1

karena ada

dibedakan menjadi

membentuk membentuk

membentuk

BARISAN DAN DERET

Barisan dan Deret

Keteraturan Pola Tertentu

Barisan Geometri

𝑈𝑛 = 𝑎𝑟𝑛−1

Barisan Aritmetika

𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏

Deret Aritmetika

𝑆𝑛 =𝑛

2[2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏]

Deret Geometri

𝑆𝑛 =𝑎𝑟𝑛−1

𝑟 − 1

Deret Geometri Tak Hingga

𝑆∞ =𝑎

1 − 𝑟

2

Barisan atau pola bilangan adalah jajaran bilangan dengan urutan tertentu. Tepatnya,

barisan adalah daerah nilai suatu fungsi dengan daerah asal bilangan asli.

Contoh:

1. 𝑈𝑛 = 2𝑛 − 1

adalah suku ke-𝑛 dari suatu barisan, dimana 𝑛 ϵ N = {1,2,3,.....}

Barisan itu adalah : 1,3,5,7, …

2. Diketahui barisan 1

3,

1

6,

1

9

3. Rumus suku ke-𝑛 barisan ini adalah 𝑈𝑛 =1

3𝑛

Barisan Aritmetika

Barisan aritmetika adalah suatu barisan dimana selisih atau beda dua suku yang

berurutan konstan (tetap).

Misal:

1) 3, 7, 11, 15, 19, …

2) 30, 25, 20, 15, 10, …

Perhatikan bahwa selisih di antara suku-sukunya selalu tetap. Barisan yang

demikian itu disebut barisan aritmetika. Selisih itu disebut beda suku atau beda saja

dan dilambangkan dengan c.

Barisan l) mempunyai beda, b = 4. Barisan ini disebut barisan aritmetika naik

karena nilai suku-sukunya makin besar.

Barisan 2) mempunyai beda, b = -5. Barisan ini disebut barisan aritmetika turun

karena nilai suku-sukunya makin kecil.

Perhatikan kembali contoh barisan 1)!

3, 7, 11, 15, 19, ...

Misalkan U1, U2, U3 , .... adalah barisan aritmetika tersebut maka

U1 = 3 = 3+ 4 (0)

U2 = 7 = 3 + 4 = 3 + 4 (1)

3

U3 = 11 = 3 + 4 + 4 = 3 + 4 (2)

⋮

Un = 3 + 4 (n-1)

Secara umum, jika suku pertama (U1) = a dan beda suku yang berurutan

adalah b maka dari rumus Un = 3 + 4(n - 1) diperoleh 3 adalah a dan 4 adalah b. Oleh

sebab itu, suku ke-n dapat dirumuskan

𝑼𝒏 = 𝒂 + (𝒏 − 𝟏)𝒃

Barisan aritmetika yang mempunyai beda positif disebut barisan aritmetika

naik, sedangkan jika bedanya negatif disebut barisan aritmetika turun.

U1, U2, U3, …, Un-1, Un disebut barisan aritmetika, jika

U2 - U1 = U3 - U2 = .... = Un - Un-1 = konstan.

Selisih ini disebut juga beda (b) = b =Un - Un-1

Suku ke-𝑛 barisan aritmetika a, a + b, a + 2b, …, a + (n-1)b

U1, U2, U3, …, Un

Rumus suku ke-𝑛:

Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) → Fungsi linier dalam n

Barisan Geometri

4

Jika kita memulai barisan geometri dengan suku pertama a dan rasio r maka kita

mendapatkan barisan berikut.

Jadi, U1, U2, U3, …, Un-1, Un disebut barisan geometri, jika 𝑈2

𝑈1=

𝑈3

𝑈2= ⋯ =

𝑈𝑛

𝑈𝑛−1=

konstan.

Konstanta ini disebut pembanding atau rasio (r).

Rasio 𝒓 =𝑼𝒏

𝑼𝒏−𝟏

Suku ke-n barisan geometri:

a, ar, ar² , …, arn-1

U1, U2, U3, …, Un

Suku ke n Un = arn-1 → Fungsi eksponen (dalam n)

Catatan:

Suatu barisan geometri disebut barisan geometri turun jika 0 < r < 1 dan

disebut barisan geometri naik jika r > 1.

