Semua Ring R pada Boo ini diasumsikan adaIah komutatif dan mempunyaisuatu elemen Unitas 1, kecuaIijika disebutkan yang lain.

DERNISI FIELD

Definisi 6.1 (Field)

Suatu Ring KomutatifF BemnitasI disebutsuatu Field,atau Medan,jikauntuk setiap nonzero a e F, terdapat a-I e F, sedemikian sehingga aa-I = a-Ia = 1.Masing-masing elemen Field disebut skalar.

Atau, F adaIah suatu Field jika nonzero elemennya membentuk suatu Gmp dibawah perkaIian.

CONTOH FIELD

Contoh 6.1

Mana dari yang berikut ini adaIah Field terhadap operasi penjumlahan danperkalian biasa:

Integer Z

Himpunan bilangan rasionaI Q

Himpunan bilangan RiiI R

Himpunan bilangan kompleks C

Z adaIah contoh klasik dari suatu Daerah Integral yang bukan suatu Field(hanya 1 dan -1 adaIah Unit).

Sementara itu Q, R, dan C adaIah Field.

Contoh 6.2

Misalkan S adaIah himpunanbilangan Riil yang berbentuka+b_3, di sini a danb adalah bilangan rasionaI. Akan kita tunjukkan bahwa S adaIah suatu Field.

Suatu himpunan S dari bilangan Riil atau bilangan kompleks adaIah suatuField, jika S berisi 0 dan 1, dan S adaIah Tertutup di bawah penjumlahan,pengurangan, perkaIian,dan pembagian (kecuaIi oleh nol). Karena

82

0-= 0 + 0-.13,dan

1 = 1 + 0-.13

maka 0 dan 1 keduanya tennasuk S. juga,.

(a+b"3)+ (c+d"3)=(a+c)+(b+d)"3

(a+b"3) - (c+d"3) =(a-c)+(b-d)"3

(a+b"3) (c+d"3) =(ac+3bd)+(ad+bc)"3

KarenanyaS .adalah Tertutup di bawah penjumlahan,pengurangan,danperkalian.

Kita tunjukkan bahwa S adalah Tertutup di bawah pembagian (buatlah setiapelemen nonzero suatu Unit) sebagai berikut:

(a + b"3)

(c + d"3)

(a + b"3)(c - d"3) ac - 3bd= =

(c + ~3)(c - d"3) c2 -3d2

Karena itu S adalah suatu Field

Contoh 6.3

Misalkan.J ~{ingdari matriks Riil 2x2 berbentuk

a -bb a

Akan kita tunjukkan bahwa D adalah isomorfis dengan bilangan kompleks C,di sini D adalah suatu Field.

Misalkan f: C ~ D didefinisikan sebagai

f(a + bi) =a -bb a

Jelas bahwa f adalah satu-satu onto.

83

Terakhir, f(1) = f(1+Oi) = I, matriks identitas.

Karena itu f adalah 'suatu isomorfisma.

SIFAT FIELD

Sifat 6. 1

Suatu Field F adalah suatu Daerah Integral; yakni F tidak mempunyai PembagiNol.

Bukti

Jika ab = 0 dan a *0, maka

b = 1. b= a-lab= a-I. 0= 0

84

Pandang

Zl =a+bi, dan= a+di, maka

zl + = (a+c)+(b+d)i dan

zl = (ac-bd)+(ad+bc)i

Karenanya

a -b c -d a+c -(b+d)

f(zl)+f(() = + = =f(zl+)b a d c b+d a+c

a -b c -d ac-bd -(ad+bc)

f(zl)f() = = .=f(zl)b a d c ad+bc ac-bd

Teorema 6.19.8

Suatu Daerah Integral yang hingga D adalah suatu -Field.

Buldi

Pandang D mempunyai n elemen, katakanlah

D = {ai, ~, ..., ~}

Misalkan a sembarang elemen nonzero dari D, dan pandang n elemen

aa1,~,...,~

Karena a '# 0, kita mempunyai

berakibat

aj = aj (lihat sifat 5.1)

Karena itu n elemen di atas semua berbeda, dan karenanya mereka semuaadalah elemen D (mungkin dalam susunan yang berbeda). Satu dari mereka,katakanlah aak, harus sarna dengan elemen identitas I dari D, atau

Karena itu ~ adalah invers dari a. Dan karena a adalah sembarang elemen nonzero dari D, maka D adalah suatu Field.

