i - zeamayshibrida's blog | just another wordpress.com … sebagian data untuk kemudian sampai...

S T A T I S T I K A

Oleh :

WIJAYA email : [email protected]

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKIAN

UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON

2010

Wijaya : Statistika 0

I. PENDAHULUAN

Statistika adalah pengetahuan cara–cara mengumpulkan, mengolah,

menyajikan, menganalisis data dan menafsirkannya atau menarik

kesimpulan berdasarkan analisis tersebut.

Statistika Deskriptif adalah bagian dari statistika yang hanya berkaitan

dengan pengumpulan, pengolahan dan penyajian data sehingga

memberikan informasi yang berguna, tanpa menarik kesimpulan terhadap

gugus data (populasi).

Statistika Inferensia adalah semua metode yang berhubungan dengan

analisis sebagian data untuk kemudian sampai pada peramalan atau

penarikan kesimpulan mengenai gugus data (populasi).

Data adalah keterangan mengenai suatu hal yang berbentuk bilangan atau

kategori.

Data dapat dibagi atas dasar :

1. Sifatnya :

a. Data Kuantitatif adalah data yang berbentuk bilangan.

Data Diskrit : Data hasil menghitung (membilang) ; merupakan

bilangan bulat.

Data Kontinyu : Data hasil mengukur; bisa berbentuk bilangan

pecahan.

b. Data Kualitatif adalah data yang dikategorikan menurut kualitas

objek.

2. Sumbernya :

a. Data Internal : Data yang menggambarkan keadaan di dalam suatu

organisasi.

b. Data Eksternal : Data yang menggambarkan keadaan di luar suatu

organisasi.



3. Cara Memperolehnya :

a. Data Primer : Data yang diperoleh langsung dari sumbernya.

b. Data Sekunder : Data yang diperoleh dari pihak lain.

4. Skala Data :

a. Skala Nominal atau Klasifikasi, misal jenis kelamin, pekerjaan dll..

b. Skala Ordinal atau Berperingkat, misal opini (baik, sedang, jelek).

c. Skala Interval, misal suhu, jarak

d. Skala Rasio, misal pendapatan keluarga, produksi dll.

Data yang baru dikumpulkan dan belum mengalami pengolahan apapun

disebut Data Mentah. Proses pengumpulan data dapat dilakukan melalui

Sensus dan Sampling.

Populasi adalah keseluruhan pengamatan yang menjadi perhatian kita.

Banyaknya pengamatan atau anggota populasi disebut Ukuran Populasi.

Ukuran populasi ada terhingga ada yang tak hingga. Dalam Statistika

Inferensia, kita ingin memperoleh kesimpulan mengenai populasi, meskipun

kita tidak mungkin atau tidak praktis untuk mengamati keseluruhan individu

yang menyusun populasi. Oleh karena itu, kita terpaksa menggantungkan pada

sebagian anggota populasi (contoh) untuk menarik kesimpulan mengenai

populasi tersebut.

Sampel atau Contoh atau Cuplikan adalah himpunan bagian dari

populasi. Apabila kita menginginkan kesimpulan dari contoh terhadap populasi

menjadi sah, maka contoh harus bersifat representatif (mewakili). Sebaliknya

apabila contoh tidak representatif maka kesimpulan akan menjadi bias.

Kesimpulan yang tidak bias adalah kesimpulan yang sesuai dengan keadaan

sebenarnya. Untuk menghilangkan kemungkinan kesimpulan yang bias, kita

perlu mengambil Contoh Acak Sederhana atau disingkat Contoh Acak.

Contoh Acak n pengamatan adalah suatu contoh yang dipilih sedemikian

rupa sehingga himpunan bagian yang berukuran n dari populasi tersebut

mempunyai peluang yang sama untuk dipilih.

Apabila populasinya terhingga, penentuan contoh acak dapat dilakukan

dengan menuliskan semua anggota pada sepotong kertas kecil (cara undian).

Untuk populasi yang berukuran besar, penentuan contoh acak dilakukan

dengan menggunakan Tabel Angka Acak.

Penyajian Data ada dua cara, yaitu dalam bentuk :

1. Tabel atau Daftar, seperti Tabel Distribusi Frekuensi dan Daftar Baris–

Kolom.

2. Grafik atau Diagram, seperti Diagram Batang, Diagram Garis (Grafik),

Diagram Lambang atau Simbol (Piktogram), Diagram Pastel (Lingkaran)

atau Pie, dan Diagram Pencar (Titik) atau Scatter Diagram.


II. UKURAN STATISTIK BAGI DATA

2.1 Parameter dan Statistik

Terminologi dan notasi yang digunakan statistikawan dalam mengolah

data sepenuhnya bergantung pada apakah data tersebut merupakan populasi

atau suatu contoh yang diambil dari suatu populasi. Misal banyaknya

kesalahan ketik pada setiap halaman yang dilakukan oleh seorang sekretaris

ketika mengetik sebuah dokumen setebal 10 halaman adalah 1, 0, 1, 2, 3, 1, 1,

4, 0 dan 2. Pertama, jika diasumsikan bahwa dokumen itu memang tepat

setebal 10 halaman maka data tersebut merupakan populasi terhingga yang

kecil. Kita dapat mengatakan bahwa banyaknya kesalahan ketik terbesar

adalah 4, atau menyatakan nilai tengah (rata–rata) hitungnya adalah 1,5.

