Definisi 1

Suatu relasi biner 𝜔 pada himpunan 𝑋 dinamakan order parsial jika 𝜔 mempunyai

sifat :

(1) Reflektif, yaitu (𝑥, 𝑥) ∈ 𝜔, ∀ 𝑥 ∈ 𝑋.

(2) Anti simetris, yaitu (∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋) (𝑥, 𝑦) ∈ 𝜔 dan (𝑦, 𝑥) ∈ 𝜔 ⟹ 𝑥 = 𝑦.

(3) Transitif, yaitu (∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋) (𝑥, 𝑦) ∈ 𝜔 dan (𝑦, 𝑧) ∈ 𝜔 ⟹ (𝑥, 𝑧) ∈ 𝜔.

Biasanya (𝑥, 𝑦) ∈ 𝜔 ditulis sebagai 𝑥 ≤ 𝑦.

Jika order parsial memenuhi

(4) (∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋) 𝑥 ≤ 𝑦 atau (𝑦 ≤ 𝑥) maka disebut order total.

Contoh:

1. ℤ adalah himpunan bilangan bulat. Relasi 𝑅 pada ℤ didefinisikan (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 jika dan

hanya jika 𝑥 ≥ 𝑦 maka 𝑅 adalah order parsial.

Bukti.

(i) ∀𝑥 ∈ ℤ, 𝑥 ≥ 𝑥 maka ∀𝑥 ∈ ℤ, (𝑥, 𝑥) ∈ 𝑅.

𝑅 pada ℤ memenuhi sifat refelektif.

(ii) ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℤ, jika 𝑥 ≥ 𝑦 dan 𝑦 ≥ 𝑥 maka 𝑥 = 𝑦. Sehingga ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℤ, jika

(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 dan (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅 maka 𝑥 = 𝑦.

𝑅 pada ℤ memenuhi sifat anti simetris.

(iii) ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℤ, jika 𝑥 ≥ 𝑦 dan 𝑦 ≥ 𝑧 maka 𝑥 ≥ 𝑧. Sehingga ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℤ, jika

(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 dan (𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅 maka (𝑥, 𝑧) ∈ 𝑅.

𝑅 pada ℤ memenuhi sifat transitif.

Berdasarkan (i), (ii) dan (iii) maka 𝑅 adalah order parsial pada ℤ.

(iv) ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℤ, 𝑥 ≥ 𝑦 atau 𝑦 ≥ 𝑥. Sehingga ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℤ, (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 atau (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅.

𝑅 adalah order parsial pada ℤ dan memenuhi (iv) sehingga 𝑅 adalah order total pada

ℤ.

(5,4) ∈ 𝑅 dapat ditulis 5 ≤ 4 dan dibaca “5 mendahului 4”.

2. 𝐴 suatu himpunan, 𝑅 relasi pada 2𝐴 yang didefinisikan (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 jika dan hanya jika

𝑥 ⊆ 𝑦 maka 𝑅 adalah order parsial tapi bukan order total.

3. ℤ+ adalah himpunan bilangan bulat positif. Relasi 𝑅 pada ℤ didefinisikan (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅

jika dan hanya jika 𝑥|𝑦 (“𝑥 membagi habis 𝑦") maka 𝑅 adalah order parsial tapi bukan

order total.

Diagram Hasse

Misal didefinisikan order parsial 𝑅 = {(𝑎, 𝑏)| 𝑎 ≤ 𝑏} pada himpunan 𝐴 = {1, 2, 3, 4}.

Representasi 𝑅 dapat dibuat dalam bentuk graf berarah sebagai berikut:

Order parsial bersifat reflektif, maka loop masing-masing simpul tidak ditunjukkan.

Karena order parsial bersifat transitif, kita tidak perlu menunjukkan edge yang disajikan

karena sifat transitif order parsial. Sehingga sisi (edge) (1, 3), (1, 4), (2, 4) dihapus.

Jika diasumsikan bahwa semua sisi megarah ke atas maka arah sisi tidak ditunjukkan.

Definisi 2

Himpunan 𝑋 yang dilengkapi dengan relasi biner (≤) disebut himpunan dengan

order parsial atau himpunan dengan order total.