5

dimana:

𝑎 = 𝑈1= suku awal 𝑏′ = beda baru

𝑏 = beda 𝑟 = rasio/pembanding

𝑈𝑛 = suku ke n 𝑟 ′ = rasio baru

𝑆𝑛 = jumlah suku ke n 𝑘 = banyaknya sisipan

𝑈𝑡 = suku tengah 𝑆 = jumlah tak hingga

Deret

Deret Aritmetika Deret Geometri Deret Geometri Tak Hingga

Bentuk umum:

𝑎 + (𝑎 + 𝑏) + (𝑎 + 2𝑏) + ⋯

Rumus-rumus

1. 𝑏 = 𝑈𝑛 − 𝑈𝑛−1

2. 𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏

3. 𝑆𝑛 =𝑛

2(2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏)

4. 𝑆𝑛 =𝑛

2(𝑎 + 𝑈𝑛)

5. 𝑆𝑛 = 𝑛 ∙ 𝑈𝑡

6. 𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1

7. 𝑈𝑡 =𝑎+𝑈𝑛

2

8. 𝑏′ =𝑏

𝑘+1

Bentuk umum:

𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + ⋯

Rumus-rumus

1. 𝑟 =𝑈𝑛

𝑈𝑛−1

2. 𝑈𝑛 = 𝑎𝑟𝑛−1

3. 𝑆𝑛 =𝑎(1−𝑟𝑛)

1−𝑟, 𝑟 < 1

4. 𝑆𝑛 =𝑎(𝑟𝑛−1)

𝑟−1, 𝑟 > 1

5. 𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1

6. 𝑈𝑡 = √𝑎 ∙ 𝑈𝑛

7. 𝑟 ′ = √𝑟𝑘+1

Bentuk umum:

𝑆∞ =𝑎

1 − 𝑟

Jika |𝑟| < 1 deret

konvergen

(mempunyai limit

jumlah)

Jika |𝑟| ≥ 1 deret

devergen

6

Deret Geometri

Jika setiap suku barisan geometri tersebut dijumlahkan, maka diperoleh deret

geometri.

Jadi, bentuk penjumlahan dari barisan geometri U1, U2, U3, …, yaitu U1 + U2 + U3 +

… disebut deret geometri.

a + ar² + … + arn-1 disebut deret geometri.

dimana:

a = suku awal

r = rasio

n = banyak suku

o Jumlah n suku

𝑆𝑛 =𝑎(𝑟𝑛−1)

𝑟−1, jika 𝑟 > 1

=𝑎(1−𝑟𝑛)

1−𝑟, jika 𝑟 < 1 → Fungsi eksponen (dalam n)

Keterangan:

Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap

Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku

Un > Un-1

7

Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku

Un < Un-1

Bergantian naik turun, jika r < 0

Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1

Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah

𝑈𝑡 = √𝑈1 ∙ 𝑈𝑛 = √𝑈2 ∙ 𝑈𝑛−1 … 𝑑𝑠𝑡

Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk

memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah

𝑎

𝑟, 𝑎, 𝑎𝑟

Deret Geometri Tak Berhingga

Deret geometri tak hingga adalah deret geometri dengan | r | < 1. Jumlah S deret

geometri tak hingga adalah

Rumus pada deret geometri berlaku juga untuk n tak terhingga. Adapun untuk n tak

terhingga, terdapat dua kasus yang harus kita perhatikan, yaitu:

Kasus 1

Deret geometri dengan -1 < r < 1 ini disebut deret geometri konvergen (memusat).

8

Kasus 2

Deret geometri dengan r < -1 atau r > 1 ini disebut deret geometri divergen

(memencar).

