FPB dan KPK

Konsep Habis Dibagi• Definisi:

Jika a suatu bilangan asli dan b suatu bilangan bulat, maka a membagi habis b (dinyatakan dengan a|b) jika dan hanya jika ada sebuah bilangan bulat c demikian sehingga b = ac.

• Jika a membagi b, maka dapat dikatakan bahwa :a pembagi ba faktor bb kelipatan ab habis dibagi a

Pemfaktoran prima

• Bilangan komposit dapat ditulis sebagai hasil kali semua pembaginya yang prima.

• Ada dua metode yang umum digunakan untuk menemukan semua faktor prima bilangan komposit.

Pemfaktoran prima (2) • Metode pertama adalah dengan melakukan

pembagian berulang dimulai dengan bilangan prima terkecil 2, dan diteruskan sampai semua faktor prima yang diperoleh terakhir tersebut

• Contoh:• Carilah faktor prima dari 180

180 = 2.9090 = 2.4545 = 3.1515 = 3.5

180 = 2.2.3.3.5

Pemfaktoran prima (3)

• Metode kedua adalah melakukan pemfaktoran bilangan ke dalam sebarang dua faktor yang dikenal dan kemudian memfaktorkan faktor- faktor tersebut:

• 180 = (15) (12) = (5.3)(4.3) = (5.3)(2.2.3)= 2.2.3.3.5

Selain kedua metode tersebut, ada cara lain yakni dengan menggunakan pohon faktor.

Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

• Definisi: Faktor persekutuan terbesar (disingkat FPB) dari dua bilangan bulat positif, p dan q, adalah bilangan bulat positip terbesar r demikian sehingga r|p dan r|q.

• Dari definisi di atas, jelas bahwa FPB dari dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat terbesar yang membagi keduanya. Hal ini dinotasikan sebagai berikut:

• r = FPB (p,q).

FPB (2)

• Cara Menentukan FPB1.Pemfaktoran2.Pemfaktoran Prima3.Algoritma Euclid

FPB (3)1. Pemfaktoran• Contoh dengan metode pemfaktoran, menentukan FPB

dari 84, 198, dan 210. • Kita tentukan masing-masing faktornya : • Factors of 84 : 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84

Faktor dari 198 : 1, 2, 3, 6, 9, 11, 18, 22, 33, 66, 99, 198 Factors of 210 : 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210

• Dari ketiga bilangan yang memiliki faktor yang sama yaitu 6. Sehingga FPB (84, 198, 210) = 6.

• FPB (84,198) = 6 • FPB (198,210) = 6• FPB (84, 210) = 42

FPB (4)2. Pemfaktoran Prima• Tulis bilangan-bilangan tersebut sebagai perkalian bilangan

prima, dan hasil perkalian bilangan prima yang merupakan faktor persekutuan kedua bilangan tersebut adalah FPB-nya.

• Faktorisasi prima dari, 270 = 2 x 33 x 5 504 = 23 x 32 x 7

• Dapat juga dinyatakan 270 = (2 x 32) x (3 x 5) 504 = (2 x 32) x (22 x 7)

• Sehingga (2 x 32) sebagai faktor persekutuan terbesar 270 dan 504.

• FPB (207, 504) = 18

FPB (5)3. Algoritma Euclid• Dengan cara seperti di atas tidak praktis jika bilangan yang akan

dicari FPB bilangan yang besar. • Dalam hal demikian diperlukan metode yang lebih praktis untuk

menemukan FPB-nya. Metode ini mendasarkan pada Algoritma Pembagian dengan berulang.

FPB (6)• Menurut Algoritma Pembagian,

bilangan bulat positip a dan b, a ≥ b selalu dapat ditulis sebagai :

a = bq + (r), dengan q bulat positif, r bilangan cacah, dan 0 ≤ r < b.

• Metode menemukan pembagi persekutuan terbesar dengan menggunakan Algoritma Pembagian tersebut dikenal sebagai Algoritma Euclides.

