3. FORCED HARMONIC VIBRATIONGetaran pada sistem dinamis umumnya disebabkan oleh adanya gaya yang besarnya dipengaruhi waktu (time-varying force). Respon yang dihasilkan akibat beban yang demikian disebut forced vibration response atau respon getaran paksa (Humar, 2001). Getaran paksa terjadi bila terdapat gaya luar sebagai gaya eksitasi yang bekerja pada sistem yang membuat sistem berosilasi atau bergetar. Gaya eksitasi tersebut dapat berupa beban jangka panjang yang diekspresikan sebagai fungsi harmonik dari waktu, disebut harmonic excitation. Paz (1985) menjelaskan struktur yang dipengaruhi secara harmonis (excited harmonically) yaitu struktur yang dibebani gaya atau perpindahan yang besarnya dinyatakan oleh fungsi sinus atau cosinus dari waktu. Pengetahuan mengenai bagaimana respon suatu sistem atau struktur terhadap eksitasi harmonis sangat penting untuk memahami perilaku dari struktur yang dikenai gaya dinamis secara random (Buchholdt, 1997).3.1. Undamped Harmonic Excitation (Pengaruh Harmonis Tak Teredam)Pada osilator sederhana (gambar 3.1) peredam diabaikan dan gaya eksitasi yang bekerja dianggap harmonis sebesar (Humar, 2001): Dengan: = amplitudo puncak= frekuensi gaya dalam radian per detikPersamaan gerak dalam bentuk persamaan differensial diperoleh dengan menjumlah semua gaya pada diagram free body (Humar, 2001):

Persamaan (3.2) merupakan persamaan diferensial orde dua non homogen. Solusi dari persamaan gerak tersebut dapat dinyatakan sebagai:

Dimana merupakan solusi komplementer yang didapat dengan menyelesaikan persamaan (3.2) dengan , dan merupakan solusi partikulir yang didasarkan pada solusi yang memenuhi persamaan (3.2) yaitu persamaan diferensial tak homogen.

Gambar 3.1. (a) Osilator undamped dengan eksitasi harmonis (b) Free body diagramSumber: (Paz, 1985)Solusi komplementer pada dasarnya bersifat sementara (transient) karena akan menghilang seiring waktu akibat adanya peredam. Sedangkan solusi partikular akan tetap ada selama masih terdapat gaya eksitasi dan menggambarkan bagian solusi steady-state (Humar, 2001).Solusi komplementer adalah sama seperti solusi untuk persamaan gerak free vibration:

Melihat fungsi gaya pada persamaan (3.2) berupa fungsi sinus, maka solusi partikulir untuk persamaan (3.2) dimisalkan sebagai:

Dengan adalah amplitudo respon.

Apabila diketahui sebagai ratio frekuensi, yaitu ratio antara frekuensi eksitasi (gaya yang bekerja) dengan frekuensi natural sistem dengan:

Maka,

Dengan demikian maka didapat solusi partikulir:

Dengan menggabungkan solusi komplementer dengan solusi partikulir didapat respon sistem undamped terhadap eksitasi harmonis (Paz, 1985):

A dan B adalah konstanta riil yang besarnya ditentukan dari kondisi awal (intial condition) saat t=0. Bila diambil kondisi awal dan maka:

Sehingga persamaan (3.4) menjadi (Clough, 1995):

Dimana: : displasemen statis akibat beban statis yang setara dengan amplitudo dari eksitasi harmonik : magnification factor atau faktor pembesaran yang menggambarkan efek amplifikasi dari pembebanan secara harmonis (harmonically applied loading) : komponen respon pada frekuensi dari beban yang bekerja (applied loading), disebut respon steady-state dan berhubungan langsung dengan beban atau eksitasi: komponen respon pada frekuensi getaran natural dan merupakan efek getaran bebas yang besarnya dikontrol oleh kondisi awal, disebut respon transient Apabila kondisi awal dan maka:

Sehingga didapat bagian sementara (transient) dari respon (Humar, 2001):

Sedangkan komponen steady-state dari respon atau displasemen akan sama seperti pada persamaan (3.3) karena komponen steady-state tidak terpengaruh oleh kondisi awal. Humar (2001) menjelaskan gaya dinamis yang bekerja pada jangka panjang (long duration) mengakibatkan sistem mengalami getaran yang berkelanjutan (sustained vibrations). Getaran yang demikian memiliki dua komponen, yaitu komponen sementara (transient) dan komponen steady-state. Komponen transient hadir pada awal terjadi getaran dan besarnya ditentukan oleh kondisi awal (initial condition). Peredam pada sistem mengakibatkan komponen transient hilang dengan cepat. Komponen steady-state tetap ada selama gaya eksitasi masih bekerja pada sistem. Setelah komponen transient hilang, hanya komponen steady-state yang tetap bertahan. Namun untuk sistem undamped, secara hipotetis komponen transient tidak akan teredam dan berlanjut terus menerus tanpa batas.

Gambar 3.2. (a) menggambarkan respon komponen steady-state sedangkan gambar 3.2. (b) menggambarkan respon komponen transient. Nilai ratio frekuensi diasumsikan dengan kondisi awal dimulai saat sistem diam (). Beberapa point yang patut diperhatikan (Clough, 1995): Kecenderungan komponen transient dan komponen steady-state untuk berada dalam satu fase (get in phase) dan kemudian tidak lagi dalam satu fase (out of phase) menyebabkan efek tumbukan pada respon total. Sehingga respon total merupakan superposisi respon transient dengan respon steady-state. Pada kasus ini, respon total tidak memiliki frekuensi harmonik meskipun respon transient dan steady-state berupa frekuensi harmonik. Kemiringan respon total yang bernilai nol pada saat menunjukkan bahwa kecepatan (velocity) awal dari respon transient harus sedemikian sehingga dapat menghilangkan (cancel) kecepatan awal dari respon steady-state. Dengan demikian respon total yang didapat dari superposisi respon transient dengan respon steady-state akan memenuhi kondisi awal, yaitu nol.

Gambar 3.2. Ratio respon suatu sistem tak teredam terhadap eksitasi harmonik sinus pada kondisi awal diam; : (a) respon transient, (b) respon steady-state, (c) respon totalSumber: (Clough, 1995)Faktor beban dinamis (dinamyc load factor D) adalah ratio defleksi dinamis terhadap defleksi statis . Untuk respon steady-state dari sistem tak teredam yang dikenai eksitasi harmonik, faktor beban dinamis menjadi (Humar, 2001):

Amplitudo dari faktor beban dinamis , diplot pada gambar 3.3. sebagai fungsi dari (ratio frekuensi). Terdapat beberapa point yang bisa disimpulkan berdasarkan gambar 3.3., yaitu (Humar, 2001): Saat frekuensi dari beban (applied load) sangat tinggi, yaitu ketika sangat besar, displasemen mendekati nol. Pada kasus ini, beban berganti-ganti (varying) sangat cepat sehingga sistem tidak memiliki waktu untuk merespon dan tetap diam. Untuk , respon menjadi besar mencapai tak terhingga, kondisi ini disebut resonansi. Saat atau pada dekat resonansi, yaitu saat frekuensi beban atau gaya eksitasi sama dengan atau dekat dengan frekuensi natural dari sistem, respon yang terjadi memiliki amplitudo yang sangat besar, sehingga keadaan ini harus dihindari. Untuk yaitu saat , bernilai positif dan sistem bergetar pada fase yang sama (in phase) dengan beban yang bekerja. Dengan kata lain, beban yang bekerja dan displasemen akan selalu pada arah yang sama. Untuk yaitu saat , bernilai negatif dan getaran sistem berada di luar fase (out of phase) dengan beban yang bekerja atau eksitasi, sehingga displasemen selalu berada pada arah yang berlawanan dengan eksitasi.