Bilangan 4 dan 1,5 tersebut merupakan deskripsi bagi populasi. Kita menyebut

nilai–nilai demikian itu parameter populasi.

Parameter adalah sembarang nilai yang menjelaskan ciri populasi

Sekarang misalkan bahwa data tersebut merupakan contoh 10 halaman dari

naskah yang jauh lebih tebal. Maka bilangan 4 dan 1,5 tersebut merupakan

deskripsi bagi contoh, dan disebut statistik.

Statistik adalah sembarang nilai yang menjelaskan ciri suatu contoh.

2.2 Ukuran Data

Untuk mendapatkan gambaran yang lebih jelas tentang data (sampel atau

populasi), selain dengan tabel dan diagram, masih diperlukan ukuran–ukuran

lain yang merupakan wakil dari data tersebut. Ukuran yang dimaksud dapat


berupa Ukuran Pemusatan (rata–rata, median, modus), Ukuran Letak atau

Fraktil atau Kuantil (Persentil, Desil, Quartil) dan Ukuran Penyimpangan atau

Keragaman (Rentang, Rentang Antar Quartil, Simpangan Antar Quartil, Rata–

rata Simpangan, Ragam, Simpangan Baku, Koefisien Keragaman, Koefisien

Keragaman Quartil, Bilangan Baku). Penjelasan berikut merupakan ukuran data

bagi Sampel (Contoh).

2.2.1 Data Tidak Dikelompokkan

(1) Ukuran Pemusatan

Ukuran pemusatan merupakan sembarang ukuran yang menunjukkan

pusat segugus data yang telah diurutkan.

a. Rata–rata Hitung (Aritmatic Mean) atau Nilai Tengah

Misalkan x1, x2, ..., xn, tidak harus semuanya berbeda, merupakan

sebua o terhingga berukuran n, maka rata–ratanya adalah : h cont h

∑

Teladan 2.1.

Tabel di bawah ini menunjukkan gaji bulanan (dalam jutaan rupiah) 40

pegawai lembaga pemerintah :

2,2 4,1 3,5 2,5 3,2 3,7 3,0 2,6

3,4 1,6 3,1 3,3 3,8 3,1 4,5 3,7

2,5 2,8 2,8 3,6 2,9 2,7 3,9 3,1

3,3 3,1 3,7 2,4 3,2 4,1 1,9 3,4

2,3 3,8 3,2 2,6 3,9 3,0 4,2 3,5


∑ ,,

b. Rata–rata Gabungan

Bila contoh acak berukuran n1, n2, ..., nk, diambil dari k populasi masing–

masing deng a rata x1, x2, ..., xk, maka rata–rata gabungannya : an r ta

∑∑

Teladan 2.2

Tiga kelas statistika masing–masing mempunyai 28, 32 dan 35

mahasiswa, pada ujian akhir mencapai rata–rata 83, 80 dan 76. Berapa rata–

rata gabungannya :

,

c. Rata–rata Tertimbang (Terboboti)

Bila contoh dengan nilai x1, x2, ..., xn, diberi bobot w1, w2, ..., wn, maka

rata–rata tertimbangnya :

∑∑

Teladan 2.3

Nilai ujian 3 mata kuliah seorang mahasiswa adalah :

Mata Kuliah Nilai (xi) SKS (wi) wi.xi

Statistika 2 3 6

Akuntansi 3 4 12

T. Ekonomi 4 3 12

10 30


Beberapa Sifat Rata–rata Hitung

1. Jumlah dari selisih nilai pengamatan terhadap rata–ratanya adalah nol,

atau jumla p dalah nol. h sim angannya a

2. Jumlah s a ad a tanya berharga minimum : impang n ku rat dari r ta–ra

k = nilai pengamatan

3. Penambahan atau pengurangan suatu konstanta c pada setiap nilai

pengamatan, maka rata–rata semula sama dengan rata–rata yang baru

dikurangi atau ditambah dengan c.

5. Penggandaan atau pembagian setiap nilai pengamatan dengan suatu

konstanta c, maka rata–rata semula sama dengan rata–rata yang baru

dibagi atau digandakan dengan c.

d. Rata–rata Harmonik

Rata–rata Harmonik (H) bagi n buah bilangan x1, x2, ..., xn, adalah n

dibagi dengan jumlah kebalikan bilangan–bilangan tersebut.

∑

Dalam praktek rata–rata harmonik paling sering digunakan merata–

ratakan kecepatan untuk beberapa jarak tempuh yang sama, untuk mencari

harga rata–rata suatu komoditi tertentu, dan dana bersama yang dibeli dengan

cara menginvestasikan sejumlah uang tertentu setiap kali.


Teladan 2.4

Seorang keryawan menanamkan uang 1200 dolar per bulan untuk usaha

bersama. Dalam tiga bulan terakhir harga sahamnya adalah 2,4 ; 3,0 dan 4,0

dolar. Berapa rata–rata harga saham yang dibeli karyawan tersebut ?

Penyelesaian :

, , ,

Keterangan : jika menggunakan rata–rata hitung hasilnya 9,4 : 3 = 3,13, dan

tentu saja merupakan hasil yang salah. Hal ini bisa dijelaskan sebagai berikut :

Pada Bulan I : saham yang dibeli 1200 : 2,4 = 500 lembar

Pada Bulan II : saham yang dibeli 1200 : 3,0 = 400 lembar

Pada Bulan III : saham yang dibeli 1200 : 4,0 = 300 lembar

Rata–ratanya = 3600 dolar : 1200 lembar = 3 dolar per lembar

e. Rata–rata Ukur (Geometrik)

Rata–rata Ukur (U) bagi n buah bilangan x1, x2, ..., xn, adalah akar ke n

hasil kali bilangan–bilangan tersebut.

