Belajar Teori FibonacciLeonardo Fibonacci lahir sekitar tahun 1170 dari seorang pedagan Italia kaya bernama Guglielmo fibonacci. Sebagai seorang anak muda, Fibonacci sangat menggemari bidang matematika dan berhitung. Dia belajar tengtang sistem angka Hindu dan Arab, dimana dia mendapat bahwa sistem tersebut lebih sederhana bila dibandingkan sistem Romawi, serta lebih mudah dalam penghitungan. Dan pada usianya yg ke 32 tahun 1202 dia mulai memperkenalkan sistem Angka(hindu-arab) ke dataran Eropa. Fibonacci juga memperkenalkan sistem aritmatika yang masih kita gunakan sampai sekarang ini, yaitu dasar 10 digit, kosong, koma, decimal dan pecahan. Dan masih banyak lagi model-model hitungan dan persamaan matematika yang ditemukan oleh fibonacci. Diantaranya yg kemudian paling dikenal adalah apa yang disebut dengan deret atau urutan fibonacci. Deret fibonacci muncul dengan rangkaian: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 ... Rangkaian angka ini diperoleh dengan dimulai angka 1 diikuti oleh 2 dan kemudian menambahkan 1 + 2 untuk mendapatkan 3. Kemudian, penambahan 2 + 3 untuk mendapatkan 5, dan seterusnya. Hal yang menarik adalah apabila anda menghitung rasio setelah beberapa angka pertama maka akan selalu didapatkan nilai decimal .618 Contoh: 55 / 34 = .6176 Contoh: 144/89 = .6179 Hal yang menarik berikutnya contoh: 34/ (1+ 1+ 2+ 3+ 5+ 8+13+ 21+34) = .38 contoh: 89/ (1+ 1+ 2+ 3+ 5+ 8+13+ 21+34+55+89) = .38 Dari deret yang ditemukan oleh fibonacci ini secara tidak sengaja muncul secara nyata di alam, disadari atau tidak apabila kita menghitung cabang dari sebuah pohon maka akan didapat angka-angka fibonacci, demikian pula pada jumlah kelopak suatu bunga, seperti contoh bunga aster(rata-rata memiliki 34 atau 35 kelopak, bahkan ada yg sampai 89). Dalam matematik, bilangan Fibonacci adalah suatu langkah bilangan dinamakan selepas Leonardo of Pisa, digelar sebagai Fibonacci. Buku 1202 Liber Abaci Fibonacci memperkenalkan urutannya ke matematik Eropah Barat, walaupun urutannya telah terdahulu dijelaskan pada matematik India.[2][3] Dalam matematik , nombor Fibonacci atau Fibonacci siri turutan atau Fibonacci adalah nombor dalam Jujukan integer yang berikut : (Urutan A000045 di OEIS ). Mengikut definisi, dua nombor pertama dalam jujukan Fibonacci adalah 0 dan 1, dan setiap nombor berikutnya ialah sebanyak dua sebelumnya. Dari segi matematik, jujukan F n nombor Fibonacci ditakrifkan oleh hubungan jadi semula dengan nilai-nilai benih [1] Jujukan Fibonacci dinamakan selepas Leonardo Pisa , yang dikenali sebagai Fibonacci. 1202 Fibonacci, buku Liber Abaci memperkenalkan turutan kepada matematik Eropah Barat, [2] walaupun urutan yang telah telah dihuraikan lebih awal dalam matematik India . [3] [4] [5] (Mengikut konvensyen moden, urutan yang bermula dengan F 0 = 0. Abaci Liber memulakan turutan dengan F 1 = 1, tidak 0 awal, dan urutan ini masih menulis cara ini oleh sesetengah orang.)

Nombor Fibonacci adalah berkait rapat dengan nombor Lucas bahawa mereka adalah sepasang pelengkap jujukan Lucas . Mereka berkait rapat dengan nisbah emas , sebagai contoh penghampiran terdekat rasional kepada nisbah 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, ... . Aplikasi termasuk algoritma komputer seperti teknik carian Fibonacci dan timbunan Fibonacci data struktur, dan graf yang dipanggil Fibonacci ketul digunakan untuk sistem bersambung selari dan teragih. Mereka juga muncul dalam persekitaran biologi, [6] seperti cawangan dalam pokok-pokok, susunan daun pada batang , spouts buah nanas 1 , [7] yang berbunga articok , 1 uncurling pakis dan susunan kon pain . 8]Nombor urutan pertama adalah 0, nombor kedua adalah 1, dan setiap nombor subsequent bersamaan dengan jumlah dua nombor yang terdahulu pada urutannya sendiri. Dalam istilah matematik, ia ditakrifkan dengan recurrence relation yang berikut:

Iaitu, selepas dua nilai bermula, setiap nombow adalah jumlah dua nombor yang terdahulu. Bilangan Fibonacci pertama Templat:OEIS, juga ditandakan sebagai Fn, untuk n = 0, 1, 2, ,20 adalah:[4][5] F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F15 F16 F17 F18 F19 F20 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 Setiap nombor ke-3 urutan adalah sama rata dan lebih umumnya, setiap nombor ke-k pada urutan adalah suatu perdaraban Fk.