Gambar 3.3. Variasi dari amplitudo respon dengan ratio frekuensiSumber: (Humar, 2001)3.2. Damped Harmonic Excitation (Pengaruh Harmonis Teredam)Pada gambar 3.4., sistem bergetar dibawah pengaruh dari peredam viscous. Maka persamaan gerak untuk sistem menjadi:

Gambar 3.4. (a) Osilator damped dengan eksitasi harmonis (b) Free body diagramSumber: (Paz, 1985)Solusi dari persamaan (3.5) terdiri dari solusi komplementer dan solusi partikulir . Solusi komplementer didapat dari respon getaran bebas teredam untuk kasus underdamped () yaitu:

Solusi partikulir diasumsikan dalam bentuk:

Bagian sinus dan cosinus dibutuhkan karena pada umumnya respon dari sistem teredam tidak dalam satu fase dengan beban. Menggunakan persamaan dan dengan membagi kedua ruas persamaan dengan maka persamaan (3.5) dapat ditulis menjadi (Clough,1995):

Subtitusi solusi partikulir ke dalam persamaan (3.6):

Agar persamaan terpenuhi untuk semua nilai , maka kedua persamaan dalam tanda kurung harus sama dengan nol, sehingga:

Apabila diketahui ratio frekuensi maka:

Persamaan (3.7) dan (3.8) diselesaikan secara simultan menghasilkan:

Sehingga didapat solusi partikulir yang merupakan respon harmonik steady-state:

Respon total didapat dengan mengkombinasikan solusi komplementer dan solusi partikulir:

Konstanta integrasi A dan B harus dievaluasi dari kondisi awal dengan menggunakan respon total yang diberikan persamaan (3.10) dan bukan hanya dari komponen transient saja (Paz, 1985). Fungsi eksponensial pada komponen respon transient () menyebabkan getaran semakin lama makin mengecil hingga akhirnya berhenti dan yang tertinggal hanya respon steady-state saja. Karena respon transient teredam dengan cepat, maka umumya tidak begitu diperhatikan.

Gambar 3.5. Getaran makin mengecil akibat adanya fungsi eksponensialSumber: (http://ftk-its.info/elearn/toc_modul2.htm)Dalam Humar (2001) diberikan nilai konstanta A dan B pada respon transient dengan displasemen awal dan kecepatan (velocity) awal yaitu:

Displasemen transient dan steady-state untuk sistem dengan , dan kondisi awal nol diplot pada gambar 3.7. Diperlihatkan diplasemen total yang merupakan jumlah dari displasemen transient dan steady-state. Respon transient menghilang seiring waktu karena adanya peredam pada sistem,. Respon total yang didapat dari superposisi respon transient dan respon steady-state memenuhi kondisi awal, yaitu nol.

Gambar 3.6. Respon transient, steady-state, dan respon total dari suatu sistem teredam terhadap beban harmonik; Sumber: (Humar, 2001)Respon harmonik steady-state pada persamaan (3.9) dapat ditulis dalam bentuk yang berbeda (Humar, 2001):

Dimana memiliki amplitudo :

Sudut phase terbatas pada range Ratio dari amplitudo steady-state dengan displasemen statis akibat beban dikenal sebagai faktor pembesaran dinamis (dynamic amplification factor) yang diberikan sebagai (Clough, 1995):

Faktor pembesaran dinamis bervariasi dengan ratio frekuensi atau dan ratio redaman (gambar 3.6.). Pada gambar 3.6 terlihat bahwa untuk redaman kecil, amplitudo puncak terjadi pada saat ratio frekuensi sangat dekat dengan , yaitu, faktor pembesaran dinamis yang sebenarnya mencapai harga maksimum pada kondisi resonansi ().

Gambar 3.6. Variasi faktor pembesaran dinamis dengan peredam dan frekuensiSumber: (Clough, 1995)