Jadi, deret geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari

U1 + U2 + U3 + …

∑ 𝐔𝐧∞𝒏=𝟏 = a + ar + ar² + …

dimana 𝒏 → ∞ dan -1 < r < 1 sehingga rn → 0

Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat:

Jumlah tak berhingga

𝑆∞ =𝑎

1 − 𝑟

Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1

Catatan:

a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + …

Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil

a + ar2 + ar4 + …

𝑺𝒈𝒂𝒏𝒋𝒊𝒍 =𝒂

𝟏 − 𝒓𝟐

Jumlah suku-suku pada kedudukan genap

a + ar3 + ar5 + …

𝑺𝒈𝒆𝒏𝒂𝒑 =𝒂𝒓

𝟏 − 𝒓𝟐

Didapat hubungan:

𝑺𝒈𝒆𝒏𝒂𝒑

𝑺𝒈𝒂𝒏𝒋𝒊𝒍= 𝒓

9

CARA CEPAT MENYELESAIKAN SOAL PADA BARISAN ARITMETIKA

BILANGAN GANJIL

Contoh soal:

1. Jumlah 5 buah bilangan yang membentuk barisan aritmetika adalah 75. Jika hasil kali

bilangan terkecil dan terbesar adalah 161, maka selisih bilangan terbesar dan terkecil

adalah . . .

Penyelesaian:

Kita misalkan kelima bilangan tersebut adalah

𝑎 − 2𝑏, 𝑎 − 𝑏, 𝑎, 𝑎 + 𝑏, 𝑎 + 2𝑏

Maka:

𝑎 − 2𝑏 + 𝑎 − 𝑏 + 𝑎 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑎 + 2𝑏 = 𝑆𝑛

↔ 5𝑎 = 75

↔ 𝑎 =75

5

↔ 𝑎 = 15

(𝑎 − 2𝑏) ∙ (𝑎 + 2𝑏) = 161

↔ 𝑎2 − 4𝑏2 = 161

↔ 152 − 4𝑏2 = 161

↔ 225 − 4𝑏2 = 161

↔ 4𝑏2 = 225 − 161

↔ 4𝑏2 = 64

↔ 𝑏2 =64

4

↔ 𝑏2 = 16

↔ 𝑏 = √16

↔ 𝑏 = ±4

Ambil nilai 𝑏 = 4 → (𝑎 + 2𝑏) − (𝑎 − 2𝑏) = 𝑎 + 2𝑏 − 𝑎 + 2𝑏 = 4𝑏 = 4(4) = 16

Jadi, selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah 16.

10

2. Tiga bilangan merupakan barisan aritmetika. Jika jumlah ketiga bilangan itu 36 dan

hasil kalinya 1536, maka bilangan terbesarnya adalah . . .

Penyelesaian:

Kita misalkan ketiga bilangan tersebut adalah

𝑎 − 𝑏, 𝑎, 𝑎 + 𝑏

Maka:

𝑎 − 𝑏 + 𝑎 + 𝑎 + 𝑏 = 𝑆𝑛

↔ 3𝑎 = 36

↔ 𝑎 =36

3

↔ 𝑎 = 12

(𝑎 − 𝑏) ∙ 𝑎 ∙ (𝑎 + 𝑏) = 1536

↔ 𝑎(𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 1536

↔ 𝑎(𝑎2 − 𝑏2) = 1536

↔ 12(122 − 𝑏2) = 1536

↔ 12(144 − 𝑏2) = 1536

↔ 144 − 𝑏2 =1536

12

↔ 144 − 𝑏2 = 128

↔ 𝑏2 = 144 − 128

↔ 𝑏2 = 16

↔ 𝑏 = √16

↔ 𝑏 = ±4

Ambil nilai 𝑏 = 4 → 𝑎 + 𝑏 = 12 + 4 = 16

Jadi, bilangan terbesarnya adalah 16.

3. Jumlah dari tiga bilangan yang membentuk deret aritmetika adalah 27. Jika bilangan

terbesar ditambah 12 maka ketiga bilangan tersebut membentuk deret geometri.

Bilangan terkecil dari ketiga bilangan tersebut adalah . . .

Penyelesaian:

Kita misalkan ketiga bilangan tersebut adalah

11

𝑎 − 𝑏, 𝑎, 𝑎 + 𝑏

Maka:

𝑎 − 𝑏 + 𝑎 + 𝑎 + 𝑏 = 𝑆𝑛

↔ 3𝑎 = 27

↔ 𝑎 =27

3

↔ 𝑎 = 9

𝑈𝑡 = √𝑎′ ∙ 𝑈𝑛

dimana: 𝑈𝑡 = 𝑎

𝑎′ = 𝑎 − 𝑏

𝑈𝑛 = 𝑎 + 𝑏 + 12

maka:

𝑎 = √(𝑎 − 𝑏) ∙ (𝑎 + 𝑏 + 12)