Langkah-langkah membangun diagram Hasse:

1. Hapus loop untuk masing-masing simpul.

2. Hapus semua sisi yang harus disajikan karena ke-transitif-an. Contoh, jika ada

(a, b) dan (b, c), maka hapus sisi (a, c). Jika ternyata ada (c, d), hapus (a, d).

3. Atur masing-masing sisi sedemikian hingga simpul awalnya (intial vertex-nya)

berada di bawah simpul terminal (terminal vertex). Dengan kata lain, buat agar

panah mengarah ke atas.

4. Hapus semua panah.

Contoh:

Gambarkan diagram Hasse yang menyajikan order parsial berikut

𝑅 = {(𝑎, 𝑏)| 𝑎 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑎𝑔𝑖 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑏}

pada 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12}.

Kata parsial yang digunakan dalam mendefinisikan suatu order parsial dalam suatu

himpunan 𝑋 disebabkan karena beberapa elemen dalam 𝑋 tidak dapat dibandingkan

(not comparable).

Contoh:

1. ℝ adalah himpunan bilangan real. Relasi 𝑆 pada ℝ didefinisikan (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑆 jika dan

hanya jika 𝑥 ≤ 𝑦 maka 𝑆 adalah order total pada ℝ.

Sehingga (ℝ, ≤) adalah himpunan berorder total.

Definisi 3

1. Jika 𝑌 himpunan bagian tak kosong dari himpunan berorder parsial (𝑋, ≤) maka

elemen 𝑎 dari 𝑌 disebut minimal jika ∀𝑦 ∈ 𝑌 berlaku 𝑦 ≤ 𝑎 maka 𝑦 = 𝑎.

2. Suatu elemen 𝑏 dari 𝑌 disebut minimum jika ∀𝑦 ∈ 𝑌 berlaku 𝑏 ≤ 𝑦.

2. 𝐴 suatu himpunan. Relasi 𝑅 pada 2𝐴 didefinisikan (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 jika dan hanya jika

𝑥 ⊆ 𝑦 maka (𝑅, ≤) adalah order parsial.

Sehingga (2𝐴, ≤) adalah himpunan dengan order parsial.

3. ℕ adalah himpunan bilangan asli. Relasi 𝑀 pada ℕ didefinisikan (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑀 jika

dan hanya jika 𝑥|𝑦 (“𝑥 membagi habis 𝑦”) maka 𝑀 adalah order parsial pada ℕ.

Sehingga (ℕ, ≤) adalah himpunan berorder parsial.

Catatan: Suatu elemen minimum adalah minimal tetapi dalam himpunan berorder

parsial mungkin mempunyai elemen minimal yang tidak minimum.

Contoh:

1. ℕ adalah himpunan bilangan asli. Relasi 𝑀 pada ℕ didefinisikan (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑀 jika

dan hanya jika 𝑥|𝑦 (“𝑥 membagi habis 𝑦”) maka (𝑀, ≤) adalah himpunan berorder

parsial. 𝐴 = {24,2,6} ⊆ ℕ.

Elemen 2 adalah elemen minimal karena 24 ≰ 2, 6 ≰ 2, 2 ≤ 2.

Elemen 2 adalah elemen minimum karena 2 ≤ 2, 2 ≤ 6 dan 2 ≤ 24 atau ∀𝑎 ∈ 𝐴

berlaku 2 ≤ 𝑎.

2. 𝑆 = {1,2,3} maka 2𝑆 = {{1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}, 𝜙}.

𝑌 = {{1,3}, {1,2}, {3}, {1}}, didefinisikan relasi biner sebagai berikut :

Untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑌, 𝑎 ≤ 𝑏 jika dan hanya jika 𝑎 ⊆ 𝑏 maka {1} ∈ 𝑌 adalah

minimal, karena

{1,3} ≰ {1}, {1,2} ≰ {1}, {3} ≰ {1}, {1} ≤ {1}

Tapi {1} ∈ 𝑌 tidak minimum karena ∃𝑦 ∈ 𝑌, dengan {1} ≰ 𝑦, misalnya {1} ≰ {3}.

Proposisi 1

Diberikan 𝑌 himpunan bagian tidak kosong dari himpunan berorder parsial 𝑋, maka

1. 𝑌 mempunyai paling banyak satu elemen minimum.

