GRAPH

• Graph digunakan untuk merepresentasikan obyek-obyek

diskrit dan hubungan antar obyek-obyek tersebut.

• Representasi visual dinyatakan sebagai noktah, bulatan atau titik, sedangkan hubungan antara obyek

dinyatakan dengan garis

Contoh 1 :

Contoh 2

Contoh 3

GRAPH

• Graph adalah kumpulan dari simpul dan busur yang secara matematis dinyatakan sebagai :

G = (V, E)Dimana

G = GraphV = Simpul atau Vertex, atau Node, atau

TitikE = Busur atau Edge, atau arc

Contoh graph :

B

A C

D E

Undirected graph

vertex

edge

e1 e3e4

e7e5e2

e6

v1

v2

v4 v5

v3

V terdiri dari v1, v2, …, v5

E terdiri dari e1, e2, … , e7

• Sebuah graph mungkin hanya terdiri dari satu simpul

• Sebuah graph belum tentu semua simpulnya terhubung dengan busur

• Sebuah graph mungkin mempunyai simpul yang tak terhubung dengan simpul yang lain

• Sebuah graph mungkin semua simpulnya saling berhubungan

Graf Sederhana

Simple graphs do not have loops or multiple arcs between pairs of nodes. Most networks in D1 are Simple graphs.

A subgraph Dapat dibentuk dengan membuang garis atau titik dari grafik lain

Graph Subgraph

A bipartite graph adalah grafik dimana ada 2 set node. Tidak ada busur dalam salah satu set node.

A complete bipartite graph adalah grafik bipartit di mana setiap node dalam satu set terhubung ke setiap node pada set lain

Graph Berarah dan Graph Tak Berarah :

B

A C

D E

B

A C

D E

Directed graph

Undirected graph

e1 e3

e4

e7e5e2

e6

v1

v2

v4 v5

v3v1

v2

v3

v5v4

e1

e2

e3

e4

e5

e6

e7

e8 e9

e10

Dapat dilihat dari bentuk busur yang artinya urutan penyebutan pasangan 2 simpul.

• Graph tak berarah (undirected graph atau non-directed graph) :• Urutan simpul dalam sebuah busur tidak

dipentingkan. Mis busur e1 dapat disebut busur AB atau BA

• Graph berarah (directed graph) :• Urutan simpul mempunyai arti. Mis

busur AB adalah e1 sedangkan busur BA adalah e8.

1. Graf Tidak Berarah (Undirected Graph )

Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah

disebut graf tak berarah. Pada graf tak – berarah,

urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh

sisi tidak di perhatikan. Jadi (u,v) = (v,u) adalah sisi

yang sama.

Jenis-Jenis Graph

2. Graf Berarah (Directed Graph = Digraph)

Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah.

Sisi berarah disebut sebagai arch (busur). Pada

graf berarah, (u,v) dan (v,u) menyatakan dua

buah busur yang berbeda. Untuk simpul (u,v),

simpul u dinamakan simpul asal dan simpul v

disebut sebagai Simpul Terminal.

Contoh soal:

Gambarlah sebuah graf sederhana yang dapat di

bentuk dari 4 titik {a, b, c, d} dan 2 garis.

Penyelesaian :

Sebuah garis dalam graf sederhana selalu

berhubungan dengan 2 titik. Oleh karena ada 4

titik, maka ada C(4,2) = 6 garis yang mungkin di

buat. Yaitu garis – garis dengan titik ujung {a,b},

{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d}.

Dari keenam garis yang mungkin tersebut, selanjutnya dipilih 2 garis diantaranya. Jadi ada C(6,2) = 15 buah graf yang mungkin di bentuk dari 4 buah titik dan 2 buah garis.

• Graph Berbobot (Weighted Graph)• Jika setiap busur mempunyai nilai yang

menyatakan hubungan antara 2 buah simpul, maka busur tersebut dinyatakan memiliki bobot.

• Bobot sebuah busur dapat menyatakan panjang sebuah jalan dari 2 buah titik, jumlah rata-rata kendaraan perhari yang melalui sebuah jalan, dll.

Graph Berbobot :

B

A C

D E

B

A C

D E

Directed graph

Undirected graph

5 3

12

684

3

v1

v2

v4 v5

v3v1

v2

v3

v5v4

5

e2

312

8

3

6

4 7

10

Panjang busur (atau bobot) mungkin tidak digambarkan secara panjang yang proposional dengan bobotnya. Misal bobot 5 digambarkan lebih panjang dari 7.

