homomorfisma dan isomorfisma

8/10/2019 Homomorfisma Dan Isomorfisma

1/5

HOMOMORFISMA DAN ISOMORFISMA

I. HOMOMORFISMA

Definisi 1 :Sebuah pemetaan ,*)'(),(: GoG disebut Homomorfisma apabila memenuhi syarat

(kondisi) berikut : )(*)()( baaob = , Gba , .

Contoh :

1. Jika }{ realbilanganadalahxxR = dan

}{ positifrealbilanganadalahxxR =+ .

Pemetaan ),(),(: xRRf ++ didefinisikan oleh Rxexf x

= ,)( , maka

pemetaan f merupakan sebuah homomorfisma.

Bukti :Jika kita ambil sebarang Rba , , maka kita peroleh

)()(.)( bfxafeeebaf baba

===+ + .

Ini berarti f merupakan homomorfisma dari RintoR + .

2.

Jika }{ aslibilanganadalahxxA = maka pemetaan ),(),(: ++ AAf yang

didefinisikan oleh Annnf += ,1)( bukan homomorfisma.

Bukti :

Untuk Aba , , maka diperoleh

1)()( ++=+ babaf .

2)()1()1()()( ++=+++=+ bababfaf .

Ini berarti bahwa )()()( bfafbaf ++ , sehingga f yang didefinisikan di atas

bukan homomorfisma.

Teorema 1 :

Misal G grup dan N subgroup normal dari G, didefinisikan mapping dari G into G/N

dengan Nxx =)( untuk semua Gx . Maka merupakan homorfisma

dari G into G/N.

Bukti :

(i)

Dibuktikan bahwa onto

Ambil sebarang X NG/ , makaX= Nxuntuk suatu x G .

Menurut definisi mapping , Nx= (x) atau X = (x).

Karena untuk sebarang X NG/ tentu ada ada x G sehinggaX = (x)

berarti bahwa onto .

(ii)

Dibuktikan merupakan homomorfisma dari G into G/N.


2/5

Untuk membuktikan suatu homomorfisme , dibuktikan

untuk Gyx , , )()()( yxxy = .

)()()( yxNxNyNxyxy === atau )()()( yxxy = untuk Gyx , .

Jadi terbukti bahwa merupakan homorfisma

dari G into G/N.

Teorema 2 :

Jika (G,o) dan ,*)'(G masing-masing merupakan grup. Pemetaan ,*)'(),(: GoG

merupakan homomorfisma , maka :

(i) ')( ee = , e elemen identitas dalam G dan 'e adalah elemen identitas dalam 'G .

(ii) Gxuntukxx = 11 )()( .1)( x dimaksudkan 1))(( x yaitu invers dari )(x dalam 'G .

Bukti :

(i) 'e adalah elemen identitas dalam 'G , maka Gxuntukxex = ,)('*)( .

)()( xxoesehinggaxxoemakaGedanGx == .

Jadi )('*)( xoeex =

= )(*)( ex karena homomorfisma

)(' ee = .

(ii) Gxuntukxoxee == )()(' 1 . Maka

)(*)(' 1= xxe karena homomorfisma

)(*)(*)('*)( 111 = xxxex

)('*'*)( 11 = xeex

)()( 11 = xx Gxuntuk .

Teorema 2 dapat dikatakan bahwa :

(i) peta (bayangan) elemen identitas dalam Gadalah elemen identitas dalam 'G dan

(ii) bayangan inversxdalam Gadalah invers bayanganx dalam 'G .

Catatan

Homomorfisma yang onto (pada) disebut epimorfisma.

Homomorfisma yang 1-1 disebut monomorfisma.

Homomorfisma yang onto dan 1-1 disebut isomorfisma.

Homomorfisma dari grupoida G ke dalam G sendiri disebut endomorfisma.Isomorfisma dari G kepada G sendiri disebut automorfisma.


