1

Golden Ratio (Rasio Emas)

Rasio emas yang juga disebut sebagai proporsi Tuhan, telah diketemukan oleh para

Phytagorean pada tahun 500 SM. Rasio ini memiliki banyak aplikasi menarik dalam

geometri. Rasio emas dapat ditemukan menggunakan barisan Fibonacci, 1, 1, 2, 3, 5, 8, …, an

, dimana an diperoleh dari menjumlahkan dua bilangan sebelumnya. Misal, 1 + 1 = 2, 1 + 2 =

3, 2 + 3 = 5, dan seterusnya. Hasil bagi dari dua bilangan yang berurutan berbentuk

.

Bilangan-bilangan yang terbentuk akan menghasilkan barisan baru, yaitu: 1, 2, 1.5, 1.66…,

1.6, 1.625, 1.61538…, 1.61904…, … . bilangan-bilangan ini mendekati suatu bilangan

desimal yaitu 1.61803…, yang disebut dengan rasio emas, disimbolkan dengan nilainya

adalah √

.

Berikut beberapa hal unik tentang rasio emas.

1. Aesthetics. Suatu persegi panjang emas, karena perbandingan dari panjang dan lebarnya

membentu rasio emas. Persegi panjang ini dianggap oleh orang Yunani sebagai bentuk

yang nyaman dipandang.

Sepanjang garis ini, memperlihatkan bahwa kartu indeksnya berdimensi 3 × 5 dan 5 × 8,

dua pasang bilangan tersebut dalam barisan Fibonacci menghasilkan hasil bagi yang

mendekati nilai .

2. Geometri Fallacy (kesalahan geometri). Jika kita memotong persegi sebagaimana yang

ditunjukkan pada gambar di sebelah kiri dan disusun kembali seperti pada gaambar

persegipanjang sebelah kanan, daerah yang dihasilkan sungguh unik.

Perhatikan hawa bilangan 5, 8, 13, 21 yang terbentuk. Jika bilangan-bilangan dari barisan

Fibonacci diganti dengan 8, 13, 21, 34, masing-masing membentuk hasil yang unik.

Keunikan ini berlanjut terus sepertihalnya pada barisan Fibonacci. Bagaimanapun, jika

keempat bilangan tersebut diganti dengan 1, dan 2 + 1, masing-masing

sangatlah serasi.

3. Tempat-tempat yang unik. Perhatikan bagian dari segitiga Pascal berikut.

2

Jika disusun secara cermat, maka akan terbentuk barisan Fibonacci.

Tiga hal tersebut ada beberapa dari sekian banyak hubungan yang menarik antara rasio

emas dengan bilangan Fibonacci.

STRETEGI 12

Work Backward

Normalnya, untuk memecahkan suatu soal kita akan memulai dari awal dan bekerja maju

hingga mendapatkan jawaban. Untuk kali ini, akan lebih efektif ketika kita memecahkan

suatu masalah dari akhir kemudian bekerja mundur. Berikut ini contoh masalah yang

tepat untuk diselesaikan dengan strategi ini.

Masalah awal

Seorang PKL memiliki sekeranjang apel. Merasa dermawan suatu

hari, ia membagi-bagikan setengah dari apel nya ditambah satu untuk

orang asing pertama yang ia temui, setengah dari apel yang tersisa

ditambah satu untuk orang asing berikutnya yg ia temui, dan setengah

dari apel yang tersisa ditambah satu untuk orang asing ketiga yang ia

temui. Jika penjual memiliki sisa satu untuk dirinya sendiri, Berapa

banyak apel mula-mula yang ia miliki?

PETUNJUK

Strategi Work Backward baik diterapkan ketika:

a. Hasil akhir yang jelas dan bagian awal dari masalah tidak jelas.

b. Masalah berlangsung dari yang kompleks di awal kemudian menjadi sederhana di

akhir.

c. Pendekatan langsung melibatkan persamaan rumit.

d. Masalah melibatkan suatu urutan tindakan berbalik.

PENDAHULUAN

Pada Bab 6, himpunan pecahan telah diperkenalkan untuk menunjukkan bagian-bagian dari

keseluruhan. Dalam bab ini kami memperkenalkan desimal, yang merupakan sistem

penomoran yang mudah untuk pecahan, dan persen, yang merupakan representasi dari

pecahan yang biasa digunakan untuk perdagangan. Kemudian konsep rasio dan proporsi yang

dikembangkan karena pentingnya mereka dalam aplikasi matematika secara menyeluruh.

3

7.1 DESIMAL

Bilangan .1, .10, dan .100 semuanya adalah sama, namun dapat dinyatakan secara

berbeda. Dengan menggunakan Balok Basis Sepuluhan, bilangan .1, .10, dan .100 dapat

ditampilkan sebagai berikut.

Desimal

Desimal digunakan untuk menyatakan pecahan dalam notasi nilai tempat basis 10

yang biasa kita gunakan. Untuk lebih jelasnya, kita dapat melihat pecahan pada gambar 7.1

berikut.

1000 Ribuan

: 10 = 100 Ratusan

: 10 = 10 Puluhan

: 10 = 1 Satuan

: 10 =

Persepuluhan

: 10 =

Perseratusan

: 10 =

Perseribuan

Gambar 7.1

Refleksi dari Penelitian

Siswa sering memiliki kesalahpahaman tentang notasi bilangan desimal. Beberapa siswa

melihat titik desimal sebagai sesuatu yang memisahkan dua bilangan cacah (Greer, 1987)

Standar NCTM

Semua siswa harus memahami struktur nilai tempat dari sistem bilangan basis 10, dapat

menyatakan dan membandingkan bilangan cacah dan desimal.