U = (x1. x2. .... xn )1/n

Log U = 1/n . Log (x1. x2. .... xn )

Teladan 2.5

Selama periode 4 tahun berturut–turut seorang karyawan telah menerima

kenaikan gaji tahunan sebesar 7,2 ; 8,6 ; 6,9 dan 9,8 %, maka rasio gaji tahun

sedang berjalan dengan tahun sebelumnya adalah 1,72 ; 1,86 ; 1,69 dan 1,98.

Maka rata–rata ukur bagi rasio kenaikan gaji tersebut adalah :

Log U = 1/4 . Log (1,72) (1,86) (1,69) (1,98)

Log U = 0,034

U = 1,08 (sama dengan 8 %)


Hubungan rata–rata Ukur Dengan Bunga Majemuk

Pada bunga majemuk, jumlah uang pada akhir tahun ke–n dengan bunga tetap

r adalah :

Pn = P ( 1 + r)n 0

Kalau tingkat bunga berubah dari waktu ke waktu yaitu r1, r2, ..., rn maka :

Pn = P0 ( 1 + r1)(1 + r2)....(1 + rn )

Dari kedua formula di atas dapat dikembangkan menjadi :

( 1 + r)n = ( 1 + r1)(1 + r2)....(1 + rn )

Teladan 2.6

Pendapatan Nasional suatu negara tahun 1976 sebesar 400 milyar dolar, dan

pada tahun 1980 sebesar 500 milyar dolar. Berapa rata–rata tingkat

pertumbuhan pendapatan nasional per tahun ?

Jawab :

, , %

f. Median (Me)

– merupakan nilai rata–rata ditinjau dari segi kedudukannya dalam

urutan data.

– membagi keseluruhan data menjadi dua bagian yang sama banyaknya

(setelah data diurutkan dari terkecil sampai terbesar, atau sebaliknya).


Me = Nilai ke ½ (n + 1)

Teladan 2.7



2,2 4,1 3,5 2,5 3,2 3,7 3,0 2,6

3,4 1,6 3,1 3,3 3,8 3,1 4,5 3,7

2,5 2,8 2,8 3,6 2,9 2,7 3,9 3,1

3,3 3,1 3,7 2,4 3,2 4,1 1,9 3,4

2,3 3,8 3,2 2,6 3,9 3,0 4,2 3,5

Setelah diurutkan menjadi :

1,6 1,9 2,2 2,3 2,4 2,5 2,5 2,6

2,6 2,7 2,8 2,8 2,9 3,0 3,0 3,1

3,1 3,1 3,1 3,2 3,2 3,2 3,3 3,3

3,4 3,4 3,5 3,5 3,6 3,7 3,7 3,7

3,8 3,8 3,9 3,9 4,1 4,1 4,2 4,5

– , , – , ,

g. Modus (Mo)

Modus suatu pengamatan adalah nilai yang paling sering terjadi, atau nilai

dengan frekuensi paling tinggi. Modus tidak selalu ada, juga bisa lebih dari

satu nilai.


Teladan 2.8.

Untuk data gaji bulanan pegawai pemerintah setelah diurutkan yaitu :

1,6 1,9 2,2 2,3 2,4 2,5 2,5 2,6

2,6 2,7 2,8 2,8 2,9 3,0 3,0 3,1

3,1 3,1 3,1 3,2 3,2 3,2 3,3 3,3

3,4 3,4 3,5 3,5 3,6 3,7 3,7 3,7

3,8 3,8 3,9 3,9 4,1 4,1 4,2 4,5

Modus (Mo) = 3,1

(2) Ukuran Letak (Fraktil atau Kuantil)

Ukuran Letak adalah nilai–nilai yang dibawahnya terdapat sejumlah

pecahan atau persentase tertentu.

a. Quartil (Q) = nilai yang membagi segugus pengamatan menjadi 4 bagian

yang sama banyaknya setelah data diurutkan.

Qi = nilai ke i ( n + 1) / 4

b. Desil (D) = nilai yang membagi segugus pengamatan menjadi 10 bagian

yang sama banyaknya setelah data diurutkan.

Di = nilai ke i ( n + 1) / 10

c. Persentil (P) = nilai yang membagi segugus pengamatan menjadi 100

bagian yang sama banyaknya setelah data diurutkan.

Pi = nilai ke i ( n + 1) / 100


Teladan 2.9


1,6 1,9 2,2 2,3 2,4 2,5 2,5 2,6

2,6 2,7 2,8 2,8 2,9 3,0 3,0 3,1

3,1 3,1 3,1 3,2 3,2 3,2 3,3 3,3

3,4 3,4 3,5 3,5 3,6 3,7 3,7 3,7

3,8 3,8 3,9 3,9 4,1 4,1 4,2 4,5

A. Quartil (Q) :

1. aQu rtil-1 (Q1) :

1 140 1 10

4

4

1014

11 – 10 2,714

2,8 – 2,7 2,725

2. a

40 1 201

Qu rtil-2 (Q2) :

24 2

2012

21 – 20 3,212

3,2 – 3,2 3,200

3. a

40 1 303

Qu rtil-3 (Q3) :