3/5

II. ISOMORFISMA

Definisi 2 :

Sebuah pemetaan yang bijektif (1-1 dan onto) dari grup (G,o) ke grup ,*)'(G disebut

isomorfisma, jika )(*)()( baaob = , Gba , .

Pernyataan bahwa grup (G,o)isomorfik dengan grup ,*)'(G biasanya ditulis sebagai

,*)'(),( GoG atau 'GG .

Untuk menunjukkan bahwa 'GG , ada empat langkah yang harus ditempuh :

1. Definisikan sebuah fungsi dari grup G ke 'G , yaitu menentukan elemen )(x

di 'G , untuk Gx .

2.

Tunjukkan bahwa adalah 1-1

3. Tunjukkan bahwa adalah onto (pada)

4.

Tunjukkan bahwa adalah sebuah homomorfisma, yaitu bahwa

)(*)()( baaob = , Gba , .

Contoh :

1. Tunjukkanlah bahwa, ( R, + ) ( R + , x ), apabila R adalah himpunan semua

bilangan real dan R + adalah himpunan semua bilangan real positif .

Pemetaan : R R + didefinisikan oleh (x)=e xx , R.

Jawab :

Untuk menunjukkan ( R, + ) ( R + , x ) harus ditempuh keempat langkah

berikut :

a.

Tulislah pemetaan : R R + yang didefinisikan oleh

(x)=e xx , R.

Jelaslah bahwa pemetaan dengan : R R + dengan (x)=e xx

, R

terdefinisi dengan baik, karena untuk sebarang a dan b di R dengan a=b,

maka (a)=e =a e =b (b).

b. Ternyata pemetaan : R R + yang didefinisikan oleh (x)=ex

itu

adalah pemetaan 1-1, karena (a) = (b), maka e =a e b atau a = b.

c. Ternyata pemetaan : R R + yang didefinisikan oleh (x)=ex itu

adalah onto, karena untuk sebarang a R + ada ln a R, sedemikian

hingga (lna)=e aln = a.

d.

Ternyata pemetaan : R R + yang didefinisikan oleh (x)= ex itu

adalah sebuah homomorfisma, karena

(a+b) = e =+ba e a xe =

b (a) x (b), a,bR. Berdasarkan pernyataan

1 sampai 4, maka ternyata (R, +) (R + , x ).


4/5

2. Misalkan Z = { x x adalah bilangan bulat } dan G = {2x x Z}.

Tunjukkanlah bahwa (Z,+) dan (G,x) isomorfik atau (Z,+) (G,x) !.Jawab :

a. Tulislah pemetaan : ZG yang didefinisikan oleh (n) = 2 ,n nZ.

Jelaslah bahwa pemetaan : Z

G yang didefinisikan oleh (n) = 2 ,

n

n

Zterdefinisi dengan baik , karena untuk sebarang x dan y di Z dengan x=y, maka

(x) = 2x = 2 =y (y).

b.

Jelaslah pula bahwa adalah 1-1, karena bila (x)= (y) maka 2x =2y .

c.

Untuk setiap 2 p G ada pZ sedemikian hingga (p)=2p . Ini berarti bahwa

pemetaan onto.

d.

Untuk setiap x dan y di Z berlaku (x + y) = 2 xyx 2=+ x 2y = (x) x (y).

Ini berarti bahwa sebuah morfisma (homomorfisma). Penyataan 1 sampai

dengan 4 menunjukkan bahwa (Z,+) (G,x).

3.

Misalkan G grup semua bilangan bulat dengan operasi penjumlahan, dan

G * grup semua bilangan bulat genap dengan operasi penjumlahan.

Mapping f : G G * didefinisikan dengan f(x) = 2x.

Buktikan f merupakan isomorfisme dari G into G * !.

Jawab :

a. Tulislah mapping f : G G * yang didefinisikan oleh f(x) = 2x.

Jelaslah bahwa mapping f : G G * yang didefinisikan oleh f(x) = 2x , xG

terdefinisi dengan baik , karena untuk sebarang x dan y di G dengan x = y maka

f(x) = 2x = 2y = f(y) .b.