Istilah pada graph

Incident Jika e merupakan busur dengan simpul-simpulnya adalah v dan w yang ditulis e=(v,w), maka v dan w disebut “terletak” pada e, dan e disebut incident dengan v dan w.

Degree (derajat), indegree dan outdegreeDegree sebuah simpul adalah jumlah

busur yang incident dengan simpul tersebut.

Indegree sebuah simpul pada graph berarah adalah jumlah busur yang kepalanya incident dengan simpul tersebut, atau jumlah busur yang “masuk” atau menuju simpul tersebut.

Outdegree sebuah simpul pada graph berarah adalah jumlah busur yang ekornya incident dengan simpul tersebut, atau jumlah busur yang “keluar” atau berasal dari simpul tersebut.

3. Adjacent Pada graph tidah berarah, 2 buah simpul disebut adjacent bila ada busur yang menghubungkan kedua simpul tersebut. Simpul v dan w disebut adjacent.

Pada graph berarah, simpul v disebut adjacent dengan simpul w bila ada busur dari w ke v.

we

v

v

e w

4. Successor dan PredecessorPada graph berarah, bila simpul v adjacent dengan simpul w, maka simpul v adalah successor simpul w, dan simpul w adalah predecessor dari simpul v.

5. PathSebuah path adalah serangkaian simpul-simpul yang berbeda, yang adjacent secara berturut-turut dari simpul satu ke simpul berikutnya.

1

43

2

4

2

4

2

4

21

3

1

3

1

3

Representasi Graph dalam bentuk matrix

• Adjacency Matrix Graph tak berarah

B

A C

D E

Graph

0 1 0 1 0

1 0 1 0 1

0 1 0 1 1

1 0 1 0 1

0 1 1 1 0

A B

A

0

B

C

1 2 43C D E

D

E

0

1

2

4

3

Urut abjad

Degree simpul : 3

Representasi Graph dalam bentuk matrix

• Adjacency Matrix Graph berarah

Graph

0 1 0 1 0

1 0 1 0 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 1

0 0 0 0 0

A B

A

0

B

C

1 2 43C D E

D

E

0

1

2

4

3

B

A C

D E

kedari

out

in

• Adjency List graph tak berarah• Digambarkan sebagai sebuah simpul

yang memiliki 2 pointer. • Simpul vertex : Simpul edge :

Representasi Graph dalam bentuk Linked List

info info

Menunjuk ke simpul vertex berikutnya,

dalam untaian simpul yang ada.

Menunjuk ke simpul edge pertama Menunjuk ke

simpul edge berikutnya, bila

masih ada.Menunjuk ke simpul vertex tujuan yang

berhubungan dengan simpul vertex asal.

left right left right

• Define struct untuk sebuah simpul yang dapat digunakan sebagai vertex maupun edge.

typedef struct tipeS {

tipeS *Left;

int INFO;

tipeS *Right;

};

tipeS *FIRST, *PVertex, *PEdge;

Contoh : untuk vertex A, memiliki 2 edge yang terhubung yaitu e1 dan e2.

A

C

D

B

E

e2

Graph

e1B

A C

D E

e1e3

e4

e7e5e2

e6

Urut abjad

Gambar di atas dapat disusun dengan lebih sederhana, sbb :

A

C

D

B

E

D

A

B

A

B

C E

D E

C

C D

B

A C

D E

Graph

B

E

Adjency List graph berarah

A

C

D

B

E

D

A

B

C

E

C

B

E

B

A C

D E

Graph berarah dan berbobot

B

A C

D E

53

2

14

12

6

7

12

0 5 0 2 0

6 0 3 0 0

0 0 0 0 9

0 0 12

0 7

0 14

0 0 0

A

A

0

B

C

1 2 43

D

E

0

1

2

4

3

B C D E

Perhatikan pemilihan nilai 0.

Graf Planar (Planar Graph)Graf yang dapat digambar pada bidang datar dengan sisi-sisi

tidak saling bertindihan disebut graf planar.Jika tidak, maka graf tersebut adalah graf tak-planar.