3

44

3034

31 – 30 3,734

3,7 – 3,7 3,700


B. Desil (D) :

40 1 41

1. sDe il-1 (D1) :

1

1010

41

10 5 – 4 2,3

110

2,4 – 2,3 2,310

40 1 201

2. sDe il-5 (D5) :

5

10 2

2012

21 – 20 3,212

3,2 – 3,2 3,200

40 1 328

1

3. sDe il-8 (D8) :

8

010

328

10 33 – 32 3,7

810

3,8 – 3,7 3,780

Dengan cara yang sama akan diperoleh nilai desil lainnya yaitu :

D2 = 2,600 D3 = 2,830 D4 = 3,100

D6 = 3,360 D7 = 3,570 D9 = 4,080

C. Persentil (P) :

1. rsPe entil-25 (P25) :

5

40 1 1012

100 4

1014

11 – 10 2,714

2,8 – 2,7 2,725



75 340 1 30

4

100

3034

31 – 30 3,734

3,7 – 3,7 3,700


90

040 1 36

91010

369

10 37 – 36 3,9

910

4,1 – 3,9 4,080


P10 = 2,310 P20 = 2,600 P30= 2,830

P40 = 3,100 P50 = 3,200 P60 = 3,360

P70 = 3,570 P80 = 3,780

Dari hasil perhitungan di atas, terdapat hubungan antara Quartil, Desil

dan Persntil yaitu :

D1 = P10 D2 = P10 D3 = P30 D4 = P40

D5 = P50 D6 = P60 D7 = P70 D8 = P80

D9 = P90 Q1 = P25 Q2 = D5 = P50 Q3 = P75

3. Ukuran Penyimpangan/Keragaman/Variasi/Penyebaran/Dispersi

Ukuran penyimpangan adalah ukuran yang menunjukkan penyimpangan

nilai suatu variabel terhadap nilai rata–ratanya. Ukuran penyimpangan ini

sebagai pelengkap bagi ukuran pemusatan dalam membandingkan dua atau

lebih gugus bilangan yang berbeda.


Rumus ukuran penyimpangan yang dibahas merupakan rumus ukuran

penyimpangan contoh (untuk populasi lambang dan s diganti dengan μ dan

σ) yang meliputi :

a. Rentang / Range / Jangkauan = Selisih nilai terbesar dengan terkecil

b. Rentang Antar Kuartil (RAK) = K3 − K1

c. Simpangan Kuartil (SK) = ½ ( K3 − K1 )

d. Rata–rata Simpangan (RS) = 1/n ∑ ⏐ ⏐

n ∑ x2 − (∑ x)2 e. Ragam atau Varians ( s2 ) = ———————— n (n − 1)

f. Simpangan Baku (s) = √ s

g. Koefisien Variasi ata Koefisien Keragaman (KK) = u

h. Bilangan Baku z =

x 100%

Teladan 2.10


1,6 1,9 2,2 2,3 2,4 2,5 2,5 2,6

2,6 2,7 2,8 2,8 2,9 3,0 3,0 3,1

3,1 3,1 3,1 3,2 3,2 3,2 3,3 3,3

3,4 3,4 3,5 3,5 3,6 3,7 3,7 3,7

3,8 3,8 3,9 3,9 4,1 4,1 4,2 4,5

. ,5 ,6 2,9

0 2,725 0,975

4 1

. 3,70

. 12

0,975 0,488


. 1

| |

Tabel di bawah merupakan nilai | | :

0,98 0,92 0,32 0,68 0,02 0,52 0,18 0,58

0,22 1,58 0,08 0,12 0,62 0,08 1,32 0,52

0,68 0,38 0,38 0,42 0,28 0,48 0,72 0,08

0,12 0,08 0,52 0,78 0,02 0,92 1,28 0,22

0,88 0,62 0 02 0,58 0,72 , 0,18 1,02 0,32

. 1

| |1

4020,44 0,511

. ∑ ∑

1

Tabel di bawah merupakan nilai x2 :

4,84 16,81 12,25 6,25 10,24 13,69 9,00 6,76

11,56 2,56 9,61 10,89 14,44 9,61 20,25 13,69

6,25 7,84 7,84 12,96 8,41 7,29 15,21 9,61

10,89 9,61 13,69 5,76 10,24 16,81 3,61 11,56

5,29 14,44 10,24 6,76 15,21 9,00 17,64 12,25

. 40 420,86 127,2

40 40 10,4196

. 0,4196 0,6478

. 100% 0,6478

3,18100% 20,37

.


Tabel di bawah merupakan nilai baku z :

-1,513 1,420 0,494 -1,050 0,031 0,803 -0,278 -0,895

0,340 -2,439 -0,124 0,185 0,957 -0,124 2,038 0,803

-1,050 -0,587 -0,587 0,648 -0,432 -0,741 1,112 -0,124

0,185 -0,124 0,803 -1,204 0,031 1,420 -1,976 0,340

-1,359 0,957 0,031 -0,895 1,112 -0,278 1,575 0,494

Tabel nilai baku z diatas, apabila dihitung nilai rata-rata dan ragamnya

diperoleh :

a. Rata-rata = 0,000

b. Ragam = 1,000

Teladan 2.11

Data berikut merupakan banyaknya ikan (xi) yang dapat ditangkap dari dua

buah kolam oleh 9 orang.