Dibuktikan f merupakan mapping satu-satu.

Ambil sebarang x,y G, dengan x y. Maka f(x) = 2x dan f(y) = 2y. Karenax y maka 2 x 2y atau f(x) f(y). Jadi f merupakan mapping satu-satu.

c.

Dibuktikan f merupakan mapping onto.

Ambil sebarang a G * , tentu ada b = a/2 G sehingga

f(b) = f(a/2) = 2.a/2 = a .

Jadi f merupakan mapping onto.d.

Dibuktikan f merupakan homomorfisma

Ambil sebarang x,y G, f(xy) = f(x+y) = 2(x+y) = 2x + 2y = f(x) + f(y).

Jadi f merupakan homomorfisme dari G into G * .

Karena f merupakan homorfisme dari G into G * dan f merupakan mapping satu-

satu dan onto, maka f merupakan isomorfisme dari G into G * .

4. Jika G grup bilangan real positif dengan operasi perkalian dan G * grup semua

bilangan real dengan operasi penjumlahan. Mapping : GG * didefinisikan

dengan (x)= log10 x. Tunjukkan merupakan isomorfisme dari G into G * !

Jawab :


5/5

a.

Tulislah mapping : GG * yang didefinisikan oleh (x)= log10 x.

Jelaslah bahwa mapping : GG * yang didefinisikan oleh (x)= log10 x

terdefinisi dengan baik, karena untuk sebarang x dan y di G dengan x=y,

maka (x) = log10 x = log10 y = (y).

b.

Apakah merupakan mapping satu-satu ?.Ambil sebarang x,y G dengan x y. Maka (x) = log10 x dan

(y) = log10 y. Karena x y maka log10 x log10 y. Hal ini berarti bahwa

(x) (y). Jadi merupakan mapping satu-satu.

c. Apakah merupakan mapping onto?

Ambil sebarang aG * , dapatkah dicari gG sehingga

(g) = (10 a ) = a?.

Ambil g = 10 a , maka (g) = (10 a ) = log10 10 a = a.

Jadi untuk sebarang aG * , ada g = 10a G sehingga (g) = (10

a ) = a

Jadi merupakan mapping onto. Perhatikan bahwa untuk a

G berartibahwa a sebuah bilangan real, dan 10 a merupakan bilangan real positif

atau 10 a G.

d.

Dibuktikan merupakan homomorfisme dari G into G *

Ambil sebarang x,y G, maka (x) = log10 x dan

(xy) = log10 (xy) = log10 x + log10 y = (x).(y) .

Jadi merupakan homomorfisme dari G into G * .

Karena merupakan mapping satu-satu dan onto serta homomorfisme

dari G into G * , maka merupakan isomorfisme dari G into G * .

SOAL-SOAL LATIHAN

1.

Tunjukkan bahwa setiap grup siklis berorder tak hingga isomorfik dengan

grup himpunan semua bilangan bulat Z terhadap penjumlahan !.2.

Jika B = {1,2,3,4} terhadap operasi perkalian modulo 5 merupakan grup.

Dan C = {0,1,2,3} terhadap operasi penjumlahan modulo 4 juga grup.

Pemetaan memetakan setiap elemen B ke elemen C yang mempunyai

periode sama. Tunjukkan bahwa isomorfisma !.

3. Jika G = {0,1,2} grup dengan operasi penjumlahan bilangan bulat

modulo 3. G* = {I, S 1 , S 2 } adalah grup dengan operasi simetri yang

berupa rotasi pada segitiga sama sisi dengan I transformasi identitas, S 1

rotasi pusat 0 dengan sudut 120o

dan S 2 rotasi pusat 0 dengan sudut

240 o . Mapping : GG * didefinisikan :

(0) = 1 , (1) = S 1 dan (2) = S 2 .

Tunjukkan merupakan isomorfisme dari G into G * !

homomorfisma dan isomorfisma

Documents