Urutannya extended ke indeks negatif n memuaskan Fn = Fn1 + Fn2 untuk semua integer n, dan Fn = (1)n+1Fn: .., 8, 5, 3, 2, 1, 1, diikuti oleh urutan di atas.

Suatu ubinan dengan segi empat yang tepinya adalah bilangan Fibonaci berturut-turut pada panjangnya Bilangan Fibonacci Dari Wikipedia Bahasa Melayu, ensiklopedia bebas Lompat ke: pandu arah , gelintar

Memasang jubin dengan kawasan yang pihak berturut-turut nombor Fibonacci panjang

Lingkaran Fibonacci yang diwujudkan dengan melukis arka pekeliling menghubungkan sudut bertentangan segiempat di memasang jubin Fibonacci; yang satu ini menggunakan dua saiz 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, dan 34. Lihat lingkaran emas . Dalam matematik , nombor Fibonacci atau Fibonacci siri turutan atau Fibonacci adalah nombor dalam Jujukan integer yang berikut : (Urutan A000045 di OEIS ). Mengikut definisi, dua nombor pertama dalam jujukan Fibonacci adalah 0 dan 1, dan setiap nombor berikutnya ialah sebanyak dua sebelumnya. Dari segi matematik, jujukan F n nombor Fibonacci ditakrifkan oleh hubungan jadi semula dengan nilai-nilai benih [1] Jujukan Fibonacci dinamakan selepas Leonardo Pisa , yang dikenali sebagai Fibonacci. 1202 Fibonacci, buku Liber Abaci memperkenalkan turutan kepada matematik Eropah Barat, [2] walaupun urutan yang telah telah dihuraikan lebih awal dalam matematik India . [3] [4] [5] (Mengikut konvensyen moden, urutan yang bermula dengan F 0 = 0. Abaci Liber memulakan turutan dengan F 1 = 1, tidak 0 awal, dan urutan ini masih menulis cara ini oleh sesetengah orang.) Nombor Fibonacci adalah berkait rapat dengan nombor Lucas bahawa mereka adalah sepasang pelengkap jujukan Lucas . Mereka berkait rapat dengan nisbah emas , sebagai contoh penghampiran terdekat rasional kepada nisbah 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, ... . Aplikasi termasuk algoritma komputer seperti teknik carian Fibonacci dan timbunan Fibonacci data struktur, dan graf yang dipanggil Fibonacci ketul digunakan untuk sistem bersambung selari dan teragih. Mereka juga muncul dalam persekitaran biologi, [6] seperti cawangan dalam pokok-pokok, susunan daun pada batang , spouts buah nanas 1 , [7] yang berbunga articok , 1 uncurling pakis dan susunan kon pain . 8] Asal-usul Jujukan Fibonacci muncul dalam matematik India , berkaitan dengan prosodi bahasa Sanskrit . [4] [9] Dalam tradisi Sanskrit lisan, terdapat penekanan pada berapa lama (L) suku kata campuran dengan ringkas (S), dan mengira corak yang berbeza L dan S dalam tempoh yang diberikan keputusan panjang tetap di nombor Fibonacci bilangan corak yang m suku kata pendek lama adalah bilangan Fibonacci F m + 1. [5] Susantha Goonatilake menulis bahawa pembangunan jujukan Fibonacci "adalah disebabkan sebahagian Pingala (200 SM), yang kemudiannya dikaitkan dengan Virahanka (sekitar 700 Masihi), Gopla (sekitar 1135), dan Hemachandra (sekitar 1150) ". [3] Parmanand Singh memetik formula samar Pingala misrau cha ("dua dicampurkan") dan menyebutkan ulama yang mentafsir dalam konteks sebagai berkata bahawa kes rentak untuk m (F m +1) diperolehi dengan menambah 1 [S] untuk kes m F dan [L] F m -1 kes. Beliau tarikh Pingala sebelum 450 SM. [10]