4

( ) ( ) ( ) ( ) (

) (

) (

)

Bentuk di atas dapat dipandang sebagai 3457.968 =

, dibaca “Tiga ribu

empat ratus lima puluh tujuh dan sembilan ratus enam puluh delapan perseribu”. Kata “dan”

pada kalimat baca tersebut harus digunakan sebagai pemisah pada notasi desimal.

Gambar 7.2 berikut suatu persegi ratusan dapat digunakan untuk menunjukkan

persepuluhan dan perseratusan. Perhatikan bahwa persegi besar (keseluruhan persegi)

mewakili bilangan 1, satu strip vertikal mewakili bilangan 0.1, dan masing-masing persegi

kecil mewakili bilangan 0.01.

Gambar 7.2

Selain dengan persegi satuan dapat juga menggunakan garis bilangan untuk menggambarkan

suatu desimal. Lihat Gambar 7.3 berikut.

Gambar 7.3

Desimal yang telah kita pelajari sejauh ini dinamakan dengan Terminating Decimal

(Desimal Berakhir), karena dapat dituliskan dengan sejumlah angka tidak nol tertentu di

sebelah kanan titik desimal.

Refleksi dari Penelitian

Siswa harus didorong untuk mengekspresikan pecahan desimal dengan bahasa bermakna

(daripada menggunakan "titik"). Hal ini kadang-kadang membantu siswa memecah

bentuk pecahan ke dalam komposisi persepuluh, misalnya, 0,35 akan dibaca tiga

persepuluh ditambah 5/100 bukannya 35/100 (Resnick, Nesher, Leonard, Magone,

Omanson, & Peled, 1989).

TEOREMA

Misalkan

adalah suatu pecahan sederhana. Kemudian

adalah suatu desimal berakhir

jika dan hanya jika b hanya memiliki faktor prima 2 dan/atau 5. ( karena b dapat dijabarkan

dalam bentuk pangkat dari 10).

0,4 atau

4 persepuluhan

0,07 atau

7 perseratusan

5

Desimal Berurut

Desimal berakhir dapat dibandingkan menggunakan persegi ratusan, dengan

menggunakan garis bilangan, dengan membandingkan mereka dalam bentuk pecahan

mereka, atau dengan membandingkan nilai tempat satu per satu dari kiri ke kanan seperti kita

membandingkan bilangan cacah.

Mental Matematika dan Perkiraan

Operasi-operasi pennambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian yang

melibatkan desimal mirip dengan operasi pada bilangan cacah. Secara khusus, nilai tempat

memiliki peran penting. Sebagai contoh, untuk menemukan jumlah 3.2 + 5.7, Seseorang bisa

menambahkan bilangan cacahnya terlebih dahulu, 3 + 5 = 8, kemudian persepuluh, 0.2 + 0.7

= 0.9, kemudian didapatkan 8.9. Amati bahwa bilangan cacahnya ditambahkan terlebih

dahulu, baru kemudian persepuluh, penambahan dilakukan dari kiri ke kanan. Dalam hal

menemukan jumlah 7.6 + 2.5, orang bisa menambahkan persepuluh pertama, 0.6 + 0.5 = 1.1,

kemudian menggabungkan jumlah ini dengan 7 + 2 = 9 untuk mendapatkan jumlah 9 + 1.1 =

10.1. Dengan demikian, seperti dengan bilangan cacah, desimal dapat ditambahkan dari kiri

ke kanan atau kanan ke kiri.

Refleksi dari Penelitian

Siswa sering mengalami kesulitan memahami kesenilaian antara desimal dan pecahan

(misalnya, bahwa 0,4 adalah sama dengan 2/5). Penelitian telah menemukan bahwa

pemahaman ini dapat ditingkatkan dengan mengajarkan keduanya secara bersamaan

dengan menggunakan desimal dan pecahan untuk menggambarkan situasi yang sama

(Owens, 1990).

Standar NCTM

Siswa harus menggunakan model, patokan, dan bentuk senilai untuk memperkirakan

nilai pecahan.

Refleksi dari Penelitian

Kesalahan siswa mengidentifikasi suatu bilangan missal 0,1814 adalah lebih besar dari

0,3 karena karena 0,1814 memiliki angka yang lebih banyak (Hiabert & Wearne, 1986)

6

7.2 OPERASI PADA DESIMAL

Para peneliti telah menciptakan istilah "perkalian membuat lebih besar" untuk

menggambarkan kesalahpahaman siswa bahwa dalam setiap masalah perkalian, hasil kali

selalu lebih besar dari masing-masing faktor. Situasi bagaimana "Perkalian membuat besar"

tidak terjadi?

Demikian pula, "pembagian membuat lebih kecil" digunakan untuk menggambarkan

kesalahpahaman siswa bahwa dalam masalah pembagian, hasil bagi selalu lebih kecil dari

yang dibagi. Kapan situasi ini tidak berlaku? Diskusikan di mana kesalahpahaman "perkalian

membuat lebih besar, perkalian membuat lebih kecil".

Algoritma Operasi Desimal

Algoritma sederhana untuk desimal, yaitu: penambahan, pengurangan, perkalian, dan

pembagian.