Kolam Nilai pengamatan

A 3 4 5 6 8 9 10 12 15

B 3 7 7 7 8 8 8 9 15

Selanjutnya dieroleh ukuran keragamannya sebagai berikut :

Ukuran Gugus A Gugus B

Rentang 15 − 3 = 12 15 − 3 = 12

RAK 11 − 4,5 = 6,5 8,5 − 7 = 1,5

SK 3,25 0,75

RS 1/9 (28) = 28/9 1/9 (16) = 16/9

s2 [9(700) − (72)2] / 72 = 15,5 [9(654) − (72)2] / 72 = 9,8

s √ 15,5 = 3,94 √ 9,8 = 3,13

KK (%) (3,94 : 8) x 100 % = 49,3 (3,13 : 8) x 100 % = 39


Data di atas menunjukkan bahwa antara Gugus A dan B walaupun mempunyai

ukuran pemusatan dan Rentang yang sama, tetapi mempunyai ukuran

keragaman yang berbeda. Ternyata Rentang tidak berhasil mengukur

keragaman nilai–nilai diantara kedua ekstrim tersebut. Gugus A mempunyai

nilai keragaman yang lebih besar dibanding gugus B.

Teladan 2.12

Harga 5 buah mobil bekas masing–masing adalah Rp 4.000.000, Rp 4.500.000,

Rp 5.000.000, Rp 4,750.000, Rp 4.250.000, dan harga 5 ekor ayam masing–

masing adalah Rp 6000, Rp 8000, Rp 9000, Rp 5500, Rp 10.000. Tentukan

harga mobil atau harga ayam yang lebih beragam !

Penyelesaian :

No Ukuran Mobil Ayam

1. Rata-rata 4.500.000 7.700

2. Simpangan Baku 395.280 1.920

3. Koef. Keragaman (%) 8,78 24,95 Jadi harga ayam lebih beragam dibandingkan harga mobil.

Teladan 2.13

Misal seorang mahasiswa mendapat nilai ujian Ekonomi Makro 82, sedangkan

rata–rata kelasnya 68 dengan simpangan baku 8. Nilai ujian Statistikanya 89,

sedangkan rata–rata kelasnya 80 dengan simpangan baku 6. Dalam ujian

mana ia mempunyai kedudukan yang lebih baik ?

Penyelesaian :

Ekonomi Makro : z = ( 82 − 68 ) / 8 = 1,75

Statistika : z = ( 89 − 80 ) / 6 = 1,50

Ternyata dalam ujian Ekonomi Makro mahasiswa tersebut berada 1,75

simpangan baku di atas rata–rata kelasnya, sedangkan dalam Statistika ia

hanya 1,5 simpangan baku di atas rata–rata kelasnya. Dengan demikian


mahasiswa tersebut mempunyai kedudukan yang lebih baik dalam ujian

Ekonomi Makro.

Pengkodean Terhadap Ragam

Pengkodean disini dimaksudkan sebagai operasi penjumlahan,

pengurangan, penggandaan atau pembagian setiap nilai pengamatan dengan

suatu konstanta. Misalkan data pengamatan semula adalah xi kemudian

masing–masing nilai ditambah dengan konstanta c, sehingga rata–rata data

pengamatan semula adalah x dan rata–rata yang baru y = x + c. Kita hitung

ragam i u : bag y yait

∑1

∑1

∑1

Jadi, bila setiap pengamatan ditambah atau dikurangi dengan suatu konstanta

c, maka ragam data semula sama dengan ragam data yang baru.

Sekarang misalkan nilai data awal digandakan dengan konstanta c, jadi y = cx

maka rata–r m ba i atanya y = cx dan raga g y :

∑1

∑1

∑1

Jadi, bila setiap pengamatan digandakan (atau dibagi) dengan suatu konstanta

c, maka ragam data semula sama dengan ragam data yang baru dibagi (atau

digandakan) dengan c2.

2.2.2 Data Dikelompokkan

(1) Distribusi Frekuensi

Ciri–ciri penting bagi data dengan segera dapat diketahui melalui

pengelompokan data tersebut ke dalam beberapa kelas, kemudian dihitung

banyaknya pengamatan yang masuk ke dalam setiap kelas. Susunan demikian

dalam bentuk tabel disebut distribusi (sebaran) frekuensi. Data yang disajikan


dalam bentuk distribusi frekuensi dikatakan sebagai data yang dikelompokkan.

Pengelompokan memberikan gambaran yang lebih jelas mengenai data

tersebut, tetapi kita kehilangan identitas masing–masing pengamatan.

Distribusi Frekuensi adalah susunan data berdasarkan kelas interval atau kategori tertentu.

Distribusi Frekuensi ada dua macam, yaitu :

1. Distribusi Frekuensi Numerik adalah distribusi frekuensi yang pembagian

kelasnya dinyatakan dengan angka.

2. Distribusi Frekuensi Kategori adalah distribusi frekuensi yang pembagian

kelasnya berdasarkan kategori.

Langkah–langkah penyusunan distribusi frekuensi adalah sebagai berikut :

a. Menentukan banyaknya kelas interval (5 sampai 20) atau digunakan

Aturan Sturges, yaitu : 1 + 3,3 Log n, dimana n menunjukkan ukuran

sampel.

b. Menentukan selisih bilangan terbesar dengan terkecil, yang disebut

rentang (range).

c. Menentukan panjang kelas interval (p) dimana p = (rentang : banyaknya

kelas interval).

d. Mencacah banyaknya pengamatan yang masuk ke dalam kelas interval.