Graf planar, sisi yang bertindihan dapat diatur menjadi tidak bertindihan

Contoh graf tak-planar

Graf Planar (Planar Graph)

Lintasan dan Sirkuit Euler

Contoh:Lintasan Euler pada graf (a): 3, 1, 2, 3, 4, 1.Lintasan Euler pada graf (b): 1, 2, 4, 6, 2, 3, 6, 5, 1, 3, 5.Sirkuit Euler pada graf (c): 1, 2, 3, 4, 7, 3, 5, 7, 6, 5, 2, 6, 1.

12

3 4

1 2

34

5 6

1

2 3

45

6 7(a) (b) (c)

Graf (a) dan (b) adalah graf semi-Euler.Graf (c) adalah graf Euler.

Teorema:Graf berarah G memiliki sirkuit Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setiap simpul memiliki derajat-masuk dan derajat-keluar yang sama.

Teorema:Graf berarah G memiliki lintasan Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setiap simpul memiliki derajat-masuk dan derajat-keluar sama kecuali dua simpul, yang pertama memiliki derajat-keluar satu lebih banyak dari derajat-masuk, dan yang kedua memiliki derajat-masuk satu lebih banyak dari derajat-keluar.

Jembatan Königsberg (1736)

Bisakah orang melalui setiap jembatan tepat satu kali dan kembali lagi ke tempat semula?

Solusi:Tidak bisa.Derajat d(A) = 5, d(B) = 3, d(C) = 3, d(D) = 3 4 derajat ganjil.Tidak dapat dibuat sebuah sirkuit Euler.

Lintasan Hamilton ialah lintasan yang melalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali.

Sirkuit Hamilton ialah sirkuit yang melalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali, kecuali simpul asal (sekaligus simpul akhir) yang dilalui dua kali.

Graf yang memiliki lintasan Hamilton disebut graf semi-Hamilton.

Graf yang memiliki sirkuit Hamilton disebut graf Hamilton.

(a) (b) (c)

1 2

34

1 2

34

1 2

34

Contoh:Graf (a) memiliki lintasan Hamilton: misal 3, 2, 1, 4.Graf (b) memiliki sirkuit Hamilton: 1, 2, 3, 4, 1.Graf (c) tidak memiliki lintasan maupun sirkuit Hamilton.

Contoh:Temukan sirkuit Hamilton dari graf berikut ini.

Lintasan Hamilton ialah lintasan yang melalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali.

Sirkuit Hamilton ialah sirkuit yang melalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali, kecuali simpul asal (sekaligus simpul akhir) yang dilalui dua kali.

Graf yang memiliki lintasan Hamilton disebut graf semi-Hamilton.

Graf yang memiliki sirkuit Hamilton disebut graf Hamilton.

Aplikasi Graph

Persoalan pedagang keliling (Travelling salesman problem).

Persoalan tukang pos Cina (Chinese postman problem).

Pewarnaan graf (Graph coloring).

Travelling Salesman Problem (TSP)

Diberikan sejumlah kota dan diketahui jarak antar kota.Tentukan sirkuit terpendek yang harus dilalui oleh seorang

pedagang bila pedagang itu berangkat dari sebuah kota asal dan menyinggahi setiap kota tepat satu kali dan kembali lagi ke kota asal keberangkatan.

Merupakan persoalan menentukan sirkuit Hamilton yang memiliki bobot minimum.

Contoh:Tentukan sirkuit Hamilton terpendek dari graf berikut ini

a b

cd

12

8

15

1095

Solusi:Terdapat 3 sirkuit Hamilton pada graf di atas

a b

cd

12

8

15

10

a b

cd

12

15

95

a b

cd

81095

P1 = (a, b, c, d, a) atau (a, d, c, b, a) Bobot = 12 + 8 + 15 + 10 = 45

P2 = (a, b, d, c, a) atau (a, c, d, b, a) Bobot = 12 + 9 + 15 + 5 = 41

P3 = (a, c, b, d, a) atau (a, d, b, c, a) Bobot = 5 + 8 + 9 + 10 = 32

Sirkuit Hamilton terpendek: P3

a b

cd

12

8

15

10

a b

cd

12

15

95

a b

cd

81095

FUZZY

SYSTEMINPUT OUTPUT

CONTOH : Output bertambah besar jika input bertambah besar

ATAU

Jika input besar maka output besarIF input is BIG THEN output is BIGIF x is B THEN y is B