SEPOTONG MATEMATIKA

Notasi Desimal telah berkembang selama bertahun-tahun tanpa kesepakatan universal.

Simak daftar berikut ekspresi desimal untuk pecahan

.

Notasi Tahun Muncul

3 142 1522, Adam Riese (Jerman)

3|142 & 3,142 1579, Francois Fieta (Prancis)

0 1 2 3

3 1 4 2

1585, Simon Stevin (Belanda)

3 · 142 1614, John Napier (Skotlandia)

Sekarang, orang Amerika menggunakan "titik desimal" versi notasi Napier (3.142, di mana

titiknya terletak pada baris), Inggris mempertahankan versi asli (3 · 142, di mana titiknya

terletak di tengah-tengah baris), sedangkan Perancis dan Jerman mempertahankan notasi

"koma desimal" Vieta (3,142). Oleh karena itu, hingga sekarang belum ada kesepakatan

universal tentang pemakaina notasi decimal ini.

TEOREMA

Mengali/Membagi Desimal dengan Pangkat dari 10

Misalkan n suatu desimal dan m suatu bilangan cacah bukan nol. Mengalikan n dengan

10m senilai dengan membentuk bilangan baru dengan memindahkan titik desimal n

sebanyak m angka ke kanan. Membagi n dengan 10m adalah senilai dengan membentuk

bilangan baru dengan memindahkan titik desimal n sebanyak m angka ke kiri.

Mengalikan/membagi dengan pangkat dari 10 dapat digunakan mempermudah mengalikan

suatu desimal. Sebagai contoh, untuk menemukan hasil kali 0.003 × 41,000, kita dapat

mengaalikan 0.003 dengan 1000 (menghasilkan 3) dan kemudian membagi 41,000 dengan

1000 (menghasilkan 41) mka hasil kali 3 × 41 = 123.

7

1. Penambahan

Misal:

a. 3.56 + 7.95

b. 0.0094 + 80.183

SOLUSI: Kita bisa menemukan jumlahnya dengan dua cara: (1) pendekatan pecahan,

dan (2) pendekatan algoritma desimal.

(1) Pendekatan pecahan

(2) Pendekatan desimal

Gambar 7.9

Pendekatan desimal seperti halnya pada penambahan bilangan cacah, mengatur

angka di kolom sesuai dengan nilai-nilai tempatnya dan menjumlahkan angka-

angka dalam setiap kolom, jika selesai bisa dikelompokkan kembali. LIhat

Gambar 7.9

2. Pengurangan

Misal:

a. 14.793 – 8.95

b. 7.56 – 0.0008

SOLUSI: Pada soal seperti ini juga bisa digunakan pendekatan pecahan seperti halnya

pada saat soal penjumlahan. Namun, pada soal pengurangan lebih efektif menggunakan

algoritma pengurangan.

a.

Langkah 1

Luruskan titik

desimal

Langkah 2

Kurangkan seperti

pada bilangan

cacah

Langkah 3

Sisipkan titik desimal

pada jawaban

8

Catatan: Langkah 2 menunjukkan mental desimal, dimana tidak perlu menuliskan titik

desimalnya.

b. Tulis kembali 7.56 sebagai 7.5600

3. Perkalian

Misal: 437.09 × 3.8.

SOLUSI: Mengacu pada perkalian pecahan.

Perkalian Lattice dengan Desimal

Misal: 34.5 × 2.05

Jadi hasilnya adalah 70,725.

Langkah 1: Buat suatu praduga sementara hasil

kali 34,5 × 2,05 ≈ 35 × 2 = 70

Hasil kalinya dalam puluhan.

Langkah 2: Gambarlah Tabel Lattice dan

tuliskan angka-angka pembentuk bilangan,

termasuk titik desimalnya. Posisi titik lurus

dengan dengan angka pembentuknya.

Langkah 3: Tuliskan hasil kalinya ke dalam

Lattice.

Langkah 4: Buat perpanjangan diagonal dari

kanan ke kiri.

Langkah 5: Letakkan titik desimal pada

jawaban. Cara meletakkan titik desimal: Tarik

garis bantu horizoltal ke kiri terhadap yang di

samping, dan garis bantu vertikal ke bawah

terhadap titik yang di atas hingga bertemu pada

suatu titik. Arahkah titik pertemuan tersebut

secara diagonal ke kiri bawah hingga berakhir

pada jawaban.

Tahukah kamu?

Metode Perkalian Lattice

telah digunakan oleh

Sekolah di Iran sejak tahun

1010. Matode ini sering

juga disebut metode “Kisi”

9

4. Pembagian

Misal: 154.63 : 4.7

SOLUSI: Pertama, mari menduka hasil sementara 155 : 5 = 31, tentu hasilnya nanti akan

mendekati 31. Selanjutnya kita menggunakan pecahan untuk membagi.

Perhatikan bahwa pada metode pecahan, kita mengganti bentuk desimal sesungguhnya

menjadi pecehana senilai yang terdiri atas bilangan cacah.

154.63 : 4.7 15463 : 470

Demikian pula, masalah 1546.3 : 47 juga manghasilkan jawaban 32.9 dengan metode

Pendekatan Faktor Hilang. Dengan demikian, sebagaimana contoh ini, berbagai masalah

pembagian pada desimal dapat diganti dengan pembagi bilangan cacah yang senilai.