Walau bagaimanapun, penjelasan paling jelas siri timbul dalam kerja Virahanka (sekitar 700 Masihi), yang bekerja sendiri itu telah hilang, tetapi terdapat dalam sebut harga oleh Gopala (sekitar 1135): Variasi dua meter awal [perubahan] ... Sebagai contoh, untuk [meter panjang] empat, variasi meter dua [dan] 3 kerana campuran, 5 berlaku. [Kerja-kerja contoh 8, 13, 21] ... Dengan cara ini, proses perlu diikuti dalam semua Matra-vr.ttas (kombinasi prosodic). [11] Siri ini juga dibincangkan oleh Gopala (sebelum 1135 Masihi) dan oleh Jain ulama Hemachandra (sekitar 1150). Di Barat, jujukan Fibonacci pertama muncul dalam buku Liber Abaci (1202) oleh Leonardo Pisa, yang dikenali sebagai Fibonacci . [2] Fibonacci menganggap pertumbuhan arnab penduduk unggul (biologi tidak realistik) , dengan mengandaikan bahawa: sepasang baru lahir arnab, satu lelaki, satu wanita, dimasukkan ke dalam sebuah padang, arnab mampu untuk mengawan pada usia satu bulan supaya pada akhir bulan kedua perempuan boleh menghasilkan satu lagi sepasang arnab, arnab tidak pernah mati dan perkahwinan pasangan sentiasa menghasilkan satu pasangan baru (seorang lelaki, seorang wanita) setiap bulan dari bulan kedua. Teka-teki yang Fibonacci yang ditimbulkan ialah: berapa ramai pasangan akan ada dalam satu tahun? Pada akhir bulan pertama, mereka mengawan, tetapi masih terdapat 1 pasang sahaja. Pada akhir bulan kedua betina menghasilkan sepasang baru, jadi sekarang ada 2 pasang arnab dalam bidang. Pada akhir bulan ketiga, perempuan asal menghasilkan sepasang kedua, membuat 3 pasang dalam semua bidang. Pada akhir bulan keempat, perempuan asal telah menghasilkan satu lagi pasangan yang baru, wanita yang lahir dua bulan lalu menghasilkan pasangan itu juga, membuat 5 pasang. Pada akhir bulan ke-n, bilangan pasangan arnab adalah bersamaan dengan bilangan pasangan baru dan (yang merupakan bilangan pasangan dalam n bulan - 2) ditambah dengan bilangan pasangan hidup bulan lepas (n - 1). Ini adalah nombor Fibonacci n th. [12] Nama "Fibonacci turutan" pertama kali digunakan oleh beberapa ahli teori abad ke-19 douard Lucas . [13] [ sunting ] Senarai nombor Fibonacci 21 nombor Fibonacci yang pertama F n untuk n = 0, 1, 2, ..., 20 adalah: [14] F 0 F 1 F 2 F 3 F 4 F 5 F 6 F 7 F 8 F 9 F 10 F 11 F 12 F 13 F 14 F 15 F 16 F 17 F 18 F 19 F 20 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 Urutan juga boleh diperluaskan kepada indeks negatif n menggunakan hubungan berulang diatur semula yang menghasilkan urutan "negafibonacci" nombor-nombor [15] memuaskan Oleh itu, urutan dwiarah F -8 F -7 F -6 F -5 F -4 F -3 F -2 F -1 F 0 F 1 F 2 F 3 F 4 F 5 F 6 F 7 F 8 -21 13 -8 5 -3 2 -1 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 [ sunting ] Kemunculan dalam matematik

Nombor Fibonacci adalah jumlah pepenjuru "cetek" (ditunjukkan dalam merah) segitiga Pascal . Nombor Fibonacci berlaku dalam jumlah pepenjuru "cetek" dalam segitiga Pascal (lihat pekali Binomial ). [16] Nombor Fibonacci boleh didapati dengan cara yang berbeza dalam turutan binari rentetan . Bilangan rentetan perduaan panjang n tanpa 1s berturut-turut ialah nombor Fibonacci F n 2. Sebagai contoh, daripada 16 rentetan perduaan 4 panjang, terdapat F 6 = 8 tanpa 1s berturut-turut - 0000, 0100, 0010, 0001, 0101, 1000, 1010 dan 1001. Oleh simetri, bilangan tali panjang n tanpa 0s berturut-turut juga F n 2. Bilangan rentetan perduaan panjang n tanpa bilangan ganjil 1s berturut-turut ialah nombor Fibonacci F n +1. Sebagai contoh, daripada 16 rentetan perduaan 4 panjang, terdapat F 5 = 5 tanpa bilangan ganjil 1s berturut-turut 0000, 0011, 0110, 1100, 1111. Bilangan rentetan perduaan panjang n tanpa nombor genap 0s atau 1s berturut-turut ialah 2 F n. Sebagai contoh, daripada 16 rentetan perduaan 4 panjang, terdapat 2 F 4 = 6 tanpa nombor genap 0s berturut-turut atau 1s - mereka ialah 0001, 1000, 1110, 0111, 0101, 1010. [ sunting ] Hubungan nisbah emas [ sunting ] Ditutup-bentuk ungkapan Seperti urutan setiap ditakrifkan oleh berulangnya linear dengan pekali malar , nombor Fibonacci mempunyai penyelesaian bentuk tertutup . Ia telah menjadi dikenali sebagai Binet formula ', walaupun ia sudah dikenali oleh Abraham de Moivre : [17]

di mana

nisbah keemasan (urutan A001622 dalam OEIS ), dan

[18]

