan soal, selain itu guru dapat mengetahui bagian mana yang

menyebabkan siswa melakukan kesalahan serta faktor-faktor penyebabnya.

Identifikasi kesalahan siswa dapat dilakukan pada pelajaran matematika, salah

satunya materi invers matriks.

Materi invers matriks adalah materi yang dipelajari siswa kelas XI SMA

Negeri 3 Palangka Raya semester ganjil tahun ajaran 2019/2020. Untuk dapat

menyelesaikan soal invers matriks diperlukan pemahaman konsep, ketelitian,

keterampilan dan menentukan rumus, agar penyelesaian benar. Siswa banyak

melakukan kesalahan dalam menyelesaikan soal matriks khususnya adjoin dan

invers matriks. Adjoin dan invers matriks dianggap sulit oleh sebagian besar siswa.

Dalam mempelajari invers matriks diperlukan prasyarat seperti operasi matriks,

3

menguasai konsep dan prinsip yang ada pada materi matriks dan melakukan

perhitungan. Materi prasyarat harus dikuasai oleh siswa agar memudahkan siswa

dalam menyelesaikan soal invers matriks. Manfaat mempelajari invers matriks

diantaranya adalah memudahkan dalam membuat analisis mengenai suatu masalah

ekonomi yang mengandung bermacam-macam variabel. Digunakan dalam

memecahkan masalah operasi penyelidikan sumber-sumber minyak bumi dan

sebagainya. Dikaitkan dengan penggunaan program linear, analisis input output

baik dalam ekonomi, statistik, maupun dalam bidang pendidikan, manajemen,

kimia dan bidang-bidang teknologi yang lainnya. Penguasaan tentang materi invers

matriks akan memudahkan dalam menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan

sehari-hari salah satunya adalah dalam pembuatan program computer. Selain itu,

dalam dunia intelejen, materi invers matriks digunakan untuk membuat kata sandi

bagi program negara.

Hasil wawancara pada tanggal 20 Februari 2019 dengan guru mata pelajaran

matematika di kelas XI MIPA 3 SMA Negeri 3 Palangka Raya, guru mengatakan

bahwa masih banyak siswa yang melakukan kesalahan dalam menyelesaikan soal-

soal invers matriks. Hal ini di tunjukkan dengan rendahnya ketercapaian kriteria

ketuntasan minimum (KKM) yang ditetapkan oleh sekolah yaitu 78. Hasil belajar

matematika siswa pada materi matriks tahun ajaran 2017/2018 yang mencapai

ketuntasan hanya 45% dari jumlah siswa. Guru juga mengatakan bahwa kesalahan-

kesalahan umum yang sering dilakukan siswa dalam menyelesaikan soal matriks

tersebut antara lain adalah kesalahan dalam menyelesaikan soal invers matriks.

Hasil belajar siswa masih rendah meskipun sudah dilakukan upaya pembelajaran

4

remedial. Upaya pembelajaran remedial yang dilakukan tidak berdasarkan hasil

identifikasi kesalahan dan faktor-faktor penyebab siswa melakukan kesalahan

dalam menyelesaikan soal invers matriks. Guru belum pernah melakukan

identifikasi kesalahan dan faktor penyebab siswa melakukan kesalahan dalam

menyelesaikan soal invers matriks.

Dari informasi di atas, maka dilakukan upaya untuk mengetahui kesalahan

beserta faktornya. Salah satu upaya yang dapat dilakukan yaitu mengidentifikasi

kesalahan dan faktor penyebab siswa dalam menyelesaikan soal invers matriks

yang ditinjau dari aspek objek matematika yang meliputi fakta, konsep, operasi dan

prinsip, sehingga kesalahan siswa dan faktor penyebab siswa melakukan kesalahan

dalam menyelesaikan soal dapat diketahui dengan jelas dan kesalahan yang sama

tidak terulang kembali. Dengan diketahuinya kesalahan diharapkan agar hasil

belajar siswa lebih baik lagi.

Siswa yang mengalami kesulitan pada materi invers matriks merupakan

suatu masalah dalam proses pembelajaran matematika, karena siswa tersebut akan

mengalami kesulitan dalam menguasai materi selanjutnya. Materi berikutnya yang

menggunakan matriks yaitu transformasi geometri karena siswa harus mampu

menganalisis dan membandingkan transformasi dan komposisi transformasi

dengan menggunakan matriks. Dengan materi invers matriks siswa juga bisa

menyelesaikan soal sistem persamaan linear dalam aljabar. Selain itu, siswa juga

degan mudah menentukan nilai x dan y pada sebuah persamaan aljabar. Kesulitan

yang dialami siswa akan mengakibatkan rendahnya hasil belajar siswa dan

berpengaruh terhadap keberhasilan siswa bahkan menimbulkan sikap

5

ketidaksukaan siswa terhadap mata pelajaran matematika yang berpengaruh

terhadap hasil belajar matematika siswa.

Berdasarkan uraian diatas, maka identifikasi kesalahan dalam

menyelesaikan soal invers matriks dapat dijadikan sebagai salah satu alternatif

yang cukup bermanfaat untuk memperbaiki pembelajaran matematika, sehingga

peneliti tertarik untuk mengadakan penelitian dengan judul “Identifikasi

Kesalahan Siswa dalam Menyelesaikan Soal Invers Matriks di Kelas XI SMA

Negeri 3 Palangka Raya”

B. Identifikasi Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan, maka dapat diidentifikasi

masalah dalam penelitian ini, yaitu:

1. Siswa masih melakukan kesalahan dalam menyelesaikan soal pada materi

matriks, khususnya invers mariks.

2. Hasil belajar siswa kelas XI SMA Negeri 3 Palangka Raya khususnya pada

materi invers matriks hanya 45% yang mencapai ketuntasan dengan KKM 78.

C. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah di atas, maka rumusan masalah pada

penelitian ini adalah:

1. Apa saja kesalahan yang dilakukan siswa kelas XI SMA Negeri 3 Palangka

Raya dalam menyelesaikan soal invers matriks?

6

2. Apa saja faktor yang menyebabkan kesalahan siswa di kelas XI SMA Negeri 3

Palangka Raya dalam menyelesaikan soal invers matriks?

D. Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah, maka tujuan dalam penelitian ini adalah

sebagai berikut:

1. Untuk mengetahui kesalahan yang dilakukan siswa kelas XI SMA Negeri 3

Palangka Raya dalam menyelesaikan soal invers matriks.

2. Untuk mengetahui faktor yang menyebabkan kesalahan siswa kelas XI SMA

Negeri 3 Palangka Raya dalam menyelesaikan soal invers matriks.

E. Pembatasan Masalah

Agar penelitian ini terarah dan tidak terlalu luas ruang lingkupnya, maka

peneliti memberi batasan sebagai berikut:

1. Subjek dalam penelitian ini adalah siswa kelas XI MIPA 3 SMA Negeri 3

Palangka Raya tahun ajaran 2019/2020.

2. Materi yang di bahas dalam penelitian ini adalah materi invers matriks.

3. Penelitian ini dilakukan untuk mengidentifikasi kesalahan siswa dalam

menyelesaikan soal invers matriks. Kesalahan ditinjau dari 4 objek matematika

yaitu fakta, konsep, operasi dan prinsip. Faktor-faktor penyebab siswa

melakukan kesalahan ditinjau dari faktor intelektual siswa yang dilihat dari

kemampuan siswa dalam menyelesaikan soal, termasuk pengetahuan

prasyarat.

7

F. Manfaat Penelitian

Manfaat yang diharapkan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Bagi siswa, dapat mengetahui letak kesalahan dalam menyelesaikan soal

matematika pada materi invers matriks.

2. Bagi Guru, dapat mengetahui kesalahan yang dilakukan siswa dalam

menyelesaikan soal matematika pada materi invers matriks. Sehingga dapat

digunakan sebagai arahan untuk melakukan perbaikan pembelajaran supaya

menghindari terjadinya kesalahan yang dilakukan siswa dalam menjawab soal.

3. Bagi Peneliti, dapat mengetahui kesalahan yang dilakukan siswa dalam

menyelesaikan soal invers matriks, sehingga saat mengajar nanti dapat

membantu dan membimbing siswa dengan baik untuk meminimalkan

kesalahan yang dilakukan siswa dalam menyelesaikan soal invers matriks.

8

BAB II

KAJIAN PUSTAKA

A. Teori dan Pustaka

1. Matriks

a. Pengertian Matriks

Definisi: Matriks adalah suatu bilangan-bilangan berbentuk segi empat.

Bilangan-bilangan dalam susunan itu disebut entri dalam matriks tersebut (Anton,

2000: 51).

Contoh:

[1 23 0

−1 4], [2 1 0 −3], [

−√2 𝜋 𝑒

31

20

0 0 0

], [13], [4]

Ukuran matriks diberikan oleh jumlah baris (garis horizontal) dan kolom

(garis vertikal). Misalnya, matriks pertama dalam contoh 1 mempunyai tiga baris

dan dua kolom sehingga ukurannya adalah 3 kali 2 (ditulis 3 2). Dalam suatu

uraian ukuran, angka pertama selalu menyatakan jumlah baris dan angka kedua

menyatakan jumlah kolom. Matriks-matriks lainnya pada contoh 1 masing-masing

mempunyai ukuran 1 4, 3 3, 2 1 dan 1 1.

Entri pada baris i dan kolom j dari sebuah matriks A akan dinyatakan

sebagai 𝑎𝑖𝑗. Jadi, bentuk umum matriks berukuran 3 4 dapat ditulis sebagai

berikut:

A= [

𝑎11 𝑎12 𝑎13

𝑎21 𝑎22 𝑎23

𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3

𝑎14

𝑎24

𝑎34

]

9

Sebuah matriks umum m n sebagai berikut:

A = [

𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛

𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛

⋮𝑎𝑚1

⋮𝑎𝑚2

⋮⋯ 𝑎𝑚𝑛

] atau (Aij) = 𝑎𝑖𝑗

Sebuah matriks A dengan n baris dan n kolom disebut matriks bujur sangkar

berorde n, dan entri-entri 𝑎11, 𝑎22, …, 𝑎𝑚𝑛 disebut sebagai diagonal utama dari A.

A = [

𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛

𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛

⋮𝑎𝑚1

⋮𝑎𝑚2

⋮⋯ 𝑎𝑚𝑛

]

b. Kesamaan Dua Matriks

Derfinisi: dua matriks didefinisikan sama jika keduanya mempunyai

ukuran sama dan entri-entrinya yang berpadanan sama.

Dalam notasi matriks, jika A = [𝑎𝑖𝑗] dan B = [𝑏𝑖𝑗] mempunyai ukuran yang

sama, maka A = B jika dan hanya jika (A)ij = (B)ij, atau secara ekuivalen, 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗

untuk semua i dan j.

Contoh 2

A = [2 13 𝑥

] B = [2 13 5

] C = [2 1 03 4 0

]

Jika x = 5, maka A = B, tetapi untuk semua nilai x lainnya matriks A dan B tidak

sama, karena tidak semua entri-entrinya yang berpadanan sama. Tidak ada nilai x

yang membuat A = C karena A dan C mempunyai ukuran yang berbeda.

10

c. Jenis-Jenis Matriks

1) Matriks Kuadrat/Persegi

Defiinisi: Matriks A = (𝑎𝑖𝑗)mn disebut matriks bujursangkar jika m = n

sehingga A dapat ditulis A = [𝑎𝑖𝑗]nn atau A = [𝑎𝑖𝑗]mm

Contoh:

A = [2 43 2

] B = [3 5 74 6 12 8 9

]

2) Matriks Diagonal

Definisi: A = [𝑎𝑖𝑗]nn disebut matriks diagonal jika:

1. 𝑎𝑖𝑗 = 0 untuk i j

2. 𝑎𝑖𝑗 0 untuk i = j

Contoh:

A = [1 0 00 2 00 0 4

] B =[𝑎 00 𝑏

], a, b 0

3) Matriks Satuan

Definisi: A = [𝑎𝑖𝑗]nn disebut matriks satuan jika:

1. aij = 0 untuk i j

2. aij = 1 untuk i = j

matriks diagonal dengan elemen-elemen diagonal utamanya bernilai 1 disebut

matriks identitas. Pada umumnya matriks identitas dinotasikan dengan I.

11

Contoh:

A = [1 00 1

] B = [1 0 00 1 00 0 1

]

4) Matriks Nol

Definisi: matriks A = [𝑎𝑖𝑗]mn disebut matriks nol, jika aij = 0 untuk setiap

i, j.

Contoh:

0 = [0 00 0

] 0 = [0 0 00 0 0

]

5) Matriks Segitiga

Definisi: Matriks A = [𝑎𝑖𝑗]nn disebut matriks segitiga atas jika semua unsur

A yang berada di bawah diagonal utama adalah nol, yaitu aij = 0 untuk i > j.

Contoh:

A = [4 8 70 5 90 0 6

]

Definisi: Matriks [𝑎𝑖𝑗]nn disebut matriks segitiga bawah jika semua unsur

A yang berada diatas diagonal utama adalah nol, yaitu aij = 0 untuk i < j.

Contoh:

A = [1 0 03 2 04 5 6

]

6) Matriks Simetris

Definisi: Matriks A = [𝑎𝑖𝑗]nn disebut matriks simetris jika aij = aji; untuk

setiap i dan j.

12

Contoh:

A = [1 2 42 3 54 5 7

]

7) Transpos Matriks

Definisi: Jika A adalah sembarang matriks m n, maka transpos A,

dinyatakan dengan AT, didefinisikan sebagai matriks n m yang di dapatkan

dengan mempertukarkan baris dan kolom dari A; yaitu kolom pertama dari AT

adalah baris pertama dari A, kolom kedua dari AT adalah baris kedua dari A

dan seterusnya.

Contoh:

A = [1 41 3

] maka AT = [1 14 3

]

8) Matriks Baris dan Matriks Kolom

Definisi: matriks A = [𝑎𝑖𝑗]nm disebut matriks baris, jika n = 1

Contoh:

A = [3 1 7 0]

Definisi: matriks A = [𝑎𝑖𝑗]nm disebut matriks kolom, jika m = 1

Contoh:

A = [438]

13

d. Operasi Matriks

1) Penjumlahan

Definisi: jika A dan B adalah matriks-matriks berukuran sama, maka jumlah

A + B adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan entri-entri B dengan

entri-entri A yang berpadanan.


sama, maka:

(A + B)ij = (A)ij + (B)ij = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗

Contoh 3

A = [2 1 0 3

−1 0 2 44 −2 7 0

] B = [−4 3 5 12 2 0 −13 2 −4 5

]

Maka A + B = [−2 4 5 41 2 2 37 0 3 5

]

2) Pengurangan

Definisi jika A – B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan

entri-entri A dengan entri-entri B yang berpadanan.


sama, maka:

(A – B)ij = (A)ij – (B)ij = 𝑎𝑖𝑗 – 𝑏𝑖𝑗

Contoh 4

A = [2 1 0 3

−1 0 2 44 −2 7 0

] B = [−4 3 5 12 2 0 −13 2 −4 5

]

14

Maka A – B = [6 −2 −5 2

−3 −2 2 51 −4 11 −5

]

3) Perkalian dengan Skalar

Definisi: jika A adalah sembarang matriks dan c adalah sembarang skalar,

maka hasil kali cA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap entri

A dengan c.