Teknik ini biasanya digunakan saat melakukan algoritma pembagian desimal yang

panjang.

Berikut penjelasan teknik "memindahkan titik desimal" untuk mendapatkan pembagi

bilangan cacah.

Misal: a dan b adalah suatu desimal

Jika a : b = c , maka a = bc,

Kemudian a . 10n = bc . 10

n = (b . 10

n) c untuk setiap n.

Sedemikian hingga (a . 10n) : (b . 10

n) = c

Dari persamaan terakhir ini menunjukkan bahwa kita dapat mengalikan a dan b (yang

dibagi dan pembagi) dengan pangkatan 10 yang sama untuk membuat pembagi bilangan

cacah. Teknik ini mirip dengan pengurangan dan penjumlahan yang sama kecuali bahwa

pembagian dan perkalian yang terlibat di sini.

NOTASI ILMIAH

Perkalian dan pembagian suatu bilangan yang besar terkadang akan lebih mudah dengan

terlebih dahulu menyatakannya dalam notasi ilmiah. Suatu bilangan dikatakan dalam

notasi ilmiah jika dinyatakan dalam bentuk a x 10n, di mana 1 ≤ a ≤ 10 dan n adalah

bilangan cacah. a disebut mantissa sedangkan n disebut karakteristik dari a x 10n. Tabel

berikut memberikan beberapa contoh dari bilangan yang dinyatakan dalam notasi ilmiah.

10

Berikut contoh permasalahan yang diselesaikan dengan mengubah bilangan menjadi

notasi ilmiah.

DESIMAL BERULANG

Pada contoh sebelumnya telah kita lihat bahwa pecahan dalam bentuk sederhana adalah

pecahan yang penyebutnya adalah 2m

. 5n memiliki representasi decimal berakhir.

Pecahan jenis ini juga dapat dikonversi menjadi desimal menggunakan kalkulator atau

algoritma pembagian bersusun untuk menjadikannya bentuk desimal.

Misal

dapat ditampilkan dalam bentuk desimal sebagai berikut.

Jadi,

Skarang bagaimana jika bilangan

dinyatakan dalam bentuk desimal?

Meskipun dengan kalkulator manghasilkan suatu desimal yang berakhir, yaitu

0,333333333. Hal ini dikarenakan keterbatasan tempilan pada kalkulator, nilai sebenarnya

lebih panjang dari itu. Dengan menggunakan algoritma pembagian bersusun pun, tidak

akan menghasilkan bilangan decimal berakhir, karena sisa pembagiannya selalu 1.

Demikian juga dengan bilangan

. Sebagai pengganti titik-titik, ditulis

dengan garis horisontal di atas repetend (digit yang berulang). Berikut beberapa contoh:

11

Bilangan desimal yang memiliki repetend disebut desimal berulang. Banyaknya digit

yang berulang tersebut dinamakan periode dari desimal tersebut. Misalnya,

mempunyai periode 2 karena digit yang berulang adalah 0 dan 9.

Ketika suatu bilangan cacah dibagi oleh 7, maka sisa yang mungkin adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5,

6. Pada desimal berakhir, digit 0 mungkin juga akan muncul sebagai sisa pembagian (dan

desimal berakhir), atau ketika, sisa bukan nol muncul kembali sebagi sisa pembagian.

Pada kondisi ini, desimal tersebut akan mulai berulang. Perhatikan bahwa sisa hasil bagi

6 muncul sebanyak dua kali, maka desimal tersebut akan mulai berulang tepat pada digit

tersebut. Oleh karena itu

. Demikian pula

, akan mulai berulang tidak

lebih dari sisa ke-13,

akan mulai berulang tidak lebih dari sisa ke-23, dan seterusnya.

Dengan memperhatikan beberapa contoh di mana penyebut memiliki faktor-faktor lain

selain 2 atau 5, pernyataan berikut akan menjadi jelas.

Sebelumnya telah dibahas bahwa mudah untuk mengungkapkan suatu desimal berakhir

sebagai pecahan. Tapi misalkan suatu bilangan memiliki representasi pengulangan,

desimal tak berakhir. Dapatkah kita menemukan representasi pecahan untuk bilangan

tersebut?

Misal kita akan menyatakan decimal sebagai suatu pecahan.

SOLUSI:

Misalkan n = . maka 100n =

Kemudian 100n = 34.343434…

n = 0.343434… -

99n = 34

n =

Cara ini dapat diterapkan untuk sebarang desimal berulang yang tak berakhir, tidak semua

decimal n dikalikan dengan 100. Untuk kasus umum, kita bisa mengalikan decimal berulang

tak berakhir n dengan 10m

, dimana m adalah banyaknyadigit pada repetend. Misal, untuk

menyatakan menjadi bentuk pecahan, andaikan n = dan kalikan keduanya n

dan dengan 103 , karena digit yang berulang adalah mempunyai 3 digit.

Kemudian 103n – n = dari sini kita menemukan hasil

bahwa n =

.

TEOREMA

Pecahan dengan Pengulangan, Representasi Desimal Tak berakhir

Misalkan

suatu pecahan sederhana. Kemudian

memiliki representasi desimal

berulang yang tidak berakhir jika dan hanya jika b memiliki faktor prima selain 2

atau 5.

12

Untuk lebih jelasnya perhatikan diagram di bawah ini.