↔ 𝑎2 = (𝑎 − 𝑏) ∙ (𝑎 + 𝑏 + 12)

↔ 𝑎2 = 𝑎2 + 𝑎𝑏 − 𝑎𝑏 − 𝑏2 + 12𝑎 − 12𝑏

↔ 𝑎2 = 𝑎2 − 𝑏2 + 12𝑎 − 12𝑏

↔ 𝑎2 − 𝑎2 = −𝑏2 − 12𝑏 + 12𝑎

↔ 0 = −𝑏2 − 12𝑏 + 12(9)

↔ 0 = −𝑏2 − 12𝑏 + 108

↔ −108 = −(𝑏2 + 12𝑏)

↔ 108 = (𝑏2 + 12𝑏)

↔ 𝑏2 + 12𝑏 − 108 = 0

↔ (𝑏 − 6)(𝑏 + 18) = 0

↔ (𝑏 − 6) = 0 ∨ (𝑏 + 18) = 0

↔ 𝑏 = 6 ∨ 𝑏 = −18

Ambil nilai 𝑏 = 6 → 𝑎 − 𝑏 = 9 − 6 = 3

Jadi, bilangan terkecil dari ketiga bilangan tersebut adalah 3.

12

4. Tiga bilangan membentuk deret aritmetika. Jumlah ketiga bilangan tersebut 42 dan

hasil kalinya 1610. Tentukan ketiga bilangan tersebut!

Penyelesaian:

𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 = 42

𝑈2 − 𝑑 + 𝑈2 + 𝑈2 + 𝑑 = 42

𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 = 42

3𝑈2 = 42

𝑈2 = 14

𝑈1 ∙ 𝑈2 ∙ 𝑈3 = 1610

(𝑈2 − 𝑑) ∙ 𝑈2 ∙ (𝑈2 + 𝑑) = 1610

(14 − 𝑑) ∙ 14 ∙ (14 + 𝑑) = 1610

(14 − 𝑑)(14 + 𝑑) = 115

196 − 𝑑2 = 115

𝑑 = ±9

Jika 𝑑 = +9, barisannya adalah 5, 14, 23.

Jika 𝑑 = −9, barisannya adalah 23, 14, 5.

5. Suatu deret aritmetika, diketahui jumlah 5 suku yang pertama = 35 dan jumlah 4 suku

yang pertama = 24, suku yang ke-15 = …

Penyelesaian:

Kita misalkan kelima bilangan tersebut adalah

𝑎 − 2𝑏, 𝑎 − 𝑏, 𝑎, 𝑎 + 𝑏, 𝑎 + 2𝑏

Maka:

𝑎 − 2𝑏 + 𝑎 − 𝑏 + 𝑎 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑎 + 2𝑏 = 𝑆𝑛

↔ 5𝑎 = 35

↔ 𝑎 =35

5

↔ 𝑎 = 7

𝑎 − 2𝑏 + 𝑎 − 𝑏 + 𝑎 + 𝑎 + 𝑏 = 24

↔ 4𝑎 − 2𝑏 = 24

↔ 4(7) − 2𝑏 = 24

13

↔ 28 − 2𝑏 = 24

↔ 2𝑏 = 28 − 24

↔ 2𝑏 = 4

↔ 𝑏 =4

2

↔ 𝑏 = 2

𝑎′ = 𝑎 − 2𝑏 = 7 − 2(2) = 7 − 4 = 3

𝑈𝑛 = 𝑎′ + (𝑛 − 1)𝑏

𝑈15 = 3 + (15 − 1)2 = 3 + (14)2 = 3 + 28 = 31

Jadi, suku ke-15 dari deret aritmetika tersebut adalah 31.

6. Jika (x+2), (2x+3), (5x-2) merupakan tiga suku pertama yang berurutan dari barisan

aritmetika. Tentukan nilai x dan jumlah 20 suku pertama barisan tersebut!