Dalam notasi matriks, jika A = [𝑎𝑖𝑗], maka:

(cA)ij = c(A)ij = c𝑎𝑖𝑗

Contoh 5

A = [2 3 41 3 1

] B = [0 2 7

−1 3 −5] C = [

9 −6 33 0 12

]

Maka 2A – B + 1

3C = 2A + (-1)B +

1

3C

Pembahasan:

2A = 2 [2 3 41 3 1

] (-1)B = (-1) [0 2 7

−1 3 −5]

1

3C =

1

3 [9 −6 33 0 12

]

= [4 6 82 6 2

] = [0 −2 −71 −3 5

] = [3 −2 11 0 4

]

Maka 2A – B + 1

3C = 2A + (-1)B +

1

3C

= [4 6 82 6 2

] + [0 −2 −71 −3 5

] + [3 −2 11 0 4

]

= [7 2 24 3 11

]

4) Perkalian

Definisi: jika A adalah sebuah matriks m r dan B adalah sebuah matriks

r n, maka hasil kali AB adalah matriks m n yang entri-entrinya di definisikan

sebagai berikut. Untuk mencari entri dalam baris i dan kolom j dari AB, pilih

15

baris i dari matriks A dan kolam j dari matriks B. Kalikan entri-entri yang

berpadanan dari baris dan kolom secara bersama-sama dan kemudian jumlahkan

hasil kalinya.

Contoh:

A = [1 2 34 5 6

] B = [1 23 45 6

]

Pembahasan:

A B = [1 2 34 5 6

] [1 23 45 6

]

= [1(1) + 2(3) + 3(5) 1(2) + 2(4) + 3(6)

4(1) + 5(3) + 6(5) 4(2) + 5(4) + 6(6)]

= [22 2849 64

]

5) Sifat-Sifat Matriks

Teorema: Dengan menganggap bahwa ukuran matriks adalah sedemikian

sehingga operasi yang ditunjukkan dapat dikerjakan, maka sifat-sifat matriks

berikut adalah benar.

a) A + B = B + A (Hukum komutatif untuk penjumlahan)

b) A + (B + C) = (A + B) + C (Hukum asosiatif untuk penjumlahan)

c) A(BC) = (AB)C (Hukum asosiatif untuk perkalian)

d) A(B+C) = AB + AC (Hukum distributif kiri)

e) (B + C)A = BA + CA (Hukum distributif kanan)

f) A(B – C) = AB – AC

g) (B – C)A = BA – CA

h) a(B + C) = aB + aC

16

i) a(B – C) = aB – aC

j) (a + b)C = aC + bC

k) (a – b)C = aC – bC

l) a(bC) = (ab)C

m) a(BC) = (aB)C = B(aC)

e. Determinan

Dari teorema bahwa matriks A = [𝑎 𝑏𝑐 𝑑

] dapat dibalik (mempunyai

invers) jika ad – bc ≠ 0. Bentuk ad – bc dinamakan determinan dari matriks 2 × 2

dan dinyatakan dengan simbol det (A) atau |A|. Dengan notasi ini, invers dari A

dapat dinyatakan sebagai:

A-1 = 1

det(𝐴) [

𝑑 −𝑏−𝑐 𝑎

] = 1

𝑎𝑑−𝑏𝑐 [


]

Sasaran dalam bahasan ini adalah memperoleh analogi dari rumus ini untuk

matriks-matriks yang berorde lebih tinggi. Hal ini akan menuntut untuk

memperluas konsep suatu determinan ke matriks-matriks yang berorde lebih

tinggi. Untuk tujuan ini maka akan diperlukan hasil awal tentang permutasi.

1) Permutasi

Definisi: suatu permutasi himpunan bilangan bulat {1, 2, . . ., n} adalah

suatu susunan bilangan bulat tersebut dalam suatu urutan tanpa pengulangan.

(Kariadinata, 2013: 139)

Contoh:

Tentukan permutasi yang berbeda dari himpunan bilangan bulat {1, 2, 3}

17

3

2 (1, 2, 3)

(1, 3, 2)

3 (2, 3, 1)

1 3

1

3

2

(2, 1, 3)

1

2

2

1

(3, 1, 2)

(3, 2, 1)

Jawab:

Permutasi-permutasi tersebut adalah (1, 2, 3); (1, 3, 2); (2, 1, 3); (2, 3, 1); (3, 1, 2)

dan (3, 2, 1). Jadi, ada 6 buah permutasi dari himpunan {1, 2, 3}. Suatu metode

yang mudah untuk mendaftarkan permutasi secara sistematis adalah dengan

menggunakan suatu pohon permutasi.

1

2

3

Definisi: Suatu permutasi disebut genap jika total penjumlahan inversi

merupakan suatu bilangan bulat genap dan disebut ganjil jika total penjumlahan

inversi merupakan suatu bilangan bulat ganjil. (Kariadinata, 2013: 144)

Tabel berikut ini mengklasifikasikan berbagai permutasi dari {1, 2, 3} sebagai

genap atau ganjil.

Permutasi Jumlah Inversi Klasifikasi

(1, 2, 3) 0 Genap

(1, 3, 2) 1 Ganjil

(2, 1, 3) 1 Ganjil

(2, 3, 1) 2 Genap

(3, 1, 2) 2 Genap

(3, 2, 1) 3 Ganjil

18

2) Pengertian Determinan

Kita tinjau kembali matriks A = [𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22]

Dari penjelasan diawal, kita mengenal a11 . a22 – a12 . a21 sebagai determinan a11 .

a12 dan a12 . a21 disebut hasil kali dasar A.

Dari suatu matriks An×n, setiap hasil kali dasar dari n anggota A dua di

antaranya tidak ada yang berasal dari dua baris atau kolom yang sama. Perhatikan

a11 . a12 dan a12 . a21. Setiap hasil kali dasar pada matriks:

[𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22]

Mempunyai dua faktor dan karena masing-masing faktor berasal dari suatu baris

yang berbeda, maka suatu hasil kali dasar pada matriks di atas dapat ditulis:

a1… a2…

Tempat yang kosong pada subskrip menyatakan angka untuk kolom. Karena tidak

ada dua faktor dalam hasil kali tersebut yang berasal dari kolom yang sama, maka

angka-angka kolom tidak akan berulang. Angka-angka ini harus membentuk

permutasi dari himpunan {1, 2} sebanyak 2! = 2 . 1 = 2. Angka –angka untuk kolom

pastilah (1, 2) atau (2, 1). Ini menghasilkan hasil kali dasar:

a11 a22 dan a12 a21

demikian pula, setiap hasil kali pada matriks 3 × 3 berikut ini.

[

𝑎11 𝑎12 𝑎13

𝑎21 𝑎22 𝑎23

𝑎31 𝑎32 𝑎33

]

Hasil kali dasar matriks tersebut mempunyai tiga faktor dan karena masing-masing

fakto r berasal dari suatu baris yang berbeda, maka hasil kali dasarnya dapat dituli:

a1… a2… a3…

19

Tempat yang kosong pada subskrip menyatakan angka untuk kolom. Karena tidak

ada dua faktor dalam hasil kali tersebut yang berasal dari kolom yang sama, maka

angka-angka kolom tidak akan berulang. Angka-angka ini harus membentuk

permutasi dari himpunan {1, 2, 3}sebanyak 3! = 3.2.1 = 6. Angka-angka untuk

kolom pastilah (1, 2, 3); (1, 3, 2); (2, 1, 3); (2, 3, 1); (3, 1, 2) dan (3, 2, 1). Semua

permutasi tersebut menghasilkan hasil kali dasar:

a11 a22 a33 a12 a21 a33 a13 a21 a32

a11 a23 a32 a12 a23 a31 a13 a22 a31

Uraian di atas, memberikan kesimpulan bahwa setiap matriks A berukuran

n×n mempunyai n! hasil kali dasar.

Hasil kali dasar tersebut adalah hasil kaliyang berbentuk:

a1j1, a2j2, …, anjn di mana (j1, j2, …, jn) adalah permutasi dari {1, 2, …, n}. yang

diartikan sebagai hasil kali dasar bertanda A adalah hasil kali dasar a1j1, a2j2, …, anjn

dikalikan dengan +1 atau -1.

Suatu hasil kali dasar bertanda + jika klasifikasi dari suatu permutasi (j1, j2,

…, jn) adalah genap dan bertanda – jika klasifikasi dari suatu permutasi (j1, j2, …,

jn) adalah ganjil.

Definisi: Anggap A adalah suatu matriks bujur sangkar. Fungsi determinan

dinyatakan dengan det, dan det (A) didefinisikan sebagai jumlah semua hasil kali

dasar bertanda A. Bilangan det (A) disebut determinan A. (Kariadinata, 2013: 146)

Contoh:

Dengan mengacu pada pengertian determinan, maka diperoleh:

a. Jika A = [𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22], maka det (A) = a11a22 – a12a21

20

+ -

b. Jika A = [

𝑎11 𝑎12 𝑎13

𝑎21 𝑎22 𝑎23

𝑎31 𝑎32 𝑎33

]

Maka det (A) = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21

a33

Untuk memudahkan mengingat kedua rumus tersebut, perlu ada cara atau

metode tertentu agar tidak terjadi kekeliruan, baik dari bentuk hasil kali dasar

maupun tandanya. Metode yang dapat digunakan adalah “Metode Sarrus” yang

diilustrasikan sebagai berikut:

|𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22|

Kalikan anggota-anggota pada panah yang mengarah ke kanan lalu kurangi

oleh hasil kali anggota-anggota pada panah yang mengarah ke kiri sehingga apabila

di susun menjadi: a11 a22 – a12 a21

|

𝑎11 𝑎12 𝑎13

𝑎21 𝑎22 𝑎23

𝑎31 𝑎32 𝑎33

|

𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22

𝑎31 𝑎32

Tulis ulang kolom pertama dan kolom kedua di samping matriks tersebut.

Selanjutnya, jumlahkan hasil kali pada panah-panah yang mengarah ke kanan dan

kemudian dikurangi dengan hasil kali panah-panah yang mengarah ke kiri sehingga

apabila disusun menjadi:

a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a12 a21 a33 – a11 a23 a32

Contoh:

a. Jika A = [𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22]

Maka det (A) = |𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22| = a11 a22 – a12 a21

21

b. Jika A = [

𝑎11 𝑎12 𝑎13

𝑎21 𝑎22 𝑎23

𝑎31 𝑎32 𝑎33

]

Maka det (A) = |

𝑎11 𝑎12 𝑎13

𝑎21 𝑎22 𝑎23

𝑎31 𝑎32 𝑎33

|

𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22

𝑎31 𝑎32

= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a12 a21 a33 – a11 a23

a32

Contoh:

Hitung determinan dari A = [3 14 −2

] dan B = [1 2 22 1 43 2 1

]

Penyelesaian:

det (A) = (3) (-2) – (1) (4) = -10

det (B) = |1 2 22 1 43 2 1

|1 22 13 2

= (1 + 24 + 8) – (6 + 8 + 4)

= 33 – 18

= 15

Catatan:

Perlu diingat bahwa “Metode Sarrus” hanya berlaku pada matriks 3 × 3, metode

ini tidak dapat digunakan untuk mencari determinan dari matriks 4 × 4 atau yang

lebih tinggi.

3) Sifat-Sifat Determinan

1. Determinan dari matriks dan transposenya adalah sama atau |A| = |AT|.

2. Matriks persegi yang semua elemen salah satu baris atau kolom nol,

determinannya nol (0).

22

3. Determinan dari suatu matriks persegi A yang salah satu baris atau kolom jika

dikalikan dengan scalar k, maka determinannya berubah menjadi k |A|.

4. Determinan suatu matriks jika baris ke-i menjadi baris ke-j dan sebaliknya atau

kolom ke-i ditukar menjadi kolom ke-j dan sebaliknya, maka nilai determinan

matriks tersebut berubah menjadi negative determinan semula.

5. Suatu matriks persegi yang mempunyai dua baris atau dua kolom yang sama

determinannya sama dengan 0 (nol).

6. Suatu matriks persegi yang salah satu barisnya kelipatan baris lain atau suatu

kolom kelipatan dari kolom yang lain maka determinan matriks tersebut adalah

nol.

7. Determinan dari matriks persegi A = (aij) berdimensi n yang baris ke-i (kolom

ke-j) terdiri dari elemen-elemen yang dapat diuraikan menjadi dua suku

binomium, maka determinannya sama dengan determinan A yang baris ke-i

(kolom ke-j) diganti dengan suku binomium yang pertama ditambah

determinan A yang baris ke-i (kolom ke-j) diganti dengan suku yang kedua.

8. Determinan suatu matriks persegi tidak berubah nilainya jika salah satu baris

(kolom) ditambah dengan kelipan baris (kolom) yang lain.

9. Determinan dari matriks segitiga adalah sama dengan produk (hasil kali)

elemen-elemen diagonalnya.

23

f. Matriks Kofaktor

Definisi: Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar, maka minor entri 𝑎𝑖𝑗

dinyatakan oleh 𝑀𝑖𝑗dan didefinisikan sebagai determinan submatriks yang masih

tersisa setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan dari A. Bilangan (-1)i+j Mij

dinyatakan oleh Cij dan disebut kofaktor entri 𝑎𝑖𝑗. (Anton 2000: 151)

Contoh:

A =[3 1 −42 5 61 4 8

]

Minor entri 𝑎𝑖𝑗 adalah

M11 = [3 1 −42 5 61 4 8

] = |5 64 8

| = 16

Kofaktor 𝑎𝑖𝑗 adalah

C11 = (-1)1+1 M11 = M11 = 16

Minor entri 𝑎32 adalah

M32 = |3 1 −42 5 61 4 8

| = |3 −42 6

| = 26

Kofaktor 𝑎32 adalah

C32 = (-1)3+2 M32 = -M32 = -26

Perhatikan bahwa kofaktor dan minor dari suatu unsur aij hanya berbeda

tanda, yaitu Cij = ± Mij. Suatu cara yang cepat untuk menentukan apakah kita harus

menggunakan + atau - adalah dengan menggunakan fakta bahwa tanda yang

menghubungkan Cij dan Mij adalah baris ke-i kolom ke-j dari susunan “papan

periksa”.

24

[ + − +− + −+ − +

− + ⋯+ − ⋯− + ⋯

− + −⋮ ⋮ ⋮

+ − ⋯⋮ ⋮ ]

g. Matriks Adjoint

Definisi: Jika A adalah sembarang matriks n n dan Cij adalah kofaktor

dari 𝑎𝑖𝑗, maka matriks

[

𝐶11 𝐶12 …𝐶21 𝐶22 …⋮

𝐶𝑛1

⋮𝐶𝑛2 …

𝐶1𝑛

𝐶2𝑛

⋮𝐶𝑛𝑛

]

Disebut matriks kofaktor dari A. transpos dari matriks ini disebut adjoin A dan

dinyatakan oleh Adj (A).