Math Morsel

Debugging adalah istilah yang digunakan untuk menggambarkan proses pemeriksaan suatu

program komputer untuk kesalahan dan kemudian memperbaiki kesalahan. Menurut cerita

dahulu, proses debugging diadopsi oleh Grace Hopper, yang merancang bahasa komputer

COBOL. Ketika salah satu programnya tidak berjalan sebagaimana mestinya, kemudian

ditemukan bahwa salah satu komponen komputer telah tidak berfungsi dikarenakan serangga

(bug) sebenarnya yang ditemukan di antara komponennya. Sejak saat itu, jika suatu program

tidak berjalan seperti yang dirancang semestinya maka dikatakan memiliki "bug" di

dalamnya. Oleh karena itu harus "didebug."

7.3 RASIO DAN PROPORSI

Untuk proyek pembangunannya, Jose perlu untuk memotong beberapa papan menjadi dua

bagian A dan B sehingga bagian A sebesar 1

3 kali bagian B. untuk situasi ini, diskusikan

pertanyaan-pertanyaan berikut:

1. Bagian A seberapa besar dari papan tersebut?

2. Bagian B berapa kali besar bagian A?

3. Apa/bagaimana rasio dari bagian A dengan bagian B?

Ulangi untuk dua situasi berikut:

Bagian A sebesar 3

4 kali bagian B; bagian A sebesar

2

5 kali bagian B

TEOREMA

Setiap pecahan mempunyai representasi desimal berulang, dan setiap desimal

berulang memiliki representasi pecahan.

Pecahan

(bentuk sederhana)

Penyebut dengan faktor

hanya 2 dan/atau 5

Penyebut dengan

minimal satu faktornya

bukan bukan 2 atau 5

Desimal

berulang

Desimal berakhir (salah

satu sisanya adalah 0)

Desimal tak brakhir

(repetend-nya bukan 0)

13

Rasio

Konsep rasio muncul di banyak tempat di matematika dan di kehidupan sehari-hari, seperti

ilustrasi contoh berikut.

Contoh 7.19

a. Di Washington School, rasio dari murid dengan guru adalah 17 : 1, dibaca “17 banding

1”.

b. Di Smithville, rasio cewek dengan cowok adalah 3 : 2.

c. Suatu campuran cat memiliki rasio 5 : 3 untuk cat biru dengan cat merah.

d. Rasio centimeter dengan inci adalah 2.54 : 1.

Pada bab ini, bilangan yang digunakan dalam rasio adalah bilangan cacah, pecahan,

atau desimal yang menyatakan pecahan. Dalam bahasa Inggris, kata per berarti “untuk

setiap” dan menyatakan rasio. Contohnya, angka-angka seperti mil per galon (jarak mil

bensin), kilometer per jam (kecepatan), dollar per jam (upah), sen per ons (harga satuan),

orang per mil persegi (kepadatan populasi), dan persen semuanya adalah rasio.

Tidak seperti pecahan, ada hal-hal dari rasio ketika b dapat berupa nol. Contohnya,

rasio dari pria dengan wanita pada permulaan tim basket liga utama dapat dilaporkan sebagai

9 : 0. Bagaimanapun, karena penerapan tersebut jarang terjadi, definisi dari rasio a : b tidak

memuat kasus b = 0.

Rasio mengijinkan kita untuk membandingkan ukuran relatif dari dua kuantitas.

Perbandingan ini dapat dinyatakan dengan simbol rasio a : b atau sebagai hasil bagi a

b .

Hasil bagi muncul secara alami ketika kita menyatakan rasio. Pada contoh 7.19(a), ada 1

17

banyak guru dan murid di Washington School. Pada bagian (b) ada 3

2 banyak cewek dan

cowok di Smithville. Kita juga dapat mengatakan ada 2

3 banyak cowok dan cewek, atau

bahwa rasio dari cowok dengan cewek adalah 2 : 3. Hal ini diilustrasikan pada gambar 7.10.

Gambar 7.10

Refleksi dari Penelitian

Anak-anak memahami efek perubahan manjadi bagian-bagian pada keseluruhan yang

tak terhitung sebelum mereka mulai sekolah, dan pemahaman ini tidak dimanfaatkan

selama 2 tahun berikutnya di sekolah (Irwin, 1996)

DEFINISI

Rasio adalah suatu pasangan terurut dari bilangan, ditulis a : b, dengan b ≠ 0.

14

Perhatikan bahwa ada beberapa rasio yang dapat kita bentuk ketika membandingkan

populasi dari cowok dan cewek di Smithville, misalkan 2 : 3 (cowok dengan cewek), 3 : 2

(cewek dengan cowok), 2 : 5 (cowok dengan anak-anak), 5 : 3 (anak-anak dengan cewek, dan

lainnya. Beberapa rasio memberi suatu perbandingan sebagian dengan sebagian, seperti

Contoh 7.19(c). Pada campuran cat, kita akan menggunakan 5 satuan cat biru dan 3 satuan cat

merah. (Suatu satuan dapat berupa sebarang ukuran – milimeter, sendok teh, cangkir, dan

lainnya) Rasio dapat juga menyatakan perbandingan dari sebagian dengan keseluruhan atau

keseluruhan dengan sebagian. Pada Contoh 7.19(b) rasio cowok (sebagian) dengan anak-

anak (keseluruhan) adalah 2 : 5. Perhatikan bahwa rasio sebagian dengan keseluruhan, 2 : 5,

adalah konsep yang sama dengan pecahan dari anak-anak, yaitu cowok, dinamakan2

5.