• Jadi, menurut Algoritma Euclides, jika a dan b bilangan-bilangan bulat positip dengan a ≥ b , dan r adalah sisa jika a dibagi oleh b, maka

• FPB (a, b) = FPB (b, r).

FPB (7)

• Contoh Penggunaan Algoritma Euclid• FPB (1071,1029) = 21• FPB (589,494) = 19

a b r1071 1029 421029 42 21

42 21 021 0

a b r589 494 95494 95 1995 19 019 0

Relatif Prima• Definisi:

Jika faktor persekutuan terbesar dua bilangan bulat positif p dan q adalah 1, maka p dan q disebut relatif prima.

• Contoh : 3 dan 5 adalah relatif prima karena FPB(3, 5) = 131 dan 120 adalah relatif prima karena FPB(31, 120) = 1.9 dan 132 bukan relatif prima karena FPB(9, 132) = 3.

• Perhatikan bahwa semua bilangan bulat positif kurang dari bilangan prima p adalah relatif prima terhadap p.

• Misalkan setiap bilangan 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 adalah relatif prima terhadap bilangan prima 7.

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

• Definisi: Bilangan bulat positip m adalah kelipatan persekutuan terkecil (disingkat KPK) dua bilangan bulat positip p dan q jika dan hanya jika m adalah bilangan bulat positip terkecil yang dapat dibagi oleh p dan q.

• Dari definisi di atas, jelas bahwa kelipatan persekutuan terkecil dua bilangan bulat adalah bilangan bulat positip yang habis dibagi kedua bilangan tersebut.

• Hal ini ditulis: m = KPK (p,q)

Contoh : KPK (5,4)= 20KPK (7, 6) =42KPK (15, 12) = 60.

KPK (2)

• Cara Menentukan KPK1.Menemukan himpunan kelipatan persekutuan

dan kemudian memilih yang terkecil2.Pemfaktoran Prima3.Rumus

[FPB (p,q)] x [KPK (p,q)] = p x q

KPK (3)1. Menemukan himpunan kelipatan persekutuan dan

kemudian memilih yang terkecil• contoh

Kelipatan Persekutuan Terkecil dari: 10, 12, dan 18 Kelipatan dari 10 : 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80,

90, 100, 110, 120, 130, 140, 150, 160, 170, 180,190 Kelipatan dari 12 : 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96,

108, 120, 132, 144, 156, 168, 180, 192, 204 Kelipatan dari 18 : 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126,

144, 162, 180, 198 Jadi KPK (10,12,18) = 180

KPK (4)2. Pemfaktoran Prima• KPK (3600, 1080, 672)• Contoh menggunakan faktorisasi prima :

3600 = 24 x 32 x 52

1080 = 23 x 33 x 5 672 = 25 x 3 x 7 Bilangan yang merupakan faktor prima : 2,3,5, 7 Pangkat maksimum 2 adalah 5 3 adalah 3

5 adalah 2 7 adalah 1

Oleh karena itu, KPK adalah 25 x 33 x 52 x 7 = 151.200

KPK (5)

3. Rumus: [FPB (p,q)] x [KPK (p,q)] = p x q • KPK(146,124) = (146 x 124) ÷ FPB (146, 124

= 18104 ÷ 2= 9052

KPK (6)• KPK tiga atau lebih bilangan bulat positip dapat

ditemukan dengan terlebih dahulu mencari KPK dari bilangan-bilangan itu; sepasang demi sepasang.

• Misalkan akan dicari KPK dari p, q, r, s, maka dicari dulu KPK bilangan p dan q misalkan terdapat m1, kemudian dicari KPK bilangan r dan s misalkan terdapat m2.

• Maka KPK (p,q,r,s) = KPK (m1, m2 ).• Contoh :

Carilah KPK dari 42, 96, 104. 18.Jawab:

KPK (42. 96) = 672 dan KPK (104, 18) = 936KPK (42, 96, 104, 18) = KPK (672, 936) = 26208