Contoh:

A = [3 2 −11 6 32 −4 0

]

Kofaktor dari A adalah

C11 = 12 C12 = 6 C 13 = -16

C21 = 4 C22 = 2 C23 = 16

C31 = 12 C32 = -10 C33 = 16

Sehingga matriks kofaktornya adalah

[12 6 −164 2 1612 −10 16

]

25

Adjoin A adalah

Adj (A) = [12 4 126 2 −10

−16 16 16]

h. Invers Matriks

Definisi: Jika A adalah sebuah matriks bujur sangkar dan jika sebuah

matriks B yang berukuran sama dapat ditentukan sedemikian sehingga AB = BA =

I, maka A disebut dapat dibalik (invertible) dan B disebut invers dari A (Anton,

2000: 73).

Contoh

B = [3 51 2

] adalah invers dari A = [2 −5

−1 3]

Karena AB = [2 −5

−1 3] [

3 51 2

]= [1 00 1

] = I

Teorema: jika B dan C keduanya adalah invers matriks A , maka B = C.

Teorema: matriks A = [𝑎 𝑏𝑐 𝑑

] dapat dibalik jika ad – bc 0, dimana

inversnya dapat dicari dengan rumus

A-1 = 1



] = [

𝑑

𝑎𝑑−𝑏𝑐−

−𝑏

𝑎𝑑−𝑏𝑐

−𝑐

𝑎𝑑−𝑏𝑐

𝑎

𝑎𝑑−𝑏𝑐

]

Bukti:

Untuk menujukkan bahwa A-1 adalah invers dari matriks A, maka akan dibuktikan

bahwa A × B = I.

Misalkan: A = [𝑝 𝑞𝑟 𝑠

], B = [𝑎 𝑏𝑐 𝑑

]

26

A × B = I

[𝑝 𝑞𝑟 𝑠

] × [𝑎 𝑏𝑐 𝑑

] = [1 00 1

]

ap + cq = 1 (1)

ar + cs = 0 (2)

bp + dq = 0 (3)

br + ds = 1 (4)

Eliminasi persamaan (1) dan (3) untuk mendapatkan nilai p

ap + cq = 1 d adp + cdq = d

bp + dq = 0 c bcp + cdq = 0

(ad – bc) p = d

p = 𝑑

𝑎𝑑−𝑏𝑐

Eliminasi persamaan (1) dan (3) untuk mendapatkan nilai q

ap + cq = 1 b abp + bcq = b

bp + dq = 0 a abp + adq = 0

(ad – bc) q = -b

q = −𝑏

𝑎𝑑−𝑏𝑐

Eliminasi persamaan (2) dan (4) untuk mendapatkan nilai r

ar + cs = 0 d adr + acs = 0

br + ds = 1 c bcr + cds = c

(ad – bc) r = -c

r = −𝑐

𝑎𝑑−𝑏𝑐

27

Contoh matriks adjoint

Eliminasi persamaan (2) dan (4) untuk mendapatkan nilai s

ar + cs = 0 b abr + bcs = 0

br+ ds = 1 a abr + ads = a

(ad – bc) s = a

s = 𝑎

𝑎𝑑−𝑏𝑐

Maka diperoleh:

A-1 = [

𝑑

𝑎𝑑−𝑏𝑐−

𝑏

𝑎𝑑−𝑏𝑐

−𝑐

𝑎𝑑−𝑏𝑐

𝑎

𝑎𝑑−𝑏𝑐

]

A-1 = 1



]

Teorema: Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan

berukuran sama, maka:

a) AB dapat dibalik

b) (AB)-1 = B-1 A-1

Teorema: Jika A adalah suatu matriks yang dapat dibalik, maka:

A-1 = 1

det (𝐴) adj (A)

Contoh:

A-1 = 1

det (𝐴) adj (A)

= 1

64 [

12 4 126 2 −10

−16 16 16]

=

[

12

64

4

64

12

646

64

2

64

−10

64−16

64

16

64

16

64 ]

28

Perhatikan sebuah matriks bujursangkar A ukuran n × n.

Am×n =

[ 𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛

𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⋯ 𝑎2𝑛

.

..𝑎𝑚1

.

..𝑎𝑚2

.

..𝑎𝑚3

⋯

.

..𝑎𝑚𝑛]

Matriks A disebut mempunyai invers, jika terdapat matriks bujursangkar B

sedemikian rupa sehingga AB = BA = I, B disebut balikan atau invers dari A

dituliskan B = A-1 (B invers A). syarat agar matriks A mempunyai invers adalah

matriks A matriks nonsingular (|A| ≠ 0). Jika matriks A matriks singular (|A| = 0),

maka matriks A tidak mempunyai invers (Sibarani, 2014: 102).

Setiap matriks persegi selalu memiliki invers, ciri-ciri matriks memiliki

invers yaitu:

1) Matriks persegi yang memiliki ordo sama. Misalnya matriks A ordo 2 × 2 atau

ordo 2 dan matriks B ordo 3 × 3 atau ordo 3.

2) Matriks non singular atau determinannya tidak sama dengan nol.

Contoh:

Diketahui matriks A = [3 51 2

] tentukan invers matriks?

Penyelesaian:

A-1 = 1



]

= 1

3(2)−5(1) [

2 −5−1 3

]

= [2 −5

−1 3]

29

Cek apakah AB = BA = I

AB = [3 51 2

] [2 −5

−1 3] = [

1 00 1

] = I

BA = [2 −5

−1 3] [

3 51 2

] = [1 00 1

] = I

Karena AB = BA = I, maka berdasarkan definisi, B adalah invers dari matriks A.

Ciri-ciri matriks yang tidak memiliki invers:

1) Semua elemen dalam satu baris merupakan banyak kelipatan elemen atau pada

baris yang lain.

2) Semua elemen dalam kolom merupakan beberapa elemen kelipatan atau

elemen dalam kolom lainnya.

3) Semua elemen dalam satu baris adalah jumlah dari beberapa baris lainnya.

4) Semua elemen dalam kolom adalah jumlah dari beberapa baris lainnya.

5) Semua elemen dalam satu baris atau kolom sama dengan nol.

Contoh:


], tentukan invers matriks tersebut?

Penyelesaian:

|A| = ad – bc

|A| = (2.3) – (6.1) = (6) – (6) = 0

Sebuah matriks dikatakan singular atau non-invertible jika matriks tersebut

memiliki nilai determinanya sama dengan nol. Jadi jika nilai determinanya nol

maka invers matriksnya memiliki nilai tidak hingga.

30

2. Identifikasi Kesalahan Siswa Dalam Menyelesaikan Soal Invers Matriks

Menurut Aunurrahman (2014: 197) “identifikasi kesulitan adalah suatu

kegiatan yang diarahkan untuk menemukan siswa yang mengalami kesulitan

belajar”. Kesulitan yang dialami siswa dilihat dari kesalahan-kesalahan yang

dilakukan siswa dalam menyelesaikan soal.

Menurut Wijaya dan Masriyah (2012)” kesalahan merupakan suatu bentuk

penyimpangan terhadap hal yang dianggap benar atau penyimpangan terhadap

suatu yang ditetapkan/disepakati”. Kesalahan siswa dalam menyelesaikan soal

matematika berhubungan dengan kesalahan yang dilakukan pada saat

menggunakan dan menerapkan langkah-langkah penyelesaian soal tersebut.

Kesalahan siswa tersebut dapat terjadi pada hasil maupun pada proses penyelesaian

soal termasuk pada hasil perhitungannya. Kesalahan yang dilakukan siswa dapat

diketahui melalui hasil tes berbentuk uraian kemudian hasil tes tersebut

diidentifikasi, agar mendapat gambaran letak kesalahan siswa dalam menyelesaikan

soal invers matriks dengan menggunakan sifat-sifatnya.

Menurut Soedjadi (2000: 13) matematika adalah objek dasar yang sering

disebut objek mental (abstrak). Objek dasar adalah matematika itu sendiri yang

terdiri dari fakta, konsep,operasi, dan prinsip. Dari objek dasar itulah disusun suatu

pola dan struktur matematika. Adapun empat objek matematika menurut Soedjadi

(200:13-16) adalah sebagai berikut:

a. Fakta

Fakta adalah konvensi-konvensi yang biasanya diungkapkan berbentuk

simbol-simbol tertentu. Fakta-fakta yang berhubungan dengan materi matriks

31

misalnya simbol seperti ( ) dan [ ] yang merupakan simbol matriks, |A| yang

menyatakan determinan dan invers matriks A “A-1”

b. Konsep

Konsep adalah ide abstrak yang dapat mengolongkan atau mengklasifikasi

sekumpulan objek, apakah objek tertentu merupakan contoh konsep atau

bukan.’’invers matriks’’ adalah nama suatu konsep. Dengan konsep itu sekumpulan

objek dapat dikelompokan sebagai contoh invers matriks atau bukan. Konsep

berhubungan erat dengan definisi. Definisi adalah ungkapan yang membatasi suatu

konsep, dengan adanya definisi orang dapat membuat ilustrasi atau gambar atau

lambang dari konsep yang didefinisikan, sehingga menjadi semakin jelas apa yang

dimaksud dengan konsep tersebut. Konsep yang berhubungan dengan materi

matriks misalnya menggunakan konsep operasi matriks, determinan, matriks

kofaktor, matriks adjoint dan invers matriks yaitu AB = BA = I.

c. Operasi

Operasi adalah pengerjaan perhitungan dalam matematika, misalnya

penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Dalam menyelesaikan soal

invers matriks juga terdapat berbagai operasi, misalnya operasi penjumlahan,

pengurangan, perkalian matriks dengan skalar dan perkalian matriks dengan

matriks.

d. Prinsip

Prinsip dapat terdiri atas beberapa fakta, beberapa konsep maupun beberapa

operasi. Prinsip dapat berupa ‘’aksioma’’, ‘’teorema’’, ‘sifat’’ dan sebagainya.

Dalam materi matriks juga terdapat berbagai teorema dan sifat-sifat yang

32

Fakta: tidak menguasai

simbol determinan sehingga

menuliskan simbol matriks

digunakan dalam menyelesaikan soal invers matriks. Teorema dalam invers matriks

yang dinyatakan dengan simbol det (A) atau |A| yaitu |A| = [𝑎 𝑏𝑐 𝑑

] dapat dibalik

jika ad – bc 0. Dengan notasi ini, invers dari A adalah A-1 = 1

det(𝐴) [


].

Kesalahan-kesalahan yang dilakukan siswa dalam menyelesaikan soal

invers matriks dapat diketahui melalui tes berbentuk uraian yang kemudian

diidentifikasi. Pada penelitian ini jenis kesalahan yang dilakukan siswa dalam

menyelesaikan soal invers matriks ditinjau dari objek matematika yang meliputi:

a. Kesalahan Fakta

Kesalahan fakta pada penelitian ini adalah kesalahan yang dilakukan siswa

menuliskan dan tidak menguasai simbol-simbol atau notasi matematika yang

digunakan pada materi invers matriks. Indikator kesalahan fakta pada materi

matriks adalah kesalahan yang dilakukan siswa tidak dapat menuliskan lambang

matriks dengan benar seperti ( ), [ ] yang merupakan simbol matriks, lambang

determinan yaitu det (A) atau |A| dan A-1 yaitu invers matriks.

Berikut contoh kesalahan:


] tentukan invers matriks A?

Contoh penyelesaian salah

det (A)= [1 23 5

]

= 1 5 - 2 3 = -1

A-1 = 1

det[𝐴] [1 23 5

]

= 1

−1[1 23 5

]

33

= [−1 −2−3 −5

]

Contoh penyelesaian benar

det (A) = [1 23 5

]

= 1 5 - 2 3 = -1

A-1 = 1

𝑑𝑒𝑡 (𝐴) [1 23 5

]

= 1

−1[1 23 5

]

= [−1 −2−3 −5

]

b. Kesalahan Konsep

Kesalahan konsep yaitu kesalahan yang dilakukan siswa dalam menguasai

dan mengklasifikasi konsep-konsep tertentu untuk menyelesaikan soal matematika.

Indikator konsep pada materi matriks adalah kesalahan yang dilakukan siswa tidak

dapat menggunakan konsep yang berhubungan dengan materi matriks misalnya

menggunakan konsep operasi matriks, determinan, matriks kofaktor, matriks

adjoint dan invers matriks yaitu AB = BA = I.



] merupakan matriks persegi tunjukkan bahwa

inversnya adalah matriks persegi lain.

34

Konsep: tidak menguasai

definisi pada adjoint

Contoh penyelesaian salah

A-1 = 1



]

= 1

2 5−3 3 [5 33 2

]

= 1

5 [

5 −3−3 2

]

= [5 −3

−3 2]

Contoh penyelesaian yang benar

A-1 = 1



]

= 1

2 5−3 3 [

5 −3−3 2

]

= 1

5 [

5 −3−3 2

]

= [1

−3

5−3

5

2

5

]

Jadi, invers dari sebuah matriks persegi merupakan persegi lain

c. Kesalahan Operasi

Kesalahan operasi dalam penelitian ini adalah kesalahan yang dilakukan

siswa karena siswa menyelesaikan soal tidak sesuai prosedur penyelesaian soal

yang benar dan siswa salah dalam melakukan operasi. indikator kesalahan

operasi pada materi invers matriks adalah kesalahan yang dilakukan dalam

menjumlahkan, mengurangkan dan mengalikan yang berbentuk operasi bilangan.


Diketahui matriks A = [−5 1−3 2

] tentukan invers matriks

35

Operasi: salah dalam

melakukan operasi perkalian

Contoh penyelesaian yang salah:

A-1 = 1



]

=1

−5 2−1 (−3) [

2 −1−3 −5

]

= 1

−10−3 [

2 −1−3 −5

]

= 1

−13 [

2 −1−3 −5

]

= [

2

−13

−1

−13−3

−13

−5

−13

]


A-1 = 1



]

=1

−5 2−1 (−3) [2 −13 −5

]

= 1

−10+3 [2 −13 −5

]

= 1

−7 [2 −13 −5

]

= [

2

−7

1

73

7

5

7

]

d. Kesalahan Prinsip

Kesalahan prinsip yaitu kesalahan yang dilakukan siswa dalam memahami

hubungan beberapa konsep yang dikaitkan oleh suatu relasi atau pun operasi,

sehingga siswa tidak dapat merencanakan penyelesaian soal dengan baik dan

menggunakan rumus atau teorema.


36

Operasi: salah dalam operasi

perhitungan

Prinsip: tidak mengerjakan sesuai

perintah pada soal, yaitu tidak

mengerjakan berdasarkan rumus


] tentukan invers matriks A?