Perbandingan dari semua anak-anak dengan cowok dapat dinyatakan dengan rasio

keseluruhan dengan sebagian yaitu 5 : 2, atau sebagai pecahan 5

2.

Pada Contoh 7.19(b), rasio cewek dengan cowok menyatakan hanya ukuran relatif

dari populasi dari cewek dan cowok di Smithville. Itu bisa 30 cewek dan 20 cowok, 300

cewek dan 200 cowok, atau beberapa pasangan bilangan lain dengan rasio yang

ekivalen/sama. Penting untuk dicatat bahwa rasio selalu menyatakan jumlah (banyak) relatif,

daripada mutlak. Pada beberapa penerapan, ini berguna untuk mengetahui rasio mana yang

menyatakan jumlah (banyak) yang relatif sama. Pertimbangkan contoh berikut.

Contoh 7.20

Di kelas 1, rasio dari cewek dengan cowok adalah 8 : 6. Di kelas 2, rasionya adalah 4 : 3.

Misalkan tiap kelas memiliki 28 murid. Apakah rasio-rasio tersebut menyatakan jumlah

(banyak) relatif yang sama?

Solusi. Perhatikan bahwa kelas-kelas dapat dikelompokkan dalam cara-cara berbeda (Gambar

7.11)

Kelas 1: GGGG GGGG GGGG GGGG

BBB BBB BBB BBB Rasio 8 : 6

Kelas 2: GGGG GGGG GGGG GGGG

BBB BBB BBB BBB Rasio 4 : 3

Gambar 7.11

Pengelompokan yang ditunjukkan di Gambar 7.11 tidak mengubah jumlah (banyak)

relatif dari cewek dengan cowok dalam kelompoknya. Kita katakan bahwa di kedua kelas ada

4 cewek untuk setiap 3 cowok. Karena itu kita katakan bahwa, sebagai pasangan terurut, rasio

4 : 3 dan 8 : 6 adalah ekivalen/sama, karena mereka menyatakan jumlah (banyak) relatif yang

sama. Mereka ekivalen dengan rasio 16 : 12.

Dari Contoh 7.20 seharusnya jelas bahwa rasio a : b dan ar : br, dimana r ≠ 0,

menyatakan jumlah (banyak) relatif yang sama. Dengan menggunakan argumen yang sama

dengan yang digunakan oleh pecahan, kita dapat menunjukkan bahwa rasio a : b dan c : d

15

menyatakan jumlah (banyak) relatif yang sama jika dan hanya jika ad = bc. Jadi kita

mempunyai definisi berikut.

Seperti pecahan, definisi ini dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa jika n adalah

suatu bilangan tak nol, maka an a

bn b , atau an : bn = a : b. Di persamaan

a c

b d , a dan d

disebut ekstrim, karena a dan d adalah di posisi ekstrim dari persamaan a : b = c : d,

sedangkan b dan c disebut means. Jadi kesamaan dari rasio menyatakan bahwa dua rasio

adalah sama jika dan hanya jika hasil kali means sama dengan hasil kali ekstrim.

Proporsi

Konsep dari proporsi berguna dalam menyelesaikan masalah yang memuat rasio.

Persamaan 10 5

12 6 adalah proporsi karena

10 5.2 5

12 6.2 6 . Dan juga, persamaan

14 22

21 33 adalah suatu contoh proporsi, karena 14.33 = 21.22. Secara umum,

a c

b d adalah

proporsi jika dan hanya jika ad = bc. Contoh berikut menunjukkan bagaimana proporsi

digunakan untuk menyelesaikan permasalahan sehari-hari.

Contoh 7.21

Sekolah Adam memesan 3 karton susu coklat untuk setiap 7 murid. Jika ada 581 murid di

sekolah, berapa banyak karton susu coklat yang harus dipesan?

Solusi. Buat proporsi menggunakan rasio dari karton dengan murid. Misalkan n adalah

banyak karton yang belum diketahui. Maka

3 ( ) ( )

7 ( ) 581 ( )

karton n karton

murid murid

Dengan menggunakan sifat perkalian-silang dari rasio, kita peroleh bahwa

3 × 581 = 7 × n

Jadi 3 581

2497

n

Sekolah harus memesan 249 karton susu coklat.

DEFINISI

Proporsi adalah suatu pernyataan bahwa dua rasio yang diketahui adalah sama.

DEFINISI

Kesamaan dari rasio

Misalkan a

b dan

c

d sebarang dua rasio. Maka

a c

b d

jika dan hanya jika ad = bc.

16

Di contoh 7.21, banyaknya karton susu dibandingkan dengan banyaknya murid. Rasio

memuat satuan berbeda ( di sini karton dengan murid) disebut rates. Rates digunakan secara

bersamaan seperti mil per galon, sen per ons, dan lainnya.

Ketika menyelesaikan proporsi seperti pada Contoh 7.21, penting untuk menyusun

rasio secara konsisten sesuai satuan yang berhubungan dengan jumlah (banyak). Pada solusi

kita, rasio 3 : 7 dan n : 581 menyatakan rasio dari karton susu coklat dengan murid di

sekolah. Proporsi berikut dapat juga digunakan.

