FUNGSI

A. RELASI

Definisi : diberikan himpunan pasangan terurut (x, y) dimana x A & y B maka

himpunaan (x,y)x A & y B dinamakan relasi dari x A ke y B dinotasikan

sebagai xRy

Himpunan A disebut domain (daerah asal)

Himpunan B disebut codomain (daerah kawan)

Himpunan bagian dari B yang mempunyai sifat xRy disebut range atau daerah hasil

(jelajah)

xRy artinya x tidak berelasi dengan y

Contoh 1 :

Diberikan suatu relasi R dari A ke B dengan A = (1,2 & B = a,b,c & R = (1,a), (1,b),

(1,c), (2,a), (2,b), (2,c) maka y suatu relasi 1Ra, 1Rb, 1Rc, 2Ra, 2Rb, dan 2Rc

A B

1 a

2 b

c

Contoh 2 :

Diberikan persamaan y = x2, persamaan ini menghubangkan suatu relasi R antara

bilangan real x dengan bilangan real y

Relasi R adalah R = (x,y)x R & y = x2

= (x,x2)x R

1

Dalam hal ini adalah bilangan real R, codomain juga bilangan real R sedangkan range

adalah y y R & y 0

B. FUNGSI

Kejadian khusus dari suatu relasi

Dalam aljabar digunakan istilah pemetaan

Dalam analisa digunakan istilah fungsi

Definisi : fungsi f dari A ke B ditulis f : A B dimaksud suatu aturan perkawanan yang

pada anggota A menentukan dengan tunggal satu kawan (anggota) dalam B.

Contoh :

Diambil A adalah himpunan lima dadu yaitu A =D1, D2, D3, D4, D5, sedangkan B

adalah himpunan bilangan mata dadu 1 s.d. 6. Jadi B = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Apabila kelima

dadu itu kita lemparkan bersama, maka lemparan ini merupakan suatu fungsi f dari A ke

B.

A B

D1 1

D2 2

D3 3

D4 4

D5 5

6

Himpunan 1, 4, 5, 6 yang merupakan bagian dari B disebut range (daerah hasil) dari

fungsi f.

Syarat fungsi :

- domain harus habis

- codomain tidak harus habis

- anggota domain mempunyai kawan tunnggal

2

Latihan :

Apakah diagram dibawah ini menunjukkan suatu fungsi ?

A B A B

1 1 a 4

2 3 b 8

3 9 c 16

4 18 d

e

Suatu fungsi f dari A ke B disajikan dengan tanda :, f : A B. Apabila a A, maka

kawannya (tunggal) di dalam B yang disajikan dengan tanda f (a), dan dikatakan bahwa a

dibawa ke f (a), dengan simbol : a f (a).

Adakalanya suatu fungsi f dapat juga disajikan dengan suatu rumus, misalnya domain

dan codomain adalah himpunan bilangan-bilangan riil : f : a f (a) = a2 adalah suatu

fungsi yang mengawankan bilangan riil anggota domain dengan bilangan riil kuadratnya

di dalam codomain

Domain Codomain

-2 0

-1 1

0 2

1 3

2 4

Sehingga diperoleh hasil : -2 anggota domain mempunyai kawan 4 dalam kodomain atau

f (-2) = 4, dst.

f : x y = f (x) = x2

jadi rumus y = x2 menentukan suatu fungsi

3

C. GRAFIK KUADRAT

Definisi : grafik fungsi y = f (x) adalah himpunan semua pasangan (x, f (x)) dalam sistem

koordinat dimana x anggota domain f (x)

Contoh :

f (x) = x2 yang didalam f pada interval (0, 2) maka grafiknya adalah

y

x y = x2 4 f (x) = x2

0 01/2 1/4 31 1 2 4 2. . . . 1. .

1 2 3 4 x

Beberapa fungsi dan model grafiknya:

1. Fungsi Linear

B.U : ax + by = c atau y = mx + n, m = gradien grafik fungsi tersebut.

