HIPERBOLA

HIPERBOLAA.Definisi 1 hiperbolaDefinisi 1:

Hiperbola adalah himpunan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya.

Jika jarak kedua titik tertentu =d, maka selisih jarak tersebut lebih kecil dari d.

Berdasarkan definisi di atas kita dapat melukis hiperbola titik demi titik.

Untuk setiap titik T berlaku [ TF2 TF1 ] = d

Langkah-langkah:

1. Tetapkan titik-titik F1 dan F2 dan panjang d =AB2. Tentukan titik-titik A dan B pada ruas garis F1F2

sehingga [F1A] = [BF2]=1/2 ([F1F2] d )3. Titik-titik Ti diperoleh sebagai berikut:

a) Buat lingkaran dengan pusat F1 dan jari-jari ri > [F2A]

b) Dari F2 busurkan lingkaran dengan jari-jari ri dc) Perpotongan a) dan b) adalah titik-titik Ti

d) Lakukan hal yang sama dengan mengganti peran F1 dengan F2F1 dan F2 disebut titik api dan A dan B disebut titik puncak.

Berdasarkan defenisi di atas juga,kita mencari persamaan hiperbola.

Misalkan titik-titik api, F1, F2 pada sumbu x dan sumbu dari F1F2 adalah sumbu y,

Jika [F1F2] = 2c maka F1(c,0) dan F2(-c,0).

Misalkan selisih jarak yang tetap yaitu adalah 2a, dengan a 0 maka c2 a2=b2 b2 x2 - a2 y2 = a2b2 [dibagi a2b2 ]

Persamaan hiperbola adalah:

Dinamakan Persamaan pusat hiperbola dengan titki O titik pusat

Hiperbola, titik-titik F1 dan F2 disebut titik-titik api (focus) Sumbu x dan sumbu y disebut sumbu simetri.

Karena titik potong hiperbola dengan sumbu x adalah nyata, maka sumbu x disebut sumbu nyata, Karena titik potong hiperbola dengan sumbu y adalah khayal, maka sumbu y disebut sumbu khayal

Bilangan e = disebut eksentrisitas numerik

Persamaan hiperbola yang pusatnya P(,) dan sumbunya sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat diperoleh dengan cara sebagai berikut:

Dengan translasi susunan sumbu sedemikian sehingga O berimpit dengan titik P

Rumus translasinya adalah: x =x +

x =x -

y =y +

y =y

Karena O merupakan pusat hiperbola maka persamaan hiperbola terhadap sumbu xOy adalah ,

persamaan hiperbola pada sumbu O adalah :

B. Titik potong sebuah garis dengan Hiperbola

Hiperbola dengan persamaan : dengan sebuah garis y = mx

Kita substitusikan : , dikalikan dengan (a2 b2)

Menjadi : ( (

( ( berarti :

Untuk mencari koordinat Y :

y=mx , x= y/m disubstitusikan kedalam persamaan

menjadi : , ( , dikalikan dengan (m2 a2 b2 )

( ( (( berarti

Jadi koordinat titik potong garis dengan hiperbola adalah:

Q1:

dan Q2 :

Jika m =

EMBED Equation.3 maka garis y = mx menyinggung hiperbola di jauh tak berhingga.

Garis-garis y =

EMBED Equation.3 x disebut asimtot asimtot hiperbola.Persamaan asimtot asimtot dapat dinyatakan juga sebagai dan sehingga persamaan susunan asimtotnya adalah :

C. DEFINISI 2 HiperbolaMisalkan titik P (x1,y1) sebarang titik pada hiperbola

Maka jarak P terhadap titik api F1(c,0) adalah d1 =

Dan jarak P terhadap titik api F2 (-c,0) adalah d2 =

Berarti d22 d12 = 4 cx1 sedangkan d2 d1 = 2a ..........................(1)

Jadi d2 + d1 = ........................................................................(2)Dari (1) dan (2) kita memperoleh d1 = dan d2=

Maka d1 : = d2 : =. Jarak P ke garis x =

Atau d2 :(jarak dari P kegaris f : x = - )= d1 :(jarak dari P kegaris g ; x =) =

Karena F1F2 = 2c dan F2P F1P =2a tentulah F1F2> (F2P F1P) dan oleh karenanya perbandingan itu lebih besar dari pada satu .Garis-garis f dan g dinamakan direktrix,dan persamaannya : x = - dan x =

Definisi 2: Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jarak ke sesuatu titik dan suatu garis yang tertentu tetap harganya > 1

Titik tersebut titik api (focus)dan garis tertentu itu disebut garis arah (direktriks)