2. Jika 𝑌 berorder total maka elemen minimum sama dengan elemen minimal.

Definisi 1.1.4

(i) (𝑋, ≤) memenuhi keadaan minimal jika untuk setiap 𝑌 himpunan bagian

yang tidak kosong dari 𝑋 maka 𝑌 mempunyai elemen minimal.

(ii) Suatu himpunan berorder total 𝑋 yang memenuhi keadaan minimal

disebut Well-ordered.

Bukti :

(1) Misalkan 𝑏 elemen minimum maka 𝑏 ≤ 𝑦 untuk setiap 𝑦 ∈ 𝑌 dan misalkan 𝑐

elemen minimum lainnya maka 𝑐 ≤ 𝑦 untuk setiap 𝑦 ∈ 𝑌 sehingga 𝑐 ≤ 𝑏 dan

𝑏 ≤ 𝑐 maka 𝑏 = 𝑐.

(2) ⟹

Misalkan 𝑏 adalah elemen minimum.

Akan ditunjukkan 𝑏 minimal.

(∀ 𝑦 ∈ 𝑌) 𝑏 ≤ 𝑦 ⟹ (∀ 𝑦 ∈ 𝑌) 𝑦 ≤ 𝑏 ⟹ 𝑦 = 𝑏

⟸

Misalkan 𝑎 adalah elemen minimal.

Akan ditunjukkan 𝑎 minimum, karena 𝑌 berorder total maka berlaku 𝑦 ≤ 𝑥 atau

𝑥 ≤ 𝑦 untuk setiap 𝑦 ∈ 𝑌.

Jadi 𝑦 ≤ 𝑎 atau 𝑎 ≤ 𝑦 untuk setiap 𝑦 ∈ 𝑌.

Jika 𝑎 ≤ 𝑦 maka 𝑎 minimum.

Jika 𝑦 ≤ 𝑎 karena 𝑎 minimal maka 𝑦 = 𝑎 sehingga 𝑎 minimum.

Definisi 5

𝑎 ∈ 𝑌 disebut elemen maksimal jika 𝑎 ≤ 𝑦 maka 𝑦 = 𝑎 dan 𝑏 ∈ 𝑌 disebut elemen

maksimum jika 𝑦 ≤ 𝑏 untuk setiap 𝑦 ∈ 𝑌.

Contoh:

1. 𝐴 = {0,1,2,3,4, … ,10}. Relasi 𝑆 pada 𝐴 didefinisikan (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑆 jika dan hanya jika

𝑥 ≤ 𝑦.

(𝐴, ≤) memenuhi keadaan minimal karena untuk setiap 𝑌 himpunan bagian yang

tidak kosong dari 𝐴 maka 𝑌 mempunyai elemen minimal.

𝐴 himpunan berorder total karena (∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴) 𝑥 ≤ 𝑦 atau 𝑦 ≤ 𝑥.

𝐴 himpunan berorder total yang memenuhi keadaan minimal, sehingga 𝐴 Well-

ordered.

2. 𝐵 = {1,2,4,12}. Relasi 𝑀 pada 𝐵 didefinisikan (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑀 jika dan hanya jika 𝑥 | 𝑦.

(𝑀, ≤) memenuhi keadaan minimal karena untuk setiap 𝑌 himpunan bagian yang

tidak kosong dari 𝐵 maka 𝑌 mempunyai elemen minimal.

𝐵 himpunan berorder total karena (∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐵) 𝑥 ≤ 𝑦 atau 𝑦 ≤ 𝑥.

𝐵 himpunan berorder total yang memenuhi keadaan minimal, sehingga 𝐵 Well-

Contoh:

1. ℕ adalah himpunan bilangan asli. Relasi 𝑀 pada ℕ didefinisikan (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑀 jika

dan hanya jika 𝑥|𝑦 (“𝑥 membagi habis 𝑦”) maka (𝑀, ≤) adalah himpunan berorder

parsial. 𝐴 = {24,2,6} ⊆ ℕ.

Elemen 24 adalah elemen maksimal.

Elemen 24 adalah elemen maksimum karena 2 ≤ 24, 6 ≤ 24 dan 24 ≤ 24 atau

∀𝑎 ∈ 𝐴 berlaku 𝑎 ≤ 24.