Contoh :

Gambarlah grafik fungsi y = 2x + 4

Penyelesaian :

Titik potong dengan sumbu x y = 0

y = 2x + 4

0 = 2x + 4

x = -2 A (-2, 0)

Titik potong dengan sumbu y x = 0

y = 2x + 4 = 2 . 0 + 4 = 4 B (0, 4)

Gambar : y

4

4

x -2

2. Fungsi Kuadrat

B.U: Y = ax2 + bx + c

Grafik fungsi kuadrat ini mempunyai :

a. Sumbu simetri pada garis x = -

b. Puncak di P (- , ), dengan D = b2 – 4 ac

c. Apabila a > 0 maka grafik fungsi membuka ke atas

d. Apabila a < 0 maka grafik fungsi membuka ke bawah

e. Apabila ditinjau dari harga diskriminan (D), maka

a > 0 y = f (x) a > 0 y = f (x) a > 0 y = f (x)

D > 0 D = 0 D < 0

a < 0

a < 0 a < 0

D > 0 D = 0 D < 0 y = f (x) y = f (x) y = f (x)

Contoh :1. Grafik fungsi y = x2

y Sumbu simetri x = - = - = 0

5

Y = x2 Puncak di P (- , ) = (0, 0)

Sebab = = = 0

x

2. Grafik fungsi y = x2 –2x – 3

y Titik potong dengan sumbu x y = 0 x2 –2x – 3 = 0 (x + 1)(x – 3) = 0 x = -1 A (-1, 0) x = 3 B (3, 0)

Sumbu simetri di x = - = 1

Puncak P (- , ) = P (1, -4)

Latihan : 1. y = x2 + 2x + 3

2. y = 2x2 + 8x + 6

3. Fungsi Trigonometri

Dipelajari dalam mata kuliah trigonometri

4. Fungsi Komposisi

Definisi : fungsi komposisi yang dinyatakan oleh f.g didefinisi sebagai

(f.g) (x) = f g (x) dengan domain f.g adalah himpunan semua x sehingga g (x)

anggota domain f

g f

x g (x) f (g(x))

Contoh :

Diberikan fungsi f (x) = & g (x) = 2x – 3

Tentukan : a. f (x) apabila f (x) = (f.g) (x)

b. Domain f (x)

Penyelesaian :

6

a. f (x) = (f.g) (x) = f (g(x)) =

b. Domain dari g adalah (- , ) sedangkan domain f adalah (0, ) sehingga

domain dari f adalah himpunan semua bilangan real x 2x – 3 0 atau x

atau ( , )

Contoh :

Diberikan fungsi f (x) = & g (x) = x2 – 1

Tentukan : a. f.g

b. g.f

c. Domain untuk f.g & g.f

Penyelesaian :

a. (f.g) (x) = f (g(x)) = f (x2 –1) =

b. (g.f) (x) = g (f (x)) = ( )2 – 1 = x – 1

c. Domain dari f.g adalah himpunan semua bilangan real x x2 – 1 0 atau

(x - 1) (x + 1) 0

+ - + -1 1

yaitu himpunan (- , ) (1, ) atau sama dengan himpunan semua x

diluar (-1,1)

d. Domain (g.f) adalah himpunan semua x dalam domain f yaitu xx 0

5. Fungsi Tangga (Step Function)

Definisi : bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari x yaitu x = n, jika n x

< n + 1, dengan n bilangan bulat

Dari definisi di atas maka :

1 = 1 -3 = -3

1,2= 1 -4,8= -5

= 0 dst

Contoh :

a. Gambar grafik f (x) = x

b. Gambar grafik f (x) = x - x

7

6. Fungsi Invers

Definisi : fungsi f disebut fungsi matematika (one to one) apabila untuk setiap x1

x2 maka f (x1) f (x2)

Contoh :

a. Diberikan fungsi f (x) = x3 dengan x R

b. Diberikan fungsi f (x) = x2 dengan x R

Definisi : apabila f adalah fungsi satu-satu maka invers fungsi f yang diberi

simbol f-1, adalah fungsi berharga tunggal yang didefinisikan pada

rangenya f dan memenuhi fungsi komposisi :

F (f-1(x)) = x untuk setiap x pada rangenya f

Contoh :

a. Tentukan fungsi invers dari fungsi f (x) = x3

b. Tentukan fungsi invers dari y = 2x –4

c. Tentukan fungsi invers dari y = sin x pada - x

d. Tentukan fungsi invers dari f (x) =

8