Contoh penyelesaian yang salah:

A-1 = 1

det(𝐴) [


]

= 1

1 5−2 3 [

1 −2−3 5

]

= 1

−1 [

1 −2−3 5

]

= [1 23 5

]


A-1 = 1

det(𝐴) [

5 −2−3 1

]

= 1

1 5−2 3 [

5 −2−3 1

]

= 1

−1 [

5 −2−3 1

]

= [−5 23 −1

]

3. Faktor Penyebab Kesalahan Siswa dalam Menyelesaikan Invers Matriks

Pada penelitian ini faktor penyebab kesalahan ditinjau dari faktor dalam diri

siswa yaitu menyangkut faktor kognitif yang digali secara mendalam melalui

wawancara. Faktor kognitif siswa tersebut merupakan kemampuan intelektual

siswa dalam menyeleaikan soal invers matriks. Menurut Bloom (Sudjana, 2016: 22)

ranah kognitif terdiri dari enam aspek, yakni pengetahuan atau ingatan,

pemahaman, penerapan, analisis, sintesis dan evaluasi. Adapun faktor penyebab

kesalahan siswa jika dihubungkan dengan setiap aspek meliputi:

37

a. Pengetahuan, berupa kurangnya pegetahuan siswa mengenai materi yang sudah

dipelajari dari yang sederhana sampai pada materi yang sulit. Dalam

pengetahuan yang penting adalah kemampuan mengingat keterangan yang

benar.

b. Pemahaman, berupa kurangnya kemampuan siswa dalam memahami makna

atau isi materi.

c. Penerapan, berupa kurangnya kemampuan menguraikan materi atau

menerapkan materi yang sudah dipelajari pada situasi yang baru menyangkut

penggunaan aturan dan prinsip.

d. Analisis, berupa kurangnya kemampuan menguraikan materi kedalam

komponen-komponen atau faktor-faktor penyebab dan mampu memahami

hubungan diantara bagian satu dengan bagian yang lainnya.

e. Sintesis, berupa kurangnya kemampuan memadukan konsep atau komponen-

komponen sehingga membentuk suatu pola struktur atau bentuk baru.

f. Evaluasi, berupa kurangnya kemampuan memberikan pertimbangan terhadap

nilai-nilai materi untuk tujuan tertentu.

Berdasarkan penjelasan diatas penelitian ini hanya berfokus pada faktor

penyebab kesalahan siswa yang dilihat dari faktor kognitif hanya pada aspek

pengetahuan, pemahaman dan penerapan karena pada aspek selanjutnya merupakan

kemampuan tingkat berpikir yang tinggi.

38

B. Penelitian yang Relevan

Penelitian yang relevan dengan penelitian ini adalah Penelitian yang

dilakukan oleh Halid (2016) pada materi matriks di SMA Negeri 1 Pamana

Kabupaten Wajo yang menyimpulkan bahwa jenis-jenis kesulitan siswa yang

dibagi atas tiga jenis yaitu, pemahaman soal, konsep dasar dan proses perhitungan.

Persentase kesulitan siswa dalam pemahaman soal sebesar 33%, kesulitan dalam

pemahaman konsep sebesar 36% dan kesulitan dalam proses perhitungan sebesar

31%. Kesulitan dalam pemahaman konsep memiliki persentase lebih tinggi

dibanding tipe kesulitan lainnya, dari hasil wawancara yang dilakukan kepada siswa

beralasan bahwa lupa beberapa rumus dasar tentang materi matriks. Dimana

kebanyakan peserta didik mengalami kesulitan tentang pemahaman rumus invers

dan determinan matriks karena siswa tidak menguasai dengan baik materi sifat-sifat

dan operasi pada matriks.

Penelitian lain yang dilakukan oleh Wulandari (2015) pada materi matriks

di MAN Trenggalek yang menyimpulkan bahwa bentuk kesalahan siswa dalam

menyelesaikan soal matriks adalah pada saat menguasai masalah (menentukan

matriks yang diketahui dan menentukan apa yang akan diselesaikan). Kesalahan

siswa tersebut meliputi: kesalahan fakta 0%, kesalahan konsep 28,75%, kesalahan

prinsip 27,25% dan kesalahan keterampilan 3,02%. Kesalahan konsep merupakan

kesalahan terbesar yang dilakukan siswa.

39

BAB III

METODE PENELITIAN

A. Tempat dan Waktu Penelitian

Penelitian ini dilaksanakan di SMA Negeri 3 Palangka Raya yang beralamat

di jalan G. Obos No. 12, Palangka Raya. Penelitian ini akan dilaksanakan pada

semester ganjil tahun ajaran 2019/2020.

B. Metode dan Pendekatan Penelitian

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode deskriptif.

Penelitian deskriptif adalah penelitian yang dilakukan untuk menggambarkan atau

menjelaskan secara sistematis, faktual dan akurat mengenai fakta dan sifat populasi

tertentu (Sanjaya, 2013: 59).

Penelitian ini menggunakan pendekatan kualitatif. Penggunaan pendekatan

kualitatif karena dalam penelitian ini menggunakan data berupa kata-kata atau

kalimat atau narasi tertulis mengenai kesalahan-kesalahan maupun faktor-faktor

penyebab kesalahan yang dilakukan siswa dalam menyelesaikan soal invers

matriks.

C. Subjek Penelitian

Subjek dalam penelitian ini adalah semua siswa kelas XI MIPA 3 SMA

Negeri 3 Palangka Raya. Dari 37 siswa dipilih 4 siswa kelas XI MIPA 3 SMA

Negeri 3 Palangka Raya untuk diwawancara. Penentuan subjek ditetapkan sesuai

kriteria berikut:

40

1. Siswa yang paling banyak melakukan kesalahan dalam menyelesaikan soal

materi invers matriks ditinjau dari aspek kesalahan fakta, kesalahan konsep,

kesalahan prinsip dan kesalahan operasi.

2. Siswa yang mampu berkomunikasi dengan baik. Artinya siswa yang dapat

menyampaikan ide yang dipikirkan dan dilakukan pada waktu menyelesaikan

soal invers matriks

D. Prosedur Penelitian

Adapun tahapan-tahapan penelitian yang dilakukan pada penelitian ini

adalah sebagai berikut.

1. Pra Penelitian

a) Menentukan lokasi tempat penelitian.

b) Melakukan observasi dan wawancara dengan salah seorang guru matematika di

lokasi penelitian.

c) Menyusun proposal penelitian.

d) Mendaftar seminar proposal.

e) Mengadakan seminar proposal.

f) Melakukan perbaikan proposal penelitian.

g) Memvalidasi instrumen soal penelitian.dengan bantuan raters.

2. Pelaksanaan Penelitian

a) Menuju lokasi penelitian

b) Mengambil data berupa pemberian soal tes kepada siswa.

3. Analisis Data

41

a) Mereduksi data (hasil pekerjaan siswa).

b) Melakukan analisis data.

c) Memilih subjek wawancara yang memenuhi kriteria.

d) Melakukan wawancara dengan subjek wawancara.

4. Membuat laporan hasil penelitian.

E. Definisi Istilah

1. Identifikasi kesalahan adalah upaya untuk menemukan atau menyelidiki

penyimpangan terhadap hal dianggap yang benar atau suatu yang telah

ditetapkan.

2. Jika A adalah invers suatu matriks bujursangkar atau persegi, maka A adalah

matriks B yang berukuran sama sedemikian sehingga AB = BA = I

F. Teknik Pengumpulan Data dan Instrumen Penelitian

Teknik pengumpulan data merupakan langkah yang paling utama dalam

penelitian, karena tujuan utama dari penelitian adalah mendapatkan data. Tanpa

mengetahui teknik pengumpulan data, maka peneliti tidak akan mendapatkan data

yang memenuhi standar yang diterapkan (Sugiyono, 2017: 308).

Data yang diperlukan pada penelitian ini adalah kesalahan-kesalahan siswa

dalam menyelesaikan soal invers matriks dan faktor penyebab siswa melakukan

kesalahan dalam menyelesaikan soal invers matriks. Untuk memperoleh data

tersebut digunakan teknik pengumpulan data berupa tes dan wawancara.

42

1. Teknik Pengumpulan Data

a. Tes

Menurut Hamzah (2014: 100) tes diartikan sebagai alat dan memiliki

prosedur sistematis yang dipergunakan untuk mengukur dan menilai suatu

pengetahuan atau penguasaan objek ukur terhadap seperangkat konten dan materi

tertentu. Pada penelitian ini tes yang digunakan adalah tes tertulis berbentuk uraian.

Tes uraian dipilih karena dalam menjawab soal matematika, siswa dituntut untuk

menyusun jawaban seara terurai. Salah satu kelebihan tes berbentuk uraian, yaitu

dalam menyelesaikan soal, siswa dituntut untuk menyelesaikan secara rinci

sehingga dalam proses berpikir, ketelitian dan sistematika dapat dievaluasi. Setelah

dilakukan tes maka dapat diketahui dari jawaban siswa kesalahan apa saja yang

dilakukan dalam menyelesaikan soal invers matriks. Hasil tes siswa yang

memenuhi kriteria yang telah ditentukan sebelumnya akan dijadikan bahan oleh

peneliti dalam pengumpulan data.

b. Wawancara

Moleong (2017: 186) “wawancara adalah percakapan dengan maksud

tertentu. Percakapan itu dilakukan oleh dua pihak, pewawancara yang mengajukan

pertanyaan dan terwawancara yang memberikan jawaban atas pertanyaan itu”.

Pendapat lain mengatakan bahwa “wawancara adalah sebuah dialog yang dilakukan

oleh terwawancara (interviewer)” (Arikunto, 2013: 198)

Wawancara yang digunakan dalam penelitian ini adalah wawancara tak

terstruktur dimana dalam pelaksanaannya lebih bebas dibanding dengan wawancara

terstruktur. Wawancara akan dilakukan setelah siswa menyelesaikan tes. Materi

43

wawancara berisi pertanyaan-pertanyaan yang diharapkan mampu menggali

informasi mengenai faktor-faktor yang menyebabkan siswa melakukan kesalahan

dalam menyelesaikan soal matematika invers matriks.

2. Instrumen Penelitian

a. Lembar Tes

Lembar tes merupakan salah satu instrument yang digunakan untuk

mengumpulkan data tentang kesalahan yang dilakukan oleh siswa kelas XI MIPA

3 SMA Negeri 3 Palangka Raya dalam menyelesaikan soal invers matriks. Adapun

tes yang digunakan berbentuk uraian.

Langkah-langkah penyusunan butir soal adalah sebagai berikut.

1. Mengidentifikasi materi yang diteliti berdasarkan kurikulum 2013 mata

pelajaran matematika kelas XI SMA.

2. Menyusun kisi-kisi butir soal tes.

3. Menyusun/membuat butir soal tes.

4. Menganalisis validitas butir soal dengan bantuan ratters

44

Dibawah ini adalah kisi-kisi yang digunakan dalam menyusun instrumen tes.

Tabel 1. Kisi-Kisi Instrumen Soal Tes

Tingkat : SMA/SMK

Kelas/Semester : XI/I

Mata Pelajaran : Matematika Wajib

Materi Pokok : Invers Matriks

Waktu : 2 × 45 menit

Kompetensi Dasar Materi Indikator Nomor

Butir Soal

Bentuk

Soal

Menganalisa sifat-

sifat determinan dan

invers matriks

berordo 22 dan 33

Invers

matriks

berordo

22 dan

33

- Menentukan

invers matriks

berordo 22

- Menentukan

invers matriks

berordo 33

1, 2

3 dan 4

Uraian

b. Validitas Tes

Sebuah tes disebut valid apabila tes tersebut dapat mengukur apa yang

hendak diukur. Jika data yang dihasilkan dari sebuah instrument valid, maka dapat

dikatakan bahwa instrument tersebut valid. Karena dapat memberikan gambaran

tentang data secara benar sesuai dengan kenyataan atau keadaan sesungguhnya.

Suatu objek ukur yang hendak diungkap oleh tes haruslah dibatasi terlebih

dahulu kawasan perilakunya secara seksama dan konkret. Batasan-batasan tersebut

sebagai berikut:

1. Materi

a. Rumusan butir soal sesuai dengan indikator.

b. Batasan jawaban atau ruang lingkup yang diuji sudah jelas.

c. Isi materi yang ditanyakan sesuai dengan tujuan pengukuran.

d. Isi materi yang ditanyakan sesuai dengan kurikulum SMA/SMK.

45

2. Konstruksi

a. Rumusan butir soal sudah menggunakan kata tanya/perintah yang

menuntut jawaban uraian/jawaban singkat.

b. Rumusan butir soal tidak menimbulkan penafsiran ganda.

3. Bahasa

a. Rumusan butir soal sudah menggunakan bahasa yang sederhana dan

komunikatif.

b. Rumusan butir soal tidak menimbulkan salah pengertian.

c. Butir soal menggunakan bahasa Indonesia yang baik dan benar.

Untuk memperoleh validitas logis yang tinggi, suatu tes harus dirancang

agar relevan dengan materi yang sesuai dengan tingkat kemampuan subjek yang

diukur. Butir soal tes akan divalidasi oleh tiga orang raters yaitu satu orang guru

matematika kelas XI MIPA 3 SMA Negeri 3 Palangka Raya dan dua orang dosen

Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Palangka Raya. Seorang

rater dapat menyatakan apakah butir soal matematika dapat digunakan atau tidak

dengan memberikan skor nilai A, B, dan C. Jika paling sedikit dua orang raters

memberikan nilai A maka butir tes tersebut dinyatakan valid dan dapat digunakan

untuk soal tes. Jika paling sedikit dua orang raters memberikan nilai B pada soal

yang sama, maka soal perlu diperbaiki. Jika paling sedikit dua orang raters

memberikan nilai C maka soal perlu dihilangkan.

46

Dibawah ini hasil telaah butir tes oleh ketiga orang ratters:

Tabel 2. Hasil Validasi Butir Tes oleh Ratters

Penelaah Butir Tes

1 2 3 4

I A B A A

II A A A A

III A A A A

Kesimpulan Dapat

digunakan

Dapat

digunakan

Dapat

digunakan

Dapat

digunakan

Dari penilaian ketiga raters dapat disimpulkan bahwa 4 butir soal tersebut

dapat digunakan untuk penelitian.

c. Pedoman Wawancara

Peneliti akan melakukan wawancara secara langsung kepada siswa untuk

mendapatkan informasi secara lengkap terkait masalah yang telah dirumuskan pada

penelitian ini. Teknik ini digunakan untuk memperoleh data yang berkaitan dengan

kesalahan dan penyebab kesalahan dalam mengerjakan soal invers matriks.

Pedoman wawancara yang digunakan hanya garis-garis besar permasalahan yang

akan ditanyakan. Dimana pertanyaan yang diberikan didasari dari hasil pekerjaan

siswa saat menyelesaikan soal invers matriks. Susunan pertanyaan dan susunan

kata-kata dalam setiap pertanyaan saat wawancara disesuaikan dengan kebutuhan

dan kondisi saat wawancara.