D. Garis singgung HiperbolaPersamaan garis y =mx +n dan hiperbola : b2x2 a2 y2 = a2b2Dengan substitusi: b2x2 a2 ( mx +n)2 = a2b2

b2x2 - a2 ( m2x2 + 2 m n x + n2) = a2b2

b2x2 - a2m2x2 2a2mnx - a2n2- a2b2 = 0

( a2m2 - b2)x2 + 2a2mnx + a2n2 + a2b2= 0 .........(1) Dengan diskriminan D = 4 a2b2 ( - a2 m2 + b2 +n2 )

Jika : n2 < a2 m2 - b2 ( garis tak memotong Hiperbola

Jika ; n2 > a2 m2 - b2 ( terdapat dua titik perpotongan hiperbola yang nyata dan berlainanJika ; n2 = a2 m2 - b2 ( terdapat sebuah titik singgung garis dengan hiperbola Persamaan garis singung hiperbola : y = mx

Jika persamaan hiperbola: dititik (x1,y1) maka persamaan

garis singgung adalah :

Jika persamaan hiperbola , maka persamaan garis singgung di titik (x1,y1) adalah:

SIFAT UTAMA GARIS SINGGUNG

Garis singgung pada suatu titik pada suatu hiperbola membagi dua sama besar sudut sudut antara garisgaris yang menghubungkan titik singgung dengan titik api atau garis singgung merupkan garis bagi dalam sudut F1TF2

Misalkan T(x1,y1) sebarang titik padahipebola dan misalkan d1=TF1,d2 = TF2F1(c.0), dan F2(-c,0)

Maka = ==

Persamaan garis singgung T=

Misalkan titik potong garis singgung ini dengan sumbu x adalah P,maka koordinat yp = 0 dan xp =

Berarti : ===, jadi =

Sehingga sudut F1TP = sudut F2TP. Tanpa memperhatikan letak titik (x1,y1) persamaan,disebut persamaan garis kutub dari T terhadap hiperbolaJika T di luar hiperbola maka garis kutub menjadi tali busur singgung.Jika T pada hiperbola maka garis kutub menjadi garis singgung.

Jika T dalam hiperbola maka garis kutub berupa garis yang tidak memotong hiperbola.

SEBUAH GARIS MEMOTONG GARIS LENGKUNG HIPERBOLA

Sebuah garis y =mx memotong hiperbola , yaitu persamaan hiperbola yang memotong sumbu y di titik (0,b) dan titik (0,-b) tetapi tidak memotong sumbu x sebagai sumbu khayal. Sedangkan persamaan asimtot-asimtotnya adalah y = -x dan y = xTitik-titik apinya F1 = (0,c) dan F2= (0,-c)

dan garis garis arahnya atau direktrix adalah y = dan y = -

eksentrisitas numeriknya adalah e =

Disubstitusikan sehingga atau (b2 a2 m2) x2 = -a2b2Diperoleh x =

Jadi garis y mx dan akan :

(i) Berpotongan di dua titik jika ( a2 m2 - b2) > 0 atau m > atau m < -

(ii) tidak perpotongan jika ( a2 m2 - b2)< 0 atau - < m <

(iii) menyinggung di jauh tak hingga jika m =

EMBED Equation.3 Hiperbola dan hiperbola adalah hiperbola sekawan dilihat susunan sumbunya

Jika pada suatu hiperbola a =b ,maka hiperbola ini disebut hiperbola sama sisi persamaan x2 y2 = a2 ,dan asimtot- asimtotnya saling tegak lurus disebut Hiperbola ortogonal. Keempat puncaknya adalah (a,0)dan (0,a)Kedua focus menjadi ( a)

TEMPAT KEDUDUKAN TITIK-TITIK YANG MEMENUHI SYARAT-SYARAT TERTENTUa. Persamaan hiperbola dan garis y = mx

Akan dicari tempat kedudukan titik-titik tengah tali busur hiperbola yang sejajar dengan garis y = mx

Pertama dicari titik potong garis-garis y = mx +n ,n parameter, dengan hiperbola kemudian mencari titik tengahnya.