Sifat 6.2

Ideal J pada suatu Field F hanyalah {O}atau F sendiri.

Buldi

Jika J '# {O},maka J berisi suatu elemeQnonzero a. karena F adalah suatuField, a adalah suatu Unit. Menurut sifat 4.6,J= F.

85

Sitat 6.3

Pandang f: K ~ K' suatu Homomorfisma dari suatu Field K ke suatu FieldK'. Pemetaan f adalah suatu pembentarigan,yakni bahwa f adalah satu-satu.

Bukti

Misalkan J =Ker f, yang merupakan suatu Ideal pada K, Menurut contoh 1.6(bab 1). Jika J =K, maka f(l) =0'.

Tetapi, karena f adalah suatu Homomorfisma, kita butuhkan

f(l) =l'

KarerianyaJ * K dan juga J = {O} menurut Sifat 6.2.

Pandang

f(a) =f(b)

Karena itu

f(a-b) = f(a) - f(b) : 0

Karenanya a-b termasuk dalam J, yang berartia a-b =0, atau a =b. Berdasarkanhal itu, fadalah satu-satu.

FIELD KUOSIEN

Definisi 6.2 (Field Kuosien)

Misalkan D adalah suatu Daerah Integral. Misalkan S berisi semua pasanganterurut [kuosien] aIb. Di sini a, beD dan b * O.

Didefmisikan

jika ad =be maka aIb = dd

(Relao;i ini adalah suatu relasi ekivalen.)

Misalkan F(D) adalah himpunan dari kelas ekivalen [aIb], dengan operasipenjumlahan dan perkalian didefmisikan sebagai

[a/b] + [dd] =[(ad + be)/(bd)] dan

[a/b] ·[dd] =[(ac)/(bd)]

F(D) adalah Field, dan didefmisikan sebagai Field Kuosien dari D.

CONTOH FIELD KUOSIEN

Contoh6.4

Field Kuosiendari DaerahIntegralZ dari integeradalah

F(Z) =Q

yakni Field himpunan bilangan rasional Q.

87

Contoh 6.5

MisalkanK =D[x], Daerah Integraldari Polinomial dalam x dengan koefisienRiil. Di sini Field Kuosien dari K adalah F(K), yakni Field dari fungsi rasionalberbentuk

f(x)/g(x)

di sini f(x), dan g(x) * 0 adalah Polinomial.

Contoh 6.6

MisaUcanD adalah suatu Daerah Integral. Akan ditunjukkan bagaimana Ddibentangkan pada Field Kuosien F(D).

Misalkan f : D ~ F(D), didefmisikan sebagai

f(a) = [all]

Karenanya f adalah suatu pembentangan, yakni f adalah suatu Homomorflsma,dan f adalah satu-satu.

Sebagai contoh, kita identifikasikan suatu integer n pada Z dengan pecahan nII padaQ.

IDEAL MAKSIMAL

Definisi 6.3 (Ideal Maksimal)

Pandang suatu Ring R. K adalah suatu Ideal Maksimal pada R jika K *R, danjika tidak ada Ideal J yang terletak di antara K dan R; yakni,

jika K C J C R, maka K =J atau J = R.

88

SIFAT IDEAL MAKSIMAL

Sifat 6.3

Pandang K adalah suatu Ideal Maksimal pada suatu Ring komutatif R denganelemen identitas 1. Ring Kuosien R/K adalah suatu Field.

Bukti

Karena K * R, kita mempunyai 1 e: K (Sifat 4.6).

Lebih Ianjut, menurut Sifat 4.8, Koset 1 + K adalah elemen Unitas untuk RIK, dan menurut Sifat 4.7, R/K adalah komutatif. Yang tinggal adalah sembarangKoset selain dari K mempunyai suatu invers multiplikatifpada R/K.

Pandang a + K * K. Karenanya a e: K. Misalkan

J = {ra + sk: r,s E R, k E K}

Karenanya J adalah suatu Ideal berisi a dan K. karena a e: K, kita mempunyaiK * J. Karena K adalah maximal, J = R. Karena itu 1 E J.