Adapun tahap-tahap wawancara dalam penelitian ini meliputi:

a. Memilih beberapa orang siswa yang menjadi subjek penelitian.

b. Membuat kisi-kisi pedoman wawancara.

47

c. Mengkonsultasikan kisi-kisi pedoman wawancara kepada pembimbing.

d. Memberitahu kepada guru mata pelajaran matematika nama-nama siswa yang

akan terpilih menjadi subjek penelitian.

e. Meminta izin kepada guru mata pelajaran matematika agar nama-nama siswa

yang terpilih menjadi subjek penelitian.

f. Bertanya kepada siswa yang terpilih menjadi subjek untuk kesediaanya di

wawancarai

g. Setelah guru mengizinkan dan siswa yang menjadi subjek penelitian mau untuk

diwawancarai, maka peneliti langsung melakukan wawancara.

Tabel 3. Kisi-kisi Pedoman Wawancara

Aspek Kesalahan Pertanyaan

Fakta 1. Mengapa kamu tidak menuliskan apa yang

diketahui dan ditanyakan dari soal yang

dikerjakan?

2. Mengapa kamu tidak menuliskan simbol-simbol

pada soal?

Konsep 3. Mengapa kamu salah dalam menggunakan definisi

invers matriks?

Operasi 4. Mengapa kamu tidak melakukan pengoperasian

dan perhitungan dengan benar?

Prinsip 5. Mengapa kamu tidak menerapkan hubungan antara

beberapa konsep matriks dalam menghitung invers

matriks?

Keterangan:

Ragam pertanyaan diatas dapat berubah dan berkembang, tergantung dengan

kondisi setiap jawaban yang diberikan.

48

G. Teknik Analisi Data

Analisis data adalah proses mengorganisasikan dan mengurutkan data

kedalam pola, kategori dan satuan uraian dasar sehingga dapat ditemukan tema dan

dapat dirumuskan hipotesis kerja (Moleong, 2012: 280). Analisis data pada

penelitian ini adalah deskriptif kualitatif terhadap data yang didapatkan dari hasil

tes dan wawancara.

1. Reduksi Data

Mereduksi data berarti merangkum, memilih hal-hal yang pokok, focus

pada hal-hal yang penting, dicari tema dan polanya (Sugiyono, 2017: 338). Dalam

penelitian ini peneliti meruduksi data dengan cara merangkum dan memfokuskan

hasil data yang diperoleh pada data-data yang berhubungan dengan tujuan yang

akan dicapai dalam penelitian.

Data yang direduksi adalah lembar hasil tes (lembar jawaban) dan hasil

wawancara siswa kelas XI MIPA 3 SMA Negeri 3 Palangka Raya dalam

menyelesaikan soal invers matriks, setelah data direduksi maka akan ada gambaran

yang lebih tajam tentang hasil pengamatan dan mempermudah peneliti untuk

mencari kembali data yang diperoleh jika diperlukan.

Tahap reduksi data dalam penelitian ini meliputi:

a) Menentukan letak dan jenis kesalahan berdasarkan hasil tes siswa yang salah

dengan cara mengoreksi hasil pekerjaan siswa.

b) Melakukan wawancara dengan subjek penelitian dan hasil wawancara tersebut

disederhanakan menjadi susunan bahasa yang baik dan rapi.

49

2. Penyajian Data

Setelah pereduksian data, selanjutnya adalah penyajian data,pada tahap ini

data akan terorganisasikan, tersusun sehingga akan mudah dipahami. Dalam

penelitian kualitatif penyajian data bisa dilakukan dalam bentuk uraian singkat,

bagan, hubungan antara kategori dan sejenisnya (Sugiyono, 2017: 341).

Data yang akan disajikan pada penelitian ini menggunakan tabel dan

gambar hasil pekerjaan siswa kelas XI MIPA 3 SMA Negeri 3 Palangka Raya yang

berupa jenis-jenis kesalahan yang dilakukan siswa dalam menyelesaikan soal

matematika pada materi invers matriks dan transkip wawancara yang

mendeskripsikan faktor-faktor penyebab siswa kelas XI MIPA 3 SMA Negeri 3

Palangka Raya melakukan kesalahan dalam menyelesaikan soal matematika pada

materi invers matriks. Dalam melakukukan penyajian data tidak semata-mata

mendeskriptifkan akan tetapi disertai dengan proses analisis yang terus menerus

sampai proses penarikan kesimpulan. Dalam proses anlisis data kualitatif, menarik

kesimpulan berdasarkan temuan dan melakukan verifikasi data.

3. Menarik Kesimpulan

Setelah memperoleh data, dari subjek penelitian dengan berbagai teknik

dan berbagai instrument, peneliti hendaknya mengecek kembali data yang

diperoleh kemudian menganalisanya sehingga dapat ditarik kesimpulan yang jelas

sesuai dengan tujuan penelitian yaitu mengetahui kesalahan-kesalahan dan faktor

penyebab kesalahan yang paling banyak dilakukan siswa dalam menyelesaikan soal

invers matriks.

50

BAB IV

HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

A. Deskripsi Hasil Penelitian

1. Deskripsi Data

Pelaksanaan seminar proposal penelitian dihadapan Dosen Tim Seminar

dan mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika dengan tempat penelitian

SMA Negeri 3 Palangka Raya dilaksanakan pada hari Rabu tanggal 22 Mei 2019.

Pada hari senin 23 September 2019 menyerahkan tembusan surat izin mengadakan

penelitian dari Kepala Badan Perencanaan Pembangunan Daerah Penelitian dan

Pengembangan, kepada tata usaha SMA Negeri 3 Palangka Raya. Pada hari yang

sama peneliti menemui guru mata pelajaran matematika untuk berdiskusi mengenai

rencana pelaksanaan penelitian yang dilakukan. Setelah berdiskusi dengan guru

mata pelajaran matematika maka ditentukan waktu untuk melakukan penelitian

yaitu pada tanggal 30 September 2019.

Data yang dipaparkan dalam penelitian ini berupa deskripsi data hasil tes

dan deskripsi data hasil wawancara. Pada penelitian ini yang menjadi sumber data

adalah siswa kelas XI MIPA 3 SMA Negeri 3 Palangka Raya semester I Tahun

Ajaran 2019/2020 dengan banyak siswa 37 orang. Sebelum memberikan tes,

terlebih dahulu butir soal tes telah divalidasi oleh 3 orang ratters yaitu 2 dosen dari

Program Studi Pendidikan Matematika dari 1 guru mata pelajaran matematika di

SMA Negeri 3 Palangka Raya. Dari 4 soal uraian yang disediakan oleh peneliti,

ratter menyatakan semua butir soal valid dan dianggap telah mewakili aspek yang

ingin diteliti, sehingga layak dijadikan sebagai soal tes untuk penelitian ini.

51

2. Deskripsi Data Hasil Tes

Data hasil tes materi Invers Matriks telah diidentifikasi kesalahan apa saja

yang dilakukan siswa kelas XI MIPA 3 SMA Negeri 3 Palangka Raya. Jumlah

siswa yang hadir pada saat tes sebanyak 32 siswa. Berikut hasil pengerjaan siswa

pada soal tes materi invers matriks:

Tabel 4. Kesalahan Siswa dalam Menyelesaikan Soal Invers Matriks

KODE

Jenis Kesalahan

Nomor butir soal

1 2 3 4

F K O P F K O P F K O P F K O P

AKO - - - - - - √ - - - - - - - - ×

MDN - - - - - - - - - - - - ×

LTN - - √ - - - - - - - - × × × ×

AWA - - - - - - - × × × × - × - ×

FAS - - - - - √ - × × × × × × × ×

VW - - - - - × × × × × × × ×

YM - - √ - - - - × × × × × × × ×

ACB - - - - - - × × × × × × × ×

C - - - √ - √ - × × × × × × × ×

S - - - - - √ - × × × × × × × ×

AS - - - - - √ - × × × × × × × ×

MR - - - - × × × × × × × × × × × ×

RWP - - - × × × × × × × × - × - ×

S - - - - - √ - - × × × × × × ×

MM √ - - - × × × × × × × × × × × ×

WF - - - × × × × × × × × × × × ×

TM - - - × × × × × × × × × × × ×

JEB - - - - × × × × × × × × × ×

PW - - - - √ - × × × × × × × ×

MNI - - × × × × × × × × - × × ×

LS - - - × × × × × × × × - × × ×

NSF - - - × × × × × × × × × × × ×

MIR √ - - × × × × × × × × × × × ×

NW - - - × × × × × × × × × × ×

D - - - - × × × ×

MJP √ - × × × ×

APN - - × × × × × × × × ×

52

√ = Melakukan kesalahan

- = Tidak melakukan kesalahan

x = Tidak menjawab soal

F = Kesalahan menuliskan fakta

K = Kesalahan memahami konsep

O = Kesalahan menggunakan Operasi

P = Kesalahan menerapkan Prinsip

Adapun kesalahan yang dilakukan 32 siswa kelas XI MIPA 3 SMA Negeri

3 Palangka Raya ditinjau dari aspek kesalahan menuliskan fakta (F), kesalahan

memahami konsep (K), Kesalahan menggunakan operasi (O), dan kesalahan

menerapkan prinsip (P) yang disajikan dalam bentuk tabel sebagai berikut.

TS - - - × × × × × × × × × ×

HDA - × × - × × × × × × × ×

P - - √ × × × × × × × × × × × × ×

RYM × × × × × × × × × × × ×

NH √ √ - √ √ × × × × × × × ×

ABG × × × × × × × × × × × × × × × ×

DE × × × × × × × × × × × × × × × ×

L × × × × × × × × × × × × × × × ×

RDP × × × × × × × × × × × × × × × ×

Y × × × × × × × × × × × × × × × ×

53

Tabel 5. Banyak kesalahan siswa dalam menyelesaikan soal invers matriks

Dari tabel diatas dapat dilihat banyaknya kesalahan yang dilakukan siswa

dalam berbagai aspek seperti dalam memahami fakta, memahami konsep,

memahami operasi dan memahami prinsip.

Kesalahan dari tiap aspek dari setiap siswa dalam menyelesaikan soal invers

matriks akan ditunjukan dalam tabel sebagai berikut:

Tabel 6. Deskripsi kesalahan jawaban siswa pada soal nomor 1

Aspek Kesalahan Kode siswa yang melakukan kesalahan

1. Menuliskan Fakta VW, NN, WF, MNI, LS, MIR, MJP, APN, TS,

RYM, NH

2. Memahami Konsep PW, MJP, RYM, NH

3. Menggunakan Operasi MDN, LTN, FAS, VW, YM, ACB, C, S, AS, RWP,

S, TM, JEB, PW, MNI, NSF, MIR, NW, P, RYM,

NH

4. Menerapkan Prinsip LTN, D, APN, TS, HDA, MJP, RYM, NH

Berdasarkan Tabel 6 soal nomor 1 diperoleh beberapa siswa yang

melakukan kesalahan fakta sebanyak 11 orang siswa, kesalahan konsep sebanyak 3

orang siswa, kesalahan operasi sebanyak 21 orang siswa dan kesalahan prinsip

sebanyak 6 orang siswa.

Aspek

Banyak Siswa Yang Melakukan Kesalahan

Dalam Menyelesaikan Soal Invers Matriks

Nomor 1 Nomor 2 Nomor 3 Nomor 4

Menuliskan Fakta 11 4 2

Memahami Konsep 4 6 2

Menggunakan Operasi 21 15 2

Menerapkan Prinsip 8 7 2

54



5. Menuliskan Fakta C, D, MJP, APN

6. Memahami Konsep AWA, D, MJP, APN, HDA, NH

7. Menggunakan Operasi AKO, MDN, FAS, VW, YM, ACB, C, S, AS, S,

PW, D, MJP, HDA, NH

8. Menerapkan Prinsip JEB, D, MJP, APN, TS, HDA, NH

Berdasarkan Tabel 7 soal nomor 2 diperoleh beberapa siswa yang

melakukan kesalahan fakta sebanyak 3 orang siswa, kesalahan konsep sebanyak 6

orang siswa, kesalahan operasi sebanyak 14 orang siswa dan kesalahan prinsip

sebanyak 6 orang siswa.



1. Menuliskan Fakta NW, MJP

2. Memahami Konsep D, MJP

3. Menggunakan Operasi D, MJP

4. Menerapkan Prinsip D, MJP

Berdasarkan Tabel 8 soal nomor 3 diperoleh beberapa siswa yang melakukan

kesalahan fakta sebanyak 2 orang siswa, kesalahan konsep sebanyak 1 orang siswa,

kesalahan operasi sebanyak 1 orang siswa dan kesalahan prinsip sebanyak 1 orang

siswa.

Berdasarkan hasil tes soal siswa, maka peneliti kembali bertemu dengan

guru matematika pada tanggal 04 Oktober 2019, untuk meminta saran dari guru

mata pelajaran matematika sebagai bahan triangulasi, memilih siswa yang

berdasarkan kriteria penelitian untuk melakukan wawancara. Hal ini bertujuan

untuk mencari faktor penyebab siswa melakukan kesalahan. Adapun kriteria

pemilihan siswa yang menjadi subjek penelitian adalah siswa yang paling banyak

melakukan kesalahan, siswa yang memenuhi aspek kesalahan yang ingin diteteliti

55

dan siswa yang mampu berkomunikasi dengan baik. Sehingga Subjek yang terpilih

untuk melakukan wawancara dalam penelitian ini adalah siswa dengan kode

masing-masing subjek D, MJP, MH dan RY dari kelas XI MIPA 3 SMA Negeri 3

Palangka Raya. Berikut adalah tabel kesalahan yang dilakukan oleh subjek dalam

menyelesaikan soal invers matriks:

Tabel 9. Kesalahan Subjek dalam Menyelesaikan Soal Invers Matriks

Berikut ini adalah jadwal pelaksanaan wawancara dengan 4 subjek penelitian.

Tabel 10. Jadwal pelaksanaan wawancara

Kode Siswa Hari/Tanggal Tempat

RYM Jumat, 04 Oktober 2019 SEKOLAH

D Senin, 07 Oktober 2019 SEKOLAH

MJP Senin, 07 Oktober 2019 SEKOLAH

NH Senin, 07 Oktober 2019 SEKOLAH

KODE

Jenis Kesalahan

Nomor butir soal

1 2 3 4


RYM √ √ × × × × × × × × × × × ×

D - - - × √ √ √ × × × × × × × ×

MJP - - - √ √ × × × ×

NH √ √ - √ √ √ × × × × × × × ×

56

Kesalahan fakta

Kesalahan operasi

Kesalahan prinsip

Kesalahan konsep

3. Deskripsi Data Hasil Wawancara

a. Deskripsi Kesalahan Jawaban Subjek RYM nomor 1

Soal no. 1: Diketahui matriks A = [1 21 3

] carilah matriks B22 sehingga

AB = BA = I (I matriks identitas 22) …

Gambar 1. Jawaban subjek RYM pada soal nomor 1

Berdasarkan hasil jawaban, subjek RYM melakukan kesalahan pada aspek

memahami :

a) Kesalahan fakta, yaitu subjek tidak menuliskan lambang matriks.

b) Kesalahan konsep, yaitu subjek tidak menggunakan perkalian matriks dengan

benar.

c) Kesalahan operasi, yaitu subjek tidak menerapkan perhitungan yang sesuai

sehingga melakukan kesalahan pada saat melakukan operasi hitung.

d) Kesalahan prinsip, yaitu siswa subjek tidak menggunakan rumus dengan benar.