Untuk melihat ini,

[19]

nota bahawa dan adalah kedua-dua penyelesaian persamaan

jadi kuasa dan memuaskan rekursi Fibonacci. Dalam erti kata lain dan Ia mengikuti bahawa bagi apa-apa nilai a dan b, turutan yang ditakrifkan oleh memuaskan hati berulang yang sama Jika a dan b dipilih bahawa U 0 = 0 dan U 1 = 1 maka urutan mengakibatkan U n mestilah jujukan Fibonacci. Ini adalah sama seperti yang memerlukan a dan b memenuhi sistem persamaan:

yang mempunyai penyelesaian

menghasilkan formula yang diperlukan. [ sunting ] Pengiraan oleh penghampiran angka. Sejak

untuk semua n 0, bilangan F n adalah integer terdekat

Oleh itu ia boleh dijumpai oleh penghampiran angka , atau dari segi fungsi lantai :

Begitu juga, jika kita sudah tahu bahawa nombor F> 1 adalah nombor Fibonacci, kita boleh menentukan indeks dalam urutan itu oleh

[ sunting ] Had hasil bahagi berturut-turut Johannes Kepler diperhatikan bahawa nisbah nombor Fibonacci menumpu berturut-turut. Beliau menulis bahawa "sebagai 5 hingga 8 adalah 8 hingga 13, praktikal, dan sebagai 8 hingga 13, jadi adalah 13 hingga 21 hampir", dan membuat kesimpulan [20] bahawa had menghampiri nisbah keemasan

Penumpuan ini tidak bergantung kepada nilai permulaan yang dipilih, tidak termasuk 0, 0. Sebagai contoh, nilai awal 19 dan 31 menjana turutan 19, 31, 50, 81, 131, 212, 343, 555 ... dan sebagainya. nisbah penggal berturut-turut dalam turutan ini menunjukkan penumpuan yang sama ke arah nisbah keemasan. Malah ini memegang bagi mana-mana urutan yang memuaskan hati berulang Fibonacci selain daripada urutan 0-an. Ini boleh diperolehi daripada formula Binet .

[ sunting ] penguraian kuasa nisbah emas Sejak nisbah keemasan memuaskan persamaan

ungkapan ini boleh digunakan untuk mengurai kuasa yang lebih tinggi sebagai fungsi linear kuasa yang lebih rendah, yang kemudiannya boleh reput semua cara kepada gabungan linear dan 1. Yang menyebabkan hubungan berulang menghasilkan nombor Fibonacci sebagai pekali lelurus: Persamaan ini boleh dibuktikan secara aruhan Ungkapan ini adalah juga benar bagi . jika jujukan Fibonacci diperluaskan kepada integer negatif

menggunakan kaedah Fibonacci Matrix bentuk Sistem 2-dimensi linear persamaan beza yang menggambarkan jujukan Fibonacci

Nilai eigen matriks A adalah

dan

, Dan unsur-unsur vektor eigen A,

dan

, Dalam nisbah

dan

Menggunakan fakta-fakta ini, dan sifat-sifat nilai eigen, kita boleh terbitkan formula langsung untuk elemen n dalam siri Fibonacci:

Matriks mempunyai penentu -1, dan oleh itu ia adalah 2 2 matriks unimodular . Harta ini boleh difahami dari segi perwakilan pecahan berterusan untuk nisbah emas:

Nombor Fibonacci berlaku sebagai nisbah convergents berturut-pecahan yang berterusan bagi , Dan matriks yang terbentuk dari convergents berturut-turut mana-mana pecahan yang berterusan mempunyai penentu +1 atau -1. Perwakilan matriks memberikan berikut ungkapan tertutup untuk nombor Fibonacci:

Mengambil penentu kedua-dua belah persamaan ini menghasilkan identiti Cassini

Selain itu, sejak

untuk mana-mana matriks persegi A, identiti berikut boleh diperolehi:

Khususnya, dengan

,

Menyedari nombor Fibonacci Soalan itu mungkin timbul sama ada suatu integer positif z adalah nombor Fibonacci. Sejak , Yang paling berterus terang, kejam dan kasar tenaga ujian identiti ialah integer terdekat

yang adalah benar jika dan hanya jika z adalah bilangan Fibonacci. Dalam formula ini, boleh dikira dengan cepat menggunakan mana-mana ungkapan ditutup-borang sebelum ini dibincangkan. Satu implikasi ungkapan di atas adalah ini: jika ia diketahui bahawa nombor z adalah bilangan Fibonacci, kita boleh menentukan n F (n) = z oleh yang berikut:

Sebagai alternatif, sebuah integer positif z adalah bilangan Fibonacci jika dan hanya jika salah satu daripada atau kuasa dua sempurna . [21] Ujian yang lebih canggih menggunakan fakta bahawa convergents pecahan berterusan perwakilan Fibonacci berturut-turut. Iaitu, ketaksamaan adalah nisbah nombor

(Dengan coprime integer positif p, q) adalah benar jika dan hanya jika p dan q adalah berturut-turut nombor Fibonacci. Dari ini berasal kriteria yang z adalah bilangan Fibonacci jika dan hanya jika selang tertutup

mengandungi integer positif. [22] Untuk , Ia adalah mudah untuk menunjukkan bahawa selang ini mengandungi paling banyak satu integer, dan sekiranya bahawa z adalah bilangan Fibonacci, integer yang terkandung adalah sama dengan nombor Fibonacci datang berturut-turut selepas z. Agak luar biasa, keputusan ini masih memegang bagi kes , Tetapi ia mesti dinyatakan dengan teliti sejak muncul dua kali dalam jujukan Fibonacci, dan dengan itu mempunyai dua pengganti yang berbeza. [ sunting ] Tanda tolak identiti Kebanyakan identiti yang melibatkan nombor Fibonacci boleh dibuktikan dengan menggunakan hujah-hujah kombinatorik menggunakan fakta bahawa F n boleh ditafsirkan sebagai bilangan urutan 1s 2s bahawa jumlah n - 1. Ini boleh diambil ini sebagai takrif F n, dengan konvensyen itu bahawa F 0 = 0, bermakna jumlah tidak akan menambah sehingga -1, dan F 1 = 1, bermakna jumlah yang kosong akan "add" kepada 0. Di sini perintah perkara summand. Sebagai contoh, 1 + 2 dan 2 + 1 dianggap dua jumlah wang yang berbeza. Sebagai contoh, hubungan jadi semula atau dalam perkataan, nombor Fibonacci ke-n adalah jumlah dua nombor Fibonacci sebelumnya, boleh ditunjukkan dengan membahagikan F (n) jumlah wang yang 1s dan 2s yang menambah kepada n -1 ke dua bukan bertindih kumpulan. Satu kumpulan mengandungi orang-orang jumlah wang yang berjangka pertama ialah 1 dan yang lain orang-orang jumlah wang yang berjangka pertama ialah 2. Dalam kumpulan yang pertama terma selebihnya menambah n -2, jadi ia mempunyai F (n 1) jumlah wang, dan dalam kumpulan kedua baki terma menambah n -3, jadi terdapat F (n -2) jumlah wang. Jadi, terdapat sejumlah F (n - 1) + F (n -2) jumlah wang yang sama sekali, menunjukkan ini adalah sama dengan F (n). Begitu juga, ia boleh menunjukkan bahawa jumlah nombor Fibonacci yang pertama sehingga ke-n adalah sama dengan n 2 Fibonacci bilangan nd tolak 1. [23] Dalam simbol:

Ini dilakukan dengan membahagikan jumlah wang yang menambah n +1 dalam cara yang berbeza, kali ini oleh lokasi daripada 2. Khusus, kumpulan pertama terdiri daripada jumlah wang yang bermula dengan 2, kumpulan kedua mereka yang bermula 1 +2, ketiga 1 +1 +2, dan sebagainya, sehingga kumpulan terakhir yang terdiri daripada jumlah yang tunggal di mana hanya 1 ini adalah digunakan. Bilangan jumlah dalam kumpulan pertama F (n), F (n -1) dalam kumpulan kedua, dan sebagainya, dengan 1 jumlah wang dalam kumpulan terakhir. Jadi jumlah jumlah wang F (n) + F (n - 1) + ... + F (1) 1 dan oleh itu kuantiti ini adalah sama dengan F (n + 2) Hujah yang sama, kumpulan wang oleh kedudukan 1 dahulu berbanding tempoh 2 bulan pertama, memberikan dua lagi identiti:

dan

Dalam erti kata, jumlah nombor Fibonacci pertama dengan indeks ganjil sehingga F 2 n -1 adalah (2n) th Fibonacci bilangan dan jumlah nombor Fibonacci yang pertama dengan indeks walaupun sehingga F 2 n yang 2n (+ 1) th Fibonacci nombor tolak 1. [24] Helah yang berlainan boleh digunakan untuk membuktikan

atau dalam perkataan, jumlah kuasa dua nombor Fibonacci yang pertama sehingga F n adalah produk ke-n (n + 1) ke nombor Fibonacci. Dalam nota kes ini bahawa segiempat tepat saiz F n Fibonacci oleh F (n + 1) boleh dihuraikan kepada kuasa dua sizea F n, F n - 1, dan sebagainya F 1 = 1, dari mana identiti berikut dengan membandingkan kawasan . [ sunting ] identiti Lain-lain Terdapat pelbagai identiti lain yang boleh diperolehi dengan menggunakan pelbagai kaedah. Antara yang paling perlu diberi perhatian ialah: [25] (Identiti Catalan) (Identiti Cassini) (D'Ocagne's identiti) di mana L n hb n ' Bilangan Lucas . Terakhir adalah identiti untuk menggandakan n; identiti lain jenis ini adalah oleh identiti Cassini.