Teladan 2.1.



2,2 4,1 3,5 2,5 3,2 3,7 3,0 2,6

3,4 1,6 3,1 3,3 3,8 3,1 4,5 3,7

2,5 2,8 2,8 3,6 2,9 2,7 3,9 3,1

3,3 3,1 3,7 2,4 3,2 4,1 1,9 3,4

2,3 3,8 3,2 2,6 3,9 3,0 4,2 3,5


1. Banyaknya kelas interval = 1 + 3,3 log n = 1 + 3,3 log 40 = 6,3 (misal

kelas intervalnya sebanyak 6).

2. Selisih bilangan terbesar dengan terkecil (Range) = 4,5 − 1,6 = 2,9

3. Panjang kelas interval (p) = 2,9 : 6 = 0,50.

Daftar distribusi frekuensinya disajikan pada Tabel 1 berikut.

Tabel 1. Distribusi Frekuensi Gaji Bulanan (juta rupiah) 40 Pegawai Lembaga Pemerintah.

No No X F Frek. Relatif Frek. Kumulatif F % < >

1 1,6 − 2,0 1,8 2 0,05 5,0 2 40

2 2,1 − 2,5 2,3 5 0,13 12,5 7 38

3 2,6 − 3,0 2,8 8 0,20 20,0 15 33

4 3,1 − 3,5 3,3 13 0,33 32,5 28 25

5 3,6 − 4,0 3,8 8 0,20 20,0 36 12

6 4,1 − 4,5 4,3 4 0,10 10,0 40 4

Jumlah 40 1,00 100,0

Dari Tabel 1 di atas, yang dimaksud dengan :

a. Tepi (limit) Kelas adalah nilai–nilai dalam setiap kelas, terdiri dari

– Tepi Kelas Bawah : 1,6 ; 2,1 ; 2,6 ; 3,1 ; 3,6 ; 4,1

– Tepi Kelas Atas : 2,0 ; 2,5 ; 3,0 ; 3,5 ; 4,0 ; 4,5

b. Batas Kelas adalah nilai–nilai teoritis dari tepi kelas, terdiri dari

– Batas Kelas Bawah : 1,55 ; 2,05 ; 2,55 ; 3,05 ; 3,55 ; 4,05

– Batas Kelas Atas : 2,05 ; 2,55 ; 3,05 ; 3,55 ; 4,05 ; 4,55

c. Lebar (Panjang) Kelas adalah selisih batas atas kelas dengan batas bawah

kelas (p = 0,5)

d. Frekuensi Kelas adalah banyaknya pengamatan yang masuk ke dalam

setiap kelas

e. Titik Tengah Kelas (X) adalah titik tengah antara batas atas dengan batas

bawah kelas


g. Frekuensi Kumulatif Kurang Dari dihitung atas dasar batas atas kelas,

sedangkan Frekuensi Kumulatif Lebih Dari dihitung atas dasar batas

bawah kelas.

Dari Tabel 1 dapat dikemukakan misalnya :

a. Karyawan yang mempunyai gaji antara 3,5 sampai 3,9 juta sebanyak 10

orang.

b. Karyawan dengan gaji minimal 3,0 juta sebanyak 33 orang atau 82,5 %.

Penyajian dalam bentuk diagram dan grafik disajikan pada Gambar 1

(Histogram, Poligon Frekuensi dan Kurva Frekuensi) dan Gambar 2 (Kurva

Frekuensi Kumulatif atau OGIF).

Gambar 1. Histogram, Poligon Frekuensi dan Kurva Frekuensi

Keterangan :

Poligon Frekuensi

Kurva Frekuensi (Kurva Populasi)


Gambar 2. OGIF atau Frekuensi Kumulatif Kurang Dari dan Lebih dari

(2) Model Populasi

Gambar 1 menunjukkan bahwa Poligon Frekuensi merupakan garis patah–

patah yang menghubungkan titik–titik tengah kelas interval. Garis patah–patah

ini dapat didekati oleh sebuah lengkungan halus yang bentuknya secocok

mungkin dengan poligon tersebut. Lengkungan yang didapat dinamakan Kurva

Frekuensi. Kurva frekuensi ini merupakan Model Populasi yang ikut menjelaskan

ciri–ciri populasi. Oleh karena itu model populasi biasanya didekati atau

diturunkan dari kurva frekuensi. Bentuk kurva untuk model populasi yang

sering dijumpai yaitu bentuk simetrik, positif atau miring ke kiri (ekor kurva

menjulur ke kanan), negatif atau miring ke kanan (ekor kurva menjulur ke kiri).

Simetri Positif Negatif


(3) Kurva Lorentz

Misalkan pendapatan per hari 10 orang masing–masing Rp 10.000,–,

apabila digambarkan dengan grafik dimana absis menyatakan kumulatif jumlah

orang dan ordinat menyatakan kumulatif pendapatan, maka grafiknya disajikan

pada Gambar 3. Seandainya orang yang ke 10 mempunyai pendapatan Rp

100.000,– dan 9 orang lainnya tidak mempunyai pendapatan (nol), maka

kurvanya adalah OPQ.