atau (b2- a2m2 )x2 - 2a2mnx - a2n2 - a2b2= 0 Absis dari titik-titik potongnya adalah akar-akar dari persamaan kuadrat di atas.Misalkan titik tengah tali busurnya adalah T,maka

xT = = , dan yT =mxT+ n = m () +n =

Berarti =

Dengan menjalankan koordinat titik T diperoleh tempat kedudukan yang dicari yaitu y = x, Persamaan ini merupakan suatu garis tengah hiperbola.Gais-garis tengah y = mx dan y = x, disebut garis-garis tengah sekawan dan m1 = m dan m2 = disebut arah-arah sekawan

b. Dengan cara yang sama ,diperoleh persamaan tempat kedudukan titik titik potong garis-garis singgung pada hiperbola yang tegak lurus sesamanya ,yaitu x2 + y 2 = a2- b2Persamaan ini adalah persamaan lingkaran dengan pusat O.(0,0) dan jari-jari disebut lingkaran Orthoptis dari Mongec. Dengan cara yang serupa ,diperoleh persamaan tempat kedudukan titik-titik potong dan garis-garis singgung pada hiperbola dengan garis-garis yang tegak lurus padanya dan melalui titik api yaitu x2 + y 2 = a2

persamaan ini adalah persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) jari-jari a lingkaran ini disebut lingkaran titik api.DALIL : APOLLONIUS:1. Selisih kuadrat garis-garis tengah sekawan suatu hiperbola sama dengan selisih kuadrat sumbu-sumbunya.

2. Luas setiap jajar gejang pada garis-garis tengah sekawan sama dengan persegi panjang pada sumbu-sumbunya

ParabolaDefinisi:

Parabola adalah himpunan titik-titik yang berjarak sama dari suatu titik dan suatu garis tertentu.Berdasarkan definisi,kita dapat melukis parabola titik-demi titik

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA

Persamaan parabola y2= 2px dan

persamaan garis y =mx + n [n parameter ,dan m gradien],sebagai garis singgung.

Substitusikan menjadi : (mx +n)2 = 2px ( m2 x2 + (2mn 2p)x + n2 = 0

Garis akan menyinggung parabola jika kedua titik potongnya berimpit atau absis kedua titik potongnya sama. Ini berarti harus dipenuhi (D) = 0 ( 4 (mn-p)2 -4 m2n2 =0

Maka diperoleh : n = Maka persamaan garis singgung pada parabola y2= 2px, ,dengan gradien m adalah y =mx +

Jika persamaan parabola (y-)2= 2p (x-) maka persamaan garis singgung dengan gradien m adalah (y-) = m(x-)+

Berikut ini akan dicari persamaan garis singgung dititik singgung T(x1,y1)

pada parabola y2= 2px. Misalkan persamaan garis y=mx+ n ,maka absis titik singungnya dapat diperoleh dari persamaan (mx +n)2 = 2px ( m2 x2 + (2mn 2p)x + n2 = 0

Karena hnya ada satu titik singgung maka absisnya adalah :

x1 = =..................................(i)

dan ordinatnya adalah

y1 = m +n = ......................................(ii) dari ini gradien : m =

dari (i) dan (ii) dan y2 = 2px1 , kita memperoleh n =

jadi persamaan garis singgung pada parabola y2= 2px di T(x1,y1)

adalah y =x + atau y1y = px + atau y1y = p(x + x1)

Mencari garis singgung dengan cara membagi rata:

Jika persamaan parabolnya (y-)2= 2p (x-) maka persamaan garis singgung di titik T(x1,y1) adalah : (y-) (y1-) = p (x +x 1- 2)

Karena gradien garis singgung di T (x1,y1) adalah m = maka gradien garis normalnya adalah jadi persamaan garis normal di T(x1,y1) adalah y- y1 = (x-x1)

GARIS SINGGUNG MELALUI TITIK DI LUAR PARABOLASekarang kita akan mencari persamaan garis singgung pada parabola y2 = 2px1 yang melalui T (x1,y1)di luar parabola

Misalkan titik singgung S(x0,y0).Maka persamaan gais singgung di S adalah y0y=p(x+x0) karena garis singgung ini melalui titik T(x1,y1) maka harus memenuhi y0y1=p(x1+x0)..(iii) karena (x0,y0)Pada parabola,maka y02 = 2 px0....................................(iv)Dari persaman (iii) dan (iv)dapat dicari (x0,y0).sehingga diperoleh juga persamaan garis singgung yang melalui titik T di luar parabolaContoh Soal:1. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik T(-2,-3)pada parabola y2=8x.

Penyelesaian :

Misalkan titik singgung S(x0,y0). Maka persamaangaris singgung di S adalah y0y=4(-2+x0) Karena titik T(-2,-3) pada garis singgung maka harus memenuhi -3y0 = 4(-2 + x0) atau 4x0 + 3 y0 - 8 = 0

Karena S pada parabola maka y02=8x0. x0= y02Berarti 4 (y02) + 3 y0 8 = 0 atau y02 + 6 y0 16 = 0

Jadi y0 = -8 atau y0 = 2 , untuk y0 = -8 diperoleh x0 = 8 dan y0 = 2 diperoleh x0= Jadi persamaan garis singgung di S1 (8,-8) adalah -8y = 4( x+8) atau x + 2y + 8 = 0 Persamaan garis singgung di S2 (, 2) adalah 2y = 4 (x+ ) atau 2x y + 1 = 0