2. 𝑆 = {1,2,3} maka 2𝑆 = {{1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}, 𝜙}.

𝑌 = {{1,3}, {1,2}, {3}, {1}}, didefinisikan relasi biner sebagai berikut :

Untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑌, 𝑎 ≤ 𝑏 jika dan hanya jika 𝑎 ⊆ 𝑏 maka {1} ∈ 𝑌 adalah

maksimal, karena {1} ≤ {1}.

Tapi {1} ∈ 𝑌 tidak maksimum karena ∃𝑦 ∈ 𝑌, dengan 𝑦 ≰ {1}, misalnya {3} ≰

{1}.

Definisi 6

(𝑋, ≤) memenuhi keadaan maksimal jika untuk setiap 𝑌 himpunan bagian yang

tidak kosong dari 𝑋 maka 𝑌 mempunyai elemen maksimal.

Definisi 7

(1) Jika 𝑌 suatu himpunan bagian tidak kosong dari himpunan berorder parsial

𝑋, suatu elemen 𝑐 ∈ 𝑋 disebut batas bawah dari 𝑌 jika 𝑐 ≤ 𝑦, untuk setiap

𝑦 ∈ 𝑌.

(2) Jika himpunan batas bawah dari 𝑌 tidak kosong dan mempunyai elemen

maksimum 𝑑 maka 𝑑 disebut batas bawah terbesar atau meet dari 𝑌.

Batas bawah terbesar dari 𝑌 adalah tunggal dan ditulis 𝑑 =∧ {𝑦: 𝑦 ∈ 𝑌}.

Jika 𝑌 = {𝑎. 𝑏}, maka 𝑑 = 𝑎 ∧ 𝑏.

Contoh:

1. 𝐴 = {0,1,2,3,4, … ,10}. Relasi 𝑆 pada 𝐴 didefinisikan (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑆 jika dan hanya jika

𝑥 ≤ 𝑦.

(𝐴, ≤) memenuhi keadaan maksimal karena untuk setiap 𝑌 himpunan bagian yang

tidak kosong dari 𝐴 maka 𝑌 mempunyai elemen maksimal.

1. 𝑋 = {0,1,2,3,4, … ,10}. Relasi 𝑆 pada 𝐴 didefinisikan (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑆 jika dan hanya jika

𝑥 ≤ 𝑦.

𝑌 = {2,5,7} ⊂ 𝑋. Elemen 0 ∈ 𝑋 adalah batas bawah dari 𝑌 karena 0 ≤ 𝑦, ∀𝑦 ∈ 𝑌.

Himpunan batas bawah dari 𝑌 adalah 𝐵 = {0,1}.

Elemen maksimum dari 𝐵 adalah 1, karena 𝑏 ≤ 1, ∀𝑏 ∈ 𝐵.

Maka elemen 1 disebut meet dari 𝑦 dan ditulis 1 = 0 ∧ 1.

Definisi 1.1.8

Jika ⟨𝑋, ≤⟩ sehingga 𝑎 ∧ 𝑏 ada, untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑋, maka ⟨𝑋, ≤⟩ disebut semilatis

bawah.

Jika untuk setiap 𝑌 himpunan bagian tidak kosong dari 𝑋, meet dari 𝑌 ada maka

⟨𝑋, ≤⟩ disebut semilatis bawah lengkap.

Dalam semilatis bawah ⟨𝑋, ≤⟩, untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑋 berlaku𝑎 ≤ 𝑏 jika dan hanya

jika 𝑎 ∧ 𝑏 = 𝑎 sebab misalkan 𝑎 ≤ 𝑏, akan ditunjukkan 𝑎 ∧ 𝑏 = 𝑎.

𝑎 ≤ 𝑎 dan 𝑎 ≤ 𝑏 sehingga 𝑎 batas bawah dari {𝑎, 𝑏}. Misalkan 𝑐 batas bawah dari

{𝑎, 𝑏} maka 𝑐 ≤ 𝑎 dan 𝑐 ≤ 𝑏. Jadi untuk setiap batas bawah 𝑐 dari {𝑎, 𝑏} maka 𝑐 ≤

𝑎, sehingga 𝑎 ∧ 𝑏 = 𝑎.

Misalkan 𝑎 ∧ 𝑏 = 𝑎, akan ditunjukkan 𝑎 ≤ 𝑏.