3( ) 7( )

( ) 581( )

karton rasio murid rasio

n karton sekolah murid sekolah

Di sini pembilang menunjukkan rasio asli. (Perhatikan bahwa proporsi 3 581

7n tidak tepat

untuk menyatakan permasalahan, karena satuan pembilang dan penyebut tidak bersesuaian.)

Secara umum, proporsi berikut adalah ekivalen (dengan kata lain, mempunyai solusi

yang sama). Ini dapat dibuktikan dengan perkalian-silang.

a c a b b d c d

b d c d a c a b

Jadi ada beberapa kemungkinan proporsi yang tepat yang dapat diperoleh ketika

menyamakan rasio.

Refleksi dari Penelitian

Ketika ditanya untuk menyelesaikan macam-macam tugas rasio dan proporsi, murid

mengakui keperluan bilangan bukan bulat dan akan mengembangkan pemahaman dari

konsep perkalian di konsep penambahan rasio dan proporsi. (Lo & Watanabe, 1997)

Standar NCTM

Semua murid harus mengembangkan, menganalisis, dan menjelaskan metode untuk

menyelesaikan masalah yang memuat proporsi seperti penskalaan dan penemuan rasio

ekivalen.

Refleksi dari Penelitian

Murid kelas 6 “kelihatannya mampu meggeneralisasikan penghitungan yang mereka

tahu dengan baik, tetapi mereka mendapatkan kesulitan menggeneralisasi

penghitungan dengan sesuatu yang kurang familier bagi mereka. Di sisi lain, sekolah

menengah murid akan mendapatkan keuntungan dari pengalaman yang lebih banyak

dengan banyak macam situasi perkalian, termasuk keproporsionalan,variasi invers dan

perpangkatan” (Swafford & Langrall, 2000)

17

7.4 PERSEN

Harga grosir dari jaket yang ditandai naik 40% untuk mendapatkan harga eceran dan harga

eceran kemudian ditandai turun 40% untuk harga jual, apakah harga grosir dan harga jual

sama? Jika tidak, jelaskan mengapa tidak dan tentukan mana yang lebih besar.

Mengubah persen

Persen menyediakan jalan bersama dalam menyatakan pecahan. Kata “persen”

memiliki arti kata Latin yang berarti “per seratus”. Jadi 25 persen berarti 25 per seratus, 25

100,

atau 0.25. Simbol % diguunakan untuk menyatakan persen. Jadi 420% berarti 420

100, 4.20,

atau 420 per seratus. Umumnya, n% menyatakan rasio 100

n.

Karena persen adalah pernyataan alternatif dari pecahan dan desimal, penting untuk

bisa mengubah ke semua tiga bentuk tersebut, seperti pada Gambar 7.12. Karena kita telah

belajar mengubah pecahan ke desimal, dan sebaliknya, ada hanya 4 kasus pengubahan tersisa

untuk dipertimbangkan pada Gambar 7.12.

Gambar 7.12

Kasus 1: Persen ke Pecahan

Gunakan definisi dari persen. Contohnya, 63% = 63

100 dalam arti persen.

Kasus2: Persen ke Desimal

Karena kita tahu bagaimana mengubah pecahan ke desimal, kita dapat menggunakan

kemampuan ini untuk mengubah persen ke pecahan dan kemudian ke desimal. Contohnya,

63% = 63

100 = 0.63 dan 27% =

27

100 = 0.27. Dua contoh ini menyarankan ke jalan pintas

berikut, dengan menghilangkan pengubahan ke pecahan. Dengan kata lain, untuk mengubah

persen secara langsung ke desimal, “hilangkan simbol % dan pindahkan titik desimal dua

tempat ke kiri”. Jadi 31% = 0.31, 213% = 2.31, 0.5% = 0.005, dan lainnya.

Pecahan

Persen Desimal berulang

Standar NCTM

Semua murid harus mengenal dan membangun bentuk ekivalen dari penggunaan

pecahan, desimal, dan persen secara bersamaan.

18

Kasus 3: Desimal ke Persen

Disini kita hanya membalik jalan pintas di kasus 2. Contohnya, 0.83 = 83%, 5.1 = 510%, dan

0.0001 = 0.01% dimana persen diperoleh dari desimal dengan “memindah titik desimal dua

tempat ke kanan dan menulis simbol % di sebelah kanan”.

Kasus 4: Pecahan ke Persen

Beberapa pecahan yang memiliki desimal terakhir dapat diubah ke persen dengan menuliskan

pecahan dengan penyebut 100. Contohnya, 17

100 = 17%,

2

5 =

40

100 = 40%,

3

25 =

12

100 =

12%, dan lainnya. Juga, pecahan dapat diubah ke desimal (menggunakan kalkutator atau

pembagian panjang), dan kemudian kasus 3 dapat diterapkan.

Mental Matematika dan Penghitungan Menggunakan Ekivalensi Pecahan

Karena banyak penggunaan persen secara bersamaan mempunyai ekivalensi pecahan

yang baik sekali, hal ini sering lebih mudah untuk menemukan persen dari suatu bilangan

secara mental, menggunakan pecahan. Dan juga, seperti kasus dengan proporsi, persentase

dari bilangan dapat dihitung dengan memilih pecahan yang cocok.

Contoh 7.27

Temukan persen berikut secara mental, gunakan ekuivalensi pecahan.

Solusi

Menyelesaikan Masalah Persen

Pertanyaan berikut menggambarkan 3 tipe berbeda dari masalah yang memuat persen.