10 Q 9 8 7 6 5 4 3 2 1 P

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Gambar 3. Grafik atau Kurva Lorentz

Kurva OQ menunjukkan pembagian pendapatan yang sama, artinya kalau

data tersebut merupakan data tingkat nasional (data penduduk dan

pendapatan) dan angka–angka kumulatif dinyatakan dengan persentase maka

terjadi pembagian pendapatan yang sama yaitu x % penduduk mendapat x %

pendapatan nasional. Dalam prakteknya apabila kurva Lorentz diterapkan pada

data pendapatan negara, kurvanya akan menyerupai ORQ. Semakin dekat ke

OQ pendapatan makin merata.


(4) Ukuran Data Dikelompokkan

A. Ukuran Pemusatan

A.1 Rata–rata Hitung :

Cara I ∑ .

∑

Cara II ∑∑

X0 = titik tengah kelas yang dipilih, dan diberi nilai c = 0

p = panjang kelas interval

A.2 Median :

12

Me = Median

B = Batas bawah kelas median (kelas dimana median terletak)

p = Panjang kelas

n = Ukuran contoh

F = Jumlah frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari kelas median

f = frekuensi kelas median

A.3 M duo s (Mo) :

Mo = Modus

B = Batas bawah kelas modus

p = Panjang kelas


f1 = Selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnnya

f2 = Selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya


No Interval x f f.x c f.c

1 1,6 − 2,0 1,8 2 3,6 −3 −6

2 2,1 − 2,5 2,3 5 11,5 −2 −10

3 2,6 − 3,0 2,8 8 22,4 −1 −8

4 3,1 − 3,5 3,3 13 42,9 0 0

5 3,6 − 4,0 3,8 8 30,4 1 8

6 4,1 − 4,5 4,3 4 17,2 2 8

Jumlah 40 128,0 −8

A.1 Rata–rata Hitung :

Cara I ∑ .

∑128,0

403,20

Cara II ∑∑ 3,3 0,5

840

3,20

A.2 Median :

12

3,05 0,520 15

133,24

A.3 M du


o s (Mo) :

3,05 0,55

5 53,30

B. Ukuran Letak

Quartil = /4

/10

Desil =

/100

Persentil =

BB = Batas bawah kelas Pi , atau Di atau Ki

p = Panjang kelas = 0,5

n = Ukuran contoh = 40

F = Jumlah frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari kelas Pi , Di , atau Ki

f = frekuensi kelas Pi , Di , atau Ki


No Interval X f BB

1 1,6 − 2,0 1,8 2 1,55

2 2,1 − 2,5 2,3 5 2,05

3 2,6 − 3,0 2,8 8 2,55

4 3,1 − 3,5 3,3 13 3,05

5 3,6 − 4,0 3,8 8 3,55

6 4,1 − 4,5 4,3 4 4,05

B.1 Quartil :


1 404

10

1 /4 2,55 0,5

10 78

2,738

2 404

20

2 /4 3,05 0,5

20 1513

3,242

3 404

30

3 /4 3,55 0,5

30 288

3,675

B.2 Desil :

1 4010

1 /10

4

2,05 0,54 2

52,250

5 4010

5 /10

20

3,05 0,520 15

133,242

8 4010

8 /10

32

3,55 0,532 28

83,800


D2 = 2,613

D6 = 3,396

D3 = 2,742 D4 = 3,088

D9 = 4,050 D7 = 3,550


B.3 Persentil :

10 40100

4

10 /100

2,05 0,54 2

52,250

25 40100

25 40 /100

10

2,55 0,510 7

82,738

50 40100

50 40 /100

20

3,05 0,520 15

133,242

75 40100

75 40 /100

30

3,55 0,530 28

83,675


P20 = 2,613 P30 = 2,742 P40 = 3,088

P60 = 3,396 P70 = 3,550 P80 = 3,800

P90 = 4,050


Hubungan nilai persentil, desil dan kuartil dapat digambarkan dengan diagram

berikut :

Batas Gaji 2,738 3,242 3,675

Persentase 25 25 25 25

Ukuran Letak P25 = Q1 P50 = D5 = Q2 P75 = Q3

Dari tabel tersebut dapat dikemukakan, misalnya :

– sebanyak 25 % atau 10 orang karyawan memperoleh gaji lebih kecil dari

Rp 2,738 juta.

– banyaknya karyawan dengan gaji dari Rp 2,738 juta sampai Rp 3,675 juta

sebanyak 50 % atau 20 orang.

C. Ukuran Penyimpangan / Keragaman

Misal kita gunakan Distribusi Frekuensi Gaji Bulanan (juta rupiah) 40

Pegawai Lembaga Pemerintah.

No Interval xi f | | | |

1 1,6 − 2,0 1,8 2 1,4 2,8 3,24 6,48

2 2,1 − 2,5 2,3 5 0,9 4,5 5,29 26,45

3 2,6 − 3,0 2,8 8 0,4 3,2 7,84 62,72

4 3,1 − 3,5 3,3 13 0,1 1,3 10,89 141,57

5 3,6 − 4,0 3,8 8 0,6 4,8 14,44 115,52

6 4,1 − 4,5 4,3 4 1,1 4,4 18,49 73,96

Jumlah 40 4,5 21,0 60,19 426,70

. 3,67

. 12

5 2,738 0,937

0,937 0,469


. 1

| |0

14

21,0 0,53

. ∑ ∑

140 426,70 128,0

40 40 10,44

. 0,44 0,662

. 100%0,6623,20

100% 20,69

(5) Ukuran Distribusi Data Tunggal

A. Skewness (Koefisien Kemenjuluran)

Sebagaimana telah dikemukakan sebelumnya, bahwa model populasi

biasanya didekati atau diturunkan dari kurva frekuensi. Bentuk kurva untuk

model populasi yang sering dijumpai yaitu bentuk simetrik, positif atau miring

ke kiri (ekor kurva menjulur ke kanan), negatif atau miring ke kanan (ekor

kurva menjulur ke kiri). Untuk mengetahui kemenjuluran kurva populasi

digunakan koefisien kemenjuluran (skewness).