𝑎 ∧ 𝑏 = 𝑎 maka 𝑎 ≤ 𝑎 dan 𝑎 ≤ 𝑏

Definisi 1.1.9

Suatu elemen 𝑐 ∈ 𝑋 disebut batas bawah dari 𝑌 jika 𝑦 ≤ 𝑐, untuk setiap 𝑦 ∈ 𝑌.

Jika himpunan batas atas dari 𝑌 tidak kosong dan mempunyai elemen terkecil 𝑓

maka 𝑓 disebut batas atas terkecil atau join dari 𝑌 dan ditulis

𝑓 =∨ {𝑦 | 𝑦 ∈ 𝑌}

Definisi 1.1.10

1. Jika ∨ {𝑦 | 𝑦 ∈ 𝑌} ada, untuk setiap 𝑌 ≠ ∅ ⊆ 𝑋 maka ⟨𝑋, ≤⟩ disebut semilatis

atas lengkap.

2. Jika 𝑎 ∨ 𝑏 ada, untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑋 maka ⟨𝑋, ≤⟩ disebut semilatis atas.

3. Jika ⟨𝑋, ≤⟩ semilatis bawah lengkap dan semilatis atas lengkap maka ⟨𝑋, ≤⟩

disebut latis.

Suatu latis 𝐿 berorder parsial " ≤ " dengan batas bawah terbesar dari 𝑎 dan 𝑏 adalah

𝑎 ∧ 𝑏 dan batas atas terkecil dari 𝑎 dan 𝑏 adalah 𝑎 ∨ 𝑏, ditulis sebagai 𝐿 =

⟨𝐿, ≤ , ∧ , ∨⟩.

Contoh

𝐻 adalah himpunan semua subgrup dari grup 𝐺, jika 𝐴 dan 𝐵 elemen dari 𝐻 maka

meet dari 𝐴 dan 𝐵 adalah 𝐴 ∩ 𝐵 dan join 𝐴 dan 𝐵 adalah subgrup yang dibangun

oleh 𝐴 dan 𝐵 sehingga 𝐻 merupakan latis.

Definisi 1.1.10

Himpunan bagian tidak kosong 𝐻 dari latis 𝐿 disebut sublatis dari 𝐿 jika 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻

maka 𝑎 ∧ 𝑏 ∈ 𝐻 dan 𝑎 ∨ 𝑏 ∈ 𝐻.

Jika ⟨𝑋, ≤⟩ semilatis bawah, operasi biner ∧ didefinisikan pada 𝐸.

Jika 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐸 maka (𝑎 ∧ 𝑏) ∧ 𝑐 ≤ 𝑎 ∧ 𝑏 ≤ 𝑎, (𝑎 ∧ 𝑏) ∧ 𝑐 ≤ 𝑎 ∧ 𝑏 ≤ 𝑏, (𝑎 ∧ 𝑏) ∧

𝑐 ≤ 𝑐 sehingga (𝑎 ∧ 𝑏) ∧ 𝑐 adalah batas bawah dari {𝑎, 𝑏, 𝑐}.

Jika 𝑑 batas bawah dari {𝑎, 𝑏, 𝑐} maka 𝑑 ≤ 𝑎, 𝑑 ≤ 𝑏, 𝑑 ≤ 𝑐, sehingga 𝑑 ≤ 𝑎 ∧

𝑏, 𝑑 ≤ 𝑐 dan 𝑑 ≤ (𝑎 ∧ 𝑏) ∧ 𝑐.

Jadi (𝑎 ∧ 𝑏) ∧ 𝑐 adalah batas bawah terbesar dari {𝑎, 𝑏, 𝑐}. Dengan cara yang sama,

𝑎 ∧ (𝑏 ∧ 𝑐) adalah batas bawah terbesar dari {𝑎, 𝑏, 𝑐}. Karena batas bawah terbesar

dari {𝑎, 𝑏, 𝑐} adalah tunggal maka (𝑎 ∧ 𝑏) ∧ 𝑐 = 𝑎 ∧ (𝑏 ∧ 𝑐).

Jadi (𝐸, ∧) adalah semigrup.