57

Berikut deskripsi wawancara untuk mengetahui faktor penyebab kesalahan

dalam menyelesaikan soal:

Cuplikan wawancara untuk RYM

P : Selamat siang R

RYM : Selamat siang

P : Baik langsung saja disini kakak mau nanya dari soal tes yang kakak kasih

kemaren itu yang nomor satu kamu paham apa nggak?

RYM : Nomor 1 sedikit

P : Mengapa kamu tidak menuliskan simbol pada matriks pada soal?

RYM : Karena lupa kak

P : Kenapa kamu salah dalam menggunakan defnisi?

RYM : Nggak tau kak udah lupa

P : Kenapa kamu tidak melakukan pengoperasian dan perhitungan dengan

benar?

RYM : Lupa cara nyarinya kak dan belum paham

P : Yang mana yang nggak kamu pahami?

RYM : Yang nggak paham cara atasnya (sambil menunjukkan jawabannya).

P : Untuk mencari AB = BA = I, itu kamu misalkan dulu matriks B nya itu

jadi [𝑎 𝑏𝑐 𝑑

] seperti yang kamu tuliskan ini (sambil menunjuik jawaban

siswa). Pada materi sebelumnya sudah dijelaskan mengenai lambang

matriks dan operasi matriks

RYM : Udah lupa kak

P : Lupa?

RYM : Iya

P : Terus kenapa disini kamu dapat 2a padahal disinikan kamu sudah

menuliskan a + 3c ?

RYM : Jawabannya nggak tau juga kak lupa

58

P : Harusnya kan a + 3c dengan b + 3d. Terus disini juga kamu salah

(menunjuk jawaban siswa) harusnya disini a + 3c. 2 × 3 kan 6 kenapa punya

kamu 3c?

RYM : Oh iya salah

P : Itu kamu jawab cuman nomor 1?

RYM : Iya

P : Nomor duanya?

RYM : Nomor duanya oh belum nggak sampe.

P : Belum, nggak sempat?

RYM : Nggak sempat

P : Oke itu aja terima kasih

RYM : Iya sama-sama

Faktor penyebab kesalahan:

Berdasarkan wawancara dengan subjek RYM kesalahan yang dilakukannya

karena kurang teliti dalam membaca soal. Selain itu kurangnya pemahaman

mengenai materi invers matriks sehingga menyebabkan siswa salah menyelesaikan

soal invers matriks. Selain itu terlihat penjelasan subjek bahwa subjek tidak dapat

menghitung operasi matriks.

59

b. Deskripsi Kesalahan Jawaban Subjek D nomor 1

Soal no. 1: Diketahui matriks A = [1 21 3



Gambar 2. Jawaban subjek D pada soal nomor 1

Berdasarkan hasil jawaban, subjek D melakukan kesalahan pada aspek

memahami :

a) Kesalahan prinsip, yaitu subjek tidak menggunakan rumus terlihat dari

jawaban subjek yang tidak melanjutkan jawabnnya.

60



Cuplikan wawancara untuk D

P : Selamat siang D

D : Siang

P : Dari soal yang kakak bagi kemaren ada kendala nggak? Untuk soal nomor

satu kenapa tidak kamu lanjutin?

D : Untuk nomor satu bingung gimana kelanjutannya gitu

P : Mengapa kamu tidak melajutkan proses perhitungan mu?

D : Nggak sempat kak

P : Materi sebelumnya sudah dijelaskan tentang materi prasyarat untuk

mengerjakan invers matriks. Jadi untuk soal nomor satu kamu tinggal

menerapkan dari definisi invers matriks.

D : Udah lupa ka materi sebelumya

P : Lain kali harus kamu pelajari lagi karena materi prasyarat diperlukan untuk

materi berikutnya.


Berdasarkan wawancara dengan subjek D, kesalahan dalam menuliskan apa

yang diketahui pada soal kurang ketelitian. Faktor selanjutnya disebabkan karena

subjek tidak mengingat materi sebelumnya sehingga menyebabkan subjek tidak

melanjutkan jawaban.

61

Kesalahan konsep

Kesalahan prinsip

Kesalahan operasi

c. Deskripsi Kesalahan Jawaban Subjek D nomor 2

Soal nomor 2: Diketahui matriks A = [2 33 4

] dan B = [2 −1

−5 3],

maka (AB)-1 = …



memahami :

a) Kesalahan fakta, yaitu subjek tidak menuliskan apa yang diketahui dari soal

tersebut

b) Kesalahan konsep, yaitu dimana subjek langsung saja mengerjakan tanpa

menuliskan konsep atau operasi yang jelas. Seharusnya jawaban yang benar

adalah mencari invers matriks A sesuai pertanyaan soal dengan menggunakan

rumus invers yaitu A-1 = 1

𝐷𝑒𝑡 (𝐴) [


] maka:

A-1 = 1

2×4−3×3 [

4 −3−3 2

]

62

= 1

8−9 [

4 −3−3 2

]

= −1

1 [

4 −3−3 2

]

= [4 33 2

]

Dapat terlihat dari jawaban subjek D, bahwa subjek mengalami kesulitan dalam

memahami konsep dasr invers matriks sehingga sulit dalam operasi

penjabarannya.

c) Kesalahan operasi, yaitu subjek tidak melakukan operasi terlihat dari jawaban

subjek yang hanya menuliskan jawaban tanpa melakukan pengoperasian.

d) Kesalahan prinsip, yaitu subjek tidak menggunakan rumus dengan benar.




P : Untuk nomor 2 kenapa kamu tidak menuliskan yang diketahui dan

ditanyakan?

D : Lupa kak

P : Mengapa kamu salah mengguakan definisi invers matriks,kamu tau nggak

rumus (AB)-1 ?

D : Yang itu yang satu per

P : Rumusnyakan B-1 A-1 jawaban kamu kan langsung menuliskan tanpa

mencari dulu. Jadi sebelum (AB)-1 cari apa dulu?

D : Cari determinan

63

Kesalahan konsep dan prinsip

Kesalahan operasi

P : Cari invers A dan invers B. Jadi disini letak kesalahan punya kamu (sambil

menunjukkan jawaban siswa) harusnya cari dulu A-1 nya kemudian B-1 nya

baru kamu cari (AB)-1 nya.


Berdasarkan wawancara dengan subjek D, kesalahan dalam menuliskan apa

yang diketahui pada soal karena kurangnya ketelitian. Subjek tidak melakukan

penerapan rumus invers matriks denga benar sehingga subjek salah dalam

menyelesaikan soal.

d. Deskripsi Kesalahan Jawaban Subjek D nomor 3

Soal nomor 3: Diketahui matriks A = [1 0 02 1 00 0 2


AB = BA = I (I matriks identitas 33)


64


memahami :

a) Kesalahan konsep, yaitu subjek kurang memahami konsep invers matriks. Hal

ini nampak pada jawaban subjek dimana subjek langsung saja mencari nilai

determinan matriks dengan proses penjabaran yang salah salah.

b) Kesalahan operasi, yaitu subjek tidak menerapkan perhitungan yang sesuai


c) Kesalahan prinsip, yaitu subjek tidak menggunakan rumus invers matriks

dengan benar dimana seharunya subjek menggunakan rumus invers matriks

AB = BA = I seusai dengan definisi invers matriks.




P :Untuk nomor 3 paham?

D : Belum

P : Nomor 3 sama dengan nomor satu misalkan dulu matriiksnya [𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖

]

itu untuk matriks B nya. Baru nanti kamu cari persamaannya, akan diperoleh

nanti persamaannya a = 1seperti ini (menunjukkan jawaban), b = 0, c = 0.

Baru nanti diperoleh [1 0 00 1 00 0 1

] jadi maksudnya ini membuktikan bahwa

matriks AB = I.

D : Oh iya

65

Kesalahan fakta

Kesalahan konsep

dan prinsip

P : Oke terimakasih

D : Iya sama-sama.


Berdasarkan wawancara dengan subjek D, kesalahan yang dilakukan subjek

tidak menuliskan apa yang diketahui. Subjek belum memahami konsep invers

matriks sehigga subjek salah dalam menyelesaikan soal.

e. Deskripsi Kesalahan Jawaban Subjek MJP nomor 1




Gambar 5. Jawaban subjek MJP pada soal nomor 1

Berdasarkan hasil jawaban, subjek MJP melakukan kesalahan pada aspek

memahami :

a) Kesalahan fakta, yaitu subjek tidak menuliskan lambang matriks

b) Kesalahan konsep, yaitu subjek kurang memahami konsep invers matriks

terlihat dari jawaban subjek yang asal dalam menjawab soal.

66

d) Kesalahan prinsip, yaitu subjek tidak menggunakan rumus invers matriks


AB = BA = I sesuai dengan definisi invers matriks.



Cuplikan wawancara untuk MJP

P : Selamat siang M

MJP : Siang kak

P : Dari soal tes yang kakak kasih kemaren kenapa kamu tidak menuliskan

lambang matriks untuk soal nomor 1

MJP : Yang mana kak?

P : Yang ini (menunjukkan jawaban siswa)

MJP : Karena gak sempat waktunya kak

P : Nggak sempat waktunya?

MJP : Emang lambangnya apa kak?

P : Lambang matriks nggak tau?

MJP : Nggak ingat

P : Pada materi sebelumnya bukanya sudah jelaskan mengenai matriks dan

lambang matriks itu seperti apa

MJP : Nggak ingat kak udah lupa

P : Ini lambang matriks (menunjukkan lambang matriks)

MJP : Oh nggak ingat kak lupa

67

P : Terus kamu tau a + 2c = 1 dari mana sementara kamu tidak menuliskan

disini (menunjuk jawaban siswa)

MJP : Dari papan tulis

P : Harusnya kamu tuliskan kembali di sini (menunjuk jawaban siswa)

MJP : Oh ditulis

P : Iya, terus kenapa tidak kamu lanjutin?

MJP : Nggak sempat waktunya

P : Untuk mencarinya pake cara apa?

MJP : Cara perkalian matriks iya nggak?

P : Sebelum kamu mengerjakan harusnya kamu pahami terlebih dahulu

maksud soalnya. Materi sebelumnya sudah dijelaskan bagaimana mencari

invers matriks.

MJP : Udah lupa kak.

P : Dirumah kamu belajar?

MJP : Jarang ka.

P : Kamu paham maksud dari soal tersebut?

MJP : Nggak kak.

P : Soal tersebut maksudnya dikerjakan berdasarkan definisi yaitu

AB = BA = I kemudian dari jawaban kamu bisa kamu lanjutkan?

MJP : Nggak bisa kak, memangnya harus pake cara apa lagi kak?

P : Eliminasi dan substitusi, baru nanti dikalikan ketemu nanti hasilnya [1 00 1

]

68

Kesalahan konsep

dan prinsip

Kesalahan operasi


Berdasarkan wawancara dengan subjek M, kesalahan yang dilakukan subjek tidak

menuliskan apa yang diketahui pada soal dan subjek tidak menuliskan lambang

matriks. Kurangnya pemahaman subjek pada materi sebelumnya menyebabkan

subjek salah dalam menyelesaikan soal.

f. Deskripsi Kesalahan Jawaban Subjek MJP nomor 2


] dan B = [2 −1

−5 3],

maka (AB)-1 = …



memahami :


tersebut

b) Kesalahan konsep, yaitu dimana subjek langsung saja mengerjakan tanpa

menuliskan konsep atau operasi yang jelas dan tidak melanjutkan dengan

mencari nilai invers matriks tersebut.



69

d) Kesalahan prinsip, yaitu subjek tidak tidak menggunakan rumus dengan benar.

Seharusnya subjek menggunakan rumus (AB)-1 = B-1 A-1.




P : Untuk nomor 2 kamu tau rumusnya?

MJP : Nggak, perkalian matriks ya?

P : Rumus mencari (AB)-1

MJP : Eemmm nggak tau kak cuman invers, kalau yang B gitu bisa kalau gini

nggak bisa kalau digabungin

P : Ya, sebelumnya harus cari A-1 dan B-1 nya, nanti pas sudah ketemu baru

kamu cari (AB)-1 nya. kamu kalikan nilai A-1 nya dengan B-1 nya jadi nanti

ketemu hasilnya [−9 7−14 11

] ini hasil untuk (AB)-1

MJP : berarti harus dicari dulu inversnya dua gini kan kak baru dikali lagi?

P : Iya cari dulu A-1 nya dan B-1 nya baru nanti dikalikan. Kenapa kamu salah

mengalikan matriks tersebut?

MJP : Yang mana kak?

P : Yang ini (menunjuk jawaban siswa)

MJP : berarti punya saya salah?

P : Iya salah, lain kali teliti lagi, perhatikan lagi.

MJP : Iya

70

Kesalahan konsep

dan prinsip

P : Pada materi prasyarat sudah dijelaskan mengenai operasi matriks, materi

prasyarat akan memudahkan kamu dalam menyelesaikan soal pada materi

berikutnya.

pMJP : Sudah lupa kak

P : Jangan lupa belajar lagi dirumah

MJP : Iya kak


Berdasarkan wawancara dengan subjek MJP, kesalahan yang dilakukan

subjek tidak menuliskan apa yang diketahui pada soal. Subjek tidak memahami

maksud dari soal tersebut dan subjek tidak menerapkan rumus invers matriks.

g. Deskripsi Kesalahan Jawaban Subjek MJP nomor 3

Soal nomor 3: Diketahui matriks A = [1 0 02 1 00 0 2




71


memahami :


tersebut

b) Kesalahan konsep, yaitu subjek kurang memahami konsep invers matriks. Hal

ini nampak pada jawaban subjek dimana subjek langsung saja mencari nilai

determinan matriks dengan proses penjabaran yang salah salah. Dimana

seharusnya subjek membuat permisalan terlebih dahulu untuk matriks B nya.





AB = BA = I seusai dengan definisi invers matriks.




P : Untuk nomor 3 paham?

MJP : Belum

P : Nomor 3 sama dengan cara yang nomor satu, dimisalkan dulu matriks B

nya itu dengan [𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖

] baru nanti kamu kalikan. Ketemu hasilnya baru

nanti kamu kalikan ganti matriks B nya ini dengan nilai yang di dapat

72

ketemu hasilnya [1 0 00 1 00 0 1

]. Ini kan maksudnya membuktikan AB = BA =

I, identitas itukan [1 0 00 1 00 0 1

].jadinya sama untuk perkalian AB nya itu sama

dengan identitas ini.