Karenanya ada ro' So E R dan ko E K sedemikian sehingga 1 =roa + sfl<o.Karenanya

1 + K = roa + sfl<o+ K =roa + K = (ro + K)(a + K)

Karenanya ro + K adalah kebalikan multiplikatifdari a + K. Karena itu R/Kadalah suatu Field.

ARITMETIKA MODULAR DAN FIELD GALOIS

Pandang suatu sistem bilangan yang memiliki hanya tiga bilngan, yakni 0, 1,dan 2. Dan misalkanaturan untuk penjumlahan dan perkalian dalam sistem iniadalah sarna seperti penjumlahandan perkalian lazim,dengan pengecualiansebagaiberikut:

89

Jika suatu bilngan q (dihasilkandari operasipenjumlahanatau perkalian) sarnaatau lebih besar dari 3, q kita bagi dengan 3, tanpa memandang hasil baginya, sisapembagian kita jadikan hasil, menggantikan q.

Tabel penjumlahan dan perkalian untuk sistem bilangan seperti itu terlihatdalarn Garnbar 6-1. Ia disebut penjumlahan modulo 3 dan perkalian modulo 3.Kedua mereka, berSarna-samadisebut aritmetika modulo 3.

Sebagai contoh, dalam aritmetika modulo 3,

1+1=2

2+1=0

2 + 2 = l(mod 3), dan sebagainya.

Secara yang sarna,kitadapat mendetinisikansebarangaritmetikasistemmodulom yang mengandung m elemen 0, 1, 2,..., m-l dan hubungan untuk sebarang q> m-l:

q =m ·p+r = r (mod m), dan r < m.

(a) (b)

Gambar 6-1 Tabel penjumlahan don perkalian untuk aritmetika modulo 3.

90

+ 0 1 2

0 0 1 2

1 1 2 0

2 2 0 1

. 0 1 2

0 0 0 0

1 0 1 2

2 0 2 1

Silakan Pembaca membuat tabel aribnetika untuk m =4, 5, 6, dan 7.

Fmite Fields: Dari tabel dalam Gambar 6-1, dapat diselidiki bahwa himpunan{O,1.2} dengan penjumlahan dan perlcalianmodulo 3 adalah suatu field. Terdapatelemen identitas° terhadappenjumlahan,modulo 3, dan elemen identitas 1 terhadapperkalian modulo 3. Setiap elemen memiliki invers aditif yang unik, dan setiapelemen bukan ° memiliki invel'Smultiplikatif.

Juga dari tabel aritmetikayang bersangkutan,dapat dengan mudah ditunjukkan_bahwa sistem modulo 3, sistem modulo 2, 5, dan 7 ada1ahjuga field. Pada lainpihak, himpunan {0,1,2,3}dengan penjumlahan modulo 4 dan perkalian modulo4 bukan suatu field, karena tidak terdapat invel'S dari 2 terhadap perkalianmodulo 4.

Pada kenyataannya, setiap himpunan hingga

~ = {0,1,2, m-1}

dengan operasi penjumlahan dan perkalian modulo m, adalah suatu field jika danhanya jika m adalah bilangan prima.

Sifat ,6.4

~ adalah suatu Field, jika p adalah suatu b~gan prima.

Bukti

~ adalah suatu ~Daerah Integral (lihat contoh 5.2) dan hingga; karenanya ~adalah suatu Field oleh Teorema 6.1.

91

Definisi 6.4

Fielddari Zm ={0,1,2,u.,m-l}, dengan operasi penjumlahan dan perkalianmodulo m, disebut suatu field Galois modulo m. atau FG(m).

FG(2), field Galois modulo 2, sangat OOrperandalam penyajian graf. Ia.mengandung2 elemen{O,I} dan operasipenjumlahanmodulo2, dan perkalianmodulo 2. Kedua taOOIaritmetikater;ihat pada Gambar 6-2. Dalam ilmu komputer,logika ini adalah logikaEXCLUSIVEOR untuk +, dan AND untuk *, yang dikenalsebagai logika Boolean.

(a) (b)

Gambar 6-2 Tabel penjumlahan dan perkalian FG(2}

92

+ 0 1-

0 0 I

I I 0

. 0 I

0 0 0

1 0 I