Proposisi 1.1.2

1. Diberikan (𝐸, ≤) semilatis bawah maka (𝐸,∧) merupakan semigrup komutatif

yang setiap elemennya idempoten dan 𝑎 ≤ 𝑏 jika dan hanya jika 𝑎 ∧ 𝑏 = 𝑎

untuk setiap 𝑎, 𝑏, ∈ 𝐸.

2. Diberikan 𝐸 semigrup komutatof yang setiap elemennya idempoten maka relasi

≤ pada 𝐸 yang didefinisikan 𝑎 ≤ 𝑏 jika dan hanya jika 𝑎𝑏 = 𝑎 adalah order

parsial pada 𝐸 sehingga 𝐸 semilatis bawah dan batas bawah terbesar dari 𝑎 dan

𝑏 adalah 𝑎𝑏.

Bukti :

Untuk setiap 𝑎 ∈ 𝐸, 𝑎 ∧ 𝑏 = 𝑎 dan untuk setiap 𝑎, 𝑏, ∈ 𝐸, 𝑎 ∧ 𝑏 = 𝑏 ∧ 𝑎 dan 𝑎 ≤ 𝑏

jika dan hanya jika 𝑎 ∧ 𝑏 = 𝑎 telah dibuktikan di atas.

Misalkan 𝐸 semigrup komutatif yang setiap elemennya idempoten, akan

ditunjukkan relasi ≤ adalah order parsial.

Diketahui 𝑎2 = 𝑎 maka 𝑎 ≤ 𝑎.

Jika 𝑎 ≤ 𝑏 dan 𝑏 ≤ 𝑎 maka 𝑎𝑏 = 𝑎 dan 𝑏𝑎 = 𝑏, karena 𝐸 komutatif maka 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎

sehingga 𝑎𝑏 = 𝑎 = 𝑏𝑎 = 𝑏.

Jadi jika 𝑎 ≤ 𝑏 dan 𝑏 ≤ 𝑎 maka 𝑎 = 𝑏.

Jika 𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏 ≤ 𝑐 maka 𝑎𝑏 = 𝑎 dan 𝑏𝑐 = 𝑏.

𝑎𝑐 = (𝑎𝑏)𝑐 = 𝑎(𝑏𝑐) = 𝑎𝑏 = 𝑎 maka 𝑎 ≤ 𝑐.

Jadi 𝑎 ≤ 𝑏 dan 𝑏 ≤ 𝑐 maka 𝑎 ≤ 𝑐 sehingga relasi ≤ adalah order parsial.

Ditunjukkan (𝐸, ≤) semilatis bawah.

Ambil sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐸.

𝑎(𝑎𝑏) = (𝑎𝑎)𝑏 = 𝑎2𝑏 = 𝑎𝑏 dan 𝑏(𝑎𝑏) = (𝑏𝑎)𝑏 = (𝑎𝑏)𝑏 = 𝑎(𝑏𝑏) = 𝑎𝑏2 = 𝑎𝑏

maka 𝑎𝑏 ≤ 𝑎 dan 𝑎𝑏 ≤ 𝑏.

Jika 𝑐 ≤ 𝑎 dan 𝑐 ≤ 𝑏 maka 𝑐𝑎 = 𝑐 dan 𝑐𝑏 = 𝑐 maka (𝑐𝑎)𝑏 = 𝑐(𝑎𝑏) = 𝑐𝑏 = 𝑐

sehingga 𝑐 ≤ 𝑎𝑏.

Jadi 𝑎 ∧ 𝑏 = 𝑎𝑏 untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐸 sehingga (𝐸, ≤) merupakan semilatis

bawah.dan batas bawah terbesar dari {𝑎, 𝑏} adalah 𝑎 ∧ 𝑏 = 𝑎𝑏.

Akibat dari proposisi semilatis bawah dari semigrup komutatif yang setiap

elemennya idempoten adalah ekuivalen.

Untuk memudahkan membayangkan himpunan order (𝑆, ≤), khususnya 𝑆

berhingga, digunakan diagram Hasse. Dalam diagram ini elemen dari himpunan itu

dinyatakan dengan lingkaran hitam kecil dan jika dua elemen 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆 dengan 𝑎 <

𝑏 artinya tidak ada 𝑥 ∈ 𝑆 sedemikian hingga 𝑎 < 𝑥 < 𝑏, ditulis sebagai berikut :