2.Tentukan titik A pada parabola y2 = 8x yang terdekat dengan garis 2x + 2y -3 = 0

Penyelesaian:

Gradien garis 2x + 2y -3 = 0 adalah m= -1

Titik A yang dicari adalah titik singgung dari garis singgung pada parabola yang sejajar dengan garis 2x + 2y -3 = 0. Persamaan garis singgung pada parabola yang gradiennya m = - 1 addalah y = -x -2 . Absis titik potong garis singung dan parabola harus memenuhi (-x-2)2 = 8x atau (-x-2)2 = 0 .berarti x = 2 dan y = -2 2 = -4 .Jadi titik singgung A (2,-4) Titik A (2,-4) ini merupakan titik pada parabola y2 =8x yang terdekat dengan garis 2x + 2y -3 = 0 Garis singgung melalui titik di luar parabola

Warna biru adalah garis singgungWarna merah adalah garis kutub yang melalui titik titik singgung parabola.

Jika b2- a2m2 > 0 (ada dua titik potong yang berlainan

Jika b2- a2m2 < 0 (tidak ada titik potong atau titik potongnya khayal

Jika b2- a2m2 = 0 ( titik potongnya di jauh tak berhingga

Cara menggambar PARABOLA

Tetapkan garis g dan titik F .

Buat garis melalui titik F tegak lurus g sehingga garis ini memotong g di A

Titik O pada garis AF sehingga [AO]=[OF]

Dari sumbu x positif buat garis-garis sejajar g atau garis tegak lurus sumbu x

Tentukan titik-titik potong garis tersebut dengan sumbu x yaitu: Bi

Busurkan dengan jari-jari ABi= FCi yang memotong garis-garis sejajar tersebut.

Titik-titik potong itu jika dihubungkan adalah gambar parabola yang dicari.

PERSAMAAN PARABOLA

Misalkan AF = p, maka AO= p dan A (0, - p) , F( p.0) F adalah fokus ,garis g tegak lurus sumbu x dan persamaan garis g adalah x = - p

Misalkan T(x,y) sebarang titik pada parabola, maka berlaku [TF] = jarak T kegaris g atau EMBED Equation.3 = x + p ---( y2 = 2 xp

Sumbu x sumbu simetris, p disebut parameter parabola, eksentrisitas :e = 1

Jika sumbu simetris dengansumbu y, titik puncak parabola berimpit dengan titik o dan parabolanya terletak di sebelah bawah maka persamaannya adalah :

x2 = -2py

Titik F sebagai titik api

Titik O sebagai titik puncak parabola

_1321813963.unknown

_1323008139.unknown

_1323013511.unknown

_1323021222.unknown

_1324228618.unknown

_1324229687.unknown

_1324230082.unknown

_1324230572.unknown

_1324235956.unknown

_1324236018.unknown

_1324232132.unknown

_1324230356.unknown

_1324230143.unknown

_1324230244.unknown

_1324229716.unknown

_1324228739.unknown

_1323060111.unknown

_1324228086.unknown

_1324207081.unknown

_1323021361.unknown

_1323023329.unknown

_1323021288.unknown

_1323017827.unknown

_1323020891.unknown

_1323020993.unknown

_1323020085.unknown

_1323015292.unknown

_1323015351.unknown

_1323015263.unknown

_1323013891.unknown

_1323013122.unknown

_1323013439.unknown

_1323008556.unknown

_1323009746.unknown

_1323012560.unknown

_1323008507.unknown

_1322408401.unknown

_1323007509.unknown

_1323007625.unknown

_1323007778.unknown

_1322446599.unknown

_1322448287.unknown

_1323007459.unknown

_1322447240.unknown

_1322419808.unknown

_1321814518.unknown

_1321850444.unknown

_1321814320.unknown

_1321814422.unknown

_1321814092.unknown

_1321808846.unknown

_1321812321.unknown

_1321813295.unknown

_1321813385.unknown

_1321813456.unknown

_1321813029.unknown

_1321813050.unknown

_1321812542.unknown

_1321812381.unknown

_1321811273.unknown

_1321811580.unknown

_1321811983.unknown

_1321811486.unknown

_1321811045.unknown

_1321811195.unknown

_1321810130.unknown

_1320179378.unknown

_1321808265.unknown

_1321808402.unknown

_1321808629.unknown

_1321808295.unknown

_1320179425.unknown

_1321807597.unknown

_1320179399.unknown

_1320178659.unknown

_1320179121.unknown

_1320175828.unknown

_1320175924.unknown

_1320178205.unknown

_1320175777.unknown