Penyelesaian:

Kita misalkan ketiga bilangan tersebut adalah

𝑎 − 𝑏, 𝑎, 𝑎 + 𝑏

Maka:

𝑎 − (𝑎 − 𝑏) = (𝑎 + 𝑏) − 𝑎

𝑏 = 𝑏

(2𝑥 + 3) − (𝑥 + 2) = (5𝑥 − 2) − (2𝑥 + 3)

𝑥 + 1 = 3𝑥 − 5

2𝑥 = 6

𝑥 = 3

Sehingga diperoleh:

𝑈1 = 𝑥 + 2 = 3 + 2 = 5 = 𝑎′

𝑈2 = 2𝑥 + 3 = 6 + 3 = 9

𝑈3 = 5𝑥 − 2 = 15 − 2 = 13

𝑏 = 𝑈3 − 𝑈2 = 𝑈2 − 𝑈1 = 4

𝑈20 = 𝑎′ + (𝑛 − 1)𝑏 = 5 + (19)4 = 81

𝑆20 =𝑛

2∙ (𝑎 + 𝑈20) =

20

2∙ (5 + 81) = 10(86) = 860

14

7. Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri dan jumlahnya -48. Hasil kali

bilangan kedua dan ketiganya adalah -512. Jika bilangan ke-2 dan ke-3 ditukar

letaknya menghasilkan sebuah barisan aritmatika, maka nilai bilangan ke-2 dari

barisan semula ialah …

Penyelesaian:

Kita misalkan ketiga bilangan tersebut adalah

𝑎

𝑟, 𝑎, 𝑎𝑟

Jika bilangan ke-2 dan ke-3 ditukar letaknya menghasilkan sebuah barisan aritmetika,

maka:

𝑎

𝑟, 𝑎𝑟, 𝑎 ↔ 𝑎′ − 𝑏, 𝑎′, 𝑎′ + 𝑏

𝑎′ − 𝑏 + 𝑎′ + 𝑎′ + 𝑏 = −48

3𝑎′ = −48

𝑎′ = −16

𝑎′ = −16 = 𝑎𝑟

𝑎 ∙ 𝑎𝑟 = −512

↔ 𝑎 ∙ (−16) = −512

↔ 𝑎 =−512

−16

↔ 𝑎 = 32

Jadi, nilai bilangan ke-2 dari barisan semula ialah 32.

8. Jumlah 9 buah bilangan yang membentuk barisan aritmetika adalah 207. Jika suku

terakhirnya 43 dan suku ketiganya 13, maka tentukan suku – suku pada barisan

aritmetika tersebut!

Penyelesaian:

Kita misalkan kelima bilangan tersebut adalah

𝑎 − 4𝑏, 𝑎 − 3𝑏, 𝑎 − 2𝑏, 𝑎 − 𝑏, 𝑎, 𝑎 + 𝑏, 𝑎 + 2𝑏, 𝑎 + 3𝑏, 𝑎 + 4𝑏

Maka:

𝑎 − 4𝑏 + 𝑎 − 3𝑏 + 𝑎 − 2𝑏 + 𝑎 − 𝑏 + 𝑎 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑎 + 2𝑏 + 𝑎 + 3𝑏 + 𝑎 + 4𝑏 = 207

↔ 9𝑎 = 207

↔ 𝑎 =207

9

15

↔ 𝑎 = 23

𝑈3 = 𝑎 + 2𝑏 ↔ 𝑎 + 2𝑏 = 13 (1)

𝑎 = 𝑈5 = 𝑎 + 4𝑏 ↔ 𝑎 + 4𝑏 = 23 (2)

Dari (1) dan (2)

𝑎 + 4𝑏 = 23

𝑎 + 2𝑏 = 13 −

2𝑏 = 10

𝑏 = 5

Sehingga diperoleh:

𝑈1 = 𝑎 − 4𝑏 = 23 − 4(5) = 3

𝑈2 = 𝑎 − 3𝑏 = 23 − 3(5) = 8

𝑈3 = 𝑎 − 2𝑏 = 23 − 2(5) = 13

𝑈4 = 𝑎 − 𝑏 = 23 − 5 = 18

𝑈5 = 𝑎 = 23

𝑈6 = 𝑎 + 𝑏 = 23 + 5 = 28

𝑈7 = 𝑎 + 2𝑏 = 23 + 2(5) = 33

𝑈8 = 𝑎 + 3𝑏 = 23 + 3(5) = 38

𝑈9 = 𝑎 + 4𝑏 = 23 + 4(5) = 43

Jadi, suku – suku pada barisan aritmetika tersebut adalah 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38,

dan 43.