Berdasarkan data tunggal untuk data gaji 40 pegawai lembaga pemerintah

diperoleh nilai :

Rata-rata , Simpangan Baku s = 0,648

Nilai :


−14,512 −7,716 −3,463 −2,507 −1,746 −1,157 −1,157 −0,718−0,718 −0,407 −0,202 −0,202 −0,081 −0,021 −0,021 −0,002−0,002 −0,002 −0,002 0,000 0,000 0,000 0,006 0,0060,039 0,039 0,121 0,121 0,273 0,517 0,517 0,5170,877 0,877 1,373 1,373 2,865 2,865 3,904 8,462

Jumlah −9,882

, ,

Hasil perhitungan diperoleh nilai Skewness berharga negatif, artinya data

gaji pegawai yang diteliti mempunyai distribusi negatif atau menjulur kekiri.

B. Kurtosis (Koefisien Keruncingan)

Kurtosis merupakan ukuran keruncingan sebuah kurva populasi.

Berdasarkan koefisien kurtosis, kurva frekuensi atau model populasi

digolongkan menjadi 3 jenis yaitu :

Mesokurtik (Normal ) jika Koefisien Kurtosis = 0

Platikurtik (Datar ) jika Koefisien Kurtosis < 0

Leptokurtik (Run i Koefisien Kurtosis 0 cing ) j ka >

Berdasarkan data tunggal untuk data gaji 40 pegawai lembaga pemerintah

diperoleh nilai :

Rata-rata , Simpangan Baku s = 0,648


Nilai :

35,398 15,247 5,239 3,406 2,102 1,214 1,214 0,643

0,643 0,302 0,118 0,118 0,035 0,006 0,006 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,001

0,013 0,013 0,060 0,060 0,177 0,415 0,415 0,415

0,839 0,839 1,526 1,526 4,069 4,069 6,148 17,244

Jumlah 103,527

, ,

Hasil perhitungan diperoleh nilai Kurtosis berharga negatif, artinya

distribusi data gaji pegawai tergolong Platikurtik.

2.3 Dalil Chebyshev dan Kaidah Empirik

2.3.1 Dalil Chebyshev :

Sekurang–kurangnya 1 − 1/k2 bagian data terletak dalam k simpangan baku dari rata–ratanya.

Teladan 2.20.

Misalkan data IQ suatu contoh acak 1.080 mahasiswa mempunyai rata–rata

120 dengan simpangan baku 8. Gunakan dalil Chebyshev untuk menentukan

selang yang mengandung sekurang–kurangnya 810 mahasiswa mempunyai IQ

yang terletak di dalamnya !


Penyelesaian :

810 : 1080 = 3/4, jadi 1 − 1/k2 = 3/4, maka diperoleh nilai k = 2 dan x ± 2 s

= 120 ± 2 (8) = 120 ± 16. Jadi sekurang–kurangnya 810 mahasiswa

mempunyai IQ antara 104 sampai 136.

Dalil Chebyshev kurang banyak memberikan manfaat apabila nilai k = 1.

Disamping itu hanya memperhatikan batas bawahnya saja (dengan istilah

sekurang–kurangnya), dan tidak memperhatikan bagaimana bentuk sebaran

data pengamatan, apakah berbentuk genta (simetris) atau tidak. Oleh karena

itu, untuk sebaran data pengamatan yang berbentuk genta akan lebih baik

digunakan Kaidah Empirik.

2.3.2 Kaidah Empirik

Pada sebaran pengamatan yang berbentuk genta (simetrik) maka kira–kira : 68 % pengamatan terletak dalam 1 simpangan baku dari rata–ratanya. 95 % pengamatan terletak dalam 2 simpangan baku dari rata–ratanya. 99,7 % pengamatan terletak dalam 3 simpangan baku dari rata–ratanya.

Misal dengan menggunakan data gaji 40 karyawan Pabrik Rotan (Tabel 2)

diperoleh rata–rata (x) = 3,41 dengan simpangan baku (s) = 0,70. Maka

menurut Kaidah Empirik berarti kurang lebih 68 % atau 27 diantara 40

karyawan memperoleh gaji yang terletak dalam selang x ± s = 3,41 ± 0,7

atau antara 2,71 sampai 4,11 juta rupiah.



DAFTAR PUSTAKA

Anto Dajan. 1995. Pengantar Metode Statistika Jilid I. LP3ES. Jakarta. J. Supranto. 1996. Statistik : Teori dan Aplikasi, Jilid I. Erlangga. Jakarta. Robert, G. D. Steel dan James H. Torrie. 1993. Prinsip dan Prosedur Statistika.

Gramedia Pustaka Utama. Jakarta. Ronald E. Walpole. 1995. Pengantar Statistika. Gramedia Pustaka Utama.

Jakarta. Sudjana. 1989. Metoda Statistika. Tarsito. Bandung.

i - zeamayshibrida's blog | just another wordpress.com … sebagian data untuk kemudian sampai...

Documents