MJP : Kenapa bisa kayak gini kak?

P : Ini maksudnya membuktikan. Pada soal nomor 3 kamu harus

menyelesaikan soal invers matriks berdasarka definisi AB = BA = I.

MJP : Oh iya, berarti punya saya salah ka?

P : Iya salah karena kamu menjawabnya menggunakan determinan

MJP : Ini kenapa bisa ada disini a = 2b

P : Inikan matriks B nya belum diketahui, jadi kita misalkan dulu setelah kita

misalkan ketemu nanti matriks B nya berapa. Ini kita mislkan dengan

[𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖

] kita kalikan 1 × a = a sama seperti cara nomor satu tadi ketemu

a = 1, b = 0, c = 0, d = -2, e = 1, f = 0, g = 0, h = 0, i = 1

2. Baru kamu masukan

ke matriks B ini (menunjuk matriks B) kamu kalikan hasilnya nanti

[1 0 00 1 00 0 1

] sama kan dengan matriks identitas?

MJP : Sama

P : Jadikan terbukti, Paham?

MJP : Paham.

73

Kesalahan konsep

dan prinsip


Berdasarkan wawancara denga subjek MJP, subjek kurang paham degan

maksud soal tersebut. Subjek tidak menerapkan rumus invers matriks sehingga

subjek salah dalam menyelesaikan soal.

h. Deskripsi Kesalahan Jawaban Subjek NH nomor




Gambar 8. Jawaban subjek NH pada soal nomor 1

Berdasarkan hasil jawaban, subjek NH melakukan kesalahan pada aspek

memahami :

a) Kesalahan fakta, yaitu subjek tidak menuliskan matriks identitas

b) Kesalahan konsep, yaitu subjek kurang memahami konsep invers matriks

terlihat dari jawaban subjek yang hanya mencari determinan dimana

seharusnya subjek membuat permisalan untuk matriks B dan dilanjutkan

dengan konsep perkalian matriks untuk mencari invers matriks.

74





AB = BA = I sesuai dengan definisi invers matriks.



Cuplikan wawancara untuk NH

P : Selamat siang NH

NH : Iya siang

P : Dari soal tes yang kakak kasih kemaren untuk yang nomor satu kamu

paham?

NH : Paham setengah

P : Yang nggak pahamnya dimana?

NH : Biasanya yang pertukaran-pertukaran yang 1 ke 3 ini kan nggak seperti

yang biasa min min

P : Lalu bagaimana kamu bisa mengerjakan seperti jawaban mu ini?

NH : Saya jawab pake determinan kak

P : Pada materi sebelumnya sudah dijelaskan mengenai operasi matriks dan

determinan, itu merupakan materi prasyarat agar memudahkan kamu dalam

menyelesaikan soal invers matriks ini.

NH : Oh iya kak sudah lupa, saya ingatnya determinan kak. Jawaban soal nomor

1 seperti apa kak?

P : Yang nomor satu itu diketahui matriks A = [1 21 3

] Matriks B2×2 sehingga

AB = BA = I. I itu matriks Identitas dimana [1 00 1

] matriksnya. Matriks B

nya tidak diketahui jadi matriks B nya itu dimisalkan dengan [𝑎 𝑏𝑐 𝑑

] kayak

gini (menunjuk permisalan matriks). Setelah itu baru kamu kalikan dimana

75

Kesalahan konsep

dan prinsip

baris dengan kolom, baris pertama dengan kolom pertama. Nanti setelah

dapat baru kamu buat persamaannya, diperoleh persamaannya baru kamu

cari cara eliminasinya baru substitusi dengan cara itu nanti dapat nilai a, b,

c dan d. Setelah dapat nilainya baru matriks B yang a, b, c tadi kamu ganti

dengan nilai a, b, c nilai a nya berapa kamu masukan baru kamu kalikan

hasilnya [1 00 1

]. Jadi terbuktikan bahwa AB = BA = I. paham?

NH : Paham

Faktor penyebab keslahan:

Berdasarkan wawancara dengan subjek NH, kesalahan dilakukan karena

subjek tidak menuliskan apa yang diketahui pada soal tersebut dan subjek kurang

paham maksud dari soal tersebut. Selain itu subjek tidak menerapkan rumus invers

matriks sehingga subjek salah dalam menyelesaika soal.

i. Deskripsi Kesalahan Jawaban Subjek NH nomor 2


] dan B = [2 −1

−5 3],

maka (AB)-1 = …

Gambar 9. Jawaban subjek NH pada soal nomor 2

76

Berdasarkan hasil jawaban, subjek NH melakukan kesalahan pada aspek

memahami :

a) Kesalahan konsep, yaitu dimana subjek langsung saja mengerjakan tanpa

menuliskan konsep atau operasi yang jelas dan tidak melanjutkan dengan

mencari nilai invers matriks tersebut.

b) Kesalahan operasi, yaitu subjek tidak menerapkan perhitungan yang sesuai


c) Kesalahan prinsip, yaitu subjek tidak tidak menggunakan rumus dengan benar.

Seharusnya subjek menggunakan rumus (AB)-1 = B-1 A-1



Cuplikan wawancara untuk NH

P : Untuk yang nomor 2 tau rumusnya?

NH : Nggak

P : Rumus untuk mencari (AB)-1

NH : Nggak tau

P : (AB)-1 ini kan sebelum itu harus cari A-1 dulu dengan B-1 baru diperoleh,

dapatkan hasilnya baru nanti dikalikan (AB)-1 = B-1 A-1

NH : Ini bu 6 – 5 ini dapat dari mana?

P : Rumus invers itukan 1

det(𝐴) [


] ini kan determinan (menunjuk

jawaban) dari 2 × 4 dan 3 × 3. 1

det(𝐴) [


] diperoleh matriks A-1 dan

B-1 baru kamu kalikan dapat hasilnya [−9 7−14 11

] paham?

NH : Paham

77


Berdasarkan wawancara subjek NH tidak menuliskan apa yang diketahui

pada soal tersebut dan subjek kurang paham dari maksud soal tersebut. Pemahaman

subjek tetang invers matriks masih kurang sehingga subjek bigung melakukan

penyelesain.

B. Pembahasan

Berdasarkan deskripsi data hasil penelitian di atas, maka dapat dibahas hasil

penelitian sebagai berikut:

1. Kesalahan-kesalahan Siswa dalam Menyelesaikan Soal Invers Matriks

Untuk mengetahui kesalahan-kesalahan yang dilakukan siswa dalam

menyelesaikan soal invers matriks, peneliti memberikan tes berbentuk tes tertulis

dengan bentuk soal uraian yang memuat 4 soal pertanyaan mengenai materi tersebut

disusun berdasarkan kurikulum 2013 dengan alokasi waktu pengerjaan 45 menit.

Selanjutnya hasil tes tersebut di analisis dan di dapatlah hasil tes. Berdasarkan data

tersebut dan terlihat pada Tabel 5 banyak siswa melakukan kesalahan dalam

menyelesaikan soal invers matriks. Kesalahan tersebut berupa kesalahan fakta,

kesalahan konsep, kesalahan operasi, dan kesalahan prinsip.

a. Kesalahan fakta

Kesalahan fakta merupakan salah satu kesalahan yang banyak dilakukan

oleh siswa. Adapun kesalahan fakta yang dilakukan siswa adalah tidak menuliskan

apa yang diketahui dan ditanya pada soal dan ada juga siswa yang tidak tepat

menuliskan lambang matriks “[ ]” jadi dapat disimpulkan bahwa kesalahan fakta

yang dilakukan oleh siswa adalah kesalahan dalam menuliskan lambang

matematika dan tidak menuliskan apa yang diketahui dan ditanya.

78

b. Kesalahan konsep

Kesalahan konsep merupakan salah satu kesalahan yang banyak dilakukan

oleh siswa. Kesalahan konsep dalam invers matriks adalah kesalahan yang

dilakukan siswa dalam menguasai konsep-konsep dasar perkalian matriks dan

konsep determinan matriks.

c. Kesalahan Operasi

Kesalahan operasi merupakan kesalahan yang paling banyak dilakukan

siswa. Adapun kesalahan operasi yang dilakukan siswa adalah siswa tidak

menjumlahkan dan mengalikan dengan benar serta siswa kurang teliti dalam

menuliskan hasil akhir. Dapat disimpulkan bahwa kesalahan operasi berupa

kesalahan perhitungan pada operasi bilangan.

d. Kesalahan Prinsip

Kesalahan prinsip yaitu kesalahan yang dilakukan siswa dalam memahami

hubungan beberapa konsep yang dikaitkan oleh suatu relasi ataupun operasi,

sehingga siswa tidak dapat merencanakan penyelesaian soal dengan baik dan

menggunakan rumus ataupun teorema. Dari data hasil tes terlihat bahwa siswa tidak

menggunakan rumus atau teorema tidak tepat dalam menjawab soal. Kesalahan

prinsip dalam menerapkan rumus, menyebabkan siswa salah dalam menyelesaikan

soal atau menuliskan hasil akhir dari soal tersebut.

Pada soal nomor 4 banyak siswa yang tidak menjawab soal tersebut karena

waktu pengerjaan hanya 45 menit. Pada saat melakukan penelitian peneliti

mengajar terlebih dahulu untuk mengingatkan materi sebelumnya. Waktu

penelitian terpotong 45 menit karena waktu mengajar dilakukan secara bersamaan.

79

Sebelumnya peneliti meminta waktu satu hari untuk mengajar dan satu hari untuk

melakukan penelitian, karena terkendala cuaca kabut pihak sekolah meliburkan

proses belajar mengajar disekolah selama dua minggu. Pada saat memasuki proses

belajar mengajar peneliti langsung melakukan penelitian karena pihak sekolah

harus mengejar materi yang tertinggal dan minggu depannya sudah memasuki

ulangan tengah semester. Sehingga waktu peneliti untuk melakukan penelitian

hanya satu hari.

2. Faktor Penyebab Siswa Melakukan Kesalahan dalam Menyelesaikan Soal Invers

Matriks

Faktor penyebab siswa melakukan kesalahan dalam menyelesaikan soal

invers matriks diketahui melalui wawancara kepada siswa yang dipilih sesuai

dengan kriteria yang telah ditetapkan. Berdasarkan data tersebut, penyebab

kesalahan yang dilakukan siswa sesuai dengan ranah cipta yang bersifat kognitif

yaitu pengetahuan, pemahaman dan penerapan.

a. Pengetahuan

Pengetahuan berupa kurangnya pengetahuan siswa tentang materi prasyarat seperti

operasi matriks, determinan matriks dan ketidaktahuan siswa dengan simbol-simbol yang

ada pada matriks misalnya simbol matriks “[ ]”

b. Pemahaman

Pemahaman berupa kurangnya kemampuan siswa dalam memahami isi materi

misalnya siswa tidak tau cara menentukan invers matriks dengan cara definisi atau teorema.

80

c. Penerapan

Penerapan berupa kurangnya kemampuan siswa dalam menguraikan materi yang

menyangkut penggunaan invers matriks. Misalnya dalam menyelesaikan soal invers matriks

dengan definisi AB = BA = I tapi siswa menerapkan determinan matriks untuk mengerjakan

soal tersebut.

81

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

A. Kesimpulan

Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan, dapat diambil kesimpulan

kesalahan siswa dalam menyelesaikan soal matematika materi invers matriks di

kelas XI MPA 3 SMA Negeri 3 Palangka Raya adalah sebagai berikut:

1. Kesalahan-kesalahan yang dilakukan Siswa dalam Meanyelesaikan Soal Invers

Matriks

a. Kesalahan fakta, kesalahan yang dilakukan oleh siswa yaitu tidak menuliskan

apa yang diketahui dan ditanya serta tidak menuliskan simbol matriks “[ ]”.

b. Kesalahan konsep, siswa kurang mampu memahami materi prasyarat yaitu

operasi matriks dan determinan matriks.

c. Kesalahan operasi, kesalahan operasi yang dilakukan siswa adalah siswa tidak

menjumlahkan dan mengalikan dengan benar serta siswa kurang teliti dalam

menuliskan hasil akhir.

d. Kesalahan prinsip, kesalahan yang dilakukan siswa dalam menggunakan rumus

atau teorema tidak tepat dalam menjawab soal.

2. Faktor-Faktor Penyebab Siswa Melakukan Kesalahan dalam

Menyelesaikan Soal Invers Matriks

Faktor penyebab siswa melakukan kesalahan ditinjau dari ranah cipta yang

bersifat koognitif dari aspek pengetahuan, pemahaman dan penerapan dalam

menyelesaikan soal invers matriks, yaitu:

1. Siswa tidak ingat menulis simbol-simbol matematika yang ada pada invers matriks.

82

2. Siswa kurang memahami soal invers matriks, siswa tidak mengetahui langkah awal

dalam penyelesaian soal dan tidak mengetahui rumus yang akan digunakan dalam

penyelesaian soal tersebut karena ketidakpahaman dengan pertanyaan yang diberikan

dan memberi penyelesaian yang asal-asalan.

3. Siswa tidak bisa melakukan operasi hitung perkalian matriks, siswa kurang teliti

menuliskan hasil akhir dan siswa salah dalam menghitung perkalian pada invers matriks

serta siwa tidak mengetahui dan tidak dapat membedakan rumus invers matriks.

B. Saran

Berdasarkan kesimpulan penelitian, dapat disarankan beberapa hal sebagai

berikut:

1. Bagi guru, untuk lebih melihat pada kesalahan-kesalahan yang dilakukan siswa

dalam menyelesaikan soal invers matriks, sehingga letak kesalahan tersebut

diketahui dan dikemudian hari tidak terjadi lagi. Lebih menekankan lagi

tentang konsep dan aturan dalam invers matriks dan lebih aktif lagi dalam

pembelajaran di kelas dan memahami karakter siswa agar siswa lebih percaya

diri di dalam kelas dan siswa menjadi lebih aktif dalam pembelajaran.

2. Bagi peneliti selanjutnya, diharapkan dapat digunakan sebagai salah satu

sumber data untuk penelitian selanjutnya.

83

DAFTAR PUSTAKA

Anton, H. 2000. Dasar-Dasar Aljabar Linear Jiid 1. Batam: Interaksara

Arikunto, S. 2013. Prosedur Penelitian: Suatu Pendekatan Praktis. Jakarta:

Rhineka Cipta

Aunurrahman. 2014. Belajar dan Pembelajaran. Bandung: Alfabeta

Halid, A. 2016. Analisis Kesulitan Siswa dalam Menyelesaikan Soal Matriks Siswa

Kelas XII SMA Negeri 1 Pammana Kabupaten Wajo. Skripsi. Universitas

Islam Negeri Alauddin Makassar. Diunduh pada tanggal 8 Maret 2019.

Pukul 11.01 WIB dari:

http://repositori.uin-alauddin.ac.id/8524/Ardiansyah%2520halid.

Hamzah, A. 2014. Evaluasi Pembelajaran Matematika. Jakarta: Raja Grafindo

Persada.