Ini boleh ujikaji, didapati menggunakan pengurangan kekisi , dan berguna dalam menubuhkan medan nombor penapis khas untuk Pendarab nombor Fibonacci. [ perlu petikan ] Lebih umum, [25]

yang mana satu kes khas Menggandakan identiti jenis ini boleh digunakan untuk mengira F n menggunakan O (log n) operasi pendaraban panjang bersaiz n bit. [ rujukan? ] Bilangan bit ketepatan yang diperlukan untuk melaksanakan pendaraban setiap dua kali ganda pada setiap langkah, jadi prestasi terhad oleh pendaraban akhir; jika algoritma cepat Schnhage-Strassen pendaraban digunakan, ini adalah O (n log n log operasi log n) sedikit [ perlu petikan ] [ sunting ] Kuasa siri Fungsi menjana jujukan Fibonacci adalah siri kuasa

Siri ini mempunyai penyelesaian yang mudah dan menarik bentuk tertutup untuk

: [26]

Penyelesaian ini boleh dibuktikan dengan menggunakan berulang Fibonacci untuk mengembangkan pekali setiap satu dalam jumlah yang tidak terhingga yang mendefinisikan :

Menyelesaikan persamaan tertutup.

bagi

keputusan dalam penyelesaian bentuk

Khususnya, matematik teka-teki-buku nota nilai yang ingin tahu

, [27] atau lebih umumnya

bagi semua integer Lebih umum,

.

[ sunting ] jumlah wang Bersaling Jumlah wang yang tidak terhingga ke atas salingan nombor Fibonacci kadang-kadang boleh dinilai dari segi fungsi theta . Sebagai contoh, kita boleh menulis jumlah setiap nombor ganjil-indexed Fibonacci salingan sebagai

dan jumlah kuasa dua nombor Fibonacci salingan

Jika kita tambah 1 kepada setiap nombor Fibonacci dalam jumlah yang pertama, terdapat juga bentuk tertutup

dan terdapat sejumlah nice bersarang nombor Fibonacci kuasa dua memberikan salingan nisbah emas ,

Keputusan seperti ini membuat ia masuk akal bahawa formula tertutup untuk jumlah fail yang mengandungi salingan nombor Fibonacci boleh didapati, tetapi tiada lagi dikenali. Walaupun itu, Fibonacci salingan malar

telah dibuktikan tidak rasional oleh Richard Andr-Jeannin . Millin siri memberikan identiti yang luar biasa: [28]

yang berikut dari bentuk tertutup untuk jumlah wang yang sebahagian sebagai N cenderung ke infiniti:

[ sunting ] Nombor perdana dan dibahagikan [ sunting ] dibahagikan hartanah Tiap-tiap nombor 3 daripada urutan itu walaupun dan lebih amnya, setiap bilangan ke-k daripada urutan itu yang dibahagikan F k. Oleh itu, jujukan Fibonacci adalah contoh urutan dibahagikan . Malah, jujukan Fibonacci memuaskan hati dibahagikan harta yang lebih kukuh [ sunting ] Fibonacci nombor perdana Rencana utama: Fibonacci Perdana Perdana Fibonacci adalah nombor Fibonacci yang perdana . Beberapa sahaja bangunan pertama adalah: 2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229, ... (urutan A005478 dalam OEIS ). Nombor perdana Fibonacci dengan beribu-ribu digit telah dijumpai, tetapi ia tidak diketahui sama ada tak terhingga banyaknya. [29] F kn boleh dibahagi oleh F n, jadi, selain dari F 4 = 3, mana-mana Perdana Fibonacci mesti mempunyai indeks utama. Kerana terdapat sewenang-wenangnya panjang larian nombor komposit , terdapat juga sewenang-wenangnya lama larian nombor Fibonacci komposit. Dengan pengecualian 1, 8 dan 144 (F 1 = F 2, F 6 dan F 12) setiap nombor Fibonacci mempunyai faktor perdana yang bukan merupakan faktor mana-mana nombor Fibonacci yang lebih kecil ( teorem Carmichael itu ). [30] 144 hanya nontrivial persegi Fibonacci bilangan. [31] Attila Peth dibuktikan [32] pada tahun 2001 bahawa terdapat hanya terhingga banyak sempurna kuasa nombor Fibonacci. Pada tahun 2006, Y. Bugeaud, M. Mignotte, dan Siksek S. membuktikan bahawa hanya 8 dan 144 bukan remeh kuasa sempurna. [33] Tiada nombor Fibonacci lebih besar daripada F 6 = 8 adalah salah satu yang lebih besar atau kurang satu daripada nombor perdana. [34] Berturut-turut Fibonacci mana-mana tiga nombor, diambil dua pada satu-satu masa, relatif perdana : iaitu, gcd (F n, F n +1) = gcd (F n, F n 2) = 1. Lebih umum, gcd (F n F m) = F gcd, (n, m). [35] [36] [ sunting ] pembahagi Perdana nombor Fibonacci Dibahagikan nombor Fibonacci oleh Perdana p berkaitan dengan simbol Legendre yang dinilai seperti berikut:

Jika p ialah nombor perdana, maka[37] [38]

Sebagai contoh,

Ia tidak diketahui sama ada wujud p utama itu bahawa ada) akan dipanggil nombor perdana Wall-Sun-Sun . Juga, jika p 5 ialah nombor perdana ganjil kemudian: [39]

. Nombor perdana itu (jika

Contoh kes:

Untuk n ganjil, semua pembahagi perdana ganjil F n 1 (mod 4), membayangkan bahawa semua pembahagi ganjil F n (sebagai produk pembahagi ganjil Perdana) 1 (mod 4). [40] Sebagai contoh, F 1 = 1, F 3 = 2, F 5 = 5, F 7 = 13, F 9 = 34 = 2 17, F 11 = 89, F 13 = 233, F 15 = 610 = 2 5 61 Semua faktor yang dikenali F nombor Fibonacci (i) untuk semua i 2. Mana-mana empat berturut-turut nombor Fibonacci F n, F n +1, F n 2 dan F n 3 juga boleh digunakan untuk menjana tiga Pythagoras dalam cara yang berbeza [43] : Contoh 1: biarkan nombor Fibonacci 1, 2, 3 dan 5. Kemudian:

[ sunting ] Besarnya Sejak asimptot kepada Akibatnya, bagi setiap integer , Bilangan digit dalam asimptot kepada sama ada terdapat 4 atau 5 nombor Fibonacci dengan digit perpuluhan d. .

Lebih umumnya, perwakilan b asas, bilangan digit asimptot kepada . [ sunting ] Aplikasi Nombor Fibonacci adalah penting dalam analisis pengiraan jangka masa algoritma Euclid untuk menentukan pembahagi terbesar sepunya dua integer: input kes terburuk bagi algoritma ini adalah sepasang nombor Fibonacci berturut-turut. [44] Yuri Matiyasevich dapat menunjukkan bahawa nombor Fibonacci boleh ditakrifkan oleh persamaan Diofantus , yang membawa kepada penyelesaian masalah kesepuluh Hilbert asalnya . Nombor Fibonacci adalah juga satu contoh sebuah urutan yang lengkap . Ini bermakna bahawa setiap integer positif boleh ditulis sebagai jumlah nombor Fibonacci, jika mana-mana nombor satu digunakan sekali paling banyak. Secara khusus, setiap integer positif boleh ditulis dengan cara yang unik sebagai jumlah wang sebanyak satu atau lebih nombor Fibonacci yang berbeza dalam apa-apa cara bahawa jumlah itu tidak termasuk mana-mana dua nombor Fibonacci berturut-turut. Ini dikenali sebagai teorem Zeckendorf , dan sejumlah nombor Fibonacci yang memenuhi syarat-syarat ini dipanggil perwakilan Zeckendorf. Perwakilan Zeckendorf nombor boleh digunakan untuk mendapatkan yang pengekodan Fibonacci . Nombor Fibonacci digunakan oleh beberapa penjana nombor separa . Nombor Fibonacci yang digunakan dalam versi polyphase jenis merge algoritma di mana senarai terisih yang terbahagi kepada dua senarai yang panjang sesuai untuk nombor Fibonacci yang berurutan dengan membahagikan senarai supaya kedua-dua bahagian ini mempunyai panjang dalam nisbah lebih kurang. Pelaksanaan pandu pita- jenis merge polyphase telah diterangkan dalam Seni Pengaturcaraan Komputer . Nombor Fibonacci timbul dalam analisis Fibonacci timbunan struktur data. Kiub Fibonacci adalah graf tak berarah dengan nombor Fibonacci nod yang telah dicadangkan sebagai topologi rangkaian bagi perkomputeran selari . Satu kaedah pengoptimuman satu dimensi, yang dikenali sebagai teknik carian Fibonacci menggunakan nombor Fibonacci.[45]

Siri nombor Fibonacci digunakan untuk pilihan mampatan lossy di IFF 8SVX format fail audio yang digunakan pada Amiga komputer. Nombor siri compands gelombang audio asal yang serupa dengan kaedah logaritma seperti undang-undang . [46][47]