1. Suatu mobil dibeli seharga $13,000 dengan uang muka 20%. Berapa uang mukanya?

Refleksi dari Penelitian

Murid yang bekerja pada masalah desimal yang diberikan secara familier, konteks

setiap hari meningkatkan pengetahuan mereka lebih signifikan daripada yang bekerja

pada masalah non-kontekstual. (Irwin,2001)

Standar NCTM

Semua murid harus bekerja fleksibel dengan pecahan, desimal, dan persen untuk

menyelesaikan masalah..

19

2. Seratus enam puluh dua senior, 90% dari kelas senior, akan mengikuti perjalanan kelas.

Berapa banyak senior di sana?

3. Susan mendapat skor 48 poin dari tes 60 poin. Berapa persen jawabannya yang tepat?

Ada 3 pendekatan untuk menyelesaikan masalah persen seperti 3 masalah terdahulu.

Yang pertama dari 3 pendekatan adalah pendekatan petak dan menyandarkan pada petak 10 ×

10 yang diperkenalkan pada awal bagian ini. Pendekatan ini lebih konkrit dan bertujuan

untuk memahamkan konsep dasar dari persen. Pendekatan bersama yang lain, proporsi dan

persamaan, lebih kuat dan dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah berjangkauan luas.

Pendekatan Petak

Karena persen berarti per seratus, menyelesaikan masalah untuk menemukan persen yang

hilang dapat divisualisasikan dengan penggunaan petak 10 × 10 yang diperkenalkan pada

awal bagian ini.

Contoh 7.29

Jawab 3 masalah sebelumnya dengan pendekatan petak.

Solusi

1. Suatu mobil dibeli seharga $13,000 dengan uang muka 20%. Berapa uang mukanya?

Misalkan petak pada Gambar 7.14 menyatakan total harga mobil, atau $13,000. Karena

uang mukanya adalah 20%, bayangi 20 dari 100 persegi. Solusi dapat ditemukan dengan

alasan bahwa 100 persegi menyatakan $13,000, maka 1 persegi menyatakan 13,000/100

= $130 dan oleh karena itu 20 persegi menyatakan uang muka 20 × $130 = $2600.

Gambar 7.14

2. Seratus enam puluh dua senior, 90% dari kelas senior, akan mengikuti perjalanan kelas.

Berapa banyak senior di sana?

Misalkan petak pada Gambar 7.15 menyatakan total ukuran kelas. Karena 90% dari

murid akan pergi ke perjalanan kelas, bayangi 90 dari 100 persegi. Alasan yang

digunakan untuk menyeesaikan masalah ini adalah bahwa karena 90 persegi menyatakan

162 murid, maka 1 persegi menyatakan 162/90 = 1.8 murid. Jadi 100 persegi, banyak

keseluruhan, adalah 100 × 1.8 = 180 murid.

Gambar 7.15

3. Susan mendapat skor 48 poin dari tes 60 poin. Berapa persen jawabannya yang tepat?

20

Misalkan petak pada gambar 7.16 menyatakan semua 60 poin pada tes. Dalam kasus ini,

persen tidak deketahui, jadi penentuan berapa banyak persegi yang harus dibayangi

untuk menyatakan skor Susan dari 58 poin menjadi fokus masalahnya. Alasan dengan

petak, itu dapat dilihat bahwa karena 100 persegi menyatakan 60 poin, maka 1 persegi

menyatakan 0.6 poin. Jadi 10 persegi adalah 6 poin dan 80 persegi adalah skor Susan 6 ×

8 = 48 poin. Jadi dia mendapatkan 80% jawaban tepat.

Gambar 7.16

Pendekatan Proporsi

Karena persen dapat dituliskan sebagai rasio, masalah penyelesaian persen mungkin bisa

selesai menggunakan proporsi. Untuk masalah yang memuat persen antara 0 dan 100,

mungkin dapat terbantu untuk berpikir suatu indikator bahan bakar dari kosong (0%) sampai

penuh (100%) (Gambar 7.17)

Gambar 7.17

Contoh 7.30

Jawab 3 masalah sebelumnya dengan pendekatan proporsi.

Solusi

1. Suatu mobil dibeli seharga $13,000 dengan uang muka 20%. Berapa uang mukanya

(Gambar 7.18)?

Gambar 7.18

2. Seratus enam puluh dua senior, 90% dari kelas senior, akan mengikuti perjalanan kelas.

Berapa banyak senior di sana (Gambar 7.19)?

Jadi 20

13,000 100

x , atau

13,000$2600.

5x

21

Gambar 7.19

3. Susan mendapat skor 48 poin dari tes 60 poin. Berapa persen jawabannya yang tepat

(Gambar 7.20)?

Gambar 7.20

Pendekatan Persamaan

Suatu persamaan dapat digunakan untuk menyatakan masing-masing masalah di Contoh 7.30

sebagai berikut:

1. 20% . 13,000 = x

2. 90% . x = 162

3. x% . 60 = 48

Faktanya, banyak masalah persen dapat diselesaikan dengan mudah dengan menyatakan

masalah dalam suatu persamaan dari salah satu dari ketiga bentuk sebelumnya dan kemudian

menyelesaikan persamaannya.

Jadi 162 90

100x , atau

10162 180.

9x

Jadi 48

60 100

x , atau

4100. 80.

5x

Perhatikan bagaimana (1), (2), dan (3) membawa ke perumuman berikut:

100

Sebagian persen

Keseluruhan