teori graph : vektor

25
Vektor

Upload: muhammad-martayuda

Post on 13-Jun-2015

924 views

Category:

Documents


5 download

TRANSCRIPT

Page 1: Teori Graph : vektor

VektorVektor

Page 2: Teori Graph : vektor

Penjumlahan Vektor

s a b

Page 3: Teori Graph : vektor

Mengikuti hukum :• Komutatif :

a b b a

Page 4: Teori Graph : vektor

Assosiatif :

( ) ( )a b c a b c

Page 5: Teori Graph : vektor

Vektor adalah vektor yang memiliki besaran yang sama dengan vektor tetapi berlawanan arah, bila dijumlahkan akan menghasilkan :

b

( ) ( ) 0b b

b

Page 6: Teori Graph : vektor

Komponen vektor• merupakan proyeksi vektor pada sumbu sistem

koordinat

Komponen vektor : a

cos dan sinx ya a a a

disebut komponen skalar atau komponen

Page 7: Teori Graph : vektor

Penjumlahan vektor dengan komponen

, setiap komponen sama dengan

komponen

s a b

s

a b

x x x

y y y

z z z

s a b

s a b

s a b

Page 8: Teori Graph : vektor

Besar vektor :

Khusus untuk penjumlahan 2 vektor ( ), besar vektor dapat dicari dengan rumus :

Dalam perhitungan vektor dibutuhkan rumus trigonometri : Dalil cosinus :

Dalil sinus :

a 2 2 dan tan x

x yy

aa a a

a

s

2 2 2 coss a b ab

dan a b

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

2 cos

a b c bc

b a c ac

c a b ab

sin sin sin

a b c

Page 9: Teori Graph : vektor

Vektor satuan:

Koordinat KartesiusVektor satuan pada arah positif sumbu x, y dan z diberi tanda : ˆˆ ˆ, dan i j k

Page 10: Teori Graph : vektor

Kita dapat tulis vektor dan sebagai berikut :a

b

disebut komponen vektor

ˆ ˆx ya a i a j

ˆ ˆx yb b i b j

Page 11: Teori Graph : vektor

Perkalian vektor :

• Perkalian vektor dengan skalar : Jika vektor dikalikan dengan skalar s akan

menghasilkan vektor baru dengan besar nilai absolute s dengan arah jika s positif, dan berlawanan arah jika s negatif. Vektor dibagi dengan s berarti kita mengkalikan dengan 1/s.

• Perkalian vektor dengan vektor : Menghasilkan skalar : Scalar ProductDikenal sebagai : Dot product

a

a

a

a

Page 12: Teori Graph : vektor

Perkalian titik dan perkalian silang antar vektor satuan dalam koordinat kartesius :

i . i = j . j = k . k = 1

i . j = j . k = I . k = 0

i x i = j x j = k x k = 0

i x j = k ; j x i = - k

i x k = - j ; k x i = j

k x j = - i ; j x k = i

Page 13: Teori Graph : vektor

. cosa b ab

Page 14: Teori Graph : vektor

Dituliskan secara komponen bagian sebagai berikut :

. ( cos )( ) ( )( cos )a b a b a b

Scalar product berlaku hukum komutatif

Jika ditulis dalam vektor satuan, maka perkalian scalar :

Diperoleh hasil akhir sebagai berikut :

. .a b b a

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ. ( ).( )x y z x y za b a i a j a k b i b j b k

. x x y y z za b a b a b a b

Page 15: Teori Graph : vektor

Menghasilkan vector : Vector ProductDikenal sebagai : Cross Product

Dengan besar c adalah :

sinc ab

x a b c

Besaran x a b

ditulis x 0a b

jika //a b

dan maksimum jika a b

Page 16: Teori Graph : vektor

Arah dari vektor tegak lurus bidang yang berisi vektor

c

dan a b

dikenal sebagai hukum tangan kanan.

x ( x )b a a b

Page 17: Teori Graph : vektor

Penulisan dalam vektor satuan :

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ x ( ) x ( )x y z x y za b a i a j a k b i b j b k

ˆ ˆ ˆ ˆ x ( x ) 0x x x xa i b i a b i i

ˆˆ ˆ ˆ ˆ x ( x )x y x y x ya i b j a b i j a b k

Hasil akhir :