Kariadinata, R. 2013. Aljabar Matriks Elementer. Bandung: Pustaka Setia.

Kemendikbud. 2017. Silabus Mata Pelajaran Matematika SMA/MA/SMK/MAK.

Jakarta.

Moeleong, L. J. 2012. Metodologi Penelitian Kualitatif . Bandung: Remaja

Rosdakarya.

Sanjaya, W. 2013. Penelitian Pendidikan. Jakarta: Kencana Prenada Media Group.

Sibarani, M. 2014. Aljabar Linear. Jakarta: Rajawali Pers.

Soedjadi, R. 2000. Kiat Pendidikan Matematika di Indonesia. Jakarta: Direktorat

Jenderal Pendidikan Tinggi Departemen Pendidikan Nasional.

Sudjana. 2016. Penilaian Hasil Proses Belajar Mengajar. Bandung: PT. Re maja

Rosdakarya.

Sugiyono. 2013. Metode Penelitian Pendidikan. Bandung: Alfabeta.

Wijaya & Masriyah. 2013. Analisis Kesalahan Siswa dalam Menyelesaikan Soal

Cerita Materi Sistem Persamaan Linear Dua Variabel . E-Journal

Unesa. 1 (2). Diunduh pada tanggal 10 Februari 2018. Pukul 16.30 WIB

dari: http://jurnalmahasiswa.unesa.ac.id/article/2855/30/article,pdf

84

Wulandari. 2015. Analisis Kesalahan siswa Menyelesaikan Soal Matematika

Materi Matriks Pada Siswa Kelas X MAN Trenggalek Tahun Ajaran

2015/2016. Skripsi. Institut Agama Islam Negeri Tulungagung. Diunduh

pada tanggal 8 Maret 2019. Pukul 11.01 WIB dari: http://repo.iain-

tulungagung.ac.id/4278/

85

Lampiran 1

Kisi-kisi Instrumen Tes

86

1. Kisi-kisi Instrument Tes

Kisi- kisi Instrumen Tes

Tingkat : SMA

Kelas/ Semester : XI/I

Mata Pelajaran : Matematika


Waktu : 2 x 45 menit

Kompetensi Dasar Materi Indikator Nomor

Butir Soal

Bentuk

Soal

Menganalisa sifat-

sifat determinan dan

invers matriks

berordo 22 dan 33

Invers

matriks

berordo

22 dan

33

- Menentukan

invers matriks

berordo 22

- Menentukan

invers matriks

berordo 33

1, 2

3 dan 4

Uraian

87

Lampiran 2

Instrumen Tes

88

Lampiran 2. Instrument Tes

INSTRUMEN TES

Mata Pelajaran : Matematika Wajib


Kelas : XI MIPA 3

Hari/Tangal :

Waktu : 2 x 45 menit

Petunjuk pengerjaan soal:

1. Berdoalah sebelum mengerjakan soal

2. Tulislah identitas pada lembar jawaban yang disediakan.

3. Dilarang bekerja sama dan membuka buku.

4. Bacalah soal-soal dengan teliti sebelum menjawab soal.

5. Dahulukan menjawab soal-soal yang mudah.

6. Jawablah soal dengan langkah-langkah yang tepat dan benar termasuk yang

diketahui dan yang ditanyakan.

7. Soal terdiri dari 4 soal uraian, semua harus dijawab pada lembar yang

disediakan.

8. Periksalah jawaban sebelum dikumpulkan.

Soal:

1. Diketahui matriks A = [1 21 3

] carilah matriks B22 sehingga AB = BA = I

(I matriks identitas 22) …

2. Diketahui matriks A = [2 33 4

] dan B = [2 −1

−5 3], maka (AB)-1 = …

89

3. Diketahui matriks A = [1 0 02 1 00 0 2

] carilah matriks B33 sehingga AB = BA

= I (I matriks identitas 33)

4. Tentukan invers matriks A = [3 1 02 1 16 2 2

] …

90

Lampiran 3

Pedoman Jawaban Instrumen Tes

91

Lampiran 3. Pedoman Jawaban Instrumen Tes

PEDOMAN JAWABAN INSTRUMEN TES

1. Diketahui : A = [1 21 3

]

Ditanya : Matriks B22 sehingga AB=BA=I…?

Penyelesaian:

Misalkan matriks B = [𝑎 𝑏𝑐 𝑑

]

AB = [1 21 3

] [𝑎 𝑏𝑐 𝑑

] = [1 00 1

]

[𝑎 + 2𝑐 𝑏 + 2𝑑𝑎 + 3𝑐 𝑏 + 3𝑑

] = [1 00 1

]

Maka diperoleh 4 persamaan:

a + 2c = 1 ………………….. (1)

a + 3c = 0 ………………….. (2)

b + 2d = 0 ………………….. (3)

b + 3d = 1 ………………….. (4)

eliminasi persamaan (1) dan (2)

a + 2c = 1 3 3a + 6c = 3

a + 3c = 0 2 2a + 6c = 0 –

a = 3

substitusikan nilai a ke persamaan 1

a + 2c = 1

3 + 2c = 1

92

2c = -2

c = -1

eliminasi persamaan (3) dan (4)

b + 2d = 0 3 3b + 6d = 0

b + 3d = 1 2 2b + 6d = 2 –

b = -2

substitusikan nilai b kepersamaan 3

b + 2d = 0

-2 + 2d = 0

2d = 2

d = 1

maka diperoleh:

AB = [1 21 3

] [3 −2

−1 1] = [

1 00 1

]

AB = [3 − 2 −2 + 23 − 3 −2 + 3

] = [1 00 1

]

AB = [1 00 1

] = [1 00 1

]

Jadi terbukti AB = BA = I

2. Diketahui : A = [2 33 4

] dan B = [2 −1

−5 3]

Ditanya : (AB)-1 ?

Penyelesaian

A-1 = 1

8−9 [

4 −3−3 2

]

93

= 1

−1 [

4 −3−3 2

]

= [−4 33 −2

]

B-1 = 1

6−5 [3 15 2

]

= 1

1 [3 15 2

]

= [3 15 2

]

(AB)-1 = B-1 A-1

= [3 15 2

] [−4 33 −2

]

= [3 × (−4) + 1 × 3 3 × 3 + 1 × (−2)

5 × (−4) + 2 × 3 5 × 3 + 2 × (−2)]

= [−9 7−14 11

]

Jadi, (AB)-1 = [−9 7−14 11

]

3. Diketahui: [1 0 02 1 00 0 2

]

Ditanyakan: Matriks B33 sehingga AB=BA=I…?

Penyelesaian:

Misalkan matriks B = [𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖

]

AB = [1 0 02 1 00 0 2

] [𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖

] = [1 0 00 1 00 0 1

]

94

AB = [𝑎 𝑏 𝑐

2𝑎 + 𝑑 2𝑏 + 𝑒 2𝑐 + 𝑓2𝑔 2ℎ 2𝑖

] = [1 0 00 1 00 0 1

]

Berdasarkan kesamaan dua matriks maka diperoleh:

a = 1 b = 0 c = 0

2a + d = 0 2b + e = 1 2c + f = 0

2(1) + d = 0 2 (0) + e = 1 2 (0) + f = 0

d = -2 e = 1 f = 0

2g = 0 2h = 0 2i = 1

g = 0 h = 0 i = 1

2

maka diperoleh:

AB = [1 0 02 1 00 0 2

] [

1 0 0−2 1 0

0 01

2

] = [1 0 00 1 00 0 1

]

AB = [1 0 00 1 00 0 1

] = [1 0 00 1 00 0 1

]

Jadi terbukti AB = BA = I

4. Diketahi: A = [3 1 02 1 16 2 2

]

Ditanyakan: A-1 ?

Penyelesaian:

Untuk mencari A-1 harus dihitung

det (A) = |3 1 02 1 16 2 2

|3 12 16 2

95

|A| = (3•1•2 + 1•1•6 + 0•2•2) – (0•1•6 - 3•1•2–1•2•2)

= 6 + 6 – 6 – 4

= 12 – 10

= 2

Adj (A) =

[ |

1 12 2

| − |1 02 2

| |1 01 1

|

− |2 16 2

| |3 06 2

| − |3 02 1

|

|2 16 2

| − |3 16 2

| |3 12 1

| ]

= [0 −2 12 6 −3

−2 0 1]

A-1 = 1

2 [

0 −2 12 6 −3

−2 0 1]

=

[ 0 −1

1

2

1 33

2

−1 01

2]

Jadi, diperoleh A-1 =

[ 0 −1

1

2

1 33

2

−1 01

2]

96

Lampiran 4

Data Hasil Tes Siswa

97

Lampiran 4. Data Hasil Tes Keseluruhan

Tabel 4. Kesalahan Siswa dalam Menyelesaikan Soal Invers Matriks

KODE

Jenis Kesalahan

Nomor butir soal

1 2 3 4


AKO - - - - - - √ - - - - - - - - ×

MDN - - - - - - - - - - - - ×

LTN - - √ - - - - - - - - × × × ×

AWA - - - - - - - × × × × - × - ×

FAS - - - - - √ - × × × × × × × ×

VW - - - - - × × × × × × × ×

YM - - √ - - - - × × × × × × × ×

ACB - - - - - - × × × × × × × ×

C - - - √ - √ - × × × × × × × ×

S - - - - - √ - × × × × × × × ×

AS - - - - - √ - × × × × × × × ×

MR - - - - × × × × × × × × × × × ×

RWP - - - × × × × × × × × - × - ×

S - - - - - √ - - × × × × × × ×

MM √ - - - × × × × × × × × × × × ×

WF - - - × × × × × × × × × × × ×

TM - - - × × × × × × × × × × × ×

JEB - - - - × × × × × × × × × ×

PW - - - - √ - × × × × × × × ×

MNI - - × × × × × × × × - × × ×

LS - - - × × × × × × × × - × × ×

NSF - - - × × × × × × × × × × × ×

MIR √ - - × × × × × × × × × × × ×

NW - - - × × × × × × × × × × ×

D - - - - × × × ×

MJP √ - × × × ×

APN - - × × × × × × × × ×

TS - - - × × × × × × × × × ×

HDA - × × - × × × × × × × ×

P - - √ × × × × × × × × × × × × ×

RYM × × × × × × × × × × × ×

NH √ √ - √ √ × × × × × × × ×

ABG × × × × × × × × × × × × × × × ×

DE × × × × × × × × × × × × × × × ×

98

√ = Melakukan kesalahan

- = Tidak melakukan kesalahan

x = Tidak menjawab soal

F = Kesalahan menuliskan fakta

K = Kesalahan memahami konsep

O = Kesalahan menggunakan Operasi

P = Kesalahan menerapkan Prinsip

L × × × × × × × × × × × × × × × ×

RDP × × × × × × × × × × × × × × × ×

Y × × × × × × × × × × × × × × × ×

99

Lampiran 5

Banyak Kesalahan Siswa Dalam Menyelesaikan

Soal Invers Matriks

100

Lampiran 5. Banyak kesalahan siswa dalam menyelesaikan soal invers matriks

Tabel 5. Banyak kesalahan siswa dalam menyelesaikan soal invers matriks

Aspek

Banyak Siswa Yang Melakukan Kesalahan

Dalam Menyelesaikan Soal Invers Matriks

Nomor 1 Nomor 2 Nomor 3 Nomor 4

Memahami Fakta 11 4 2

Memahami Konsep 4 6 2

Memahami Operasi 21 15 2

Memahami Prinsip 8 7 2

101

Lampiran 6

Kesalahan Subjek Dalam Menyelesaikan Soal

Invers Matriks

102

Lampiran 6. Kesalahan Subjek dalam Menyelesaikan Soal Invers Matriks

Kesalahan Subjek dalam Menyelesaikan Soal Invers Matriks

KODE

Jenis Kesalahan

Nomor butir soal

1 2 3 4


RYM √ √ × × × × × × × × × × × ×

D - - - × √ √ √ × × × × × × × ×

MJP - - - √ √ × × × ×

NH √ √ - √ √ √ × × × × × × × ×

103

Lampiran 7

Jadwal Pelaksanaan Wawancara

104

Lampiran 7. Jadwal Pelaksanaan Wawancara

Jadwal Pelaksanaan Wawancara

Kode Siswa Hari/Tanggal Tempat

RYM Jumat, 04 Oktober 2019 SEKOLAH

D Senin, 07 Oktober 2019 SEKOLAH

MJP Senin, 07 Oktober 2019 SEKOLAH

NH Senin, 07 Oktober 2019 SEKOLAH

105

Lampiran 8

Hasil Pekerjaan Subjek

106

Lampiran 8a. Jawaban Subjek RYM

Jawaban Subjek RYM

107

Lampiran 8b.. Jawaban Subjek D

108

Lampiran 8c.. Jawaban Subjek MJP

109

Lampiran 8d.. Jawaban Subjek NH

110

Lampiran 9

Dokumentasi

111

Lampiran 9.. Dokumentasi

Dokumentasi

Peneliti menjelaskan materi sebelum memulai penelitian

Peneliti membagikan lembar tes

112

Wawancara dengan subjek RYM

Wawancara dengan subjek D

113

Wawancara dengan subjek MJP

Wawancara dengan subjek NH

114

Lampiran 10

Kartu Bimbingan Skripsi

117

Lampiran 11

Hasil Telaah Butir Soal

118

Lampiran 10. Hasil Telaah Butir Soal

PEDOMAN TELAAH BUTIR TES AKHIR BENTUK URAIAN

(VALIDITAS TES)

Bidang Penelaahan

Kriteria Penelaahan

Materi

a. Rumusan butir soal sesuai dengan indikator.

b. Batasan jawaban yang diuji sudah jelas.

c. Isi materi yang ditanyakan sesuai dengan tujuan

pembelajaran.

d. Isi materi yang ditanyakan sesuai dengan

kurikulum SMA/SMK.

Konstruksi

e. Rumusan butir soal sudah menggunakan kata tanya

atau perintah yang menuntut jawaban uraian.

f. Rumusan butir soal tidak menimbulkan penafsiran

ganda.

Bahasa

g. Rumusan butir soal sudah menggunakan bahasa

yang sederhana sehingga komunikatif.

h. Rumusan butir soal tidak menimbulkan salah

pengertian.

i. Butir soal menggunakan bahasa Indonesia yang

baik dan benar.

Nilai

j. Memberi nilai A untuk butir soal yang dapat

digunakan, memberi nilai B jika butir soal perlu

diperbaiki, atau memberi nilai C jika butir soal

perlu dihilangkan.

Cara Penelaahan:

1. Penelaah cukup memberi tanda check mark (√) pada kolom yang disediakan bila

kriteria penelaahan terpenuhi dan tanda silang (×) bila kriteria penelaahan tidak

terpenuhi.

2. Jika kriteria penelaahan kurang baik, mohon diberikan saran/ koreksi pada kolom

yang disediakan untuk revisi butir tes.

125

Lampiran 12

Administrasi

identifikasi kesalahan siswa dalam menyelesaikan...

Documents