Dalam muzik , nombor Fibonacci kadang-kadang digunakan untuk menentukan menyelaraskan, dan, seperti dalam seni visual, untuk menentukan panjang atau saiz kandungan atau unsur-unsur formal . Ia biasanya dianggap bahawa pergerakan ketiga Bla Bartk 's Muzik untuk Strings, Rebana, dan Celesta telah distrukturkan menggunakan nombor Fibonacci. Sejak faktor penukaran 1.609344 kilometer ke kilometer dekat dengan nisbah emas ( ditandakan), penguraian jarak dalam batu ke dalam jumlah nombor Fibonacci menjadi hampir jumlah kilometer apabila nombor Fibonacci digantikan oleh pengganti-pengganti mereka. Kaedah ini berjumlah 1 asal usul 2 nombor daftar mengikut asas nisbah keemasan yang akan dipindahkan. Untuk menukar dari kilometer ke batu, beralih daftar down jujukan Fibonacci sebaliknya. [48] Dalam alam

Chamomile kuning kepala menunjukkan susunan dalam 21 (biru) dan 13 (aqua) pilin. Apa-apa perkiraan yang melibatkan nombor Fibonacci berturut-turut kelihatan dalam pelbagai tumbuh-tumbuhan. Jujukan Fibonacci muncul dalam persekitaran biologi, [6] dalam dua nombor Fibonacci berturut-turut, seperti cawangan dalam pokok-pokok, susunan daun pada batang , Bilangan buah 1 nanas , [7 ] berbunga articok , yang pakis uncurling dan susunan kon pain . [8] Di samping itu, pelbagai lemah dari segi isi tuntutan nombor Fibonacci atau seksyen emas bersifat terdapat dalam sumber-sumber yang popular, contohnya, yang berhubungan dengan pembiakan arnab, biji bunga matahari, pilin kerang, dan lengkung gelombang. [49] nombor Fibonacci juga dijumpai dalam pokok keluarga MADU. [50] Przemyslaw Prusinkiewicz memajukan idea bahawa keadaan sebenar di bahagian boleh difahami sebagai ungkapan algebra kekangan tertentu kepada kumpulan-kumpulan bebas , khusus tertentu tatabahasa Lindenmayer . [51]

Ilustrasi model Vogel untuk n = 1 ... 500 Satu model bagi corak berbentuk bunga di kepala seorang bunga matahari telah dicadangkan oleh H. Vogel pada tahun 1979. [52] Ini mempunyai bentuk

di mana n adalah nombor indeks bunga kecil dan c adalah faktor bersisik malar; berbentuk bunga itu terletak pada lingkaran Fermat . Sudut kecapahan, kira-kira 137,51 , adalah sudut keemasan , membahagikan bulatan dalam nisbah emas. Kerana nisbah ini adalah tidak rasional, bunga kecil tidak mempunyai jiran yang tepat pada sudut yang sama dari pusat, jadi pek berbentuk bunga cekap. Kerana penghampiran rasional kepada nisbah emas adalah bentuk F (j): F (j + 1), jiran terdekat bilangan bunga kecil n mereka di n F (j) bagi j beberapa indeks yang bergantung pada r, kaki dari pusat. Ia sering berkata bahawa bunga matahari dan peraturan yang serupa mempunyai 55 pilin dalam satu arah dan 89 yang lain (atau beberapa pasangan lain nombor Fibonacci bersebelahan), tetapi ini adalah benar hanya satu pelbagai jejari, biasanya terluar dan itu yang paling mudah dilihat. [53] [ sunting ] keturunan kod lebah Nombor Fibonacci juga muncul dalam keterangan pembiakan penduduk MADU unggul, mengikut kaedah-kaedah yang berikut: Jika telur diletakkan oleh seorang perempuan unmated, hac seorang lelaki atau lebah berdengung . Walau bagaimanapun, jika telur disenyawakan oleh seorang lelaki, hac perempuan. Oleh itu, lebah lelaki akan sentiasa mempunyai seorang ibu atau bapa, dan lebah betina akan mempunyai dua. Jika salah satu kesan keturunan lebah mana-mana lelaki (1 lebah), dia mempunyai ibu bapa 1 (1 lebah), 2 datuk dan nenek, 3 besar-datuk dan nenek, 5 cicit datuk dan nenek, dan sebagainya. Jujukan nombor ibu bapa adalah jujukan Fibonacci. Bilangan nenek moyang di setiap peringkat, F n, bilangan nenek moyang wanita, yang merupakan F n -1, dicampurkan dengan nombor nenek moyang lelaki, yang merupakan F n -2. [54] (Ini adalah di bawah andaian tidak realistik bahawa nenek moyang di setiap peringkat sebaliknya yang tidak berkaitan.)