ˆˆ ˆ x ( ) ( ) ( )y z y z z x z x x y x ya b a b b a i a b b a j a b b a k

Page 18: Teori Graph : vektor

Cara mudah untuk perkalian silang dengan mengunakan metode determinan

x y z

x y y

i j k

a x b = a a a

b b b

Page 19: Teori Graph : vektor

Cara lain : reduksi matrix 3x3 2x2

Page 20: Teori Graph : vektor

Latihan soal :1 Dua buah vektor bertitik tangkap sama

saling mengapit dengan sudut . Jika besar vektor

dua kali vektor dan , hitung !Jawab :

dan a b

a

b

3a b a b 2 2

2 2

2 cos

2 cos

a b a b ab

a b a b ab

2 2 2 22 cos 3 2 cosa b ab a b ab

2 216 cos 10 b b

051,32

Page 21: Teori Graph : vektor

2 Dua buah vektor yang besarnya 8 dan 15 satuan saling mengapit dengan sudut 45. Hitung besar resultannya dan sudut antara resultan dengan vektor pertama.

Jawab :

Sudut antara resultan dengan vektor pertama dapat dicari dengan 2 cara : dalil cosinus atau dalil sinus

Dalil Cosinus :

Dalil Sinus :

2 2 01 2 1 22 cos 45

458,7

21,4 satuan

r v v v v

r

r

2 2 22 1 1

0

2 cos

297,7 342,4 cos =29,6

v v r v r

20

0

sin sin 13515(0,707)

sin =29,721,4

v r

Page 22: Teori Graph : vektor

3 Diketahui 3 buah vektor

Hitung besar vektor dan sudut antara vektor ini dengan sumbu zjika . Hitung juga sudut antara vektor ! Jawab :

Sudut antara dengan sumbu z : men”dot” kan dengan vektor satuan arah sumbu z.

Sudut antara diperoleh dengan men”dot”kan keduanya.

ˆˆ ˆ1 3 4

ˆˆ ˆ1 2 2

ˆˆ ˆ3 1 3

a i j k

b i j k

c i j k

r

2r a b c

dan a b

2 2 2ˆˆ ˆ( 2) ( 7) (13) ( 2) ( 7) (13) 14,9 satuanr i j k r

r

dan a b

0

. 1.( 1) ( 3).( 2) 4.(2)

13 cos 13 cos = =31,8

26 9

a b

a b

0

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ. ( 2) . ( 7) . (13) .

13 cos 13 cos = =29.3

14.9

r k i k j k k k

r k

Page 23: Teori Graph : vektor

4.Suatu vektor a dalam bidang xy mempunyai besar 5 satuan dan arahnya terhadap sumbu x positif. Vektor b

mempunyai besar 4 satuan dan arahnya searah sumbu y. Hitung besar perkalian titik dan perkalian silang kedua vektor tersebut.

Jawab :Sudut terkecil antara kedua vektor tersebut adalah:

Sehingga diperoleh :

0252

0 0 0252 90 162

0 . cos (5)(4)cos162 19 satuana b ab

0 x sin (5)(4) sin162 6,18 satuana b ab

Page 24: Teori Graph : vektor

Soal Tugas1. Dua buah vektor yang besarnya 5 dan 3

satuan membentuk sudut 60 sama lain. Hitung resultan vektor-vektor tersebut!

Hitung pula selisih dua vektor tersebut!2. Tiga buah vektor a, b dan c terletak pada

satu bidang dan mempunyai titik tangkap yang sama. Besar vektor berturut-turut adalah 30, 20 dan 40 satuan. Berapakah besar sudut apit vektor a dan b agar resultan nya besarnya sama dengan vektor c ?

Page 25: Teori Graph : vektor

3. Jumlah dua vektor adalah tiga kali vektor yang lebih kecil. Jika vektor- vektor tersebut membentuk sudut 60, berapakah perbandingan kedua vektor tersebut ?

4. Hitung perkalian titik dan perkalian silang dari dua vektor berikut ini :

a = 2i – 2j + 4k b = i – 3j + 2k5. a = 5,1i – 2,3j ; b = i ; c = -3,1i + 6,3j Hitung resultan ketiga vektor tersebut dan kemana

arahnya?